Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§0.1. Аттракторы и временные средние.

§0.2. Косые произведения.

§0.3. Частично гиперболические диффеоморфизмы.

§0.4. Содержание диссертации.

ГЛАВА I

Иерархия аттракторов. Минимальные и статистические аттракторы.

§1.1. Минимальные и статистические аттракторы.

§1.2. Иерархия аттракторов динамических систем.

ГЛАВА II

Частично гиперболические отображения, близкие к прямым произведениям.

§2.1. Внутренне гиперболические гомеоморфизмы.

§2.2. Регулярность центральных слоев частично гиперболических отображений, близких к прямым произведениям.

ГЛАВА III

Некоторые новые грубые свойства гладких динамических систем.

§3.1. Свойства ступенчатых косых произведений.

§3.2. Свойства мягких косых произведений.

§3.3. Плотные орбиты с нулевым показателем Ляпунова и плотные множества периодических точек разных индексов.

§0.1. Аттракторы и временные средние

Существует много разных не эквивалентных определений интуитивно понятного объекта - аттрактора динамической системы. Часть из них приведена в разделе 1.2.1. Напомним некоторые идеи, в связи с которыми эти множества определялись и исследовались.

О• 1.1. Максимальные аттракторы. Рассмотрим диффеоморфизм компактной области Евклидова пространства строго в себя, / : В —> В. Такой диффеоморфизм называется диссипативпым. Положительные итерации отображения / этой области образуют вложенную последовательность компактных множеств. Их пересечение есть непустое компактное множество, инвариантное под действием отображения /. Оно называется максимальным аттрактором отображения / и обозначается Лтах.

Определение 0.1.1. Максимальным аттрактором диссипативного диффеоморфизма / : В —» В называется множество шах —

На первый взгляд кажется, что максимальный аттрактор можно рассматривать как множество всех предельных точек фазового пространства В под действием отображения /. Но на самом деле он может быть гораздо больше, как показывает следующий пример. Рассмотрим отображение кольца, имеющее инвариантную окружность в середине. Пусть на самой окружности отображение имеет две неподвижные точки: один аттрактор и один репеллер. Наблюдатель, вычисляющий орбиту отображения со случайным начальным условием, спустя достаточно продолжительное время будет видеть не саму орбиту, а ее предельное положение. С вероятностью нуль это предельное положение есть седловая неподвижная точка отображения. С вероятностью единица - узел. Этот узел и должен считаться настоящим, или "физическим" аттрактором отображения.

Максимальный аттрактор устойчив по Ляпунову в следующем смысле. Для любой окрестности аттрактора существует такая итерация отображения /, что образ фазового пространства лежит в заданной окрестности. В предыдущем примере максимальным аттрактором является окружность. "Физический" аттрактор - узел. Он устойчив по Ляпунову и притягивает почти все орбиты, кроме тех, что лежат на устойчивом многообразии седловой неподвижной точки.

Следующий пример показывает, что наблюдатель может увидеть "физический" аттрактор, не являющийся устойчивым по Ляпунову. Рассмотрим сдвиг за единичное время вдоль орбит векторного поля с седловой особой точкой, обладающей двумя петлями сепаратрис, которые образуют "восьмерку". Само векторное поле определено в окрестности "восьмерки" и направлено внутрь на границе. Сдвиг за единичное время вдоль орбит такого векторного поля отображает рассмотренную окрестность строго внутрь себя. Векторное поле выбрано так, что максимальный аттрактор есть в точности "восьмерка" из сепаратрис. При этом орбиты проводят большую часть времени рядом с седлом. Наблюдатель, который следит за орбитой в течение длительного времени, будет видеть седловую точку как наиболее типичную точку орбиты. Более точно, предположим, что наблюдатель фотографирует точку на экране монитора, показывю-щую положение орбиты динамической системы. Вычисляется в течение длительного времени орбита со случайно взятыми начальными условиями. При этом предположим, что объектив открыт в течение длительного времени, чтобы получить картину того, как движется светящаяся точка орбиты на мониторе. Точки, чьи малые окрестности часто посещаются орбитой, будут светлыми. Те же точки, которые посещаются редко, должны быть темными. Напомним, что начальные условия выбирались случайным образом.

Точки, которые с положительной вероятностью окажутся светлыми, образуют множество, которое логично считать "физическим, или минимальным аттрактором". Формальное определение приведено в разделе 1.1.1.

0*1.2, Странные минимальные аттракторы»

Эвристическая идея, восходящая к А.Н.Колмогорову, утверждает, что если динамическая система имеет достаточно сложное притягивающее множество, то поведение системы на этом множестве имеет скорее вероятностный, а не детерминистический характер. Во многоих случаях (гиперболические аттракторы, системы Эно) это утверждение может быть формализовано.

Следуя D.Ruelle и F.Takens, будем называть минимальный аттрактор (определения 1.1.2, 1.1.6) странным, если он бесконечен. Следующая теорема, доказанная Ю.С.Ильяшенко [60], показывает, что существование странного минимального аттрактора у диффеоморфизма влечет слабую форму хаоса.

Теорема 0.1.1. Пусть f - диссипативный диффеоморфизм, все периодические точки которого гиперболичны. Тогда выполнено по крайней мере одно из следующих утверждений.

1. Щ^Агп^ух ос.

2. Существует инвариантная эргодическая под действием отображения / мера [1 с бесконечным носителем, принадлежащим минимальному аттрактору.

3. Отображение / может быть С1 -приближено отображением, некоторая периодическая точка которого имеет гомоклиническую орбиту.

Доказательство этой теоремы основано на лемме о связке, доказанной НауавЫ в [29]. Ниже приведена оригинальная формулировка, в большей общности, чем будет нам необходимо.

Пусть М - замкнутое многообразие, и / Е Diff1(M). Пусть Л - локально максимальное гиперболическое множество, то есть Р|/п(£7) — Л п для некоторой компактной окрестности II Э Л, и Л гиперболическое (полные формулировки приведены в §2.1). Пусть ТУ5(Л), ]¥и(А) - устойчивое и неустойчивое многообразия множества Л, соответственно.

Определение 0.1.2. Гомоклинической точкой, ассоциированной с А называется точка р 6 }¥8(А) П ]¥и(А) - А.

Определение 0.1.3. Последовательность конечных отрезков орбит {1к5 к > 1}, накапливающихся к некоторой точке из И^(А) и к некоторой точке из ЦГи(А) называется почти гомоклинической последов ателъно-стью, если П (М\11) ф 0.

Лемма о связке (НауаэЫ). Пусть М - замкнутое многообразие, и / £ 01Й1(М) имеет почти гомоклиническую последовательность, ассоциированную с локально максимальным гиперболическим множеством А. Тогда в любой С1 -окрестности / существует отображение, имеющее гомоклиническую точку, ассоциированную с А.

Эта лемма верна и для диссипативных диффеоморфизмов (этот случай легко сводится к случаю диффеоморфизмов замкнутых многообразий).

Идея использовать лемму о связке (в то время - гипотезу) в этом контексте принадлежит С. Трифонову.

Лемма о связке сводит теорему 0.1.1 к следующей.

Теорема 0.1.2. Пусть / - диссипативный диффеоморфизм, все периодические точки которого гиперболичны. Тогда выполнено по крайней мере одно из следующих утверждений.

1. фАшЫ < ос.

2. Существует инвариантная эргодическая под действием отображения / мера [1 с бесконечным носителем, принадлежащим минимальному аттрактору.

3. Отображение / имеет почти гомоклиническую последовательность, ассоциированную с некоторой гиперболической периодической точкой.

0.1.3. Минимальные аттракторы и временные средние. Павлом Бачуриным в [14] было показано, что временные средние непрерывных функций зависят только от ограничения этих функций на минимальный аттрактор.

Для непрерывной на компакте В неотрицательной функции ф расп-1 смотрим последовательность временных средних фп = - ^ фо /\ Из

П 2 = 0 последовательности мер фпт на В можно выбрать сходящуюся в слабой* топологии подпоследовательность. Обозначим предельную меру через фооШ. Рассмотрим ограниченный линейный функционал ф00 на пространстве непрерывных на В функций, который действует по формуле: (фоо)ф) — f Ф ^фоотп). Функционал фоо назывется слабым временным средним функции ф.

Оказывается, что слабое временное среднее непрерывной функции зависит только от ограничения исходной функции на минимальный аттрактори в любой окрестности любой точки минимального аттрактора непрерывную функцию можно изменить так, что изменится одно из ее временных средних.

Формальное утверждение звучит так:

Теорема 0.1.3 [14]. а) Носитель слабого временного среднего любой непрерывной на В функции лежит в минимальном аттракторе. б) Для любой непрерывной на В функции ф, любого открытого мно-лсества II, имеющего непустое пересечение с минимальным аттрактором и для любого е > 0 существует непрерывная на В функция такая что \\Ф ~~ Ф'\\с(в) < 6> Ф — Ф' вне & и существуют слабые временные средние Фоо и ф^ функций ф и Ф', такие что (ф^, 1) ф (ф/ос, 1).

Заметим, что вопрос о существовании временных средних для почти всех начальных условий для типичного диффеоморфизма является открытым. Известны вырожденные примеры, для которых временные средние не существуют для почти всех начальных условий ([39],[40]).

0.1,4, Множество неблуждающих точек и Аксиома А. Множество неблуждающих точек О, (определение 1.2.1) стало очень известным понятием в результате развития гиперболической теории. В 1966 году С.Смейл [42] обнаружил такое открытое множество диффеоморфизмов трехмерного тора (а также любого трехмерного многообразия), что сколь угодно близко к каждому элементу этого множества имеются диффеоморфизмы, не сопряженные с этим элементом. Тем самым была разрушена надежда на то, что структурная устойчивость является типичным свойством. Начались поиски новых кандидатов на роли типичных свойств. В обзоре Смейла [38] на роль такого кандидата была выдвинута Аксиома А (определение 1.2.6). Это давало надежду на типичность П-устойчивости. Приведем формальное определение.

Определение 0.1.4. Диффеоморфизмы /, д £ Т)Ш.{М) называются П-сопряженными, если их ограничения на множества неблуждающих точек топологически сопряжены, то есть если существует такой гомеоморфизм к : ад П(д), что следующая диаграмма коммутативна п(/) п(/) ад ад.

Определение 0.1.5. Диффеоморфизм / € Б1А:1(М) называется П-устойчивым, если найдется такая его окрестность Я, что если д £ Я, то /и д являются Г^-сопряженными.

Для диффеоморфизма, удовлетворяющего Аксиоме А, теорема 1.2.3 (о спектральном разложении) позволяет ввести следующее определение.

Определение 0.1.6. Пусть / - диффеоморфизм удовлетворяющий Аксиоме А; п-циклом на множестве П(/) называется последовательность базисных множеств

По, . • ■ , ^П + Ъ обладающая следующими свойствами:

1) Г2о = ^п + Ь

2) в остальных случаях ф если у ф к;

3) \¥*(П{)П\¥и(П{+1)ф&

Свойство отсутствия циклов. Диффеоморфизм / не имеет п-циклов с п > 1.

Аксиома А тесно связана с ^-устойчивостью в силу следующей теоремы.

Теорема 0.1.4. (Об ^-устойчивости, [43]). Диффеоморфизм, удовлетворяющий Аксиома А и свойству отсутствия циклов, ^-устойчив.

Но почти сразу появился пример Абрахама и Смейла [41], показывающий, что в размерностях четыре и выше ни Аксиома А, ни П-устойчивость не являются типичными свойствами. Основываясь на их примере и понятии нормальной гиперболичности, М.Шуб [12] построил пример топологически ^-устойчивого, но не ^-устойчивого диффеоморфизма. Приведем определение топологческой Г2-устойчивочти и аккуратную формулировку утверждения.

Определение 0.1.7. Диффеоморфизм / £ называется топологически Г2-устойчивым, если найдется такая его окрестность Я, что если д £ 11, то П(/) и гомеоморфны.

Теорема 0.1.5. Существует непустая область в ВЖГ(Т4), 1 < г < ос, состоящая из топологически ^-устойчивых, но не О-устойчивых диффеоморфизмов.

Затем Ньюхаус [44, 45] предложил другую идею, позволяющую строить не {"¿-устойчивые диффеоморфизмы на поверхностях, а следовательно, и на всех многообразиях размерности больше 1. Его теорема приведена в разделе 0.1.7.

Тем не менее, осталась надежда найти необходимые и достаточные условия структурной устойчивости. Эти условия были найдены. Чтобы сформулировать так называемую "гипотезу о структурной устойчивости", нам понадобится еще одно определение.

Определение 0.1.8. Диффеоморфизм, удовлетворяющий Аксиоме А, удовлетворяет строгому условию трансверсальности, если любое устойчивое многообразие трансверсально любому неустойчивому многообразию.

Ясно, что Аксиому А и строгое условие трансверсальности можно определить не только для диффеоморфизмов, но и для потоков.

Теорема 0.1.6. Динамическая система является структурно устойчивой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет Аксиоме А и строгому условию трансверсальности.

Утверждение теоремы 0.1.6 и есть "гипотеза о структурной устойчивости". Для диффеоморфизмов она была доказана НоЫэоп'ом и Мапе. Для потоков окончательное доказательство было дано в 1997 году в работе З.НауавЫ [29].

0.1.5. Центр Биркгофа. Центр Биркгофа (определение 1.2.4) в работе Биркгофа [31] назывался "множеством центральных движений" и определялся для потоков. Определение было отличным от определения 1.2.4.

Приведем оригинальный текст Биркгофа. Задан поток на многообразии М, - множество неблуждающих точек.

Придя к замкнутой совокупности между точками которой расстояние может быть определено так же, как и между точками М, мы можем теперь определить блуждающие и неблуждающие точки относительно следующим образом. Выберем произвольную точку принадлежащую и открытое множество о малого диаметра, содержащее точку Ро. Оставляя в стороне случай, когда Р^ есть точка равновесия, и выбирая диаметр о достаточно малым, мы видим, что содержащаяся в о часть Ох перестанет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Если мы можем выбрать диаметр а настолько малым, что та часть П^ которая содержится в а, никогда уже более при дальнейшем движении не налегала на свое первоначальное положение, то мы будем говорить, что Ро есть блуждающая точка совокупности Пх (хотя она по определению Г^ будет неблуждающей относительно М). Все остальные точки, в том числе точки равновесия, принадлежащие будут называться неблуждающими точками множества Г^.

Очевидно, что аналогия с М полная. Неблуждающие точки относительно 0,1 образуют замкнутую совокупность 0*2, состоящую из кривых движения. К этой совокупности стремится асимптотически любая точка Р, принадлежащая совокупности блуждающих относительно точек, при возрастании или убывании времени

Тот же процесс может быть теперь повторен с совокупностью взятой в качестве основной, и таким образом мы определим fis и W2- Идя далее таким же образом, мы получим последовательность замкнутых, непустых совокупностей M, fii; О2,. Мы будем говорить, что процесс обраваетсяна какой-нибудь совокупности fli, если совокупность fïi+i совпадает с fli; в этом случае W{ будет, разумеется, пустой совокупностью. В случае} если процесс не обрывается таким образом, мы будем иметь последовательность различных замкнутых, непустых совокупностей M, fi 1, fi2,., каждая из которых содержится в предыдущих совокупностях и содержит последующие. Эта последовательность определяет предельную совокупность (общую часть всех совокупностей fli), которая, очевидно, непуста и состоит из кривых движения. Применяя к ней тот же процесс, мы получим совокупности fi^+b fiu;+2- Таким образом последовательно определяются

M, fii, fi2,., fiu? fiw+l? U^+2? • • • J fiaj2 + 1 ? + . . . , согласно известной теории трансфинитных порядковых чисел, разработанной Кантором.

Но мы получили, таким образом, вполне упорядоченное множество замкнутых совокупностей, из которых каждая содержится в предыдущей и содержит последующие. Как известно, такая совокупность должна быть конечна или исчислима. Следовательно, процесс непеременно оборвется на каком-нибудь Пг (г - конечное или трансфинитное число).

Это множество 0,г и есть центр Биркгофа. При этом г называют глубиной центра.

Заметим, что центр Биркгофа можно определить и для необратимого отображения. Рассмотрим, например, непрерывное отображение /:/—>• 7, / = [0,1] отрезка в себя.

Теорема 0.1.7 (Шарковский, [46]). Пусть /:/->/, I = [0,1] непрерывное отображение отрезка в себя. Тогда

C(f) = Q(f\n{f)) = Per(f).

То есть в этом случае глубина центра не больше двух.

0.1.6. Другие определения.

Аттрактор Милнора М (определение 1.2.3) был введен в [47] под названием вероятностное предельное множество. Он получил большую популярность, особенно в работах по одномерной динамике [48].

Заметим, что ни аттрактор Милнора, ни минимальный аттрактор, ни статистический аттрактор не являются инвариантом топологической сопряженности.

Предельное множество L+ (определение 1.2.2) является очень естественным объектом. Его можно определить также как наименьшее замкнутое множество, вне любой окрестности которого любая положительная полутраектория проводит лишь конечное время. Обозначение L+ взято из работы Ньюхауса [30], где для предельного множества доказано утверждение, аналогичное теореме о спектральном разложении для неблуждающего множества Q. Несколько искусственное обозначение L+ связано с тем, что в работе Ньюхауса рассматривается также L~ - минимальное замкнутое множество, содержащее все су-предельные множества всех траекторий системы.

Минимальный центр притяжения V (определение 1.2.5) был введен H.Hilmy в 1936 году. Естественность определения демонстрирует следующая теорема.

Теорема 0.1.8. Минимальный центр притяжения есть наименьшее замкнутое множество, содержащее носители всех инвариантных мер.

0.1.7. Странные аттракторы: норма и патология.

Приведем несколько примеров, демонстрирующих, насколько сложным может быть поведение системы на аттракторе.

Во-первых, приведем классическую теорему Ньюхауса.

Теорема 0.1.9. (Ньюхаус, [45]). Пусть диффеоморфизм f 6 Diif2(M), dimM — 2, имеет диссипативное седло р £ М с гомокли-ническим касанием устойчивого и неустойчивого многообразия. Тогда сколь угодно близко к / найдется область в в которой остаточное множество образуют диффеоморфизмы с бесконечным числом притягивающих периодических орбит.

В качестве следующего примера приведем так называемые отображения Эно [49].

К У) ^ /Ку) = (1 - ах2 + у,Ъх), где а, Ь - вещественные параметры.

Если 1<а<2и6не слишком велико, то найдется прямоугольник Я, который / отображает в себя. Для значений а « 1.4, Ъ « 0.3 компьютерные эксперименты говорят о существовании "странного аттрактора", к которому накапливаются орбиты / [49].

В работе ВепесЦскв'а и СаНеэоп'а [50] было теоретически доказано существование нетривиального аттрактора, с положительной вероятностью в пространстве параметров.

Теорема 0.1.10. (ВепесЦскз-СаНевоп, [50]). Для любого достаточно малого Ь > 0 существует такое множество Е С К положительной меры, что для любого а Е Е существует такое компактное инвариантное подмножество А С что его область притяжения имеет непустую внутренность, и ||1)/п(^)|| —> +оо экспоненциально быстро при п —> +ос? для некоторой точки z с плотной в А положительной полуорбитой.

1. Аносов Д.В., Геодезические потоки па замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Труды МИАН им. В.А. Стеклова 90 (1967).

2. М.И.Брин, Я.Б.Песин, Частично гиперболические динамические системы, Известия Мат. Наук 8 (1974), no. 1, 177-218.

3. Я.Б.Песин, 0 существовании инвариантных слоений для диффеоморфизма гладкого многообразия, Математический сборник 91 (1973), по. 2, 202-210.

4. S.E.Newhouse, Dynamical properties of certain поп-commutative skew-products, Lect.Notes Math 819 (1980), 353-363.

5. S.E.Newhouse, L.-S.Young, Dynamics of certain skew, Lect.Notes Math 1007 (1983), 611-629.

6. V.S.Afraimovich, V.I.Arnold, Yu. S. Ilyashenko, L.P.Shilnikov, Bifurcation theory, Dynamical systems 5 (V.I.Arnold, ed.), Springer-Verlag, Berlin and New York, 1994.

7. Ильяшенко Ю.С., Городецкий А.С., Классификация минимальных аттракторов динамических систем, Успехи Математических Наук 51 (1996), по. 5 (311), 170.

8. C.Bonatti and L.J.Diaz, Nonhyperbolic transitive diffeomorphisms, Ann. of Math. 143 (1996), 357-396.

9. C.Bonatti and M.Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting. Preprint IMPA (1997).

10. E. J.Kostelich, Ittai Kan, C.Grebogi, E.Ott, J.Yorke, Unstable dimention variability: A source of nonhyperbolicity in chaotic systems, Physica D 109 (1997), 81-90.

11. S.Dawson, C.Grebogi, T.Sauer, J.Yorke, Obstructions to Shadowing When a Lyapunov Exponent Fluctuates about Zero, Physical review letters 73 (1994), no. 14, 1927-1930.

12. M.Hirsh, C.Pugh, M.Shub, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math. 583 (1977).

13. A.Katok and B.Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press (1995).

14. П. Бачурин, О связи между временными средними и минимальными аттракторамиУспехи Математических Наук 54 (1999), по. 6, 151-152.

15. Yu.Ilyashenko and W.Li, Nonlocal bifurcations, Amer. Math. Soc., Providence, Long Island (1998).

16. Yu.S.Ilyashenko, The concept of minimal attractor and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto—Sivashinsky type, Chaos 1 (1991), 168-173.

17. Alekseev V.M., Yakobson, Symbolic dynamics and hyperbolic dynamical systems, Phys. Rep. 75 (1981), no. 5, 287-325.

18. Bowen R., Periodic points and measures for Axiom A diffeomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc. 154 (1971), 377-397.

19. C.Pugh, M.Shub, A.Wilkinson, Holder foliations, Duke Math. J. 86 (1997), no. 3, 517-546.

20. M.Shub, Global Stability of Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York (1987).

21. M.Viana, Dynamics: a Probabilistic and Geometric Perspective, Extra Volume ICM (1998).

22. G.Ch.Yuan and J.A.Yorke, An open set of maps for which every point is absolutely nonshadowable, Proc.Amer.Math.Soc. (to appear).

23. L.J.Diaz, E.Pujals, R.Ures, Normal hyperbolicity and robust transitivity. Preprint PUC-Rio (1997).

24. C.Bonatti and M.Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting. Preprint IMP A (1997).

25. M.Grayson, C.Pugh, M.Shub, Stably ergodic diffeomorphisms, Annals of Math. 40 (1994), 295-329.

26. M.Field and W.Parry, Stable ergodicity of skew extentions by compact Lie groups, Topology 38 (1999), no. 1, 167-187.

27. G.Ch.Yuan and J.Yorke, An open set of maps for which every point is absolutly non-shadowable, Proc.Amer.Math. 128 (2000), 909-918.

28. Ya.G.Sinai (ed.), Dynamical systems 2, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1986.

29. Shuhei Hayashi, Connecting invariant manifolds and the solution of the Cl Stability and Stability conjecture for flows, Ann. of Math. 145 (1997), no. 2, 81-137.

30. S.Newhouse, Hyperbolic limit set, Trans.Amer.Math.Soc. 167 (1972), 125-150.

31. Birkhoff G.D., Dynamical systems, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1927.

32. B.B. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, М., 1949.

33. Ruelle D., A measure associated with Axiom A attractors, Amer. J. Math. 98 (1976), 619-654.

34. R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms, Lecture Notes in Mathematics, vol. 470, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.

35. V.Nitica, A.Torok, Cohomology of dynamical systems and rigidity of partially hyperbolic actions of higher-rank lattices, Duke Math. J. 79 (1995), no. 3.

36. V.Nitica, A.Torok, An open dense set of stably ergodic diffeomorphisms in a neighborhood of a non-ergodic one, Preprint (1998).

37. K.Burns, Ch.Pugh, M.Shub, A.Wilkinson, Recent results about stable ergodicity, Proceedings of Symposia of the AMS (2001).

38. S. Smale, Differential Dynamical Systems, Bull. AMS (1967), no. 73, 747-817.

39. A. Gaunersdorfer, Time averages for heteroclinic attractors, SIAM J. Appl. Math. 52 (1992), no. 5, 1476-1489.

40. F. Takens, Heteroclinic Attractors: Time Averages and Moduli of Topological Conju-gacy, Bol. Soc. Brasil. Mat. 25 (1994), no. 1, 107-120.

41. R. Abraham, S. Smale, Non-genericity of CI-stability, Global Analysis 14 (1970), 5-8.

42. S. Smale, Structurally stable systems are not dense, Amer. J. Math. 88 (1966), 491-496.

43. S. Smale, The Cl-Stability Theorem, Global Analysis 14 (1970), 289-298.

44. S.Newhouse, Non-density of Axiom A on S2, Global Analysis 14 (1970), 191-202.

45. S.Newhouse, Diffeomorphisms with infinitely many sinks7 Topology 12 (1974), 9-18.

46. Шарковський O.M., Неблупаючг точки та центр неперервного eido6p а ж e н ия прямог в себе, Доп. АН УРСР (1964), по. 7, 865-868.

47. J.Milnor, On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 99 (1985), 177-195.

48. M.Lyubich, Milnor's attractors, prsistent recurrence and renormalization, Topological Methods in Modern Mathematics (1993), 513-541.

49. M.Henon, A two dimensional mapping with a strange attractor, Comm. Math. Phys. 50 (1976), 69-77.

50. M.Benedicks and L.Carleson, The dynamics of the Henon map, Ann. of Math. 133 (1991), 73-169.

51. М.И.Брин, Топология групповых расширений У-систем, Мат. Заметки 18 (1975), 453-465.

52. R.Mané, Contributions to the stability conjecture, Topology 17 (1978), 383-396.

53. L.J.Diaz, E.Pujals, R.Ures, Normal hyperbolicity and robust transitivity, Preprint PUC-Rio (1997).

54. C. Bonatti, L. J. Diaz, E. Pujals, Genericity of Newhouse's phenomenon vs. dominated splitting, Preprint.Работы автора по теме диссертации

55. А.С. Городецкий, Ю.С. Ильяшенко, Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем, Функциональный анализ и его приложения 33 (1999), по. 2, 16-30.

56. А.С. Городецкий, Ю.С. Ильяшенко, Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом, Труды МИАН им. В.А.Стеклова 231 (2000), 96-118.

57. А.С. Городецкий, Иерархия аттракторов для диффеоморфизмов, удовлетворяющих Аксиоме АВестник Московского Университета (1996), по. 1, 84-86.

58. A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko, Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos 6 (1996), no. 6, 1177-1183.