Коэффициентные обратные задачи электроупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Домброва Ольга Борисовна

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена в Ростовском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Наседкин Андрей Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент

Соловьев Аркадий Николаевич

Веду щая организация: Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится " '" 2004 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РТУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н.В. Боев

2/0/0

9оме

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы определяется важностью исследования свойств поляризованной керамики, которая является основой создания разнообразных элементов автоматики и вычислительной техники - пьезопреобразователей, датчиков, фильтров. Широкое внедрение в практику устройств, в основе функционирования которых лежит пьезоэффект, определяет интерес к описанию свойств пьезоматериалов и расширению функциональных возможностей конструктивных элементов на их основе. В частности, работа некоторых пьезоэлектронных элементов основана на изменении поляризации пьезокерамики под действием электрического поля, механической нагрузки и температуры. Моделирование изменения поляризации в рамках линейной электроупругости является одной из актуальных задач в связи с созданием в последние годы пьезоэлементов с неоднородной поляризацией. Вопрос об определении степени неоднородности поляризации сводится к коэффициентным обратным задачам электроупругости.

К настоящему времени накоплен достаточный опыт по исследованию одномерных обратных коэффициентных задач для операторов гиперболического и эллиптического типов. Для операторов же смешанного типа, каким является оператор электроупругости, обратные коэффициентные задачи ранее рассматривались лишь в единичных работах. Вместе с тем, интерес к решению коэффициентных обратных задач для операторов негиперболического типа продиктован широким использованием модели линейной электроупругости при расчете различных пьезоэлементов.

Цель работы состоит в осуществлении постановок и построении способов решения коэффициентных обратных задач для операторов смешанного типа

задач электроупругости и определении неоднородной поляризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений, а также в анализе эффективности рассмотренных методов на примере одномерных коэффициентных обратных задач для электроупругого стержня.

Методика исследований включает в себя использование методов математической теории упругости, аппарата интегральных уравнений, численных методов, преобразований Лапласа и Фурье, асимптотических методов, методов численной регуляризации некорректных задач (метода А.Н. Тихонова и метода проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры).

Научную новизну составляют следующие основные результаты, полученные в работе:

1. Сформулированы одномерные коэффициентные обратные задачи электроупругости по определению неоднородной поляризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений.

2. Предложены способы сведения поставленных обратных задач электроупругости к линейным (поперечная поляризация) и нелинейным (продольная поляризация) операторным уравнениям первого рода с компактными операторами.

3. Разработаны численные методы решения полученных операторных уравнений, основанные на сочетании процедуры линеаризации с различными методами регуляризации.

4. Проведена серия расчетов по восстановлению функции, характеризующей неоднородность поляризации в пьезоэлектрических стержнях.

Практическую ценность полученные результаты

представляют для разработки новых типов пьезоэлементов при неоднородной поляризации, для организации текущего контроля стержневых пьезоэлементов с целью определения степени их располяризации в процессе эксплуатации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV, V, VII, VIII международных научных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 1998-2002п\), на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г.Азов, 2003 г.), на II Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (г.Новороссийск, 2004г.), на семинарах кафедры теории упругости РГУ.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (коды проектов 99-0101011, 00-15-96087) и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ-2113.2003.1.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и приложений общим объемом 115 страниц. В приложение вынесено 30 рисунков, 5 таблиц, библиографический список включает 123 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели и направления работы, сделан обзор публикаций по рассматриваемой теме и дано краткое описание всех глав и параграфов работы.

В настоящее время создано большое количество разнообразных конструктивных элементов различного функционального назначения, в основе работы которых лежит пьезоэффект. Пьезокерамические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации. Поведение таких элементов в

широком диапазоне силовых нагрузок достаточно адекватно описывается моделью линейной электроупругости.

Математическим проблемам электроупругости и решению конкретных задач посвящены работы В.А. Бабешко, А.В. Белоконя, Д. Берлинкура, А.О. Ватульяна, И.И. Воровича, И.П. Гетмана, О.Ю. Жария, С.А. Калоерова, А.С. Космодамианского, Б.А. Кудрявцева, Р.Д. Миндлина, Ж. Можена, А.В. Наседкина, В. Новацкого, В.З. Партона, О.Д. Пряхиной, А.Н. Соловьева, В.И. Сторожева, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинова, Н.А. Шульги, Cady W.G. Chen P.J., Eer Nisse E.P., Holland R., Mazon W.P., Tiersten H.F. и других отечественных и зарубежных авторов.

Наиболее часто на практике для расчетов используется модель электроупругости, в которой свойства материала описываются при помощи набора постоянных (упругих модулей, пьезоэлектрических модулей, диэлектрических проницаемостей). Вместе с тем, ряд экспериментальных данных свидетельствует о том, что этим материалам присуща неоднородность физических свойств, которая возникает как на стадии изготовления пьезокерамики, так и на стадии эксплуатации устройств на ее основе. Так, определение степени неоднородности поляризации (в том числе и при частичной располяризации) пьезоэлемента сводится к определению зависимостей пьезомодуля от координат по известным функционалам или операторам от решений. В качестве такой известной информации в настоящей работе используются либо амплитудные зависимости тока в цепи, либо смещения части поверхности при механическом и электрическом нагружении. Определение характеристик пьезоэлемента по данным о токе или смещении части образца приводит к коэффициентным обратным задачам электроупругости.

Глава 1 посвящена постановке прямых и коэффициентных обратных задач линейной электроупругости для конечных тел, пьезосвойства которых зависят от координат.

В § 1 на основе общих уравнений линейной электроупругости - уравнений движения, уравнения электростатики и определяющих соотношений сформулирована общая постановка задачи для неоднородного электроупругого тела, часть поверхности которого покрыта электродами. При этом предполагается, что колебания тела вызываются либо разностью потенциалов, подведенной к электродам, либо при помощи силового нагружения, а начальные условия нулевые.

Сформулирована также обратная задача об определении степени неоднородности поляризации по некоторой дополнительной информации о полях перемещений на части границы и о токе в цепи.

Такая общая постановка приводит к многомерной обратной коэффициентной задаче для негиперболического оператора электроупругости, которая не исследовалась в литературе. Для сведения обратной задачи к некоторому операторному уравнению необходимо построение решения прямой задачи в явном виде при произвольном законе неоднородной поляризации. Отметим, что в некоторых постановках дифференциальные уравнения начально-краевой задачи, описывающей колебания тела, имеют переменные коэффициенты, и построение решения в явном виде невозможно. Эту проблему можно решить путем сведения начально-краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода в пространстве изображений по Лапласу. Однако, такой подход правомочен, когда информация о граничных полях или о токе известна на бесконечном промежутке времени.

§ 2 посвящен постановкам коэффициентных обратных задач для стержневой модели электроупругого тела, которая часто используется для проведения экспериментов.

Построены одномерные начально-краевые задачи колебаний пьезоэлектрического стержня, с электродами, нанесенными на поверхности, перпендикулярно оси х3 (рис.1), и сформулированы коэффициентные обратные задачи об определении

пьезоэлектрических модулей по различной дополнительной информации.

рис.1.

В Задаче 1 колебания поперечно поляризованного электроупругого стержня, размер 2/ которого много больше его размеров 2к и Ь (рис.1), вызываются подведением разности потенциалов 2У(() к его электродированным частям. В этом случае определяющие соотношения записываются в форме:

И1,1 =-У11°"11 + ¿31 Ж').

А=^з.(*.К+Эзз Е(Г),

(1)

Д =0.

Построена полная система уравнений относительно «Дд:,,/), описывающая колебания электроупругого стержня в результате подстановки <ГИ из (1) в уравнение движения электроупругой среды. Подведение разности потенциалов к электродам эквивалентно созданию во всем объеме стержня напряженности

электрического поля вида

Поверхность стержня считается свободной от механических напряжений, а начальные условия нулевые.

Обратная задача об определении пьезомодуля (131(х1) сформулирована по известной информации об относительном смещении торцов стержня:

В случае продольной поляризации, когда наибольшим считается размер 2к стержня, определяющие соотношения и уравнения движения представимы в виде:

нз,з = ^зз^зз -^зэОзМз.

(3)

А =^зз(^)°"зз-эзз <Р,У

В Задаче 2 на основе определяющих соотношений (3) и уравнений движения и электростатики составлена начально-краевая задача для стержня, колебания которого вызываются силовой нагрузкой, приложенной к торцу к стержня, а электроды отсутствуют. Начальные условия считаются нулевыми. Для определения функции <!п(хъ) считается известной информации о смещении торца к стержня:

"з(М) = /(0,'>0 (4)

В Задачах 3 и 4 рассмотрен продольно поляризованный электроупругий стержень длиной 2к с

неоднородной поляризацией, моделируемой зависимостью пьезомодуля й33 от координаты х3. Поверхность стержня считается свободной от механических усилий, начальные условия нулевые, а колебания стержня возбуждаются разностью потенциалов 2У((), приложенной к электродированным торцам стержня. Сформулирована система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и граничные условия относительно переменных и .

В Задаче 3 в качестве дополнительной информации для определения функции считается известной информация о

токе в цепи, в которую включен пьезоэлемент:

= /(0,*>о.

л 3 5

(5)

х^к

В Задаче 4 для определения пьезомодуля считается

известным относительное смещение торцов стержня:

м,(А,О-и3(-Л,О = /(0.'>0. (6)

В главе 2 рассмотрены некоторые методы исследования коэффициентных обратных задач, используемые в настоящей диссертационной работе.

В § 1 изложены основные положения метода линеаризации применительно к коэффициентным обратным задачам электроупругости.

В § 2 приведено краткое изложение основных аспектов теории регуляризации, а также идеи метода регуляризации А.Н. Тихонова и принципа обобщенной невязки.

§ 3 посвящен изложению метода регуляризации на компактных множествах в целом и описанию метода проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры в частности применительно к коэффициентным обратным задачам в условиях монотонного убывания отыскиваемых функций.

Глава 3 посвящена непосредственно решению прямых и обратных задач для электроупругого стержня, сформулированных в § 2 первой главы.

В § 1 при помощи преобразования Лапласа по времени обратная задача определения степени неоднородности поляризации для поперечно поляризованного стержня сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно безразмерной неизвестной функции д(у):

§ 2 посвящен решению Задачи 2. Прямая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода в пространстве изображений по Лапласу, решение которого построено численно.

Обратная задача в этом случае существенно нелинейна, и ее решение осуществлено в рамках метода линеаризации в

¡д(у)К(у,П)с1у = Р(П)> Пе[0,«>). (7)

о

с гладким ядром

сИ%(2у-1)

(8)

предположении о слабой неоднородности. Обратная задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода в пространстве изображений по Лапласу вида (7) относительно безразмерной поправки с гладким ядром.

В § 3 решение прямой задачи для продольно поляризованного стержня (Задача 3) также сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода в пространстве изображений по Лапласу. Обратная задача определения степени неоднородности поляризации стержня, когда информация о токе в цепи известна на бесконечном интервале времени, сведена к системе операторных уравнений в пространстве изображений по Лапласу:

первое из которых является интегральным уравнением Фредгольма второго рода относительно функции вида

где функция

- безразмерная трансформанта Лапласа по времени от , - параметр, пропорциональный параметру преобразования Лапласа, кд - некоторый коэффициент электромеханической связи. Второе уравнение системы (8) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода с гладким ядром относительно

неизвестной безразмерной функции q(y) вида

]

- известная функция.

о

Для нахождения q(y) из системы (8) построен итерационный процесс по следующему принципу:

В § 4 предложена схема построения решения обратной задачи в постановке 3 (Задача 3) по информации о токе в цепи при малых

(9)

временах на основании асимптотического подхода. Получены выражения для определения неизвестной функции в классе линейных функций.

В § 5 обратная задача определения пьезомодуля для продольно поляризованного стержня по известной информации об относительном смещении торцов стержня сведена к системе операторных уравнений вида (8), однако в этом случае оператор К2(д,У) нелинеен относительно неизвестной функции q(y), и второе уравнение из (9) решается на основе метода линеаризации в окрестности Таким образом, решение исходной обратной

задачи сведено к решению системы линейных интегральных уравнений на каждом шаге итерационного процесса:

где К'^^^) - производная Фреше по ц от оператора К2(7],У<'п

Результаты численных экспериментов по восстановлению неизвестных функций из операторных уравнений, построенных в предыдущих параграфах этой главы, рассмотрены в § 6 Главы 3. Обычный подход к построению уравнения первого рода требует обращения преобразования Лапласа. В настоящей работе в силу того, что известна информация о решении на бесконечном промежутке времени, интегральные уравнения для определения пьезомодулей сформулированы в пространстве изображений по Лапласу. Это во многих случаях приводит к интегральным уравнениям с более простыми ядрами.

Во всех рассмотренных случаях для построения решения исходных обратных задач приходится решать интегральные уравнения Фредгольма первого рода с гладкими ядрами, а процедура решения таких операторных уравнений требует регуляризации в той или иной форме. В диссертационной работе в качестве регуляризующих алгоритмов для расчета модельных примеров использовались рассмотренные во второй главе метод

регуляризации А.Н. Тихонова и метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры. С помощью предварительной дискретизации полученных операторных уравнений на основе квадратурных формул осуществлен переход к конечномерным задачам, для которых и применяются вычислительные алгоритмы.

С целью выяснения эффективности предлагаемых подходов для решения исследуемых коэффициентных обратных задач электроупругости проведен ряд вычислительных экспериментов. При задании различного вида зависимостей д(у) (линейные, квадратичные, экспоненциальные, ступенчатые) на основании решения прямых задач для неоднородно поляризованных стержней определялась входная информация в виде зависимостей трансформант поля перемещений на концах стержня и тока в цепи. На основе этой информации решалась обратная задача о восстановлении д(у) в одной из вышеописанных постановок.

В приложении приведены восстановленные функции q(у) (точки) в сравнении с точным видом функций (сплошная линия) для различных видов зависимостей д(у).

рис.2. рис.3.

На рис. 2, 3 представлены результаты восстановления Юу + зЫОу

функций д{у) = 1 - -

(рис. 2) и я(у) = И(у)-Ку~У2) 13

(рис. 3) из задачи для поперечно поляризованного стержня с использованием методов регуляризации на компактных множествах (кривая 1) и А.Н. Тихонова (кривая 2).

Анализ полученных результатов позволил установить следующие факты: восстановление функций, обладающих свойством гладкости, лучше осуществляется при помощи метода регуляризации А.Н. Тихонова, в то время как вид приближенного решения, построенного градиентным методом, больше соответствует точному виду решения для ступенчатого типа функций. Кроме того, уменьшение погрешности численной аппроксимации интегралов в соответствующих интегральных операторах путем увеличения количества точек разбиения в равномерной сетке не ведет к качественно иным результатам. Отмечено также, что в случае использования в качестве регуляризующего алгоритма метода проекций сопряженных градиентов на специальных множествах результаты восстановления неизвестной функции д(у) не зависят от значения константы, выбираемой в качестве начального приближения для минимизации функционала невязки.

Использование метода линеаризации для решения нелинейной коэффициентной обратной задачи в постановке 2 увеличивает погрешность задания входных данных при проведении вычислительных экспериментов. Отмечено, что, тем не менее, погрешность восстановления неизвестной функции в этой постановке при использовании метода регуляризации А.Н. Тихонова составляет порядка 3-7 % для различных функций.

На рис. 4, 5 возможности итерационного алгоритма для определения функции неоднородной поляризации в постановках 3 (рис. 5) и 4 (рис. 4) проиллюстрированы решением ряда модельных задач в классе гладких положительных ограниченных функций с использованием регуляризации А.Н. Тихонова.

рис. 4.

рис. 5.

На рис. 4 изображены точный (сплошная линия) и восстановленный (точки) вид функции д(у) = 1 - . В качестве

нулевого приближения в итерационном процессе (9) выбирается д^0' = #(0) = 1. Для получения такого вида приближенного решения потребовалось 4 итерации.

В случае постановки 3 (Задача 3) ядро интегрального уравнения Фредгольма первого рода обращается в ноль на концах отрезка интегрирования (торцы стержня свободны от напряжений), что приводит к большой погрешности определения функции д(у)Ь окрестности торца у = 1 стержня (очевидно, д(0) = 1). В случае наличия информации о значении функции д(у) на торце у = 1 в качестве начального приближения в итерационной схеме (10) можно выбирать линейную функцию, значения которой на концах отрезка совпадают со значениями на концах отрезка восстанавливаемой функции д(у), и процедура решения обратной задачи гораздо более устойчива. На рис. 5 показаны результаты восстановления функции д(у) = е~2у после первой итерации при нулевом приближении ^<0'(>') = (е"2 —1)^ + 1. Попытки использовать в этом случае в качестве нулевого приближения

функцию д^ = д(0) = 1 в большинстве рассмотренных модельных примеров приводят к большой погрешности восстановления функции д{у) (порядка 20% и выше).

В настоящей работе сходимость предложенных итерационных схем проанализирована на основе сравнения полученных приближенных результатов с точным видом восстанавливаемой зависимости для различного количества итераций. Замечено, что погрешность восстановления неизвестной функции из итерационных процессов (9), (10) не превышает 10% даже для небольшого количества итераций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулированы одномерные коэффициентные обратные задачи электроупругости по определению неоднородной поляризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений.

2. Предложены способы сведения поставленных обратных задач электроупругости к линейным (поперечная поляризация) и нелинейным (продольная поляризация) операторным уравнениям первого рода с компактными операторами.

3. Разработаны численные методы решения полученных операторных уравнений, основанные на сочетании процедуры линеаризации с различными методами регуляризации.

4. Проведена серия расчетов по восстановлению функции, характеризующей неоднородную поляризацию в пьезоэлектрических стержнях.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Об одной обратной задаче электроупругости // Труды IV межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 1998. Т.1 с.84-88.

2. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Об определении неоднородной поляризации пьезоэлемента. // Дефектоскопия. 1999. № 3. С.8-12.

3. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Труды V межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 1999. Т.2 С.48-52.

4. А.О. Ватульян, О.Б. Домброва. О коэффициентной обратной задаче для стержня с продольной поляризацией //Труды VII межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной памяти академика И.И. Воровича. Ростов н/Д. 2002. Т.1 С.47-52.

5. Ватульян А.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. К определению неоднородной поляризации для электроупругого стержня. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов н/Д. 2002. № 4. С.7-9.

6. Ватульян А.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. Об асимптотическом подходе к коэффициентной обратной задаче электроупругости. //Труды VIII межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 2003. Т.2 С.41-46

7. Ватульян А.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. К определению располяризации электроупругих стержней. // Труды III всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов н/Д. 2004. Т. С.107-109.

8. Домброва О.Б. Об одном подходе к решению одномерных коэффициентных обратных задач электроупругости для стержней. // Тезисы докладов II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова. ЕкатеринбурпУрО РАН. 2004. С.39-41.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Формат60x84/16. Объем 0,9 уч.-изд.-л. Заказ № 317. Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОГШЩЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 47-34-88

120284

РНБ Русский фонд

2005-4 21010

Введение.

ГЛАВА 1. Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости.

§ 1. Постановка задач о колебаниях электроупругих тел с неоднородными пьезосвойствами.

§2. Постановка коэффициентных обратных задач электроупругости для стержня.

Задача 1. Определение неоднородной поляризации стержня по информации об относительном смещении его торцов в случае поперечной поляризации.

Задача 2. Определение неоднородной поляризации электроупругого стержня при силовой нагрузке по информации о смещении его торца.

Задача 3. Определение неоднородной поляризации стержня по информации о токе в цепи в случае продольной поляризации.

Задача 4. Определение неоднородной поляризации стержня по информации об относительном смещении его торцов в случае продольной поляризации.

ГЛАВА 2. Некоторые методы исследования коэффициентных обратных задач.

§ 1. Метод линеаризации.

§2. Методы регуляризации. Метод регуляризации А.Н. Тихонова.

§3. Метод проекций сопряженных градиентов на множествах специальной структуры.

ГЛАВА 3. Решение коэффициентных обратных задач электроупругости.

§ 1. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае поперечной поляризации по информации об относительном смещении его торцов.

§2. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня при силовом нагружении по информации о смещении торца стержня.

§3. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи.

§4. Асимптотическое решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации о токе в цепи.

§5. Решение коэффициентной обратной задачи для стержня в случае продольной поляризации по информации об относительном смещении его торцов.

§6. Численное решение коэффициентных обратных задач для стержня.

В настоящее время создано большое количество разнообразных элементов пьезоэлектронной техники, на основе которых разрабатываются эффективные устройства радиоэлектроники, акустики, автоматики, вычислительной и измерительной техники, в приборах дефектоскопии и медицинской диагностики [26, 65]. Особое внимание к таким материалам, как пьезоэлектрики, связано с открытым в 1880 году братьями Кюри явлением пьезоэффекта, которое состоит в том, что при деформировании кристаллов некоторых кристаллографических классов или пьезокерамик на их поверхностях появляются электрические заряды, пропорциональные деформации. Термодинамический анализ показывает существование обратного эффекта, который заключается в возникновении механических напряжений в кристалле при действии электрического поля.

Обзор реальных устройств пьезоактивных материалов, их характеристики и примеры использования в технике изложены в монографиях и статьях [2, 3, 29, 36, 38, 45, 50, 65, 75, 79].

Пьезокерамические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации, повышенной радиационной и химической стойкостью. Использование пьезоэлектрических материалов в автоматике и приборостроении позволяет уменьшить размеры и массу многих элементов устройств, создать различные эффективные преобразователи энергии. Необходимость обеспечения надежности и выбора оптимальных условий функционирования конкретных технических устройств является причиной активного изучения свойств пьезокерамических материалов.

Так, например, исследованию свойств пьезоматериалов посвящены работы [81, 95, 107, 113, 122].

Среди наиболее значимых работ по математическим моделям в электроупругости необходимо отметить монографии и статьи [4, 7, 8, 12, 22, 28, 30,40,44, 56, 59, 60, 63, 64, 67, 73, 74, 78]. Отметим также ряд обзорных статей, например [48, 49], в которых обсуждены различные вопросы функционирования устройств с пьезокерамическими элементами.

Уравнения пьезоэлектричества, сформулированные в начале 60х годов прошлого столетия Миндлиным [118], являются основой краевых задач электроупругости [56, 59,60], которые имеют важные приложения при расчете пьезодатчиков различного функционального назначения [26, 38, 75, 83, 109].

Широкое внедрение в практику устройств, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект, определяет интерес исследователей к описанию свойств пьезоматериалов. Свойства поляризованной керамики и эффекты, которые возникают в этой среде при действии управляющих полей, составляют основу создания разнообразных элементов автоматики и вычислительной техники. В частности, работа некоторых пьезоэлектронных элементов основана на изменении поляризации пьезокерамики под действием электрического поля, механической нагрузки и температуры. Наиболее часто на практике для расчетов используется модель электроупругости, в которой свойства материала описываются при помощи набора постоянных (упругих модулей, пьезоэлектрических модулей, диэлектрических про-ницаемостей) [60]. Вместе с тем, ряд экспериментальных данных свидетельствует о том, что этим материалам присуща неоднородность физических свойств, которая возникает как на стадии изготовления пьезокерамики, так и на стадии эксплуатации устройств на ее основе из-за сильного влияния на свойства пьезоактивных материалов соответствующих тепловых режимов. Так, частичная или полная располя-ризация пьезоэлемента может возникать при нагревании его части выше точки Кюри [60]. Задача об определении степени располяриза-ции или неоднородной поляризации пьезоэлемента сводится к определению зависимостей пьезомодуля от координат по известным функционалам или операторам от решений. В качестве такой известной информации используются либо амплитудные зависимости тока в цепи, либо смещения части поверхности при механическом и электрическом нагружении. Определение характеристик пьезоэлемента по данным о токе или смещении части образца приводит к коэффициентным обратным задачам электроупругости, впервые рассмотренным в работах [23, 24], в которых изучены подобные исследуемым в настоящей работе проблемам в рамках установившихся колебаний, и которые посвящены определению пьезомодулей по току в цепи.

Цель многочисленных экспериментов, проводимых в различных областях науки и техники, в том числе и в механике материалов с пьезосвойствами, состоит в изучении свойств объектов или процессов и построении математических моделей на их основе. При этом весьма распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо его наблюдение связано с очень большими материальными затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то обстоятельство, что исследователь должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина -следствие, все задачи математического моделирования условно можно разделить на два больших класса:

1.Ярллше-известны причины, требуется определить следствия;

2. Обратные^-известны следствия, требуется определить причины.

Решению прямых задач посвящены многочисленные исследования на протяжении последних 200 лет. Для них доказаны теоремы существования и единственности, разработаны эффективные численные методы на основе граничноэлементных и конечноэлементных технологий, разностных схем. Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в связи с многочисленными приложениями в различных областях естествознания и техники [31, 41, 85, 88, 94, 96, 110].

Решение обратных задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, как правило, связано с преодолением существенных трудностей, и успешный результат зависит как от количества и качества экспериментальной информации, так и от совершенства методов ее обработки. Первый из указанных факторов представляет собой техническую проблему, решаемую экспериментатором, в то время как второй - обработка результатов эксперимента - одна из обширных t сфер приложения математических методов.

Основные специфические моменты теории обратных задач наиболее полно изложены в монографиях [11, 13, 34, 66, 89]. Среди главных особенностей обратных задач - нелинейность, неединственность и некорректность.

Важной особенностью обратных задач является то обстоятельство, что исходная информация в этих задачах, полученная в результате обработки эксперимента, известна приближенно, так как приборы, используемые при наблюдении, имеют определенный уровень погрешности. Таким образом, методы решения обратных задач должны обладать устойчивостью к малым изменениям в исходных данных. В свете этой необходимости растет интерес к анализу и совершенствованию уже существующих методов решения обратных задач и построению новых методов [21, 42, 84, 94, 112], позволяющих получать достаточно устойчивые результаты.

Исследование любой обратной задачи, связанной с изучением некоторого реального процесса или объекта, проводится в рамках определенной математической модели. И чем шире класс величин, подлежащих определению при решении обратной задачи, чем больше определенных факторов учитывается при решении обратной задачи, тем сложнее модель и тем труднее ее разрешение. Поэтому для выявления общих тенденций той или иной проблемы большой интерес представляют различные специальные частные случаи, которые часто предваряют собой переход к более общим постановкам.

Наиболее сложными для исследования классами обратных задач являются коэффициентные [106, 114, 115] и геометрические [21]. Коэффициентные обратные задачи - это задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении. При этом подходы при определении коэффициентов имеют как общие черты, так и существенные различия для различных типов операторов в частных производных (эллиптические, гиперболические [42, 104], параболические [93, 120]).

К настоящему времени накоплен достаточный опыт по исследованию одномерных обратных коэффициентных задач для операторов гиперболического типа. Эти методы основаны либо на предварительном сведении задач к нелинейному операторному уравнению типа Вольтерра и его численному решению [66, 80, 89], либо на прямом использовании методов обращения разностной схемы [42].

Для негиперболических операторов или операторов смешанного типа (например, для оператора электроупругости) обратные коэффициентные задачи ранее рассматривались лишь в работах [23, 24], где они изучены в случае установившихся колебаний и приведены к обратным задачам для обыкновенных дифференциальных операторов. Интерес к решению коэффициентных обратных задач для операторов негиперболического типа продиктован широким использованием модели линейной электроупругости при расчете различных пьезоэлементов.

Решение любой количественной задачи состоит в определении некоторого элемента z (решения задачи) по исходным данным и и может быть представлено в виде процедуры решения операторного уравнения

Az = и.

При этом обычно предполагается, что исходные данные и являются элементами некоторого метрического пространства U: и Е U, а решение z ищется в метрическом пространстве Z: z G Z, А : Z —)■ U - некоторый оператор.

Согласно Ж. Адамару [99], задача называется корректно поставленной на паре пространств Z, U, если выполняются следующие условия:

1 )Vu Е U 3 решение задачи z Е Z,

2)VuEU решение задачи z € Z единственно,

3) решение задачи z непрерывно зависит от исходных данных и.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из этих условий, называются некорректно поставленными.

Коэффициентные обратные задачи в подавляющем большинстве своем являются нелинейными и некорректными, и при построении решения требуют специальной математической обработки.

Теория и методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие после выхода в свет основополагающих работ А.Н. Тихонова [68] - [70]. Им было введено важнейшее понятие решения некорректной задачи [70], а также понятие регуляризирующего алгоритма как способа приближенного решения некорректной задачи. Большой вклад в развитие этого направления внесли также А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, A.M. Денисов, М.М. Лаврентьев, В.А. Морозов, В.Г. Романов и другие ученые [5, 6, 11, 34, 51, 57, 66, 71, 72, 80].

Известно, что процедура решения операторного уравнения Фред-гольма первого рода с непрерывным ядром некорректна [34]. Методы решения некорректных задач, сформулированных в виде операторных уравнений первого рода с компактыми операторами (линейных и нелинейных), представляют собой основу методов приближенного решения различных конкретных обратных задач и тем самым привлекают к себе интерес исследователей [91, 101, 82, 112].

В связи с тем, что обратные задачи, возникающие при обработке результатов экспериментов, как правило, являются некорректно поставленными, особое значение приобретают вопросы единственности и устойчивости решения обратной задачи. В [103] содержится обзор интересных результатов в вопросах единственности и устойчивости, при избыточной информации на границе. В работах [32, 92, 100, 110] затрагивается проблема единственности решений различных обратных задач. Исследование единственности решения обратной задачи, по сути дела, представляет собой ответ на вопрос о том, достаточно ли имеющейся экспериментальной информации для однозначного определения искомой характеристики. В работе [108] предлагается метод доказательства теоремы единственности для широкого класса коэффициентных обратных задач для различных типов дифференциальных операторов. В статье [111] приведен пример, когда имеющейся в рассматриваемой постановке информации недостаточно для единственности решения задачи.

Проблема устойчивого решения обратных задач связана с построением таких методов, которые позволяют определять приближенные решения, близкие к искомому, на основе имеющейся приближенно заданной исходной информации. Впервые проблема устойчивого решения обратных задач была поставлена А.Н. Тихоновым [68], который предложил подход к устранению неустойчивости решения обратной задачи, основанный на использовании априорной информации о точном решении задачи, положив начало методу регуляризации на компактных множествах. Априорная информация о точном решении достаточно часто имеется при анализе различных обратных задач. Как правило, она связана с тем, что неизвестная величина представляет собой некоторую физическую характеристику объекта, имеющую определенные свойства (например, положительность, монотонность, ограниченность и др.). Такого типа априорная информация позволяет в ряде случаев сузить класс элементов, которому принадлежит точное решение, до некоторого компактного множества М, на котором решение обратной задачи будет устойчиво. Идея сужения класса возможных решений обратной задачи до некоторого множества, на котором решение ее устойчиво, лежит также в основе введенного М.М. Лаврентьевым понятия корректности по Тихонову или условной корректности задачи [51].

Однако для многих обратных задач априорная информация о принадлежности решения некоторому множеству корректности отсутствует. И в том и в другом случае для построения приближенных решений некорректной задачи используется фундаментальное понятие регуляризирующего оператора [69] - [72], [119]. В работах [97, 117] рассматриваются различные способы построения регуляризирующих алгоритмов; автор статьи [121] проводит сравнительный анализ трех методов регуляризации. В работе [90] авторы рассматривают вопрос сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова.

Для построения регуляризирующих алгоритмов широко используются итерационные методы. Итерационная регуляризация - одно из наиболее перспективных направлений теории некорректных задач. Важные результаты в развитии этого направления принадлежат таким ученым как М.М. Лаврентьев [51], О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин [1], А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский [5].

Основной целью настоящей диссертационной работы является осуществление постановок и построение способов решения коэффициентных обратных задач для операторов смешанного типа - коэффициентных обратных задач электроупругости и определение располяризации пьезоэлементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений, а также анализ эффективности рассмотренных методов на примере одномерных коэффициентных обратных задач для электроупругого стержня.

Основным инструментом исследования задач в диссертационной работе является метод, основанный на преобразовании Лапласа по времени и последующем решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве изображений по Лапласу. Ключевым моментом процедуры решения обратной задачи является сведение ее к стандартной некорректной задаче - интегральному уравнению Фредгольма первого рода с гладким ядром.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы одномерные коэффициентные обратные задачи электроупругости по определению неоднородной поляризации пьезо-элементов по различным характеристикам электрического поля и поля перемещений.

2. Предложены способы сведения поставленных обратных задач электроупругости к линейным (поперечная поляризация) и нелинейным (продольная поляризация) операторным уравнениям первого рода с компактными операторами.

3. Разработаны численные методы решения полученных операторных уравнений, основанные на сочетании процедуры линеаризации с различными методами регуляризации.

4. Проведена серия расчетов по восстановлению функции, характеризующей неоднородность поляризации в пьезоэлектрических стержнях.

1. Алифапов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач М.:Наука 1988. 288с.

2. Аронов Б. С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Л.:Энергоатомиздат. Ленинградское отд. 1990. 272с.

3. Аронов Б. С. Об электромеханическом преобразовании энергии в пьезокерамических стержнях. //Акустический журнал. 1980. Т.26. т. С.456-459.

4. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристалах. Новосибирск:Наука. 1982. 240с.

5. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.:Наука. 1989. 128с.

6. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. М.:Изд.МГУ. 1989. 200с.

7. Белоконъ А.В., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости. //Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1982. № 2. С.29-39.

8. Белоконъ А.В., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел. //Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск:ДГУ. 1979. № 2. С.53-67.

9. Белоконъ А.В., Наседкин А.В. Фундаментальные решения в задачах электроупругости при установившихся колебаниях. //Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Математическое моделирование. Ростов н/Д. 2001. Т.Спецвыпуск. С.23-25.

10. Белоконъ А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств. //ПММ. Т.66. в.З. 2002. С.491-501.

11. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука 1988. 184с.

12. Ватулъян А. О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости. //ПММ. Москва. 1996. Т.6. в. С.309-312.

13. Ватулъян А. О. Математические модели и обратные задачи. //Соросовский образовательный Журнал. 1998. № 11 С.143-148.

14. Ватулъян А.О., Домброва О.Б. Об одной обратной задаче электроупругости//Труды IV межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 1998. Т.1 С.84-88.

15. Ватулъян А.О., Домброва О.Б. Об определении неоднородной поляризации пьезоэлемента. //Дефектоскопия. 1999. № 3. С.8-12.

16. Ватулъян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Труды V межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 1999. Т.2 С.48-52.

17. Ватульян А.О., Домброва О.Б. О коэффициентной обратной задаче для стержня с продольной поляризацией //Труды VII межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной памяти академика И.И. Воровича. Ростов н/Д. 2002. Т.1 С.47-52.

18. Ватульян А.О., Домброва О.В., Жиров В.Е. К определению неоднородной поляризации для электроупругого стержня. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов н/Д. 2002. № 4. С.7-9.

19. Ватульян А. О., Домброва О.В., Жиров В.Е. Об асимптотическом подходе к коэффициентной обратной задаче электроупругости. //Труды VIII межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов н/Д. 2003. Т.2 С.41-46

20. Ватульян А. О., Домброва О.В., Жиров В.Е. К определению располяризации электроупругих стержней. //Труды III всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов н/Д. 2004. Т. С.107-109

21. Ватульян А.О., Корейский С.А. Метод линеаризации в геометрических обратных проблемах теории упругости.// ПММ. 1997. Т.61. в.4. С.639-646.

22. Ватульян А.О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости. // ПММ. 1989. Т.53. в.6. С.1037-1041.

23. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение закона располяризации пьезоэлемента//Труды межд. конф. "Математика в индустрии". Таганрог. 1998. С.70-71.

24. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном способе определения пьезомодуля при неоднородной поляризации стержня// ПМТФ. 1999. Т.40. № 3. С.204-210.

25. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений 1-го рода в электроупругости// ПММ. 1999. Т.63. в.6. С.969-976.

26. Ганопольский В.В., Касаткин Б.А. и др. Пьезокерамические преобразователи.// Справочник. JL: Судостроение. 1984.

27. Гетман И.П., Рябов А.П. Динамические задачи электроупругости для толстых плит с быстоизменяющейся периодической структурой по толщине. //II Всес.конф. по теории упругости. Тбилиси. 1984. С.65-66.

28. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Распространение волн в попречно-неоднородных пьезоактивных волноводах. //Акустический журнал. 1985. Т.31. № 3. С.314-317.

29. Глозман И.А. Пьезокерамика. М.:Энергия. 1972. 288с.

30. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость. Киев:Наук. думка. 1989. 151с.

31. Голъдман H.JI. Классическое и обобщенное решения двухфазной граничной обратной задачи Стефана. //Вычислительные методы и программирование. 2002. Т.З. С. 133-143.

32. Голъдман H.JI. Обратная задача с финальным переопределением для квазилинейного параболического уравнения с неизвестной правой частью. //Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4. С.155-166.

33. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.:Наука. 1978. 224с.

34. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. МГУ. 1994. 206с.

35. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.:Наука. 1971. 288с.

36. Джагупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике. М.:Машиностроение. 1986. 282с.

37. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.:Наука. 1974. 542с.

38. Домаркас В.И., Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс:Минтис. 1975. 255с.

39. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев:Выща школа. 1989. 184с.

40. Зотъев Д.В., Филиппов М.Н., Ягола А.Г. Об одной обратной задаче количественного рентгеноспектрального микроанализа. //Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4. С.26-32.

41. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск:Наука. 1988. 168с.

42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука. 1971. 576с.

43. Коломиец Г.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел. //Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев:Наук. думка. 1969. № 8. С. 15-24.

44. Королев М.В., Карпелъсон А.Е. Широкополосные ультразвуковые пьезопреобразователи. М.:Машиностроение. 1982. 158с.

45. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н., Шулейко В.И. Прямые и обратные задачи продольных колебаний стержней. Ростовская Государственная Академия строительства. 1996. 49с.

46. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.:Наука. 1974. 224с.

47. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов. //Механика деформируемого твердого тела. М.:ВИНИТИ. 1978. 11. С.5-66.

48. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сенник Н.А. Механические модели пьезоэлектриков для электронного машиностроения. //Механика деформируемого твердого тела. М.:ВИНИТИ. 1984. 17. С.3-62.

49. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М.:Изд-во иностр. лит. 1949. 719с.

50. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск:Изд-во СО АН СССР. 1962. 68с.

51. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736с.

52. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. М.-Л.:Гостехиздат. 1950. 432с.

53. Люстерник Л.А., Соболев В.Н. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа. 1982. 272с.

54. Менихес Л.Д. Об одном условии регуляризуемости интегральных уравнений. //Известия Челябинского научного центра. 2001. В.3(12). С.6-9.

55. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.:Мир. 1991. 560с.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1987.240с.

57. Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир. 1975. 872с.

58. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.:Мир. 1986. 160с.

59. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических тел. М.:Наука. 1988. 472с.

60. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.:Наука. 1977. 312с.

61. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.:Наука. 1986. 328с.

62. Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Антиплоская динамическая компактная задача для электроупругого слоя. //Изв. АН СССР ПММ. Т.52. в.5. 1988. С.844-849.

63. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости. //ПММ. Т.62. в.5. 1998. С.834-839.

64. Пьезокерамические преобразователи. Справочник. /Пугачев С.И. и др. Л.:Судостроение. 1984. 256с.

65. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984. 261с.

66. Тимошкина Е.А. Электроупругие волны в пьезоматериалах с периодической структурой. //Труды 17 научн. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины. Киев. 1992. С. 153-157.

67. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.// Доклад АН СССР. 1943. Т.39. № 5. С.195-198.

68. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и о методе регуляризации. // Доклад АН СССР. 1963. Т.151. № 3. С.501-504.

69. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. // Доклад АН СССР. 1963. Т.153. № 1. С.49-52.

70. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука. 1986. 287с.

71. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990. 230с.

72. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел. //Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев:Наук. думка. 1975. № 15. С.90-99.

73. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости. //Совр. проблемы* мех. и авиации. Москва. 1982. С.290-300.

74. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. /Ермолов И.Н. и др. М.:Машиностроение. 1986. 280с.

75. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука. 1983. 352с.

76. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частнымипроизводными, т.2 .М.: Мир, 1986. 456с.

77. Шулъга Н.А., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев:Наук. думка. 1990. 228с.

78. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.:Мир. 1974. 288с.

79. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск, Наука, сибирское отделение. 1990. 304с.

80. С. Alemany, L. Pardo, В. Jimenez, F. Carmona, J. Mendiola, A.M. Gonzalez. Automatic iterative evaluation of complex material constants in piezoelectric ceramics. // Journal of Physics D: Applied Physics. 1994. 1. 148-155pp.

81. Amato U., Hughes W. Maximum entropy regularization of Fredholm integral equations of the first kind. // Inverse Problems. 1991. 7. 793-808pp.

82. Ashida F. Reduction of applied electric potential controlling thermoe-lastic displacement in a piezoelectric actuator. // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). 1999. 7. 443-454pp.

83. Assad A. Oberai, Nachiket H. Gokhale, Gonzalo R. Feijoo Solution of inverse problems in elasticity imaging using the adjoint method. // Inverse Problems. 2003. 2. 297-313pp.

84. Batrakov D.O., Zhuck N.P. Solution of a general inverse scattering problem using the distored Born approximation and iterative technique. // Inverse Problems. 1994. Issue 1. 39-54pp.

85. M. Bernadou, C. Haenel. Modelization and numerical approximation of piezoelectric thin shells Part I: The continuous problem. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2003. 37-38. 4003-4043pp.

86. Borcea L., Gray G.A., Zhang Y. Variationally constrained numerical solution of electrical impedance tomography. // Inverse Problems. 2003. 19. 1159-1184pp.

87. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. CRC Press, Boca Raton, FL, 1994, 224pp.

88. Chavent G., Kunisch K. Convergence of Tikhonov regularization for constrained ill-posed inverse problems. // Inverse Problems. 1994. Issue 1. 63-76pp.

89. Chen Y.Z., Hasebe N. Fredholm integral equation for the multiple circular arc crack problem in plane elasticity. // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). 1997. 6. 433-446pp.

90. Ching-Lung Lin, Jenn-Nan Wang Uniqueness in inverse problems for an elasticity sistem with residual stress by a single measurement. // Inverse Problems. 2003. 4. 807-820pp.

91. Choullib M., Yamamoto M. An inverse parabolic problem with nonzero initial condition. // Inverse Problems. 1997. 13. 19-27pp.

92. Colton D., Haddar H., Piana M. The linear samling method in inverse electromagnetic scattering theory. // Inverse Problems. 2003. 19. S105-S137pp.

93. Dragan Damjanovic, Marlyse Demartin. The Rayleigh law in piezoelectric ceramics. // Journal of Physics D: Applied Physics. 1996. 7. 2057-2060pp.

94. Eskin G., Ralston J. On the inverse boundary value problem for linear isotropic elasticity. // Inverse Problems. 2002. 3. 907-921pp.

95. Jaan Janno Discretization and regularization of an inverse problem related to a quasilinear hyperbolic integrodifferential equation. // Inverse Problems. 1997. 13. 711-728pp.

96. Jong Ho Kwon, Kang Yong Lee Electro-mechanical analysis of an interfacial crack between a piezoelectric and two orthotropic layers. // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). 2001. 12. 841-851pp.

97. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivers particlee lineaires hyperbolique. Paris: Hermann. 1932.

98. Hahner P. A uniqueness theorem for a transmissin problem in inverse electromagnetic scattering. // Inverse Problems. 1993. Issue 6. 667-678pp.

99. Hansen C. Numerical tools for analysis and solution of Fredholm integral equations of the first kind. // Inverse Problems. 1992. Issue 2. 849-872pp.

100. He S., Weston V.H. Inverse problem for the dissipative wave equation in a stratified half-spact and linearization of the imbedding equations. // Inverse Problems. 1992. Issue 3. 435-455pp.

101. Isakov V. Uniqueness and stability in multi-dimensional inverse problems. // Inverse Problems. 1993. Issue 6. 579-621pp.

102. Isakov V., Sun Z. Stability estimates for hyberbolic inverse problems with local boumdary data. // Inverse Problems. 1992. Issue 2. 193-206pp.

103. M. Ishihara, N. Noda. A piezoelectric-elastic body with inhomo-geneities and a crack under plane electrical and anti-plane mechanical loads. // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). 2001. 9. 0577-0588pp.

104. Kang H., Jin Keun Seo Numerical identification of discontinuous conductivity coefficients. // Inverse Problems. 1997. 13. 113-123pp.

105. Karlash V.L. The Stress State of a Rectangular Piezoceramic Plate with Transverse-Longitudinal Polarization. // International Applied Mechanics. 2001. 3. 386-392pp.

106. Klibanov M. V. Inverse problems and Carleman estimates. // Inverse Problems. 1992. Issue 4. 575-596pp.

107. Koops K.R., Scholte P.M.L.O., de Koning W.L. Observation of zero creep in piezoelectric actuators. // Applied Physics A: Materials Science & Processing. 1999. 6. 691-697pp.

108. Kozlov V., Maz'ya V., Fomin A. The inverse problem of coupled thermo-elasticity.

109. Inverse Problems. 1994. Issue 1. 153-160pp.

110. Kuba A. Reconstraction of measurable plane sets from their two projections taken in arbitrary directions. // Inverse Problems. 1991. Issue . 101-107pp.

111. Linz P. A new numerical method for ill-posed problems. // Inverse Problems. 1994. Issue 1. Ll-L6pp.

112. Liu Y., Fan H. Analysis of thin piezoelectric solids by the boundary element method. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. 21-22. 2297-2315pp.

113. Lorenzi A., Romanov V.G. Identification of an electromagnetic coefficient connected with deformation current. // Inverse Problems. 1993. Issue 2. 301-319pp.

114. Lowe B.D., Rundell W. The detrmination of multiple coefficients in a second-order differential equation from input sources. // Inverse Problems. 1993. Issue 4. 469-482pp.

115. Marin L., Lesnic D. BEM first-order regularisation method in linear elasticity for boundary identification. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2003. 16-18. 2059-2071pp.

116. Mathe P., Pereverzev S.V. Discretization strategy for linear ill— possed problems in variable Hilbert scales. // Inverse Problems. 2003. 19. 1279-1298pp.

117. Mindlin R.D. On the equations of motion of piezoelectric crystals // Problems of continuum mechanics/ Ed. J. Radok. Philadephia : SIAM, 1961. 282-290pp.

118. Neumaier A. Solving ill-conditioned and singular linear systems: a tutorial on regularization. // SIAM Rev. 1998. Vol.40. № 3. 636-666pp.

119. Smith R.C., Bowers K.L. Sinc-Galerkin estimation of diffusivity in parabolic problems. // Inverse Problems. 1993. Issue 1. 113-135pp.

120. Tautenhahn U. Error estimates for regularized solution of non-linear ill-posed problems. // Inverse Problems. 1994. Issue 2. 485-500pp.

121. A. V. Turik, V. Yu Topolov, V.I. Aleshin. On a correlation between remanent polarization and piezoelectric coefficients of perovskite-type ferroelectric ceramic. // Journal of Physics D: Applied Physics. 2000. 6. 738-743pp.

122. Wang G., Ding H., Chen W. A boundary integral formulation and 2D fundamental solutions for piezoelectric media. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. 1-2. 65-80pp.