Оценки переходных процессов в дискретных фазовых системах управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Утина Наталья Валерьевна

ОЦЕНКИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Шепелявый Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гелиг Аркадий Хаимович

доктор физико-математических наук, доцент Чурилов Александр Николаевич

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится .................... 2004г. в .....часов

на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многомерные дискретные фазовые системы управления получили большое распространение в связи с бурным развитием телевидения, радиолокации, гидроакустики, космической радиоэлектроники, энергетики, техники связи и управления, вычислительной техники. Несмотря па большое внимание к этим системам, на имеющиеся многочисленные результаты об асимптотическом поведении решений, переходные процессы в многомерных дискретных фазовых системах изучены мало. На практике характеристики переходных процессов существенны и определяют работоспособность систем в целом. Среди наиболее информативных характеристик переходных процессов можно выделить две основные: число проскальзываний циклов и время установления переходного процесса. Число проскальзываний циклов характеризует изменения выходной переменной, кратные периоду входящей в систему нелинейности. Время установления переходного процесса определяется как наименьшее время, необходимое для попадания системы в область притяжения одного из устойчивых состояний равновесия.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена получению эффективных оценок числа проскальзываний циклов и времени установления переходного процесса в многомерных дискретных фазовых системах управления.

Методы исследований. Для получения результатов применялись второй метод Ляпунова, дискретный вариант частотной теоремы В. А. Якубовича о разрешимости специальных матричных неравенств, процедура Бакаева-Гужа, расширенный на дискрегные системы метод нелокального сведения Г. А. Леонова, и результаты А. Н. Чурилова об оценках специального функционала, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой.

Научная новизна. Известные результаты для многомерных фазовых систем управления относятся, в основном, к задачам устойчивости и колебательности. Полученные в диссертационной работе результаты для переходных процессов являются новыми и дополняют имеющиеся исследования частотными методами многомерных дискретных фазовых систем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Однако, результаты работы могут быть использованы при анализе переходных процессов в конкретных системах синхронизации, системах фазовой автоподстройки частоты, синхронных электрических машинах и в других приложениях.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинаре кафедры математики Lulea Technik University (Швеция, 2002), на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ (2000-2003) и докладывались на 7 международных и 2 российских конференциях: на Всероссийском конкурсе научных работ молодых ученых по механике и процессам управления, посвященном столетию со дня рождения < А. И. Лурье (С.-Петербург, 2001), где доклад отмечен дипломом третьей степени, на III международной конференции «Tools for mathematical modelling» (С.Петербург, 2001), II международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (Москва, 2002), VI Крымской Международной математической школе «Метод функций Ляпунова» (Алушта, 2002), VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2002), Молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2002), где иолучен «Диплом за лучший доклад на конференции», Международной конференции по механике «Третьи Поляховские чтения» (С.-Петербург, 2003), Международной конференции «Модачирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, 2003), IV международной конференции «Tools for mathematical modelling» (С.Петербург, 2003), Международной конференции «Physics and Control» (С.Петербург, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6] и в тезисах девяти международных и российских конференций, указанных выше. В совместных работах диссертанту принадлежит выбор методов решения, доказательства теорем и численное моделирование, а соавторам — постановки задач.

Структура. и объем работы. Диссертация объемом 140 страниц состоит из введения, б глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 98 наименований.

Содержание диссертации

В диссертационной работе исследуются переходные процессы в многомерных дискретных системах управления с периодической нелинейностью при наличии внешнего возмущения или без него.

В первой главе даются основные определения и свойства нелинейных дискретных фазовых систем, описывается задача Стокера о числе проскальзываний циклов на примере двумерной фазовой системы, приводятся определения рассматриваемых характеристик переходных процессов и постановки задач по их оценке для многомерных дискретных фазовых систем.

В последующих главах диссертации рассматривается многомерная дискретная фазовая система управления вида

где А — постоянная вещественная (v х ^-матрица, Ь, с — постоянные вещественные ^-векторы, р>0 — число, х, а — соответственно 1/-мерная и скалярная компоненты вектора состояния системы, — скалярная непрерывно дифференцируемая

периодическая функция, имеющая на периоде два однократных нуля, — непрерывно дифференцируемая функция, отвечающая внешнему воздействию, знак обозначает эрмитово сопряжение. Предполагается, что пара {А, Ь) управляема, а линейная чаегь системы характеризуехся невырожденной передаточной функцией х(р) = с'{А — pE„)~lb + р, где Е„ единичная (и х 1/)-матрица, р комплексная переменная.

Дадим определение исследуемых характеристик переходных процессов.

Определение 1. Будем говорить, что решение (:r(n),cr(n)) системы (1) с начальными значениями (х(0), с(0)) проскальзывает т циклов, если для всех натуральных п выполняется и хотя бы для одного

натурального числа по справедливо неравенство

Определение 2. Временем установления переходного процесса по выходу для решения (з;(п), <г(п)) системы (1) с начальными данными (л;(0),£т(0)) будем

называть такой момент времени Nf > 0, что во-первых, для любых моментов времени выполнено и во-вторых,

для всякого 0<A'<TV/ найдутся моменты в р N, нга^^л я которых

¡(Т(п4) -о(п3)1 > Д.

Во второй главе для системы (1) без учета возмущения, т. е. при д(п) = О,

с помощью второго метода Ляпунова и процедуры Бакаева-Гужа решена задача

оценки области начальных значений, при которых решения системы имеют не более

заданного числа проскальзываний циклов. Согласно процедуре Бакаева-Гужа, в

функциях Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности»

исходная нелинейная функция заменяется на функцию с теми же нулями, но

меньшим по модулю средним на периоде.

Введем в рассмотрение числа

tri Д Ol

Т = J\?{a)\da + J\v{o)\dc, 7 = J V(<r) da . R= ,

0 <TI ffl

-y ._ Г _ _ p

функции то. w) =-—-¡p—. M*, m, tu) =- »""

7+1 7+1

и квадратичную форму «/-вектора х и скалярной величины £

Ф(х, = (Ах + ЦуЩАх + ¿>£) - x'llx + хС{с'х + р0 + + Ф'х + +

где Н — Я* — некоторая (f х I/)-матрица, е, г/, к — числа.

Теорема 2.1. Пусть все собственные числа матрицы А содержатся внутри единичного круга, пара управляема, пара наблюдаема. Предположим,

что существуют числа е > 0, г/ > 0, >сф 0 и натуральное число m такие, что для функций (it(x,m,w), передаточной функции \(р) и вектора начальных данных .г(О) верны утверждения:

1) для всех выполнено частотное условие

2) справедливы неравенства

4 П[е~ + I И,(х,т,х'(0)Нх(0))\ )] > [ Щ1,(х,тп,х'(0)11х(0))}\

где если и если — вещественная

-матрица, для которой при любых выполнено неравенство

б

Тогда для решения (x(n),<j(n)) системы (1) с начальными данными (х(0),<т(0)) при всех натуральных п выполняется неравенство

Аналогичный результат можно сформулировать с учетом условий на производную в частотном неравенстве:

— некоторые параметры. В третьей главе рассматривается система (1) без учета возмущения, т. е. при g(n) = 0. Для оценок числа проскальзываний циклов как сверху, так и снизу, применяется дискретный вариант частотной теоремы и расширенный на дискретные системы метод нелокального сведения, основанный на использовании информации об устойчивости систем более низкого порядка — систем сравнения. Сформулированы утверждения, в которых при выполнении неравенств па варьируемые параметры, частотного условия и имеющихся соответственно верхней и нижней оценок числа проскальзываний циклов для дифференциального уравнения второго порядка получены оценки множества начальных состояний многомерной дискретной фазовой системы, для которых соответствующие решения имеют ладанные оценки числа проскальзываний циклов. Для формулировки результата введем в рассмотрение дифференцианьное уравнение второго порядка

и соответствующее ему уравнение первого порядка

F'(e)F(©) -Ъ аР(в) + 9(0) = 0, (3)

где а > 0 некоторый параметр, у(9) — нелинейность системы (1).

Рассмотрим квадратичную форму 1/-вектора х и скалярной величины £ вида

где — некоторые параметры,

Теорема 3.1. Предположим, что существуют числа к G N, А е (0,1), х> 0, такие, что выполнены следующие условия

1) все собственные числа матрицы расположены в открытом единичном круге;

2) все решения уравнения (2) ограничены на

3) цусть - решения уравнения (2) с начальными данными (0(0), ±6(0)), обладающие свойством |в,(<) — 6,(0)| < Ак для всех £ > 0;

4) для любого выполнены частотные условия

£,|х(Ар)|г-&{х(Ар)}<0,

где для любых а функции

с начальными данными являются решением уравнения (3) и

обладают свойствами

Тогда для любого решения (х(п),сг(п)) системы (1) с начальными данными, удовлетворяющим условиям где

обеспечивает < 0 для любых х и ||а;|| + ||£|| ^ 0, для всех п> 0 имеет

место оценка

Для формулировки теоремы об оценке снизу числа проскальзываний циклов введем в рассмотрение следующую квадратичную форму 1/-вектора х и скалярной величины £

£) = \~2(Ат + Ь£)'Н{Ах + 6£) -х'Нх- \~2£с'х + е^~2{с*х - р£)2 + ¡3\'2{с'Лх)2,

где Н = Н*, щ, ¡3 — некоторые параметры, г = 1,2.

Теорема 3.2. Предположим, что существуют числа к е N. А £ (0,1), /? > Отакие, что для них выполнены следующие условия

1) только одно собственное число матрицы вне замкнутого единичного круга;

2) все собственные числа матрицы расположены в открытом единичном круге;

3) пусть — решения уравнения (2) с начальными данными

такие, что существуют моменты времени для которых имеют место оценки

|9,(<4) - в|(0)| > ДЬ и для любого 4 € (0,*,) верно > 0;

4) для любого выполнены частотные условия

Щх(Ьр) ~р} + е.|х(Аг')Г + /?|Ар(х(Ар) - р) + с'Ь\2 < 0,

где ¿ = 1,2, е, = тах{0,тах[-1/2 («Г;(е) + <Ле))]} доя © е [0(0),9(40], а функции Р,(в) являются решениями уравнения (3) с начальными данными

выполнено неравенство

ар ■ J-J " V 1?

2/1

{•Ja* + 4/i - а] > -f + 1

£

t?» tf"

Тогда для любого решения (гг(п),<т(ге)) системы (1) с начачьными данными, удовлетворяющими условиям

<т(о) = е(о), V""'" ""¡у;" х{оунх(о) < -i©2(0).

е*х(0) > 0, если 6(0) > 0, с*х(0) < 0, если 9(0) < 0,

где Я = Я* обеспечивает Ич(х,£) < 0 для любых х и f, ||х|| -1-||£|| ^ 0, существует дискретный момент времени N > 0 такой, что |c(./V) — <г(0)| > Лк.

В теореме 3.3 отражено улучшение частотного условия с помощью результатов А. Н. Чурилова об оценках специального функцион&та, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой ВА. Якубовича. Для этого определим число /? следующим образом. Введем обозначения K(s) = с'(А — sEn)~1b, <5(s) = det(sE„ — А), i/(s) = Ä(s)K(s). Для s,r 6 С и параметра е определим полином

Представим функцию a(s) = тг(А2«~1, A2ä) в виде квазимногочлена со старшей степенью т и обозначим ат = hin л*"(т(я) при s —у 0. Число ß определим соотношением

/Г1 =Р(е)-1 =

4AV 4|(тот|Л

—4ш+4

+ •

(4)

1 + 4ер 1 + 4ер

Введем в рассмотрение квадратичную форму л-вектора х и скалярной величины £

где Я = Я*, А, £, — некоторые параметры, г = 1,2.

Теорема 3.3. Предположим, что существуют чиста к 6 Г1!, А е (0.1) такие, что для них выполнены условия 1), 3), 6) теоремы 3.2 и, кроме того,

4) для любого ре С, |р| = 1, выполнены частотные условия

^WAp)-p} + et|x(Ap)|2<0,

где i = 1,2, а параметры Cj и функции F,(0) определяются так же, как и в условии 4) теоремы 3.3;

определяется по формуле (4). Тогда справедливо утверждение теоремы 3.2., где H — Н* обеспечивает для любых а; и ||х|| +1|(|| ^ 0 и удовлетворяет равенству с'Н~1с = -Д"1.

Четвёртая глава посвящена оценкам сверху и снизу числа проскальзываний циклов для многомерной дискретной фазовой системы (1) при учете воздействия внешнего возмущения, т. е. при д(п) ^ 0. Здесь также используется дискретный вариант частотной теоремы и расширенный на дискретные системы метод нелокального сведения. Сформулированы теоремы для получения оценки множества начальных состояний многомерной дискретной фазовой системы, для которых соответствующие решения имеют заданные оценки числа проскальзываний циклов. В качестве системы сравнения рассматривается следующее дифференциальное уравнение второго порядка

и соответствующее ему уравнение первого порядка

F'(e)F(9) + aF(e) + vs(e) + 7 = 0. (6)

где а>0и7 - некоторые параметры, <р(&) — нелинейность системы (1).

Для формулировки теоремы об оценке сверху числа проскальзываний циклов для многомерной дискретной фазовой системы с внешним возмущением введем в рассмотрение следующую квадратичную форму 1/-вектора х и скалярной величины £

W,(x, £) = A~2(Ar + Щ'ЩАх + ftf) - х'Нх +{х + е,/2)(с'х - р£)2 + £(с*х -

где — некоторые параметры,

Теорема 4.1. Предположим, что существуют числа к £ N, А е (0,1), а > О, такие, что выполнены следующие условия

1) все собственные числа матрицы А~1А расположены в открытом единичном круге;

2) для любого имеет место

3) для любого имеет место

5) все решения уравнений ограничены на

6) пусть 0,(4) (г = 1,2) - решения уравнений (5) при 7 = 7, с начальными данными

обладающие свойствами

7) для любого выполнены частотные условия

(х + £</2)|х(Ар)]г — 3&{х(Ар)} < О,

где ¿ = 1,2, х — 1/2 а2(1 — А2)"1 > 0, е4 = тах{-(^(6)Щ6))'} для всех

а функции с начальными данными

являются решениями уравнений (6) соответственно,

и обладают свойствами *Ь(в) < 0, © 6 (9(0) - кА, 6(0)], Р2(6(0) - кА) = 0.

Тогда для любого решения системы (1) с начальными данными,

удовлетворяющими условиям где

обеспечивает для любых имеет

место оценка

Для формулировки теоремы об оценке снизу числа проскальзываний циклов для многомерной дискретной фазовой системы с внешним возмущением введем в рассмотрение следующую квадратичную форму ¡-вектора х и скалярной величины £

О = Д-2(Аж + Ь£У Н(Ах + Ь£) - х'Нх - £с'х + е^с'х - р£)2 + /Э(с'Лх)2,

где — некоторые параметры,

Теорема 4.2. Предположим, что существуют числа к € ГО', Ае(0,1), ¡3 > 0,

такие, что для них выполнены следующие условия

1) у матрицы только одно собственное число вис замкнутого единичного круга;

2) все собственные числа матрицы расположены в открытом единичном круге;

3) для любого о имеет место (^>(сг) +7()г + ((^(ст))2 ф 0;

4) для любого п>0 имеет место '/i < prrö(n + 1) _ — Та!

5) 7! < 9(0) < Ъ\

6) пусть ©,(£) (г = 1,2) — решения уравнений (5) при 7 = с начальными данными ©(0), ±6(0) такие, что существуют моменты времени i» > 0, для которых имеют место оценки |©s(ii) — ©»(0)| > Ак, и для любого t е (0, t,) верно |©,(i)| > 0;

7) для любого ре С, |р| = 1, выполнены частотные условия

ЗЧхО) - р} + *|х(Ар)|» + /?|Ар(х(Ар) - р) + с*Ь\2 < 0,

где

являются решениями уравнения (6) при соответственно и начальных

данных F,(©(0)) = ±9(0);

выполнено неравенство

Тогда для любого решения (х(п),с(п)) системы (1) с начальными данными, удовлетворяющими условиям

где Н — Я* обеспечивает < 0 для любых х и ¡|х|[ + ||£|| ф 0, существует

дискретный момент времени N > О такой, что ]сг(Л^) — ст(0)| > Ак.

В пятой главе рассматривается задача оценки времени установления переходного процесса для многомерной дискретной фазовой системы (1) при В качестве системы сравнения рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка (2) и соответствующее ему уравнение первого порядка (3).

Сформулировано утверждение, позволяющее получить оценку области начальных значений решений системы (1), для которых время установления переходного процесса по выходу пс превосходит заданной величины. Рассмотрим квадратичные формы ^-векторах и скалярной величинывида

сг(О) = ©(0),

с*х(0) > 0, если ©(0) > 0, с*х(0) < 0, если ©(0) < 0,

л;(0)*Яа;(0) < --©2(0),

1

Wi(x, 0 = \'2(Ах + Ь$уН(Ах + Ь£) -х'Нх + Gt{(x, £)), <?.((*,О) = + £i)(c"x - püf + 2(с'х - рЖ + ß(c'Axf],

12

где Я = Я* — некоторая м а т «р 1^2,Ц, а, ,, — параметры.

Теорема 5.1. Предположим, с'Ь ф 0. Пусть для чисел А £ (0,1), я > 0, а> 0,

0 > 0 , т > 0 выполнены следующие условия:

1) все собственные числа матриц А_1Л и Х~1(Е ~ расположены внутри единичного круга,

2) все решения системы (2) ограничены на

3) решения системы (2) с начальными данными обладающие свойствами:

3.1. существуют моменты времени Т„ для которых 0ДГ1) = 0:

3.2. 61(4) > о, < о для всех г е [о, г,);

3.4. О < е01 - ©02 < А, где ©о, = ©,(Г,);

3.5. существует Т/ : для любьж<1,<2 е [Г/,Г)) справедливо |©1(<2) — ©1(^1)! < Д;

3.6. выполнено неравенство , где ¡г = тт{у>(<7)}

4) для любого выполнены частотные условия

-2 Э&{АГ(Ар)} + (*г + е,) |К-(Ар)|2 + /?|Ар(АГ(Ар- р) + с*6|2<0,

где

уравнения (3) с начальными данными

5) выполнены условия: а2 < х(1 — А2),

Тогда время Nf установления переходного процесса системы (1) не превосходит для решений с начальными данными, удовлетворяющими

условиям где матрица обеспечивает

отрицательную определенность квадратичной формы

В шестой главе проведено исследование переходных процессов в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим

1И1 + НСН*о.

фильтром и типовыми характеристиками фазового детектора, математическая модель которой имеег вид

ф +1)- V(n) + Щ,Ти ¿) W(n - j)F{v{j)) = UaTu, (7)

где Ну — полоса удержания, Пн — начальная расстройка подстраиваемого генератора от необходимой гармоники эталонного сигнала,, Тц — период следования сигналов импульсов, — разность фаз подстраиваемого генератора и

необходимой гармоники эталонного сигнала в момент времени —

нелинейная характеристика импульсно-фазового детектора, W(n) — импульсная характеристика линейной части системы. Для применения предложенных выше теорем уравнение (7) сводится к системе (1).

В заключении сформулированы основные выводы и перечислены результаты, выносимые на защиту. Приложение содержит вычислительные алгоритмы и известные результаты, используемые для доказательства предложенных в работе теорем.

Основные результаты

1. С помощью процедуры Бакаева-Гужа для многомерной дискретной фазовой системы без учета внешнего возмущения получены критерии, позволяющие оценить область начальных значений, при которых решения системы имеют не более заданного числа проскальзываний циклов.

2. Для многомерной дискретной фазовой системы с учетом внешнего возмущения получены оценки сверху и снизу числа проскальзываний циклов при помощи расширенного на дискретные системы метода нелокального сведения Г. А. Леонова.

3. Показано, что, используя результаты А. Н. Чурилова об оценках специального функционала, определенного на решениях матричпых неравенств, связанных с частотной теоремой В. А. Якубовича, в оценке снизу числа проскальзываний циклов можно улучшить частотное условие и упростить поиск варьируемых параметров.

4. Для дискретной фазовой системы без внешнего возмущения сформулировано утверждение, позволяющее получить оценку области начальных значений, для

которых время установления переходного процесса по выходу не превосходит заданной величины.

5. На основании полученных результатов проведено исследование

переходных процессов в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром и типовыми характеристиками фазового детектора. Полученные оценки областей начальных состояний, для которых система имеет заданное число проскальзываний циклов, найденные аналитическими методами,, достаточно близки к соответствующим границам для начальных значений, которые были получены численным моделированием.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить Веру Борисовну Смирнову за плодотворное сотрудничество.

Работы автора по теме диссертации

1. Утина Н. В., Оценка снизу числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах. Вестник СПбГУ, сер. 1, 2003, вып. 1 (N 1), стр. 46-56.

2. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И., Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью Вестник СПбГУ, сер. 1, 2003, вып. 2 (N 9), стр. 48-57.

3. Утина Н. В., Оценки переходных процессов в дискретной системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты. Электронный ж>рнал www.neva.ru/joTirnal Дифференциальные уравнения я процессы управления, N 3, 2003, стр. 88-115.

4. Утина Н. В., Шепелявый А. И., Задача Стокера для дискретных систем синхронизации Международная научная конференция по механике "Третьи Поляховские чтения", С.-Петербург, Россия, 2003, Избранные труды, стр. 101-106.

5. Shepeljavyi A. I., Smirnova V. В., Utina N. V. Frequency-domain conditions for cycle-slipping in discrete systems with periodic nonlinearity. International Conference "Physics and Control". Proceedings, Saint-Petersburg, August 20-22, 2003, p. 607-610.

6. Утина Н. В., Оценка времени установления переходного процесса по выходу для дискретной фазовой системы Электронный журнал www.neva.ru/journal Дифференциальные уравнения и процессы управления, N 1, 2004, стр. 12 27.

1-4444

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 18.02.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3162. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

Введение.

1 Фазовые системы.

1.1 Дискретные фазовые системы. Основные определения и свойства. Канонические формы записи.

1.2 Задача Стокера о числе проскальзывания циклов.

1.3 Постановка задач для многомерных дискретных фазовых систем.

2 Оценка числа проскальзываний циклов с помощью процедуры Бакаева-Гужа.

2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов.

2.2 Учет ограничений на производную от нелинейности в частотном условии.

3 Оценки числа проскальзываний циклов при помощи метода нелокального сведения.

3.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов.

3.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов.

3.3 Улучшение частотного условия в оценке снизу.

4 Дискретная фазовая система с внешним воздействием.

4.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов.

4.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов.

5 Оценка времени установления переходного процесса для дискретной фазовой системы.

5.1 Верхняя оценка времени установления переходного процесса по выходу.

6 Переходные процессы в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) с пропорционально-интегрирующим фильтром.

6.1 Математическое описание системы ИФАПЧ.

6.2 Аналитическая проверка условий теорем 3.1 и 3.3.

6.2.1 Оценка сверху числа проскальзываний циклов.

6.2.2 Оценка снизу числа проскальзываний циклов.

6.3 Сравнение результатов полученных при помощи теорем 3.1, 3.3 и численного моделирования.

История математического исследования нелинейных фазовых систем автоматического управления началась с работ Ван-Дер-Поля [82, 83], Ф. Трикоми [81]. Методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, созданные А. М. Ляпуновым, А. Пуанкаре и И. Бендиксоном, позволили провести широкое исследование переходных процессов в системах фазового управления, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Обзор результатов по этой тематике можно, в частности, найти в работе В. Линдсея [35]. Среди работ, посвященных анализу процессов в непрерывных фазовых системах управления, отметим работы Ю. Н. Бакаева [5], В. Н. Белых и В. И. Некоркина [11, 12], Л. Н. Белюстиной [13], Б. И. Шахтарина [52]. С помощью качественно-численных методов системы фазовой синхронизации исследовались в работе Л. И. Белюстиной и В. Н. Белых [8]. В 70-е годы Г. А. Леоновым были предложены новые методы изучения фазовых систем, (в частности, метод нелокального сведения), которые позволили исследовать системы произвольной размерности [27, 28, 29].

В системах управления, в радиоавтоматике, радиоизмерительных комплексах и других системах авторегулирования все шире применяются системы фазовой автоподстройки частоты (фазовой синхронизации) с элементами дискретизации. Применение элементов дискретизации в системах фазовой автоподстройки частоты позволяет эталонного сигнала повысить надежность работы системы, упростить технологию ее изготовления и настройки, облегчить сопряжение системы с цифровыми

ЭВМ, максимально использовать преимущества микросхемотехники. Существенный вклад в исследование практических и теоретических вопросов, связанных с изучением фазовых систем с элементами дискретизации, внесли труды В. А. Левина [26], В. Н. Кулешова и А. А. Морозова [25], Ф. Райтмана [37, 72, 73, 74], Г. А. Леонова, Ю. А. Корякина А. Н. Карпычева, А. И. Шепелявого [19, 21, 33, 34], и многих других авторов.

Однако, несмотря на значительное число опубликованных работ, они относятся, в основном, к задачам устойчивости и колебательности. Полученные в диссертационной работе результаты для переходных процессов являются новыми и дополняют имеющиеся исследования многомерных дискретных фазовых систем.

В данной работе рассматривается класс многомерных дискретных фазовых систем, математическое описание которых сводится к нелинейным разностным уравнениям с выделенной линейной частью и аддитивно входящей периодической нелинейностью. Такими уравнениями описываются, например, системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации [51, 58]. Любая из систем данного класса может работать в двух различных режимах: синхронном режиме (режиме сопровождения) и режиме захвата (режим установления или переходный процесс) Каждый из этих режимов имеет определенные физические ограничения и характеристики. Среди наиболее информативных характеристик переходного процесса, позволяющих проанализировать работу системы, можно выделить следующие: число проскальзываний циклов и время установления переходного процесса. В системах фазовой синхронизации вместо слов "проскальзывание циклов" часто употребляется термин "перескок разности фаз" [51]. Число проскальзываний циклов характеризует изменения выходной переменной, кратные периоду входящей в систему нелинейности, является важной характеристикой переходных процессов и определяет работоспособность системы в целом. Вторая характеристика определяется как время, необходимое для того, чтобы изменение фазовой ошибки не превышало периода нелинейности, входящей в систему [35, 75].

Задача о числе проскальзываний циклов, более 30 лет назад решенная Стокером [78] для маятника, сразу нашла многочисленные применения в технике, в частности, в теории систем фазовой синхронизации, синхронных электрических машин, синхронно-следящих машин [51, 58]. Для многомерных непрерывных систем в работе О. Б. Ершовой, Г. А. Леонова [31] в работах С. Али-Хабиба, А. В. Морозова, А. И. Шепелявого [39, 40] и затем в диссертациях О. Б. Киселевой [20] и С. Али-Хабиба [38] рассматривались задачи, связанные не только с оценками числа проскальзываний циклов, но и с оценками некоторых других характеристик переходных процессов в непрерывных системах произвольного порядка. Отметим также, что в ряде работ явление проскальзывания циклов изучалось в связи с наличием внешних помех в системе [43, 44, 45, 46, 47, 48, 54].

Говоря об оценках времени переходных процессов в непрерывных системах фазовой синхронизации автоматического регулирования, необходимо начать с теории, предложенной Ричменом [75]. Для различных видов нелинейностей этот метод применяли Бирн [62], Мейер [69], Шахтарин [53]. Другие методы определения времени установления частоты были предложены в работах [76, 71, 77, 70, 68] Все перечисленные работы, за исключением статьи Мейера, в которой исследуется система третьего порядка, касаются систем фазовой синхронизации второго порядка. Для непрерывных систем произвольного порядка задача оценки времени установления частоты рассматривалась в диссертации О. Б. Киселевой [20].

В диссертационной работе исследуются переходные процессы в многомерных дискретных системах управления с периодической нелинейностью при наличии внешнего возмущения или без него. Для этого используется аппарат второго метода Ляпунова, процедура Бакаева-Гужа [6], специально предназначенная для исследования систем с цилиндрическим фазовым пространством. Согласно процедуре Бакаева-Гужа исходная нелинейная функция заменяется в функциях Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности" на функцию с теми же нулями, но меньшим по модулю средним на периоде. Также используется дискретный вариант частотной теоремы В. А. Якубовича о разрешимости специальных матричных неравенств [15, 27, 29], расширенный на дискретные системы метод нелокального сведения Г. А. Леонова [15, 33, 34], основанный на использовании информации об устойчивости систем более низкого порядка, и результаты А. Н. Чурилова [49] об оценках специального функционала, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой.

С помощью этих методов сформулированы утверждения, позволяющее получить оценки области начальных значений, при которых решения системы имеют заданные оценки числа проскальзываний циклов и времени установления переходного процесса.

Для численного моделирования результатов данной работы в основном была использована универсальная среда Mathcad [24]. Она позволяет вводить исходные данные как в обычном текстовом редакторе, традиционно описывать решение задач и получать результаты вычислений в аналитическом и численном виде с возможностью использования средств графического представления результатов, а также может взаимодействовать с другими приложениями, например, данные программы Exel или системы Matlab могут непосредственно включаться в вычислительный поток системы Mathcad. Среди пакетов программ системы Matlab отметим LMI Control Toolbox [63], с помощью которого можно реализовать проверку частотных неравенств. Однако, в случае невысокой размерности фазового пространства рассматриваемой системы частотные условия можно легко проверить аналитически.

В первой главе диссертационной работы даются основные определения и свойства нелинейных дискретных фазовых систем, описывается задача Стокера о числе проскальзываний циклов на примере двумерной фазовой системы. Даются определения рассматриваемых характеристик переходных процессов и постановка задач по их оценке для многомерных дискретных фазовых систем. В последующих главах рассматривается многомерная дискретная фазовая система. Глава 2 посвящена оценке сверху числа проскальзываний циклов с помощью процедуры Бакаева-Гужа, распространенной на дискретные системы. Предлагаются частотные критерии для оценки сверху числа проскальзываний циклов в общем случае и с учетом условий на производную от нелинейности системы, что позволяет улучшить частотное условие в критерии для общего случая. В главе 3 даются оценки сверху и снизу числа проскальзываний циклов при помощи расширенного на дискретные системы метода нелокального сведения. Показано, что, используя результаты А. Н. Чурилова в оценке снизу числа проскальзываний циклов можно улучшить частотное условие и упростить поиск варьируемых параметров. В главе 4 для системы с внешним детерминированным возмущением задачи оценок числа проскальзываний циклов сверху и снизу решены также при помощи метода нелокального сведения. В главе 5 изучается задача оценки времени установления переходного процесса для решения рассматриваемой многомерной дискретной фазовой системы. Сформулирован критерий, позволяющий получить оценку области начальных значений, для которых время установления переходного процесса по выходу не превосходит заданной величины. В главе 6 на основании полученных результатов проведено исследование переходных процессов в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром и типовыми характеристиками фазового детектора. Полученные оценки областей начальных состояний, для которых система имеет заданное число проскальзываний циклов, найденные аналитическими методами, достаточно близки к соответствующим границам для начальных значений, которые были получены численным моделированием.

Основные результаты диссертации докладывались на двух Российских и семи Международных конференциях [85] - [92], а также опубликованы в работах [93, 94, 95, 96, 97, 98].

1 Фазовые системы.

Заключение.

В данной работе рассматриваются многомерная дискретная фазовая система управления. В частности, такие системы используются в современных синхронизаторах частот, демодуляторах импульсных сигналов с частотной и фазовой модуляциями, в устройствах тактовой синхронизации, строчной и кадровой синхронизации и т.д. Среди наиболее информативных характеристик переходных процессов, позволяющих проанализировать работу системы, выделены две основные: число проскальзываний циклов и время установления переходного процесса.

Для исследования качественного поведения решений системы в данной работе используется аппарат второго метода Ляпунова, процедура Бакаева-Гужа, специально предназначенная для исследования систем с цилиндрическим фазовым пространством, дискретный аналог частотной теоремы Якубовича-Калмана о разрешимости квадратичных матричных неравенств, расширенный на дискретные системы метод нелокального сведения Г. А. Леонова, основанный на использовании информации об устойчивости систем более низкого порядка — систем сравнения и результаты А. Н. Чурилова об оценках специального функционала, определенного на решениях матричных неравенств, связанных с частотной теоремой В. А. Якубовича,.

Поставлены и с помощью указанных методов решены задачи об оценках областей начальных значений многомерной дискретной фазовой системы, при которых ее решения имеют заданные оценки рассматриваемых характеристик.

С помощью процедуры Бакаева-Гужа для многомерной дискретной фазовой системы получены критерии, позволяющие оценить область начальных значений, при которых решения системы имеют не более заданного числа проскальзываний циклов.

При помощи расширенного на дискретные системы метода нелокального сведения Г. А. Леонова решены задачи верхней и нижней оценок числа проскальзываний циклов.

Для многомерной дискретной фазовой системы с учетом воздействия внешнего возмущения также при помощи метода нелокального сведения Г. А. Леонова получены оценки сверху и снизу числа проскальзываний циклов.

Показано, что, используя результаты А. Н. Чурилова, в оценке снизу числа проскальзываний циклов можно улучшить частотное условие и упростить поиск варьируемых параметров.

Для дискретной фазовой системы без внешнего возмущения сформулировано утверждение, позволяющее получить оценку области начальных значений, для которых время установления переходного процесса по выходу не превосходит заданной величины.

На основании полученных результатов проведено исследование переходных процессов в системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром и двумя типовыми характеристиками фазового детектора. Полученные оценки областей начальных состояний, для которых система имеет заданное число проскальзываний циклов, найденные аналитическими методами, достаточно близки к соответствующим границам для начальных значений, которые были получены численным моделированием.

1. Акимов В. Н., Белюстина JI. Н., Белых В. Н. и др. Система фазовой синхронизации. М. Радио и связь, 1982.

2. Андреев В. А., Шепелявый А. И. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем в задаче минимизации квадратичного функционала. Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 8 (1971) 8/9.

3. Андреев В. А., Шепелявый А. И. Синтез оптимальных управлений для амплитудно-импульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа. Сибирский математический журнал, т. 14, N 2, 1973.

4. Андриевский Б. Р., Фрадков A. JI. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб. Наука, 2001.

5. Бакаев Ю. И. Синхронизирующие свойства фазовой системы АПЧ третьего порядка. Радиомеханика и электроника, т. 10, N 6, 1965.

6. Бакаев Ю. И., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Доплера. Радиомеханика и электроника, т. 10, N 1, 1965.

7. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М. Наука, 1969.

8. Белюстина JI. Н., Белых В. Н. Гомоклинические структуры, порождаемые моделью фазовой автоподстройки. В кн.: фазовая синхронизация. Под ред. В. В. Шахгильдяна и JI. Н. Белюстиной., гл. 6., М. Связь, 1975.

9. Белюстина JI. Н., Белых В. Н. О глобальной структуре цилиндрического фазового пространства одной неавтономной системы. Диф. уравнения, т. 9, N 4, 1973.

10. Белюстина JI. Н., Быков В. В., Кивелева К. Г., Шалфеев В. Д. О величине полосы захвата системы ФАП с пропорциоиально-интегрирующим фильтром. Известия вузов, радиофизика, т. 13, N 4, 1970, с.561-567.

11. Белых В. Н., Некоркин В. И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации. Прикладная математика и механика, т. 39, N 4, 1975.

12. Белых В. Н., Некоркин В. И. О качественном исследовании многомерной фазовой системы. Сиб. мат. журнал, т. 18, N 4, 1977.

13. Белюстина JI. Н. О качественных структурах в трехмерном пространстве особо возмущенной грубой системы второго порядка и некоторых оценках. В кн.: Динамика систем, ГГУ. вып. 4, 1974.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. Наука, 1967.

15. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М. Наука, 1978.

16. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., Физматгиз, 1959.

17. Капранов М. В. Свойства систем коллективной фазовой автоподстройки частоты. Всесоюзная научно-техническая конференция. Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации (тезисы докладов и сообщений). Москва-Горький: 1979, с. 7-8.

18. Капранов М. В. Коллективная синхронизация в каскадных взаимосвязных системах ФАП. Труды МЭИ, 1979, вып. 418.

19. Карпычев А. Н., Корякин Ю. А., Леонов Г. А., Шепелявый А. И. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости многомерных дискретных систем фазовой синхронизации. Вопросы кибернетики и вычислительной техники. Дискретные системы, вып. 87, Киев, 1990.

20. Киселева О. Б. Частотные оценки характеристик переходных процессов в нелинейных фазовых системах. Диссертация на соискание уч. степ, к.ф.-м.н. СПб, 1987.

21. Корякин Ю. А., Леонов Г. А., Лисс А. Р. Частотный критерий устойчивости дискретных систем автоматическото управления фазой колебаний генератора. Автоматика и телемеханика, N 12, 1978, с. 64-69.

22. Корякин Ю. А., Леонов Г. А. Процедура Бакаева-Гужа для систем со многими угловыми координатами. Изв. АН Каз-ССР. Сер. физ.-мат., N 3, 1976.

23. Корякин Ю. А. Процедура Бакаева-Гужа для дискретных систем. В книге "Нелинейные колебания и теория управления". Ижевск, 1977.

24. Кудрявцев Е. М. Mathcad 2000 pro. М. ДМК Пресс, 2001, 576 с.

25. Кулешов В. Н., Морозов А. А. Исследование импульсной системы фазовой автоподстройки частоты. Радиотехника и электроника, т. 8, N 8, 1963.

26. Левин В. А. Стабилизация дискретного множества частот. М., Энергия, 1970.

27. Леонов Г. А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации. Прикладная математика и механика. N 2, 1976.

28. Леонов Г. А. Об ограниченности решений фазовых систем, вестник ЛГУ. Сер. матем., механ. и астр., N 1, 1976.

29. Леонов Г. А. Теорема сведения для нестационарных нелинейностей. Вестник ЛГУ. Сер. матем., механ., астр., N 7, 1977.

30. Леонов Г. А. Частотные критерии неустойчивости систем фазовой синхронизации. Радиотехника и электроника, т. XXVIII, N 6, 1989.

31. Леонов Г. А., Ершова О. Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, N 5, 1983.

32. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. С.-Пб., Наука, 2000.

33. Леонов Г. А., Шепелявый А. И. Частотный критерий неустойчивости дискретных фазовых систем. ВИНИТИ. Депонирована от 02.07.84.г. N 4502-84.

34. Леонов Г. А., Шепелявый А. И. Неустойчивость дискретных систем управления с периодической нелинейностью. ВИНИТИ. Депонирована от 07.08.84.г. N 5758-84.

35. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М. Сов.радио. 1978. 598 с.

36. Первачев С. В., Валуев А. А., Чиликин В. М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. М., Сов.радио, 1973.

37. Райтман Ф. Частотные условия колебательности и неустойчивости дискретных систем автоматического управления. Диссертация на соискание уч. степ, к.ф.-м.н., СПб, 1979.

38. С. Али-Хабиб Частотные оценки числа проскальзываний циклов в системах синхронизации. Диссертация на соискание уч. степени к.ф.-м.н., СПб, 1997.

39. С. Али Хабиб, Морозов А. В., Шепелявый А. И. Оценки числа проскальзываний циклов в системах синхронизации. Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Москва, 1996.

40. С. Али Хабиб, Морозов А. В., Шепелявый А. И.

41. Частотные оценки числа проскальзываний циклов для фазовыхсистем. Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. IY Международный семинар, Москва, 1996.

42. Самсонов Ю. А., Федоров И. С., Малев Б. А., Мячин В. Е.

43. Частотноизбирательные элементы измерительных устройств балансировочной техники. В кн.: Информационная измерительная техника. Пенза, 1973, вып. 1,2.

44. Самойлов В. Ф., Хромой Б. П. Телевидение. М., Связь, 1975.

45. Стратонович P. JI. Синхронизация автогенератора при наличии помех. Радиотехника и электроника, т. 3, N 4, 1958.

46. Стратонович P. JI. Избранные вопросы флуктуаций в радиотехнике М. Сов.радио. 1961.

47. Тихонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой автоподстройки частоты. Автоматика и телемеханика, т. 20, N 9, 1959.

48. Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при наличии шумов. Автоматика и телемеханика, т. 21, N 3, 1960.

49. Тихонов В. И., Челышев К. Б. Статистическая динамика фазовой автоподстройки частоты. Радиотехника и электроника, т. 8, N 2, 1963.

50. Челышев К. Б. Воздействие шума на фазовую автоподстройку частоты. Автоматика и телемеханика, т. 24, N 7, 1963.

51. Чурилов А. Н. Об оценках функционала, встречающегося при исследовании дискретных систем управления. Известия ВУЗов, Математика, N 9, 1984.

52. Фомин А. Ф., Урядников Ю. Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений с импульсными следящими демодуляторами. Радиотехника, т. 31, N 9, 1976.

53. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М. Связь, 1972.

54. Шахтарин Б. И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. М.: Машиностроение, 1991.

55. Шахтарин Б. И. О некоторых характеристиках нелинейной системы фазовой синхронизации. Радиотехника, т. 26, N 4, 1971.

56. Шахтарин Б. И. Статистическая динамика системы ФАГТ при наличии пропорционально-интегрирующего фильтра. Автоматика и телемеханика, т. 28, N 10, 1967.

57. Шепелявый А. И. Абсолютная устойчивость нелинейных амплитудно-импульсных систем управления. Частотные критерии. Автоматика и телемеханика, N 6, 1972.

58. Якубович В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными и линейными нестационарными блоками. 1,11. Автоматика и телемеханика, NN 1,2, 1968.

59. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления. Сиб. мат. журнал, т. 14, N 2, 1973.

60. Системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации, (под редакцией В. В. Шахгильдяна), М. Связь, 1979.

61. Amerio L. Ann. Mat. pura ed appl., 1949, ser. 4, vol. 30, p. 75-90.

62. Bozzoni E. A., Marchetti G., Mengali U., Russo F. An extension of Viterbi's analysis of the cycle slipping in a first-order phase-locked loop. IEEE Trans, on AES, vol. 6, N 4, jul., 1970.

63. Brockett R. W. On the asymptotic properties of solution of differential equations with multipli equilibra. J. Diff. Equations. Vol. 35, N 4, p. 343353, 1982.

64. Byrne С. I. Properties and design of the phase controlled oscillator with a sawtooth comparator. Bell System Technical Jornal, 1962, v. 41, N 3, p. 559-603.

65. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guige. Natlick, MA: The Math-Works, Inc., 1995.

66. Koryakin Yu., Leonov G., Reitmann V. Konvergenz im Mittel von Phasensystemen. Z.angew. Math, und Mech., 1978, Bd. 58, N 10, S. 435441.

67. Leonov G. A., Reitman V., Smirnova V. B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgard-Leizig, 1992.

68. Liang Z. C. The boundedness of solutions of certain nonlinear differential equations. Chinese Math. Vol. 3, N 2, p. 169-183, 1963.

69. Manassewitch V. Frequency Synthesizers. Thejry and Design — A Wiley-Interscience Publication/ John Wiley & Sons. New York, London, Sydney. Toronto: 1976.

70. Mancianti M., Russo F., Verrazzani L. An extension of Richman analysis to the second-order SCS. Proc. IEEE, 1974, v. 62, N 3, p. 414415.

71. Meer S. A. Analysis of phase-locked loop acquisition: a quasi stationary approach. IEEE International Convention Record, 1966, part 7, Recived Signal Processing, Session 13, p. 85-107.

72. Mengali U. Acquisition behavior of generalised tracking systems in the absence of noise. IEEE Trans, on Communications, 1973, v. 21, N 7, p. 820-826.

73. Protonotarios E. N. Pull-in time in second-order phase-locked loop with sawtooth comparator. IEEE Trans, on Circuit Theory, 1970, v. 17, N 8, p. 372-378.

74. Reitmann V. Schwache Instbilitat im ganzen von nichtlineriaren diskreten Impulssysyemen. Wiss. Z. d. Tech. Univ. Dresden, 1977, Jg. 26, H. 6, S. 1055-1057.

75. Reitmann V. Uber Instbilitat im ganzen von nichtlineriaren diskreten Systemen. Z.angew. Math, und Mech., 1979, Bd. 59, N 11, S. 652-655.

76. Reitmann V. Uber beschrankte und periodische Trajektorien in nichtlineriaren Impulssysyemen. Wiss. Z. d. Tech. Univ. Dresden, 1978, Jg. 27, H. 2, S. 355-357.

77. Richman D. Color carrier reference phase synchronization accuracy in NTFC color television. Proc. IRE, v. 42, N 1, 1954.

78. Shaft P. D., Dorf R. C. Minimization of communication-signal acquisition time in tracking loops. IEEE Trans, on Communications Technology, 1968, v. 16, N 6, p. 495-499.

79. Splitt F. G. Design and analysis of linear phase-locked loop of wide dynamic range. IEEE Trans, on Communications Technology, 1970, v. 14, N 8, p. 432-440.

80. Stoker J. J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York, 1950. (Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М, Изд-во иностранной лит-ры, 1952.)

81. Tausworthe R. Cycle slipping in phase-locked loops. IEEE Trans, on Com. Technology, vol. 15, N 3, june, 1967.

82. Tausworthe R. Simplified formula for mean cycle-slip time of phase-locked loops with steady-state phase error. IEEE Trans, on Com. Technology, vol. 20, N 3, jun., 1972.

83. Trikomi F. Annal della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa Scienza Physiche e Mathematiche, vol. 2, N 2, 1933.

84. Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance. IRE of Sci., ser. 7, vol. 3, 1923.

85. Van der Pol B. On relacsation oscillation. -Phil.Mag., 1926.

86. Viterbi A. J. Phase-locked loop dynamics in presence of noise by Fokker-Planck techniques. Proc. IEEE, vol. 51, Dec.,1963.

87. Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценки числа проскальзываний циклов в дискретных фазовых системах. Тезисы III международной конференции "Tools for mathematical modelling", С.-Петербург, 2001.

88. Утина Н. В., Шепелявый А. И. Частотная оценка числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах с периодической нелинейностью. Тезисы II международного конгресса "Нелинейный динамический анализ", Москва, 2002.

89. Утина Н. В., Шепелявый А. И. О задаче проскальзываний циклов для дискретных систем с периодической нелинейностью. Тезисы VI Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова", Алушта, 2002.

90. Смирнова В. В., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Задача о числе проскальзываний циклов для дискретных фазовых систем. Тезисы VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 2002.

91. Утина Н. В. Вычислительные алгоритмы решения задачи Стокера для дискретных фазовых систем. Тезисы Молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения", Казань, 2002.

92. Утина Н. В., Шепелявый А. И. Задача Стокера для дискретных систем синхронизации. Тезисы Международной конференции по механике "Третьи Поляховские чтения", С.-Петербург, 2003.

93. Утина Н. В. Двухсторонние оценки в задаче Стокера для дискретных фазовых систем. Тезисы Международной конференции

94. Моделирование и исследование устойчивости динамических систем", Киев, 2003.

95. Утина Н. В. Оценки переходных процессов в дискретной системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты. Тезисы IV международной конференции "Tools for mathematical modelling", С.Петербург, 2003.

96. Утина H. В. Оценка снизу числа проскальзываний циклов в многомерных дискретных системах. Вестник СПбГУ, сер. 1, 2003, выи. 1 (N 1), стр. 46-56.

97. Смирнова В. Б., Утина Н. В., Шепелявый А. И. Оценка сверху числа проскальзываний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью. Вестник СПбГУ, сер. 1, 2003, вып. 2 (N 9), стр. 48-57.

98. Утина Н. В. Оценки переходных процессов в дискретной системе импульсно-фазовой автоподстройки частоты. Электронный журнал www.neva.ru/journal "Дифференциальные уравнения и процессы управления", N 3, 2003, стр. 88-115.

99. Утина Н. В., Шепелявый А. И. Задача Стокера для дискретных систем синхронизации. Международная научная конференция помеханике "Третьи Поляховские чтения", С.-Петербург, Россия, 2003, Избранные труды, стр. 101-106.

100. Утина Н. В. Оценка времени установления переходного процесса по выходу для дискретной фазовой системы. Электронный журнал www.neva.ru/journal "Дифференциальные уравнения и процессы управления", N 1, 2004, стр. 12-27.