Устойчивость продолжения волновых полей и обратные задачи рассеяния тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

(18-1 У 3<

министерство по делам науки,' высиел школы ii технической политики российской федерации

новосибирский государственный университет им. ленинского комсомола

На правах рукописи УДК. 519.63 + 517.95

бектемесов Мактагали Абдимажитович .

устойчивость продолжения волновых полей и обратные задачи рассеяния

01.01.07 - вычислительная математика

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола и в Казахском государственном педагогическом университете.имени Абая

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Л. Бухгейм

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.И. Кабанихин кандидат физико-математических наук С.П. Белинский

Ведущая организация: Вычислительный -центр Сибирского Отделения РАН (г. Красноярск )

Защита состоится " " С^Ц^А 1993 г. в " "

часов на заседании специализированного совета К 063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата физико- математических наук в Новосибирском государственном университете по адресу : 630090, г. Новосибирск- 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ

Автореферат разослан •

1992 г

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.- м.н. ____Капитонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Благодаря исследованиям В.К. Иванова. .1.М. Лаврентьева, А.Н. Тихонова, их учеников и последователи, в настоящее время создано новое направление в совре-ленной вычислительной математике - теория некорректных эа-хач. В этой теории можно выделить две ветви, которио на самом зеле тесно переплетаются, хотя и тлеют различную паправлен-юсть. Одна из них связана с анализом самих некорректно поставленных задач, другая - с теоретически* обоснованием еычис-штольннх методов.

Впервые задача построения теории устойчивости разностных :яем для некорректных краевых задач была поставлена Я.А. Чу-ювш. Км для исследовании был использован метод преобразовали Фурье. Подход,основанный на определении j>- устойчивости, эвеяенной A.A. Самарским, развивается В.П. ВаОищевичем. Раз-юстнке схемы для абстрактной некорректной задачи Коша иссле-ювакы в работах В.Д. Бакушинского, Метод квазиобращения юдробно исследован в монографии Р. Латтеса, Ж.-Л. Лкоиса.

Разработка и теоретическое обоснование устойчивых разностных методов решения некорректных обратных задач представляет 5олыиой интерес, и выбор темы является актуальным как в теоретическом, так и в практическом плане.

• Цель работы. Исследовать вопросы построения устойчивых )азностных методоз решения задачи продолжения волновых юлей, в частности, задачу Коши для приведенного волнового 'равнения (уравнения Гельмголыха), а также исследовать разре-[имоеть и устойчивость обратных задач определения граничного

условия по данным рассеяния на препятствиях.

Методика исследования. В основу исследования положены: методы теории разностных схем, разностный вариант ыэтода весовых априорных оценок, метод карлемановских оценок, техника шкал банаховых пространств, а такие методы теорий функций комплексного переменного.

Научная новизна. Получены достаточные условия безусловной устойчивости абстрактной трехслойной разностной схемы; условия устойчивости в терминах оператора перехода; доказаны теоремы разрешимости и устойчивости обратных задач определения граничного условия по данным рассеяния на препятствиях.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут использоваться при численном решении задачи Коши для гиперболических уравнений с данными на времениподобном многообразии, а такие в обратных- коэффициентных задачах и задачах рассеяния на препятствиях с неизвестными граничными условиями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: на Пятой школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока ( г.Новосибирск, 10-16 декабря I99G г;), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (г. Новосибирск, 1S92 г.), на семинаре лаборатории численных методов решения обратных -задач (рук. профессор А.Л. Бухгейм), на семинаре кафедры математических методов геофизики НГУ (рук. академик A.C. Алоксеев).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы.-Диссертация состоит из введения, трех гдавдьух приложений и списка литературы из 64 наи-

4

менований. Работа изложена на 98 стр. машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит краткий обзор работ по теме исследования и основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости двухслойных схем канонического вида и в терминах оператора перехода..

Первый параграф главы I носит вспомогательный характер. Здесь приводятся в удобной форме основные факты и определения общей теории некорректных задач, используемые в дальнейшем.

Во втором параграфе с помощью разностного варианта метода априорных весовых оценок доказывается устойчивость вплоть до границы двухслойных схем канонического вида. Разностный вариант

г л*

метода априорных весовых оценок был развит Л.Л. Бухгеймом 11.1 в связи с построением теории разностных схем для некорректных задач Коши.

Пусть Н - гильбертово пространство с нормой 11-11 и

скалярным произведением <•,•> ; {0,1,... , ч: -

функция дискретного аргумента ] со значениями в Н. Положим

иг = (и^ - )/т , и^ = (иу - )'/•г ,

и = и , и = £■- шаг сетки, г~Ы = Т > О .

<I ^ с

Для функции и:Ъ0 —-Н положим:

, ¡М .„Я ,

где • ^ = вУу^ , 7 —— К , - > О , б>0 , ^ ф О для всех ] € Ъ"0~л .

I. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач.- Новосибирск: Наука,1983.-184.с

Эта норма есть разностный аналог - нормы с весом бхр(зу(0). Обозначим через Сг(к, II, Н) гильбертово пространство сеточных функций и: —~Н, = £ к, к+1, ..., ,

с нормой II и -Г 2 II .

Здесь к - целое неотрицательное число.

Г

Известно, что финитная устойчивость Ц] разностной схемы обеспечивает ее ¿- устойчивость в норме (I, N ; Н) ,

и" $ ы' $ Н, т.е. только во "внутренней области" сетки Ъ^ . Для получения оценки устойчивости вплоть до границы, на сетке необходимо учесть внеинтегральные члены, возникающие при использовании формулы суммирования по частям, и, следовательно, следует работать не с финитными функциями С 0 ( Ъ£ ), ас произвольными и: .

Рассмотрим двухслойные схемы'канонического вида:

Ри = В1Ц + Аи = f - (I)

ир=е , (2)

где А и В - в общем случае не самосопряженные операторы, не зависящие от 1, кроме того

А = (А + А* )/2 + ИА - А* )/2\ = Ле А + \ 1т А Б = 1*е В + 1. 1т В I , 2 - заданные элементы пространства Н.

Теорема 1.1. Пусть "ЗС{ Н ) и выполнено условие

В* В -^еПЫВ* А ) > (I/оС )1т(В* А)(В* В)"' ЫВ* А) ш > - У4 >0, >.0, Ы > 0.

Тогда для всех г 6 (О, Тс ] , £ > 0 ,

и : Ъы0—~Н для схемы (I) выполнена оценка устойчивости

+ ив + а й^п0ил ].

Здесь Б н. 1*е(А* В) = - , = > 0, где' - положительная часть самосопряженого оператора I"»ъ а ■ - его отрицательная часть, с(г) ехр(сопз1/<£ А ).

В случае В = Е получена теорема 2.2. В параграфе 3 главы I получено условие устойчивости в терминах оператора перехода.Рассмотрим следующую разностную схему Р11 = и^ - Аи = { , (3)

и0=к (4)

где в типичном некорректном случае А > 0 . Запишем (3) в терминах оператора перехода

где Я = Е + Г А .

Лемма 1.1. Пусть И <? £?(Н) , причем . -с* Яв К > оС'( 1т , оС > 0 , где Ке II = ( К + Я* )/2 , 1ш Я = (Я - Я* )/21 . Тогда для всех Г £ (0, ] , £>0 для разностной схемы = Шу + Т у имеет место оценка устойчивости

+ и е и* + I в« г II* ] .

Здесь

Б = (Ие Я - Е)/г = 0+ - В_ где В + - положительная часть самосопряженого оператора О а - - его отрицательная часть, с {б) ехр(соп$1/<£* ).

В главе II исследованы устойчивость и сходимость трехслой ной разностной схемы аппроксимирующей некорректную задачу Ксши для эволюционного уравнения второго порядка.

В первом параграфе главы II получены достаточные условия

7

безусловной устойчивости трехслойной разностной схемы с весами, аппроксимирующей некорректную задачу Коши для уравнения второго порядка с самосопряженным оператором А. Так как в общем случае в операторе А = А, + кг может присутствовать как положительная часть к 1 > О, так и отрицательная Аг 0 , то для построения безусловно устойчивых разностных схем рассматриваем трехслойную разностную схему с двумя весами.

Ри = и^ - А^ (<ги + (I - 2(Г)и + б" и) -

- А^ ий + (1-2ц)и + ди ) = I , (5)

'о

= ЙО, иг = . (6)

Разложим пространство Н = Н+© Н - в прямую

сумму двух подпространств Н+ и Н~ таким образом, что

Ау + Аг 0 в Н+ и к1 + Аг < 0 в Н~ . Пусть 0-

ортогональный проектор пространства- Н на Н+ .

Теорема 2.1. Пусть А, = А* - > О , А^ = А* О и выполнены условия

Е<г к1 - кг > ГЕ , Г>о,

4Е + гг ■ (I - 4ч) к2 > о, (I - '4<П А^ 5, 0 . Тогда а:1д~Н для всех Тб(о,Ге] £70

разностной схемы (5) - (б) имеет место оценка устойчивости

1 м* + > ^ 11 +

+ 1и01г + ||-Ш1011'г + КиI + ЦЯи,!* ] ,

в которой

А0 = О {Т/г ■ А + ( А + ^ А 4 ) ,

А = 0 (( А + ■ Аг ) - % ■ А ) , А = [ Е - <Г А^-?5^ А^ + А^ ) ',

Е = Е + Г А, , с( £ ) ~ ехр (соаз1 /£г ) 8

Во втором параграфе этой главы с помощью оценки устойчивости, приведенной в параграфе I, получена теорема сходимости разностной схемы соответствующей абстрактной задаче Коиш:

-Ä = Av dt* '

v (0) = v0 ; (0) = 0 . Здесь А ~ ki , к1 ^ 0 , А^^ 0 - линейные, не-

ограниченные, не зависящие от t операторы с областью определения D( А) £ Н ; Н - гильбертово пространство; функция v: [О, Т] -~Н четырежды непрерывно дифференцируема в сильном смысле, т.е. v (t)e С4([0, Т]; Н ), причем v (t) е D (А) для всех t б [О, Т 3 .

В приложении I приведены численные результаты. При численном решении задач Коши для гиперболических уравнений с данными на времениподобном многообразии использовалась трехслойная схема с двумя весами, причем выбор оптимального в"- веса производился на разных уровнях " шума " автоматически.

В главе III исследуются вопросы устойчивости обратных задач восстановления граничных условий для уравнения Гельмгольца и Лапласа. Получены также теоремы существования решения, этих задач, доказательства которых основаны на использовании известной техники шкал банаховых пространств.

В первом параграфе главы 3 рассматривается решение уравнения Гельмгольца

Д и + кги = 0 х 6 Ел V-Q- (?)

удовлетворяющее на дранице ~dSl следующему условию

ди./дп + а-и = 0 (8)

Здесь Q- = f хб R2 , Iх| ^ ß < R < оо] , дЛ= ( х 6 R2 \х| -ß] . к = const - волновое число, п - внешняя нормаль.

9

Требуется по данным Коши

ujr = g(x), ди/дп j= f(x), хеГ =[ x 6 K¿,lx| = R] (9) определить функцию а(х) на 'ЭЛ.

Теорема 3.1. Пусть Uj б С3(Л) , . aj е О (dSL) _ два разных решения обратной задачи ( 7 ) - ( 9 ), соответствующие данным г. £Сг(Г) , f. е С. (Г ) , i = I, 2 ; d í ' Тогда, если ¡I aj II с с gjjj ¿ с , j = I, 2 , с > О

ra « сг ||g2« .exp (-c2ll /liej ) , II-II =11-«^. c<e > то для всех ¿ > О имеет место оценка условной устойчивости

■а 11 иад) •«u +с(£)[|>* \(п+«\(г;

НН1(П 3 •

Здесь а = ai - a¿, u = uY - u¿ , g = g, - , f = - i¿ с (¿ ) =: exp (const /г) r L-ДГ) - гильбертово пространство W* ( • ) - пространство Соболева.

Во втором параграфе главы III исследуется устойчивость задачи определения граничного условия для уравнения Лапласа.

Пусть функция u (Xj. ,х2 ) гармонична в открытом круге Л = I х е IR* , |хК I ] , т.е.

A u = О , Ixl < I (Ю)

и на окружности 3Sl = [ х€ IR2,|x|= i} удовлетворяет условию (£ Требуется по данным Коиш (9) на Г = [ х е R* i xU ß < i] определить функцию а(х) на 3JL .

Теорема 3.2. Пусть uj é С*(& ), а-еС (М-) - два pt них решения обратной задачи (10), (8), (9) соответствующие да

ним г-6 С*( Г ), f; 6 С ( Г ), з = 1,2. ¿ «

Пусть II ají £ 4 const , и выполнено условие

Тогда, если 8 и^С*(д&) ^ т и Е ~ множество, расположенное на границе дЛ , такое, что Е£ = ,1ил1< 5"] то имеет место следующая оценка устойчивости

11 ( 1РП . 1-8 =1-Ьг(г)>

игП1 ( Р ) ~ ш(с0/ 1п(1/р))'Л . р — О , с„ > О,

причем мера множества

м ( Ег) < ^ ¿п. (г/Ттт/т,) __ ^ __ ,

у \ 1 < г ел/т/4 Г) '

г - расстояние от Г до д.0. .

Здесь а = а,- а^ ^ = е = 2,- е2 •

в р| =1г11 + I) г'« + ш . |-в =

В третьем параграфе главы III для задачи (7), (8) с данными Коим на Г = ( х 6 ¡Я*, | х | = I*]

«|г = г„(х), ди/Ъп\г = , Ш)

получены теоремы существования и устойчивости.

Введем соответствующую шкалу гильбертовых пространств Х5 , в £[ О , <=»° ) с нормой ... . .

И,: = 2 ехр(25|щ) I йп|" , =НГ -ля"

й„ ■ = у и(х) ехр(-1пх)<1х о

Х0 - пространство периодических с периодом 2 У - функций и(х) б [ О, 2*]. Для любых э будет Х^Х^ ,|и!5, ^ Iи!^. .

Теорема 3.3. Пусть для всех х<=[ О, 2 г], |е.|>т >0 , г'0 , е| е ^ . Тогда, если

ез(Е-у> )/(!*/ ) < э— , з (И-/) ехр(с/>"л(К-у> )(8-з'Г')-!1 21^ ^ ш

и

в > 1/'(2е) ,

то существует число з'г,0<з''<з/ такое, что обратная задача (7), (8), (II) имеет решения и(г,у) 6 С(С/> ; Х^/) ,

а е причем

Ja(s„ ém"c<[|gil<+ ts^j ], где с, = exp(c^(K-/ )(?-§') ) , íglls = Ig.l^ I eíls + I edf .

Во второй части параграфа 3 получена устойчивость решения обратной задачи используя шкалы гильбертовых пространств и оценки операторов умножения на функцию.

В приложении II приведены численные расчеты восстановления коэффициента граничного условия а(х) для уравнения Лапласа.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору AJI. Бухгейму за руководство и ценные советы при выполнении работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бектемесов М.А. Устойчивость обратной задачи рассеяния на препятствии и связанной с ней разностной схемы // Пятая школа молодых математиков Сибири и Дального Востока , Тез.докл.- Новосибирск, 1У90 - с. 13-15.

2. Бектемесов М.А. Устойчивость трехслойной разностной схемы для некорректных задач Коши // 13.кн: Методы решения обратных задач. Новосибирск, 1УЭ0, с. 45-54.

3. Бухгейм А.Л., Бектемесов М.А. Устойчивость задачи определения граничного условия по данным рассеяния. // В. кн: Методы решения обратных задач. Новосибирск, 1990, с. 55 - 60.

4. Бектемесов М.А. Разрешимость обратной задачи определения граничного условия по данным рассеяния / / Межвузовский сборник науч. трудов, "Исследования по теории дифференциальных уравнений ", Алма-Ата, 1992, с. 9 - 15.

12