К оценке функционирования линейных динамических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ ТРАЕКТОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ ПО МНОЖЕСТВУ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ I. Области достижимости линейных систем и их свойства.

§ 2. Построение областей достижимости

§ 3. Оценка областей достижимости с помощью погружения их в эллипсоиды.

§ 4. Оценка областей достижимости с помощью синхронных поверхностей

§ 5. Сравнительные характеристики методов построения и оценки областей достижимости

ГЛАВА П. О МАКСИМАЛЬНОМ ОТКЛОНЕНИИ СИСТЕМ С АНТИСИММЕТг,

РИЧНЫМИ ПЕРЕКРЕСТНЫМИ СВЯЗЯМИ.

§ I. Задача о вычислении характерных размеров абсолютной области достижимости для систем с антисимметричными перекрестными связями

§ 2. О максимальном значении угла атаки объекта, вращающегося в потоке воздуха

§ 3. О приближенном вычислении и оценках сверху максимального отклонения угла атаки объекта, вращающегося в полете.

ГЛАВА Ш. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ СИСТЕМЫ ПО

ПРЕДЪЯВЛЕННОЙ ТРАЕКТОРИИ.

§ I. Задачи распознавания системы по предъявленной траектории.

§ 2. Алгоритм решения задачи распознавания.

§ 3. Об оценке устойчивости системы по замерам ее траектории

§ 4. Результаты численных расчетов.ИЗ

При эксплуатации как управляемых так и неуправляемых объектов задаются определенные требования на их динамику. Желательно, чтобы объект всегда соответствовал этим требованиям. Однако в объекте могут происходить изменения характеристик элементов (отказы, неисправности), нарушающие указанное соответствие. В связи с этим возникает задача: как в процессе функционирования объекта по измерениям его выходные динамических параметров, констатировать факт правильности или неправильности его работы [ I ] •

Формализация построения оценок правильности или неправильности функционирования технических объектов предполагает наличие адекватной математической модели поведения объекта в желательных и нежелательных режимах. Функционирующий объект может быть представлен как динамическая система, состояние которой в каждый момент времени определяется значениями входных внутренних и выходных координат (параметров).

Если вектор выходных параметров объекта, изменяясь со временем, принимает значения из континуального множества, то во многих случаях моделью его функционирования может являться система обыкновенных дифференциальных уравнений вида где - вектор входных параметров, определяющий начальные и учитываемые в данной модели внешние возмущения, р - вектор внутренних параметров, определяющий тот или иной режим работы объекта;

00 - вектор выходных параметров модели, характеризующий

- 5 динамику рассматриваемого объекта.

Вводя в рассмотрение математическую модель функционирования объекта, предполагают взаимно однозначное соответствие между динамическими параметрами объекта и его модели. Будем предполагать в дальнейшем, что измеряемые динамические параметры объекта полностью определяют фазовый вектор ее модели.

Требования, накладываемые на динамику технического объекта при его проектировании и эксплуатации, приводят к ограничениям на динамические параметры его модели. Как правило, эти ограничения приводят, в свою очередь, к требованию принадлежности фазового вектора модели некоторой определенной области /\/ . Область Д/ определяется множеством траекторий модели, пороиоденных всевозможными допустимыми возмущениями как начальными, так и постоянно действующими. Область Д/ соответствует множествус/^ допустимых значений вектора состояния объекта. Принадлежность вектора состояния объекта области является необходимым условием его правильного функционирования. Выход вектора состояния объекта из области сА° говорит о неправильном его функционировании. Возникает вопрос о выявлении причин нарушения работы объекта. В некоторых технических объектах список возможных (штатных) неисправностей заранее известен. Это дает возможность построить модели, описывающее поведение объекта с одной из этих неисправностей. Тогда возникающая задача идентификации сводится к определению номера модели из заданного списка.

В настоящей работе предлагается оценивать номальное функционирование технического объекта с помощью использования информации о его векторе состояния. Во всех рассматриваемых ниже задачах предполагается, что отклонения системы, вызываемые постоянно действующими внешними возмущениями, существенно меньше отклонений, вызываемых начальными возмущениями. На примере линейных стацио

- б тарных систем обсуждаются вопросы построения областей достижимости и их оценки. Для решения сформулированных задач идентификации сконструированы два алгоритма - алгоритм распознавания системы из заданного списка и алгоритм оценки устойчивости системы по предъявляемым траекториям. Полученные результаты иллюстрируются несколькими примерами, имеющими механическую природу.

В литературе обсуждались отдельные вопросы, прямо или косвенно соприкасающиеся в рассматриваемыми ниже. Оценки правильности функционирования в рассматриваемой постановке связаны с качественной теорией дифференциальных уравнений, построением различных оценок их решений, построением областей достижимости траекторий по различным возмущениям, устойчивостью движения, методами построения функции Ляпунова, с задачей о максимальном отклонении.

Б.В.Булгаков первый пришел к необходимости постановки и решения задачи о накоплении возмущений в технике [3, 4, 5J. Задача о накоплении возмущений привлекала многих исследователей, например, Я.Н.Ройтенберга [б] , Л.С.Гноенского [, В.В.Александрова [в] .

Как задача о максимальном отклонении так и более общая задача о построении и оценках множества достижимости траекторий тесно связана с теорией технической устойчивости [ 9] , [ ю] , а также с всевозможными оценками решений системы дифференциальных уравнений.

В самом деле, теория технической устойчивости базируется на следующих трех понятиях fio j множества j-j0 начальных возмущений, множества Тэ' значений моментов времени, множества Н ) возмущенных движений системы на ТГ . В постановке задачи о построении мнояэтва достижимости так же как в определении технической устойчивости фигурируют множества Но начальных возмущений и множество ТГ значений времени, являющиеся заданными.

Заданным считается и множество \~\ (t) в определении технической устойчивости. Тогда как в задаче о построении множества достижимости область /-/ является искомой величиной.

Решение задачи о максимальном отклонении дает оценку множества достижимости рассматриваемой системы. В этом смысле задачи о вычислении максимального отклонения и о построении оценок области функционирования являются частными для задачи о нахождении множества достижимости (В.И.Коробов [llj9 А.В.Лотов А.М.Фор-мальский рассматривал задачи о построении области достижимости траекторий системы по глножеству возможных управлений [13J . В работах Ф.Д.Черноусько (например [14] ) вычисляются области достижимости траекторий по множеству начальных возмущений.

Несмотря на различие в постановках задач о максимальном отклонении и о построении и оценках множества достижимости с одной стороны и о технической устойчивости с другой, методы исследования этих задач во многом схожи.

Основным методом исследования технической устойчивости является метод функций Ляпунова (Румянцев В.В. [l5j ). При этом задача сводится к отысканию некоторой функции V (x,t) переменных вектора состояния ОС (t) и времени t , полные производные которых в силу уравнений возмущенного движения обладают некоторыми определенными свойствами. Существуют методы построения функций Ляпунова в задаче устойчивости траекторий линейной системы на конечном интервале времени, например [ioj, j I6~j , [l7| . В диссертации метод построения функции Ляпунова использован для оценок множества достижимости.

Для оценок максимальных отклонений систем линейных дифференциальных уравнений можно использовать оценку их решений, полученных с помощью неравенств. При построении оценок решений уравнений, как отмечает В.П.Червяков [18] возможны два подхода.

I. Единичные оценки, определяющие с той или иной степенью точности для каждой данной системы уравнений некоторую единственную область возможных изменений координат.

2. Последовательность оценок с возрастающей степенью точности. Области возможного изменения координат системы, определяемые членами этой последовательности таковы, что область, определенная данным членом последовательности, меньше или равна области, определенной предвдущим членом. Наличие таких оценок позволяет (при условии сходимости к точным значениям оцениваемых величин), получить область сколь угодно близкую к истинной области изменения координат в данной конкретной задаче.

Вопросами оценок первого типа занимались Н.Д.Моисеев [19], А.Д.Горбунов ["20, 21J , Чжан-Сы-Ин [22] , К.А.Карачаров и А.Г. Пилютик [23] , Б.С.Разумихин [24] , К.А.Абгарян [25] и др. Примерами оценок второго типа являются оценки Ф.А.Михайлова [2б] или формулы аппроксимирующие решения с той или иной точностью (С.М. Алеферов [27] ).

Можно указать работы, в которых получены оценки отклонений с использованием расположения корней на комплексной плоскости (А.А.Фельдбаум [28, 29] , Л.С.Гноенский [30-32] , В.Н.Полоцкий [33, 34] ). В работах В.Ш.Блоха [35], Е.Д.Якубович [Зб] , [37] описаны методы выбора параметров системы, обеспечивающих монотонное уменьшение начальных отклонений.

В рамках задачи о максимальном отклонении может быть осуществлен выбор таких экстремальных значений параметров, при которых достигается абсолютное максимальное отклонение. В этом плане целесообразно отметить работы В.В.Александрова и В.Н.Жер-моленко [38, 39] , А.Н.Голубенцева [40] , Э.М.Болычевцева и А.П.Борисова [4l] . В.Ф.Демьянова и В.Н.Малоземова [42-45] .

Методы вычисления максимального отклонения, использующие теорию чувствительности, рассматриваются в работах В.Томовича и М.Вукобратовича |4б] , Е.Н.Розенвассера [47] , а также в трудах 1У Всесоюзного совещания по теории инвариантности и теории чувствительности автоматических систем [48] .

Понятия о синхронных функциях, которые в диссертации развиты для оценок областей достижимости и для построения алгоритмов распознавания систем, почерпнуты в статье В.Д.Иртегова [49] .

По динамике объектов, описываемых системами дифференциальных уравнений с антисимметричными перекрестными связями и, в частности, по динамике осесимметричных вращающихся в воздухе тел отметим работы [50-52, 57] .

Методы идентификации системы по измерениям ее вектора состояния достаточно широко представлены в научной литературе (см., например, работы [58, 59] ). Однако наиболее близкими по духу следует считать методы функционального диагностирования динамических систем, обсуждаемые в обзоре Л.А.Мироновского [2] . Распознавание линейных динамических систем по траекторным измерениям отражено в работах [53-55] . В этих работах для целей распознавания используются, так называемые контрольные условия. При этом вводятся дополнительные переменные, что повышает порядок исследуемой системы. Методы идентификации, предлагаемые в Ш главе диссертации, основаны на локальных свойствах траекторий линейных стационарных систем. Порядок исследуемой системы при этом не повышается.

Идейными источниками работы следует считать статью И.Т.Бо-рисенка [бб] и статью [бСГ] , написанную в соавторстве с И.Т.Бо-рисенком и В.А.Самсоновым. В этих работах дается постановка задачи распознавания системы из заданного списка по предъявленной траектории и предлагаются алгоритмы решения этой задачи. В статье

60] задача распознавания решается для класса матриц систем с неустойчивым тривиальным решением. Сконструированные алгоритмы решения задачи основаны на предельных свойствах траекторий таких систем. Помимо информации о траектории распознаваемой системы для работы этих алгоритмов неооходимо вычислить априори множества собственных векторов всех систем из заданного списка.

Цель работы. Целью проведенного исследования является построение простых алгоритмов, с помощью которых по измерениям текущих значений вектора состояния объекта можно оценить правильность или неправильность его функционирования.

Приложение. Полученные в работе алгоритмы построения и оценок множества достижимости, а также критерии правильности функционирования по существу относятся к теории линейных динамических систем, и могут быть использованы и в других областях, например, в технической диагностике.

Методика построения областей достижимости и их оценок использована в работе для вычисления максимального отклонения оси симметрии вращающейся ракеты от ее балансировочного положения.

Результаты работы по построению и оценкам областей достижимости могут быть также использованы при анализе точности регулируемых систем, при оценке справедливости линеаризации уравнений движения нелинейных систем, при оценке качества синтезируемого линейного управления.

Предложенный в работе алгоритм распознавания системы из заданного списка может быть применим для идентификации штатных режимов линейных динамических систем. Алгоритм оценки устойчивости системы по предъявленной траектории может найти свое применение при оценке правильности функционирования линейных динамических систем.

Свои области приложения могут найти разработанные в диссертации новые способы вычисления собственных векторов произвольных действительных матриц, алгоритм построения квадратичной функции

Ляпунова, свойства синхронных поверхностей, особенности решений систем с антисимметричными перекрестными связями.

В первой главе диссертации обсуждаются вопросы, связанные с построением и оценками области достижимости траекторий системы линейных дифференциальных уравнений при условии, что возможные начальные условия не фиксированы, а составляют некоторое компактное множество. Эти и другие понятия используются в задаче контроля функционирования линейных динамических систем.

В § I вводятся понятия множества достижимости Н(£) траекторий линейной системы при фиксированном времени £ и абсолютного множества достижимости (t) . Рассматриваются важные для приложения свойства абсолютного множества достижимости.

В § 2 указывается способ построения множества достижимости, если начальные возмущения принадлежат центральному эллипсоиду. Этот способ сводится к оценке отношения двух квадратичных форм, что,в свою очередь,приводит к решению некоторого обобщенного характеристического уравнения. Указывается алгоритмически точное решение задачи построения множеств достижимости.Ошибка результата может быть обусловлена только точностью вычислений. В двумерном фазовом пространстве задача построения абсолютного множества достижимости решается до конца аналитически. Получены формулы, выражающие максимальный размер абсолютного множества достижимости в зависимости от двух параметров исходной системы дифференциальных уравнений. В заключении параграфа рассматриваются несколько методических примеров приложения полученных результатов к механической задаче о колебаниях крыла, шарнирно закрепленного в аэродинамической трубе.

В § 3 предлагается способ оценки областей достижимости с использованием свойств квадратичной функции Ляпунова. Этот способ предусматривает погружение множества достижимости в некоторый центральный эллипсоид, такой что траектории исследуемой системы с начальными условиями на поверхности этого эллипсоида не выходят из него, а граница множества начальных условий касается изнутри границы этого эллипсоида. Кроме того в параграфе указан способ построения функции Ляпунова для линейных стационарных систем, основанный на знании характеристических чисел исследуемой системы. В конце параграфа рассмотрен численный пример, иллюстрирующий указанную методику оценки множества достижимости.

В § 4 указывается еще один способ оценки области достижимости, основанный на понятии синхронной поверхности, т.е. поверхности, сохраняющей подобие при ее преобразовании в силу траекторий системы. Вначале обсуждаются свойства этих поверхностей. Показывается, что любой линейной стационарной системе с матрицей простой структуры можно поставить в соответствие действительные синхронные поверхности типа синхронных плоскостей или синхронных эллиптических цилиндров. Каждый из этих геометрических образов отражает движение системы в элементарном инвариантном подпространстве системы. Параграф заканчивается численной иллюстрацией построения множества синхронных поверхностей в двумерном фазовом пространстве.

В § 5 приводятся сравнительные характеристики обсуждаемых ранее способов построения и оценок областей достижимости с точек зрения вида исследуемого уравнения, формы множества начальных возмущений и особенностей вычислительных процедур.

Во второй главе диссертации понятия множества достижимости и его оценки находят свое применение для исследования механических систем с так называемыми антисимметричными связями.

В § I рассматриваются свойства систем с антисюлметричными перекрестными связями и особенности решения задачи о вычислении характерных размеров множества достижимости для таких систем, даны несколько методических примеров.

В § 2 решается задача о максимальном отклонении оси симметрии вращающейся ракеты от ее балансировочного положения, что дает возможность оценивать правильность полета.

В § 3 задача о максимальном отклонении решается приближенно для некоторого класса линейных систем 4-го порядка с антисимметричными перекрестными связями. Определен параметр системы, оказывающий основное влияние на величину максимального отклонения. Во 2 и 3 параграфах рассматривается численный пример по построению и оценкам максимального угла атаки противоградовой ракеты "Алазань".

В третьей главе диссертации рассматриваются две задачи идентификации.

I. Имеются Ггь линейных стационарных систем дифференциальных уравнений и фрагмент траектории одной из них. Требуется по замерам этой траектории определить номер системы, которая описывает эту траекторию.

П. Имеется система линейных дифференциальных уравнений фиксированной размерности с матрицей, элементы которой постоянны, но неизвестны. Требуется по замерам фрагмента траектории этой системы оценить устойчивость ее тривиального решения.

Поскольку реальные объекты, как правило, подвержен внешним возмущениям, то решение рассматриваемых задач идентификации можно рассматривать как необходимый предварительный этап в решении задачи диагностирования неисправностей в технических объектах с дальнейшим уточнением самой постановки задачи.

В § I дается постановка задачи распознавания той системы, которая описывает предъявленную траекторию. Обсуждаются аспекты практической ценности рассматриваемой задачи. Вводятся определения попарной различимости и неразличимости систем и исследуются свойства этих понятий.

В § 2 конструируется алгоритм решения рассматриваемой задачи идентификации в случае точных измерений. Показывается, что алгоритм остается работоспособным при наличии ошибок вычисления и измерения величин, необходимых для реализации алгоритма.

В § 3 дается постановка задачи об оценке устойчивости системы с неизвестной матрицей по замерам ее траектории. Обсуждаются условия существования решения задачи и дается алгоритм ее решения.

В § 4 приводятся результаты численных расчетов, которые демонстрируют работоспособность алгоритмов решения рассматриваемых задач. Объектом моделирования служат системы линейных дифференциальных уравнений 5-го порядка, описывающих, в частности, некоторые режимы полета летательного аппарата.

Апробация работы

Материалы диссертации а) неоднократно докладывались на различных конференциях, школах, семинарах, среди которых:

Ломоносовские чтения МГУ, Москва, 1978, 1979, 1983; Всесоюзная школа по методам функции Ляцунова, Иркутск,

1979;

1У Всесоюзное совещание по технической диагностике, Черкассы, 1979;

П Всесоюзная научно-практическая конференция по безопасности полетов в гражданской авиации, Ленинград, 1979;

Всесоюзный семинар "Методические вопросы проектирования систем диагностирования", Ростов-на-Дону, 1980;

УШ Всесоюзное совещание по проблемам управления, Таллин,

1980;

Межвузовская школа-семинар "Методы и средства технической диагностики',' Саратов, 1981;

Научно-исследовательские семинары на механико-математическом факультете МГУ; б) отражены в научных отчетах Института механики МГУ и в статьях [1-8] .

По теме диссертации автором опубликованы следующие статьи:

1. В.В.Александров, В.И.Беляков, В.Н.Полоцкий. Линейный анализ точности управляемых систем. ВМУ. Сер. математика, механика, № 6, 1977.

2. В.И.Беляков. 0 максимальном отклонении линейной системы. В сб. тематических трудов Института механики. Некоторые задачи управления и навигации движущихся объектов. Изд-во Моск.ун-та,

1978.

3. В.И.Беляков, И.Т.Борисенок. О построении поверхности контроля в задаче диагностики. В сб.тематических трудов Института механики МГУ. Некоторые задачи динамики управляемого твердого тела. Изд-во Моск.ун-та, 1981.

4. В.И.Беляков, Б.Я.Локшин. О максимальном отклонении систем с антисимметричными перекрестными связями. В сб.тематических трудов Института механики МГУ. Некоторые задачи динамики управляемого твердого тела. Изд-во Моск.ун-та, 1981.

5. В.И.Беляков, Б.Я.Локшин. О максимальном значении угла атаки объекта, вращающегося в полете. В сб.тематических трудов Института механики МГУ. Некоторые задачи динамики осесимметрич-ного твердого тела. Изд-во Моск.-ун-та, 1980.

6. В.И.Беляков, И.Т.Борисенок, В.А.Самсонов. Об использовании предельных свойств динамических систем для построения алгоритмов диагностирования. В сб.тематических трудов Института механики МГУ. Некоторые задачи динамики управляемого твердого тела. Изд-во Моск.ун-та, 1981.

7. В.И.Беляков, И.Т.Борисенок, В.А.Самсонов. 0 возможности диагностирования неисправности на борту самолета. В сб. Методы и системы технической диагностики. Изд-во Саратовского ун-та, вып. 2, 1981.

8. В.И.Беляков, И.Т.Борисенок, В.А.Самсонов. Об одном алгоритме непрерывной экспресс-диагностики. AT № 3, 1982, с.ПЗ-Пб.

Вводимые в-работе обозначения сохраняются, как правило, только внутри параграфа, если, конечно, нет ссылок на другие параграфы. Формулы имеют троичную нумерацию. Первое число указывает на главу, которой эта формула принадлежит, второе указывает номер параграфа, третье число определяет ее порядковый номер внутри этого параграфа. Автор счел целесообразным распределить рисунки и таблицы по тексту. Введены следующие сокращения названий журналов:

ДАН СССР - Доклады Академии Наук СССР; ПММ - Прикладная математика и механика; ЖВМШ? - Журнал вычислительной математики и математической физики;

ВМУ - Вестник Московского университета;

МТТ - Механика твердого тела;

AT - Автоматика и телемеханика;

ТК - Техническая кибернетика;

ВЛУ - Вестник Ленинградского университета;

РШ - Ракетная техника и космонавтика.

INT. У, CONTROL-Jntern&tconfrl Joumoct of Control

Основные результаты работы состоят в следующем

1. Разработаны алгоритмы построения множеств достижимости и их оценок для линейных стационарных систем. Отмечены особенности этих множеств для систем с антисимметричными перекрестными связями.

2. Аналитически решена задача о максимальном по времени и начальным условиям из единичного круга отклонении траекторий линейной системы 2-го порядка.

3. Построены оценки максимального отклонения оси симметрии вращающейся ракеты от ее балансировочного положения.

4. Разработан алгоритм решения задачи распознавания системы из заданного списка по предъявленной траектории.

5. Решена задача о вычислении характеристических показателей линейной стационарной системы с неизвестной матрицей по замерам траектории.

Полученные результаты могут быть использованы при анализе точности регулируемых систем, при оценке справедливости линеаризации уравнений движения нелинейных систем, при оценке правильности функционирования динамических объектов по замерам их выходных параметров.

Заключение

1. В.В.Карибский, П.П.Пархоменко, Е.С.Согомонян, В.Ф.Халчев. Основы технической диагностики. Кн. 1. Модели объектов, методы и алгоритма диагноза. Энергия, 1976.

2. Л.А.Мироновский. Функциональное диагностирование динамических систем. AT № 8, 1980.

3. Б.В.Булгаков. Прикладная теория гироскопов. ГОНТИ, 1939.

4. Б.В.Булгаков. 0 накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами. ДАН СССР, 1946, т.51, $ 5.

5. Б.В.Булгаков. 0 накоплении девиаций у гироскопических приборов. InpenLeur-Archiv, XI, вып.6, 1940.

6. Я.Н.Ройтенберг. 0 накоплении возмущений в нестационарных линейных системах, ДАН СССР, т. 121, № 2, 1958.

7. Л.С.Гноенский. О накоплении возмущений в линейных системах. ПММ, 1961, т.25, Ш 2.

8. В.В.Александров. К задача Булгакова о накоплении возмущений. ДАН СССР, 1969, т.186, № 3.

9. Н.Г.Четаев. О некоторых вопросах относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений. ПММ, I960, 24, № I.

10. А.К.Абгарян. Устойчивость движения на конечном интервале (обзор). В сб. Общая механика, т.З, (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М., 1976.

11. В.И.Коробов. О множествах достижимости. ЖВМШ, т.10, № I, 1970.

12. А.В.Лотов. Численный метод построения множеств достижимости для линейной управляемой систеш. ЖВМШ, т. 12, № 3, 1972.

13. А.М.Формальский. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. Наука, М., 1974.

14. Ш.Л.Черноусько. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов. ТК № 3-5, 1980.

15. В.В.Румянцев. Метод функции Ляпунова в теории устойчивости движения. В сб. Механика в СССР за 50 лет. М., "Наука", 1968.

16. Теория устойчивости и ее применение (Сборник трудов Ш Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением) "Наука" Сибирское отделение, Новосибирск, 1969.

17. Вань Дань Чжи, С.Я.Степанов. Численное исследование устойчивости на конечном интервале времени.ЖВМШ, 14, № 2, 1974.

18. В.П.Червяков. Об устойчивости и границах изменения координат линейной системы на конечном интервале времени. Труды МАЙ, вып. 189, 1970.

19. Н.Д.Моисеев. 0 некоторых методах теории технической устойчивости. Труды ВВИА им.Жуковского, вып. 135, Оборонгиз, 1945.

20. А.Д.Горбунов. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений. ВМУ, НО, 1950.

21. А.Д.Горбунов. 0 некоторых свойствах решений системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, ВМУ, № 6, 1951.

22. Чжан Сы-Ин. Об оценках решений системы дифференциальных уравнений, накопления возмущения и устойчивости движения на конечном интервале времени. ПММ, т.23, № 4, 1959.

23. К.А.Карачаров, А.Г.Пилютик. Введение в техническую теорию устойчивости движения. Физматгиз, М., 1962.

24. Б.С.Разумихин. Оценки решений дифференциальных уравнений возмущенного движения с переменными коэффициентами. ПММ, ft I, 21, 1957.

25. К.А.Абгарян. Матричные и асимптотические методы теориилинейных систем. М., Наука, 1973.

26. Ф.А.Михайлов. Свободное колебание линейных систем с переменными параметрами. Труды МИ, вып. 135, 1962.

27. С.М.Алферов. О приближенном интегрировании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В сб. Вопросы теории автоматического регулирования. Оборонгиз, 1956.

28. А.А.Фельдбаум. О распределении корней характеристического уравнения систем регулирования. AT, т.8, № 4, 1948.

29. А.А.Фельдбаум. Методы исследования переходных процессов в самоустанавливающихся системах. Докторская диссертация. М., 1948.

30. Л.С.Гноенский. Об одном способе оптимизации следящих систем. ПММ, $ 5, 1961.

31. Л.С.Гноенский, Г.А.Каминский, Л.Э.Эльсгольц. Математические основы теории управляемых систем. М., 1969.

32. Л.С.Гноенский. О связи некоторых показателей качества в линейных стационарных системах. ДАН СССР, т. 181, № I, 1968.

33. В.Н.Полоцкий. О максимальных ошибках асимптотического идентификатора состояния. AT, № 8, 1978.

34. В.Н.Полоцкий. Линейный анализ точности корректируемых инер-циальных навигационных систем. Кандидатская диссертация, М., 1978.

35. З.Ш.Елох. Динамика линейных систем автоматического регулирования. Наука, М., 1952.

36. Е.Д.Якубович. Экспоненциальная стабилизация линейных систем. ДАН СССР, т. 186, № I, 1969.

37. Е.Д.Якубович. О синтезе систем управления с заданной экспоненциальной оценкой переходного режима. AT, № 9, 1970.

38. В.В.Александров, В.Н.Жермоленко. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка. ВМУ. Сер.мат.,мех., № 5, 1972.39