Коммутирующие отображения и дифференциальные операторы, связанные с алгебрами ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕЗОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО "ФАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЧАЛЫХ Олег Александрович

УДК 512.81 + 514.84

КООПТИРУЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ДИФШШЩАЛЬШЕ ОПЕРАТОРЫ, СВЯЗАЕШЕ С АЛГЕБРАМИ ЛИ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат с'изико-математических наук, доцент А.П.Веселов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук А.К.Погребков кандидат физико-математических наук О.И.Ыохов

Ведущая организация - Ленинградское отделение Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР

Защита диссертации состоится " » 1992 г.

в 16 час, 05 мин. на заседании специализированного Совета по математике Д.053.Сб.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ШУ / Главное здание, 14 этаж / .

Автореферат разослан " ¡О" 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.05 при ШУ, доктор физико-математических наук В.НЛубариков

■•с . -/.м- | ■ Лг. u«sj

гсертгций I 0БЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

"Н

Актуальность темы. Динамике полиномиальных отображений С* С посвящены фундаментальные работы ¿лслиа и Фату 1918-1920 гг. Несколько позне появились работы 1-лолиа, Фату и Ригта [1 - з] , посвященные проблеме коммутации, то есть описанию коммутирующих многочленов 4, § :

^ = И . (Я

Несмотря на то, что в этих работах нет явного упоминания об интегрируемости, их можно отнести к числу основополагающих в этом направлении.

Именно существование коммутирующего отображения было положено в основу подхода к определении интегрируемости в ра-5отах А.П.Веселова [4-5] . Мотивировкой для него послужили, в частности, замечательные результаты конечноэонноп теории

1. Ju.£¿a G~. Шт>1ли м. ta. ^u.rn.u.ia¿iíii¿ dm ^u^ti^yL oetÚHutc££e¿ . CUtn.. Sü, . ¿cofy hvtm. Si+p.j

-Í9Z2 j v, S3 , p. i3i- ZAS. I. Fcctou P. Sua i1 btt-чяЛСсп. a^iaiytúy^e et tif Swéitctu-tlon. ^ЬипиХоЛЫ . Т. Wicctk. fu^Ci (Ifpí.j

№14 v, 3 j p. 1-45. 3 Rett J ъссклл^сЛ JwUCcns.

' TWs.* <W. rvwtt.. v.2F,p.*39-m.

I. Веселов A.II. Интегрируемые отображения и алгебры Ля. -

ДАН СССР, 1987, т.292, 6, с. 1289-1291. з. Веселов А.П. 11нтегриоуемые отображения. - УМН, 1991, т.46, 5, с. 3-45.

оператора шредингера, показывающие, что существование оператора А нечетного порядка, коммутирующего с оператором Шредингера = ~ Ззс4-*'^*) с периодическим потенциалом:

[Ь,АО = 0 (2)

влечет замечательные спектральные свойства оператора I—» / см. Гб1/.

Лальнешше исследования показали, что аналогия между (1} и (2) является довольно глубокой. Это подтверждается, в частности, результатами настоящей диссертации, посвященной двум важным конструкциям в динамике отображений и квантовой теории.

Первая конструкщя принадлежит А.П.Веселову [~43 и.описывает семейства коммутирующих полиномиальных отобракений

с* .

Вторая была открыта М.А.Ояьшанецкиы и А.М.Переломовым ("7] , которые предложили обобщение квантовой задачи Калодаеро-Сазерленда:

Н = - £ + 2 (3

6. Лубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевн многообразия. - УМН, 1976, т.31, £ 1,

с. 55-136.

7. Обл^о*^^ 'А. М. (Ц\1изи*£и*л

и/оЦу .

РЦ*.. , V. 2. , р. Т--43.

И в той, и в другой конструкции параметром является простая алгебра Ли.

Последняя задача являлась предметом детального исследования в работах Св] , где было доказано существование ^ коммутирующие операторов / интегралов / в задаче (3) и ее обобщениях, связанных с простыми алгебрами Ли.

Как было показано в [9] , при специальных значениях параметров взаимодействия соответствующее коммутативное кольцо квантовых интегралов становится значительно богаче / сверхполное кольцо в терминах Сэ] /. Задача об описании таких колец в размерности, большей 1, обсуждалась И.Ы.Кричевером [мД , который называл соответствующий оператор Шредингера алгебраическим. Б размерности 1 эта задача сводится к решению уравне-

8. Н^ск^и,, (г. Е. Яе«^ лмЛ

Т 3 И ( Нсск^о*),

Ш ( ОрЯалм,) 3 ^.(ОрАсип). Сен^рсилЬо УНсЛ/к,

V. 64 , р. 3X9-3*3 ; Со^р^гЛХо

, V. £1- 5 р. 24-49 , р. ^-гоз.

9. СкдА^кк О.к. 1 К. Р.

10. Кричевер И.л!. Методы алгебраическом геометрии в теории нелинейных уравнений. - УМН, 1977, т.32, й 6, с.183-208.

шш коммутации (2) и дчя операторов взаимно простых порядков исследована в работе [и), а для операторов не взаимно просгих порядков - И.и.Кричевером [12] .

Важность обобщений оператора Калодаеро-Сазерленда (з) объясняется, в частности, гипотезой [9], утверждающей, что Есе сверхполные коммутативное кольца дш'^еренцчальншс операторов, содержащие оператор Шредингера в размерности > 2, связали с этими обобщениям!.

Цель работы. 1. Исследовать динамику коммутирующих полиномиальных отображении взвеаеннкх СР.

2. Построить для каздой простой комплексной алгебрк ли сверхполное коммутативное кольцо дифференциальных операторов, содержащее оператор Шредингера в .

3. Указать некоторые явные «ормулы для общей собственной функция построенного коммутативного кольца дифференциальных операторов.

Методика исследования. Ключевую роль играпт конструкции, связанные с системами корней просгих алгебр Ли. Такяе существенным образом используются результаты работ [8 1.

11. J. L.. , GVvOAM-кЦ T.V. СйУПТпм.-Ь oAûjt

yrWik. Soc.

2.4. ^ -132.2. ; p, Ч20- ЧЧо ^ ï^roc. Soc. U^. "H£ 7 -1318 , p. 5S4 - S83 .

12. Кричевер Й.Ц. Коммутативные кольца обыкновенных линешых дифференциальных операторов.- Сункн.анализ и его np:uios., 1978, т. 12, У 3, с.20-31.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Исследована динамика коммутирующих полиномиальных отображений взвешенных С Р*4". связанных с алгебрами Ли.

2. Для каждой простой комплексной алгебры Ли построено сверхполное коммутативное кольцо дифференциальных операторов, содержащее оператор Шредингера в .

3. Указаны некоторые явные формулы для общей собственной функции построенного коммутативного кольца.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации уже нашли применение в теории симметрических пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в ИГУ на семинаре по геометрии и математической физике, на семинаре по геометрии интегрируемых систем, а также на совместных заседаниях -Московского математического общества и сешнара им. И.Г.Петровского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы, в работах 1/-4/, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, и сп.юка литературы. Обищи объем работы - 108 машинописных страниц. Библиография включает 43 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

В диссертация рассматриваются коммутирующие полиномиальные отображения и диотеренциатьные операторы, связанные с алгебра-

.■а Ли. 1) первох: частл работы изучаются по ппю.'.лсльные огоора-::ен.1я [4] (С"" (С^. Е частности, исслодуетс*: лх длнашка на вз5еле2щых (С Р "" . Последние две глав:; посвящены построению коммутативных колец дифференциальных операторов в связанных с алгебрами Ли.

Во введении дается кратки: обзор литературы, относящейся к теме диссертация, :: приводятся формулировки основннх утверждений.

В главе 1 дад ка'вдо;- простои комплексное алгебры Ли (т ранга VI определяется б соответствии с ¡4 3 серая коммутирующих полиномиальных отобракений Р ^ : (С *-»■ С л / 1с - натуральное/, находится тлело неподвижных точек у этих отображении и указана процедура вычисления собственных чисел дифференциала отображенчя Рк в неподвижной точке. С по:.:ощъп этих результатов доказана неэквивалентность серии отображении Р< и Р^ для неизоморйных атгебр Сг , Сг . Далее рассмотрен вопрос о продолжении отобракений Р^Г на взвешенные СГ Р "", указан простои критерий того, когда такое продолжение возможно и охарактеризовано действие продолженного отображения па бесконечности. Наконец, исследована динамика рассматриваемых отображений на взвешенных Оь Р"1 Изучено поведение итераций для всех точек С , уходявдх на бесконечность, указан полны:: набор притягивающих множеств и дано геометрическое описание полученных результатов.

Пусть Сг - простая комплексная алгебра Ли ранга , Н -ее картановская подалгебра, Н - дуальное пространство, ^ с И - система корней алгебры 0-' , ¿С - решетка ве-

\ I *

сов в г\ , пороченная фундаментальными: весами ^•• ^ , 1.4 - дуальная к ней решетка в , порожденная корнями

двойственной системы / См. [13} /. Определим в соот-

ветствии с [4"3 отображение ; Н/Ь С^ }

где ^и^ - 01)6нта веса под действием группы Вейля

системы ^ .

Серия полиномиальных отображений Р^ , к е (Н , определяется из условия

Коммутативность г к легко вытекает из их определения:

~ * Полиномиальность их обеспечивается

теоремой Шевалле[13], утверждающей, что Функции(4) свободно порождают атгебру экспоненциальных инвариантов системы .

Заметим, что в формуле (5) умножение на к можно заменить на любое аадинное преобразование й , сохраняющее решетку 1_1 и коммутирующее с группок Вейля. Бри этом равенство

определяет полиномиальное отображение в силу той же теоремы Шевалле.

. I

Предложение 1. Отображение Гц Лри \с>± имеет К неподвижных точек.

К числу инвариантов отображения относительно замен координат относятся также собственные значения /спектр/ диоференпи-ала в неподБи;;ших точках. Б работе [4] вычислены спектры дийь

13. Бурбакн Н. Группы и алгебры .1и. Гл. 4-6.- М.: ^¡ир, 1972.

ференвдалов отображений V ^ в общей неподвижной точке Ф (О). Укажем процедуру вычисления- собственных. значений дифференциала в произвольной неподвижной точке 'Е0=<РК(Х0) отображения . При этом 3-е :.;ожно считать лежащей в алькове Веаля и некоторое преобразование V/ из аффинной группы Вёиля должно переводить точку в точку х0 . В этом случае кошозиция 2г у^к умножения на к. и преобразования ^ оставляет точку Хй на глее те.

Рассмотрим айфинное подпространство Ь 0 , являющееся пересечением всех граней алькова, содержащих точку Х0 . Как нетрудно понять, 3 может переставлять эти грани, сохраняя пространство 1_д0 . Грани а-акова, содержащие точ1?у ^о , соответствуют корням, порождающим некоторую подсистему ^-о0 R , а преобразование ^ задает полиномиальное отображение Р в соответствии с 1>ор:.;улаш (4), {б).

Теорема 1. Если - неподвижная точка отображения

Р* , то спектр его дифференциала в точке т£-0 есть где 5 о - спектр линейного отображения > а -

спектр дифференциала отображения Р в точке При

этом состоит из чисел ^ , определяемое выбором таких

образующих Ч.; алгебры полиномиальных инвариантов системы , что в частности, IVI-к^^Ц^' где

- показатели системы .

На рис. 1 приведены примеры вычисления спектра в неподвижной точке отображения Р3*" . В этом случае альков Вейля является равнобедренным прямоугольным треугольником, а отражения относительно его сторон порождают а^йинную группу Вейля.

В случае а/ 1_0 совпадает с точкой , тлеет тип А/ А, , а № является параллельным переносом и б не

переставляет грани, содер-л^ие . Таким образом, 0 ,

и спектр в точке совпадает с Ъ*" , З3" ^ , так как

показатели системы Ал* /Ц тлеют вид .

В случае <5/ - середина катета, одномерно, преоора-зование Б на прямой Ь0 действует по правилу »-> —ЗС^-^о) , а 12в имеет тип . Значит, спектр б точке Ф ипеет вид {-3 , .

2>х0

Рис. 1

Следствие. Серии отображений Р^ , отвечающие неизоморф-нш.3 алгебрам Ли, неэквивалентны между собой.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики коммутирующих полиномиальных отображений. В работе (4) А.П.Веселовым рассмотрена динамика отображений ^^ в (С, где, в частности, отмечено, что множество 3" точек С*", итерации которых остаются в ограниченной области, представляет собой сингулярный И. -мерный симплекс - образ вещественного алькова Вейля при ото-браяенш! ^

Поскольку все точки вне 3 уходят на "бесконечность", естественно возникает допрос о подходящих компактификациях £ и динамике на них. Рассмотрим "взвешенное" С Р** , определя-

емое как кактор С ' по действию С :

где 1 ^ _ натуральные числа, называемые весами.

Теорема 2. Отображение , к^. А. , ;.ю;кет быть продол-

жено на С Р с весами к*. тогда и только тогда,

когда вектор V- 4 .-I- к^^ , где об* 1..., -

базис простых корней спстег.ш ^ , удовлетворяет соотношениям сС;. С^З ^ 0 для всех ^ , т.е. принадлежит соответствующей камере Векля.

для описания динамики ка таком СР*" удобно исполь-

зовать соответствующий этому торическому многообразию шогогран-ник, в данном случае симплекс, получаемый в результате сечения камеры Бе11ля плоскостью, перпендикулярно)! вектору V ,

С этой целью произведем следующие построения. Вер.шше камеры Вешш пршшыеи индекс И- , а концу вектора 1Г - индекс ^-4.. Затем в плоскости, перпендикулярной вектору V , спроектируем его конец ортогонально на -мерные грани симплекса. Но—

лученным точкам припишем индекс , а на каждом перпенди-

куляре поставим стрелку в направлении проекции. Затем такое не построение осуществим в каждой -мерной грани,и так да-

лее.

Отмеченные таким образом точки и стрелки, их соединяицие, схематически изображают динамику итерации отображения на

Езвешениом . Так, вер:шша камеры Ве11ля соответствует

1п. -мерному сингулярному симплексу 7 , множеству точек С*1", остающихся при итерациях ^к в ограниченной области. лтерации остальных точек С уходят ка бесконечность, стремясь к одному лз-множеств, соответствующих остальным от.леченным точкам. ..ри этом множество м , соответствующее отмеченной точке

М индекса , имеет вещественную размерность С и является произведением тора размерности. ¿V и сингулярных симплексов су,.ыариок размерности </ , где Л - коразмерность мишшачьно:: грани Гм симплекса, содср'эдеп верзину камеры Вейля, точку М , а таге?.е все отмеченные точки, через которые проходят пути из вершины камеры в М в соответствии с расставленными стрелками, Размерности сингуляр-

ных симплексов, входящих прямым сомножителем в 3^ , равны размерностям неприводимых компонент системы, состоящей из элементов К , ортогональных грани Гм . Множество точек, итерации которых притягиваются к 3^ , имеет размерность / х. - индекс точки М /.В работе дано явное

описание множеств

X

м

и множеств точек

С

, итерации ко-

Т.

торых притягиваются к .

На рис. 2 рассмотрены примеры динамики отображении Р для двух компактификашш 01 : а/ к, - кг= I , б/ кЛ-1, кг~ 2.,

а . б

Рис. 2

Вершина 3" символизирует двумерный симплекс точек, итерации которых ограниченны. В случае а/ отрезок 3*3^ отвечает трехмерному "алекфу", тянущемуся к бесконечно-удаленной окруд-

ности Т, , а остальные точки притягиваются к одной из точек

Д3 . В случае б/ отрезок ТТ^ отвечает трехмерному "лмейфу", тянущемуся к бесконечно-удалетюму отрезку 3*1 . а остальные точки притягиваются к точке .

Во второй главе диссертации рассматриваются коммутативные кольца дифференциальных операторов в й^. , связанные с алгебрами Ли.

Пусть К - система корней простой комплексной ал-

гебры Лл, - множество корней, положительных относительно

некоторого базиса простых корней, <*_,•> - стандартное скалярное произведение в К. , и пусть для ка дого оС* Е- задано произвольное -шсло 9 «с "гак> что § = Дяя любого элемента >ч группы Вейля системы &

Рассмотрим следующий дифференциальный оператор в К :

/ и> - ненулевой параметр /.

Система (?) является предложенным :.5.А.йлшанецким и .М.А.Пе-релошвым [73 обобщением квантовой системы Калодкеро-Сазер-ленда (з) , которая является ее частным случаем дяя ^ —

Известно /см. £7 , 8 3 /» что система (?) всегда имеет независимых квантовых интегралов, а именно, дяя любого однородного . ^ -инвариантного многочлена 4 в ^ » существует дифференциальный оператор со старшм символом 4- , коммутирующий с Я . При этом такие операторы порождают коммутативное кольцо, изоморфное кольцу W -инвариантов.

Оказывается, при специальных значениях коммутативное

кольцо квантовых интегралов системы (?) становится значительно

богаче. 13 гласе 2 доказала следующая теорема.

Теорема 3. Пусть -аччому <JL.tR. поставлено в соответствие натуральное число - швариантнкм образом.

А. Существует Лекция , обладающая

следунцт.и свойствах!:

1/ ^ имеет вид г*р сЦос^

где Р - многочлен по к , зависящий от ос , причем члены старшей степени в Р имеют вид

п . М

>

2/ для з;а\;цого << 6 К. и 3

выполнены условия

при «=с>>=0. (9)

Б. Дня любого однородного многочлена

удовлетворяющего условиям (э) /как соункция, не зависящая от ЗС /,

* ^

существует дифференциальный оператор в Ё^Л

со староим символом ) такой, что

При этом тлеет вид (?) с — и

операторы ^ порождают коммутативное кольцо, изоморфное кольцу многочленов, обладающих свойством (ь) , являющееся кольцом квантовых интегралов системы (7) с ^^^Фн^О*^.!)«

Заметим, что свойством (0) обладают не только -инварианты, но и любой многочлен, делящийся на П <еЬ к+ ^иичС, >

Отсюда следует, что соответствующее коммутативное кольцо не содержится е большем коммутативном кольце дисщеренциальных опе-

раторов с УУ образукшш/сверхполное кольцо в терминах [.9

Это показывает, что алгебраические свойства операторов (7) при М , аналогичны свойствам одно-

мерных конечнозонных операторов ¡1;редянгера, До работы [э] нетривиальные примеры таких операторов в К. известны не были.

Ь'ри замене <-0 на 1-1*1 в (?) л (э) получим аналогичный результат для оператора

' О.

Если же в (7) £0 устремить к нулю, то получим оператор

Ц = - £ + И «О

для которого также верна теорема, аналогичная теореме 3, только условия (9) заменены на следующие:

пля каждого <£ <- л 1« О, 1, ...

£

<еЦ ^ > [<*>>' ^ >] у делится на ,к>

/ здесь <(«¿1— . - стандартный базис Еч. /.

В главе 2 указана эффективная процедура нахождения операторов £ , если известна (хункция ^ , удовлетворяющая условиям (8-9 ^ . Б связи с этим возникает задача нахождения явных формул для Ц«' -функции. Этому посвящена третья глава диссертации.

Б главе 3 мы указываем явный вид Ц/ -функции, удовлетворяюще:: условиям (8-9) и являющейся, в соответствии с теоремой 3, общей собственной (г".икшей сверхполного коммутативного кольца, в следующих случаях:

1. ¿¡ля алгебр ранга 1 и 2.

2. Для алгебр типа А ^ при 1

Кроме этого, наиденк о'оргдаш, в1:ражапцие Ц^1 -функцию для алгебры типа В^. или С-1Х_ через Ч' -функцию для алгебры типа О к, .

Основным результатом третьей главы яаетюгся июрмулы даш ^ -функции в случае — при ГИ^^ 1 . Теорема 4. Рассмотрим в систему корней типа А^-а. .

образованную векторами 2-1- ^ , ^ . Тогда ^ -функция, удовлетворяющая условиям (8-9) при 4- имеет следующий

вид: *

= [IV ^-а6---* Ъг"}е*р<1<рс>

где дифференциальны: оператор ( з ) получается заменой К; на ос; ( С.= . - . (- ,) в следующем многочлене по к с коэффициентами, зависедиш от ЭС :

где = , и.ц =

/ О^^получается в результате применения оператора, стоящего в едгурных скобках, к произведении ) /.

В соответствии с теоремой 3 эта функция является обще;] собственной функцией сверхполного коммутативного кольца дифферен-циальнше операторов, содержащего .оператор ¡Ьредангера

исудсствлг_я пределы!!::: переход Ш-*- 0 в этих формулах, то есть заменяя а ■ на I Ъ/ х

соответственно, получаем формулы для собственной функции

сверхполного коммутативного кольца квантовых интегралов системы Калодкеро со специальным параметром взаимодействия:

Б заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доценту А.П.Веселову за постановку задач и постоянное взимание к настоящей работе.

РАШШ АВТОРА ДО Д11ССЕРТАД1£1

1. О некоторых свойствах полиномиальных отображений, связанных с алгебрами ли. - Вестник 'ЛГУ, сер. 1, 1988, й 3, с. 57-59.

2. Квантовая система Калоддеро и коммутативные кольца многомерных дифференциальных операторов. - УМН, 198В, т.43, с. 173. / В соавторстве с А.П.Ьеселовып /

3. Сое

ОреллА. ЩлК.Р^. , МЭО 3 V. 126, р. 5-9?-ем.

/ В соавторстве с А.П.Веселовым /

4. Явные формулы даш сферических функций симметрических пространств типа А И . - Функц. анализ и его прил., 1992, т.26, № 1.

/ В соавторстве с А.П.Веселовым /

В печать 28.12.91г. Изд. Л 55 Формат 60x84/16 Тирах.100 экз. Печ. л.0,82