Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода

Ремизов, Александр Сергеевич

Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Ремизов, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода»

Автореферат диссертации на тему "Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода"

На правах рукописи

- ¿7

РЕМИЗОВ Александр Сергеевич

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРНОГО ПОДХОДА

Специальности

01 04 03 - радиофизика, 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПГП О п □ОЗиьаиа1

Саратов - 2007

003059081

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики и автоматизации научных исследований физического факультета Саратовского государственного университета

Научные руководители

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент Аникин Валерий Михайлович

кандидат физико-математических наук Аркадакский Сергей Сергеевич

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Трубецков Дмитрий Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Пономаренко Валерий Павлович

Ведущая организация

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники РАН

Защита состоится «30» мая 2007 г в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212 243 01 при Саратовском государственном университете по адресу 410012, г Саратов, ул Астраханская, 83, СГУ, корп 8, ауд 73

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета (ул Университетская, 42)

Автореферат разослан « 28 » апреля 2007 г Председатель

диссертационного совета У санов Д А

В основе наших современных знаний лежат прежде всего простые модели, именно они, благодаря своей простоте, позволяют понять сложности окружающего нас мира ЮН Неймарк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Простейшими моделями хаотических процессов, как известно, являются динамические системы с дискретным временем - одномерные отображения, описываемые разностными уравнениями вида

х„+1 = <р(х„,Л),п = 0,1,2, ,хие(а,Ь), (1)

где (р - нелинейная или кусочно-линейная итеративная функция, сохраняющая меру в области определения отображения, Я - параметр, определяющий особенности динамики отображения1 Простейшие модели динамического хаоса не утратили своего и научного, и методологического значения для нелинейной науки Собственно, первые серьезные шаги на пути ее изучения и начинаются со сценария М Фейгенбаума перехода к хаосу, обнаруженного впервые именно для одномерных отображений и впоследствии нашедшего экспериментальное подтверждение при изучении ряда физических явлений2 Второй важный концептуальный пример связан с развивавшейся коллективом авторов во главе с ИР Пригожиным фундаментальной концепцией относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (необратимости физических процессов при наличии обратимого характера уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории простейшего диадического отображения (сдвига Бернулли)3

Интересен, далее, тот факт, что парадигма детерминированного хаоса заняла свою нишу в общей теории относительности, когда была открыта хаотическая осцилляция компонент метрического тензора согласно одно-

' В эргодической теории под дитамютеской системой, как правило, понимается тройка (т,х,ц), где x компактное фазовое пространство, например, Х = [0,1]'', т x -> x - несин-

гулярное отображение, итерации которого определяют траектории динамической системы, // - Т-инвариантная мера (Несингулярность отображения означает, что любому измеримому множеству а е x с положительной мерой Лебега соответствует прообраз с положительной мерой)

" См , например, Лихтенберг А , Либерман М Регулярная и стохастическая динамика - М Мир 1984, Шустер Г Детерминированный хаос Введение -М Мир, 1988, Неймарк Ю И , Ланда П С Стохастические и хаотические колебания -М Наука, 1987, МалинецкийГ Г Хаос Структуры Вычисли-тетьный эксперимент Введение в нелинейную динамику - М Эдиториал УРСС, 2000, Кузнецов С П Динамический хаос Курс лекций - М Изд-во физ -мат лит, 2001, 2006, Короновский А А , Трубецков ДИ Нетанейная динамика в действии -Саратов ГосУНЦ "Колледж, 2002

3 Пригожин И Р , Стенгерс И Время, хаос, квант К решению парадокса времени - М Прогресс,

1994

мерному отображению Гаусса в однородной анизотропной космологической модели типа IX по Бианки вблизи особенности (Mixmaster Universe -"Перемешанный мир")4.

Конкретные применения моделей "малоразмерной нелинейной динамики" для анализа нерегулярных процессов продолжаются и по сей день, причем в разнообразных отраслях знания — в физике (от механики до космологии), в информационных технологиях, экономике, финансовой математике и т д, но научная значимость подобных «простых» моделей заключается, прежде всего, в возможности (в определенных случаях) точного аналитического вычисления основных траекторных, вероятностных и спектральных характеристик изучаемого хаотического процесса Исследование же численными методами более сложных чувствительных к изменениям начальных условий систем в связи с особой структурой машинных чисел и нарушением правил «обычной» арифметики может сталкиваться с большими проблемами, вплоть до появления результатов, на самом деле являющихся машинными "фантомами"5

В этой ситуации представляет несомненный интерес глубокое математическое исследование "классики" нелинейных явлений (одномерных отображений) как собственно математического объекта, так и возможного инструмента для анализа новых нелинейных явлений В последнее время доминирующим в подобных исследованиях является операторный подход, основанный на анализе спектральных свойств линейного, несамосопряженного, положительно определенного оператора Перрона-Фробениуса, который описывает динамику плотностей вероятностных мер под действием отображения Генезис вероятностного описания хаотических динамических систем связан с рассмотрением начального значения х0 и рекуррент-но вычисляемых точек траектории (реализации) хп как случайных величин, соответственно обозначаемых как Х0 и Хп Подобная экспликация оправдана тем, что совокупность значений хп при любом начальном значении х0 демонстрирует идентичные распределения по области определения, а случайная вариация начального условия системы, чувствительной к этому параметру, позволяет делать прогнозы о ходе траектории исключительно в вероятностном ключе В общем виде оператор Перрона-Фробениуса имеет вид

Р/М= jf(t)5(x-<p(t,A))dt, (2)

4 Лифшиц Е М , Халатников И М , Синай я Г, Ханин К М, Щур Л Н О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи особой точки // Письма в ЖЭТФ 1983 Т 38 С 7982 Библиографию по данной проблеме см в публикации Аникин В М Модеть ранней эволюции Вселенной // Синергия науки опыт междисциплинарного осмысления - Саратов Эмос, 2006 Гл 3

5 Годунов С К , Антонов А Г , Киршпок О П , Костин В И Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах - Новосибирск Наука, Сибирское отделение,

1988, Бабенко К И Основы численного анализа -М Наука, 1986 Гл 9

где ö(x) - дельта-функция Дирака В вероятностной трактовке (2) - это обычное правило преобразования вероятностных плотностей при нелинейном преобразовании случайной величины (Хп+1 = <р(Хп,Л)), которое может быть в силу фильтрующих свойств дельта-функции преобразовано от интегрального уравнения с сингулярным ядром к функциональному уравнению Для кусочно-линейных отображений оно имеет вид линейной комбинации функции f(x) при различных значений аргумента вида ax + b А вот наличие неподвижной точки оператора Перрона-Фробениуса (2), называемой инвариантной плотностью, как раз и служит доминантным признаком детерминированного хаоса, развивающегося в системе (1)

Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках рассмотреть асимптотические процессы в динамической системе, описывающей процесс разложения случайного иррационального числа в непрерывную дробь (задача Гаусса)6 Общие свойства оператора Перрона-Фробениуса рассмотрены в работах таких авторов как D Ruelle, D H Mayer, A Lasota, M С Mackey, V Baladi, M Iosifescu, S Isola, M Л Бланк7 Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов В 90-е годы спектральная задача была решена для сдвигов Бернулли х„+1 = Gxa mod 1, где G - произвольное целое положительное число, и пирамидального отображения (tent map)8 Был предложен метод нахождения полиномиальных собственных функций оператора Перрона-Фробениуса на основе построения производящих функций для этих полиномов и найдены выражения (в форме представления через гиперболические функции) для производящих функций операторов отображений с 3-6 линейными участками итеративной функ-

ции

sPO Кузьмин Об одной задаче Гаусса//ДАН СССР 1928 СерияА С 375-380

' См , например, Ruelle D Thermodynamic formalism Addison Wesley, Reading Mass, 1978, Mayer DH On the Thermodynamic Formalism for the Gauss Map//Commun Math Phys 1990 V 130 P 311-333, Lasota A , Mackey M С Probabilistic properties of deterministic systems Cambridge Cambridge University Press, 1985, Baladi V Positive transfer operators and decay of correlations World Scientific, Singapore, 2000, Iosifescu M, Kraaikamp С Metrical Theory of Continued Fractions Kluwer Boston, Inc 2002 Chs 1,2, Бланк МЛ Устойчивость и локализация в хаотической динамике M МЦНМО, 2001

8 Вопросы спектрального разложения оператора Перрона-Фробениуса изучались в работах M Dorfle, И Р Пригожина (I Prigogme), I Antoniou, D Driebe, P Gaspard, H H Hasegava, G Nicolis, W С Saphir, S Sucanecki, S Tasaki, D MacKernan, R F Fox, Ю A Куперина, A Ф Голубенцева

9 Голубенцев A Ф , Аникин В M , Аркадакский С С О некоторых свойствах оператора Фробе-ниуса - Перрона для сдвиюв Бернулли//Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2000 T 8 №2 С 67 - 73, Голубенцев А Ф, Аникин В M Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2005 Т 13 № 1

сов принципиальную (иногда даже говорят, «критическую») роль в радиофизике, а также в статистической физике играет анализ корреляционных функций процесса, оценка скорости убывания или «расцепления» корреляций, оценка динамики релаксационных процессов, установления равновесного состояния Автокорреляционная функция преобразованием Фурье связана, как известно, с энергетическим спектром (Винера-Хинчина), который является характеристикой, нашедшей широкое применение в прикладных задачах10 Общий вид корреляционной функции для процессов II, V, ассоциированных с реализацией случайного процесса X

к (и) = (и(а)Г (ря (а))} - (и(а)) (у (<р" (а))), (3)

где усреднение в стационарном (асимптотическом) случае ведется по инвариантной плотности Поскольку х„ = <рп{х0) = <р"~1 (<р{х0)), соотношение (3) можно представить в виде"

Л (и) = {Щх)Р"Г(<р(х)))-(и(х)){у(х)} , (4)

где Р/(х) = Р{р{х)/(х))/р(х) - модифицированный оператор Перрона-Фробениуса, р(х) - инвариантная плотность

Собственные числа оператора (2) и модифицированного оператора совпадают, а собственные функции отличаются множителем р(х) Отсюда становится ясным, что ключевым моментом при расчете асимптогических, корреляционных свойств одномерных хаотических отображений является нахождение решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса исследуемого отображения Особый интерес в этой связи вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена аналитически Соответственно аналитически может быть решена и задача расчета скорости релаксационных процессов (установления инвариантного распределения) и спада корреляций Именно такой класс операторов (и "порождающих" их отображений) изучается в настоящей диссертации

10 В литературе, кстати, отмечается, что спектрально-корреляционные свойства нерегулярных колебательных режимов динамических систем в настоящее время изучены явно недостаточно (см Ани-щенко В С , Вадивасова T Е , Окрокверцхов Г А , Стрелкова Г И Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса//Радиотехника и электроника 2003 T 48 №7 С 1-12)

В ряде работ выражение (4) адаптировано для конкретных видов отображений и топологически сопряженных отображений (см Mon H, So В -Ch, Ose T Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress m Theor Physics 1981 V 66 No 4 P 1266-1283, Голубенцев А Ф , Аникин В M Инвариантные функциональные подпространства линеиных эволюционных операторов хаотических отображений//Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2005 Т 13 №1)

руемая кусочно-линейная функция которых имеет полные ветви (т е каждый участок монотонности отображается своей линейной функцией на весь интервал), тангенс угла наклона линейных ветвей одинаков по модулю для всех участков монотонности, число же и чередование наклонов ветвей произвольно В работе удалось унифицировать и обобщить процедуру решения спектральной задачи для данного класса отображений и отображений с неполными ветвями (отображений Реньи) с помощью введения производящей функции для собственных функций оператора

Цели и задачи исследования. Основная цель работы — развитие аналитических методов решения спектральных задач для оператора Пер-рона-Фробениуса и аналитическое исследование на этой базе асимптотических свойств ряда моделей хаотической динамики В этом контексте в работе решены задачи а) развитие и практическая реализация аналитического метода нахождения собственных функций и собственных чисел оператора посредством нахождения производящей функции для кусочно-линейных хаотических отображений пилообразного типа (с упорядоченным чередованием ветвей отображения) и отображений с произвольным чередованием ветвей, б) анализ эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи хпИ = /Jxn mod 1 с диапазоном изменения (нецелого) параметра 1 < Р < 2, в) аналитический расчет (для рассмотренных классов одномерных хаотических отображений) автокорреляционных функций реализаций и корреляционных функций наблюдаемых, ассоциированных с отображениями, в частности, в форме степенных функций

Научная новизна работы

1. Предложен аналитический метод решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона линейных составляющих, основанный на факторизации производящих функций для собственных функций оператора и методе степенных рядов

2 Данным методом определены полиномиальные собственные функции и собственные числа оператора для следующих классов кусочно-линейных отображений

а) отображений с последовательным чередованием наклона полных линейных ветвей (собственные функции представляются линейными комбинациями полиномов Бернулли и Эйлера),

б) отображений с произвольным чередованием наклона полных линейных ветвей (получены рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномиальных собственных функций),

в) отображения Реньи при трех значениях параметра, обеспечивающих наличие трехступенчатой инвариантной плотности (получены пред-

ставления для кусочно-полиномиальных собственных функций с коэффициентами полиномов, выражаемыми через рекуррентные соотношения)

3 Исследованы особенности динамики и вероятностных свойств малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, xn+t = [ixn mod 1, для области значений параметра 1 < ¡3 < 2

а) показано, что существуют счетное множество значений параметра Р, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в форме кусочно-постоянных функций (ступенчатая инвариантная плотность),

б) построен алгоритм вычисления значений параметра отображения, обеспечивающих существование инвариантной плотности с заданным числом ступенек,

в) для остальных значений параметра отображения, образующих континуум, показано, что соответствующая инвариантная плотность пред-ставима в виде бесконечной суммы характеристических функций вложенных отрезков

4 Получены выражения для автокорреляционных функций реализаций дискретных хаотических процессов, задаваемых исследуемыми в диссертации отображениями, а также корреляционных функций наблюдаемых, в частности, в форме степенных функций точек хаотической траектории (посредством выявления результатов многократного действия оператора Перрона-Фробениуса (модифицированного оператора Перрона-Фробениуса) на соответствующие функции независимой переменной и интегрирования этих результатов по инвариантной плотности)

Научная и прикладная значимость. В диссертации развит аналитический метод исследования спектральных свойств несамосопряженного линейного оператора Перрона-Фробениуса, определяющих и объясняющих динамику дискретных хаотических моделей, в контексте «термодинамического формализма» Выявлен класс функциональных уравнений, допускающих аналитическое решение, позволяющее определить производящую функцию для полиномиальных собственных функций данного оператора Эти результаты, как представляется, вносят вклад в развитие теории линейных несамосопряженных операторов, теории разностных уравнений, функционального анализа, современной теории динамических систем, методов моделирования хаотических процессов

полученные результаты представляют интерес для решения задач статистической радиофизики, связанных с исследованием асимптотических спектрально-корреляционных свойств хаотических процессов, в том числе, аналитического исследования перемешивающих (релаксационных) свойств отображений на основе представления начальных распределений разложениями по собственным функциям оператора,12 формирования алгоритмов хаотической передачи и обработки информации, построения конкретных моделей нейронной активности на базе отображения Реньи

Далее, решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных отображений открывает путь и для аналитического решения аналогичных задач для топологически сопряженных отображений и многомерных отображений, образованных декартовым произведением одномерных отображений13

Личный вклад. Задачи исследования были сформулированы научными руководителями работы, которые оказывали консультативное содействие и осуществляли верификацию результатов в процессе выполнения работы в направлении двух специальностей (радиофизика, математическое моделирование) Автору диссертации принадлежат аналитические результаты по модификации метода производящих функций для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса, выяснению степени эффективности метода в зависимости от вида отображения, конкретные расчеты собственных функций и собственных чисел оператора, а также корреляционных характеристик рассмотренных моделей дискретных хаотических процессов

Достоверность результатов диссертации Все результаты, представленные в работе, получены сугубо аналитическими методами В пользу их корректности свидетельствуют совпадение аналитических решений, найденных различными способами, непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнения для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т д ), возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам, сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок

12 Исследование процессов релаксации в дискретных динамических системах может быть проведено и на основе представления начального распределения формулой Эйлера-Маклорена с последующим частичным замещением в ней полиномов Бернулли полиномами Эйлера

13 Собственные числа при сопряжении отображений обратимых дифференцируемых преобразований, являются инвариантами, а в выражениях для собственных функций соответствующим образом меняется лишь аргумент (См Голубенцев А Ф , Аникин В М, Аркадакский С С О некоторых свойствах оператора Фробениуса - Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2000 Т 8 № 2 С 67 - 73)

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы представлялись на всероссийских школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» 2005 и 2006 гг, международных конференциях SPIE 2005 и 2007 гг, на научных семинарах, проводившихся на физическом и механико-математическом факультетах Саратовского госуниверситета и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1 Аналитический метод решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, основанный на факторизации производящих функций для собственных функций оператора и методе степенных рядов

2 Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для пилообразных отображений, вне зависимости от количества линейных ветвей, представляются полиномами Бернулли, полиномами Эйлера или их комбинациями

3 Базис инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробениуса отображения Реньи в зависимости от значения параметра ß формируется из конечного (для счетного, всюду плотного множества значений ß) или бесконечного множества характеристических функций вложенных отрезков

4 Значения автокорреляционных функций R(n) реализаций любых кусочно-линейных отображений с полными ветвями определяются величиной, равной п-й степени первого собственного числа соответствующего оператора Перрона-Фробениуса Для определения

Публикации По теме диссертации опубликовано 11 научных работ 4 статьи, включая 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, и 7 публикаций в трудах всероссийских и международных конференций

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы из 80 наименований и 4 приложений Общий объем диссертации - 128 страниц, она иллюстрируется 29 рисунками и содержит 2 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации дается общая характеристика работы согласно рубрикаторам, отраженным в настоящем автореферате

Глава 1 носит характер научного «полигона» для подготовки к решению основных задач диссертации а) вводится понятие оператора Перрона-Фробениуса (2), б) обсуждаются некоторые его свойства (линейность, положительная определенность, несамосопряженность, приводящая к не-

ортогональности собственных функций), в) вводится определение производящей функции для полиномиальных собственных функций оператора, г) выявляются свойства производящей функции, собственных функций и ядра оператора, д) определяется последовательность математических операций, составляющих основу метода решения спектральной задачи с привлечением производящих функций и метода степенных рядов для отображений с произвольным числом ветвей, е) предложенный изящный метод решения спектральной задачи демонстрируется для тестовых кусочно-линейных отображений с двумя - тремя ветвями («сдвиг Бернулли», «палатка - tent шар», «N-образное»)

Как и для любого линейного оператора, спектральная задача для оператора Перрона-Фробениуса (ОПФ) основывается на соотношении

= (5)

где <рп(х) и Хп - собственная функция и отвечающее ей собственное число, соответственно Собственная функция, соответствующая единичному собственному числу ЯГ)= 1, является неподвижной точкой оператора и имеет

смысл инвариантной плотности Р<рй (jt) = <pQ (х) = р(х) Показывается, что

собственные функции ОПФ ортогональны константе Jy/n(x)dx =5п0

Для кусочно-линейных отображений как с полными, так и неполными ветвями собственные функции ОПФ естественно искать в виде кусочно-полиномиальных функций (ОПФ этих отображений не может изменить степень полинома) Кусочно-полиномиальные функции можно представлять как соответствующие линейные комбинации характеристических функций отрезков с коэффициентами в виде полиномов

Интересно, что для любого кусочно-линейного отображения с полными ветвями на отрезке [0,1] первые две собственные функции есть

Vo{x)=\ $01(х), б?„,(*)=ад 0О1(*)=ад ЗлМ (6)

(В,(х) и Ь", (х) - линейные функции, входящие в системы полиномов Бернулли и Эйлера) Предположение о представимости собственных функций ОПФ в форме полиномов,

Vn(x) = P»(x)eoi(x)'<Pn{x) = an»x"+a„n-ix'"l+ +ап\х + а„о, (7) позволяет определить (при подстановке (7) в (5) для конкретного ОПФ) вид собственных чисел оператора (двойная индексация у коэффициентов апк указывает, что коэффициенты при степенях хк индивидуальны для полиномов различной степени п) Экономным математическим приемом

определения собственных функций является решение спектральной задачи на основе производящей функции для этих полиномов

F(x, 0 = |>„М^ С8)

(/ - параметр) Четная и нечетная составляющие «полной» функции (8),

М = \{F{x,t) + F{x,-t)),Fodd (x,r) = j(F(x,t) + F(x,-t)), (9)

также могут играть роль производящих для соответствующей системы полиномов

Производящая функция, ее четная и нечетная составляющие удовлетворяют условиям

1 1 1

¡F(x,t)dx = \, ¡Fm(x,t)ek = l, JFM(x,t)dx = 0, (10) 0 0 о

которые учитываются при выделении решений функциональных уравнений, полученных из (5) относительно этих характеристик

Показывается, что в случае кусочно-линейных отображений с полными ветвями и одинаковым (по модулю) наклоном ветвей возможна факторизация производящей функции и ее составляющих в виде

F(x,t) = e«H(t), FevenM{x,t)=l-(e»HXtl{t) + e>'H,2(-t)), (11)

где вспомогательные функции H(t) и Нх 2(t) пред ставимы (в силу исход-

^ t"

ного предположения) степенными рядами вида / /г— Тогда все (') искомые полиномы выражаются через коэффициенты разложения вспомога-

тельных функций <рп (х) = ^СкпЪкх"'к Поэтому, в принципе, достаточно

к=0

знать значения (правило вычисления) коэффициентов hk, а явный вид вспомогательных функций определять необязательно Тем не менее, в работе выявлен класс отображений, для которого возможно аналитическое решение для функциональных уравнений, получаемых подстановкой (11) в (5), относительно вспомогательных функций

Систематизированная общая методика решения спектральных задач для ОПФ кусочно-линейных отображений с ветвями одного (по модулю) наклона представляется следующей совокупностью этапов

1) уравнение (5) относительно собственных функций записывается для конкретного ОПФ,

2) с использованием полиномиального вида собственных функций из (5) находится выражение для собственных чисел,

3) осуществляется переформулировка уравнения (5) относительно производящей функции (четной или нечетной ее частей, если выражения для собственных чисел с четными и нечетными номерами различаются) с использованием вида собственных чисел,

4) в полученные уравнения для производящей функции (ее компонент) подставляются ее факторизованные представления с целью получения функциональных уравнений для вспомогательных функций,

5) функциональное уравнение для вспомогательной функции либо решается аналитически, либо используется для нахождения (методом степенных рядов) рекуррентных соотношений для коэффициентов разложения вспомогательных функций в степенные ряды (начальное значение для рекуррентной формулы дает условие нормировки),

6) знание коэффициентов полиномиальных собственных функций означает принципиальную возможность их окончательного определения

В главе 2 решается задача нахождения собственных чисел и полиномиальных собственных функций для пилообразного (и инвертированного пилообразного) отображения с произвольным количеством линейных ветвей и с регулярным (последовательным) чередованием их наклонов

Пилообразное отображение на единичном отрезке рассматривается в форме

'м'-н*

ад. с2)

НУ^+НГ' .

- - ^ V ^

где g - число ветвей отображения, вг(х) - характеристическая функция г -го интервала монотонности итерируемой функции Инвертированное к (12) отображение определено как отображение, имеющее итеративную функцию /,т(х) = \-/(х)

Отображению (12) соответствует оператор Перрона-Фробениуса

П,Ах)=+1+^т^ТН«М (13)

ё ,=0 ^ ))

При исследовании (13) целесообразно отдельно рассматривать случаи четного (рис 1, а) и нечетного (рис 1, б) числа ветвей в «четном» случае возможно возникновение полиномиального нуль-пространства (ядра) для ОПФ (действие ОПФ на функцию ядра дает нуль, Ру/п (х) = 0), а в «нечетном» - появление кратных собственных чисел (одному значению соответствуют две собственные функции)

Спектральная задача для пилообразных и инвертированных пилообразных отображений с заданным количеством монотонных ветвей решается на основе сформулированного в главе 1 метода Получено представление для решений как в явном аналитическом виде, так и в виде, исполь-

зующем рекуррентные соотношения для полиномообразующих коэффициентов (кстати, «попутным» результатом является получение рекуррентного соотношения для чисел Бернулли)

ад 05

ад 0 5

а б

Рис 1 Примеры пилообразного отображения (12) с четным (а) и нечетным (б) числом ветвей

Для ОПФ пилообразного отображения с четным числом ветвей установлено, что

1) собственные числа ОПФ выражаются как \=\!,

2) функциональное уравнение для вспомогательной функции, входящей в структуру производящей функции (11) для собственных функций ОПФ имеет вид

Я, (0 = 7 НМ^ + Н^е

§ \ С I

(14)

а его решением является функция ■//,(?) = 21/(е21 -1), одновременно удовлетворяющая и нормировочному условию (10),

3) выражение для четной части производящей функции, генерирующей собственные функции ОПФ, представляется комбинацией производящих функций для полиномов Бернулли с четными индексами Втп(х,1) и полиномов Эйлера с нечетными индексами

(15)

и это соответствует собственным функциям с четными номерами в виде комбинации полиномов Бернулли Вп(х) и Эйлера Е„(х)

е0!(х), « = 0,2,4

(16)

4) производящими функциями полиномиальных функций ядра ОПФ являются нечетные части производящих функций для полиномов Бернулли и Эйлера

Для ОПФ пилообразного отображения с нечетным числом ветвей в работе установлено, что

1) собственные числа оператора имеют представление Лп =1 /g" для четных п и2л = 1! для нечетных и , т е являются кратными,

2) структурные компоненты четной и нечетной части производящей функции (11) удовлетворяют функциональным уравнениям

Я' (0 = -1)- («~1)' -1)), (17)

£ е 1

(Я-0/2 («-1)/2-1

Я2 (,) = #,(#) X ег"-Н2(-#)е~2' £ (18)

(=0 1=0

решением (17) является функция &',(/) = х!{е' -1), а решением (18) - функция С?г(0 = 2/(е'+1),

3) производящими функциями для собственных функций ОПФ являются четная составляющая производящей функции для полиномов Бер-нулли и нечетная составляющая производящей функции для полиномов Эйлера

= РшМ^Е^), (19)

4) с учетом кратности собственных чисел собственные функции ОПФ могут быть представлены линейной комбинацией четных (по индексам) полиномов Бернулли и нечетных (по индексам) полиномов Эйлера

¥п(х) = \аВ2п{х) + ЬЕ2п_,(х)\ 0О1(х), и = 0,1,2, (20)

(а и Ъ - произвольные константы)

Таким образом, в обоих случаях увеличение числа линейных ветвей пилообразного отображения не изменяет собственных функций соответствующего оператора Перрона-Фробениуса (изменяются значения собственных чисел)

В случае инвертированных пилообразных отображений было обнаружено, что при нечетном числе ветвей собственные функции ОПФ исходного и инвертированного пилообразных отображений совпадают, а в случае четного числа ветвей собственные функции связаны соотношением у/, 1т (х) = ц/п (1 - х) Интересный момент связан с «устранением» кратности собственных чисел при инвертировании отображения в силу того, что эти числа становятся знакопеременными

В главе 3 решается спектральная задача для ОПФ класса кусочно-линейных отображений с произвольным чередованием наклона полных ветвей монотонности, эти отображения как частный случай включают рассмотренные в главе 2 отображения с регулярным чередованием ветвей Дополнительный математически нюанс связан с тем, что рассмотрение ведется для отображений, определенных на симметричном отрезке [-1,1] (линейным преобразованием отображения могут быть переведены на еди-

ничный отрезок) Выявлены «критические» ситуации в решении спектральной задачи, прослежено влияние процедуры инвертирования отображения на вид решения, проведены аналитические расчеты корреляционных функций реализаций и наблюдаемых от реализаций (в форме степенных функций) с привлечением полученных результатов решения спектральной задачи

Итеративную функцию на некотором /-м интервале (г = 1,2, ,£•) линейной монотонности можно представить как

где - параметр, знак которого определяет наклон ветви = 1 при положительном наклоне ветви, = —1 при отрицательном наклоне 0,(у) - характеристическая функция г-го интервала монотонности Элементы множества состоящего из определяют порядок чередования наклона ветвей монотонности На рис 2 показан вид отображения, соответствующего 5"= {-1,1,1,-1,-1}

йСУ)

-1

,'1-

I / \<

-I-1-

\ 1

Рис 2 Пример отображения (21) с пятью ветвями -5у-4, уе (-1,-3/5) 5у + 2, _уе [-3/5,-1/5) му) = 5у> у* [-1/5Л/5) (21 )

-5_у + 2, у е [1/5,3/5) -5у + А, у е [3/5,1)

Рр(у)-.

-ЪР

9-М

(22)

Оператор Перрона-Фробениуса для отображения (21) имеет вид

Если отображение имеет Р ветвей с положительным наклоном и N ветвей с отрицательным наклоном (так что Р + И = g), выражение для собственных чисел ОПФ (22) записывается в виде

(23)

При определенном соотношении между числом «положительных» и «отрицательных» ветвей возникают две особенности 1) когда Р = И, выражение (23) для нечетных п обращается в нуль, для того, чтобы соотношение (5) сохраняло смысл, соответствующие функции >//„(х) должны интерпретироваться как принадлежащие ядру соответствующего ОПФ, 2) когда Р - N = 1, появляются кратные собственные числа - их наборы с четными и нечетными номерами перекрываются, и, таким образом, любому, значе-

нию собственного числа (кроме и = 0) соответствуют две собственных функции, одна из которых имеет четный номер и, другая - нечетный номер п -1

Для коэффициентов полиномов вспомогательных функций получены следующие рекуррентные соотношения

^ - ^ _ р\ ±[я(*)+И" и(*)], « = и,з ,

(24)

где 52(*) = Мр и М„ - множест-

ва значений индексов ветвей соответственно с «положительным» и «отри-

цательным» наклонами) (для собственных функций Ц/г1{х) = ^С^./г^'х2' * с

четными индексами, Ъ^ = 1/2, I = 0,1,2, ),

-¿^^[ЯМ-С-О-Я^)], (25)

л(2>=-

(P-N)g-m-Р + (-\)т И',

2/+1

(для собственных функций у/гм= 1 = 0,1,2, , с нечет-

ными индексами) Начальные значения /г'2' = 1, = 0

Несколько собственных функций ОПФ для отображения (21 ), показаны на рис 3

0962. 1 05

РеР(у,2) РеР(у,4) о РеР(у,б)

-0 5

-0 939

-1 0 1 -1 у 1

Рис 3, а

Четные (по номерам) собственные функции (2-я, 4-я и 6-я) отображения (21 )

3336. 4 2

РоК(у,3) Ро^У.З) о Р° НуЛ)

-2

-3 336.

-1 0 1

-1 у 1

Рис 3,6

Нечетные (по номерам) собственные функции (3-я, 5-я и 7-я) отображения (21 )

Полученные результаты решения спектральной задачи применены для аналитического расчета автокорреляционных функций реализаций кусочно-линейных отображений Выяснено, что для любых кусочно-линейных отображений с полными ветвями значения автокорреляционной функции пропорциональны п-й степени первого собственного числа

= (26) где для единичного отрезка [0,1] Л = 1/12, а для симметричного [-1,1] А = 2/3 Поэтому когда первое собственное число равно нулю (например, в случае отображений (21) при Р = Ы)), то имеет место случай дельта-коррелированных реализаций («дискретного белого шума»)

(27)

Интересно выяснить вопрос о характере корреляционной функции для наблюдаемых, ассоциированных с хаотическими реализациями отображений типа (21) Наиболее простые результаты получаются для наблюдаемых в форме степенных функций и(х) = хр Для вычисления корреляционной функции наблюдаемой, требуется разложение ее в ряд по собственным функциям оператора Перрона-Фробениуса Таким образом, с повышением степени р требуется знание все большего и большего числа собственных функций и чисел оператора Так, для наблюдаемой в виде и(х) = х1 функция корреляции имеет вид

= |)3 (28)

В главе 4 рассматривается малоизученное хаотическое (эргодическое и перемешивающее) кусочно-линейное отображение Реньи14

х^=рхя тосЛ (1</?<2), (29)

имеющее неполные ветви с одинаковым наклоном (рис 4) Ему (для всех значений параметра /?) отвечает оператор Перрона-Фробениуса

(30)

1 14 Renyi A Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math Acad Sc Hungar 1957 V 8 P 477-493, Рохлин В А Избранные работы -M МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999 С 355356 Частный случай отображения Реньи для значения параметра , равного бочьшему из чисел Фидия

Ф = (\[5 +1)/2, рассматривался в работах Mori Н, So В -Ch, Ose Т Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress ш Theor Physics 1981 V 66 No 4 P 1266-1283, Голубенцев А Ф , Аникин В M , Барулина Ю А Собственные функции и собственные числа эволюционного оператора Ф-отображения // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб Вып 11 Памяти Александра Федоровича Голубенцева / Под ред Ю В Гуляева, H И Синицына и В М Аникина Саратов изд-во Сарат ун-та, 2004 С 211-218, Аникин В М , Барулина Ю А Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное Ф-отображешло // Там же С 201210

В работе исследуется структура инвариантной плотности ОПФ отображения (она представляется кусочно-постоянной функцией с конечным или бесконечным числом ступенек), а также решается спектральная задача для ОПФ отображения при значениях параметра, отвечающих трехступенчатой инвариантной плотности Показано, что существуют значения параметра /?, при которых отображение обладает инвариантной плотностью в форме кусочно-постоянных функций (ступенчатая инвариантная плотность) Построен алгоритм вычисления значений параметра отображения (29), для которых инвариантная плотность обладает заданным числом ступенек Доказано, что множество таких значений параметра всюду плотное Получено аналитическое выражение для плотности инвариантного распределения отображения Реньи для любого значения параметра /?е( 1,2)

1 / /

■ / /

я>,18) 05

0 5 1 !. 1 б

/ /

/ , /

(31)

где а0 =[]Гб,/Г'] ', а величины Ь, опре-

1-0

деляются отображением Реньи при начальном значении х0 = 1 (в случае возникновения циклов число ступенек становится конечным)

При решении спектральной задачи для отображения (29) метод производящих функций был модифицирован

1) собственные функции представлялись в виде кусочно-полиномиальных функций вида

Рис 4 Вид итеративной функции отображения Реиьи г (*,/?) = /Зхтос11 для различных значении параметра отображения а) /9 = 12, б) /9 = 18,

в) ¡5 - (\/5+1)/2

(32)

где 9к(х) - характеристические функции, составляющие базис инвариантного подпространства ОПФ размерности /V, <рп к (х) - искомые полиномы (к наборов многочленов п-й степени),

2) на основании уравнения (5) записывалась связующая система функциональных уравнений для полиномов <рпк(х), позволяющая получить функциональное уравнение относительно <?>„ 0 (х) и алгебраическое уравнение порядка И, определяющее N наборов собственных чисел,

3) производящая функция определялась для полиномов <рп0(х), дальнейший же ход решения реализовался в русле метода производящей функции, сформулированного в главе 1 с учетом существования N наборов собственных чисел

Вид трех кусочно-линейных собственных функций ОПФ, отвечающих различных наборам собственных чисел, показан на рис 5

Определены собственные функции модифицированного оператора Перрона-Фробениуса Р/(х) = Р(/(х)р(х))/р(х) (с равномерным инвариантным распределением) и выявлена структура корреляционной функции для наблюдаемых, допускающих разложение по собственным функциям модифицированного оператора Перрона-Фробениуса

Рис 5 Кусочно-линеиные собственные функции ОПФ отображения Реньи с трехступенчатой инвариантной плотностью для одного из значений параметра - корня уравнения р\-рз2-2Д+1 = 0 (Д =1 80193773580484 )

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1 При операторном описании одномерных отображений их нелинейные свойства изучаются посредством линейного оператора Перрона-Фробениуса Основная задача исследования оператора — задача определения его собственных функций и собственных чисел - успешно решается предложенным в работе методом, основанным на введении и факторизации производящей функции для собственных функций ОПФ и методе степенных рядов, что в комплексе позволяет найти собственные функции либо в явном виде, либо через рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов, определяющих структуру собственных функций

2 Посредством разработанного метода удалось впервые определить структуру полиномиальных собственных функций и нуль-пространства ОПФ кусочно-линейных отображений достаточно общего вида, представ-

ляющих композицию полных линейных ветвей, характеризуемых одинаковым модулем производной и произвольным чередованием знака производной Возможность использования приема факторизации производящей функции позволяет найти универсальный набор рекуррентно вычисляемых коэффициентов, на основе которых и конструируются собственные полиномиальные функции Выяснено, что в случае отсутствии симметрии отображения относительно середины отрезка определения а) нуль-пространство ОПФ не содержит полиномиальные функции, б) при наличии кратных собственных чисел не существует четных (по старшей степени) полиномиальных собственных функций Рассмотренный класс отображений включает в себя и отображения с регулярным чередованием ветвей, причем производящие функции в этом случае представляется комбинацией производящих функций для полиномов Бернулли и Эйлера

3 Основные результаты проведенных исследований хаотического отображения Реньи заключаются в выявлении структуры инвариантной плотности для значений параметра 1 < ¡5 < 2 Выявлено подмножество значений параметра, обеспечивающих существование кусочно-постоянной инвариантной плотности с конечным числом ступенек Предложен алгоритм нахождения значений параметра, соответствующих заданному количеству ступенек Показано, что остальные значения параметра 1 < /? < 2 обеспечивают существование инвариантной плотности с бесконечным числом ступенек Точки скачков на графике инвариантной плотности генерируются самим отображением при начальном значении хд = 1, причем наличие циклов такой реализации соответствует конечному базису инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробенуса

Разработана модификация метода производящих функций применительно к решению спектральной задачи для ОПФ отображения Реньи, с помощью которой решена спектральная задача для ОПФ в случае с двухступенчатой (тестовый пример) и трехступенчатой инвариантной плотности (при соответствующих значениях параметра) Выяснено, что собственные числа и собственные кусочно-полиномиальные функции ОПФ отображения Реньи могут быть и комплексными

4 Продемонстрировано применение оригинальных решений спектральной задачи для ОПФ рассмотренных кусочно-линейных отображений при расчете автокорреляционных функций хаотических траекторий и наблюдаемых, соотнесенных с точками траекторий Показано, каким образом прогресс в аналитических расчетах корреляционных функций, характеризующих процессы эволюции в дискретных динамических системах, связан с представлением независимой переменной и наблюдаемых в виде разложения по собственным функциям оператора Перрона-Фробениуса или его модифицированного представления (для отображений с инвариантным распределением, отличным от равномерного)

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Аникин В M , Аркадакский С С , Ремизов А С Аналитическое решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробсниуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2006 Т 14 № 2 С 16-34

2 Аникин В M , Ремизов А С , Аркадакский С С Собственные функции и числа оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 2007 Т 15 №2 С 62-75

3 Аникин В M , Аркадакский С С , Ремизов А С Оператор Перрона-Фробениуса в курсе нелинейной динамики // Вопросы прикладной физики Межвуз науч сб - Саратов изд-воСарат ун-та, 2006 Вып 13 С 12-15

4 Аникин В M , Аркадакский С С , Ремизов А С Метод решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса одномерных хаотических отображений // Там же С 15-18

5 Anikin V M , Arkadaksky S S , Remizov A S Operator description of maps providing chaotic rhythms // Proc SPIE 2005 V 5696 Complex Dynamics and Fluctuations m Biomedical Photonics II Valéry V Tuchin, Ed Pp 144-150

6 Amkm V M , Arkadaksky S S , Remizov A S Variations of piece-wise lmer ID one-parameter chaotic map // Proc SPIE 2007 V 6419 Complex Dynamics and Fluctuations m Biomedical Photonics IV Valéry V Tuchin, Ed

7 Ремизов А С Этапы решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса методом производящих функций // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2005 Материалы науч школы-конф Саратов, 1-4 11, 24-27 11 05 Саратов изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005 С 108-113

8 Ремизов А С Собственные полиномиальные функции оператора Перрона-Фробениуса для пилообразного отображения с произвольным числом ветвей // Там же С 113-117

9 Ремизов А С Структура множества коэффициентов отображения Репьи, обеспечивающих существование кусочно-постоянных инвариантных плотностей // Там же С 117-121

10 Ремизов АС Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса для хаотических кусочно-линейных отображений с произвольным чередованием наклона линейных ветвей // Нелинейные дни в Саратове для молодых -2006 Материалы науч школы-конф Саратов, 25-28 10 06, 1-2 11 06 Саратов РИО журнала «Известия вузов Прикладная нелинейная динамика», 2007 С 129-132

11 Ремизов А С Исследование особенностей решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства//Там же С 133-137

Научное издание РЕМИЗОВ Александр Сергеевич

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРНОГО ПОДХОДА

Автореферат

Подписано к печати 26 04 07 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Times New Roman Уел печ л 1,4(1,45) Тираж 100 экз Заказ 56

Лицензия ПД № 7-00-14 от 29 05 00 Типография АВП «Саратовский источник» 410012, г Саратов, ул Университетская, 42, оф 106 Тел 52-05-93

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ремизов, Александр Сергеевич

Введение.

ГЛАВА 1 Метод производящих функций в решении спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных хаотических отображений.

1.1 Определение оператора Перрона-Фробениуса и его основные свойства.

1.2 Постановка спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса. Общие свойства собственных функций оператора.

1.3 Определение производящей функции собственных функций оператора. Свойства производящей функции.

1.4 Производящая функция для оператора Перрона-Фробениуса сдвигов Бернулли.

Решение спектральной задачи.

1.5 Производящая функция для операторов Перрона-Фробениуса отображений «палатка» и «N-образное». Решение спектральной задачи.

ГЛАВА 2 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса пилообразных кусочно-линейных отображений с произвольным числом линейных ветвей.

2.2 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса пилообразного отображения с нечетным числом линейных ветвей.

2.3 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отображения с четным числом ветвей монотонности.

2.4 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отображения с нечетным числом ветвей монотонности.

ГЛАВА 3 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием линейных ветвей.

3.1 Класс кусочно-линейных отображений с произвольным чередованием наклона полных ветвей монотонности на отрезке\-1,1], для которых модуль тангенса угла наклона всех ветвей одинаков. Решение спектральной задачи.

3.2 Исследование особенностей решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства.

3.3 Связь между собственными функциями исходного и инвертированного кусочно-линейных отображений с полными ветвями монотонности и одинаковым модулем тангенса угла наклона.

3.4 Автокорреляционные функции орбит для кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных линейных ветвей.

3.5 Корреляционные функции наблюдаемых в форме степенных функций от реализаций кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных линейных ветвей.

ГЛАВА 4 Спектральная задача для отображения Реньи.

4.1 Решение спектральной задачи для фи-отображения методом производящих функций.

4.2 Свойства собственных чисел и собственных функций ОФП для фи-отображения

4.3 Трёхступенчатое инвариантное распределение.

4.4 Множество точек бифуркаций параметра бета - отображения.

4.5 Инвариантное распределение для отображения Реньи.

4.6 Корреляционные функции наблюдаемых в форме функций от реализаций отображения Реньи, допускающихразлооюение по собственным функциям модифицированного оператора Перрона-Фробениуса.

Введение диссертация по физике, на тему "Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода"

Актуальность работы. Простейшими моделями хаотических процессов, как известно, являются динамические системы с дискретным временем - одномерные отображения, описываемые разностными уравнениями вида хп+1 = <р(хп Д)>п = 0,1,2,.»» G (a>b), (Bl) где (р - нелинейная или кусочно-линейная итеративная функция, сохраняющая меру в области определения отображения; Я - параметр, определяющий особенности динамики отображения [1-9]. Со временем они не утратили своего и научного, и методологического значения для нелинейной науки. Собственно, первые серьезные шаги на пути ее изучения и начинаются со сценария М. Фейгенбаума перехода к хаосу [10-12], обнаруженного впервые именно для одномерных отображении. Второй важный концептуальный пример связан с развивавшейся коллективом авторов во главе с И.Р. Пригожиным фундаментальной концепцией относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (необратимости физических процессов при наличии обратимого характера уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории простейшего диадического отображения (сдвига Бернулли) [13]. Интересен, далее, тот факт, что парадигма детерминированного хаоса заняла свою нишу в общей теории относительности, когда была открыта хаотическая осцилляция компонент метрического тензора согласно одномерному отображению Гаусса в однородной анизотропной космологической модели типа IX по Бианки вблизи особенности (Mixmaster Universe -"Перемешанный мир") [14-19].

Конкретные применения моделей "малоразмерной нелинейной динамики" для анализа нерегулярных процессов продолжаются и по сей день, причем в разнообразных отраслях знания - в физике (от механики до космологии), в информационных технологиях, экономике, финансовой математике и т.д. [1-9, 20-22], но научная значимость подобных «простых» моделей заключается, прежде всего, в возможности (в определенных случаях) точного аналитического вычисления основных траекторных, вероятностных и спектральных характеристик изучаемого хаотического процесса. Исследование же численными методами более сложных чувствительных к изменениям начальных условий систем в связи с особой структурой машинных чисел и нарушением правил «обычной» арифметики может сталкиваться с большими проблемами, вплоть до появления результатов, на самом деле являющихся машинными "фантомами" [23-25].

В этой ситуации представляет несомненный интерес глубокое математическое исследование "классики" нелинейных явлений как собственно математического объекта, так и как возможного инструмента для анализа новых нелинейных явлений.

В последнее время доминирующим в подобных исследованиях является операторный подход, основанный на анализе спектральных свойств линейного, несамосопряженного, положительно определенного оператора Перрона-Фробениуса, который описывает динамику плотностей вероятностных мер под действием отображения [26-31]. Генезис вероятностного описания хаотических динамических систем связан с рассмотрением начального значения х0 и рекуррентно вычисляемых точек траектории (реализации) хп как случайных величин, соответственно обозначаемых как Х0 и Хп. Подобная экспликация оправдана тем, что совокупность значений хп при любом начальном значении х0 демонстрирует идентичные распределения по области определения, а случайная вариация начального условия системы, чувствительной к этому параметру, позволяет делать прогнозы о ходе траектории исключительно в вероятностном ключе. В общем виде оператор Перрона-Фробениуса имеет вид

Pf{x)=\f{t)S{x-(p(tMdt, (В2) где д{х) - дельта-функция Дирака. В вероятностной трактовке (В2) - это обычное правило преобразования вероятностных плотностей при нелинейном преобразовании случайной величины (Хп+1 = р(Хп,Л)), которое может быть в силу фильтрующих свойств дельта-функции преобразовано от интегрального уравнения с сингулярным ядром к функциональному уравнению. Для кусочно-линейных отображений оно имеет вид линейной комбинации функции /(х) при различных значениях аргумента вида ах + Ь. А наличие неподвижной точки оператора Перрона-Фробениуса (В2), называемой инвариантной плотностью, служит доминантным признаком как раз детерминированного хаоса, развивающегося в системе (В1). 5

Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов.

В 90-е годы спектральная задача была решена для сдвигов Бернулли хл+1 = Gxn mod 1, где G - произвольное целое положительное число [33-39], и пирамидального отображения (tent map) [40]. Был предложен метод нахождения полиномиальных собственных функций оператора Перрона-Фробениуса на основе построения производящих функций для этих полиномов и найдены выражения (в форме представления через гиперболические функции) для производящих функций операторов отображений с 3-6 линейными участками итеративной функции [41-42].

Что же дает знание спектральных свойств оператора Перрона-Фробениуса, его собственных функций и собственных чисел для исследования хаотической динамики, для радиофизики, в частности? При изучении как стохастических («истинно» случайных), так и хаотических процессов принципиальную (иногда даже говорят, «критическую») роль в радиофизике, а также в статистической физике играет анализ корреляционных функций процесса, оценка скорости убывания или «расцепления» корреляций, оценка динамики релаксационных процессов, установления равновесного состояния. Автокорреляционная функция преобразованием Фурье связана, как известно, с энергетическим спектром (Винера-Хинчина), который является характеристикой, нашедшей широкое применение в прикладных задачах. В литературе, кстати, отмечается, что спектрально-корреляционные свойства нерегулярных колебательных ф режимов динамических систем в настоящее время изучены явно недостаточно [43].

Общий вид корреляционной функции для процессов U, V, ассоциированных с реализацией случайного процесса X:

R(n) = (U{a)V[срп (а)))•-(U(a))(v[ср" (а))), (ВЗ) где усреднение в стационарном (асимптотическом) случае ведется по инвариантной плотности. Поскольку хп = <рп (х0) = (р"~1 х0)), соотношение (ВЗ) можно представить в виде

R(n) = (Щх)РГ(<р (*))) - (Щх))(У (х)), ' (В4) где Pf(x) = P(p(x)f(x))/p(x) - модифицированный оператор Перрона-Фробениуса, р(х) - инвариантная плотность. В ряде работ выражение (В4) адаптировано для конкретных видов отображений и топологически сопряженных отображений [42,44].

Собственные числа оператора (В2) и модифицированного оператора совпадают, а собственные функции отличаются множителем р(х). Отсюда становится ясным, что ключевым моментом при расчете асимптотических, корреляционных свойств одномерных хаотических отображений является нахождение решения спектральной задачи для оператора' Перрона-Фробениуса исследуемого отображения. Особый интерес в этой связи вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена аналитически. Соответственно аналитически может быть решена и задача расчета скорости релаксационных процессов (установления инвариантного распределения) и спада корреляций. Именно такой класс операторов (и "порождающих" их отображений) изучается в настоящей диссертации.

В диссертационной работе впервые полностью решается задача аналитического нахождения полиномиальных собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса для целого класса кусочно-линейных отображений [45-55]. Речь идет, в частности, об отображениях, итерируемая кусочно-линейная функция которых имеет полные ветви (т.е. каждый участок монотонности отображается своей линейной функцией на весь интервал), тангенс угла наклона линейных 7 ветвей одинаков по модулю для всех участков монотонности, число же и чередование наклонов ветвей произвольно. В работе удалось унифицировать и обобщить процедуру решения спектральной задачи для данного класса отображений и отображений с неполными ветвями (отображений Реньи) с помощью введения производящей функции для собственных функций оператора. '

Цели и задачи исследования. Основная цель работы - развитие аналитических методов решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса и аналитическое исследование на этой базе асимптотических свойств ряда моделей хаотической динамики. В этом контексте в работе решены задачи: а) развитие и практическая реализация аналитического метода нахождения собственных функций и собственных чисел оператора посредством нахождения производящей функции для кусочно-линейных хаотических отображений пилообразного типа (с упорядоченным чередованием ветвей отображения) и отображений с произвольным чередованием ветвей; б) анализ эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи хл+1 = f3xn mod 1 с диапазоном изменения (нецелого) параметра 1 < j3 < 2; в) аналитический расчет (для рассмотренных классов одномерных хаотических отображений) автокорреляционных функций реализаций и корреляционных функций наблюдаемых, ассоциированных с отображениями, в частности, в форме степенных функций.

Научная новизна работы

2. Данным методом определены полиномиальные собственные функции и собственные числа оператора для следующих классов кусочно-линейных отображений: а) отображений с последовательным чередованием наклона полных линейных ветвей (собственные функции представляются линейными комбинациями полиномов Бернулли и Эйлера); б) отображений с произвольным чередованием наклона полных линейных ветвей (получены рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномиальных собственных функций); в) отображения Реньи при трех значениях параметра, обеспечивающих наличие трехступенчатой инвариантной плотности (получены представления для кусочно-полиномиальных собственных функций с коэффициентами полиномов, выражаемыми через рекуррентные соотношения).

3. Исследованы особенности динамики и вероятностных свойств малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, xn+l = fixn mod 1, для области значений параметра \</3<2: а) показано, что существуют счетное множество значений параметра у3, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в форме кусочно-постоянных функций (ступенчатая инвариантная плотность), б) построен алгоритм вычисления значений параметра отображения, обеспечивающих существование инвариантной плотности с заданным числом ступенек; в) для остальных значений параметра отображения, образующих континуум, показано, что соответствующая инвариантная плотность представима в виде бесконечной суммы характеристических функций вложенных отрезков.

4. Получены выражения для автокорреляционных функций реализаций дискретных хаотических процессов, задаваемых исследуемыми в диссертации отображениями, а также корреляционных функций наблюдаемых, в частности, в форме степенных функций точек хаотической траектории (посредством выявления результатов многократного действия оператора Перрона-Фробениуса (модифицированного оператора Перрона-Фробениуса) на соответствующие функции независимой переменной и интегрирования этих результатов по инвариантной плотности).

Научная и прикладная значимость. В диссертации развит аналитический метод исследования спектральных свойств несамосопряженного линейного оператора Перрона-Фробениуса, определяющих и объясняющих динамику дискретных хаотических моделей, в контексте «термодинамического формализма». Выявлен класс функциональных уравнений, допускающих аналитическое решение, позволяющее определить производящую функцию для полиномиальных собственных функций данного оператора. Эти результаты, как представляется, вносят вклад в развитие теории линейных несамосопряженных операторов, теории разностных уравнений, функционального анализа, современной теории динамических систем, методов моделирования хаотических процессов.

В работе сформулированы и апробированы конкретные алгоритмы аналитических расчетов автокорреляционных функций траекторий хаотических процессов на основе решения спектральных задач для операторов Перрона-Фробениуса соответствующей модели (отображения). Выявлены закономерности изменения эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи с изменением значения параметра, обусловливающим перестройку структуры его инвариантной плотности. В прикладном аспекте полученные результаты представляют интерес для решения задач статистической радиофизики, связанных с исследованием асимптотических спектрально-корреляционных свойств хаотических процессов, в том числе, аналитического исследования перемешивающих (релаксационных) свойств отображений на основе представления начальных распределений разложениями по собственным функциям оператора1; формирования алгоритмов хаотической передачи и обработки информации, построения конкретных моделей нейронной активности на базе отображения Реньи.

1 Исследование процессов релаксации в дискретных динамических системах может быть проведено и на основе представления начального распределения формулой Эйлера-Маклорена с последующим частичным замещением в ней полиномов Бернулли полиномами Эйлера [56].

2 Собственные числа при сопряжении отображений обратимых дифференцируемых преобразований, являются инвариантами, а в выражениях для собственных функций соответствующим образом меняется лишь аргумент [41]. выполнения работы в направлении двух специальностей (радиофизика, математическое моделирование). Автору диссертации принадлежат аналитические результаты по модификации метода производящих функций для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса, выяснению степени эффективности метода в зависимости от вида отображения, конкретные расчеты собственных функций и собственных чисел оператора, а также корреляционных характеристик рассмотренных моделей дискретных хаотических процессов.

Достоверность результатов диссертации. Все результаты, представленные в работе, получены сугубо аналитическими методами. В пользу их корректности свидетельствуют: совпадение аналитических решений, найденных различными способами; непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнения для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т.д.); возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам; сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на всероссийских школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» 2005 и 2006 гг., международных конференциях SPIE 2005 и 2007 гг., на научных семинарах, проводившихся на физическом и механико-математическом факультетах Саратовского госуниверситета и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, основанный на факторизации производящих функций для собственных функций оператора и методе степенных рядов.

2. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для пилообразных отображений, вне зависимости от количества линейных ветвей, представляются полиномами Бернулли, полиномами Эйлера или их комбинациями.

3. Базис инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробениуса отображения Реньи в зависимости от значения параметра /? формируется из конечного (для счетного, всюду плотного множества значений /3) или бесконечного множества характеристических функций вложенных отрезков.

4. Значения автокорреляционных функций R{n) реализаций любых кусочно-линейных отображений с полными ветвями определяются величиной, равной п-й степени первого собственного числа ф соответствующего оператора Перрона-Фробениуса.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ: 4 статьи, включая 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, и 7 публикаций в трудах всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы из 80 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации -128 страниц, она иллюстрируется 29 рисунками и содержит 2 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

3. Основные результаты проведенных исследований хаотического отображения Реньи заключаются в выявлении структуры инвариантной плотности для значений параметра 1 < (3 < 2. Выявлено подмножество значений параметра, обеспечивающих существование кусочно-постоянной инвариантной плотности с конечным числом ступенек. Предложен алгоритм нахождения значений параметра, соответствующих заданному количеству ступенек. Точки скачков на графике инвариантной плотности генерируются самим отображением при начальном значении х0 = 1.

Разработана модификация метода производящей функции применительно к решению спектральной задачи для ОПФ отображения Реньи (как отображения с одной неполной ветвью) в случаях отображений с двухступенчатой (тестовый пример) и трехступенчатой инвариантной плотностями (при соответствующих значениях параметра).

4. Продемонстрировано применение оригинальных решений спектральной задачи для ОПФ рассмотренных кусочно,-линейных отображений при расчете автокорреляционных функций хаотических траекторий и наблюдаемых, соотнесенных с точками траекторий. Показано, каким образом прогресс в аналитических расчетах корреляционных функций, характеризующих процессы эволюции в дискретных динамических системах, связан с представлением независимой переменной и наблюдаемых в виде разложения по собственным функциям оператора Перрона-Фробениуса (соотносимого с отображениями с равномерным инвариантным распределением) или одноименного модифицированного оператора (для отображений с инвариантным распределением, отличным от равномерного).

Заключение

Обобщая результаты проведенного исследования по главам, можно сделать следующие выводы: ,

1. При операторном описании одномерных отображений их нелинейные свойства исследуются посредством линейного оператора Перрона-Фробениуса. Основная задача исследования оператора - задача определения его собственных функций и собственных чисел успешно решается предложенным в работе методом, основанным на введении и факторизации производящей функции для собственных функций ОПФ и методе степенных рядов, что в комплексе позволяет найти собственные функции либо в явном виде, либо через рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов, определяющих структуру собственных функций.

2. Посредством разработанного метода удалось впервые определить t структуру полиномиальных собственных функций и нуль-пространства ОПФ кусочно-линейных отображений достаточно общего вида, представляющих композицию полных линейных ветвей, характеризуемых одинаковым модулем производной и произвольным чередованием знака производной. Возможность использования приема факторизации производящей функции позволяет найти универсальный набор рекуррентно вычисляемых коэффициентов, на основе которых и конструируются собственные полиномиальные функции. Выяснено, что в случае отсутствии симметрии отображения относительно середины отрезка определения: а) нуль-пространство ОПФ не содержит полиномиальные функции; б) при наличии кратных собственных чисел не существует четных (по старшей степени) полиномиальных собственных функций. Рассмотренный класс отображений включает в себя и отображения с регулярным чередованием ветвей, причем производящие функции в этом случае представляется комбинацией производящих функций для полиномов Бернулли и Эйлера.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Ремизов, Александр Сергеевич, Саратов

1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.-424 с.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240с.

3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.

4. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. С. 45.

5. Г.Г. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: Эдиториал УРСС, 2000. С.З.

6. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

7. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: ГосУНЦ "Колледж, 2002. - 324 с.

8. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001. -296 с.

9. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. - М.-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. - 530 с.

10. May R.M., Pater G.E. Bifurcations and dynamical complexity in simple ecological models // Amer. Natur. 1976. V. 110. No 947. pp. 573-599.f

11. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics // Nature. 1976. V. 261. Pp. 49-75.

12. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141. Вып. 2. С. 343-374.

13. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. -М.: Прогресс, 1994. 272 с.

14. Белинский В.А., Е.М. Лифшиц, И.М. Халатников. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии // УФН. 1970. Т. 102. Вып. 3. С. С. 463-500.

15. Лифшиц Е.М., Лифшиц И.М., Халатников И.М. Асимптотический анализ колебательного режима приближения к особой точке в однородных космологических моделях // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 7. С. 322-335.

16. Белинский В.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Колебательный режим приближения к особой точке в однородных космологических моделях t вращением осей //ЖЭТФ. 1971. Т.60. Вып. 6. С. 1971-1979.

17. Лифшиц Е.М., Халатников И.М., Синай Я.Г., Ханин К.М, Щур Л.Н. О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи особой точки //Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. С. 79.

18. Misner C.W. Mixmaster Universe // Phys. Rev. Let. 1969. V. 22. Pp. 1071-1074.

19. Mayer D. Relaxation properties of Mixmaster Universe // Phys. Lett. V. A. 122. Pp. 390394.

20. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2002. - 252 с.

21. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск, РХД, 2000. - 200 с.

22. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис. 1998. Тт. 1,2.

23. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. -Новосибирск: Наука, 1988.

24. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. -М.: Мир, 1988.-208 с.

25. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. Гл.9.

26. Lasota A., Mackey М.С. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 360 c.

27. Iosifescu M., Kraaikamp C. Metrical Theory of Continued Fractions. Kluwer Boston, Inc. 2002. Chs. 1,2.

28. Бланк JI.M. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001.-352 с.

29. Ruelle D. Thermodynamic formalism. Addison Wesley, Reading. Mass., 1978.

30. Mayer D.H. On the Thermodynamic Formalism for the Gauss Map // Commun. Math. Phys. 1990. V. 130. P. 311-333.

31. Baladi V. Positive transfer operators and decay of correlations. World Scientific, Singapore, 2000.

32. P.O. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса // ДАН СССР. 1928. Серия А. С.375-380.

33. Пригожин И.Р. От классического хаоса к квантовому // Природа -1993. N 2. -С.13-23.

34. Antoniou I., Tasaki S. Spectral decomposition of the Renyi map // J. Phys. A: Math. Gen. 1993.-V.26.-P. 73.

35. Antoniou I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. Quantum Chemistry. 1993. V. 46. Pp. 425-474.

36. Bandtlow F., Antoniou I., Suchanecki Z. Resonances of dynamical systems and Fredholm-Riesz operators on Rigged Hilbert spaces // Computers Math. Applic. 1997. V. 34. No 2-4. Pp 95-102.

37. Antoniou I., Dmitrieva L., Kuperin Yu., Melnikov Yu. Resonances and extension of dynamics to rigged Hilbert space // Computers Math. Applic. 1997. V. 34. No 5/6. Pp 399-425.

38. Gaspard P. r-adic One-dimensional maps and the Euler summation formulf // J. Phys. A: Math. Gen. 1992. V. 25. L. 483-485.

39. Driebe D.J., Ordonez G.O. Using symmetries of the Perron-Frobenius operator to determine spectral decompositions // Phys. Let. 1996. V. A 211. Pp. 204-210.

40. Dorfle M. Spectrum and eigenfunctions of the Frobenius-Perron operator of the tent map //J. Stat. Phys. 1985. V. 40. Nos. 1/2. Pp. 93-132.

41. Голубендев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 2. С. 67-73.

42. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Известия, вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13. № 1.

43. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г. А., Стрелкова Г.И. Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. № 7. С. 1-12

44. Mori Н., So B.-Ch., Ose Т. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theor. Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 1266-1283.

45. Аникин B.M., Аркадакский C.C., Ремизов A.C. Аналитическре решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14. №2. С. 16-34.

46. Аникин В.М., Ремизов А.С., Аркадакский С.С. Собственные функции и числа оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15. № 2. С.62-75.

47. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Оператор Перрона-Фробениуса в курсе нелинейной динамики // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. -Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 13. С. 12-15.

48. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Метод решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса одномерных хаотических отображений //Там же. С. 15-18.

49. Anikin V.M., Arkadaksky S.S., Remizov A.S. Operator description of maps providing chaotic rhythms // Proc. SPIE. 2005. V. 5696. Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II. Valery V. Tuchin, Ed. Pp. 144-150.

50. Anikin V.M., Arkadaksky S.S., Remizov A.S. Variations of piece-wise liner ID one-parameter chaotic map // Proc. SPIE. 2007. V. 6419. Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics IV. Valery V. Tuchin, Ed.

51. Ремизов А.С. Собственные полиномиальные функции оператора Перрона-Фробениуса для пилообразного отображения с произвольным числом ветвей // Там же. С. 113-117.

52. Ремизов А.С. Структура множества коэффициентов отображения Реньи, обеспечивающих существование кусочно-постоянных инвариантных плотностей // Там же. С. 117-121.

53. Ремизов А.С. Исследование особенностей решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства//Там же. С. 133-137.

54. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. M.0JL: ГИТТЛ, 1952. - 480 с.

55. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sc. Hungar. 1957. V. 8. P. 477-493.

56. Рохлин B.A. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 499-530.

57. Рохлин В .А. Избранные работы. М.: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999. С. 355-356.

58. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Эволюционные уравнения для хаотических отображений в форме полиномов Чебышёва // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1999. Вып. 5. С. 48-49.

59. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Операторы Фробениуса -Перрона для сопряженных хаотических отображений // Там же. С. 50 52.

60. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. On the Convergence of Nonstationary Solutions of the Frobenius Perron Equations to the Invariant density // Ibid. P. 142 - 143.

61. Голубенцев А.Ф., Аникин B.M., Барулина Ю.А. Спектральные задачи для хаотических отображений с инвариантными экспоненциальными распределениями // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Т. 6. С. 27-31.

62. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения // Там же, с. 33-35.

63. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Об источниках многозначности обратной задачи для уравнения Фробениуса-Перрона // Там же, с. 35-37.

64. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. Формула Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса // Там же. С. 74-76.

65. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979.-830 с. Гл. 23.

66. Lasota A., Yorke J.A. On the existence of invariant measures for piece-wise monotonic transformations//Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 186. Pp. 481-488.

67. Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. Pp. 985-992.

68. Pianigiani G. Existence of invariant measures for piecewise continuous transformations // Annals Polonici Matematici. 1981. V. XL. Pp. 39-45.

69. Аникин В.М., Барулина Ю.А. Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное Ф-отображению / Там же. С. 201-210.

70. Аникин В.М., Аркадакский С.С. Одномерные хаотические отображения с кусочно-постоянными вероятностными инвариантными плотностями / Там же. £. 211-218.

71. Аникин В.М., Аркадакский С.С. Кусочно-линейные отображения с неравномерным инвариантным распределением // Радиотехника. 2005. № 4. С.78-85.

72. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

73. Bergman G. A number system with an irrational base // Math. Magazine. 1957. V. 31. P. 98-110.t