Оптимальная синхронизация линейных дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Оптимальная синхронизация линейных автоматов.

1.1. Определение основных понятий и постановка задачи.

1.2. Определение множества синхросостояний линейного автомата.

1.3. Графы переходов обобщенно синхронизируемых линейных автоматов.

1.4. Построение оптимальной обобщенно синхронизирующей последовательности.

1.5. Метод ветвей и границ.

1.6. Об одной оптимальной синхронизации линейного автомата.

Глава 2. Стабилизация интервальных линейных систем.

2.1.Определение основных понятий и постановка задачи.

2.2.Метод решения задачи.

2.3. Операции над интервальными матрицами.

2.4. Линейное выражение для вычисления конечного интервального состояния ИЛС.

2.5. Условие существования и оценка длины СтП.

2.6. Нахождение СтП фиксированной длины.

2.7. Нахождение СтП фиксированной длины интервальными методами.

В основе многих современных средств и методов технической диагностики дискретных устройств лежит теория экспериментов с автоматами. Одной из причин, затрудняющих решение задач этой теории, во многих случаях является неопределенность начального, текущего или конечного состояния автомата. Для решения этой проблемы служат синхронизирующие, установочные и диагностические эксперименты с автоматами, построение которых является одним из важнейших направлений теории автоматов. Общая теория экспериментов с автоматами развита в работах Мура Э. [35], Трахтенброта Б.А. [58], Гилла А. [15], Глушкова В.М. [18], Мучника А.А. [36], Яблонского С.В. [65], Богомолова A.M. [5-8], Твердохлебова В.А. [57], Грунского И.С. [5-7], Кудрявцева В.Б. [28], Скобелева В.Г. [47], СпивакаМ.А. [56] и других авторов.

Первая глава данной диссертационной работы посвящена синхронизации устройств, математической моделью которых служит линейный автомат [12, 14, 16, 59, 60]. Функционирование стационарного линейного автомата над полем GF(p) = {0, 1, . р-1} (р - простое число), задается уравнением состояний: Bu(t), где Л, В - матрицы над полем GF(/>), вектора u(f), s(t) над полем GF(/>) обозначают входной сигнал и состояние J1A в моменты времени / = 0, 1, . Данное уравнение позволяет вычислить следующее состояние линейного автомата по его текущему состоянию и входному сигналу.

Дискретные устройства, моделируемые линейными и билинейными автоматами, находят широкое применение при создании сигнатурных 4 анализаторов, при сжатии и кодировании информации, синтезе схем автоматического управления [4, 19, 31, 41]. При этом имеется сравнительно небольшое количество работ по экспериментам с линейными автоматами. В основном они изучались Сперанским Д.В. [50 - 55], в работах которого было введено понятие обобщенного состояния линейного автомата. Пусть v - некоторое натуральное число, не превосходящее п - размерности векторов состояний линейного автомата. Множество всех векторов размерности п над полем GF(p), первые v координат которых совпадают с некоторыми фиксированными значениями из этого поля, называется обобщенным состоянием линейного автомата. Обобщением известного понятия синхронизирующей последовательности послужило понятие обобщенно синхронизирующей последовательности. Входная последовательность автомата называется обобщенно синхронизирующей последовательностью, если после её подачи на вход автомат переходит в одно и то же заключительное обобщенное состояние независимо от своего начального состояния. Каждое из финальных состояний, в которые линейный автомат может быть переведен подачей обобщенно синхронизирующей последовательности, называется обобщенным синхросостоянием. Д.В. Сперанским был получен критерий существования обобщенно синхронизирующей последовательности длины к, заключающийся в выполнении условия

Л = (0), где через [Ak~\v обозначается матрица, составленная из v первых строк матрицы Ак. Было показано, что при выполнении данного условия все входные последовательности длины к и более являются обобщенно синхронизирующими. 5

Как показывают полученные результаты, построение установочных и диагностических экспериментов для линейных автоматов оказывается значительно проще, чем построение аналогичных экспериментов для произвольных автоматов.

В перечисленных работах, как и в теории экспериментов с автоматами общего вида, вопросы построения экспериментов исследовались в предположении, что энергозатраты на подачу различных входных сигналов одинаковы. Поэтому в качестве критерия сравнения двух входных последовательностей рассматривается только их длина. Вместе с тем, упомянутые энергозатраты в действительности различны, и при подаче двух последовательностей одинаковой длины, отличных по составу входных символов, суммарные затраты могут существенно отличаться. В силу сказанного возникает проблема оптимального управления экспериментом по критерию минимизации общих энергозатрат. Заметим, что некоторые эксперименты с автоматами, в частности, эксперименты по распознаванию состояний, можно рассматривать как процессы управления. Например, синхронизацию автомата можно трактовать как процесс управления автоматом путем подачи входной последовательности, устанавливающей автомат в заранее заданное заключительное состояние независимо от того, в каком начальном состоянии он находился. В теории оптимального управления как непрерывными [42,43], так и дискретными процессами [9, 44], входные последовательности, обеспечивающие достижение цели управления, оцениваются по различным содержательным критериям. Однако особенность рассматриваемой автоматной модели системы - ее задание над конечным полем GF(p) - не позволяет использовать эту теорию в данном случае. Это обуславливает новизну поставленной задачи. Ранее подобные задачи в теории автоматов не рассматривались и поэтому данная проблема является актуальной. 6

В первой главе представленной диссертационной работы рассматриваются вопросы, связанные с синхронизируемостью и оптимальной синхронизацией линейных автоматов, заданных над конечным полем GF(p). Получены следующие результаты: предложен способ определения множества обобщенных синхросостояний линейного автомата; введено понятие обобщенного графа переходов. Получены необходимые и достаточные условия обобщенной синхронизируемости линейного автомата в терминах обобщенного графа переходов; предложен метод определения множества обобщенных синхросостояний с помощью обобщенного графа переходов; предложен способ построения оптимальной по заданному критерию обобщенно синхронизирующей последовательности, переводящей заданный линейный автомат в заданное обобщенное синхросостояние; показано, что эта задача сводится к задаче целочисленного программирования; задача нахождения оптимальной обобщенно синхронизирующей последовательности решена для последовательностей, оптимальных по числу перепадов сигналов.

Основным объектом исследования во второй главе являются дискретные линейные системы над полем действительных чисел [42, 44]. Функционирование дискретной линейной системы задается следующим уравнением состояний: s(H-l) = ^s(r)+5u(0, (1) где А, В - вещественные матрицы, а вещественные вектора u(t) и s(/) обозначают входной сигнал и состояние системы в момент t. 7

Данное уравнение позволяет вычислить следующее состояние системы по ее текущему состоянию и входному сигналу.

Математические модели, описываемые линейными уравнениями, находят широкое применение в различных прикладных областях. Динамические модели экономики исследовались Канторовичем Л.В.[21, 22], Макаровым B.JI. [22, 32] и другими авторами. Линейные модели используются в задачах оптимального управления [62], оптимизации многоступенчатых систем [39, 40] и др. Общая постановка задачи дискретного оптимального управления [43] выглядит следующим образом. Рассмотрим некоторый многошаговый дискретный процесс, характеризующийся на каждом шаге t двумя наборами переменных

Компоненты вектора s(/) называются переменными состояния и определяют состояние процесса на шаге t. Вектор s(7) при t = 0, ., N является элементом множества St - подмножества пространства S состояний рассматриваемого процесса:

Вектор и(7) при t — 0, .N определяет управляющее воздействие на t-м шаге и может принимать значение из некоторого подмножества Ut пространства управляющих воздействий U:

Значения векторов u(t) и s(f) определяют состояние процесса на шаге t+l: u(t) = (ui(t), ., w/0))T, s(0=(si(/), .,sn(t)f. s(t)eStQS. u (t)eUtcU.

2) s(/+l) =Лs(t), u(0, t),

3) 8 при t = 0, ., N-1, где/- заданная вектор-функция, определяющая динамику процесса. Последовательность и(0), ., u(JV-l) называется управлением процесса; соответствующая этому управлению в силу уравнений движения для некоторого начального состояния s(0) последовательность s(0), ., s(N) называется траекторией процесса.

Зафиксируем некоторое начальное состояние s(0) и рассмотрим управление и(0), ., u(7V-1), удовлетворяющее условиям (2). Если соответствующая этому управлению траектория системы s(0), .s(N) будет удовлетворять уравнению (1), то такое управление будем называть допустимым для данного начального состояния s(0).

Для произвольного управления и соответствующей ему траектории определим функционал следующего вида:

J=F(s(0))+ £ f0(s(t), u(t), 0, (4) где F, fo — скалярные функции, которые оценивают качество процесса управления. Задача оптимального управления состоит в нахождении для заданного начального состояния s(0) допустимого управления, которое бы доставляло показателю качества (4) наибольшее значение. Если функция J характеризует, к примеру, сопровождающие процесс энергозатраты или его стоимость, то требуется минимизировать значение J, что эквивалентно максимизации функционала J' = - J при тех же условиях. В случае если значение s(0) не задано, а только требуется выполнение условия s(0) е Uo, говорят о задаче оптимального управления со свободным правым концом траектории. Задачи оптимального управления различают в зависимости от информации о начальном и конечном требуемом состоянии системы. Если значение s(0) зафиксировано и известно, то такая задача называется задачей 9 с закрепленным правым концом. Аналогично различают задачи оптимального управления в зависимости от информации о значении конечного состояния.

Существует два основных подхода к решению задач оптимального управления. Один из них основан на принципе оптимальности Беллмана [2, 3]. Другой, вариационный подход, основан на распространении методов математического программирования на многошаговые задачи и связан с так называемым "дискретным принципом максимума" [43, 44].

Во второй главе настоящей работы рассматривается задача быстродействия для линейных дискретных систем особого вида. Задача дискретного оптимального управления называется задачей быстродействия, если функционалы/0, F постоянны и o(s(0,11(0,0=1, т о)) -о.

Таким образом, в дискретной задаче быстродействия требуется перевести систему в заданное состояние за наименьшее число шагов. Такие задачи рассматривались в работах Красовского Н.Н. [26], Пшеничного Б.Н. [45], Мороза А.И. [34] и др. В этих работах предполагалось, что значения параметров системы, в частности, характеристических матриц точно известны. Однако в процессе управления системами приходится сталкиваться с ситуацией, когда значение части параметров, от которой зависит траектория системы в фазовом пространстве, точно не известно и эти параметры недоступны для изменения, но имеется информация об интервалах, в которых находятся значения этих параметров. При этом остальные управляющие параметры являются доступными и их можно изменять по нашему усмотрению. Заметим также, что в силу ограниченной

10 точности измерения параметров из-за несовершенства измерительных приборов точные значения фазовых координат системы, как правило, неизвестны. Вместе с тем обычно известны интервалы, в которых они находятся, поскольку известна погрешность измерений. Интервальной линейной системой (ИЛС) назовем линейную дискретную систему, функционирование которой задается приведенным выше уравнением, а характеристические матрицы А, В заданы в виде интервальных матриц А, В, где Ае A, Be В. Множество начальных состояний системы зададим в виде интервального вектора 1(A), множество конечных состояний - в виде интервального вектора F(A). Значения первых v координат каждого входного вектора и недоступны для задания, однако известно, что их значения и \{t), ., uv(t) находятся в заданных пределах [ш,т], ., [ш,г/у]. Остальные l-v вещественных координат могут быть заданы произвольно и определяют входное воздействие.

Для долговременного выполнения системой своих функций часто требуется, чтобы она находилась в некоторых устойчивых состояниях, значения координат которых предполагаются заданными в виде интервалов. В силу сказанного возникает задача перевода системы из любого допустимого начального состояния, множество значений координат которых задано в виде интервалов, в одно из состояний некоторого множества устойчивых финальных состояний, координаты которого также заданы в виде интервалов. При этом часть управляющих сигналов (параметров) может быть задана по нашему усмотрению в виде точных значений, а другая их часть недоступна для изменения, хотя известны интервалы, в которых они могут находиться. Основная задача, решению которой посвящена вторая глава диссертации, формулируется следующим образом. Пусть задана интервальная линейная система, вектора F(A), 1(A), а также вектор

11 ш,т], ., [mv,^v])t, состоящий из интервалов, в которых находятся неизвестные значения координат входных векторов. Требуется найти кратчайшую входную последовательность, переводящую систему из любого состояния s(0)e/(^4) в некоторое состояние seF(A). Таким образом, нужно перевести систему в состояние, находящееся в заданных пределах. Подобные задачи в теории управления называются задачами стабилизации, поэтому поставленную выше задачу будем именовать в дальнейшем задачей стабилизации ИЛС.

Для сравнения задачи стабилизации ИЛС с известными задачами теории управления рассмотрим простейший случай, когда характеристические матрицы и значения входных сигналов ИЛС заданы точно. В этом случае сформулированная задача состоит в нахождении кратчайшей входной последовательности, которая переводит систему, заданную уравнением (1), из любого состояния s(Q)eI(A) в некоторое состояние s(N)eF(A). Если полагать UN = F(A), то данную задачу можно рассматривать как задачу со свободным левым концом траектории. Однако правый конец траектории нельзя считать ни свободным, ни закрепленным в традиционном смысле. Данную задачу можно рассматривать как совокупность задач с закрепленным правым концом и при этом такие задачи при всех s(0)ef(A) должны иметь единое решение. Число таких задач имеет мощность континуума даже при точно заданных характеристических матрицах системы. Поэтому задача стабилизации ИЛС не может быть непосредственно решена методами теории оптимального управления.

Более близкой к задаче стабилизации дискретной системы с точными характеристическими матрицами является задача синхронизации линейного автомата. В первой главе данной работы были приведены результаты решения более общей задачи, полученные Сперанским Д.В. в [52]. В задаче синхронизации требуется перевести автомат в некоторое определенное

12 конечное состояние, независимое от его начального состояния. На основании формулы полной реакции линейного автомата Сперанским Д.В. показано, что критерием существования синхронизирующей последовательности является условие нильпотентности характеристической матрицы А. Используя формулу для конечного состояния линейной дискретной системы над полем действительных чисел, показывается, что для этой системы справедливы аналогичные результаты [12]. Однако принципиальным отличием задачи синхронизации линейного автомата от задачи стабилизации ИЛС является интервальное задание ИЛС и вытекающая из такого задания неопределенность следующего состояния. В этом случае нет возможности использовать непосредственные аналоги формул полной реакции для линейного автомата над конечным полем или линейной дискретной системы над полем действительных чисел.

На основании сказанного актуальной является задача управления линейной дискретной системой в условиях интервальной неопределенности элементов ее характеристических матриц и части координат входных сигналов системы, которая рассматривается во второй главе предлагаемой работы. Во второй главе получены следующие результаты: введено понятие симметризации интервальной линейной системы и получены линейные относительно входных сигналов формулы, выражающие ее конечное состояние; получены оценки для максимальной длины стабилизирующей последовательности интервальной линейной системы; предложен и обоснован метод сведения поставленной задачи к системе линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами; предложен и обоснован метод сведения поставленной задачи к системе линейных алгебраических неравенств с вещественными коэффициентами.

13

Работа состоит из введения, двух глав, содержащих 13 разделов, библиографии, включающей 76 наименований. Диссертация изложена на 101 странице.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследовались вопросы построения оптимальных синхронизирующих последовательностей для линейных автоматов над полем GF(p) и построения кратчайших стабилизирующих последовательностей для линейных дискретных систем над полем действительных чисел, заданных с интервальной неопределенностью. Получены следующие результаты:

1) предложен способ построения оптимальной по заданному критерию обобщенно синхронизирующей последовательности, переводящей линейный автомат в заданное обобщенное синхросостояние. Показано, что эта задача всегда может быть сведена к задаче целочисленного программирования.

Кроме того, предложен аналитический способ определения множества обобщенных синхросостояний линейного автомата, а также определения этого множества с использованием введенного в работе обобщенного графа переходов, в терминах которого получены условия обобщенной синхронизируемости линейного автомата.

2) предложен метод нахождения кратчайшей стабилизирующей последовательности для линейной дискретной системы, заданной с интервальной неопределенностью. Показано, что решение данной задачи сводится к решению системы линейных неравенств с действительными коэффициентами или к решению системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами.

Кроме того, были получены оценки максимальной длины стабилизирующей последовательности.

95

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М: Мир.-1987.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М: ИЛ.-1960.

3. Беллман Р., Дрейфус С. Е. Прикладные задачи динамического программирования. М: Наука.-1964.

4. Барашко А.С. К теории сигнатурных анализаторов // Кибернетика.- 1990. N2. - с. 18-22.

5. Богомолов A.M., Барашко А.С., Грунский И.С. Эксперименты с автоматами. Киев: Наукова думка. - 1973.

6. Богомолов A.M., Грунский И.С. 0 достижимости верхней границы длины минимального установочного эксперимента для автомата Мура // Кибернетика. 1971. - N1. - с. 147-148.

7. Богомолов A.M., Грунский И.С., Сперанский Д.В. Контроль и преобразование дискретных автоматов.-Киев:Наукова думка.-1975.-174 с.

8. Богомолов A.M., Скобелев В.Г. Об одном алгоритме решения диагностической и установочной задач с автоматом // Кибернетика. -1975. -N 6. с. 1-6.

9. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами М.: Наука, 1973.

10. Бородянский Ю.М. Эксперименты с конечными автоматами Мура // Кибернетика. 1965. - N 6. - с. 18-31.

11. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Радио и связь. - 1987.96

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Крахотко В.В., Минюк С.А. Теория управляемости линейных дискретных систем // Дифференциальные уравнения. 1972. - т.8. - N5,6,7. - с. 767-774, 1081-1092, 1283-1292.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука. - 1988.

14. Гараев М.И., Фараджев Р.Г. Аналитические методы вычисления процессов в линейных последовательностных машинах с переменными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1971. N 1. - с. 66-74.

15. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука. 1966.

16. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука. -1974.

17. Гинзбург С. О длине кратчайшего однородного эксперимента // Кибернетический сборник вып. 3. - 1961. - с. 25-30.

18. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. М.: Физматгиз. -1962.

19. Казначеев В.И. Диагностика неисправностей цифровых автоматов. М.: Сов. радио. 1975.

20. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986.

21. Канторович J1.B. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: АН СССР, 1960.

22. Канторович Л.В., Макаров B.J1. Оптимальные модели перспективного планирования. М.: Мысль, 1965.

23. Клячко А.А., Рысцов И.К., Спивак М.А. Об одной экстремальной комбинаторной задаче, связанной с оценкой длины возвратного слова в автомате //Кибернетика. 1987. - N2. - с. 16-21, 25.97

24. Кобринский Н.Е., Трахтенброт Б.А. Введение в теорию конечных автоматов. М., Физматгиз, 1961.

25. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. -М.: Наука. 1969.

26. Красовский Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования // ПММ21,5 1957.

27. Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход. М.: Мир, 1987.

28. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.:Наука. - 1985.

29. Kupriyanova L.Y. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system// Reliable Computing.-1995 .Vol. 1 .-N l.-p. 15-32

30. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. M.: Наука. - 1976. - 432 с.

31. Латыпов Р.Х., Нурутдинов Ш.Р., Столов E.JL, Фараджев Р.Г. Применение теории линейных последовательносгных машин в системах диагностирования // Автоматика и телемеханика. -1988.-N8.-с. 3-27.

32. Макаров B.JI. Линейные динамические модели производства. // Сб. "Оптимальное планирование" -М.: Наука, 1966.

33. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.

34. Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для дискретных линейных систем. // Автоматика и телемеханика. №№ 2, 3, 6. - 1965.

35. Мур Э. Умозрительные эксперименты с последовательностными машинами//сб. "Автоматы". М.: ИЛ. - 1956. - с. 179-210.

36. Мучник А.А., О длине эксперимента, определяющего структуру автомата. Сб. "Проблемы кибернетики", в. 20 М.:Наука. - 1968.98

37. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.:Наука. -1973.

38. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.: Учпедгиз, 1956.

39. Островский Г.М. Об одном методе расчета оптимальных систем. // Автоматика и телемеханика. 1965. - № 3.

40. Островский Г.М. Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М.: Химия. 1967.

41. Пархоменко П.П., Согомонян Е.С. Основы технической диагностики. -М.: Энергоиздат. 1981.

42. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

43. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

44. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

45. Пшеничный Д.В. Синтез линейных импульсных систем// Автоматика и телемеханика. N5.-1966.

46. Рысцов И.К. О слабой эквивалентности автоматов // Кибернетика.- 1990. N5. - с.85-89, 134.

47. Скобелев В.Г. О сложности поиска диагностических и установочных слов для конечного автомата // Кибернетика. 1985. - N4. - с.116- 118.

48. Соловьев Н.А. Тесты. Новосибирск: Наука. - 1978.

49. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977.

50. Сперанский Д. В. Обобщенные линейные автоматы без потери информации // Известия РАН. Теория и системы управления. -1998.-N1.-C.166-172.

51. Сперанский Д.В. Синхронизация линейных последовательностных машин // Автоматика и телемеханика. 1996. - N5. - с. 141-149.99

52. Сперанский Д.В. Обобщенная синхронизация линейных последовательностных машин // Кибернетика.-1998.-№.- с. 17- 25.

53. Сперанский Д.В. Установочные и диагностические последовательности для линейных автоматов // Автоматика и телемеханика. 1997. -N5. - с. 133-141.

54. Сперанский Д.В., Сперанский И.Д. Эксперименты с линейными дискретными системами// Электронное моделирование. -1999.-№4.-с. 64-73.

55. Speranskiy D. V. Experiments with bilinear discrete systems // Proceedings of the International Conference, Minsk. 1999. - ч.1.

56. Спивак M.A. Некоторые свойства множества экспериментов автомата//Кибернетика. 1996. - N6. - с. 1-7.

57. Твердохлебов В.А. Логические эксперименты с автоматами. -Изд. Саратовского ун-та. 1988.

58. Трахтенброт Б.А., Бардзинь Я.М. Конечные автоматы (поведение и синтез). М.:Наука. - 1970.

59. Фараджев Р.Г. Линейные последовательностные машины. -М.:Советское радио. 1975.

60. Хиббард Т.Н. Точные верхние границы длин минимальных экспериментов, определяющих заключительное состояние для двух классов последовательностных машин //Кибернетический сборник вып. 2.- 1966. - с.7-23.

61. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

62. Хэнсмен Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами. М.: Прогресс, 1966.

63. Цыпкин ЯЗ., Фараджев Р.Г. Преобразование Лапласа-Галуа в теории последовательностных машин // Доклады АН СССР. -1966.-t.166.-N3.-C. 570-574.100

64. Элспас Б. Теория автономных линейных последовательностных сетей // Кибернетический сборник вып. 7. - 1963. - с. 32-36

65. Яблонский С.В. 0 построении тупиковых кратных экспериментов для автоматов. М.: Труды МИАН им. В.А. Стеклова.- т. СХХХШ. с. 263-272.

66. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.:Наука, 1978.

67. По теме диссертации опубликованы следующие работы:

68. Богомолов А.С. Оптимальные синхронизирующие эксперименты с линейными автоматами. Материалы международной конференции "Ломоносов-2001"- М.: Изд-во Московского Университета,-2001.- вып. 6-с. 246.

69. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Оптимальные синхронизирующие эксперименты с линейными автоматами//"Автоматика и телемеханика".-№ 10.-2001 .-с.203-208.

70. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одном оптимальном синхронизирующем эксперименте с линейными автоматами // "Известия РАН. Теория и системы управления". -№ 3. 2002. -с. 64-70.

71. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Синхронизирующие эксперименты с интервальными линейными системами// "Автоматика и телемеханика".-№ 6.-2002.-С. 166-173.

72. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Стабилизация линейных автоматов//Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте.-2001.-№ 4.-е.13-15.101

73. Богомолов А. С. О диаграммах переходов линейных обобщенно синхронизируемых автоматов // Теоретические проблемы информатики и её приложений.-Саратов.: Изд-во Саратовского Университета,-2001,- вып. 4,-с. 26-35.

74. Богомолов А.С. Стабилизация интервальных линейных систем.

75. Тезисы докладов международной конференции "Компьютерные науки и информационные технологии посвященной памяти A.M. Богомолова. Саратов.: Изд-во Саратовского Университета, -2002. -с. 11.

76. Богомолов А.С. Линейные оценки состояний дискретных систем, заданных в интервальном виде // "Теоретические проблемы информатики и её приложений" Саратов, 2003,- вып. 5 - с. 9-16.