Алгоритмы адаптации и контроля активного типа в линейных стохастических системах управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ ОД ~ 4 ДЕК 2000

Цыганова Юлия Владимировна

АЛГОРИТМЫ АДАПТАЦИИ И КОНТРОЛЯ АКТИВНОГО

ТИПА В ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск — 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Семушин И. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бутов, А. А. доктор физико-математических наук, профессор Жданов А. И.

Ведущая организация: Институт систем обработки

изобпяжвний РАН ^т', Оамара^

Защита диссертации состоится " 'И " 2000 г.

в 12- часов на заседании диссертационного Совета К 053.37.03 ь Ульяновском государственном университете, в корп. на Набережной реки Овияга, ауд, TOI.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан " " с'-г/¿.-^ 2000 г. Отзывы просим присылать по адресу. 432700, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42, научная часть.

Ученый секретарь - -w-Lj

диссертационного совета, доцент ОсЯ-'ЧтО Михеева Е. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие сложных систем обработки информации и управления, в частности, систем управления подвижными объектами в авиации, космонавтике и на флоте, стимулируется постоянным ювышением требований, прежде всего, — к характеристикам точности. )та задача особенно сложна в реальных условиях априорной неопреде-[енности и непредвиденной изменчивости характеристик моделей, в наиболее общем случае включающих: 1) собственные динамические свойс-?ва объекта, 2) характеристики исполнительных органов, 3) параметры иешних возмущений, 4) законы или режимы функционирования измерительных средств, и 5) параметры помех при измерениях. В этих усло-1иях введение адаптации и контроля функционирования системы целесо-»бразно по отношению к существенным модельным нарушениям, которые (е могут рассматриваться как простые мешающие факторы и идентификация которых позволит значительно улучшить качество системы в (елом.

В зависимости от типа первичной информации, используемой ада-[тором, различают так называемые пассивный и активный принципы ьдаптации и контроля функционирования систем. В отличии от пассив-юго, системы, построенные по активному принципу, обладают повышенная обобщенной точностью, которая обеспечена рядом достоинств: ) наличием замкнутой цепи адаптации; 2) прямой оптимизацией пара-1етров системы; 3) возможностью сравнительно простыми средствами беспечивать сильную состоятельность, эффективность и робастность |ценок оптимальных параметров системы.

Однако существующие методы и алгоритмы активной адаптации, юзработанные трудами отечественных и зарубежных ученых, могут ыть реализованы лишь при выполнении серьезных ограничений, по-кольку они требуют, чтобы полезный сигнал был доступен для текущей ценки качества системы, что в системах с зашумленными неполными змерениями вектора состояния принципиально не возможно.

В работах Семушина, и затем Хемптона, предложен оригинальный одход к применению активного принципа адаптации систем. Для систем нереализуемым исходным критерием качества этот подход заключается формировании вспомогательного функционала, который реализуем, то сть доступен для непосредственной численной минимизации, и теоре-ически достигает минимума одновременно с исходным нереализуемым функционалом качества.

Основные затруднения при реализации оптимальных процедур контроля в реальном масштабе времени вызваны априорной неопределенностью параметров системы и неизвестностью момента возникновения нарушения. В этом случае необходима разработка новых эффективных методов контроля функционирования систем.

Таким образом, развитие и разработка эффективных средств и методов адаптации и контроля функционирования стохастической системы в условиях повышенной априорной неопределенности является актуальной и важной задачей. Использование таких средств при проведении научных и других экспериментов в темпе реального времени позволит эффективно обрабатывать данные наблюдений, существенно повысив точность и надежность систем обработки информации и управления.

Цель работы. Целью диссертации является исследование методов, алгоритмов и процессов активной адаптации в стохастических системах управления, и разработка для таких систем новых эффективных методов и алгоритмов обнаружения и диагностирования нарушений.

Методы исследования. При формулировке и доказательстве теоретических результатов используется аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, элементы теории матриц и вычислительной линейной алгебры. Для получения численных результатов использован аппарат теории математической статистики и численного моделирования.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем. Применение метода вспомогательного функционала качества к решению задач активной адаптации стохастических систем с мультипликативными случайными помехами и систем линейного стохастического управления является новым. Разработанные методы вычисления логарифма функции правдоподобиямвляются новыми. Выражение для функции логарифма отношения правдоподобия в задаче диагностики нарушений в линейных стохастических системах управления является новым. Устойчивый к аномальным измерениям метод оценивания параметров линейного фильтра также является новым.

Теоретическая и практическая значимость. Научная и практическая ценность работы определяется тем, что в ней предложены эффективные методы адаптации и контроля функционирования стохастических систем управления в условиях повышенной априорной неопределенности. Полученные методы применимы в широком круге научных исследований, включая медико-биологические, аэрокосмические, социально-экономические, распознавания образов и др.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Построение вспомогательного функционала качества для систем с мультипликативными случайными помехами.

2) Исследование идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления на основе метода вспомогательного функционала качества, а также условия, определяющие наименьший объем априорной информации, при котором активная адаптация таких систем еще возможна.

3) Численно эффективные алгоритмы рекуррентного вычисления логарифма функции правдоподобия, основанные на скалярной обработке измерений в фильтре Калмана.

4) Метод обнаружения и идентификации нарушений в классе линейных стохастических систем управления в процессе фильтрации в случае, когда момент возникновения нарушения априорно неизвестен.

5) Устойчивый к аномальным измерениям метод оценивания параметров линейного фильтра в случае отсутствия модельного описания условий возникновения нарушений и повышенной априорной неопределенности характера аномальных измерений.

6) Оценка среднего объема выборки, необходимого для принятия решения по критерию Вальда, в задаче обнаружения и идентификации нарушений.

7) Решение частной задачи обнаружения нарушения в нелинейной динамической системе на основе линеаризованного фильтра Калмана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладываюсь и обсуждались на следующих форумах:

• Европейская конференция по контролю (European Control Conference ЕСС'99. Karlsruhe. Germany. 31 August-3 September 1999).

• III Европейская конференция по вычислительной математике и передовым приложениям (University of Jyväskylä. Jyväskylä. Finland. July 26-30. 1999.).

• XII Международная конференция "Проблемы теоретической кибернетики" (г. Нижний Новгород. 17-22 мая 1999 г.).

• Международная научно-техническая конференция, посвященная памяти чл.-корр. АИН РФ, д. т. н., профессора А. М. Тартаковского "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем" (г. Пенза. 25-31 мая 1998 г.).

• Международная научно-техническая конференция " Актуальные прс блемы анализа и обеспечения надежности и качества приборе» устройств и систем" (г. Пенза. 26-31 мая 1997 г.).

• V научно-практическая конференция Ульяновского государственног университета (г. Ульяновск, 1996 г.).

Личный вклад. Основные теоретические положения разработан! под руководством профессора И. В. Семушина. Доказательство пред ложений и теорем, анализ результатов, выводы из них, математическо моделирование на ЭВМ и проведение вычислительных экспериментов по лучены автором самостоятельно. Обобщенная невязка измерений и pea лизуемый процесс (Раздел 2.3.3.) получены совместно с проф. Семуши ным. Устойчивый к аномальным измерениям метод (Раздел 3.7.) разра ботан совместно с группой авторов

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, списо1 которых помещен.в конце автореферата.

ч

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четы рех глав, заключения, списка литературы из 102 наименований источни ков отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общи! объем диссертации составляет 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит аналитический обзор состояния работ в исследу емой области, обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов, здесь же определяется цель исследования, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена обзору задач теории адаптации и контроле функционирования систем. В ней сформулированы понятия адаптации v адаптивной системы, приведены основные концепции теории адаптацш (множество источников данных, множество стратегий воздействия, цел! и критерий качества функционирования). Здесь же определены и охарактеризованы пять основных принципов (байесовской, расширенной, аналитической, эталонной моделей, принцип согласования характеристик] построения адаптивных систем и методов контроля, понятия активных и пассивных методов адаптации, указана связь проблем адаптации и контроля динамических систем.

'Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин Л. В., Цыганова Ю. В. Устойчивый метод оценивания параметров линейного фильтра // Журнал "Измерительная техника". N 9. 1999. с. 19-22.

Вторая глава посвящена решению задачи активной адаптации по методу вспомогательного функционала качества для систем с мультипликативными случайными помехами и систем линейного стохастического управления.

В Разделе 2.1. приводятся теоретические основы метода вспомогательного функционала качества. Идея вспомогательного функционала качества впервые была сформулирована И. В. Семушиным2 и далее рассматривалась для частных задач.

Раздел 2.2. посвящен построению вспомогательного функционала качества для систем с мультипликативными случайными помехами.

В Разделе 2.2.1. приводится постановка задачи. Рассмотрим системы, представимые уравнениями:

a(ii+i) = [Ф + ДФ(«{)]»(*!) + Ф«М + ГЦ<0; s(tj)eRn; и>(ъ)ен.«, (1) z{u) = [я-fДЯ(»,-)М*.-)+«(*.■); » = 1,2,...; z(ti)EKm, (2)

где {tt/(iо), ...}, {i;(fi),i/(i2), •. •} —независимые белые последовательности с нулевыми математическими ожиданиями и неизвестными ко-вариациями Q, Л, a ДФ^), АН(tl+\) — случайные стационарные процессы типа белого шума с нулевым средним значением и ограниченными неизвестными ковариациями соу(ДФ) , соv(AH) соответственно. В этих условиях неопределенности проблема адаптивной фильтрации состоит в получении оптимальных оценок вектора a:(ti).

Предположим, что система является полностью наблюдаемой.

Пусть x(tf) — линейная оценка значения x(t,), основанная на множестве измерений Z(ti,ti) = [z{ti)\z(t2)\..-\z(ti)]T, полученных от си-:темы (1), (2), e{tf) — x(t,) - x{tf) — ошибка оценивания. Качество фильтрации задается функционалом \

= E{eT(tt)e(tf)}, * = 1,2,.... (3)

>

Если значения параметров — матриц Q, R, соу(ДФ) , cov(AЯ) й Г точно известны, для системы (1), (2) существует оптимальный стацио-1арный фильтр3.

2 Сему шин И. В. Использование активного принципа фильтрации нестационарных случайных гроцессов. // Сб. тез. докл. III НТК. Новгород: Новгородский филиал ЛЭТИ им. В. И. Улья-юва (Ленина). 1968. С. 64.

3Hampton R. L. Т. On unknown state-dependent noise, modeling errors, and adaptive filtering. // iomput. & Elect. Engng. 1975. V. 2, P. 195-201.

В условиях априорной неопределенности вышеуказанных параметров системы субоптимальные оценки x{tf) вектора состояния x(t;) получаются в форме уравнений:

u{ti) = z{ti)-Hx{t-), x(tr) = <f>x(tU) + ®u(ii_1),

где i — 1,2,..., а К обозначает матрицу передачи субоптимальногс стационарного фильтра.

Минимум (3) достигается тогда и только тогда, когда x(tf) совпадает с x(tf), полученной от оптимального фильтра, а К совпадает с К opt ■ Однако вести адаптивное оценивание матрицы Kopi, зависящей от неизвестных параметров Г, Q , Я, соу(ДФ) , соу(ДЯ) , непосредственно по исходному функционалу (3) невозможно, так как ошибка e(f+) недоступна регистрации. Это обстоятельство приводит к задаче выполнения указанного оценивания по минимуму некоторого вспомогательного функционала, зависящего лишь от наблюдаемых процессов u(i,-) и z(ti).

. В Разделе 2.2.2. осуществляется построение вспомогательного функционала качества. Определим реализуемый процесс e(i,) в виде:

с(Ь) = Ф- (4)

где А+ = (АТА)~1АТ — псевдообратная матрица, А — матрица наблюдаемости системы (1), (2), if) —обобщенный вектор измерений, Z(ti^n+i,ti) — обобщенный вектор оценки измерений. Теорема 2.1. Минимум вспомогательного функционала качества Ja(ti) = E{e-r(t,)e(ii)} от наблюдаемого процесса (4) в каждый момент времени ti (где г = n +1,n-f 2,...) является необходимым и достаточным условием оптимальности установившегося фильтра, т. е. условием выполнения равенства К = Kopt •

Доказательство основано на получении равенства •/"(£,■) = J°{h) + C(ti), где величина C(t,) не зависит от параметров фильтра.

В Разделе 2.2.4. строится алгоритм адаптации, для минимизации построенного функционала используется алгоритм стохастической аппроксимации, получены векторные функции чувствительности процесса x{tf_n) относительно компонент матрицы К.

Раздел 2.3. посвящен исследованию идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления, рассматривается вопрос о том наименьшем объеме априорной информации, при котором активная адаптация для таких систем еще возможна.

В Разделе 2.3.1. приводится постановка задачи. Пусть источник .нных задан п-мерной стохастической дискретной моделью

x(ti+1) = Фx{ti) + Фti(i,-) + rw(ii); «(ii) € Rr, w(ij) G К«, (5) z{U) = Яг(<() + «((,); *(*,•) €Rra, (6) •

e w{ti) ~ ЛГ(0, Q), t>(fi+1) ~ N(0,R), x(tQ) ~ Af(x0,P0). Величины '£,), t>(f1+1), a:(i0) независимы. Предположим, что структура модели ¡екватна, однако определяющие ее матрицы Ф, Ф, Г, Q, Я, R, и Р0 >гут отличаться от своих номинальных значений Ф, Ф, Г, Q, Н, Д,

Ра-

Целью функционирования объекта является минимум критерия: Г = .Jim Е{\xT(tN+l)Xjx(tN+1) + £ •) +

(7)

гсть матрицы Ф, Ф, Г, Q, Н, It описания (5), (6) и матрицы Xj, , Vu критерия (7) не зависят от времени. В этих условиях требуется ределить, при каком наименьшем объеме априорной информации ак-¡вная адаптация канала обратной связи осуществима и обеспечивает одимость адаптивного управления к стационарному оптимальному сто-стическому управлению. Примем предположения (для краткости знак тильды опускается):

1 Д>0, Р0>0 и Г<2ГТ>0.

2 Пара матриц (Ф, Ste), где SWS^ = TQTT, стабилизируемая, а пара матриц (Ф,#) —полностью наблюдаемая. Последнее означает, что

rank V(H, Ф, s) = п, s — maх(рьр2, - • • ,Рт) < Pi +Р2 + • • • + Рт ~ п, Pj = rankF(ftj,$,n), j = l,2,...,m

где hj — j-ая строка матрицы И и V(P,F,k) определяется как

V(P,F, к) = [PT|(PF)T|... |(PFfc_1)r]T

для любых матриц Р и F соответствующих размерностей, к> 1.

J Все частные индексы наблюдаемости pj постоянны и известны.

1 Vu > О, X} > О, и X > 0, где V„, Xf, и X известны из (7).

5 Пара матриц (Ф,Ф) — полностью управляема, т. е., rank КГ(ФТ, Фт, п) = п, а пара матриц (Ф,5Х), где SXS% = X, детектируема.

Известно, что для системы'(5), (6) при оптимизации управления п< минимуму критерия (7) справедлив принцип разделения: в канапе обрат ной связи модель источника данных (фильтр КалМана) рассчитываета независимо от регулятора, характеризуемого матрицей отрицатель ной обратной связи.

В силу неопределенности параметров модели обратную связ: можно построить путем последовательного подключения субоптималь ного фильтра и произвольного регулятора с заранее выбранной функцией

Добавим к А1-А5 предположение об экспоненциальной устойчивост! 2гг-мерной системы для составного вектора [х(1,),х(1~)]т, где —

экстраполированная оценка для .

Пусть в составе обратной связи (7) требуется идентификация филь тра, оптимального по критерию минимума исходного функционала каче ства в одной из двух равносильных форм (1) и (2):

с областью определения, состоящей из всех возможных оценок предска зания £е5т(^) либо фильтрации ХЕвт№) вектора состояния х(£,), гд| е(£~) = я(^) — хезт^Т) > е(^) = х(и) — ХЕвт^) — ошибки предсказание и фильтрации, матрица IV > 0.

В Разделе 2.3.2. определяются канонические уравнения источник; данных. Введем в рассмотрение неособую матрицу наблюдаемости раз

мерности (п х тг) Т = [Ь?... (Л^'-1)7] (ЛтФр"-г)Г]г и кано

нические переменные х„ — Тх в инвариантном описании измерений. I этом, получаемом из (5) и (6), представлении отметим индексом * новы матрицы и вектор:

Ф, = ГФТ~\ Ф,=ТФ, Г, = ТГ, Н, = НТ~1 и (10

где Нг = [/г* ] — матрица размерности (та X тг), в которой Щ = 1 пр] 3 = Р1 +Р2 + • • • 4-^-1 + 1 и Ь,у = 0 при других ]. Ф» — блочная со провождающая матрица. Аналогичное преобразование базиса проведет в уравнениях фильтра Калмана.

В Разделе 2.3.3. вводятся вспомогательные преобразования матриг Определение 2.1. Пусть А — матрица размерности (те х к), к > 1 составленная из в подматриц, в каждой из которых тп строк и к столб цов. Обозначим У-ую строку г-ой подматрицы как а* и переставим вс

и(*0=/г[я(*,*)].

3{ = Ит

,;->—оо 2—оо

¿-»-оо

(8 (9

Tis строк так, чтобы сформировать новую (s х km) матрицу

■а\ ... аГ' Лт= ■ ' •. I а\ ...

Гогда </>-преобразованием матрицы А называется матрица <р(Л) размер-гости (пхк), п строк которой получают, выбирая их из Ат в следующем юрядке: а|, а\,..., alpi, а?,...,а^,..., а?, а^,..., а™ .

В Разделах 2.3.4., 2.3.5., 2.3.6. определяется оптимальная и адаптив-1ая модель, обобщенная невязка системы, строится вспомогательный функционал качества.

Рассмотрим стандартную наблюдаемую форму фильтра Калмана j качестве оптимальной модели Ш(0.) системы (5)-(б), где 0* = 'Ф«,Ф*,G„) или 6, = (Ф„,Ф„,К*) — модельный параметр, подлежащий гдентификации (G, — К» — оптимальный коэффициент усиле-

шя). Адаптивную модель ЙЯ(©„) запишем в виде:

<?(*Г+1) = Ag{tT) + Ви(Ь) +Cti(ti) = Ag(tf) + Bu{U), (11) g(tt) = g(t7) + D^t,), С — AD, (12)

z{t,) = Htg{tj) + rjiti), (13)

ще О* = (А, В, С) или ©» = (A,B,D) — оценка параметра 0», А анало-'ична по структуре матрице Ф», В, С, D соответствуют Ф,, G*, Kt. Модель ограничим условиями невырожденности (|А\ ф 0) и экспоненци-ьльной устойчивости: р[А — СН,} < 1, и для к = 1,2,..., s запишем

. 9(Ф = Лд(^£\) + Bu(tt^), 2(ф = H.gfök), (14)

'Де 9(i,r+i) = g(tT+1) •

> Определим реализуемый процесс в виде:

e(f,-) = e(tr+1) = £(tf) = v[Z{ti-s+uti) - *,•)]■ (15)

В зависимости от набора неизвестных элементов составного модель-гого параметра 0, будем рассматривать четыре степени априорной не-шределенности системы (5)-(6), которые обозначены в Таблице 1. Георема 2.2. Минимум вспомогательного функционала качества, заданного в форме Ja = lim E{£T(ii)e(i{)|2'(ij,ii)}, от наблюдаемого про-j—00

iесса (15)

Таблица 1.

Степень априор. неоп-ти Исходная система (МН1.2) Опт. модель ЭЛ(0.) Адап, модель а«(в.)

извест. эл-ты неизв. эл-ты параметр в извест. эл-ты параметр 0. параметр е.

1 Ф, Ф, Я г, Я, Я С г, К ф„ ф„ я. С.; Я. с-о

2 Ф, я Ф, г, я, Я Ф, К; Ф „я. Ф„С. Ф„ я. А, С; Л, Г)

3 Ф, я Ф, г, я, Я Ф, к- Ф.,Я. Ф„ К. В, С; В, V

4.а Ф, Я Ф, Г, Я, д Ф Ф, К; я. Ф„ Ф„ б. Ф„ ф., я. А, В, С; А, В, И

4.Ь н ф, ф, г, я,п Ф, «,<?,; «, Ф, К\ Я, ф„ ф„ с. Ф., ф„ я. А, В, С; Л, В, Б

4.с Я, Ф,Ф, г, Я, Я Я, Я, Ф, Ф, К"; я. ф„ ф„ с, ф„ ф., А'. А, Я, С; Л, Я,

1) по модельному параметру 0, = С, или в* = В, в (11)-(15) при А = Ф* и В — Ф, в замкнутой системе (5)-(7) с присоединенной моделью (11)-(13) (первая степень априорной неопределенности)

2) по модельному параметру в* = (А, С), или 0» = (А, В), в (11)~ (15) при В — Ф, в замкнутой системе (5)-(7) с присоединенной моделью (11)-(13) (вторая степень априорной неопределенности)

3) по модельному параметру О, = (В, С), или 0* = (В,й), е (11)-(15) при А= Ф* в разомкнутой системе (5), (6) с = £(4;), где £(£;)

— белая (тестовая) последовательность, не зависящая от {«>(£»)}) {*>(£,)} (третья степень априорной неопределенности),

4) по модельному параметру 0* — (А,В,С), или 0» = (А,В,О), в (11)-(15) в разомкнутой системе (5), (6) с и(Ь,) = £(£;), где £(£;)

— белая (тестовая) последовательность, не зависящая от {«;(£,)},

(четвертая степень априорной неопределенности),

является необходимым и достаточным условием минимума (8) или (9).

Теорема позволяет строить различные по сложности, но эквивалентные по существу схемы адаптации модели Ш1(0„). В них по завершении минимизации критерия «7° появляется возможность возврата в базис физических переменных в идентифицированном оптимальном фильтре, для каждой из четырех степеней априорной неопределенности. Следующее следствие определяет условия идентифицируемости для высшей степени априорной неопределенности.

Следствие 2.5.[Случай 4.с] Пусть матрица наблюдаемости Т определена аналитически как известная функция Т = T(a,ß) неизвестных идентифицируемых элементов а = (ац,..., адг,) переходной матрицы Ф = Ф(а) и неизвестных элементов ß = (ßi,... ,Pn2) матрицы Н — H(ß), а матрица Ф известна как функция Ф = Ф(7) неизвестных идентифицируемых элементов 7 = (71,... ,7дг,) системы (5), (6), где N1 < тп, iV2 < N3 < пг. Пусть матрица Ф, = ТФТ'1 определена как известная функция элементов а, а именно: Ф, = Ф„ (</?»), где вектор ipt = (ipl,...,tp*Nt) составлен из JV4 неизвестных элементов матрицы Ф* (0 < N\ < N4 < тп), причем вид зависимости ;р* = /(а) определен, где /(•) — непрерывная функция своих аргументов, по которой для каждого элемента а определена обратная зависимость а = /-1(<р»), матрица Ф* = ТФ определена как известная функция набора элементов (а,ß,j), а именно: Ф» = , где вектор rpt — (ф^,..., ф*^) составлен из N5 неизвестных элементов матрицы Ф* (О < N2 + N3 < N5 < nr), причем вид зависимости ф* = g{a,ß,7) определен, где <?(•,•>•) — непрерывная функция своих аргументов. При а = /_1(у5*) Ф* = g{f~l{<P*),ß,i) = 9i(ß,l) = 9i(S), где 5 = {ß,f), и для каждого элемента S определена обратная зависимость 5 — Я\1{ф*). Тогда, так как T(a,ß) пе зависит от 7, то можно записать Т = T(f~l((p,.),gil(rpt)), и при минимуме критерия J" в условиях теоремы 2.2. с необходимостью и достаточностью выполняются равенства: а = ipt, Ъ = ф*,

Т-1(/-1(«),?Г1(Ь))АТ-1(/-1(а),дГ1(&)) = Ф,

Т-\Г»,9^{Ъ))В = Ф, Н,Т{Г\а),аТ\Ь)) = Я, Т-\Г\а),д?{Ъ))С = Gf, T-h{f-l{a),gT\b))D = К,

Т-ЧГЧ^д^ЧЪМЪ) = 4t-); T-\f-4a),g?[b))g{tt) = Z(tf),

где а и b — элементы матриц А и В, настроенные на этот минимум.

В Разделе 2.3.8. описывается взаимодействие адаптора с каналом эбратной связи. .

В Разделе 2.3.9. приводится алгоритм идентификации оптимальной модели типа стохастической аппроксимации и оптимальный по Цыпкину алгоритм, строятся векторные функции чувствительности процесса е(£;) этносительно компонент параметра 0*(f,).

Третья глава посвящена решению задач контроля параметров линей-яых стохастических систем управления.

В Разделах 3.1., 3.2. приводится постановка задачи и формулируется

последовательное решающее правило для обнаружения нарушений.

Рассмотрим источник данных, представимый в виде линейной дш мической системы, свойства которой в произвольные моменты врем« могут изменяться. В результате каждого такого нарушения систе переходит на новый локально стационарный режим функционирован: описываемый следующими уравнениями:

х{г,+1) = Фкх{и) + Вки(и) + х(и) € К",и>(Ь-) € И5, (:

г{и) = Н&{и)+х(иу, г{ъ)евг, (:

п(и) ~ у(и+1) ~ Щ0,1п), яс(*о) ~ Щ4,Ро), величи

ги(^), , х(£о) независимы, & — номер локально стационарнс

режима (к = О,..., И). Будем рассматривать нарушения как пе ключение источников данных, характеризуемых наборами матриц Фк{Ь+ии),В = Вк(Ь),Т = Г\(£;),Н = ад)}, соответствующими ги: тезе , = 0,...,./V). В этих условиях необходимо определить, ка] из гипотез верна при переходе системы на новый локально стационарн режим.

Решение этой задачи можно получить, пользуясь последовательн критерием отношения вероятностей Вальда, при этом на каждом ш; необходимо вычислять и сравнивать с критическими порогами значе] функции логарифма отношения правдоподобия

Ыи) = \kiti-i) + Цк{и~1), ¿>1,

Ш = ь +¿КсдаЧ'.-М*.-) - (

где I'к(и) — невязка измерений, а £*(£;) — ее ковариационная матри которые получаются в N +1 фильтре Калмана , каждый из кот07 оптимален в расчете на свою гипотезу %, (к = 0,..., N).

В Разделе 3.3. предлагается эффективный способ вычисления лс рифма функции правдоподобия, позволяющий получать значение непосредственно в терминах фильтра Калмана.

Теорема 3.1. Пусть матрица представлена совокупное

своих строк, а вектор представлен множеством своих элемею

нТ{и] « [ (Лру ... (/4т)г ], Л*.-) = [ 41} • • • 4п) ].

где — к -ал строка размерности (1 х п), п = <1ш1х(1(-). Тс слагаемые 1п|Е(£;)| и в выражении (18) могут 61

вычислены с помощью скалярной обработки измерений по следующему алгоритму:

I. Положить Щ = х{ь;); Р? = Р(^) / = 0; Д? = 0 ; II. Для к = 1,2,... ,т вычислить

ак = + К=

Ж

4fc) = e-1]+baki

III. Выдать результат iyT(t¡)E= д|т); ln(|E(í¡)|) =

IV. Конец.

В Разделе 3.4. проводится детальный сравнительный анализ пяти ковариационных алгоритмов фильтрации с точки зрения вычислительной сложности и точности. Затем на основе предложенного в Разделе 3.3. метода и представлении ковариационной матрицы ошибки фильтрации в виде P(tf) = L(tf)LT(tf), P{tf) = L{tf)D{tf)LT(tf), P{tf) = S(tf)ST(tf) строятся устойчивые алгоритмы вычисления логарифма функции правдоподобия. Доказываются три предложения, содержащие соответствующие алгоритмы.

В Разделе 3.5. получена оценка среднего объема выборки, необходимого для принятия решения по критерию Вальда в задаче обнаружения нарушений.

Предположим, что параметры системы (16), (17) не зависят от времени (т. е. = « *, Hk(t¡) = Ни, ВД) = Вк, ВД-) - Tfc).

Пусть Ng — средний объем выборки, необходимый для достижения любого из порогов с момента начала теста в предположении, что верна гипотеза 7Íq , ÑA — средний объем выборки, необходимый для перемещения от нижнего порога В к верхнему порогу А, когда истинной становится гипотеза . Тогда Ñq — [alnA + (1 — a) ln B]¡fi(¡

Ы/2

я Йд = рпА - ЪВУци где м == Ь^р + ¿{.£(44) ~ т}'

11/2 1 ( ^ ^ и° ='1п + 2(те ~ .^44} • Здесь Е*1 = [4], — ковариа-

дионная матрица невязки измерений в оптимальном фильтре; Ё* = [а,*] — фактическая корреляционная матрица невязки измерений (к = 0,1).

Матрицы ¿к находятся из системы разностных уравнений чувствител! ности фильтра Калмана к ошибочному описанию модели системы.

В Разделе 3.6. предлагается метод обнаружения и идентификаци параметрических изменений в модели объекта в классе линейных стохг стических систем управления. Полученное правило позволяет принят решение на фиксированном (включающем N элементов) множестве знг чений функций отношения правдоподобия в случае, когда момент во: никновения нарушения априорно неизвестен.

В Разделе 3.6.2. проводятся основные выкладки для системы с двум возможными режимами функционирования (I = 0,1). Затем в Ра; деле 3.6.3. полученные результаты обобщаются на случай N возможны нарушений.

Предложение 3.5. Отношение функций правдоподобия определяете следующим выражением:

- , где (15

г Ь=1

1, если г < к

|£°(*;)11/2

иначе.

(2С

В формуле (20) ^[(4,) — обновляющий вектор, вычисляемый в £,-й мс мент времени фильтром Калмана , подключенным в момент времен ¿д, и уравнения которого построены с использованием 1-го набора мг триц параметров Ф/(г1+1,, Г/(г<), Щи).

В этом случае общее решение задачи запишем следующим образом

1. Если V/: А,(^) < В, тест прекращают с выбором гипотезы Но.

2. Если 3р : V/ ф р Хр(и) > А и Ци) < В, тест прекращают с выбором гипотезы Нр.

3. Если VI: В < А¡(и) < А, (2] тест продолжают для момента времени ¿¡+1.

4. Если найдутся такие р и п,что А„(£;) > А и Ар(^) > А, тест прекращают с выбором гипотезы, для которой значение функции отношения правдоподобия максимально.

В Разделе 3.7. получен устойчивый к аномальным измерениям мет О/ в случае отсутствия модельного описания условий возникновения нарз

1ении и повышенной априорнои неопределенности характера аномаль-ых измерений. Предположим, в совокупной выборке измерений кроме ормальных измерений с матрицей ковариации шума 7£°(£,) будут с от-ичной от нуля вероятностью присутствовать аномальные измерения с ¡атрицей ковариации Л}(к) и высокоточные измерения с минимальной ашумленностью, характеризующиеся ковариационной матрицей .

Устойчивый алгоритм линейной фильтрации запишем следующим бразом (£,• —• текущий момент времени (г > с), где с — число ите-аций, в течении которых формируется оценка фактической ковариации евязки (с > тп)):

I. Найти в момент времени и = — .

I. Вычислить Р(«,~) = ФР(^_1)ФГ + <Э .

I. Найти расчетную ковариационную матрицу невязки измерения Т. Определить оценку среднего значения функции рассогласования

к — Д-1 + - ^-ОА •

I. Вычислить значения сигнальной функции з,-:

1. Если > Д2, в; = 1,

2. Если ¿{ < Ль в; = 1,

3. Если Л1 < <5,- < Д2, в, = О,

где Д^Дг —пороговые значения.

I. Найти оценку фактической ковариационной матрицы невязки изме-— Iе-1 рения Е/(£0 = - Е НЬ-*)" (¿з-д-с ]=0

I. Вычислить оптимальную матрицу усиления ;

Р{1-)НТЪ~Ж), если 5; = О,

| P(t-)H%%), если S{ n[ i) ~ \ РЦ-)НТЪ]%), иначе.

[. Определить P(tf) = (I - К(и)Н)Р{%). Найти оценку ковариационной матрицы шума измерений

р/М _ / (Кт(и)К(и)У1Кт(и)Р(4)Нт, если в,- = О, Щ {) ~ \ Ä(t,-_i), иначе.

Вычислить x{tf) = £{t~) + K(ti)v{ti). L Найти x{t~+1) = $x(tf) + Bu(ti).

Приведенные вычисления повторяют с поступлением следующего измер< ния в момент времени t1+i.

В Разделе 3.8. для решения задачи контроля в нелинейных динам» ческих системах получено отношение правдоподобия на основе линеар! зованного фильтра Калмана.

В Главе IV проведен экспериментальный модельный анализ основны теоретических результатов, полученных в Главах 2 и 3.

В Заключении сформулированы полученные результаты и сделанны на их основании выводы. Указаны вопросы, которые могут являтьс предметом дальнейших исследований.

В Приложения вынесены числовые и графические результаты прове денных экспериментов, а также результаты сравнительного анализа п Разделу 3.4.1.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руковс дителю, профессору И. В. Семушину.

Работы автора по теме диссертации

[1] Цыганова Ю. В. Последовательные алгоритмы наименьших кве дратов и статистического оценивания // Сб. статей " Фундаменталл ные проблемы математики и механики". Вып. 1. Ульяновск: УлГ^у 1996. С. 127-133.

[2] Цыганова Ю. В. Разработка программных средств моделировани и исследования стохастических систем оптимальной дискретно фильтрации // Сб. статей "Фундаментальные проблемы математик и механики". Вып. 3. Ульяновск: УлГУ. 1997. С. 88-97.

[3] Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин Л. В., Цыганова Ю. В. Диагностика нарушений в моделях линейных стохастических систе1 в процессе фильтрации // Сб. докл. МНТК "Актуальные проблем! анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройст и систем". — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1997. С. 20-21.

[4] Сковиков А. Г., Калинин Л. В., Цыганова Ю. В. Устойчивый метод оценивания параметров линейного фильтра // Сб. дою МНТК "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности качества приборов, устройств и систем". — Пенза: Изд-во Пенз. rot техн. ун-та, 1998. С. 276-278.

5] Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин JI. В., Цыганова Ю. В. Коррекция параметров линейного фильтра в условиях аномалий ко-вариации шума измерений // Сб. докл. МНТК "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем". — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1998.

р 07q_001

W . М • V «их.

3] Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин Л. В., Цыганова Ю. В. Устойчивый алгоритм рекуррентной обработки данных линейной фильтрации // Сб. докл. МНТК "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем". — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1998. С. 281-283.

71 Т.7"-_________ И П П \ T-V тт______т*-. тл

ij lllWijiiiiiii vi. Lj.y V^KObiiKOb /1. JL L_i 11! 1 111 K> IS (I 1 . JL).

Обнаружение факта нарушения в известный момент времени в нелинейных динамических системах с гауссоппкими шумами / / ПЛ. дпкл, МНТК "Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем". — Пенза: Изп-no Пенп. гос.. техн. ун-та, 1998. С. 283-284.

!] Цыганова Ю. В. Идентификация неизвестных параметров в сто-

дельными погрешностями. // Проблемы теоретической кибернетики. Тез. докл. XII международной конференции, ('Нижний Новгород. 17-22 мая 1999 г.). Часть II. — М.: Изд-во МГУ] 1S99. С. 239. i] Semoushin f. V., Tsyganova J. V. Indirect Error Control for Adaptive Filtering // Book of Abstracts. The Third European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications. University of Jyvaskyla. Jyvaskyla. Finland. July 26-30. 1999. pp. 41-42. i] Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Auxiliary Performance Functional Approach to Adaptive and Learning Filtering and Control // Conference Proceedings of European Control Conference ECC'99. Karlsruhe. Germany. 31 August-3 September 1999.

] Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин Л. В., Цыганова Ю. В. Устойчивый метод оценивания параметров линейного фильтра // Измерительная техника. N 9. 1999. с. 19-22.

] Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Indirect Error Control for Adaptive Filtering // Proceedings of the Third European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications. ENUMATH'99. Jyvaskyla. Finland. July 26-30 1999. P. 333-340. World Scientific. Singapore 2000.

Введение

Глава 1. Задачи и методы теории адаптации и контроля динамических систем

1.1. Адаптивные системы.

1.1.1. Понятие адаптации и адаптивной системы.

1.1.2. Основные концепции

1.2. Обобщенные принципы адаптации

1.2.1. Байесовская модель.

1.2.2. Расширенная модель

1.2.3. Аналитическая модель.

1.2.4. Эталонная модель.

1.2.5. Согласование характеристик.

1.3. Связь проблем адаптации и контроля.

1.4. Обобщенная классификация концепций контроля.

1.4.1. Байесовский подход к решению задачи контроля.

1.4.2. Контроль по принципу расширенной модели

1.4.3. Контроль по принципу аналитической модели.

1.4.4. Контроль по принципу эталонной модели.

1.4.5. Контроль по принципу согласования характеристик.

1.5. Алгоритмы адаптации и контроля

1.6. Пассивный и активный принципы адаптации и контроля.

Глава 2. Решение задач адаптации систем оценки и управления методом вспомогательного функционала качества

2.1. Осуществление активной адаптации

2.2. Адаптивная фильтрация в системах управления с мультипликативными случайными помехами

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Построение вспомогательного функционала качества.

2.2.3. Алгоритм адаптации.

2.3. Исследование идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления.

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Канонические уравнения источника данных.

2.3.3. Вспомогательные преобразования матриц.

2.3.4. Множество моделей и вспомогательный функционал.

2.3.5. Обобщенная невязка системы.

2.3.6. Идентифицируемость оптимальной модели

2.3.7. Схемы адаптера для канала обратной связи.

2.3.8. Взаимодействие адаптора с каналом обратной связи.

2.3.9. Алгоритмы идентификации

Глава 3. Решение задач контроля параметров линейных стохастических систем управления

3.1. Постановка задачи

3.2. Последовательное решающее правило для обнаружения нарушений.

3.3. Эффективный метод вычисления функции отношения правдоподобия

3.4. Применение устойчивых алгоритмов оптимальной фильтрации в задачах контроля

3.4.1. Сравнительный анализ эффективности устойчивых ковариационных алгоритмов.

3.4.2. Применение устойчивых алгоритмов фильтрации при вычислении функции отношения правдоподобия.

3.5. Оценка среднего объема выборки для принятия решения с помощью последовательного решающего правила.

3.6. Диагностика нарушений в моделях линейных стохастических систем в процессе фильтрации.

3.6.1. Постановка задачи

3.6.2. Обнаружение факта нарушения в функционировании системы

3.6.3. Обнаружение и идентификация характера происходящих в системе изменений.

3.7. Устойчивый метод оценивания параметров линейного фильтра.

3.7.1. Постановка задачи

3.7.2. Коррекция коэффициента усиления фильтра и вычисление оценки ковариационной матрицы шума измерений.

3.7.3. Обнаружение изменения ковариации шума измерений.

3.7.4. Устойчивый алгоритм рекуррентной обработки данных.

3.8. Обнаружение нарушений в нелинейных динамических системах с использованием линеаризованного фильтра Калмана

Глава 4. Математическое моделирование и вычислительные эксперименты

4.1. Адаптивная фильтрация в замкнутой системе управления с неизвестными ковариациями шумов.

4.2. Использование алгоритмов контроля в задачах обнаружения нарушений

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Обнаружение нарушения в функционировании системы (момент нарушения априорно известен).

4.2.3. Обнаружение нарушения в функционировании системы (момент нарушения априорно неизвестен).

4.2.4. Оценка среднего объема выборки для принятия решения.

Развитие сложных систем обработки информации и управления, в частности, систем управления подвижными объектами в авиации, космонавтике и на флоте, стимулируется постоянным повышением требований к характеристикам точности. Эта задача особенно сложна в реальных условиях априорной неопределенности и непредвиденной изменчивости характеристик моделей, в наиболее общем случае включающих: (1) собственные динамические свойства объекта, (2) характеристики исполнительных органов, (3) параметры внешних возмущений, (4) законы или режимы функционирования измерительных средств, и (5) параметры помех при измерениях.

В этих условиях введение адаптации и контроля функционирования системы целесообразно по отношению к существенным модельным нарушениям, которые не могут рассматриваться как простые мешающие факторы и идентификация которых позволит значительно улучшить качество системы в целом.

Для описания многих стохастических объектов исследования целесообразным является введение так называемого локально стационарного режима. Такой режим может возникать в периоды неизменности или пренебрежительно малой изменчивости условий, определяющих модель реальной обстановки, модель процесса функционирования объекта и модель измерительного канала. С другой стороны, предполагаются возможными непредсказуемые сравнительно быстрые (по отношению к длительности сохранения локально стационарного режима) изменения этих условий. В дальнейшем такие изменения, заканчивающиеся установлением нового локально стационарного режима, будем называть нарушениями. Под термином возможное нарушение ниже будем понимать вероятное нарушение априорных предположений и условий, обеспечивающих оптимальность процесса обработки данных, т. е. ухудшение качества получаемых результатов. При этом сам объект представляется как некоторая стохастическая система, способная функционировать в конечном множестве локально стационарных режимов с заранее выбранными моделями.

Подобные представления применимы в широком круге научных исследований, включая медико-биологические, аэрокосмические, геофизические, сейсмологические, социально-экономические, химико-технологические, в области ядерной физики, распознавания образов и др. Они характерны и для большого числа технических задач. Часто модели, описывающие различные локально стационарные режимы функционирования, линеаризуются. В этом случае эффективные решения достигаются с применением аппарата и методов теории фильтрации Калмана, непосредственно ориентированных на использование ЭВМ.

Таким образом, развитие и разработка эффективных средств и методов адаптации стохастической системы в условиях повышенной априорной неопределенности, а также контроля ее выходных данных с целью определения моментов перехода этой системы из одного локально стационарного режима функционирования в другой является актуальной и важной задачей. Использование таких средств при проведении, научных и других экспериментов в темпе реального времени позволит эффективно обрабатывать данные наблюдений, существенно повысив точность и надежность систем обработки информации и управления.

Понятие адаптивных систем естественным образом связывается с решением проблемы преодоления неопределенности моделей, которая начиная с фундаментальных работ А. А. Фельдбаума по дуальному управлению, постоянно находится в центре внимания специалистов.

Для определенности, под адаптивными системами в дальнейшем будем понимать автоматические системы, способные воспринимать текущую информацию, анализировать и использовать ее для такого изменения своих параметров и структуры, а возможно, и управляющих воздействий, при котором достигается желаемое или оптимальное качество работы при недостаточности начальной информации и непредвиденной изменчивости характеристик, составляющих модель реальных условий и процесса функционирования.

Согласно принятому определению, в адаптивной системе текущая информация по необходимости воспринимается, анализируется и используется для целенаправленного изменения системы. Следовательно, адаптивность далее понимается как соединение трех функций системы: идентификация модели реальных условий и процесса функционирования; принятие решения о появлении или отсутствии изменений неизвестных характеристик; модификация системы. Не всегда эти функции распадаются на отдельные процессы, но фактически они рассматриваются как присущие любой адаптивной системе. Иногда идентификация не отделяется от модификации, поэтому между этими двумя процессами, происходящими в адаптивной системе, в данной работе не делается принципиальных различий. Такой двуединый процесс изменения, следуя [94], будем называть просто адаптацией, а принятие решения — контролем.

В зависимости от типа первичной информации, используемой адаптором, различают так называемые пассивный и активный принципы адаптации и контроля функционирования систем. Согласно первому из них, роль первичной информации для адаптора исполняют статистические оценки неизвестных характеристик, определяемые в разомкнутой цепи, т. е. без слежения за фактическим уровнем качества системы. Основные задачи такого типа, рассмотренные в работах Андерсона, Мехры, Карева, Челпанова и других, предполагают подстановку этих оценок (вместо точных значений) в уравнения оптимальности параметров системы и решение этих, обычно сложных, уравнений, вид которых специфичен для каждого конкретного случая системы и вывод которых возможен лишь в классе линейных систем.

Второй из указанных принципов — активный — в роли информации для адаптора используют фактическую величину отклонения показателя качества от его желаемого, либо оптимального значения.

Повышенная обобщенная точность таких систем обеспечена рядом достоинств: 1) наличием замкнутой цепи адаптации; 2) прямой оптимизацией параметров системы, минуя оценку характеристик исходных моделей, причем не для средних по ансамблю условий функционирования, а для их конкретной, текущей реализации, и 3) возможностью сравнительно простыми, единообразными даже для нелинейных систем, средствами обеспечивать такие важные свойства оценок оптимальных параметров системы как сильная состоятельность, эффективность и робастность.

Однако существующие методы и алгоритмы активной адаптации, разработанные после пионерских работ Марголиса и Леондеса трудами А. А. Красовского, Евланова, Петрова, Казакова, Рутковского, Ядыкина, Солодовникова, Эйкхоффа, Льюнга, Ландау и многих других, требуют, чтобы полезный сигнал (состояния системы) был доступен для текущей оценки качества системы. Очевидно, что в системах наблюдения и управления с зашумленными неполными измерениями вектора состояния это принципиально не возможно. Вследствие этого активная адаптация таких систем могла быть реализована лишь при выполнении серьезных ограничений. Так, в работах Горского, Цыпкина, Са-ридиса, Каминскаса и других требовалось точное знание корреляционных функций либо сигнала, либо помехи; либо полное игнорирование помех при измерениях, то есть точное измерение всех компонент вектора состояния. Невыполнение этих жестких требований известных работ приводит к неизбежной смещенности оценок оптимальных значений параметров системы. При этом, как справедливо отмечает Л. Льюнг [39], "досадно не наличие смещения, а его неопределенность, зависимость от экспериментальных условий", которые как раз и неизвестны. Это обстоятельство сводит на нет ценность предложений по компенсации смещения или по замене критерия ошибки фильтрации критерием невязки измерений, лишает оценки и управление необходимых гарантий высокой точности.

В работах Семушина, Понырко [54], [55], [56], и затем Хемптона [90] предложен оригинальный подход к применению активного принципа адаптации систем. Для систем с нереализуемым исходным критерием качества этот подход заключается в формировании вспомогательного функционала, который реализуем, то есть доступен для непосредственной численной минимизации, и теоретически достигает минимума одновременно с исходным нереализуемым функционалом качества.

Для решения задач контроля функционирования динамических систем целесообразно использовать математические методы обнаружения изменений свойств случайных процессов.

Впервые подобная проблема была поставлена Е. С. Пейджем в 1954 г. в работе [52]. При этом задача обнаружения изменения среднего значения последовательности независимых случайных величин решалась в рамках классической теории различения гипотез с использованием критерия кумулятивных сумм. Позднее появилось значительное количество работ, в которых проблема обнаружения изменений свойств случайных процессов рассматривалась в других постановках и решалась другими методами. Среди прочих выделяется важная в теоретическом плане "задача о разладке", предложенная российским ученым А. Н. Ширяевым. Метод позднее был развит в самостоятельное направление оптимальной остановки наблюдений.

Основное затруднение при реализации оптимальных процедур контроля в реальном масштабе времени вызвано неизвестностью момента возникновения нарушения. В этом случае необходимо подозревать каждый момент времени как момент возможного нарушения. Поэтому число проверяемых гипотез теоретически должно прогрессивно расти со временем, что делает такой подход строго нереализуемым (из-за ограниченности ресурсов ЭВМ по быстродействию и объему оперативной памяти). Следовательно, кроме строгих, определяющих максимально достижимое качество решения поставленных задач и имеющих ограниченную область применения методов и алгоритмов, для практических целей желательно иметь более простые в реализации, но в среднем скорейшие и гарантированные по уровням вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода алгоритмы.

Дополнительной причиной неустойчивости процессов рекуррентной обработки данных наблюдения за динамическими объектами может быть наличие в выборке отдельных аномальных измерений. Под аномальными здесь и в дальнейшем будем подразумевать измерения, характеризующиеся непредвиденным скачкообразным изменением дисперсии компонент вектора шума. Использование в таких условиях оптимальных методов оценивания и контроля функционирования системы обычно оказывается невозможным. При этом решение проблемы качества обработки заключается в применении устойчивых, или робастных методов оценивания и контроля.

Начиная с середины 20-го века, разработке методов робастного оценивания уделяется большое внимание. Активно используется подход Хьюбера [89], основанный на так называемых М -оценках. На практике широко применяются устойчивые модификации оптимальных параметрических алгоритмов оценивания. Однако, большинство известных методов базируется на определенном объеме априорных знаний о физических процессах, приводящих к появлению аномальных измерений. При проведении научного эксперимента эти данные обычно либо неизвестны, либо неконтролйруемы.

Таким образом, в настоящее время известно большое количество работ, посвященных проблемам адаптации и контроля функционирования систем, разработаны общетеоретические концепции, возрастает число решенных практических вопросов. Однако постоянное усложнение и расширение круга объектов научных исследований, связанное с сущностью познания — все более глубокого изучения процессов и явлений, требует разработки новых методов, а для уже имеющихся — их адаптации к новым условиям применения.

Целью диссертации является исследование методов, алгоритмов и процессов активной адаптации в стохастических системах управления и разработка для таких систем новых эффективных методов и алгоритмов обнаружения и диагностирования нарушений.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) Построение вспомогательного функционала качества для систем с мультипликативными случайными помехами.

2) Исследование идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления.

3) Определение наименьшего объема априорной информации, при котором активная адаптация систем линейного стохастического управления еще возможна.

4) Разработка численно эффективных алгоритмов рекуррентного вычисления логарифма функции правдоподобия.

5) Разработка метода гарантированного по вероятностям ошибок первого и второго рода обнаружения и идентификации нарушений в классе линейных стохастических систем управления в процессе фильтрации.

6) Оценивание среднего объема выборки, необходимого для принятия решения по критерию Вальда, в задаче обнаружения и идентификации нарушений.

7) Разработка устойчивого к аномальным измерениям метода оценивания параметров линейного фильтра в случае отсутствия модельного описания условий возникновения нарушений и повышенной априорной неопределенности характера аномальных измерений.

8) Возможность решения задачи обнаружения нарушения в нелинейной динамической системе на основе линеаризованного фильтра Калмана.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Выводы по работе состоят в следующем:

1) Решение задачи построения адаптивных фильтров для систем управления с мультипликативными случайными помехами возможно с помощью метода вспомогательного функционала качества. Данный метод применим и к некоторым нелинейным дискретным системам, если в качестве приближения нелинейной рассматривать систему с мультипликативными случайными помехами.

2) Исследование идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления показало, что наивысшей степенью неопределенности, при которой активная адаптация таких систем (в рамках рассмотренного подхода) еще возможна, является наличие неизвестных элементов во всех матрицах-параметрах неопределенности системы. При этом определено количество возможных неизвестных элементов и соотношения между ними, при выполнении которых возможен возврат от канонической модели системы в базис физических переменных.

3) Рекуррентное вычисление функции логарифма отношения правдоподобия требует применения достаточно сложных (в вычислительном плане) процедур обращения матрицы и вычисления ее детерминанта. Предложенный эффективный алгоритм позволяет получать очередное значение функции логарифма отношения правдоподобия непосредственно в терминах величин, генерируемых фильтром Калмана. Полученные таким образом объединенные уравнения скалярной обработки измерений в фильтре и логарифма отношения правдоподобия оказались намного проще в вычислительном плане, чем исходные уравнения.

4) По результатам проведенного детального анализа вычислительной сложности и точности различных ковариационных форм фильтра Калмана можно заключить, что сочетание улучшенных вычислительных свойств и весьма умеренных требований к объему расчетов позволяет при реализации методов контроля использовать устойчивые алгоритмы фильтрации как альтернативные стандартному фильтру Калмана.

5) Полученный метод нахождения оценки среднего времени принятия решения дает возможность предварительного исследования особенностей процесса обнаружения нарушений в конкретной системе без необходимости моделирования ее поведения.

6) В задаче контроля с априорно неизвестным моментом возникновения нарушения в результате представления его в виде случайного параметра с равномерным законом распределения получено математически обоснованное правило обнаружения и идентификации параметрических изменений в модели объекта, позволяющее припять решение на фиксированном (включающем N элементов) множестве значений функций отношения правдоподобия.

7) Обеспечение устойчивости к аномальным измерениям процессов фильтрации в случае отсутствия модельного описания условий возникновения нарушений и повышенной априорной неопределенности характера аномальных измерений может быть достигнуто построением устойчивого метода оценивания параметров фильтра. Совместное использование механизма коррекции матрицы усиления фильтра и процедуры пересчета ковариации шума измерений позволяет организовать адаптивную по принципу согласования фактической и расчетной ковариации невязки фильтрацию измеряемых данных. Тем самым повышается точность рекуррентной обработки данных измерений при наличии в выборке аномальных выбросов и, кроме этого, появляется возможность использовать фильтр в условиях априорной неопределенности ковариации шума измерений.

8) Одним из возможных решений задачи контроля в нелинейной стохастической системе управления является построение функции логарифма отношения правдоподобия на основе линеаризованного фильтра Калмана. Однако качество обнаружения в данном случае будет зависеть от многих факторов, в том числе, от степени приближения исходной модели системы линеаризованной моделью, качества линеаризованной оценки, вычислительных погрешностей реализации фильтра.

9) Предлагаемые методы и алгоритмы являются универсальными в том смысле, что могут использоваться в широком круге систем наблюдения и управления движением сложных динамических объектов, описываемых разностными уравнениями со случайной функцией на входе и в условиях повышенной априорной неопределенности. Возможные приложения включают:

- проблемы навигации и управления движением в аэрокосмонавтике;

- дефектоскопия, сейсмология, геофизика;

- моделирование и обнаружение тенденций в социально-экономических процессах;

- медико-биологические системы (оценка электрокардиограмм на основе анализа ритма, анализ процессов систем кровообращения, распознавание электроэнцефалограмм) и др.

Научная и практическая значимость работы определяются новизной научного подхода к решению задач адаптации и контроля для квазистационарных линейных стохастических систем управления. Используемый для этой цели метод вспомогательного функционала качества позволяет строить и применять новые алгоритмы для решения задач адаптации и идентификации параметров квазистационарных линейных стохастических систем управления в темпе реального времени. Предложенные методы обнаружения и диагностики нарушений позволяют эффективно решать задачи контроля функционирования таких систем.

Вместе с тем работа не претендует на исчерпывающий охват всех аспектов проблемы. Ряд вопросов остался за рамками рассмотрения в связи с ограниченностью объема работы. Поэтому дальнейшие исследования могут быть продолжены в следующих направлениях:

1) Развитие теории адаптивной идентификации для нелинейных дискретных моделей в условиях повышенной априорной неопределенности, а также для дискретных параметрических моделей применительно к стохастическим системам управления с ограничением на переменные состояния. Построение критерия наблюдаемости и вспомогательного функционала качества, а также методов и численных алгоритмов идентификации таких моделей систем.

2) Построение и исследование алгоритмов контроля в классе нелинейных моделей состояния и наблюдения. Определение разрешающей способности алгоритмов.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1) Построение вспомогательного функционала качества для систем с мультипликативными случайными помехами.

2) Новое исследование идентифицируемости оптимального фильтра для систем линейного стохастического управления на основе метода вспомогательного функционала качества.

3) Условия, определяющие наименьший объем априорной информации, при котором еще возможна активная адаптация систем линейного стохастического управления.

4) Новые численно эффективные алгоритмы рекуррентного вычисления логарифма функции правдоподобия, основанные на скалярной обработке измерений в фильтре Калмана и на устойчивых ковариационных формах фильтра.

5) Новый метод обнаружения и идентификации нарушений в классе линейных стохастических систем управления в процессе фильтрации в случае, когда момент возникновения нарушения априорно неизвестен.

6) Новый устойчивый к аномальным измерениям метод оценивания параметров линейного фильтра в случае отсутствия модельного описания условий возникновения нарушений и повышенной априорной неопределенности характера аномальных измерений.

7) Новый метод получения оценки среднего объема выборки, необходимого для принятия решения по критерию Вальда, в задаче обнаружения и идентификации нарушений.

8) Новое решение частной задачи обнаружения нарушения в нелинейной динамической системе на основе линеаризованного фильтра Калмана.

1. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности: Справочное издание / Под ред. Айвазяна С. А. — М.: Финансы и статистика, 1989.

2. Алексеев А. Ю., Экало А. В. Множественная идентификация измерений состояния динамических объектов в условиях априорной неопределенности // Приборостроение. 1991. N 1. С. 3-8.

3. Анасов О. JL, Бутковский О. Я., Исакевич В. В. Выявление нестационарности случайно-подобных сигналов динамической природы // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. N 2. С. 255-260.

4. Anderson P. Adaptive joke getting in recursive identification through multiple models. // Int. J. Contr. 1985. V. 42. N 5. P. 1175-1193.

5. Аоки M. Оптимизация стохастических систем. — M.: Наука, 1971.

6. Astróm К. J. Maximum likelihood and prediction error methods // Automatica. Journal IFAC. 1980. V. 16. N 5. P. 551-574.

7. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Под ред. М. И. Бассвиль, А. В. Банвениста. — М.: Мир, 1989.

8. Bierman G. J. Factorization Methods For Discrete Sequential Estimation. — New York: Academic, 1977.

9. Bierman G. J., Belzer M. R., Vandercraft J. S., Porter D. W. Maximum Likelihood Estimation Using Square Root Information Filters // IEEE Trans. Automat. Contr. 1990. V. 35. N 12. P. 1293-1299.

10. Вальд А. Последовательный анализ. — M.: Физматгиз, 1960.

11. Верулава Ю. Ш., Горгадзе 3. Н., Поляк Б. Т. исследование алгоритмов оценивания коэффициентов авторегрессии // АиТ. 1984. N И. С. 49-57.

12. Вовк А. И., Гришин Ю. П. Обнаружение моментов изменения свойств гауссовских марковских последовательностей и оценивание их параметров // Радиоэлектроника. 1991. Т. 34. N 7. С. 53-60.

13. Вонэм В. М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика (период, сб. переводов иностр. статей). 1973. Т. 17. N 4. С. 129-167; N 5. С. 82-114.

14. Габиров Е. А. Численный метод решения задач идентификации // Приборостроение. 1993. Т. 36. N 11. С. 7-10.

15. Гаджиев Ч. М. Проверка обобщенной дисперсии обновляющей последовательности фильтра Калмана в задачах динамического диагностирования // АиТ. 1994. N 8. С. 98-103.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

17. Глушко А. Р. Применение метода моментов в решении задачи параметрической идентификации // Приборостроение. 1990. Т. 33. N 1. С. 56-62.

18. Голован А. А., Мироновский JI. А. Алгоритмический контроль фильтра Калмана // АиТ. 1993. N 7. С. 173-185.

19. Гриценко Н. С. и др. Оценивание параметров движения маневрирующих объектов // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. N 4. С. 3-30.

20. Dyer P., McReynolds S. Extensions of Square Root Filtering to Include Process Noise // J. Opt. Theory Appl. 1969. V. 3. N 6. P. 444-459.

21. Демин H. С., Жадан JI. И. Об оптимальности процедуры исключения аномальных измерений // Автометрия. 1983. N 4. С. 29-33.

22. Деревицкий Д. П., Фрадков A. JI. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления — М.: Наука, 1981.

23. Ершов А. А., Липцер Р. Ш. Робастный фильтр Калмана в дискретном времени // АиТ. 1978. N 3. С. 60-69.

24. Жиглявский А. А., Красковский А. Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. JL: Ленингр. гос. ун-т, 1988.

25. Жирабок. А. Н., Шумский А. Е. Функциональное диагностирование нестационарных динамических систем // АиТ. 1989. N 11. С. 146-153.

26. Зубов А. Г., Петров А. И. Оценивание в нелинейных стохастических системах при внезапных изменениях структуры и координат состояния // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1990. N 4. С. 64-77.

27. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971.

28. Кендал М., Стюард А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

29. Клекис Э. А., Немура А. А. Последовательный критерий для обнаружения смещения последовательности обновления фильтра Калмана // Тр. АН Лит. ССР. Сер. Б. 1983. Т. 2 (135). С. 115-125.

30. Корнильев Э. А., Прокопенко Н. Г., Чуприн В. М. Устойчивые алгоритмы в АСОИ. К.: Техника, 1989.

31. Кузовков Н. Т., Карабанов С. В., Салычев О. С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. — М.: Машиностроение, 1978.

32. Kushner Н. J. A projected stochastic approximation method for adaptive filters and identifiers // IEEE Trans. Automat. Contr. 1980. V. AC-25. N 4. P. 836-838.

33. Лайниотис Д. Разделение — единый метод построения адаптивных систем. I. Оценивание. II. Управление // ТИИЭР. 1976. Т. 64. N 8. С. 8-27; С. 74-93.

34. Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991.

35. Липейка А. К. Об определении момента изменения свойств авторегрессионной последовательности // Статистические проблемы управления. Вильнюс: Институт математики и кибернетики АН Лит. ССР, 1979. Вып. 39. С. 9-23.

36. Ljung L. On positive real transfer functions and the convergence of some recursive schemes // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. V. AC-22. N 4. P. 539-551.

37. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. V. AC-22. N 4. P. 551-575.

38. Ljung L. Convergence analysis of parametric identification methods // IEEE Trans. Automat. Contr. 1978. V. AC-23. N 5. P. 770-783.

39. Малютин Ю. M., Экало А. В. Применение ЭВМ для решения задач идентификации объектов. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988.

40. Martin С. J., Minitz М. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: A game — theoretic approach // IEEE Trans. Automat. Contr. 1983. V. AC-28. N 9. P. 888-896.

41. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. — М.: Энергия, 1973.

42. Mehra R. К. On the identification of variances and adaptive Kalman filtering // IEEE Trans. Automat. Control. 1970. V. AC-15. N 2. P. 175-181.

43. Mehra R. K., Peschon J. An innovation approach to fault detection and diagnosis in dynamic systems // Automatica. Journal IFAC. 1971. V. 7. P. 637-640.

44. Монтвилас A. M. Определение изменения свойств авторегрессионной последовательности при неизвестных параметрах // Статистические проблемы управления. Вильнюс: Институт физики и математики АН Лит. ССР, 1973. Вып. 7. С. 21-39.

45. Немировский А. С. О рекуррентном оценивании параметров линейных объектов // АиТ. 1981. N 4. С. 77-86.

46. Никифоров И. В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. — М.: Наука, 1985.

47. Никифоров И. В. Об оптимальности первого порядка алгоритма обнаружения разладки в векторном случае // АиТ. 1994. N 1. С. 87-104.

48. Nikiforov I., Varavva V., Kireichikov V. Application of statistical fault detection algorithms for navigation systems monitoring // Proc. IFAC/IMACS Symp. SAFEPRO-CESS'91. Baden-Baden, 1991. V. 2. P. 351-356.

49. Newbold P. M. The exact likelihood function a mixed autoregressive-moving average process // Biometrica. 1974. V. 61. N 3. P. 423-426.

50. NewBold P. M., Ho Yu-Chi Detection of changes in the characteristics of a Gauss-Markov process IEEE Trans. Aerosp. and Electr. Syst. 1968. V. AES-4. N 5. P. 707-718.

51. Page E. S. Continuous inspection schemes // Biometrica. 1954. V. 41. N 2. P. 100-114.

52. Полосенко В. П., Семушин И. В. О свойствах невязки измерений и их использовании для адаптивного управления сходимостью фильтра // Автометрия. 1989. N 1. С. 64-68.

53. Понырко С. А., Семушин И. В. Использование активного принципа при построении самонастраивающихся фильтров // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. N 1. с. 223-227.

54. Понырко С. А., Семушин И. В. Построение обучающихся винеровских фильтров при ограниченном объеме априорной информации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. N 5. с. 215-220.

55. Понырко С. А., Семушин И. В. Схема идентификации марковской модели движения объекта // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1976. N 6. с. 30-33.

56. Прокопенко И. Г. Алгоритм классификации неоднородной выборки сигналов и помех // Радиоэлектроника. 1992. Т. 35. N 1. С. 16-23.

57. Fault diagnosis in dynamic systems. Theory and applications. Edited by Patton R., Frank P., Clark R. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, NJ, 1989.

58. Ruszczynski A., Syski W. Stochastic approximation method with gradient averaging for unconstrainted problems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1983. V. AC-28. N 12. P. 10971105.

59. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. — М.: Наука, 1980.

60. Сейдж Э. П., Мелса Дж. Идентификация систем управления. — М.: Наука, 1974.

61. Segen J., Sanderson A. Detecting change in time series // IEEE Trans. Inform. Theory. 1980. V. IT-26. N 2. P. 250-355.

62. Семушин И. В. Использование активного принципа фильтрации нестационарных случайных процессов // Сб. тез. докл. III НТК. Новгород: Новгородский филиал ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина). 1968. С. 64.

63. Семушин И. В. Активная адаптация оптимальных дискретных фильтров // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. N 5. с. 192-198.

64. Семушин И. В. Идентификация линейных стохастических объектов по неполным зашумленным измерениям вектора состояния // Автоматика и телемеханика. 1985. N 8. С. 61-71.

65. Семушин И. В. Спецтема. Дис. . д-ра. техн. наук. — Л.: ЛИАП, 1987.

66. Семушин И. В. Эффективные алгоритмы обновления оценок по измерениям // Судостроительная промышленность, 1991, вып. 27, с. 55-62.

67. Семушин И. В. Адаптивное управление стохастическим линейным объектом в условиях неопределенности. Нелинейные динамические системы: качественный анализ и управление // Сб. тр. М.: ИСА РАН, 1994. Вып. 2. С. 104-110.

68. Семушин И. В. Построение активных схем адаптации управления с приложением к инерциальным навигационным системам. Нелинейные динамические системы: качественный анализ и управление // Сб. тр. М.: ИСА РАН, 1994. Вып. 2. С. 110-115.

69. Семушин И. В., Калинин Л. В. Обнаружение нарушений в моделях стохастических систем // Измерительная техника. 1996. N 3. С. 9-11.

70. Устройство для цифровой фильтрации / Семушин И. В., Сковиков А. Г. Пат. N 2055396 от 31.03.93.

71. Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин JI. В. Обнаружение нарушений на основе уравнений чувствительности фильтра Калмана // Измерительная техника. 1997. N 9. С. 19-21.

72. Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин JI. В. Разработка эффективных алгоритмов обнаружения нарушений в моделях систем (ОНМС) // Алгоритмы управления и идентификации / Сб. статей под ред. С. В. Емельянова. М.: Диалог-МГУ, 1997. С. 118-128.

73. Семушин И. В., Сковиков А. Г., Калинин JI. В., Цыганова Ю. В. Устойчивый метод оценивания параметров линейного фильтра // Измерительная техника. N 9. 1999. С. 19-22.

74. Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Indirect Error Control for Adaptive Filtering // Book of Abstracts. The Third European Conference on Numerical Mathematics and Advanced

75. Applications. University of Jyvaskyla. Jyvaskyla. Finland. July 26-30 1999. P. 41-42.

76. Semoushin I. V., Tsyganova J. V. Auxiliary Performance Functional Approach to Adaptive and Learning Filtering and Control // Conference Proceedings of European Control Conference ECC'99. Karlsruhe. Germany. 31 August-3 September 1999.

77. Срагович В. Г. Адаптивное управление. — М.: Наука, 1981.

78. Tanaka S. Diagnosability of systems and optimal sensor location in fault diagnosis in dynamic systems — Theory and Application. Prentice Hall Intern. Series in Systems and Control. Eng. 1988. P. 155-188.

79. Уонэм M. Линейные многомерные системы управления. — М.: Наука, 1980.

80. Fogel Е. A fundamental approach to the convergence analysis of least squares algorithms // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. V. AC-26. N 3. P. 646-655.

81. Фомин С. И. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — М.: Наука, 1984.

82. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами — М.: Наука, 1981.

83. Hinkley D. Time-ordered classification // Biometrika. 1972. V. 59. N 3. P. 509-523. Хьюбер П. Дж. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.

84. Hampton R. L. T. On unknown state-dependent noise, modeling errors, and adaptive filtering // Comput. к Elect. Engng. 1975. V. 2, P. 195-201.

85. Цыганова Ю. В. Последовательные алгоритмы наименьших квадратов и статистического оценивания // Сб. статей "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: УлГУ, 1996.

86. Цыганова Ю. В. Разработка программных средств моделирования и исследования стохастических систем оптимальной дискретной фильтрации // Сб. статей "Фундаментальные проблемы математики и механики". Вып. 3. Ульяновск: УлГУ, 1997. С. 88-97.

87. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М.: Наука, 1968.

88. Цыпкин Я. 3. Оптимальные алгоритмы оценивания параметров в задачах идентификации // АиТ. 1982. N 12. С. 9-23.

89. Цыпкин Я. 3. Оптимальная идентификация динамических объектов // Измерения, контроль, автоматизация: Науч.-техн. сб. обзоров. / ЦНИИТЭИприборостроения. — М.: 1983. Вып. 3 (47). С. 47-60.

90. Chui С., Cheh G., Chui Н. Modified extended Kaiman filtering and real-time parallel algorithm error system parameter identification // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 35. N 1. P. 100-104.

91. Ширяев A. H. Статистический последовательный анализ. — M.: Наука, 1976.

92. Шумский А. Е. О декомпозиции нелинейных динамических систем // Кибернетика и вычислительная техника. 1989. Вып. 81. С. 44-50.

93. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. — М.: Мир, 1975.