Новый метод решения двумерной задачи дифракции электромагнитных волн на цилиндрических включениях, расположенных в плоскослоистой среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Решение двумерной задачи дифракции на одиночном рассеивателе, расположенном в плоскослоистой среде.

1. Постановка задачи и основные свойства диаграммы рассеяния (спектральной функции).

2. Вывод интегрооператорного уравнения для диаграммы рассеяния.

3. Алгебраизация интегрооператорного уравнения для диаграммы рассеяния. Разрешимость алгебраической системы методом редукции.

4. Разрешимость алгебраической системы для коэффициентов Фурье диаграммы рассеяния в случае негладкого контура тела.

5. Восстановление поля по диаграмме рассеяния (спектральной функции) в различных областях пространства.

Глава 2. Применение метода для исследования различных физических моделей

1. Асимптотическое решение интегрооператорного уравнения для диаграммы рассеяния.

2. Численная реализация алгоритма. Вычисление матричных элементов алгебраической системы.

3. Рассеяние на неоднородности в виде кругового цилиндра.

4. Рассеяние волн телами с некруговым поперечным сечением. Модовое представление поля.

5. Возбуждение мод в диэлектрическом слое. Сравнение диаграмм рассеяния для цилиндрических тел с различной формой поперечного сечения.

6. Сходимость метода. Тестирование работы программ.

Глава 3. Рассеяние волн группой тел, расположенной в слоистой среде.

1. Общая теория дифракции волн на группе тел, расположенной в плоскослоистой среде.

2. Пример расчета характеристик рассеяния для группы близко расположенных тел.

Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на препятствиях в плоскослоистых средах представляет большой научный и практический интерес. Среди задач, связанных с этой темой, можно отметить две группы проблем. Во-первых, задачи волноводного типа. К ним относится, например, проблема рассеяния собственных мод слоистых диэлектрических волноводов на их внутренних неоднородностях. Такие неоднородности могут использоваться для создания различных устройств: волновых фильтров, преобразователей мод и других. Во-вторых, во многих прикладных областях (дефектоскопия, геофизика) актуальной является проблема идентификации дефектов в слоистых структурах. Данная проблема представляет собой обратную задачу дифракции. Один из методов ее решения основан на анализе большого числа прямых задач с разной геометрией рассеивающего препятствия. Таким образом, важным требованием к численному алгоритму является его универсальность по отношению к форме тела.

В литературе имеется ряд работ, посвященных рассматриваемой проблеме. Так, в работе [1] решена двумерная задача дифракции плоской волны на проницаемом цилиндрическом теле, с поперечным сечением произвольной формы, которое расположено в слоистонеоднородной среде. Исходная краевая задача сведена к системе интегральных уравнений по контуру поперечного сечения цилиндра. В работе [2] аналогичная задача решена с помощью метода конечных разностей, а в [3,4] с использованием метода токовых интегральных уравнений по сечению тела. В работах [5-7] существенным образом используется информация о форме и материальных характеристиках рассеивателя. В частности, в работе [5] аналитически исследовано рассеяние на неоднородности в виде бесконечного кругового цилиндра, который находится в диэлектрическом слое, в предположении, что волновые числа среды слоя и неоднородности близки друг к другу. В работах [6,7] исследуется проблема рассеяния поверхностных мод диэлектрического волновода на препятствии, расположенном внутри волновода. При этом в [6] неоднородность представляла собой идеально проводящий круговой цилиндр, а в [7] - незамкнутый экран, имеющий резонансные свойства. Следует также отметить ряд работ, посвященных трехмерным задачам. Например, в [8] исследована задача дифракции на идеально проводящем препятствии в плоскослоистом диэлектрическом волноводе. Задача решалась с помощью метода поверхностных интегральных уравнений. Аналогичная проблема для случая проницаемого включения, которое расположено в многослойной среде, рассмотрена в [9]. С помощью метода дискретных источников в работах [10-12] решена задача рассеяния волн на осесимметричном магнитодиэлектрическом включении, которое расположено вблизи границы раздела двух сред или в однородном слое, разделяющим два полупространства.

Традиционные методы решения рассматриваемой дифракционной задачи (см., например, [1-4]) основаны, как правило, на нахождении поля или его нормальной производной на поверхности рассеивателя (либо внутри области, которую занимает тело) с последующим вычислением интегральных характеристик поля. Однако существенное изменение геометрии или расположения рассеивателя в слоистой среде приводит к сильному изменению тока на его поверхности. Этот факт влияет на скорость сходимости указанных методов, а также на устойчивость численных алгоритмов. Например, в упомянутой работе [4], краевая задача сведена к алгебраической системе, размерность которой в десятки раз превосходит поперечный размер тела. С другой стороны, диаграмма рассеяния волнового поля слабо зависит от указанных параметров и определяется, главным образом, размерами рассеивателя. В связи с этим представляется актуальным создание численного алгоритма, основанного на решении задачи относительно какой-либо интегральной характеристики поля. Отметим, что для частного случая рассеяния на круговом цилиндре, такой алгоритм приведен в [6]. В этой работе получено интегральное уравнение относительно спектральной функции волнового поля.

В работах [13 - 20] А.Г. Кюркчаном был предложен новый метод (метод диаграммных уравнений) решения задачи дифракции на одиночном препятствии, группе тел или дифракционной решетке в однородной безграничной среде. С помощью представления рассеянного поля в виде модифицированного интеграла Зоммерфельда-Вейля [21,22] краевая задача сведена к интегрооператорному уравнению второго рода относительно спектральной функции (диаграммы рассеяния). Это уравнение является фредгольмовым при некоторых ограничениях на геометрию рассеивающей поверхности. Полученные численные результаты свидетельствуют о высокой эффективности метода. В частности, матрица алгебраической системы относительно коэффициентов Фурье диаграммы рассеяния хорошо обусловлена для широкого класса рассеивателей. Размерность системы приблизительно равна максимальному волновому размеру сечения тела. В настоящей работе этот метод распространен на случай рассеяния волн одиночным телом или группой тел, которые расположены в плоскослоистой среде.

В работах, посвященных методу диаграммных уравнений, были подробно проанализированы ограничения, накладываемые на форму сечения тела, при которых разрешимы соответствующие алгебраические системы. Эти ограничения касались случая дифракции на гладких рассеивающих поверхностях. На практике часто возникают ситуации, когда контур, ограничивающий сечение тела, имеет неаналитические точки. Таким образом, актуальным является вопрос о применимости алгоритма к решению задачи рассеяния на телах с кусочно-гладкой границей. Кроме того, представляет интерес уточнение полученных ранее ограничений на геометрию задачи для случая, когда рассеиватель находится в плоскослоистой среде.

В упомянутых выше работах [5-8] рассматривается рассеяние на препятствиях, расположенных внутри планарных диэлектрических волноводов. Однако, проблема возбуждения собственных мод таких волноводов с помощью облучения внешним полем неоднородностей, расположенных внутри волноводов, исследована недостаточно полно. Кроме того, из-за вычислительных трудностей, связанных со свойствами существующих алгоритмов, практически не изученным остается поведение характеристик волнового поля при изменении различных параметров задачи: длины волны, расстояний до границ волноводов и других. Между тем анализ таких зависимостей позволяет, например, определить оптимальные значения параметров, которые необходимы для синтеза ряда технических устройств.

В первой главе диссертации получены основные соотношения, позволяющие рассчитывать как диаграмму рассеяния (спектральную функцию), так и само поле. Решение задачи дифракции основано на представлении рассеяного поля во всем пространстве в виде интеграла плоских волн. Это представление позволяет свести краевую задачу к решению интегрооператорного уравнения относительно спектральной функции, которое, в свою очередь, алгебраизуется с помощью разложения диаграммы рассеяния в ряд Фурье. В работе получены асимптотики матричных элементов и свободных членов алгебраической системы и установлен критерий разрешимости системы методом редукции. В заключение первой главы приведены выражения, которые позволяют восстанавливать дифракционное поле по найденной спектральной функции.

Во второй главе рассмотрено применение метода к некоторым физическим моделям. Наиболее просто численный алгоритм выглядит в случае задачи дифракции на круговом цилиндре. Кроме того, для такой модели можно выписать в явном виде асимптотическое решение интегрооператорного уравнения для диаграммы рассеяния в предположении, что расстояния от "центра" тела до границ раздела сред велики по сравнению с длиной волны и максимальным поперечным размером рассеивателя. Сравнение результатов точного и приближенного решений, приведенных в этой главе, дает возможность протестировать метод. В качестве примера применения алгоритма к решению прикладных задач, рассмотрена проблема возбуждения собственных мод в симметричном диэлектрическом слое, внутри которого расположено цилиндрическое зеркало с "острой" диаграммой рассеяния. В частности, исследовался вопрос о выборе оптимального расположения зеркала, при котором полезный эффект будет максимальным. Другая актуальная проблема, рассмотренная во второй главе - оценка формы тела по известной диаграмме рассеяния. Сравниваются идикатрисы рассеяния цилиндров с круговым, эллиптическим и полукруглым сечением для различных моделей слоистой среды. В этой главе представлены результаты исследования сходимости метода.

Третья глава посвящена распространению метода на случай рассеяния волн несколькими телами в плоскослоистой среде. Изложение ведется для двух рассеивателей. По аналогии с проблемой дифракции на одиночном теле, краевая задача сведена к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения диаграмм рассеяния каждого из тел в ряд Фурье. В работах [17,18] было показано, что аналогичная система, соответствующая рассеянию на нескольких телах в однородной среде, разрешима при сколь угодно малом расстоянии между поверхностями рассеивателей Однако, предложенный в этих работах способ вычисления матричных элементов алгебраической системы имеет дополнительное ограничение на степень близости тел, которое не позволяет полностью использовать возможности метода. Между тем, задача дифракции на "плотной" группе тел представляет большой практический интерес, так как такая система приблизительно эквивалентна (в смысле близости интегральных характеристик поля) одному рассеивателю со сложной геометрией. В диссертации данная проблема рассмотрена на примере группы из двух цилиндров с полукруглым сечением, которые находятся в однородном полупространстве. Кроме того, в работе проиллюстрированы резонансные свойства такой системы, которые проявляются при определенном расположении цилиндров.

заключение.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. На основе метода диаграммных уравнений (МДУ), который использовался ранее для решения задач рассеяния волн телами, находящимися в однородной среде, разработан новый численно-аналитический метод решения двумерной задачи дифракции на компактном препятствии (или группе препятствий), расположенном в плоскослоистой среде. В работе выведено интегрооператорное уравнение (или система таких уравнений) второго рода относительно спектральной функции (диаграммы рассеяния). Это уравнение обладает рядом преимуществ по сравнению с «токовыми» интегральными уравнениями. В частности, оно сводится к алгебраической системе, матрица которой имеет структуру, позволяющую существенно сократить объем расчетов на ЭВМ.

2. Разработан эффективный алгоритм вычисления матричных элементов матриц алгебраических систем относительно коэффициентов Фурье диаграммы рассеяния, соответствующих задачам дифракции на одиночном теле и группе тел, которые расположены в плоскослоистой среде, и выведены критерии разрешимости этих систем методом редукции. Впервые получены условия разрешимости МДУ для случая, когда сечение тела ограничено кусочно-гладким-контуром.

3. Получены представления, позволяющие восстанавливать волновое поле по найденной спектральной функции, в разных областях пространства. Показано, например, что поле вблизи рассеивающего препятствия представимо в виде ряда, который является аналогом ряда Рэлея, описывающего рассеяние в однородной среде. Исследован вопрос о сходимости этого ряда.

4. Выведен ряд простых асимптотических формул. Приведено приближенное решение интегрооператорного уравнения для диаграммы рассеяния цилиндрического тела, которое находится в однородном слое, для случая, когда расстояния от «центра» тела до границ однородного слоя велики по сравнению с длиной волны и поперечным сечением рассеивателя. Показано, что условие применимости асимптотического решения оказывается достаточно мягким. Приведена также явная формула для диаграммы рассеяния тонкого кругового цилиндра, который расположен в однородном диэлектрическом слое и аналогичные формулы для двух тонких круговых цилиндров, погруженных в однородное полупространство.

5. Тестирование алгоритма проведено для задачи дифракции плоской волны на круговом цилиндре, погруженном в однородное полупространство. Полученные частотные и координатные зависимости позволяют оценить как координаты рассеивателя, так и размер его поперечного сечения. Приведенные численные результаты хорошо согласуются с .представлениями геометрической оптики, то есть правильно описывают физическую ситуацию.

6. С использованием разработанного алгоритма исследованы некоторые прикладные вопросы. Показано, например, что с помощью облучения плоской волной диэлектрического слоя, внутри которого расположено цилиндрическое зеркало с полукруглым сечением, можно эффективно передавать энергию вдоль слоя. Для этого необходимо, чтобы угол между нормалью к плоской части зеркала и горизонталью был равен углу полного внутреннего отражения на границе диэлектрик - свободное пространство. Установлено, что частотные зависимости мощности излучения имеют максимумы в точках, которые приблизительно соответствуют критическим частотам мод, распространяющихся в слое.

Анализ поля в дальней зоне позволяет получить некоторую информацию о форме рассеивателя. Сравнение индикатрис рассеяния цилиндров с круговым, полукруглым и эллиптическим (с большим отношением осей) сечением, которые находятся в однородном полупространстве, показывает, что интенсивность поля в направлении зеркального рассеяния больше у того тела, у которого меньше кривизна освещенного участка поверхности. В случае, когда рассеиватели находятся в слое с абсолютно отражающим «дном», это соотношение не выполняется для некоторых глубин погружения тела при нормальном падении плоской волны. Для различения формы тела необходимо облучать слой волной с углом падения отличным от 90°.

Исследовано рассеяние на резонансной структуре, состоящей из двух одинаковых цилиндров с сечением полукруглой формы, которые расположены в однородном диэлектрическом полупространстве. Показано, что резонансные свойства такой системы существенно зависят от ее удаления до границы раздела сред.

7. Метод обладает быстрой сходимостью. Даже в том случае, когда контур, ограничивающий сечение тела, имеет неаналитические точки, количество коэффициентов Фурье диаграммы рассеяния с положительными индексами, которое необходимо для того, чтобы значение диаграммы рассеяния стабилизировалось в третьем знаке, всего в полтора раза больше максимального поперечного размера тела. Сходимость метода определяется, в основном, геометрией рассеивателя, а не его расположением относительно поверхностей разрыва параметров слоистой среды, либо относительно других тел.

1. Захаров Е.В. К дифракции плоского электромагнитного поля на однородном цилиндрическом теле, погруженном в слоистую среду. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1969, № 1, с. 57-62.

2. Барашков Й.С. О расчете магнитотеллурического поля электрической поляризации в двумерно-неоднородной среде. В кн.: Численный методы в геофизических исследованиях. М.: Изд-во МГУ, 1980, с.29-36.

3. Дмитриев В.И., Мерщикова Н.А. Метод интегральных уравнений для задач магнитотеллурического зондирования в случае сред с произвольной двумерной неоднородностью. В сб.: Математические модели прикладной электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.3-11.

4. Калиничев В.И. Рассеяние поверхностных волн диэлектрического волновода на металлическом стержне. РЭ, 1991, т.36, № 2.

5. Nosich A.I., Andrenko A.S. Scattering and mode conversion by a screen-like inhomogeneity inside a dielectric slab waveguide. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1994, v. 42, p.298. j

6. C.-T. Chou, S.-K. Jeng. EM analysis of a conducting scatterer in optic dielectric waveguide. Journal of Lightwave Technology, 1998, v. 16, no.6, pp.1107-1112.

7. Papagiannakis A.G., Tsiboukis T.D., Kriezis E.E. Dielectric scattering from a cylinder embedded in a layered medium. COMPEL, v. 14, Iss: 2-3, p. 113-128.

8. Eremin Yu.A. Discrete sources method for stratified structuries defects modeling. Proceedings of the 3d Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, 1998, Bremen, Germany, p.75-82.

9. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции. Докл. АН, 1992, т.325, № 2, с.273-279.

10. Кюркчан А.Г. О новом классе уравнений в теории дифракции. РЭ, 1993, т.38, №1, с.48-58.

11. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров. Докл. АН, 1994, т.337, № 6, с.728-731.

12. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений. РЭ, 1995, т. , № 6, с.897-905.

13. Кюркчан А.Г. К решению задачи рассеяния волн на нескольких телах. Докл АН, 1996, т.348, № 5, с.603-607.

14. Кюркчан А.Г. Применение метода диаграммных уравнений к решению задачи рассеяния волн группой тел. РЭ, 1996, т.41, № 1, с.40.

15. Кюркчан А.Г. К решению задачи о дифракции плоской волны на решетках. Докл АН, 1996, т.351, № 5, с.624-629.

16. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач рассеяния волн «прозрачными» препятствиями. Докл АН, 1997, т.352, № 2, с. 180-183.

17. Кюркчан А.Г. О реализуемости диаграмм направленности антенн, создаваемых токами, распределенными на замкнутой кривой. ДАН СССР, 1982, т. 265, № 1, с. 68-72.

18. Кюркчан А.Г. Получение решений уравнений математической физики путем сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям с операторными коэффициентами. Докл. АН, 1992, т.322, № 4.

19. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982

20. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.: Наука, 1973.

21. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: Изд-во МГУ, 1990. Гл.2.

22. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

23. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Проблема продолжения и локализация особенностей решения уравнений Максвелла.- Труды X школы-семинара по дифракции и распространению волн. М.: НИИРФ, 1993, с.268-309.

24. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения волновых полей. (Обзор). УФН, 1996, т. 166, № 12, с. 1285-1308.

25. Дмитриев В.Й., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987, с.49-51.

26. Тихонов А.Н., Самарский . А.А. Уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1953.

27. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Рассеяние волн телом, погруженным в однородное полупространство. Докл. АН, 1997, т. 357, №1, с.40.

28. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Рассеяние волн неоднородностью, находящейся вблизи плоской границы раздела двух сред. РЭ, 1998, т. 43, №1, с.37.w

29. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Новый метод решения задачи дифракции на компактном препятствии в плоскослоистой среде. Изв. Вузов Радиофизика, 1998, т. XII, №7, с.874.

30. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

31. Kyurkchan A.G., Manenkov S.A. Wave scattering on a body in layerered medium. Proceedings of the 1st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, 1997, Moscow, p. 102-104.

32. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Физматгиз, 1962, с.66.

33. Kyurkchan A.G., Manenkov S.A. The application of the diagram equation method to the problem of wave diffraction on a body in layered medium. Proceedings of Int. Symp. on Electromagn. Theory, 1998, Thessaloniki, Greece, v.2, pp. 796.

34. Kyurkchan A.G., Kleev A.I., Manenkov S.A. Pattern equation method for solution of electromagnetic scattering problems. Journal of Applied Electromagnetism, v.2, № 1, pp. 17-31.

35. Фельсен Jl., Маркувиц H. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978, т.2.

36. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. Введение в теорию. М.: Наука, 1969, с. 135.-do?