Исследование некоторых краевых задач теории аналитических функций и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ГУСЕЙНОВА ХАТИРА МАИЛ ГЫЗЫ

УДК 517.544

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ-1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Бакинского Государственного Университета им. М.Э.Расулзаде Министерства Образования Азербайджанской Республики

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Р.К.Сейфуллаев

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Дж.И. Мамедханов

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник К. М. Мусаев

Ведущая организация - Азербайджанская Государственная Нефтянная Академия Защита состоится " /¿Г' Я-Г^.Я 1996 г. в // час. — мин.

на заседании специализированного совета О 004.01.01 по присуждению ученой степени при Институте Математики и Механики по адресу: 370602, Баку, ул.ФАгаева, 9, кв 553. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Математики и Механики.

1996 г.

чиюю ипиишу 1са ппшеинтш и тослапияп.

Автореферат разослан * $ * 6С/У?Л Я^

Л

Ученый секретарь X

Ч?;/ - - \-д,

Специализированного совета х ' к.|ф-5/1.н. /..

РАБайрамов

-г-

Общая характеристика работы

Аюуальность темы. Теория краевых задач для аналитических функций, имеющая длительную и богатую историю, и на сегодняшний день интенсивно развивается в различных направлениях. Начало теории было положено в трудах таких классиков как Б.Риман, Д.Гильберт, А.Пуанкаре и др. Результаты классической теории краевых задач изложены в систематическом в виде известных монографиях Ф.Д. Гахова и Н.И.Мусхелишвили. Этот раздел теории охватывает случай гладких, кусочно-гладких кривых и конечных систем кривых и гельдеровых коэффициентов. Центральное место в теории краевых задач для аналитических функций занимает теория краевой задачи Римана, которая служит моделью и к которой сводятся многие дру-гие краевые задачи.

Наряду с классической постановкой задачи Римана, как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения прикладных задач, представляет интерес рассмотрение случаев, когда коэффициенты задачи имеют особенности, случаев нарушения гладкости рассматриваемых контуров, а также рассмотрение бесконечных систем контуров.

Настоящая работа посвящена последнему направлению. Имеющиеся в этом направлении результаты относятся в основном к случаю, когда бесконечная система контуров имеет конечное число точек сгущения и изложены в монографии Л.И.Чибриковой. В последние годы появился ряд результатов относительно систем замкнутых контуров, сгущающихся к континууму (работы Л.Г.Салехова, М.Х.Бренермана и др.). В настоящей работе, по-видимому впервые, рассматривается случай бесконечной системы разом-

кнутых кривых, сгущающихся к континууму. Отметим также, что подобная конфигурация системы кривых встречается в прикладных задачах.

Цель работы заключается в построении теории краевой задачи Римана в случае системы гладких разомкнутых кривых, сгущающихся к континууму и применении полученных результатов к характеристическим сингулярным интегральным уравнениям.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций комплексного переменного, теории краевых задач для аналитических функций и теории сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна. В работе в случае бесконечной системы разомкнутых контуров, сгущающихся к отрезку, выявлены условия на систему контуров и коэффициенты задачи Римана, при которых удается построить теорию, вполне аналогичную классической. Описана картина разрешимости задачи о скачке, однородной задачи и неоднородной задачи в специально введенных классах кусочно-голоморфных функций; в частности, понятие кусочно-голоморфной функции приспособленно к случаю бесконечной системы разомкнутых кривых, сгущающихся к континууму. Разработана новая методика получения оценок поведения интегралов типа Коши на таких системах. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность проведенного автором исследо-вания состоит в рассмотрении существенно нового типа кофигурации беско-нечной системы разомкнутых кривых, выявлении условий на систему, при которых возможно' построение содержательной теории краевой задачи Римана, в описании картины разрешимости для краевой задачи Римана, в развитии новой методики исследования поведения интегралов типа Коши вблизи концов континуума сгущения.

Результаты диссертации могут быть применены при решении ряда прикладных задач механики, при решении которых используется теория кравевой задачи Римана на бесконечных системах кривых.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа БГУ им. Расул-заде М.Э. 1994 (руководитель член-корр. АН Азербайджана, проф. Бабаев А.А.), на семинаре проф. Р.К.Сейфуллаева (1995), на семинаре отдела математического анализа МММ АН Азербайджана, на конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 75-летию БГУ им. М.Э.Расул-заде (1994), на конференции молодых ученых и аспирантов БГУ (1995).

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 100 страницах, состоит из введения, пяти парагафов и библиографии, содержащей 64 наименования.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей, список которых приводится в конце автореферата

Содержание работы Во введении кратко излагается постановка задачи, история вопроса и содержание работы.

В первом параграфе приводятся постановка задачи, необходимые определения и факты.

О^1 -

Пусть ук = (1кЬк, к~ 1,оо - разомкнутая гладкая кривая с началом £7к

и концом Ь^, у0 = О^ =[¿¡¡,,^3 - отрезок вещественной оси. Положим

00

У — и/к и обозначим через 1к длину, а через (1к - диаметр ук. Будем

к=0 _

считать, что йк = + /<5"А, ^ = к = 1,ао, где последователь-

г \к=<ю т -\к-х> НОСТИ \£]t]"yt=l , \Mkik~\ положителЬНЫ, монотонно убывают к нулю с

ростом к.

Кроме того будем предпологать, что 1к —> ^ = Zj — Oq при к —> со. Обозначим через p(E,F) расстояние между множествами E,F С (И, т.е.

хеЕ yeF

Относительно системы кривых будем предполагать выполненным следующее условие:

существуют положительные постоянные Q,C2,.D1,.D'2 такие, что для каждого к &N имеем

Q0* - * Pin, 7к+1) * С2(ек - ек+1)

(1.1)

Положим ук = Ук\{.ак>Ьк\< Л: = 0,оо и у — О/к" Ниже приводится

к=О

понятие кусочно-голоморфной функции, приспособленное к рассматриваемому нами случаю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Определенную в (С\у функцию Ф(£) назовем кусочно-голоморфной функцией с линией скачков у, если выполнены следующие условия:

а) Ф(г) голоморфна в (Е \ у,

¿е!

б) Ф(со) = НтФ(г) = 0;

в) существуют положительные постоянные Ак,Вк,дк и постоянные

(Хк,0к < 1 такие, что для всех 2 £<Г \ у, \г — ак| < <5^ имеем и, соответственно, при 1 е(Г\ у, — < 5к имеем

г) существуют положительные постоянные у^, Вй, постоянные аюРк <1. такие, что при г €<£4/а \2 — = Лк = к имеем

|Ф(г)|<4я;

"а

а при Z = ^ = — имеем

д) для любой точки i е / существуют предельные значения

Ф+(0 - lim Ф(2), Ф~(7) = lim Ф(г)

z->t z~>t

слева справа

где "слева" и "справа" означает приближение с соответствующей стороны относительно ориентации кривой ук, содержащей точку t, к — 0,со.

Класс всех кусочно-голоморфных функций (кгф) с линией скачков /

обозначим через К(у).

В этом же параграфе приводится общая постановка задачи Римана для рассматриваемой системы контуров.

ЗАДАЧА РИМАНА (задача линейного сопряжения): Требуется найти кгф Ф(г) еК(у) по краевому условию, связывающему Ф+ и Ф~ вида

0+(t) = G(t)0~{t) + g(t), te у, (1.2)

где предполагается, что функция G(t) определена на у и непрерывна на каждой кривой ук системы, к = 0, со, причем G(t) нигде не обращается в нуль, а функция g(jt) определена на у и непрерывна на каждой кривой ук системы, к = 0,со.

В дальнейшем на систему кривых и коэффициенты задачи Римана G, g накладываются дополнительные ограничения.

В §2 рассмотрен простейший случай задачи Римана по краевому условию (1.2), а именно задача о скачке, для которой краевое условие имеет вид

0+(t) = <P~(t) + g(t), tey. (2.1)

Введем классы Гельдера

#„(/*) = W-n -> <£; ИО - М\ *

с обычной нормой

Для функции &у->(С положим gk = %\ук. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть существуют постоянные а< 1 и С> 0 такие, что

Мк ~ Мш * с ехр(-//^), к = 1, оо

(2.2)

функции gk еЯ' {ук), 0 <// < 1, к = О,СО , Причем

(2.3)

Тогда решение задачи о скачке существует, единственно и задается равномерно сходящимся на компактах Р С (С \ у рядом из интегралов

типа Коши вида

ыо2тГк г 2т г д-г

(2.4)

В §3 рассматривается однородная краевая задача Римана по условию

0. ^еу,

(3.1)

как в классе К(у), так и в некоторых специальных подклассах класса К(у), определяемых в данном параграфе. Положим

1д(7Ц)

2 т

. . 1пв(ЬЛ —

в> +,п> =ш- ^

(3.2)

/' - тт{у е ЛГ: V к > ] к"| < 1}

(3.3)

Подберем целые числа и ТП" исходя из условий

-1 <9} + <0,7=0,/

-1 <9} -4- т"<> 0, 7 = 0,/'

(3.4)

и определим следующий подкласс класса К (у):

е К(у): ф(г) Офаничена вблизи тех концов а},} > / и Ц, 7 > 7" для которых 0 < < 1, 0 < < 1, соответственно } (3.5)

Положим также

W4 (1 , In (?(£),„ F(z) = exp —J g

\L7ti у g— z ^

, Z <£ у, (3.8)

Zi(z) = Y(z)fl(z-ajp f[(z-bj)m' (3.9)

j=0 J=0

В §3 доказана следующая основная теорема.

ief

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть G{t) Ф 0 для всех t € у, Gk= G\yk <=Нр(ук), к — 0, со, и выполнено условие

SlIlnGj^+cc,

(3,10)

условия

nGia^Bp.IJa,-^,

(3.11)

где В не зависит от к, и условия

sk-ek+l>D^k

(3.12)

где Д Ш, I не зависят от к, И > 0, ТП > 0, / > 0.

Тогда однородная краевая задача Римана по условию (3.1) имеет в классе тах(д:,0) линейно независимых решений, где

Г У

]=0 ;=о

(3.13)

Общий вид решения дается формулой

(3.14)

где - полином степени не выше X, а определяется

формулой (3.9).

В §4 рассматривается неоднородная задача. Как хорошо известно, в силу линейности задачи Римана, здесь достаточно выяснить условия существования частного решения в соответствующем классе, общее же решение получается добавлением общего решения однородной задачи.

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 4.1 Пусть система у и (г удовлетворяют условиям теоремы 3.1, для £ выполнено

Тогда при X ¡> О общее решение краевой задачи Римана по условию (4.1) в классе Н{€г) дается формулой

оо

1

(4.2)

Ф(2)=Ф0(г)+Ж)Рх_1(;г),

(4.9)

где

(причем при X = О решение единственно), а при X < 0 решение (единственное) существует тогда и только тогда, когда выполнены условия

¡4тк^= о, ;=о.....|*|-1. (4.Ю)

Наконец, в §5 полученные результаты применяются к решению характеристического сингулярного интегрального уравнения по стандартной схеме.

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. Р.К. Сейфуллаеву за постановку задачи, внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

Основное содержание работы опубликовано в следующих работах автора:

1. Гусейнова Х.М. Задача о скачке на системе разомкнутых дуг, гущающихся к отрезку. Деп. в АзНИИНТИ, №2076-Аз, 10.12.93,15 с.

2. Гусейнова Х.М. Краевая задача Римана на системе разомкнутых дуг, сгущающихся к отрезку. Тезисы науч. конф. аспирантов и молодых уч., поев. 75-летию БГУ, Баку, 1994, с. 96.

3. Гусейнова Х.М. Об однородной краевой задаче Римана на системе контуров, сгущающихся к отрезку. В сб. материалов конф. аспирантов и молодых уч. БГУ, Баку, 1995, с. 21.

4. Гусейнова Х.М. Об однородной краевой задаче Римана в классе кусочно-голоморфных функций на системе контуров, сгущающихся к отрезку. Деп. в АзНИИНТИ, №2205-Аэ, 31.10.94, 6 с.

5. Гусейнова ХМ. Однородная задача Римана на системе дуг, сгущающихся к отрезку. Деп. в АзНИИНТИ, №2095-Аз, 16.02.94,14 с.

Ьусе]нова Хатира Маил гызы

Аналитик функсИапар нозэриДэсинин бэзи сарЬед меселелеринин вэ онларла елагвдар сингул]ар интеграл тэнпиклэрин арашдырылмасы

Хуласэ

Ишинин осас нэтичэлэри ашагыдакыдыр:

- мосвлалера тэзе ге]ри-стандарт типли е]рилор системлер узвринде, ¡они парча]а ]ахынлашан сонсуз ачыг е]рилвр системлэр узориндо бахылыбдыр

- Риман сорЬод мвсэлэсин нозори]]осинин гурмасы учун е]рилер сис-теми ве эдгун емсаллары узэринэ шэртлэр тапылмышдыр

- сычра^ш Ьаггъжда мосолооинин Ьэлл олунма ввэиЦэти в]рэнилмишдир

- бирчинс мэселэсинин Иелл олунма вези^вти е]рэнилмишдир

- ге]ри-бирчинс мэсэлэсинин Иэлл олунма вози^оти е]ренилмишир

- алынан нэтичэлэрин сингул]ар интеграл тенликлэр нозэри^эсине тотбиги верилмишдир

Huseynova Chatira Mayil gizi

Investigation of certain boudary value problems in the theory of analytic functions and related singular integral equations

Summary

The following are the main results of present work:

- there has been considered a new non-standard type of the system of curves, i.e. infinite system of open smooth curves, clustering to a segment

- there were found the conditions on the system of curves and corresponding coefficients under which a theory of Riemann boundary value probem can be developed

- there has been described the solvability of the jump problem

- there has been described the solvability of homogeneous problem

- there has been described the solvability of non-homogeneous problem -the application of obtained resuts to the corresponding singular integral

equation has been given

CHefcapmn 98. Tupax 100

"W HK<5-ja ian cjumS. JI. Tojicrcj tyiacH, 193.