Применение римановых поверхностей в задачах гидродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

РГб од

1 3 ДЕК тп

Ефимова Елена Геннадьевна

ПРИМЕНЕНИЕ РИМ АЛОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Сильвестров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Маклаков, кандидат физико-математических наук, доцент О.В. Ильин.

Ведущая организация: Казанский государственный университет.

Защита состоится 22 декабря 2000 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, Московский пр., 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова.

Автореферат разослан «21» ноября 2000 г. ^3{@ Ученый секретарь

диссертационного совета, доцент В.В. Никитин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задач гидродинамики : помощью краевой задачи Римана на римановой поверхности.

Актуальность темы. Исследование течений жидкости 13 многосвяз-шх областях, в частности, кавитационного обтекания тел - одна из ак-уальнейших проблем гидродинамики. Эти исследования находят ши-)окое применение в судостроении, гидротурбостроении, при решении )азличных задач из области газовой динамики и в изучении важнейших юпросов аэродинамики. Различные задачи гидродинамики л методы их юшения достаточно полно отражены в монографиях С.М. Белоцерков-жого, М.И. Ништа. Г. Биркгофа, Э. Сарантонелло, A.B. Галанина, А.Г. Герентьева, Л.В. Гогиша, Г.Ю. Степанова, М.И. Гуревича, И.И. Ефремова, А.Н. Иванова, Л.Г. Лойцянского, Л.И. Седова, М.П. Тулина, В.Д. Маклакова и др., а также в большом количестве статей. Методы решены задач в случае одно- и двухсвязных областей хорошо известны и зсновываются на конформном отображении физической области тече-шя на полуплоскость, первый квадрант, прямоугольник и другие об-тасти вспомогательной плоскости. В случае трех- и более связных об-тастей конформного отображения на классические параметрические эбласти не существует. Поэтому представляет научный интерес и является актуальной проблема разработки аналитических методов решения задач гидродинамики в трех- и более связных областях.

Цель диссертационной работы: разработка аналитического метода зешения задач гидродинамики (линеаризированных и нелинейных), :вязанных с течениями в трех- и более связных областях с твердыми и :вободными границами, основанного на использовании теории функций на римановых поверхностях.

Научная новизна: 1) разработка метода решения нелинейных задач гидродинамики в трехсвязных областях, основанного на применении римановых поверхностей, и решение конкретных задач: задачи кавитационного обтекания двух пластинок по схеме Тулина-Терентьева полуограниченным потоком жидкости с твердой или свободной поверхностью, задачи обтекания пластинки с точками замыкания каверн tia сторонах полосы заданной ширины;

2) разработка аналитического метода решения линеаризированной задачи кавитационного обтекания п тонких профилей; сведение ее к краевой задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности;

3) решение линеаризированных задач обтекания двух пластинок в различных режимах кавитации.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая ценность работы заключается в разработке нового метода решения задач гидродинамики в случае, когда порядок связности области течения три и более. Практическую ценность представляют формулы и процедура решения задач.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VI Всероссийской научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары. 1996), на юбилейной итоговой научной конференции "Естественные науки: сегодня и завтра" (Чебоксары. 1997), на восьмой и девятой научной межвз'зовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 1999), на Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на международной конференции "'Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 1999), на научном семинаре "Взаимодействие сплошных сред" (руководитель семинара - профессор А.Г. Терентьев).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 98-01-00308).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из ^^наименований. Содержит^* рисунков. Общий объем работы -^¿¡страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы.

В первой главе с пременением римановых поверхностей дается аналитическое решение задач навигационного обтекания двух произвольно расположенных пластинок полуограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости с твердой или со свободной границей.

В §1.1 кратко приводятся необходимые сведения из теории краевой задачи Римана на римановых поверхностях алгебраических функций. В общем случае дается постановка задачи, приводятся схема и основные моменты процесса решения задачи, вид общего решения задачи.

В §1.2 дается постановка плоской задачи кавитационного обтекания вух пластинок потоком жидкости, ограниченным твердой поверхно-гью (рис.1). Пусть плоскопараллельный поток идеальной несжимаемой жидкости, ограниченный твердой прямолинейной горизонтальной оверхностью Е'Е", обтекает с образованием каверн по модели Тули-а-Терентьева две жесткие прямолинейные неподвижные пластинки и В2В2 , наклоненные к действительной оси под углами ах и а2 оответственно. Скорость жидкости на бесконечности равна и аправлена по горизонтали. Величина скорости жидкости на границе аверны за первой пластинкой равна V], а за второй пластинкой - \'2 . адача. В трехсвязной области течения жидкости найти комплексный отенциал м>(г) = <р + 1у/ - аналитическую функцию, которая на каждой з трех компонент границы области течения имеет постоянную мни-[ую часть и производная (1м>]с12 которой удовлетворяет краевым усло-иям:

ащ(^¡(1г)-а! - к н^lAJBJЖg(dw/dz) = aJ \\d.AjDj, = 0 на Е'Е". \dw/dz\ = v| ua.BjC.jDj. 7 = 1,2, точках А1, А2 обращается в нуль, а в точках , С2 имеет особенно-ти, определяемые представлениями:

а(г) = 1п[с^/сЬ) ~ К12 (и> - и'! 2); (2)

де К12 ~ действительные постоянные, а м>г 2 - значения функции в точках . С2 соответственно. В остальных точках области те-ения и ее границы производная d■w|dz ограничена и отлична от нуля.

В §1.3 поставленная задача сводится к краевой задаче Гильберта для лоскости с разрезами. Для этого трехсвязная область течения жидко-

сти конформно отображается на параметрическую плоскость д с тремя разрезами [-1//г,-1],[лг1Д'2],[1Л/14г] вдоль действительной оси так, чтобы компоненты первой пластины и ее каверны перешли в берега первого разреза, второй пластины и ее каверны - в берега третьего разреза, а прямолинейная граница Е'Е" - в берега разреза [к1,к2]. При этом точки А1,В1,С1,01 и А1.]>)2.С2_В2 перейдут с сохранением порядка их следования в точки щ,Ьх,с1М1 и а2>Ь2,с2М2, соответственно, а точки Е' и Е" перейдут в точку е (рис. 2).

bj е b2 с2 d2 ---Г ' . " I—-Г У' ,.'

О

-1 d, с, -1 k, к2 1 а2 1

к 1 12 к

Рис. 2

В параметрической плоскости комплексный потенциал, как функция от С, , на берегах каждого конкретного разреза имеет постоянную

мнимую часть, a \n(itw/dz) = a>(£) удовлетворяет в силу (1) краевым условиям:

Ima>(g)-aj, Imо(д) = а^-ж, ge(aj.bj

lmco(g) = 0. да k2]±, Recy(f) = lnvy, g e bjCjdj, j = 1,2. В точках ax,a2 функция co{g) может иметь логарифмические особенности, в точках С[,с2 в соответствии с представлением (2) может обращаться в бесконечность и о>(е) =1пую.

В §1.4 осуществляется переход на риманову поверхность функции_

№ = J(g2-1 ){к2д2 - lie -kj£-k2) (4)

и построение функции dw/dС, путем аналитического продолжения ее по симметрии на всю поверхность, в результате чего получается рациональная функция с заданными нулями и полюсами на римановой поверхности. Она имеет вид

d( Jib)

g(Q = I ^^ -г^--е*к12, g(0 = 7-•• е = h или е = к2,

(С ~е)

при выполнении условий ее существования

(с/ - Й2>г(°1) + (а1 - с7>^(«2) + (а2 - ) = 0, 7 - 1.2 . (6)

В §1.5 краевая задача Гильберта (3) методом симметрии сводится к эквивалентной краевой задаче Римана на римановой поверхности функции (4) с краевым условием на линиях соединения листов и дается решение полученной задачи. На основании полученного решения находится

1

до

х ехр<^

ж

(?)

(8)

I 2

^ £ С2 >

/

дос-о

■АО

-1 Л 1 1

т1

V ->/*

с/Г

1 )гт-о

I -Т./

1 '

\

¿¡а.Ъ,

"Л>

/со ;*(')('-?)

(9)

/г(с)=лу, +м2сш3с2 + (Ю)

" ? - с2

где £ = ^1с1<яг1 и Ь2с2с12, М ,у = 1,5 - действительные постоянные, а неизвестные точки ¡^ =-1Д + ;?71; 4*2 и Челые числа т1.т2 определяются из вещественного аналога проблемы Якоби обращения абелевых интегралов первого рода на римановой поверхности:

1!ск

1т

Й С 2

И

\_-yk 1/к )

АО

'г1 Ч* гЫ1 Щ )+М —

-\/к 1 )] \ч

Т 1 ■ гч -12X1— -. 1=0.1

41/(0'

(И)

В § 1.6 приводятся условия для нахождения действительных неизвестных параметров, которых в полученном решении 20. Для их определения имеем два действительных условия (6). два действительных условия (11). шесть действительных условий ограниченности функции с/и-'/с/г в точках

)+/?(£:,) = о, Ч'(Л.) , Л'</;) = (>./:, 1.2. (12)

одно действительное условие, выражающее заданщто величину скорости жидкости на бесконечности

¥(<?) +Д(<?) = О, (13)

пять действительных условий, выражающих заданные длины пластинок. заданные расстояния от пластинок до твердой поверхности, задан-

ное расстояние между пластинками по горизонтали и два комплексных условия однозначности отображающей функции г = . Тем самым, для нахождения двадцати действительных неизвестных параметров имеем такое же количество действительных уравнений. В эти уравнения 6 из 20 параметров входят линейно, поэтому количество уравнений в системе можно сократить до 14.

В §1.7 решается задача кавитационного обтекания двух пластинок под свободной поверхностью. Пусть плоскопараллельный поток идеальной несжимаемой жидкости, ограниченный свободной поверхностью Е'Е", обтекает с образованием каверн по модели Ту.гана-Терен-тьева две жесткие прямолинейные неподвижные пластинки и

В202. наклоненные к действительной оси под углами ах и а2 соответственно. Скорость жидкости на бесконечности и на свободной поверхности равна и направлена по горизонтали. В данном случае картина течения жидкости будет такой же, как на рис.1, с той лишь разницей, что твердая горизонтальная поверхность Е'Е" заменяется со свободной. Постановка этой задачи аналогична постановке задачи из §1.2, где в краевых условиях (1) выражение для свободной границы Е'Е" будет иметь вид: \dwfdzl . Для решения задачи область течения отображается на ту же параметрическую плоскость д с разрезами, при эшм свободная граница переходит в берега разреза \кькг]. Функция d\\|d£ обладает теми же особенностями, что были установлены в §1.4, поэтому после перехода на риманову поверхность алгебраической функции (4) она имеет вид (5) при соблюдении условий

явно через формулы, аналогичные (7)—(10). Решение данной задачи также содержит 20 неизвестных параметров, для нахождения которых имеем ту же систему уравнений из §1.6, где условия, выражающие расстояния до твердой стенки, надо заменить на условия, выражающие расстояния на бесконечности между разветвляющимися в критических точках линиями тока и свободной поверхностью.

В §1.8 в качестве иллюстрации предложенного метода дается решение задачи кавитационного обтекания по схеме Тулина-Терентье-ва пластинки с точками замыкания каверн на сторонах полосы заданной ширины. Картина течения изображена на рис.3.

Решение задачи строится путем конформного отображения области течения на параметрическую плоскость с разрезом по лучу [0, со), ко-

торам является одной из симметричных половинок двулистной римано-вой поверхности алгебраической функции /{д) = ^/¿Г. На этой поверхности функция (Ьм/с^С, ограничена и на берегах разреза имеет нулевую мнимую часть. Поэтому ее можно аналитически продолжить по симметрии на всю риманову поверхность, после чего такая функция будет ограниченной на римановой поверхности, а потому будет иметь вид: с1м'!с1С = N - V,,,. Функция с^^г находится путем сведения соответствующей краевой задачи Гильберта для плоскости с разрезом [О, оо) к краевой задаче Римана на римановой поверхности. Она имеет вид:

ШГ

1к V,

со 1

£ ■я

ж2№) 1 1пу0 1 г-д 2л V, }

Ж.

-л

а-Я

1-д

2л

1 +

00 а

К

41

1 +

£ я.

^(0 = .

и +1 \-Jit - 4а)

,-/2(0 =

[4 " + 4а)

Решение задачи содержит 4 неизвестных параметра, для нахождения которых имеются условия, выражающие длину пластинки, расстояние /г по вертикали от вершины В пластинки до нижней стороны полосы, расстояние по вертикали от вершины А пластинки до верхней стороны полосы, и условие экстремума скорости жидкости на сторонах полосы при х —> -ко. Для сравнения приводится решение этой же задачи, полученное путем конформного отображения области течения на прямоугольник с использованием эллиптических тета-функций Якоби. Формы каверны для некоторых значений параметров, полученные по

найденным формулам, приведены на рис. 3: а) а = 30°,<> = 0.1, И = 0.2,

число кавитации 0 = 0.5; б) а = 90°,5 = 1, И = 0, О = 0.5 .

Во второй главе рассматривается линеаризированная задача кавитационного обтекания системы тонких профилей.

В §2.1 изложена общая постановка задачи. Пусть плоский установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости в физической плос-

M _thl2

3.3

~ ; t X: E1

П

1.5

-0.5

-1.5

a)

10

6) Рис. 3.

кости течения обтекает п расположенных "вдоль" действительной оси тонких твердых профилей, заданных уравнениями у — hk (х). к~\.2.....п. причем некоторые из них или все могут обтекаться в ре

:ак развитой кавитации, так и частичной кавитации, а остальные-

AVCiiV

безотрывно (рис. 4). Функции Ик(х) и числа кавитации удовлетворяют условиям линеаризации. Граница области течения жидкости мало отличается от системы разрезов вдоль действительной оси. Данная задача л>1ахемахцнес1Ш_^зквивалш1ш^слмуг^ Гильбер та для плоскости с разрезами.

L,

L;

L,

.'.Э ГГ

г, г,

и

Г1 Г, Г2 Гз Г 2 Г4 ^

Рис. 4

Задача. В комплексной плоскости с разрезами вдоль отрезков [?2к-1 >г2А-1- к -1- 2, ...,п действительной оси найти аналитическую функцию са(г) = и~1У - возмущенную комплексно-сопряженную скорость, удовлетворяющую краевым условиям:

Гб r2n_i г2п

Ф) = V. • К (х), г е ькг к = ], 2,..., п, и(х) = А, х е Ь'к, к = 1.2,..... пг,(14)

условиям замкнутости каверн:

1ш §й)(г)с]г = 0, лк=[г2к_^г2к]+и[г2к,г7к_1]~, к = \,2,...,п1г (15)

як

исчезающую на бесконечности, допускающую в точках гк и точках смены типа граничных условий степенные особенности вида А{г -с)'1!2. если точка г-с совпадает с передней кромкой твердого профиля, обтекаемого безотрывно, или с точкой "замыкания" каверны как на профиле, так и в жидкости; особенность вида А(г . если

2 = с совпадает с передней кромкой твердого профиля, обтекаемого с отрывом жидкости, и ограниченную вблизи остальных точек гк и точек смены типа граничных условий.

В §2.2 эта задача сводится к краевой задаче Римана на гиперэллиптической римановшЧ поверхности алгебраической функции

/(*) = )(2 - Г2)...(г - /•;„_! )(г -г2„), (16)

решение которой имеет в общем случае вид (§2.3):

с*(2) = + Я, (г) +г/{2)Я2 [г)}, (17)

1 г

где %(г) - каноническая функция задачи, Я.\_2{г) ~ рациональные

функции с действительными коэффициентами, выбранные так, что функция со(г) имеет заданные особенности на линиях Ь, Ь' и &>(эо) = 0 .

В §2.4 рассматривается задача обтекания п пластинок, одна из которых обтекается с кавитацией, а остальные - безотрывно. Решение этой задачи по схеме, предложенной в §2.1—§2.3, имеет вид:

со(2) = ^Кх(г)[Ч>(2) + Р(2)]тР(2)=А0 1 -А1г + ... + А„_12п-\ (18) ¿2(01 ЛОМ-* Х{г) = - )(2 - Х])| ^ е^™, (20)

п-1

m = i j=i

1 Vf dt 7

— m,--

2 4,('-*)/+<0 J

dt

,{t-z)f+(t)

О + - J

л J

dî

it-z)f\t)

где неизвестные точки хк е[ак,Ьк]+ и целые числа тк> к = 1,2, находятся из проблемы Якоби

й-1

п-1 £

(

Xj tkdt

i-

Kajf4 О

m,

\\bi tkdt 2д

,p(t)

1

=-f /I J

tkdt

4- f+{t)'

* = 0,1,...,л-2. (21)

Если по условию задачи задана точка "замыкания" каверны сп, а число кавитации 0„ неизвестно, то из условия (21) определяются неизвестные точки хк и целые числа тк,к = \,2,...,п-\. Условие замкнутости каверны и условия

4>(сп ) + Р(с„) = О, П4 ) + Р(4 ) = 0, * = 1, 2,..., н - 1. (22) составляют систему п +1 действительных линейных алгебраических уравнений относительно п 4-1 действительных неизвестных А0..... Ап_х,Оп .

Если же по условию задано число кавитации 0„, а точка "замыкания" каверны с„ неизвестна, то неизвестными будут также точки хк и числа тк. к~\2....,п-\. Тогда для неизвестных

An.

.А

п-1-

т

1' •

., тп_х имеем систему действительных

трансцендентных уравнений (21)—(22), к которым добавляется условие замкнутости каверны.

В-§2.5 предлШено^еп^ие^адач1глшвитационного^бтекания^^ пластинок, две из которых обтекаются с кавитацией, а остальные - безотрывно. Решение этой задачи существенно не отличается от решения, полученного в §2.4. поэтому строится по формулам, аналогичным (18)-(21). Для нахождения неизвестных действительных параметров задачи получена адекватная система уравнений.

В §2.6 рассматривается более конкретно обтекание трех пластинок, из которых первая и последняя обтекаются безотрывно, а средняя - в режиме развитой кавитации. Считаются известными углы наклона пластинок и проекции пластинок и каверны. Решение задачи построено по формулам (18)-(21) и содержит 4 неизвестные величины, для которых условия (22) вместе с условием замкнутости каверны образз'ют систему четырех действительных линейных уравнений.

и

гг Гз

и,

г4

Рис. 5.

В третьей главе подробно исследуется линеаризированная задача кавитационного обтекания двух пластинок в различных режимах. В этом случае решение задачи выражается через эллиптические интегралы. причем возникающая в общем случае проблема Якоби обращения абелевых интегралов решается явно.

В §3.1 плоский установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости в физической плоскости течения обтекает две пластинки в режиме развитой кавитации с образованием непересекающихся между собой каверн (рис. 5). Уравнения пластинок и числа кавитации удовлетворяют условиям линеаризации. Данному течению соответствует следующая краевая задача Гильберта: в комплексной плоскости с разрезами вдоль отрезков [а\;с}].[а2,с2] действительной оси найти аналитическую функцию - возмз'щенную комплексно-сопряженную скорость, удовлетворяющую краевым условиям

= и(х) = уа0 /2. хеХЛ. / = (23)

1т |<у(2)с/г = 0.

(24)

условиям замкнутости каверн:

1т %<а{г)(к = 0,

[01,С1 )±

исчезающую на бесконечности.

После перехода на риманову поверхности алгебраической функции /(г) = - а{)(г - с,)(г - а2)(г - с2) (25)

решение задачи в §3.2 строится с помощью канонической функции 1

-а5 г-Ь2 Ь< г-а^

хехг

-сг)^2 ~а\)

г-С]

Х2~с2

~а1

а.

я] - с] 2 - с2

.Л

+

с2 у

+ 4/»(а1 -с2)хП

л a j - cj

2 с2 - cj z -

; ^ c2-clz-al )

+ 4(z - ax)F{a,i) + 4»1(2 - a{)F(~,X) + (at - z)F(ttbA)

Z - fl] z - c2 z - a2 z - q

x Ua2 - cl)ïl

4r(z-a2)F(a2A)

c2-cj z-a2

где из проблемы обращения Якоби следует, что _ flj (с2 - С; ) + с2 (q - а, ).ш2 (Я - тК.Х)

m =

Я £

(27)

^ о

(с2 - Cj) + (Cj - (Я - тК,А)

К = F(?r/2 H = 1/4 [F^ s 2) - F(a2,1)],

F(cr. 2)-эллиптический интеграл первого рода по Лежандру с модулем

О < 2 < 1. Это решение имеет вид:

+ й>(оо)=0, (28)

= ^ + A2z + if[z){Ab + A^z){z - Cl )-1 (z - c2, (29)

/(2) л

a-

s-

1 +

№

2*4;T(0l /+(0j'~* /40

ci

1 +

4-

1 +

ДЮ /40.

Ш-

a2 '

JÎL+a]_

dt

I

/40

¿^AjJ.

/ -

4я:4;Г(0

/оо

/40)

ш.

(30)

/40

dt

Для нахождения неизвестных параметров задачи к условиям замкнутости каверн надо добавить условие (27) и условия ограниченности

функции в точках ,х+ \

Щау) + Л} + Л2а] = 0, + (31)

Т(х1+) + Л(х1+) = 0, хР'(х1+) + Л'(х1+) = 0. (32)

Количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.

В §3.3 рассматривается задача обтекания двух пластинок в режиме развитой кавитации, когда у обих пластинок каверны образуются снизу. Решение находится по тем же формулам, которые были представлены в §3.1—§3.2. Незначительные отличия составляют лишь пределы интегрирования в некоторых функциях и рациональная функция

(33)

В данной задаче неизвестные величины определяются из условий амкнутости каверн, условий (27) и (32).

В §3.4 исследуется задача обтекания тары пластинок с частичной савитацией. Схема решения задачи повторяет схему, изложенную в уЗ.1—§3.2. В этом случае существенно отличаются лишь

_ ахф2 - Ь^) + Ь2(ЬХ - а^яп1 (Н-тК,Х) Г Н

х,----• м — ——

Ъг -¿1 + (д1 -а^пг(Н -тК,Л) 1К_

= А[+ А2г -ь /А3/(г)(г - а2)~].

Система равнений для нахождения неизвестных состоит из условия '33), первого уравнения (31), условий (32) и замкнутости каверн за пластинками.

В §3.5 повторяются все рассуждения для задачи кавитационного обтекания двух пластинок в смешанном режиме, когда первая пластинка обтекается с частичной кавитацией, а вторая - с развитой кавитацией.

Для этой схемы

~ Н

аг(с2 -Ьх) + сг(b{ -ах)sn (H -тК,X) ^ _

К

(34)

I 9

с2 -Ъх +(bj -ax)sn {H -тК.Х)

R(z) = A}+A2z + iA3f(z){z - с2 Г1, a неизвестные параметры задачи определятся из условия (34), первого уравнения (31), условий (32) и замкнутости каверн.

На защиту выносятся:

1. Метод решения задач кавитационного обтекания препятствий в нелинейной постановке, основанный на использовании теории краевых задач на римановых поверхностях.

2. Аналитическое решение задачи кавитационного обтекания двух пластинок плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, ограниченным твердой прямолинейной поверхностью или со свободной поверхностью. Аналитическое решение задачи обтекания твердой пластинки с точками замыкания каверн на сторонах полосы заданной ширины сведением ее к краевой задаче Римана на римановой поверхности.

3. Метод решения с применением римановых поверхностей линеаризированной задачи кавитационного обтекания системы тонких профилей в общем случае. Схема решения задачи, исследование частных случаев задачи.

4. Исследование кавитационного обтекания пары пластинок в рамках линейной теории методом римановых поверхностей в различных режимах кавитации.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих работах.

1. Сильвестров В.В., Ефимова КГ. Аналитическое решение линеаризованной задачи обтекания системы профилей методом римановых поверхностей И Гидродинамика больших скоростей: Труды VI Всероссийской научной школы. Чебоксары: Йзд-во ЧувГУ. 1996. С. 217-221.

2. Ефимова КГ. Линеаризированная задача кавитациошюго обтекания системы пластинок И Естественные науки: сегодня и завтра: Тезисы докладов юбилейной итоговой научной конференции. Чебоксары: Изд-во ЧувГУ, 1997. С. 35-36.

3. Сильвестров В.В., Ефимова КГ. Применение римановой поверхности в линеаризированной задаче обтекания с развитой кавитацией системы из двух профилей // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой научной межвузовской конференции. Часть 1. Самара: Изд-во СамГТУ, 1998. С. 53-56.

4. Сильвестров В.В., Ефимова КГ. Применение римановых поверхностей в задачах гидродинамики // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тезисы докладов международной конференции. Минск: Изд-во БГУ, 1999. С. 205-206.

5. Ефимова Е.Г. Кавитационное обтекание тонкой пластинки вдоль полосы заданной ширины П Краевые задачи и их приложения: Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во КГУ; 1999. С. 114-117.

6. Ефимова Е.Г. Обтекание двух пластин, одна из которых частично находится в каверне другой 7/ Математическое моделирование и краевые задачи: Труды девятой межвузовской конференции. Часть 1. Самара: Изд-во СамГТУ, 1999. С. 73-76.

Введение

Глава 1. Кавитационное обтекание пары пластинок полуограниченным потоком жидкости

§1.1. Краевая задача Римана на римановой поверхности.

§ 1.2. Кавитационное обтекание двух пластинок потоком жидкости, ограниченным твердой поверхностью.

§1.3. Сведение к краевой задаче Гильберта для плоскости с разрезами.

§ 1.4. Переход на риманову поверхность и построение производной комплексного потенциала по параметру

§1.5. Построение комплексно-сопряженной скорости методом краевой задачи Римана на римановой поверхности.

§ 1.6. Условия для нахождения неизвестных параметров.

§1.7. Кавитационное обтекание двух пластинок под свободной поверхностью.

§1.8. Кавитационное обтекание пластинки с замыканием на полосу заданной ширины.

Глава 2. Решение линеаризированной задачи кавитационного обтекания системы тонких профилей методом римановых поверхностей

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Сведение к краевой задаче Римана на римановой поверхности

§2.3. Общее решение задачи

§2.4. Задача обтекания п пластинок: одна - с кавитацией, остальные - безотрывно

§2.5. Задача обтекания п пластинок: две - с кавитацией, остальные - безотрывно.

§2.6. Пример решения задачи.

Глава 3. Линеаризированная задача кавитационного обтекания системы двух пластин

§3.1. Кавитационное обтекание пары пластин в режиме развитой кавитации.

§3.2. Решение задачи

§3.3. Кавитационное обтекание пары пластин в режиме развитой кавитации (дополнение).

§3.4. Обтекание пары пластин с частичной кавитацией.

§3.5. Обтекание двух пластин в смешанном режиме.

Исследование кавитационного обтекания тел - одна из актуальнейших проблем гидродинамики. Эти исследования находят широкое применение в судостроении, гидротурбостроении, при решении различных задач из области газовой динамики и в изучении важнейших вопросов аэродинамики.

Предметом изучения в гидродинамике является взаимодействие жидкости и твердых тел при их относительном движении. Во многих задачах для достижения хорошей согласованности теории и эксперимента в описании тех или иных характеристик процесса целесообразно предполагать, что жидкость - идеальная несжимаемая, а течение - безвихревое потенциальное.

В данной работе ограничимся рассмотрением лишь плоских течений.

Как известно, движение идеальной жидкости описывается уравнением Эйлера [83] где V - вектор скорости, р - давление, р - плотность жидкости, Г - вектор массовых сил. Если жидкость несжимаема, то дополнительно выполняется условие несжимаемости

При всюду одинаковой плотности р - const уравнения (1) и (2) определяют математическую модель однородной несжимаемой жидкости. Если, к тому же, в потоке отсутствует завихренность, то условие rot V - 0 является необходимым и достаточным для существования потенциала скорости (р:

Формулы (1), (2), (3) приводят к интегралу Коши-Лагранжа [14, 15, 83,

1) divV = 0.

2)

V - grad (р.

3) д<Р ,v2 р « ( Л л

4)

3/ 2 р где c(Y) - произвольная функция времени, или в случае стационарного движения - к интегралу Бернулли v2 р

--1---3 = с, с — const. (5)

2 р

Формулы (4) и (5) позволяют определить давление в жидкости по заданной функции (р.

При рассмотрении плоских безвихревых течений условие несжимаемости (div V = 0) и условие отсутствия завихренности (rot V = 0) совпадают с условиями Коши-Римана для аналитической функции co(z) = u — iv: ди 8(—v) ди d(-v) дх ду ду дх Z

Интеграл w = Jco(z)dz + wq является также функцией аналитической. zo

Функцию w(z) = (р + iy/ называют комплексным потенциалом, а ее производную co{z) = u-iv - комплексно-сопряженной скоростью. Для нестационарного течения слагаемое wq является функцией времени t и ее необходимо задавать.

В случае стационарного течения ее можно считать произвольной константой, в частности, равной нулю.

При движении тела в жидкости с большими скоростями или при быстром течении жидкости вдоль поверхности тела в жидкости образуются области, заполненные парами и газами. Это явление называется кавитацией. В теории кавитации рассматриваются такие течения, для которых выполняются условия р- ро в каверне, р> Р0 в жидкости.

Воспользовавшись интегралом Бернулли, эти условия можно записать в виде у = уд на границе каверны, V<VQ в жидкости.

Заметим, что кавитационное обтекание препятствий носит нестационарный характер, к тому же границы каверны, как правило, размыты. Тем не менее, нестационарность течения не вносит существенного влияния на гидродинамические характеристики течения и на геометрические размеры. Поэтому для удобства вычислений можно считать, что течение установившееся и стационарное [4].

Основную роль в теории кавитации играет безразмерный параметр - число кавитации где /?оо и - давление и скорость жидкости в потоке на бесконечности, -давление в каверне, уд - скорость жидкости на границе каверны, р -плотность жидкости. В зависимости от величины числа кавитации течение может быть устойчивым и неустойчивым, каверны могут быть микроскопическими, а могут иметь соизмеримые с телом размеры. Каверна может заканчиваться на профиле, тогда имеем обтекание с частичной кавитацией. А может простираться далеко за телом, тогда имеем обтекание в режиме развитой кавитации. Более подробно о кавитации и ее основных особенностях можно узнать из монографий [4, 19, 20, 49, 53, 70, 79, 84, 100, 103, 104] и других.

Физические рассуждения позволяют отметить, что каверна должна быть выпуклой и не может быть замкнутой [84]. А также, что препятствие и каверну в плоскости течения можно охватить непрерывной замкнутой кривой Ь. Это позволяет записать еще одно основное условие в теории кавитационного обтекания препятствий [100]:

0 =

2роо -Ро) IХо руда

-1, б

Основной задачей в гидродинамике является определение гидродинамических сил, действующих на заданное тело. В предположении, что жидкость идеальная несжимаемая и невесомая, а течение безвихревое и стационарное, получим следующую задачу теории потенциала [4].

Для заданного препятствия найти потенциал скорости, удовлетворяющий

1) уравнению Лапласа Ад> = 0 вне препятствия и каверны;

2) условию ■ и = О на смоченной границе препятствия и на границе каверны;

3) условию |V<p| = vq = const на границе каверны;

4) условию |V$>| = v < vq вне границы каверны, й-внешняя к препятствию и каверне нормаль.

Потенциал скоростей, а также все необходимые характеристики будут найдены, если известен комплексный потенциал w{z) = ср + iy/, а в болыиенстве dw . dw случаев достаточно знать производную со = — или со = in—. Гогда задачу оо dz dz определении стационарного потенциального течения можно свести к смешанной краевой задаче для функции со = In— в плоскости комплексного потенdz циала со следующими граничными условиями [26]:

Re ¿у = InvQ на границе каверны, Iшсо = -/3{(р) на твердой поверхности, где ув{(р) - угол наклона вектора скорости на твердой поверхности. Решение этой краевой задачи ищется в классе функций со степенной особенностью порядка 1/2 в точке схода потока с каверны (модель Тулина - Терентьева [100]). В случае плоского течения решение задачи удобно находить, используя аппарат теории функций комплексного переменного [15, 68, 84].

Значительное число задач кавитационного обтекания препятствий решается в рамках линейной теории. Эта теория зародилась значительно позже нелинейной. Основы линейной теории заложены в работах М.П. Тулина [134-136],

А.Г. Терентьева [99], А.Н. Иванова [50], А.Н. Панченкова [78], В.М. Ивченко [24], И.И. Ефремова [37] и других. В основе линейной теории лежат следующие предположения: 1) малая толщина профиля и несущих поверхностей, слабая искривленность, малые углы атаки; 2) каверна является замкнутой областью малой толщины;#3) малое число кавитаций. При этом комплексно-сопряженная скорость со(г) в передней кромке твердого профиля при безотрывном обтекании и в точке "замыкания" каверны при кавитационном обтекании имеет степенную особенность порядка передней кромке твердого профиля при отрывном обтекании - особенность порядка ^ [99].

Разными авторами для решения задач гидродинамики о кавитационном обтекании припятствий применяются различные схемы. В основе всех таких схем лежат предположения о том, какой вид имеет течение в конце каверны. В симметричных задачах выбор схемы существенной роли не играет, поскольку все они могут быть легко описаны математически и приводят к правдоподобным решениям, в то время, как при обтекании несимметричных тел выбор той или иной схемы приводит к появлению в решении задачи "лишнего" параметра, из-за которого число неизвестных в задаче преобладает над числом уравнений, полученных из физических условий. Проблема "лишнего" параметра решается за счет введения какого-либо искусственного условия [26].

Рассмотрим кратко некоторые схемы кавитационных течений.

Пожалуй, первой схемой кавитационного обтекания препятствий можно считать схему Кирхгофа [52], в которой поток жидкости, обтекая препятствие, уходит на бесконечность, образуя за телом кавитационную область бесконечного размера. Так как на струях уо = у^, то число кавитации <2 = 0. Значит, схему Кирхгофа можно считать схемой кавитационного обтекания с нулевым числом кавитации.

Очень удобно проводить аналитическое исследование и числовые расчеты задач, в которых обтекание происходит по схеме Рябушинского [26], в которой замыкание каверны происходит на фиктивную поверхность, симметричную смачиваемой поверхности твердого тела. Тогда вся схема течения является симметричной относительно поперечной плоскости. Эта схема наиболее удобна для описания в случае, когда рассматривается течение с центральной симметрией.

Если каверна будет замыкаться на две параллельные скорости набегающего потока пластинки, которые отстоят друг от друга на расстоянии, равном ширине каверны, то получится схема Жуковского - Рошко [39]. Для однозначности задачи в этой схеме предполагается, что вдоль параллельных прямых скорость монотонно убывает от vo на струях до v^ на бесконечности. Это указывает на неопределенность, содержащуюся в схеме. Также при таком обтекании не выполняется условие замкнутости каверны (6). Тем не менее эта схема позволяет решать задачи кавитационного обтекания тел в канале и вблизи твердой стенки [105] и учитывать весомость жидкости [11] с меньшими затратами времени на вычисления.

Если в схеме Жуковского - Рошко вместо параллельных прямых каверна будет замыкаться на две конгруэнтные линии тока, получим новую схему кавитационного обтекания препятствий - схему Ву [137].

При решении задач часто используется схема Эфроса. Это схема с возвратной струйкой, которая уходит внутрь каверны на второй лист римановой поверхности [127], что хорошо согласуется с реальным процессом течения. Однако постоянный расход жидкости через струйку противоречит действительности. Это происходит из-за произвола в выборе направления возвратной струйки, которое нельзя задать какими - либо физическими условиями.

A.B. Кузнецовым [58] была предложена еще одна схема кавитационного обтекания препятствий, в которой каверна замыкается на параллельные пластинки, уходящие на второй лист римановой поверхности, а жидкость возвращается в основной поток. Эта схема также содержит неопределенность, но ее преимуществами перед другими схемами являются отсутствие на границах каверны особенности порядка ^ и конечная длина этих границ.

В 1964 г. М.П. Тулин [136] предложил две кавитационные схемы. В первой схеме каверна заканчивается спиральными завитками, вдоль которых скорость струи сохраняет постоянное значение уд. Во второй схеме от образовавшихся в конце каверны двойных спиральных завитков на бесконечность уходят две свободные линии тока, на которых скорость равна В 1976 г. А.Г. Терентьевым [100] была доказана теорема, математически обосновывающая первую схему Тулина. Согласно этой теореме, класс решений краевой задачи расширяется до решения со степенной особенностью порядка ^ для логарифма скорости жидкости в точке "замыкания" каверны. Такую схему называют схемой Тулина - Терентьева. Решение задач по этой схеме содержит минимальное, по сравнению с другими схемами, количество вспомогательных параметров, что позволяет избежать малооправданных предположений о течении в конце каверны. По схеме Тулина - Терентьева решен широкий круг задач ([6, 32, 65, 66, 71, 104] и другие).

Еще одна схема была введена Г.Ю. Степановым. По этой схеме в конце каверны образовывается бесконечный след, форма которого находится из дополнительных условий экспериментального характера. Такая схема наиболее приближена к реальному течению, но сильно усложняет исследование.

В настоящей работе будут рассмотрены некоторые новые задачи кавитаци-онного обтекания препятствий в рамках модели Тулина - Терентьева.

Большое количество работ посвящено кавитационному обтеканию, в котором базовым профилем является плоская пластинка. В работах [26, 103, 104] решен ряд задач кавитационного обтекания плоской пластинки по различным кавитационным схемам в режиме как развитой, так и частичной кавитации. При решении задач по обеим схемам Тулина область течения в физической плоскости конформно отображается на первый квадрант вспомогательной плоскости, а по схеме Эфроса - на верхний полукруг единичного радиуса, после чего производная комплексного потенциала и комплексная скорость строятся с использованием метода особых точек, то есть функции восстанавливаются по известным особенностям в окрестности ряда точек. В задачах обтекания пластинки по схеме Рябушинского и Жуковского - Рошко физическая область отображается на прямоугольник, и решение задачи строится через эллиптические $-функции. Данный способ широко применяется также при решении задач, связанных с течениями в двухсвязных областях .

В монографиях [14, 26, 37] рассматривается кавитационное обтекание изолированной дужки с развитой и частичной кавитацией в рамках линейной теории. Решение строится двумя способами. Сначала после конформного отображения на верхнюю полуплоскость решение было получено по формуле Келдыша - Седова [84]. Затем те же задачи решаются методом интегральных уравнений. Этот метод позволяет решать задачи как в плоском, так и в пространственных случаях. Однако, получающиеся при этом системы сингулярных интегральных уравнений достаточно трудно разрешимы. Методом интегральных уравнений в работах [37, 51, 78] и других исследован вопрос о влиянии конечности размаха крыла при кавитационном обтекании.

В работе [103] наряду с кавитационным обтеканием пластинки по схеме Тулина - Терентьева в режимах развитой и частичной кавитации рассмотрена задача о кавитационном обтекании пластинки вблизи свободной поверхности, решение которой строится путем конфорного отображения физической области течения на прямоугольник и применения аппарата теории эллиптических функций. Этот же метод предложен для решения задач о кавитационном обтекании пластинки в канале по схеме Жуковского - Рошко [26], по схеме Кирхгофа [105, 108], при наличии стенки [105] и других.

В монографии М.И. Гуревича [26] рассматривается задача о кавитационном обтекании пластинки по второй схеме Тулина под свободной поверхностью. Решение задачи после перехода на параметрическую плоскость получено с помощью метода особых точек. Эта же задача примерно в одно и то же время была решена Б.Е. Лароком и Р.Л. Стритом [133], А.Г. Терентьевым и В.А. Лазаревым [109], а также М.А. Васиным [33]. В работе [109] предложен ряд других задач о кавитационном обтекании пластинки потоком жидкости со свободными границами. П.А. Прохоровичем [80] было исследовано обтекание криволинейного контура под свободной поверхностью. Более общий случай об обтекании пластинки с частичной кавитацией вблизи границы раздела двух идеальных несжимаемых жидкостей рассмотрен в работе [71].

В монографии [72] для решения задач кавитационного обтекания пластинок вблизи границы раздела сред, а также для обтекания крыловых профилей вблизи границы раздела сред, был разработан численно-аналитический метод, основанный на конфорном отображении области течения на внешность круга единичного радиуса с последующим нахождением комплексно-сопряженной скорости так, чтобы граничные условия непротекания поверхности профиля удовлетворялись по построению. В итоге такая задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений. С другими задачами об обтекании пластинки, а также тонкого профиля, можно познакомиться в работах [5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 28-30, 57, 59, 63, 65, 98, 126].

Большой интерес в гидродинамике представляют задачи об обтекании двух профилей, а также решеток профилей, которым посвящено большое количество работ.

Так, например, в работе Ю.В. Кузнецова [60] подробно исследовано безотрывное обтекание двух тонких профилей потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкости при произвольном их расположении относительно друг друга. Задача решается в линейной постановке, для чего физическая плоскость конформно отображается на фундаментальный прямоугольник параметрической области, и решение строится с помощью эллиптических ¡9-функций. Сравнительно полно исследовано обтекание идеальной жидкостью частных случаев системы двух профилей: обтекание системы двух профилей- тандем

84] и обтекание системы двух тонких дужек заданной формы, расположенных друг над другом, [82]. В работе [62] предложено решение задачи кавитационно-го обтекания системы двух профилей, расположенных параллельно друг другу. Задача решается для случая, когда оба профиля обтекаются с развитой кавитацией, когда оба профиля обтекаются с частичной кавитацией и когда попеременно один профиль обтекается с развитой, а другой - с частичной кавитацией. Все решения представлены через 9 - функции. Подобная задача рассмотрена А.Г. Терентьевым [97]: два параллельных друг другу профиля обтекаются в режиме как развитой кавитации, так и частичной. Общее решение задачи тоже получено методом конформного отображения физической плоскости на параметрическую область и выражается через эллиптические функции. Эта же задача рассматривается И.И. Ефремовым в работе [37], но в отличие от всех вышеуказанных задач решение строится с использованием интегральных уравнений. Теория эллиптических функций хорошо подходит и для решения линейной задачи кавитационного обтекания двухрядной решетки потоком идеальной несжимаемой и невесомой жидкости [102]. В этой статье рассмотрены все возможные случаи обтекания профилей в решетке: оба с развитой кавитацией; оба с частичной; один с развитой, другой с частичной. Не меньший интерес представляют и задачи о взаимодействии кавитирующего профиля с безотрывно обтекающимися надкрылком или подкрылком. Такая задача в линейной постановке встречается в работе Ю.В. Кузнецова [61], где кавити-рующий профиль обтекается с частичной и развитой кавитацией; по схеме Кирхгофа, когда развитая кавитация переходит в бесконечную каверну. Как частный случай рассмотрено обтекание двух пластинок, когда одна из них обтекается с развитой кавитацией. Решение всех предложенных задач получено через эллиптические ,9-функции.

Перечисленные выше работы составляют лишь малую часть всех работ, в которых изучается задача кавитационного обтекания системы двух профилей. С некоторыми из таких задач можно ознакомиться по работам [3, 38, 107, 131] и другим.

Не менее подробно изучено и кавитационное обтекание решеток пластин. Так в работе [37] И.И. Ефремовым решена задача об обтекании решетки профилей с развитой и частичной кавитацией в рамках линейной теории. Решение получено методом интегральных уравнений. В нелинейной постановке задача об обтекании решетки пластин в обоих режимах кавитации по схеме Тулина -Терентьева рассматривалась в [26, 103], где решение построено с применением теории функций комплексного переменного и метода особенностей. Решения задачи о кавитационном обтекании решеток пластин другими методами и в разных постановках имеются в работах [3, 6, 15, 27, 64] и других.

В гидродинамике большой интерес представляют также задачи о кавитационном обтекании полигональных препятствий (в первую очередь клина) и криволинейных препятствий (кругового цилиндра, шара, конуса и других). К решению таких задач кроме теории эллиптических функций, метода особых точек и интегральных уравнений, упомянутых выше, применялись также метод конечных разностей [81], метод граничных элементов [56], метод вихревых особенностей [3, 81] и другие. Более подробно о таких задачах и методах их решения можно узнать из монографий [26, 32, 56, 66, 72, 80, 81, 85, 87, 99, 103, 104] и других.

Данная диссертационная работа посвящена решению задач гидродинамики с помощью теории краевой задачи Римана на римановой поверхности.

Краевая задача Римана впервые была сформулирована в 1857 г. Б. Рима-ном. В 1904 г. Д. Гильберт свел задачу Римана к интегральным уравнениям и дал тем самым первое доказательство существования ер решения. И. Племель впервые применил к краевой задаче Римана интеграл типа Коши. Это новшество оказалось настолько удачным, что и теперь исследование и решение краевых задач строится с помощью интеграла типа Коши. В 30-ые годы теория краевых задач получила новый толчок в развитии в связи с приложениями к механике, а точнее к плоским задачам механики, что стимулировало развитие теории краевых задач на плоскости. Однако среди таких задач часто встречались такие, разрешимость которых стала очевидной лишь после того, как эти задачи были сведены к краевой задачи Римана на римановой поверхности и изучения последней. Примером таких задач могут служить краевая задача Гильберта для многосвязной области и области, ограниченной дугами окружностей [42, 44, 124]; интегральные уравнения с автоморфными ядрами [18, 120, 123]; краевые задачи со сдвигом [41, 48, 115] и другие.

Впервые краевая задача Римана на римановых поверхнастях была изучена в работах A.B. Месис [73, 74]. Однако эти исследования были неполными. Дальнейшее развитие теории краевых задач на римановых поверхностях связано с абстрактными римановыми поверхностями и опирается на теорию функций и функционалов на них [76, 96, 111, 125, 128]. Простейшие примеры римановых поверхностей имеются в книгах [25, 68, 96] и других. Различные аналоги ядра Коши на римановых поверхностях были построены в работах Г. Бенке и К. Штейна, В. Коппельмана [132], С .Я. Гусмана и Ю.Л. Родина [31]. В работе [123] впервые была установлена связь между краевой задачей Римана и проблемой обращения Якоби. В работах [40, 42, 45, 47] Э.И. Зверович дал конструктивное построение аналогов ядра Коши и решения краевой задачи Римана на римановых поверхностях некоторых алгебраических функций.

Ряд исследований посвящен применению римановых поверхностей в механике сплошной среды, теории упругости, теории фильтрации и т.д. Например, решение задачи Гильберта для плоскости с коллинеарными разрезами или для плоских областей, ограниченных алгебраическими кривыми, основанное на использовании римановых поверхностей, имеется в работах Л.И. Чибриковой [117, 118, 114, 122], Э.И. Зверовича [42] и других; краевая задача теории фильтрации в кусочно-однородных средах с линиями разделов сред вдоль аналитических кривых решена в работе Н.В. Ламбина [69]; краевые задачи теории упругости этим методом решены Л.И. Чибриковой [121, 122], Э.И. Зверовичем

42, 46], Б.М. Нуллером [77], В.В. Сильвестровым [86, 88-92], Л.А. Корзан [54, 55]. Для решения других задач римановы поверхности используются в работах [2, 43, 112-114, 116] и других. Для удобства, краткие сведения из теории краевой задачи Римана на римановых поверхностях алгебраических функций приводятся в начале первой главы.

В гидродинамике многолистные римановы поверхности применяются для построения математических моделей течений, для интерпретации механизма течений, для решения формализованных задач. Примерами могут служить ка-витационное обтекание по схеме Эфроса с образованием в области замыкания каверны возвратной струйки, переходящей при достижении пластинки на второй лист римановой поверхности; кавитационное обтекание по обеим схемам Тулина с образованием в конце каверны двух бесконечнолистных уходящих на нижние листы римановой поверхности спиральных струек с той лишь разницей, что во второй схеме эти струйки возвращаются обратно на первый лист бесконечнолистной поверхности. Многолистность течения в этих моделях является следствием замены нестационарного течения в хвостовой части каверны на стационарное. Вероятно, одним из первых применений римановых поверхностей в гидродинамике является интерпретация В.В. Голубева [21] безотрывного течения жидкости вокруг коллинеарных отрезков как течения на двулистной римановой поверхности, при котором более полно раскрываются свойства многозначных функций, описывающих течение, и гидромеханическая картина течения.

При решении задач кавитационного обтекания препятствий в нелинейной постановке методом римановых поверхностей выделяются два основных этапа:

1) конформное отображение области течения жидкости в физической плоскости на параметрическую плоскость с разрезами вдоль одной прямой или вдоль одной окружности;

2) доопределение искомых функций по симметрии с плоскости с разрезами на соответствующую риманову поверхность и сведение исходной гидродинамической задачи к построению на римановой поверхности решений, краевой задачи Римана с заданными особенностями и рациональной функции с заданными нулями и полюсами.

Необходимым условием для осуществления первого этапа является существование конформного отображения области течения жидкости на внешность разрезов, расположенных на одной прямой или на одной окружности. В случае одно-, двух- или трехсвязной области такое отображение всегда существует [ 1, 22, 67], чего нельзя, вообще говоря, утверждать в случае областей порядка связности больше трех. Для осуществления второго этапа решения задачи необходимый математический аппарат разработан достаточно хорошо [40, 42, 43, 96, 116, 122, 125]. Опираясь на указанные факты, С.А. Чаплыгин [110] получил в замкнутой форме в квадратурах параметрическое решение задачи о безотрывном обтекании пары произвольно расположенных пластинок и системы трех параллельных пластинок, выбрав в качестве области изменения параметра плоскость с разрезами вдоль дуг единичной окружности.

Настоящая диссертационная работа посвящена применению краевой задачи Римана на римановых поверхностях для решения задач гидродинамики.

Целью диссертационной работы является:

1) разработка метода решения нелинейных задач гидродинамики в трехсвяз-ных областях, основанного на применении римановых поверхностей, и решение конкретных задач: задачи кавитационного обтекания двух пластинок по схеме Тулина-Терентьева полуограниченным потоком жидкости с твердой или свободной поверхностью, задачи обтекания пластинки с точками замыкания каверн на сторонах полосы заданной ширины;

2) разработка аналитического метода решения линеаризированной задачи кавитационного обтекания п тонких профилей; сведение ее к краевой задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности;

3) решение линеаризированных задач обтекания двух пластинок в различных режимах кавитации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976. 156 с.

2. Антипов Ю.А., Моисеев Н.Г. Точное решение плоской задачи для составной плоскости с разрезом, пересекающим линию раздела сред// Прикладная математика и механика. Вып. 4. 1991. Т. 55. С.662-671.

3. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 352 с.

4. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.

5. Васильев В.Н. Безотрывное обтекание пластины в канале однородным вихревым потоком // Известия РАН. МЖГ. 1994. №6. С. 84-91.

6. Васильев В.Н. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд. Чуваш, ун-та, 1977. С. 3-14.

7. Васильев В.Н., Гусев В.А. Построение тонких профилей в канале с непроницаемыми стенками // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары, 1996. С. 48-54.

8. Васильев В.Н., Ильин О.В. Построение тонких профилей с известными геометрическими характеристиками в канале с проницаемым участком на нижней стенке // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары, 1996. С. 55-65.

9. Васильев В.Н., Галанин А.В., Васильева Л.А. К линейной теории обтекания тонких профилей в канале с полигональными стенками // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей ". Чебоксары, 1996. С. 23-32.

10. Васильев В.Н., Гусев В.А., Ильин О.В. Обтекание пластины в канале с проницаемым участком на стенках. Деп. в ВИНИТИ. № 1220-В94. 1994. 14 с.

11. Вишневский В.А., Котляр М.М., Терентьев А.Г. Влияние сил тяжести в задачах кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 3. Чебоксары. 1974.

12. Галанин A.B. Обтекание пластинки по схеме с параллельными стенками потоком жидкости со свободной поверхностью // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

13. Галанин A.B., Салихов Н.Ф. О задаче безотрывного обтекания пластинки струей жидкости, вытекающей из прямолинейного канала // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 5. Казань: Из-во казан, ун-та, 1968.

14. Галанин A.B., Терентьев А.Г. Граничные задачи линейной гидродинамики. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1984. 82 с.

15. Галанин A.B., Терентьев А.Г. Приложения теории функций комплексного переменного в задачах механики сплошной среды. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1980. 124 с.

16. Галанин A.B., Кузнецов Ю.В., Родионов А.Т. Обтекание пластины потоком невесомой жидкости конечной глубины // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1987. С. 33-43.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

18. Гахов Ф.Д., Чибрикова Л.И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, решаемых в замкнутой форме // Математический сборник. 35(77):3. 1954.

19. Гилберг Д., Серрин Д. Свободные поверхности и струи в теории кавитации // Механика: периодический сборник переводов. 1951. № 2. С. 53-63.

20. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения. М.: Наука, 1990. 384 с.

21. Голубев В.В. К теории течений на двулистной поверхности Римана // Труды по аэродинамике. М.-Л.: Гиттл, 1957. С. 688-718.

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.Н. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

24. Губрий В.И., Ивченко В.М. Линеаризованные задачи гидродинамики// Прикладная механика. Киев. 1969. Т.5. №11.

25. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 648 с.

26. Гуревич М-И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

27. Гусев В.А. Обтекание решетки пластин по схеме Эфроса // Вопросы прикладной автоматики и механики. Вып. 3. Чебоксары. 1974.

28. Гусев В.А., Ильин О.В. О построении тонких профилей с заданными гидродинамическими характеристиками в канале с проницаемым участком // Известия НАНИ ЧР. 1998. №5. с. 12-17.

29. Гусев В.А., Ильин О.В. Построение тонких профилей с заданными гидродинамическими качествами в прямолинейном канале с проницаемыми стенками // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чебоксары, 1996. С. 43-47.

30. Гусев В.А., Терентьев А.Г. Об обтекании пластины с развитой кавитацией // Вопросы гидродинамики и низкотемпературной плазмы. Чебоксары. Изд-во ЧГУ, 1970.

31. Гусман С .Я., Родин Ю.Л. Ядро интеграла типа Коши на замкнутых рима-новых поверхностях // Сибирский математический журнал. 3:4. 1962. С. 527-531.

32. Димитриева Н.А., Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание клина ограниченным потоком жидкости от источника (стока) // Гидродинамика ограниченных потоков. Чебоксары: Изд. Чуваш, ун-та, 1988. С. 30-39.

33. Егоров И.Т., Садовников Ю.М., Исаев И.И., Басин М.А. Искусственная кавитация. Л.: Судостроение, 1971.

34. Ефимова Е.Г. Кавитационное обтекание тонкой пластинки вдоль полосы заданной ширины // Всероссийская научная конференция "Краевые задачи и их приложения". Казань. 1999. С.

35. Ефимова Е.Г. Линеаризированная задача кавитационного обтекания системы пластинок // Тезисы докладов юбилейной итоговой научной конференции "Естественные науки: сегодня и завтра". Чебоксары. 1997. С. 35-36.

36. Ефимова Е.Г. Обтекание двух пластин, одна из которых частично находится в каверне другой // Труды девятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 1999. С. 7376.

37. Ефремов 1.1. Лшеар13ована теор1я кав1тацшного обтшания. Киев: Наукова думка, 1974. 156 с.

38. Ефремов И.И., Семененко В.Н. Суперкавитационное обтекание биплана // Гидромеханика. Вып. 27. Киев: Наукова думка, 1974.

39. Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений. ОНТИ. 1935. Т. 3. 303с.

40. Зверович Э.И. Аналоги ядра Коши и краевая задача Римана на одной гиперэллиптической поверхности // ДАН СССР. 1970. Т. 192. №3. С. 487490.

41. Зверович Э.И. Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной области // Математический сборник. 64(106):4. 1964. С. 618-627.

42. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельде-ровских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. Вып. 1. 1971. Т. 26. С. 113-179.

43. Зверович Э.И. О конструктивном решении краевой задачи Римана на гиперэллиптических римановых поверхностях // ДАН СССР. 1971. Т. 199. №4. С. 758-761.

44. Зверович Э.И. О сведении задачи Гильберта для многосвязной области к задаче Гильберта с рациональным коэффициентом // ДАН. 157:4. 1964.

45. Зверович Э.И. Построение в явном виде аналога ядра Коши на римано-вых поверхностях некоторых алгебраических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 6. С. 693-701.

46. Зверович Э.И. Смешанные задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбил.: Мецние-реба, 1973. Т. 1. С. 103-114.

47. Зверович Э.И. Ядро Беенке-Штейна и решение в замкнутой форме краевой задачи Римана на торе // ДАН СССР. 1969. Т. 188. № 1. С. 27-30.

48. Зверович Э.И., Литвинчук Г.С. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональные уравнения // УМН. 23:3(141). 1968. С. 67-121.

49. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980. 238 с.

50. Иванов А.Н. Кавитационное обтекание профилей крыльев // Известия АН СССР. ОТН. Мех. и машин. 1960. № 6.

51. Ивченко В.М. Нестационарные задачи гидродинамики суперкавитирую-щих тел // Гидродинамика несущих поверхностей. Киев: Наукова думка, 1966.

52. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. Пер. с нем. М.: Физматгиз, 1962. 402 с.

53. Кнепп Р., Дейли Дж., Хеммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. 689 с.

54. Корзан Л.А. Однородная смешанная задача теории упругости для полосы с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1996. №4. С. 44-49.

55. Корзан Jl.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1997. №1. С. 61-67.

56. Краснов В.К., Кузнецов Ю.В. Применение метода граничных Интегральных уравнений к расчету осесимметричных и плоских кавитационных течений в трубе // Актуальные задачи гидродинамики. Чебоксары: Изд. Чуваш. ун-та, 1989. С. 71-75.

57. Кузнецов A.B. Кавитационное обтекание пластины вблизи свободной поверхности невесомой жидкости // Известия ВУЗов. Математика. 1961. № 4.

58. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 1. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964.

59. Кузнецов A.B. Обтекание пластинки потоком невесомой жидкости со свободной границей // Прикладная механика и техническая физика. 1969. №6.

60. Кузнецов Ю.В. Безотрывное обтекание системы двух профилей // Струйные и кавитационные течения и современные вопросы теории управления. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1978. С. 42-54.

61. Кузнецов Ю.В. Взаимодействие надкрылка и подкрылка с кавитирующим профилем // Нестационарное движение тел в жидкости. Чебоксары: Изд-во Чуваш.'ун-та, 1979. С. 61-75.

62. Кузнецов Ю.В. Кавитационное обтекание системы двух профилей. Чебоксары, 1979. 35 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3140-79 Деп.

63. Кузнецов Ю.В. Обтекание пластины с частичной кавитацией под свободной поверхностью // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения.Чебоксары:Изд-во Чуваш, ун-та, 1988. С.73-81.

64. Кузнецов Ю.В. Обтекание решетки пластин с частичной кавитацией// Вопросы прикладной математики и механики. Чебоксары. Вып.5. 1977. С. 51-60.

65. Кузнецов Ю.В., Терентьев А.Г. Обтекание пластины под свободной поверхностью невесомой жидкости // Известия АН СССР. МЖГ. 1980. №1. С. 158-162.

66. Кузнецов Ю.В., Терентьев А.Г. Симметричное кавитационное обтекание клина ограниченным потоком жидкости // Струйные и кавитационные течения и современные вопросы теории управления. Чебоксары: Изд. Чуваш. ун-та, 1978. С. 54-67.

67. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИИЛ, 1953.

68. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

69. Ламбин Н.В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск: Изд-во Беларус. ун-та, 1960. 45 с.

70. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 840 с.

71. Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Обтекание пластины с частичной кавитацией вблизи границы раздела сред // Гидродинамика ограниченных потоков. Чебоксары: Изд-во чуваш, ун-та, 1988. С. 85-93.

72. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус К, 1997. 280 с.

73. Месис A.B. О краевой задаче Римана над полем алгебраических функций // Уч. зап. Казан, ун-та. 119:9. 1952. С. 3-16.

74. Месис A.B. О краевой задаче Римана над полем алгебраических функций для системы п пар функций // УМЖ. 8. 1956. С. 441-449.

75. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

76. Неванлинна Р. Униформизация. М.: ИЛ, 1955.

77. Нуллер Б.М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. Вып. 2. 1990. Т. 54. С.302-306.

78. Панченков А.Н. Краевая задача гидродинамики кавитирующего подводного крыла // Гидроаэродинамика несущих поверхностей. Киев: Наукова думка, 1966.

79. Перник А.Д. Проблемы кавитации. Л.: Судостроение, 1966.

80. Прохорович П.А. Кавитационное обтекание криволинейных препятствий под свободной поверхностью невесомой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

81. Рождественский В.В. Кавитация. Л.: Судостроение, 1977. 248 с.

82. Сахарный Н.Ф. Безотрывное обтекание системы двух дужек заданной формы // ПММ. 1949. Т. 13.

83. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1,2. М.: Наука, 1976.

84. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.448 с.

85. Сильвестров В.В. Безциркуляционное обтекание идеальной жидкостью нескольких круговых цилиндров // Динамика сплошной среды с границами раздела. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1982. С. 126-132.

86. Сильвестров В.В. Напряженно-деформированное состояние многолист-ных пластинчатых конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. №2. С. 124-135.

87. Сильвестров В.В. Нестационарное движение системы круговых цилиндров переменных радиусов в идеальной несжимаемой жидкости// Известия ВУЗов. Математика. 1987. № 1. С. 70-72.

88. Сильвестров В.В. Основная смешанная задача теории упругости на двулистной поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1989. С. 104-109.

89. Сильвестров В.В. Основные задачи теории упругости на многолистной римановой поверхности // Известия ВУЗов. Математика. 1990. № 2. С. 89-92.

90. Сильвестров В.В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1986. С. 111-119.

91. Сильвестров В.В. Система трещин на разделе упругих сред при наличии линий скольжения // Труды десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2000.

92. Сильвестров В.В. Упругая слабоизогнутая винтовая поверхность // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. №6. С. 69-76.

93. Сильвестров В.В., Ефимова Е.Г. Аналитическое решение линеаризованной задачи обтекания системы профилей методом римановых поверхностей // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чебоксары. 1996. С. 217-221.

94. Сильвестров В.В., Ефимова Е.Г. Применение римановых поверхностей в задачах гидродинамики. Минск. 1999.

95. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИИЛ, 1960. 343 с.

96. Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание криволинейной дуги с закрылком // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

97. Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание плоской пластинки // Известия ВУЗов. Математика. 1964. № 6.

98. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 1. Чебоксары. 1971.

99. Терентьев А.Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий // Известия АН СССР. МЖГ. 1976. № 1. С. 158-161.

100. Терентьев А.Г. К решению линейной задачи кавитационного обтекания криволинейной дуги // Известия АН СССР. МЖГ. 1972. № 1. С. 34-38.

101. Терентьев А.Г. К решению смешанной краевой задачи // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 1.С. 57-60.

102. Терентьев А.Г. Математические вопросы кавитации. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1981. 132 с.

103. Терентьев А.Г. Нелинейная теория кавитационного обтекания // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1977. С. 138-185.

104. Терентьев А.Г. Обтекание наклонной пластинки в канале по схеме с параллельными стенками // Известия ВУЗов. Математика. 1965. № 3.

105. Терентьев А. Г. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Известия АН СССР. МЖГ. 1967. № 2.

106. Терентьев А.Г. Струйное обтекание системы двух препятствий // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 1. Казань. 1964.

107. Терентьев А.Г., Кузнецов Ю.В. Струйное обтекание пластины в канале // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары. 1977. С. 186-194.

108. Терентьев А.Г., Лазарев В.А. Кавитационное обтекание пластины ограниченным потоком // Физико-технические проблемы. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1969. С. 89-101.

109. Чаплыгин С.А. К теории триплана // Избранные труды по математике и механике. М.: ГИТТЛ, 1954. С. 274-293.

110. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. М.: Гостехиздат, 1948.

111. Черепанов Г.П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой или вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. Т. 156. №2. С. 275277.

112. Черепанов Г.П. Течения идеальной жидкости со свободными поверхностями в двухсвязных и трехсвязных областях // Прикладная математика и механика. Вып. 4. 1963. Т. 27. С. 731-734.

113. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости // Прикладная математика и механика. Вып. 5. 1962. Т. 26. С. 907-912.

114. Чернецкий В.А. О конформной эквивалентности краевой задачи Карле-мана краевой задаче Римана на разомкнутом контуре // ДАН. 190:1. 1970. С. 54-56.

115. Чибрикова Л.И. Граничные; задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях // Итоги науки и техники. Серия математический анализ. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1980. Т. 18. С. 3-66.

116. Чибрикова Л.И. К решению краевой задачи Гильберта // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 2. Изд-во Казан, ун-та, 1964. С. 201-212.

117. Чибрикова Л.И. К решению краевых задач методом симметрии // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 3. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. С. 202-224.

118. Larock B.E., Street R.L. A nonlinear solution for a fully cavitating hydrofoil beneath a free surface // J. Ship. Res. 1967. V. 11. № 2.

119. Tulin M.P. Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies // David W. Taylor Mod. Basin. Rept. № 834. Navy Dept. Washington, 1953.

120. Tulin M.P. Supercavitating flows-small-perturbation theory // J. Ship. Res. 1964. V. 7. №3. P. 16-37.

121. Tulin M.P. Supercavitating flows-small-perturbation theory. Приложения теории функций в механике сплошной среды // Труды Международного симпозиума в Тбилиси 17-23 сентября 1963. Т. 2. М.: Наука, 1965. С. 403-439.

122. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory // Part 1. J. Fluid Mech. 1962. V. 13. № 2; Part 2. J. Fluid Mech. 1964. V. 18. № 1.