Решение плоских и пространственных задач электроупругости для тел с трещинами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Р [ 6 ОД СУМСКШ ФИЗИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКЖ ЖСГ.ГГУТ

2 8=Нт

II.» "

На правах рукописи

ОЛЕИНИК Виктор Михайлович

РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ • ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ

Специальность 01.04.07 -Специальность 01.02.04 -

физика твердого тела

механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени . кандидата фиЕЖО.-математических наук

СУМЫ - 153-3

Работа выполнена б Сумской физико-технологическом институте

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор ФИЛЬШТИНСКШ Леонид Аншелович

Ой.'Щ'йльчые оппоненты - доктор технических наук,

академик АН Украины КССМЭДАМИАНСт Алексадр Сергеевич - доктор физико-математических наук, ' профессор ОСАДЧУК Василий Антонович

Ведуиа? сэганизация - Киевский государственный университет

Защита диссертации состоится года в 15 «асов

чуд, 216 на заседании Специализированного Совета К 06В. 49.02 по присуждению ученой степени кандидата физико - математических наук з Сумском физико-технологическом институте по .адресу: 244007, Украина, г. Суыы-7, ул. Римского- Корсакова.2

С диссертацией можно ознакомиться ь библиотеке названого ияститута.

Автореферат разослан " ^ ~ М^Д 1ЭЖг.

Ученый секретарь Сиециализирсваансго Совета . кандидат ф^!:ко-катематй ."ески:г наук

- 3 -

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.В последние годы появилось значительное число работ, посвященных различным проблемам электроупругости. Это является свидетельством того, что именно пьезоэлектрикам и родственным им материалам уделяется большое внимание как в практических, так и в теоретичесих разработках. Еще в работах У. Мэзона , У. Кэди, Д. Берлинкура и др. описываются свойства пьезоэлектриков, а такае обобщается материал связанный с их применением.

Линеаризация уравнений электроупругости длл пьезоактивчых материалов приведенная У. Мезоном, а также экспериментальный данные показывают,что в отношении механических и электрических свойств пьезокерамики ведут себя как трансверсально-изотропные тела. Ось симметрии совпадает с направлением поля предварительной поляризации. Так как пьезокерамика является хрупким материалом с незначительным размером пластической зоны у вершины трещины и ьплотъ до разрушения ведет себя как упругий материал, то зто позволяет с высокой степенью точности описывать кинематику среди. линейным тензором деформации. Линеаризация уравнений электроупругости приводит к более простым выражения;.! и позволяет применять различные методы решения краевых задач.

Один кэ эффективных методов решения задач электроупрутости состоит в сведении их к краевым задачам теории функций комплексного переменного. Это проделано в работах А. С. Космодамиансксго, Б.Н.Ложкина, А.П.Кравченко , И. А. Вековкщевой . Л. В. Белокопытовой, 0. А. Иваненко, Л. А. Фильштинского и др..

Существенным является вопрос о постановке электрических граничных условий как на берегах трещины, так и на границе раздела двух сред. В своих работах И. Б. ПолоЕИНкика, А. Ф. Улитке, Б.А.Кудрявцев, В. 3. Партой, В. И. Ракитин, Л. П. Бицадзе и др. рассматривают этот вопрос и приводят несколько вариантов граничных условий.

Задачи связанные . с -механикой разрушения для различных тел содержатся в монографиях Ю. Н. Работнова, Г. П. Черепанова, В.3.Пар-тона, Е.М.Морозова. A.C.Космодамианского, Г.Г.Писаренко. Д.Броэ-ка. Т.Екобсри, М. Я. Леонова, Ф. Маккллнтока, А. Аргона, Дж.Яотта. К. Хелл^на, Л. С. Мороза, М. Сиротори, Т. Миеси, X. Мацисита, Н. о. Рома-лиса. В. П. Тамуж, Л. В. Качалова. А.Н. Гузя и др. в семитонном издании "Разрушение" под общей редакцией Г.Либоьица, в справочном пособии под общей редакцией В. В.Панаспка и др.

C>3ie-0T£"rXT различные методы решения краевых задач для тел с z'jc-zivñaiM. Соответствующие обзоры мои о найти в четырехтомном издании пси обшей редакцией В.В. Пакасска, в монографиях Л. Т.Бе-режкидксгс, р. В. Панасяка, Н. Г. Стащука, М. П. Саврука, А. П. Лапшин, Ч. Попова. в г-озсре Л. А. Фильштинского др. Одним из эффективных ;г.сот.£Оо решения таких задач является метод сингулярных интегральна;: уравнений. ' Л. А. Фильштинский впервые предложил подходы к решению краевых задач для анизотропной среды с криволинейными разрезам:*.. Сн таки? построил представления соответствус^х аналитических функций,которые обеспечивали скачок перемещений и непрерывность вектора напряжений при переходе через разрез. Был провела к асиютстический анализ интегральны:': представлений решений. В псследуг^пх работах была показана эффективность метода интеграль-п:::: уравнении как для решения задач теории упругости, так к для задач учитывавших пьезоэлектрический эффект.

Решение плоских .?адач теории упругости для мкогосеязных кзо-rcouKjn и анизотропных тел с трешнам^ при помовш комплексных потенциалов приведено в работал С.А.Калоерсва.

Различные подходы к интегрирования уоавненпй равновесия для упругого слоя обсуждались б работах А.И.Лурье, Г.С.Шапиро, '-Í. Скеддсна, Я. С.Уфлянда. К. И. Еоровича, В.М.Александрова, В. А. Ба-беи'ко, А. С.Космодамианского, В. А. Шалдырвана, С. Г. Лехницксго, 0. К. Аксентяна, .0. С. Калкиной и др.

Приближенный анализ трехмерного распределения напряжений в толстой плите,ослабленной прямоугольными и полубесконечными сквозными трещинами при помощи различных подходов рассматривается' в работах П. П.'Ворошке, • D.A.Ayr es, E.S. Folias, P.. J. Hartranft, G.S.Sih . K.N.Rao, M. L. Williams, J.LSwedlow, G.Villareal, G. F. ber,iter., 2. S. Alter",an, Y. Ya¡roaicLo. Y.Sur.i , T. A Cruse и др.

Козый иетод решения пространственной задачи теории упругости для изотропного слоя со сквозными трехина?й!. деюкий возможность сьести гракичнуь задачу к бесконечной системе одномерных сингу-г.ярных интегральных уравнений, предложен Л. А. Фильштинским.

При решении ьсех откх задач возникает проблема связанная с нахождением различных компонент напряженно-деформированного состояния з точке выхода трещины на свободную поверхность. Как показано ъ работах. J. P. Benthes; и др., прк выходе трещины ортогонально я гранте тйлз. порядок сингулярности ь окресткоаг.1 точки пересечения .будет 'зависеть от свойств среды % мокет не совпадать г.

- о -

особенностью во внутренних точках фронта трещины.

Связь между механическими и электрическими величинам;: гл:-г.:т дополнительные трудности при решении пространственны:-: задач электроупругссти. При псмсиш матрично-сператорного метола 5.А.Кудрявцев, В. З.Партсн сводят трехмерные задачи электроупругости для плит сбаей анизотропии к двумерным. Ддл сесекил пространственных задач электроупругссти успешно лепользуетед метод собственных вектор-функций, развитый В. 7. Грннч?нкз. А. Ф. Улитко.

При пемоал метода А. П. Лурье, В Е. Тиров получил сд:-:грсд:--с: решение для пьезоэлектрической плиты. Он печазал. что решение электроупругости I как и в упругом случае ; !.!с.:"о приставить з виде суммы трех решений : слгармокичес.ксгс. г.;-. -н^г.гль-него и вихревого. Был проведен асимптотический аналлз зт.::< -.тении. Далее з своих раоотах В. Е. Жиров и ¡0. А. Устинов лоололоьали влияние электрических граничных условии, заданных на торнах. ь.г электроупругое состояние в толстой плите.

Цепью диссертации является разработка алгоритма решения плоских и пространственных задач электроупругссти при различных типах электрических граничных условий; задач управления параметрами р-1зр;.хения за счет внешних воздействий; метода решения пространс-.'зенной задачи для слоя ослабленного сквозными разрезами; получение формул для коэффициентов интенсивности напряжении в вериинах треш:н: исследование взаимодействия дефектов типа треюин в пьезокерамическсй среде; влияния конфигурации разреза, типа воздействия, а также близости, границы .на напряженно-деформированное состояние-среды. . • .

РЧщая методика выполнения исследований. ■ С использованием фундаментального решения С функции Грина) для неограниченной и . полуограниченной области, записывается интегральные представления ■ решений соответствующих краевых задач, ксторые затем .сводятся к смешанным системам интегральных.и алгебраических уравнений. При решении пространственных задач краевые за-ачи сводятся к 'бесконечным системам одномерных сингулярных интегральных уравнений, которые в совокупности с дополнительными физическими условиями, реализуются численно.

Научная новизна работы заключается в следусаем.

1) Рассмотрены новые задачи электроупругости для неограниченной ¡'.оэды, ослабленной двумя трегянами. Показано. что нкеет места

- 6 -

эффект взаимного упрочнения трещин. •

23 Рассмотрены задачи управления параметрами разрушения в пье-зокерамической полуплоскости с разрезом за счет внешних воздействий. Показана принципиальная возможность такого.управления.

33 Разработан алгоритм решения пространственных краевых задач для пьезокерамического слоя и полуслоя со сквозными дефектами типа трещин, состояний из следующих блоков:

- получение интегральных представлений решений трехмерных задач электроупругссти для тел'с разрезами;

- сведение граничной задачи к бесконечной системе одномерных сингулярных уравнений;

- разработка схемы численного решения отой системы.

4) Получены новые числовые данные как для задач управления параметрами разрушения, так и для коэффициентов интенсивности меха-иич^ских и электрических Ееличик в пьезокерамическом слое и полуслое. ослабленных ске-.чными разрезами.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач; использованием обоснованных, математически корректных метопов их решения; апробированными схемами численной реализации; физической интерпретацией результатов вычислений; сравнением с имевшимися в литературе данными.

Практическая ценность. На основе полученных результатов можно оценить срок службы элементов пьезокерамических преобразователей,« такге учесть влияние различных дефектов на электромеханические свойства пьезоэлектрической среды. Разработаны процедуры расчетов коэффициентов интенсивности напряжений и управления ими за счет механической или электрической нагрузки на границе тела.

Результаты работа могут быть использованы в РЖ. занимавшихся проектированием приборов из пьезокерамики и разработкой новых пьезокерамических материалов, при -прогнозировании долговечности материала и приборов при различных условиях нагружения.

Настоящая диссертационная работа выполнялась в рамках Координационного плана АН УССР N 43 от 17 декабря 1979 года по комплексной проблеме " Физике- - химическая механика разрушения конс-трухшгонных материалов " (Гос. рег.Н 018220104183.

Апробация работы. Основные результата диссертационной работы ¿складывалась на.1 Всесоюзной конференции по механике разрушения С г.Льзов,1У37 3. - на 6 Всесоюзной конференции по управлению в механических системах С - г. Львов, 1983 3. Диссертационная работа в

целом сбсузщалась на семинаре кафедры прикладной математики С'ЛИ "Методы прикладной математики в техника" под руководство:.": проз. Л.А.Фильштинского (Сумы,1932), на научном семинаре механике-математического факультета Киевского государственного университета под руководством чл.-корр. АН Украины А.Ф.Улитка С Киев,15923. на семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математик-,! Донецкого государственного университета под руководством академика АН Украины A. C. Космодамианского (Донецк,1993). на научном семинаре отдела механики неоднородных тел Института прикладных проблем механики и математики им.Я. С. Подстригача АН Украины СЛьвов,1993).

Публикации.По результатам диссертационной работы опубликовано 6 научных статей.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 124 страницах машинописного текста и состоит из введения,четырех глав, заключения. Содержит 52 рисунка, список литературы из 160 наименовании.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Во введении дан обзор работ, посвященный исследованию в области электроупругости, показана актуальность выполненной работы Кратко излс..кено содержание и основные результаты диссертации.

В первой главе приведены основные соотношение линейной э:-?к~ тро> пругости, а также об":ие представления механических и электрических величин в комплексных переменных.

Рассмотрим неограниченную гпьезокерамическуп среду, отнесенную к декартовой систем» координат ох х„х (х -ось поляризации) и ослабленную туннельными здоль оси хг треаик ж. На берегах трещин •л на бесконечности может действовать механическая и электрическая нагрузка.

Используя уравнения состояния, уравнения равновесия, а такхо уравнения Максвелла (учитывая, что в пьезокерамихе отсутствуют свободные электрические зарядьГи принебрегая магнитными эффектами) , находим решение задачи'электроупругости.

Механические и электрические составлишне выразагтея через три аналитические функции своих комплексных переменных.

С использованием аналитического представления этих функций, краевые задачи электроупругоста сводятся к смешалюз системе сингулярных интегральных и алгебраических уравнений.

В этой главе выведятей коэффициенты интенсивности напряжения СКИН) для пьезоэлектрической среды, содержащей криволинейные.тре~

j

лг.ны, с учетом взаимного расположения дефектов, а также различных электрических условий на берегах трещины.

? использованием удельной работы разрушения, строится поверхность разрушающих, напряжениий. Для этого находим интенсивность потока энергии в вершину трещины

г

Э= 1ш 4-1СХ ди.+ г ¿у -Б Дч>,)йр Ш

Г п , п Э п 2

Г,

где Хп, 2п, Рп-компоненты векторов механических напряжений_ и электрической индукции на продолжении за вершину трещины;ои ¿у -скачки механических перемещений и потенциала электрического поля на фронте трещины в окрестности вершины.

Энергетический критерий Гриффитса Э-2у (т-плотность поверхностной энергии), определяет поверхность разрушающих напряжений в пространстве нагружения.

Численная реализация разрешающей системы интегральных и алгебраических уравнений производилас методом механических квадратур.

/¡з анализа полученных результатов можно сделать вывод, что выбор различных электрических граничных условий на берегах трещины зносит небольшие изменения в величину индукции электрического поля окопо вэршинь; трещины и практически не влияет на механические коэффициента интенсивности напряжений и К]Г

Во второй главе рассматриваются прямые и Св некотором смысле) обратные задачи электроупругости для пьезокерамической полуплоскости, ослабленной дефектами типа трешш.

Рассматриваются задачи о нахождении коэффициентов интенсивности напряжений ь зависимости от кривизны трещины, а также близости ее к граниле полуплоскости.

Искомы? аналитические функции представляются л видь.

Г ы (1) 1 - г ь.-Ф 3= 1-Л-^- С1 + -4-г > Ь ! —--с1 (2;

» > ¿ы I V ~7 " >п ! г

I п к

Функции ^С::^ обеспечивают автоматическое удовлетворение йехашгческих и электрических краевых условий на границе полу-пжкасоста х_)=0 С гракица полуплоскости свободна от сил и неэлект-родкрована).

Подставя.я предельные значения С 2) в краевые условия приходим

:< смешаннной системе интегральных и алгебпаических уравнений, численное решение которых осуществляем при помоаш метода механических квадратур.

При переходе от сосредоточенной в какой либо течке нагрузка к распределенной на некотором интервале У , решение ищется в виде свертки от полученного решения для сосредоточенной силы или заряда с интенсивность!) РСх) распределения нагрузки.

В соответствии со сказанным представим коэффициенты интенсивности в виде;

K~=[PCx)f ,C±l,x]dx 13j

г c-i.x)=im)R q"C±i,x; , (1=1.3:

1 i к

P =? /¡¡S'itlja cy>7 ; R =i M'CtVja CüO? ia sin^cas^

l k < * 1c <

R3=* /s'C±l)akO;Ork ; s'=g >0 . K;=K*

Знатная d^C±l,x). находится ь результате решения соот?ег-ств>ещей прямей задачи для сосредоточенной силы пли заряда на границе полуплоскости.

На основе решзннл прямых задач, рассматриваются задачи оптимального управления коэффициентами интенсивности напряжений за счет внешних воздействий.

Я третьей глава используется метод предложенный Л. А. Филь'д-тинским при решении пространственной задачи теории упругости для изотропного слоя,имеющего сквозные криволинейные разрезы. При помощи этого подхода краевая задача для слоя или цилиндра с туннельными неоднороднсстями сводится к бесконечной системе одномерных сингулярных интегральных уравнений.

3 этой главе,с использованием данного метода, решается белее общая граничная задачи. для пьезокерамического слоя ослабленного сквозными трещинами.

Рассматривается пьезокерэмическай слой.отнесенный к ьехастс-зой системе координат ох s^x^C-cc с * х =x,/h : Ixjs 1 ;

2h- толщина слся. х,-ось поляризации ). Эле;:троупругое состоядз-5 данного материала списывается соотношениями:

уравнения состояния

с =СЕ S + СЕ S + СЕ S - е Е и и и iz гг _ 13 зэ зГэ

П =СЕ S + СЕ S • + S - е Е

22 12 -.1 1 12 2 ^13 53 зЛ

а =СЕ S + СЕ S + СЕ S - е Е

33 13^1 1 13 22 33 33 . зз'з

О =ССЕ - СЕ 3S =2Се S ; '" C4D

12 11 12 12 6Ь12 J

D =е CS +S )+е S +с* Е

3 31 11 22 33 33 33 3

уравнения равновесия' ,

*1Ь,= 0 С i.j-rii С5)

уравнения Максвелла divD =0 , roil =0 С E=-gradvj! 3 f6)

Граничные условия на торцах слоя зададим в виде.

- <

О =0 =с =0 , ф =±V =const, X =±1 (7?

03 1 J 23 2 л 3

В работах Ю.А.Устинова, В.Е. Жирова било показано, что однородное решение для пьезокерамического слоя, как и в упругом случае, складывается из суммы трех решений: бигармонического, потенциального и зихревогс.

Выпишем катдое из этих решений для симметричного случая наг-рукения пьезокерамической плиты в кош1ле"сиой форме. Бкгармоническое решение;

& aF. ' 2

u -iu =-2hC- + —^ 3 , u,=hV,P

1 г sr. sz 3 . М ■

«Г-0 ■ "п-'^з10 • "33=0 • ViDr° iS)

Е,-1Ег=0 , D3=hAC2* ,

и -

оЕ

где

Г=?н-Ьгд Р 7гФ , дг¥ =*-?ч.

3 о 2 2 1 11

72?2, =0 . х=Са1Га(э/аз;)Ла„^12-2а^/аэз)

^ =0.5(3,-13,3 , э =а/ах„ , Ос=1,23 , 7г=эг+эг ,

02 12 к к' * ' '12

до=-а1Э(2х -13/(3аб63, д]=Здо . А=(ьэ1с33-а1зьзз3/азз

Р((хЗ - полиномы Лежандра, Г^- гармоническая функция, »-плоская бигармоничэская функция, а^, Ь - параметры материала. Вихревое решение:

о

и.-ш.=2мУ соз(з г х„3э? /ее , и„=и„=0

1 2 Ц о о 3 • 3 4

в« 1

"п^^ • V0 • Ег4Ег° • *3,=0

с,.,*0, +21ач =~8а_со^Сб т яЭэ2? /32г , С93

2211 12 6 6 А о а 3 в *

•■1

го

Б -¿В =-2Ь.Д* УттпСэ т /аг

I 2 15 £, о • 3 »

»«1

СО

3 Дп У п151пС5 т /ег 13 гз л о в э •

гле

г =11111/(5 ЬЗ , (7 -723?> =0 , 5г=а /а

о о во о 6 6 41

Потенциальное решение:

о- ю

и -1и.=2Ь %г Уи (х Зт , и=Ие ) ц (х 37,

0> (В

Ь.1 ' к»1

о

О +С -?.а уЬ Ие у в (х,)т ,

II Ь I ¿'ИЗ к'

Б3=1/Н Схз3\ • • •

СО

о

о

где а Сх Сх ],х Сх),м, Сх СхО- находятся из реше-

к 3 к 3 К 3 к к а к о

ния соответсвующей спектральной задачи.

При рассмотрении пьезокерамической плиты, ослабленной вдоль

толщинной координаты хз сквозными трещинами I, С^1,п) С в недефор-мированном состоянии трещины ассоциируются с матеметическим разрезом) полагаем, что на берегах разрезов действует поверхностная

нагрузка X* СХ*=-Ху=Ху,^=1,3), а на свободных от механической нагрузки торцах слоя задан электрический потенциал (.7). Ка бесконечности зададим однородное поле механических напряжений о® . Предположим, что кривизны дуг и функции Ху удовлетворяют условию Гельдера на I. и, кроме того Ху разлагается в ряд Фурье по координате х3 на

Запишем краевые условия на берегах разрезов следующим образом:

Интегральные представления входящих'в соотношение С8)-С12) гармонических и метагарглонических функций должны обеспечивать существование скачков перемещений , а также непрерывность векторов механических напряжений и электрической индукции при переходе

11 22'

2 2 11

СИ)

через разрез. Необходимо, чтобы эти представления удовлетворяли условиям затухания перемещений и напряжений,а также электрической напряженности и индукции на бесконечности.

Запишем эти представления, корректные в указанном выше смысле, в виде:

«•Сх,, х J =Rei [р ^dc+P ^cdcl 2 J ^ ас *ас '

+J стл cds

L

FjCx^x^^xRe

?kCx ,x2) =

p[Cir-zKlnCc-z)-l)]dc P. Cx r)dc+P* - К Cx r)dc] + [q.K Cvr)ds

° i J 1 ° 1

С12)

q'KJr.rOds +2 Re

■ L

R -Z-K (r Ddc •az 0 "

где K^Cx) - функция Макдональда m-го порядка

а =гг1пг . Г=|С"2| , L= S L , c-2=reia,

J->

1щ'т= О , c=i,+i52 е L , г=х,+1хг

Интегральные представления для напряжений и электрической нндукиии получим, вводя в соотношения (8)-С 10) формулы для фигурируют;»): там функций из С12). Удовлетворяя граничным условиям СИ) и раскладывая найденные выражения в ряды Фурье, п'чходим к бесконечной системе одномерных сингулярных интегро-дифферекци -альных уравнений.

Главная часть этой системы имеет вид (регулярную часть системы, ввиду ее громоздкости, здесь не выписываем):

Г , а сКи'Ми'"] а £и"Л

Ст=0,1,2,...)

(13)

+ 2тС[и°]з1лр - [ирсоз0/ь|г>(г,со)с1з .. =Г*СсоЭ

(т=1,2,.

где

сЕ ? С с )=НМТМ/2(С* ^-е^Чс^-О" +21С" )) +

Й 6 о о Л \ ¿г 12

е сЕ -е сЕ 7 лч>

6С С. СоЭ =/?75.

сЕ Г Сс )=Г-1Г , сг ГС С )=Х! , Г-г.Т^е1''' СХ"-1Хр ,

6 6 л о 4 4 а о 3 12

Структура системы (13) такова, что все неизвестные "завязаны" в ее регулярной части, характеристическая часть системы при каждом фиксированном ш=1,2,... содержит ровно три функции [и"], £и"], а при ю-0 - две функции [и°]Ди°].

В силу того, что скачки перемещений на концах разреза должны обращаться в ноль, неизвестные б[ир/с12, разыскиваем в классе Ьо функций неограниченных на концах Ь.

«НиЧ °р —

--¿з" ■ = - , Ср=1,3 ; т=0,1,2... )

. /Я? г'СЙ

Поэтому для замыкания алгоритма систему (13) необходимо рассматривать совместно с дополнительными условиями:

| ё[и*-ги"3 =0 , |ки"]=0 , ( з=ТТп; т=С,1,2,...) (14)

и I

] J

В результате асимптотического анализа электрических и механических величин ь окрестности дефекта получим

/ S'Cil) ..о

V E

к*„ =" "7=^=Г I c^CdJsinCs.,.*,} С15Э

2/s'Cii)

v

2/s'CiO «о

Система интегральных уравнений С133 решалась методом редукции с последующим применением метода механических квадратур. В результат задача сводилась к системе линейных алгебраических уравнений.

Приведено распределение относительных козффициентов интенсивности по толщине пластины ( ix3l s 0.953 в зависимости от типа приложенной нагрузки, отношения hЛ С21-длина трещиныЗ и конфигурации трещины. • • •• • . ;%•• >

В четвертой главе рассматривается пьезокерамический полуслой, содержащий внутреннюю сквозную трешдну. Будем прдполагать, что на берегах трещины действует поверхностная нагрузка X*. Краевые условия на берегах разреза зададим в виде СИЗ, на торитх плиты - (.71, а на границе полуплоскости следующим образом:

и =<\ ,=о,,=0 , D.=0 ; х,=0 С163

2 12 2 3 2 Z

ИЛИ

и,=0!э =агг=0' , ?г=0 ; хг=0 С173

Для нахождения напряженно-деформированного состояние в пье-зокерамическом полуслое, запишем представления искомых функций

Тксх1,хг3=^"сх1,х.,э+А^г4х1.х23 (183

«^(Xj.xJ^1 '(Xj.x^-Ai^'Cx^.x^

Здесь при А=0 - получается задача для слоя; при А=1, А=-1 -задача для полуслоя с краевыми условиями С16) или С17) соответственно. Представления, содеражапше дополнительный источник, записываются , аналогично тому как это делалось для ~лоя.

Численная реализация полученной системы интегро-дифферен-циальных уравнений осуществлялась как и ранее методом механических квадратур.

Показано,что при удалении поверхности трепшны от границы полуслоя на расстояние с/1г 8 Сс-расстояние до границы полуплоскости), результаты для полуслоя практически совпадает с результатам::, полученными при решении сответствующей задачи для слоя.

3 заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ.

1.Разработан единый подход к решение двух- и трехмерных краевых задач электроупругости основанный на:

а) построении интегральных представлений для электрических и механических величин;

б) сведении соответсвующих краевых задач к одномерным сингулярным интегральным уравнениям;

в) численной реализации полученных алгоритмов.

2.Данный подход позволяет определить сопряженные механические и .. электрические доля в телах с дефектами; а также построить

асимптотику механических и электрических величин в окрестности дефектов.

3.Рассмотрены постановки и схемы решения некоторых обратных задач электроупругости об оптимальном управлении коэффициентами интенсивности за счет внешних воздействий.

4. На основании предложенных подходов получены следующие резуль-.. таты:

, а)"решена задача о растяжении неограниченной пьезоэлектричес-.• кой среды ослабленной трещиной .при различных электрических условиях на ее берегах; • '

. б)- построена поверхность разрушающих напряжений для пьезоке-рамической пластинки,. ослабленной•двумя трещинами; в) получены данные об оптимальном распределении поверхностны? ■ нагрузок, обеспечивающих ' максимальное значение линейно!1 комбинации КИН или заданные значения.КИН в вершинах дефектов; •

г) граничные задачи • электроупругости для пьезокерамкческсго слоя и полуслоя со сквозными-туннельными разрезами сведены к системам одномерных сингулярных интегральных уравнений;

д} получены формулы для КИН в виде функционалов, построенных на решениях этих систем.

5. Приводятся .новы численные данные характеризующие зависимость параметров разрушения от типа электрических граничных условий на берегах трецин, их конфигурации и взаимного расположения, а также близости границы тела.

6. На основания этих исследований сделаны выводы:

а) вариация электрических граничных условий на берегах трещины вносит небольшие изменения в индукцию электрического поля в вершине тре "шы и практически ье влияет на коэффициенты интенсивности механических напряжений К1 и К ' ;

б) механическое растяжение слоя поперек прямолинейной трещины интенсивностью а™г=15 н/мг равносильно электрической нагрузке V /Ь • 1 в/и. приложенной к торцам плиты;

в) влияние границы полуслоя в пьезокерамической среде практически не сказывается на КИН при с/1 г 8;

г) численные экспериментыпроведенные над системой интегральных уравнений С13) показали,., что решение ее методом редукции достаточно эффективно в интервале |хэ1 ^ 0 '95.

Рис. I Рис. 2

•Рис. 3

Рис. 4

Основе е содержание диссертации отражено в следующих

публикациях:

1. Иваненко O.A., Олейник В. М., Фильштинский Л. А. Взаимодействие трещин в пьезокерамике // Динамика и прочность машин.-1983.-Вып. 38.-С. 113-121.

2. Фильштинский Л. А ', Олейник В.М. Краевая задача электроупругости для слоя с туннельными сквозными разрезами // Прикл. механика.-1991. -27 ,lfl2. -С. 21-26.

3. Фильштинский Л. А. .Олейник В.М. К определению поверхности разрушают'.:: напряжений пьезоэлектрической среды в вершине трещины // Физико-химическая механика материалов. -1987. -N5. - С. 96-99.

4. Фильштинский Л. А. .Олейник В.М. Пространственная задача электроупругости для слоя с туннельными трещинами // Физико-химическая механика материалов.-1991.-27,№4.-С. 65-72.

5.Фильштин-кий В. А. .Олейник В. М. .Фильштинский Л. А. Об управлении параметрами разрушения тел с трещинами //1 Всесоюзная конференция. Механика разрушения материалов. Тезисы доклада. -Львов: 1987.-С. 89. '

6. Фильштинский М. Л. , Олейник В. М. , Фильштинский Л. А. Оптимальное управление статическим и динамическими коэффициентами напряжений в пьезоэлектрическом полупространстве // Шестая Всесоюзная . конференция по управлению в механических системах. Тезисы докладов. -Львов: 1988. -С. 156.