Краевые задачи теории аналитических функций в классах Е тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ" ГОСУДАРСТВЕННЫЙ~ УНИВЕРСИТЕТ------------------_

р Г Б СЙ

УДК 517.948.32:517:544

К28МЛ !Я!ЬннА ¿УЕлС^аГОЗНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ. ФУНКЦИИ В КЛАССАХ Е

(01.01.01. - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

I

Минск 1995

Работа выполнена на кафедре.теории функций Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор Физико-математических наук,

профессор У.И. Зверович

Официальные оппоненты:

. октор физико-математических наук, профессор Шешко М. А.

кандидат физико-математических наук доцент С М.

Ведущая организация:

Одесский государственный университе им. И.И. Мечникова

Зашита состоится " ^-У" ^Я-гу'тов года в 16/часов на зеедании специализированного советапо присуждению ученой степени ...... в Белорусском государственном

университете по адресу: 220080, г. Минск, проспект Ф. Скарыны,4 главный корпус, команата 206. ;

' С диссертацией можно ; ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета. О" с—7

Автореферат разослан " ¿М." ■ 1995 ГОда

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук,

доцент Корзюк В.И.

ОЩЛЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность тем».

'Л ::r:croa"\0"v псемени теория линейных краезих задач для Hiu'i« ¡и ясских функции ни алич-кйстп псстрреня «в том,лй zzz ельдеровских. но и для более ооимх (непрерывных и измеримых) озффициентов. Для краевых задач на римановых поверхностях акие обобикгния встречают принципиальную трудность, связанную с ем. что соответствующее фнкшональные пространства решения шзисят от метрики поверхности и не являются онформно-мнваризнтными. Преодоление этой трудности редотавляет собой актуальную научную проблему. В диссертации редложеь один из возможных способов преодоления такого рода рудностеи. Этот способ основан на том. что в качестве реисний ассматрисаимых задач допускаются Функции, названные автором функциями класса £".

Определение: Будем говорить. что функция CKр), усочно-мероморфная в области о. лежащей на римановол овсрхности, с кусочно-гладкой линиеи разрывов l. е о, имеющая очти всюду на i- левое и правое конечные угловые предельные начения. принадлежит классу Е в точке g « l, если выполняется словие: для любого е > о

lim X Е ф[ р<х>3 =0. х-*о рех »(Я,

дссь z) - параметрический гомеоморфизм окрестности точки

=рСО) .

Принадлежность функции Ф классу Е на множестве будем онимать как принадлежность ее классу Е в каждой точке' этого ножества.

Функции этого класса не зааисят от метрики, являются онформно-инвариантными (и потому пригодными для рассмотрения на имановых поверхностях). Решение краевых задач в классе Е дается находить для задач с кусочно-непрерывными оэффициентами (а не только с кусочно-гельдеровскими) на имановых поверхностях, то есть дает требуемое обобщение.

Таким образом, тема диссертации актуальна, поскольку

посвяшена актуальной проблеме уменьшения ограничений на коэффициенты линейных краевых задач на Романовых поверхностях:

Связь заботы £ 'крупными научными программами. Работа выполнена в рамках темы 1.1.8. Теория функций комплексного переменного. Краевые задачи комплексного анализа; 01910056831; 27 27; Белорусского государственного университета.

Пели работы. Ввести и изучить свойства

кусочно-аналитических функций класса Е. Исследовать и решить

краевые задачи Римана •• Карлемана. в которых в качестве решений допускаются функции класса Е.

Методика исследования. В работе применяются различные методы теории аналитических Функций: аналитическое продолжение, конформное склеивание, локально-конформное склеивание, интеграл типа Коши и др.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие результаты:

- определение и исследование мерсморфных Функций, принадлежащих классу Е .

- исследование интеграла типа Коши в классе Е .

- постдагше: йэшйшя» и> списание: кадааи, ¡вуаиюп. задачи Римана в классах Е на замкнутой римановой поверхности.

- описание картины разрешимости и аналические выражения для решений краевой задачи Карлемана для функций и дифференциалов в классе £ в плоскости для односвязной и мчогосвязной областей.

- построение основных зОиишюиаооа рииаасаой поверхнести. полученной в результате , локально-конформного склеивания многосвязной области вдоль компонент края, отображающихся функцией сдвига друг на друга.

- описание картины разрешимости и аналитические выражения для ^ решений краевой задачи Карлемана для Функций и дифференциалов

классе Е на римановых поверхностях.

Практическая ценность.

Рассматриваемые в работе краевые задачи и различные их обобщения представляют самостоятельный научный интерес и могут наити приложения, например, в теории упругости, гидродинамике, слеэтролинамике. таорим "яггпппрп обслуживания.

Арроба.уя оаоиты. Результаты диссертации дик^алыаги'йяь ¿¡й Минском городском семинаре имени академика 0.Д. Гахова по краевым задачам ( руководитель - профессор З.И. Зверович ) при БГУ, на городском семинаре по краевым задачам в г. Одессе (руководитель - профессор Г.С. Литвинчук), на семинаре по краевым задачам при Одесском государственном университете им. И.И.Мечникова, на научном семинаре по математическому анализу при Приднестровском университете.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-6).

Структура у, объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, выводов и списка литературы, иключаюшго 49 наименований. Общий объем работы 99 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава - ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШ У, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РШНА НА ЗАМКНУТОЙ РИМАНОВОй ПОВЕРХНОСТИ состоит из 4-х разделов. В первом из них даются определения, обозначения и предварительные введения, необходимые для дальнейших исследований. Во втором эаздёле дается определение класса Е и исследуются свойства этого класса. Результатом является

Теорема Класс Е инвариантен относительно конформного жлеивания области о.

В третьем разделе рассматривается интеграл типа Коши в слассе Е. Устанавливается

Теорема Если <рсо • - функция непрерывная, то штеграл типа Коши

-1- Г "Е^Й-ат J X - х 1

г

принадлежит.классу (

Изучается также поведение интеграла типа Коши на концах контура интегрирования в классе Е.

Доказывается, что функции класса Е образует- кольцо (теорема 3>.

В четвертом разделе рассматривается краевая задача Римана на замкнутой римановой поверхности л рода л. На л задан сложный кусочно-гладкий контур ь.

Пусть на ь задарю «¡ножество Д - <«-,. состоящее

из конечного числа попарно различных точек таких, что ь ч д распадается на конечное число связных компонент. Зададим два дивизора: порядка л. составленный из точек множества л ч ь, и х порядка л. составленный из точек множества Д .

Задача Римана для Функий.

Нс<..ти все Функции <КР). мерокорфные на л ч и,

кратные там дивизору л"1 , которые почт» всюду на ь имеют левое и правое угловые предельные значения. удовлетворяюще равенству

ф*(Ъ) =С(Оф"СО ■+ *•), х '1 % (ф), СеЬ. (1)

й окрестности точек множества д Функции Ф . должны быть псевдократными дивизору . Ео всех остальных точках кснту-Ва ь Функции Ф должны принадлетать классу Е.

Наряду с каревой задачей Риана для функций рассматривается краевая задача Римана для дифференциалов, союзная к краевой задаче С1). Кратко она записывается в виде

йЦ|"со = есоси/со, х ъ 11 с сир, ».«ь. (2)

Пусть < и ' -- числа" линейно-независимых решений задач (1) и (2> соответственно, а/ - индекс коэффициента е . Связь между числами ' и ' устанавливаются

Теоремой 6. Числа ' и ' связаны соотношением 0

с - г - £ + т. + п - л. * 1 - индекс, задачи (1)

В случае к + * * п > гк - г имеем

* ■ ¿£*т»л-Л»1, 1 = 0

В случае * ♦ «> ♦ « < о имеем

t ^ О, л - п-Л-1.

В "особом случае" о < ^ . « . n s ел - г имеет место точная оценка

. С О, j* • ™ ^ а - ù

Г 1 „ !,

где t...з означает целую часть.

Кроме того, в четвертом разделе приводятся аналитические выражения для [жшений задач il). (2), которые выражается через коэффициенты краевого условия и через основные Функционалы римановой поверхности * .

Глава вторая - ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ КАРЛЕМАНА В КЛАССЕ Е НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДА КОНФОРМНОГО СКЛЕИВАНИЯ состоит из-2--х разделов. В разделе 2.1' рассматривается краевая задача Карлемаш для односвязкой области. Задача Карлемана для Функций.

Найти все функции ФС ^ принадлежащие классу £ ^ удовлетворяющее почти всюду на кшеоЕ L краевому условию

Жа(«-)3 G(t3<î<t) + g(t.)> teL. ( 3>

Задача Карлемана для дифференциалов. Найти все диФФзренц и алы ¿фсгэ, принадлежащие классу Е ^ удоилотвостэдге пойти всюду на ¡гривой ь краевое условию

с1фССЭ = GCtJcKji|.aCt,;> J , teL. (4)

Исследование краевых задач (3-4) проводится в предположении, что коэффициент ее о и свободный член

gct-э - непрерывные функции, граница области о - простая, гладкая кривая и .

• I

Пусть £ и ' - числа линейно-независимых решений задач С 3) и (4) соответственно, а* - индекс коэффициента «о, - ЧИСЛО; IKH1Q£DM3UUX> ТОНИК ФйШШШ. СДОИПЗ! afcO... D-. IfOTORl-Ob

GCtD»-i. Картина разрешимости задач (3-4) устанавливается

Теоремой 6.

1). Индекс краевой задачи (3) равен

, к * m

t - t - i---~

2

2). Число линейно-независимш решений однородной задачи определяется формулой

ь

С « то* ^О, 1 - -

Кроме того, строятся обкие решения задач (3-*)

и устанавливаются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи (3).

В 2.2 рассматриваете краевая задача Карлемана для

п

л-связной области, край которой ь-и состоит из п компонент.

Функция сдвига отображает каждую компоненту края на себя. В теореме ? доказывается существование функции, осуществляющей конформное склеивании многосвязной области. Решая задачу методом конформного склеивания, получены следующие результаты. Теорема 8.

1). Индекс краевой задачи Карлемана для многосвязной области в классе £ равен

ал

2

У»

2). Число линейно-независимых решений однородной задачи

определяется по формуле *

i - i « тс

г>= 1 '

где обозначено jг - i^ut «9 «t>|L .

v

Построены обще решения задач (3^>. с 4) и установлены необхйдимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи (3).

В 2.3 изучается задачи Карлемана сз:>,с<р для многосвязной области, край которой состоит из О+гг) компонент. Функция сдвига ttft-э отображает l на ^ если v-i.a—п и l на . если .........

Задача Карлемана сводится к задаче Римана на замкнутой римановой поверхности © , в результате чего возникает проблема нахоздения основных функционалов поверхности е . Устанавливается , что ее основные функционалы могут быть построены методом интегральных уравнений. Например, всякую мероморфную

на функцию, кратную данному дивизору, можно представить в виде

= с * ♦ 4т Г^г ^ •

ь

г ж* щ^Т-' ыыь Уи ГГСГГС«/"! - НОГ? урапнония

+ X [ т-^Т + ф^ ас -

и

.П1{?с£>з -Пс£>. (5)

фС^Э + ффср] = О,

где - 1 • И ~ склеивающая функция, -

сумма главных частей функции рс^э.

Пространство всех решении интегрального уравнения союзного к уравнению (5), совпадает с пространством абелевых ковариэнт 1-го рода на рималовой поверхности © .

Вопрос построения произвольных абелевых дифференциалов, кратных данному дивизору, сводится к построению функций, мероморфных всюду на © и кратных данному дивизору.

В п.2.3.4. построены общие решения задач (з).(4)1 которые выражаются в явном виде через коэффициенты краевого условия и основные функционалы римановси поверности ® . Здесь же найден критерий разрешимости неоднородной задачи (з) и устанавливается

Теорема 10. Индекс-задачи (з) вычисляется по формуле

Г» . I/ П ▼ А Г а

<—, ц? + гпг V

где г - число пар компонент края, отображающихся функцией сдвига друг на друга.

п и 2г .

т- г- ¿и

*---* ¿^ -Г > о ■ то ' ■ о .

П+ Г ♦ 1

Если

В "особом случае

• У п* 2г :

- £ * » г— > £

* I

< - гг + г, то е "О-

У» П+Г«■*

- гг * г < ^Г —- + ^ £ о

V"»

имеет место точная оценка

Р=П«ГЧ

ГП _ I/ ПН

---, V + Л г—.

¿■и ) 2

" £ * <

ре П+Г

п и пт * г л

.—» Л -*■ «л .—, У

- I 4* »

+ 1.

Глава третья - ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОКАЛЬНО-КОНФОРМНОГО СКЛЕИВАНИЯ К ЗАДАЧЕ КАРЛЕМАНА В КЛАССЕ Е ДЛЯ МН0Г0СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ И РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ. Рассматривается задача Карлемана на римановой поверхности л рода л с краем 1- . состоящем из «♦»«■ компонент.

ф[сс(С2)] » 6<03фС0) +д(0), Ое-Ь. С63

Изменяющий ориентацию края гомеоморфизм осоэ отобрааает п компонент края на себя, а г компонент друг на друга.

Методом локально-конформного склеивания задача сводится к равносильной задаче Римана на римановой поверхности рода л + г и строится общее решение.

Устанавливается I

Теорема 11. Индекс задачи (6) вычисляется по Формуле

( - I ' 1

" А ^ V г—• £ +

-IV----

Г,«- »Г

г. \> г.» г. г

Т-Х» - Г"

ЕСЛИ > ---+ у > О . то { - о.

г> 1> п. г г

' - ) ^--+ ) + Г + Л - 1 .

I» П» «Г

Если

V-.IV г-

\ --+ \ —И < - гл - 2г +2, ТО < - О.

. . „У гг .

г-1-л-г-4 ---- 4

В "особом случае"

~гл - гг ♦ г < ---+ ^ ^ о

• I •

у = 1 у = г» ♦ г ♦ 1

имеет место точная оаенка

о. 1 -А - г - ---£ — 5

^ у = 1 ^

п п* 2г « ^

Для разрешимости неоднородной задачи Карлемана (в) необходимо и достаточно, чтобы равенства

/ дС СР с!фС СО « О L

выполнялись для любого решения ач>срэ сопряженной задачи для дифференциалов ;

йфссо = ссоэ<1ф[асс£)3. о&и

выводы

Дано исследование нового класса кусочно-мероморфных функций, который назван "классом £". Исследованы условия принадлежности классу Е интеграла типа Коши. Найдена картина разрешимости и построено обшее решение в классе К скалярной задачи Римана на замкнутой римановой поверхности. Аналогичные результаты в классе Е получены для задачи Карлемана в случае плоской области (с применением метода конформного склеивания). Построены . основные функционалы римановой поверхности, полученной 'из многосвязной области попарным склеиванием компонент края. С помощью метода локально-конформного склеивания найдена картина разрешимости и построено общее решение в классе Е задачи Карлемана на римановой поверхности с краем. /

СПИСОК РАБОТ. ОПУБЛИКОВАННЫЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦШ

1. Э.И. Зверович. Т.А. Шевила, Основные функционалы римановой поверхности, полученной склеиванием многосвязной области,

. Тезисы докладов международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. Минск, 1992.

2. Э.И. Зверович, Т.А. Шевила, Построение основных функционалов одного класса римановых поверхностей. // Вестник Приднестровского университета N 2 1994.

3. Т. А. Шевила, Краевая задача Карлемана в пространстве Е. Тезисы докладов VI-го симпозиума по обшей топологии, Кишинев. 1991.

4. Т. А. Шевила, Краевая задача Карлемана для многосвязной области в пространстве Е. Деп. в ВИНИТИ 27.04.92. М 1407-В92 15 с.

5. Т.А. Шевила, Краевая задача Карлемана для неограниченной

• многосвязной области. Тезисы докладов конференции математиков Беларуси, Гродно, 1992.

6. Т.А. Шевила, Краевая задача Карлемана в пространстве Е //Вести. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ. Мат. Мех.. 1993. М1.

11

Р Е 3 ¡0 М Е ШШ ТАТЬЯНА ЛаЖСАЩРОВЯА

кглепи:: зада1™ тшрщ анмиткческж функции в классе е

Ключевые слова: краевая задача, риманова позорхтхпь, конформное склеивание, локально-конформное склеивание, класс Е, .инвариантность, интеграл типа Коши, дивизор, кратность, псевдократность, почти ограниченность, индекс задачи, индекс коэффициента.

Работа посвяксна вопросу расширения классов допустимых функций для коэффициентов л искомых решений краевых задач теории аналитических функций на римановых поверхностях.

Построен класс Функций Е, не зависящий от метрики, инвариантный относительно конформного и локально-конформного склеивал ия (. пригодный для рассмотрения на риманових поверхностях). В зтем классе краевые задачи теории аналитических фикций реаактгея естественным образом. Именно, решение задачи Римана находится с помощью интеграла типа Коши, а к задаче Корлсмапа применяются методы конформного и локально-конформного склеивания.

Новыми в диссертации являются следующие результаты:

- определение и исследование мероморфных функций класса Е,

- исследование интеграла типа Коши в классе Е, .

- постдогнно. сешешл. и. опксашге-, кодпиш*. паоггэиммоЕТм. ктаикль задач Римана и Карлемана в классе Е в плоскости и на римановых поверхностях.

Эти задачи и различные их обобщения представляют самостоятельный научный интерес и могут найти приложения, например, в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, теории массового обслуживания.

хг

р 3 3 ю м э

шавхла татцуяна аляксандрауна краявые задачи тэорьд аналпычных функщи у класе е

Ключавые стопы: задача краявая. рыманова паверхня. канформнае склеивание. лакальна-канформнае склейванне, клас Е, ^нварыянтносць. ^нтэграл тыпа Каш. дыв*зор. кратнасць, псевдократнасць, амальабмежеванасць, *ндэкс задачы, ¿ндзкс казф^цыента.

Праца мае тзорзтычнае значзнне * прьювечана пытанню расширения класау далушчальных функцый для казф*цыентау 1 рашзнняу краявых задач тзоры! анал^тычных функций на рымановых паверхнях.

Пабудованы клас Е функцый, яки не залежаць -ад метрык* а *нварыянтны адносна лакальна-канформнага склейвання, пригодны • для разглядання на рымановых паверхнях. У гэтым класе краявыя задачы тзоры* анал* тычных функцый рашаюца натуральным чыном. 1менна. рашзнне задачы Рымана энаходзчща пры даламозе *нтзграла тыпа Каши, 'а да задачы Карлемана примяняюцца методы канформнага лакально-канформнага склейвання

Новым* у д^сертацы* з'являюцца наступны результаты:

- вызназнне * даследаванне мераморфных функцый класа Е,

- доследование ¿нтэграла тыпа Каши у класе Е,

- пабудаванне рашэння а аписанне кари1ни вырашальнасц* краявых задач Рымана * Карлемана у! класе Е на плоскосц! * на рымановых паверхнях.

Гзтыя задачы * розные абагульненн* прадставлящь самостийны навучны ¿нтарзс ^ могут знайсц* прымяненне. напрыклад, у тзоры*- пругкасц*, тзоры* масавага абслугоування.

I i'J

NUMMARY

SHEVILA TAT 1 ANA ALLICJANDROVNA

VALUE BOUNDARY PROBLEM OF THE THEORY OF ANALYTIC FUNCTIONS

IN THE CLASS E.

Key words: value boundary problem, Riman surface, conformai cluing, localv-conformai gluing, class E, invarianting,

Cauchv typo i nt <.exai, divisor, index of the problem, index of the

COtil t ICI unto.

in the dlssertfit. ion 1:5 considered the problem of the extension of the j unci ton:.-, from coefficients and decisions of «ilue problem analytic functions on the Riman surface.

It ;:-, built rhe class of functions E which is independent of metri" and invariant respect to locally-conformai gluing.

!»> this class val no problems of analitic functions is solved by usual methods.

Nawîv. solution of Riman boundary value problem is given with the h'Mp '.'auchv t vpe integral, Methods of conformai and locally-con!'"»rmal are apply to Carleman problem. The follow results in dissertation are new:

- definition and investigation of meromorphio functions in

the olass E;

- invest.igat ion of Oouchv type intégral the class E;

- const ruction in the closed form of the solution of the Riman and Carleman problene.

The results can be applicat to electrodinaiiuos, hydrodi namics.