Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л.СОБОЛЕВА СО РАН

На правах рукописи

Говорова Анастасия Ивановна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ РАЗОМКНУТОГО КОНТУРА

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 АПР 2015

Новосибирск - 2015

005567598

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М.Достоевского»

Научный руководитель: Горелов Дмитрий Николаевич

доктор технических наук наук, профессор Официальные оппоненты: Юдин Владимир Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет», профессор кафедры теоретической механики Кудрявцев Алексей Николаевич, доктор физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича

Сибирского отделения Российской академии наук,

старший научный сотрудник

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 26 мая 2015 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коп-тюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru.

Автореферат разослан/^апреля 2015 г.

Уиоиигй го^прмт.

Мирошниченко Валерий Леонидович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена решению нелинейной начально-краевой задачи, связанной с математическим моделированием нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура в рамках нелинейной теории крыла в плоском нестационарном потоке. Основной особенностью нестационарного обтекания тел является возникновение вихревых следов, которые в плоском потоке моделируются линиями тангенциального разрыва скорости жидкости. Вихревые следы эволюционируют с течением времени таким образом, чтобы перепад давления на них был равен нулю. В результате исходная начально-краевая задача становится нелинейной задачей с неизвестными границами. Для численного решения таких задач применяют процедуру дискретизации по времени, которая позволяет исходную нелинейную начально-краевую задачу свести к последовательному решению линейных краевых задач. При этом вихревые следы моделируются системой свободных дискретных вихрей, координаты которых определяются решением задачи Коши. Однако, для вихрей, непосредственно сходящих с контура, задача Коши в общем случае не решена до сих пор. В работах, опубликованных к настоящему времени, координаты этих вихрей задаются априорно без учета выполнения соответствующих граничных условий. Поэтому остается актуальной проблема моделирования схода вихревых следов с контура и разработка алгоритмов расчета координат сходящих свободных дискретных вихрей.

Цели и задачи диссертационной работы. Целыо диссертации является построение математической модели схода вихревых следов с разомкнутого контура на режимах отрывного нестационарного обтекания при моделировании контура и вихревых следов системами дискретных вихрей.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- рассмотреть постановку нелинейной начально-краевой задачи нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура для непрерывной интегро-дифференциалыюй модели, включающей в себя необходимые уравнения и начально-краевые условия, в том числе условия схода вихревых следов;

- при моделировании контура и вихревых следов разными системами дискретных вихрей согласовать эти две модели путем строгого выполнения граничных условий в точках схода вихревых следов;

- для дискретной модели нестационарного течения построить и реализовать алгоритм численного решения задачи отрывного обтекания разомкнутого контура, включающий в себя определение положений непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей;

- провести вычислительный эксперимент для задачи нестационарного отрывного обтекания пластинки по двум численным моделям, в одной из которых координаты сходящих дискретных вихрей определяются по разработанному алгоритму, а в другой задаются заранее;

- оценить влияние точности выполнения граничных условий в точках схода на расчет гидродинамических характеристик для задачи отрывного обтекания пластинки.

Научная новизна полученных результатов.

1. Построена математическая модель схода вихревых следов с разомкнутого контура на режимах отрывного нестационарного обтекания при строгом выполнении условий схода вихревых следов, при этом контур и вихревые следы заменяются системами присоединенных и свободных дискретных вихрей.

2. Впервые разработан алгоритм расчета координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура при его нестационарном отрывном обтекании, позволяющий строго выполнять граничные условия в точках схода вихревых следов.

3. Проведен анализ влияния положения сходящих дискретных вихрей на решение исходной нелинейной начально-краевой задачи для случая отрывного обтекания пластинки.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть применены при расчете нестационарного отрывного обтекания различных контуров.

Результаты диссертационной работы дополняют нелинейную теорию крыла в плоском нестационарном потоке и могут быть использованы при чтении соответствующих курсов лекций в ВУЗах.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Построение и численная реализация математической модели схода вихревых следов с разомкнутого контура, позволяющей строго выполнять граничные условия в точках схода вихревых следов.

2. Разработка комплекса программ, позволяющий решать широкий класс задач отрывного нестационарного обтекания различных разомкнутых контуров.

3. Вывод и численное решение интегро-дифференциалыюго уравнения, определяющего одно из условий в точках схода вихревых следов.

4. Сравнительный анализ результатов расчета отрывного обтекания пластинки, проведенного по разработанному алгоритму и соответствующему алгоритму других авторов.

Методы исследования. В работе использованы положения нелинейной теории крыла, теоретической гидродинамики, механики сплошных сред, теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, а также теории аналити-

ческих функций и вычислительных методов. Достоверность полученных научных результатов подтверждается соответствием исходной нелинейной начально-краевой задачи основным законам движения идеальной жидкости, их соответствием признанным научным результатам по данной теме других авторов, применением при их расчете современных вычислительных методов.

Степень достоверности и апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной школе-семинаре «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 2008), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), Всероссийской конференции, приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова: «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009), Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова: «Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение» (Чебоксары, 2013), научных семинарах «Математическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моделирования ОмГУ им. Ф.М. Достоевского (Омск), научном семинаре в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2013), научном семинаре «Математика в приложениях» в Институте математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 научных работ, 2 из которых - в рецензируемых изданиях из списка ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (79 наименований). Объем диссертации - 92 страницы, включая 45 иллюстраций.

Личный вклад автора. Постановка задачи принадлежит Горелову Д.Н. Подготовка публикаций [1], [5]-[7] по теме диссертационной работы выполнялась авторами совместно и их вклад равновелик. Диссертантом был построен и численно реализован алгоритм поиска положений свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура. Результаты численных расчетов и все графические данные получены лично автором, также автором проведен их сравнительный анализ. Результаты, отраженные в положениях 2,4, выносимых на защиту, получены диссертантом, результаты, сформулированные в положениях 1,3, получены совместно с Гореловым Д.Н.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводятся необходимые сведения из механики сплошных сред и нелинейной теории крыла, ставится задача отрывного нестационарного обтекания разомкнутого контура, рассматривается вопрос определения перепада давления на контуре. Глава состоит из 6 параграфов.

Параграфы 1.1, 1.2 носят реферативный характер. В параграфе 1.1 приводятся сведения из механики сплошных сред и нелинейной теории крыла. В параграфе 1.2 рассматриваются вопросы математического моделирования вихревых следов.

В параграфе 1.3 ставится задача отрывного нестационарного обтекания разомкнутого контура Ь идеальной несжимаемой жидкостью, начавшего свое движение из состояния покоя с заданной скоростью и(ж, у, ¿). При обтекании контура Ь с граничными точками А к В за, ним образуются вихревые следы Ьи(сход с кромки А) и Ьт2 (4) (сход с кромки В) (рис. 1). Течение жидкости вне контура и вихревых следов потенциально. В задаче рассматривается абсолютное движение жидкости в неподвижной системе координат.

Рис. 1: Отрывное обтекание разомкнутого контура.

Задача формулируется для комплексной скорости

v(z,t)=vx{x,y,t)-ivy(x,y,t), (1)

являющейся аналитической функцией и представленной через интеграл типа Ко-ши:

т,(ул- 1 [ | у 1 [ lwj((T,t)d<T

Ч , ) 2mJ z-as,t)+2=[2ni J z-(wj(a,ty { )

L 3 Lwj

zeD, C(s,i) € L(t), G

Здесь 7(s, t), ywj((T, t) - интенсивности вихревых слоев, моделирующих контур L(t) и вихревые следы LWj(t), j = 1,2, соответственно, s,a - дуговые координаты контура и вихревого следа, D - область течения вне контура и вихревых следов.

Формула (2) определяет поле скоростей, индуцируемое контуром и сходящими с пего вихревыми следами .

Границами области течения являются контур L(t), вихревые следы LWj{t), j = 1,2, и бесконечно удаленная точка. В бесконечно удаленной точке выполняется условие затухания возмущенных скоростей:

lim v(z, t) = 0. (3)

|г|—>оо

В точках контура - условие непротекания жидкости через контур: непрерывность нормальной компоненты вектора скорости жидкости

Im {[©(г,*) - = 0, z6 L(t), (4)

где в - угол наклона касательной в точке z(t) € L(t) к оси Ох.

При переходе через линии вихревых следов LWj(t),j = 1,2, гидродинамическое давление и нормальные компоненты вектора скорости непрерывны. Для выполнения граничных условий на вихревых следах достаточно, чтобы они перемещались свободно вместе с жидкостью. В соответствии с этим комплексные координаты точек вихревых следов определяются решением нелинейной задачи Коши:

^ = vo(zwj,t), zwj G LWj(t), Zwj(о, t) = z,j, v0(zwj, t) = (v~+ v+)/2, t 6 [0, t}. (5)

Здесь v~,v+ - скорости жидкости при подходе к вихревому следу с противоположных сторон.

Дополнительные условия

Теорема Кельвина о сохранении циркуляции скорости по любому замкнутому жидкому контуру

|[r(i) + £ru,j(i)] = o. (6)

j=1

Здесь Г(£) - циркуляция скорости жидкости вокруг контура L(t), TWj(t) -циркуляция скорости по вихревому следу LWj(t), при этом

T{t)= J 7(s,t)ds, Гwj(t)= J lwj{a,t)da. (7)

L(t) Lwj(t)

Ограниченность скорости жидкости во всей области течения

|ü(z,i)| < оо, 2€D. (8)

Условия схода вихревых следов.

1. Сход вихрей по касательной к контуру.

2. Непрерывность вихревых слоев, моделирующих контур и вихревые следы,

l(s,j,t) =7Wj(0,t), (9)

где s,j - дуговая координата кромки контура.

3. Ограниченность скорости жидкости в кромках контура

|®(z(s,,-),t)| <оо. (10)

4. Равенство нулю перепада давления в точках схода вихревых следов

Ь0Ч>*)1 = 0, 3 = 1,2. (11)

Условие на концах вихревого следа

7wj(lwj(t),t) = 0, j = l,2. (12)

Здесь lWj(t) - длина вихревого следа LWj(t).

Начальные условия. В начальный момент времени t = 0 комплексная скорость v(z,0) = 0, циркуляция скорости Г(0) = 0 (вихревые следы отсутствуют). При t < 0 U(z, t) = 0.

Рассматриваемая задача относится к классу нелинейных начально-краевых задач с неизвестными границами.

В параграфе 1.4 рассматривается формула для перепада давления Ар в точках разомкнутого контура на режиме отрывного обтекания, которая получается из интеграла Коши-Лагранжа и имеет вид

Ap(s,t) = -p^^ + ^^+7(s,t)vrT(s,t)}, se{0,l}. (13)

Здесь r(s, i) - погонная циркуляция скорости, vTT(s,t) - касательная составляющая относительной скорости жидкости в фиксированной точке контура, р = const - плотность жидкости.

В параграфе 1.5, согласно [9], в точках схода вихревых следов из требований одновременного выполнения граничных условий на контуре и вихревых следах выводится нелинейное интегро-дифференциальное соотношение, необходимое для численного решения задачи:

jrwj(t)=lwj(0,t)Wj(t), J = 1,2, (14)

где wj(t) - скорость схода вихревого следа с контура, равная касательной составляющей относительной скорости жидкости в точке схода:

Wj(t) = varjio, t) - UTj{s„j, t), j = 1,2. (15)

Отметим, что сход вихрей с контура L(t) возможен только при Wj(t) > 0.

Соотношение (14) является ключевым для построения алгоритма определения координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура. В дальнейшем будет показано, что непринятие во внимание этого соотношения может привести к невыполнению граничных условий на вихревых следах.

В параграфе 1.6 выписывается общая система нелинейных соотношений для определения комплексной скорости v(z,t).

Во второй главе осуществляется переход от непрерывной математической модели к дискретной и строится алгоритм решения поставленной задачи. Глава содержит 7 параграфов.

В параграфе 2.1 проводится процедура дискретизации по времени, позволяющая свести исходную задачу с неизвестными границами, зависящими от времени, к последовательному решению краевых задач в фиксированных областях для ряда значений моментов времени t\, Nt - количество моментов времени.

Параграф 2.2 посвящен моделированию контура и вихревых следов системами присоединенных и свободных дискретных вихрей соответственно.

В параграфе 2.3 записывается система алгебраических уравнений для определения интенсивностей присоединенных вихрей и свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура. В соответствии с (2) граничное условие (4) непротекания жидкости на контуре сводится к сингулярному интегральному уравнению 1 рода

гг 1 fjMda f 1 Г ^Md* 0) (16)

U2ti-i J z-((s,t) ^ z-(;wj(a,t) к ' 'i J ' к '

L J L-шj

Z e L{t), C(s,t) e L(t), (wj(a,t) e Lwj(t).

Это уравнение решается методом дискретных вихрей (МДВ). Согласно МДВ уравнение (16) для каждого момента времени tn, п = I,..., Nt, записывается в виде системы из N+1 уравнения (N - количество элементов разбиения контура):

Л_TL_„

I 2iri L^zM-zM ZOq(tn) - zL(tnV 1

Здесь rm(in),r^fc - суммарные интенсивности присоединенных zm(tn) и свободных z^k(tn) дискретных вихрей, моделирующих контур и вихревые следы соответственно; zog - контрольные точки, в которых значения индуцируемых вихрями скоростей мало отличаются от значений скоростей, индуцируемых непрерывно распределенным вихревым слоем.

Система (17) имеет N + 4 неизвестных: Г1(£„),..., Глг(£„), Г^,

Теорема Кельвина (6) дополняет систему (17) до N + 2 уравнений:

N N

£гт(*п) + г1 + г^ = £зд>-1)- (18)

т=1 т=1

Система уравнений (17), (18) является линейной и позволяет определять интенсивности дискретных вихрей Гт(£„), Г£,п, то = 1,..., = 1,2, только при условии, что координаты непосредственно сходящих свободных вихрей

определены. В известных алгоритмах решения положения не вычисляются

в ходе решения задачи, а задаются априорно для каждого момента времени. В параграфе 2.5 приведены нелинейные уравнения для определения координат этих свободных вихрей, а в параграфе 2.7 - соответствующий алгоритм решения. Эти уравнения замыкают систему (17), (18) и делают сё нелинейной.

В параграфе 2.4 определяется решение задачи Коши (5) в момент времени £п, п = 2,..., Л^, для свободных дискретных вихрей, сошедших в предыдущие моменты времени. Новое положение свободного дискретного вихря к < п, в

момент времени Ьп определяется следующим образом:

= + к<п> п>2- (1Э)

В параграфе 2.5, согласно работе [1], из соотношения (14) выводятся нелинейные уравнения для определения координат непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей в произвольный момент времени £„, п = 1,..., Л^. В точках схода г,з вихревых следов вводятся локальные прямоугольные системы координат А^щ и В&ш (рис. 2). Оси /1^1, В & направлены в сторону схода вихревых следов по касательным к контуру Ь в точках А и В. Оси Ащ, Вщ образуют с осями В^2 правую прямоугольную систему координат соответственно. С учетом этого искомые координаты для момента времени Ь„,п = 1,..., Л^, представляются в виде

4п = + (-1)^4^, (20)

= ^ + ^ = 3 = 1,2, А = 1/М,

где I - длина контура Ь, безразмерные величины <5^, 6321 определяют комплексные координаты вихрей Г^ в системе координат т^.

Нелинейное уравнение для определения координат свободных дискретных вихрей, сходящих с контура (в безразмерном виде) Ь за время =

У

Рис. 2: Локальные системы координат в точках схода.

П

1,..., Д^, имеет вид

у & \ — ,,гз — ,„.(+ ■ + = о.

(21)

Для вывода уравнений (21) делается предположение о постоянстве скорости схода вихревых следов и применяется условие (12). Уравнения (21) нелинейны относительно комплексных координат сходящих с контура вихрей. Эти уравнения решаются совместно с системой уравнений (17), (18).

В параграфе 2.6 определяется формула для перепада давления при дискретном моделировании контура и вихревых следов. Она получается из дифференциального соотношения (13). С учетом построения соответствующих аппроксимирующих функций численное определение перепада давления в точках с;, г = 0,..., И, разбиения контура в момент времени п ^ 1 выражается формулой:

+7(^,£п)Не{[г;(^),£п)-С7(2(сг),у]е^}), г = 0,...,ЛГ, 1. (22)

В параграфе 2.7 описывается алгоритм численного решения поставленной задачи и представлена его блок-схема.

В третьей главе приводятся результаты вычислительного эксперимента для задачи отрывного нестационарного обтекания пластинки. Эта задача решается для двух численных моделей, реализованных на языке программирования С++. В первой из них (Модели 1) координаты непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей не задаются заранее, а определяются решением нелинейной системы уравнений (17), (18), (21) с учетом строгого выполнения граничных

АР(а, *„) = £ (гт(г„) - г^-О) + +

условий в точках схода. Во второй численной модели (Модели 2) эти координаты задаются априорно и выбираются на расстоянии Д/2 от кромок пластинки по касательной к ней в точках схода вихревых следов. Проводится сравнительный анализ результатов расчета гидродинамических характеристик по этим двум численным моделям. Третья глава состоит из 7 параграфов.

Параграф 3.1 является вводным, в нем описываются расчетные параметры для численного решения задачи отрывного обтекания пластинки.

В параграфе 3.2 рассматриваются результаты решения нелинейного уравнения (21) для первых моментов времени. Численный расчет показал, что каждое из этих уравнений имеет бесконечное множество корней 5{п, 532п, определяющих координаты свободных дискретных вихрей, сходящих с пластинки за время Atn.

На рисунке 3 для начального момента времени показано множество решений уравнения /^(¿п, 8321) = 0, ] = 1,2, на кромках А и В в безразмерных величинах, угол наклона пластинки 0 = 30°. Все эти решения определяют для рассматриваемого момента времени искомые положения свободных дискретных вихрей, непосредственно сошедших с кромок пластинки, удовлетворяющие всем условиям поставленной задачи, включая условие равенства нулю перепада давления в точках схода вихревых следов.

4

а) б)

Рис. 3: Множество решений уравнения /1^(^11) ^21) = 0, 0 = 30°, Ь = £1 а) Кромка А; 6) Кромка В.

Исходя из постановки задачи и особенностей дискретного моделирования, в параграфе приводятся критерии выбора единственного решения из бесконечного множества.

1. Одним из условий в точках схода является сход вихревого следа по касательной. За малый промежуток времени Atn элемент AUwn вихревого следа Lwj, сходящего с контура, не может далеко отклониться от касательной (если Atn достаточно мало). Поэтому требуется, чтобы для координат <5^ в общем случае выполнялось условие

141 «rà, J =1,2. (23)

2. Для наилучшего приближения сингулярного интеграла (16) в контрольных точках z,i, 2.2, совпадающих с точками схода вихревых следов, дискретные вихри Г0(£„) и а также Г^(£„) и должны располагаться, по возможности, на одинаковом расстоянии от кромок zt i, zt2 контура L соответственно. Наибольшее приближение к исходному сингулярному интегралу будет при расположении свободных дискретных вихрей на расстоянии Д/2 от точек 2,2- Поэтому для выбора единственных координат ¿^,¿2h 113 бесконечного множества вводится следующее условие:

^ min, j = 1,2. (24)

Поставленным условиям (23), (24) удовлетворяет пара (б^б^), которая на рисунке 3 обозначена крестиком. Выбранные таким образом решения для каждого момента времени tn, п ^ 1, единственно определяют координаты zi,n(tn),j = 1,2, свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с пластинки. На рисунке 4 представлены такие положения доя моментов времени ti — ¿5, а также дальнейшее развитие вихревого следа.

Для сравнения на рисунках 5, 6 изображены положения непосредственно сходящих дискретных вихрей, заданные по Моделям 1, 2, в первый момент времени (£ = 0,25) и при t = I.

0,51 -

0.50 -

0,49

0,86 0.87 0,88 X 0,86 0.87 0,88

а) б)

Рис. 5: Дискретный вихрь, сошедший с кромки = 30° а) £ = 0,25; б) £ = 1.

0,01

-0,01

-0,01

У 0,01 -

А

а)

б)

Рис. 6: Дискретный вихрь, сошедший с кромки А,в = 30° а) £ = 0,25; б) £ = 1.

Также в данном параграфе выясняется, что происходит, если из множества нулей функции }П](Ь\п, &2п) выбираются произвольные координаты. Для этого рассматриваются для момента времени ¿1 (в качестве примера) значения скоростей схода, соответствующие нулям функции ДД^п, ¿21) (рис. 7). Здесь, верхняя ветвь (нижняя ветвь, крестик) значений скоростей схода на графике 7 соответствует верхней дуге (нижней дуге, крестику) значений нулей функции /1^(^11,^21) на рисунке 3.

Как видно из графиков, значения скоростей схода для координаты (5^, стремящейся к нулю, либо принимают очень большие значения, либо также стремятся к нулю. Тогда как из условий (23), (24) и из предположений, сформулированных при выводе уравнения (21), скорость схода должна быть порядка единицы.

а) б)

Рис. 7: Скорости схода, соответствующие нулям функции ¿21) в момент

времени 0 = 30°, а) Кромка А; б) Кромка В.

Именно выбираемое по условиям (23), (24) положение сходящего свободного дискретного вихря наиболее близко в общем случае соответствует такому значению скорости схода (см. параграф 3.5).

В параграфе 3.3 приводятся результаты расчета вихревых следов, которые показывают, что их структуры, рассчитанные по Моделям 1, 2, для рассматриваемого случая мало отличаются друг от друга и, следовательно, мало чувствительны к выбору положения непосредственно сходящих с пластинки свободных дискретных вихрей. Кроме того, полученные результаты хорошо согласуются с реальной структурой течения, что подтверждено соответствующими иллюстрациями.

На рисунке 8 (в качестве примера) представлены положения вихревых следов для безразмерного момента времени £ = 1, который соответствует прохождению пластинкой расстояния, равного её длине. Черными точками обозначены координаты свободных дискретных вихрей, полученных из расчета по Модели 1, а пустыми точками - по Модели 2 (в дальнейшем, эти обозначения сохраняются).

В параграфе 3.4 представлены результаты вычислений по Моделям 1, 2 суммарных интенсивностей Гт(£п), присоединенных и свободных дискретных вихрей. Значения интенсивностей Гт(£п), т = 1,..., Ы, присоединенных дискретных вихрей проявляют свое небольшое различие в окрестностях кромок А, В пластинки. Для кромки А это различие возрастает с уменьшением угла наклона пластинки. Значения интенсивностей Т^к = 1 = 1,2, свободных дис-

кретных вихрей незначительно отличаются друг от друга. Полученные результаты показывают, что положения непосредственно сходящих дискретных вихрей мало влияют на интенсивности присоединенных и свободных дискретных вихрей.

В параграфе 3.5 приведены изменения расчетных значений скоростей схода гу;(£„),п = 1,...,Л^, вихревых следов в зависимости от безразмерного времени £ € (0,1]. Представленные результаты показывают, что значения скоростей схода,

Рис. 9: Скорости схода вихревых следов, в = 30° а) Кромка Л; б) Кромка В.

рассчитанные по Модели 2, в кромке А в начальные моменты времени для разных углов наклона пластинки могут стать отрицательными. Это противоречит предположению о наличии схода вихревых следов в начальные моменты времени и не соответствует физической картине течения. Для примера на рисунке 9 приведены значения скоростей схода для пластинки, установленной под углом в = 30° к оси Ох, £ = 1.

В параграфе 3.6 приводятся результаты расчета перепада давления на пластинке для безразмерного момента времени £ = 1. Результаты показывают, что существенное различие этой величины, рассчитанной по Моделям 1 и 2, проявля-

ется в точках схода вихревых следов. На рисунках 10-12 представлены изменения перепада давления в кромках пластинки в зависимости от времени £ 6 [0,1].

Рис. 10: Перепад давления в кромках А, В пластинки, в = 90°.

а) б)

Рис. 11: Перепад давления в кромках пластинки, в = 60° а) Кромка Л; 6) Кромка В.

а)

1.0 г

о

-2 -

-10

0.5 1.0 г

.г—2—

б)

Рис. 12: Перепад давления в кромках пластинки, в = 30° а) Кромка А; б) Кромка В.

Из графиков видно, что для перепада давления, рассчитанного по Модели 1, граничное условие равенства нулю этой величины выполняется для любого момента времени и для любого рассматриваемого угла (90°, 60°, 30°) наклона пластинки. Тогда как для значений перепада давления, полученных по Модели 2, отличие их от нуля особенно велико (по модулю) в начальные моменты времени и сохраняется для всех рассматриваемых углов наклона пластинки.

Отметим, что результаты расчета перепада давления на пластинке, полученные для угла наклона в = 60° (рис. 13), согласуются с соответствующими результатами расчета, представленными С.М. Белоцерковским и его соавторами в [8].

Рис. 13: Перепад давления на пластинке для Ь = 1, в — 60°.

Приведенные результаты показывают, что в рассматриваемом случае различие в распределении давления по существу проявляются лишь в окрестности кромок. Это позволяет сделать вывод, что модель с априорным заданием координат непосредственно сходящих вихрей при расчете гидродинамических характеристик может оказаться приемлемой для практического применения.

В параграфе 3.7 приводятся результаты расчета чисел обусловленности матрицы системы (17), (18) для задачи отрывного обтекания пластинки. Показано, что значения чисел обусловленности, рассчитанных по Моделям 1 и 2, для различных углов наклона не превышают 25, что говорит об устойчивости системы.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Автор выражает сердечную благодарность своему научному руководителю доктору технических наук, профессору Дмитрию Николаевичу Горелову за научные беседы, ценнейшие советы, вдохновение, доверие и поддержку при подготовке данной работы.

Опубликованные работы по теме диссертации

В рецензируемых журналах из списка ВАК

[1] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания разомкнутого контура методом дискретных вихрей // Вычислительные технологии. - 2010. - Т.15, №5. - С. 24 - 33.

[2] Говорова А.й. Численное исследование отрывного нестационарного обтекания пластинки // Вестник Омского университета. - 2013. - № 2. - С. 10 - 15.

В других изданиях

[3] Говорова А.И. Выбор начального положения свободных дискретных вихрей при отрывном нестационарном обтекании пластинки // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск № 6. - Орел: Изд-во ГОУ ВПО ОГУ, «Картуш». - 2008. - С. 26 - 31.

[4] Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания пластинки //IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тезисы докладов. Кемерово. - 2008. - С. 40 - 41.

[5] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование схода вихревых следов с контура в нестационарном потоке // Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение: сборник научных трудов Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова. Чебоксары. - 2013. - С. 158 - 161.

[6] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование схода вихревых следов с контура в нестационарном потоке // Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение: сборник тезисов Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова. Чебоксары. - 2013. - С. 18.

[7] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания разомкнутого контура методом дискретных вихрей // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение: тезисы докладов Всероссийской конференции, приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова. Новосибирск. - 2009. - С. 54.

Цитированная литература

[8] Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров Р.М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания. - М.: Наука, 1988. - 231 с.

[9] Горелов Д.Н. Нелинейная теория крыла в плоском нестационарном потоке. - Омский филиал института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. — Омск: Полиграфический центр КАН, 2013. - 142 с.

Подписано в печать 19.03.2015 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 0099

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 24-70-79, 8-904-585-98-84.

E-mail: pc_kan@mail.ru 644122, г. Омск, ул. Красный Путь, 30 Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97