Граничные свойства интегральных операторов типа потенциала и их применение к нерегулярным краевым задачам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

министерство образования азербайджанской республики

ВАКИНСКИП ГОСУДАРСВЕЩШП УНИВЕРСИТЕТ ни. М. Э. РАСУЛ-ЗАДЕ

РТ6 од

п .. правах рукописи

I и

СЕЙФУЛЛАЕВ РУСТАМ КАФАР оглы

УДК 517.544 + 517.518.13/14

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К НЕРЕГУЛЯРНЫМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ

01.01.01 —Математический анализ

автореферат

диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

БАКУ—1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзадк Министерства Образования Азербайджанской Республики.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Ю. А. АЛХУТОВ.

доктор физико-математических наук, профессор А. Д. ДЖАБ-РАИЛОВ,

доктор физико-математических паук, профеесор Ю. А. КАЗЬМИН.

Ведущая организация: Математический институт им. Б. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Защита состоится « 1994 г. в а»"

часов на заседании Специализированного Совета Б/Д 004.01 при Институте Математики и Механики Академии Наук Азербайджана по адресу; 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инетип га Математики и Механики.

Автореферат ¡разослан

994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор Дж. И. МАМЕДХАНОВ.

ОБЩАЯ ШШЕРЙСША Р1БОТЫ

Актуальность теш. Применение методов теорий пс>тонцййдп к решению многочисленных краевых задач, встречающихся а теория дифферевциаль:шх уравнений в частных производных, а задачах теории аналитических функций, в задачах механики, имеет давнюю историю к успешную практику. Исследования интегральных опораторов типа потенциала и изс гр&чичшх свойств, а такжэ спг-зашшх с шли краевых задач и интегральных уравнений берут начало п работах таких авторов кап К.Нейман, А.Пуанкаре, Г.Робон, 0.Гильлор. И.Фредгольм, й.ПломэльИ.И. Привалов, А.Н.Ляпунов, В.А.Стеклсв, К.М.Гштср, в ' затем развивались п применялись в работах Т.Карлэмана, П.Радона, Г.Жкро, М.Яевра, К.Миранда, • Д.Келлога, Н.И.Нусхелшвилк, Э.Д.Ггхова, В.Трзицвнского, Б.Д.Купррзс'э, Т.Г.Гегелиа, С.Г.Шшпша, А.Кальдероиа, А.Зигмунда» А.В.Бицгда;, Ю.А.Казьмина, 0.3.Бесова, П.И.Лгаоркяяа Е.А.Волкова, Д.А.Бзбззва, В.В.Салаева, .И.Б.Симоненко, С.Г.Самко, и многих других,

В последнее время значительноа внимание исследователей привлекают неклассичесгаге постановки соотвэтствущих задач. Например, исследуются краевые задачи в областях с негладкой грат:.;ей, краевые задачи при минимальной гладкости коэдащивнтов уравнений и краевых данных, при отсутствии гладкости и т.п. Исследование задач в подобной постановке требует детального изучения свойств соответствующих интегральных операторов типа потенциала внутри области и при приближении к граница, а такта и на самой границе, в различных пространствах непрерывных и суммируемых функций

Пусть Р - область в R®*1, m > 1, граши-вй которой явлйьгся двусторонняя гиперповерхность S = д7). Рзссм.: >трш пзпйгралънкй оператор вида

M(z) = Г JC(z,y-z)u<y)<J£ , z t i), yS

где предполагается, что плотность и яеярарышй в? В. адрс К(z,y-z) определено и непрерывно оти ?. с F^I j í S, z * у, а обозначает лозергнос-ну:-?. меру на «S.

'¿оделышкя «oepaicpajci r.sa л ьвляжхся многие классические операторы , б частности , гхмоягческий иотеадаал .-щийнохс- c¿4¡ft, нормальная производная яотенаиа/а простого слой, где юлвгртяые ол-л. агоры распространены по гладкой замкнутой (то ъо&г' игч-Л с-гз края) гиперповерхности S с ífi1, молодой астгтлг. дьоНвоЛ-слоя по боковой поверхности С1 -цилиндра» нормальная яроюгодная .теплового потенциала простого слоя, интеграл ?«з>а .Ноши распространенный по замкнутой хордаповсй щшш. kg^íoí? г t комплексной плоскости С, ""оеко свяоанньй с я&тч*шж«мв: дврйкого к простого слоя по 7, и мкогие другие юшесичоикиь опери г^ры.

Применение упомянутых оператора!-. основано чй щжкед^ша ■формул, описывающих граначяое поведение операторов, или, точнее, скачок соотзвтетву«и.э)'о «т-р-.торл крр переходе гроша'л S области V. Наличие досяш Сч.рг.«;:.;. u. .•;• сводить краевые задачи к граничным интегральным ¿т«' втероге рода фредгольмовского тала, ли"5о к граничим иятегралыьч уравнениям (то есть содержащим иитеграпк в «¿u?ju> главного з.'-,чеш1я),лйбо хв позволяет нелосредстшяио пр^дст:->с. решение краевой задачи, иепримор, в случае краевой за^ачл ряу»лз, через интеграла типа Кошк.

Важду многообразия встречащихся интегральных оператоглв •га~а потенциала представляется зстественной задача унификация исследований, развптйв единых .юдходов и методики исследования операторов типа Л с оошдои аи^жа.

При изучении гатвгральных операторов rana потенциала á нргоядашзльшм моментом является исследование граничного ыовэцевмя, Здесь возникают вопросы о поведении вблизи граниш (оценки [мстя, исследование характера непрерывности вблизи границы и т.п.), о существования граничных значений и отеле, в котором они пршшаются (всюду, почтя вевду, по. некасательным направления?!, в ерздне-м я. т.п.), а твкжв о виде граничных значений (формула для граничшх значений).

Если S представляет собоЗ доусторогшвэ гиперповерхность с край«' в(5) или без края (е(5) = 0), то приближение к точкам z^tr* - $\e(S) (то-есть зя исклячениэм точек края) возможно о двух сторон от 5. Формальней продэльнна переход приводит . к оператору вида . '

обычне называемому в литературе прямым значение« Л на S.

В случае, когда ядро JC(a.w) не суммируемо по я на 5-zo, интеграл в В приходится понимать в смысле главного значения: для

экрестьостей (z )} , стяпшаютгся при е - 0+ к точке zq п полагается

mz0) = [ C(zo,y-zo)u(y)dSy . soe S!

S

какдой фиксированной точки zoeS* выбирается сокеЯство

Отметим» что обычно между операторам Ли 5 кмзется связь в кшэ формул скачка

11а А и(в) = Б и(г ) + й*(а )и(а >, »„€5*.

гдя знаки 1 отвечают разным сторонам гиперповерхности 5 .

, В исследовании операторов вида Л, В мохно выделить два ссловник направления.

Порвоо из них связано с изучением свойств операторов А, В внутри соответствующей области или гиперповерхности ( то есть на строго внутренних компактах в области или, соответственно, на компактах, лежащих на положительном расстоянии от края шторномрлности) . тер'.ынах • метрических характеристик, учигивомиих изменение максимума модуля и модуля непрерывности сужкнния функции ка указаннне компакты при исчерпании ши области ¡иш гиперповерхности , к тесно связано с изучением свойств операторов Л, -В в вс^лш. проелрпнствзх. непрерывных и суммшоуоких функции: я в других шкалах щгюаих пространств.

Отметим, что данное направление получило в последние года значительное развитие.

Второе направление в исследовании операторов А, в связано с изучение к: цободония (непрерывности) иплоть до границы, в честности, с изучением граничного поведения операторов А, В. Это ьапраьлание достаточно развито в одномерном случае , и в . значител; -.ю меныизй степени б иногомарлом случае и "ему посвящена ивстояад.! диссертация.

Цэдь работа. Изучение граничных свойств интегральных операторов типа потенциала, получение эффективных Формул скачка для ыногслор^мх потенциалов и сингулярных интегралов при переходе

границы, изучение характера непрерывности граничных значений (сингулярных интегралов), построение инвариантных относительно сингулярных интэгральннх операторов пространств непрерывных функций, приложение к решении краевых задач тша краевой задачи Римана в многомерном и одномерном случае.

Осповшз задачи и научная новизна. В работе обсущазтся и решаются задачи, связанные с вопросами непрерывности вплоть до границы, непрерывности на границе и поведении в скалах пространств непрерывных функций операторов Л, 8 я дается применение к решении краевых задач при, по возмосаостк, - минимальных ограничениях на границу области.

Все основные результаты, получение в • дассэртагя явлгются новыми: ,

- найдены условия продояяЕмаста интегральных операторов типа потенциала с обяями ядрами на границу, найдена. эффективная формула для коэффициента скачка. Показано, что при указанных условиях граничные значения пэ зависят о? одностороннего.направления прнблтезнпл к граничной точке;

- найдены необходимые п достаточшэ условия для действия многомерного сингулярного интегрального оператора в гельдэровых пространствах функций в случае летуяовскп границ. В случае плоскчх областей с кусочзо-гладхсЗ границей показано, что в зависимости от свойств ядра прзяэл в граничной точке коеэт пе существовать (случай угловой точки), когэт существовать (случай точки возврата на границе):

- для граничных значений гшогомэрного сингулярного интеграла найдена эффективная форэдяй для коэффац&г.ага скачха при переходе границы. В частности, показано, что для нечетной по сферической

переменной характеристики сингулярный интеграл непрерывен при нэрзходэ гр'чицы, а при четной - коэффициент скечка иоваздает со значением символа сингулярного интеграла на векторе единичной внутренней нормали в соответствующей граничной точке;

- для неогрниченних областей с компактной лапуновской границей построена шкала инвариантных относительно многомерного сингу пярного интегрального оператора пространств Функций, локально гельдерошх и имеющих предписанный порядок уоивгнйя на бесконечности;

- для теплового потенциала двойного слоя получены опенки типа оценки А.Зигмунда частных модулей непрерывности в термин*» частных модулей непрерывности плотности, на осноазяич которых прослеживается действие соответствующего интегрального оператора в обобдеших гельдерових пространствах, определяемых относительно так называемой параболической метрики;

- в терминах метрических характеристик получено описание достаточных условий для справедливости теоремн Племелй -Привалова для сингулярного интеграла с ядром Коки на замкнут кордановых

, спрямляемых' кривых и его аналога в случае непнрямляемих криьых.. На спрям/темих кривых эти условия являются и необходимыми;

- для KJ.acca замкнутых кордзновых спрямляемых хухвих, ни котърок справедлива теорема Пяемеля-Призаловп, построена теория разрешимости краевой задачи а и характеристичен//, сингулярн- интегральных уравнений;

- в случае разомкнутой жордансвой спрямляемой крньоЛ о зшкрешем в концевых точках порядка менкае 1/2 получен совдМ вид решения однородной краевой. задачи Римана в юи-ссе ограниченных кусочно-голоморфных пункций и лревомн зшлт конечности числа линейно-независимых решений.

- у „

СЗщая веслвдованяя. В данной работе для изучения

свойств операторов Л, В применяются методы теории Функции взаествекного и комплексного переменного» Общая кэтсдака заключается в получении оценок образа оператора через прообраз в терминах метрических характеристик функций типа модуля непрерывности, чьстных модулей непрерывности по группам переменных, а также метрических характеристик, описыващих гладкость или вяые свойства границы области. Отметим таете, чтс для учета присущей интегралам А, В интерференции, особое внимание уделяется интегралам с единичной плотностью ЛИ, 8*., где 1(2) е 1, 2?5. При ршении краевой задачи Римана применяется теория целых функций экспоненциального типа.

Теоретическая и практическая ценность. В работе получотш новые эффективные формулы скачка для многомерных интегралов типа потенциала с общими ядрами, новые формулы скачк? для гаоготерних сингулярных интегралов, позёоляепдо сводить многие краевые задачи для уравнений с частноди производными к граничным интегральным уравнениям. Полученные результаты и развитая техника могут получить применение при исследовании интегральных операторов типа потенциала и решении краевых задач в случае областей с негладкими граш.лами. Получешшо опенки для теплового потенциала двойного омая представляют как теоретическую, так и практическую ценность я нш". и применение при обосновании численных штодов для расчета задач подземной ¡'идродинамяш. Лолучешшо результаты относительно одномерного сиигулягя.-го шптграла с ядром Коши на произвольной спрямляемой .чривгЯ к :лл -V.. аналога на не спрямляема кривых пршен&ка аг.я пс-с .гл-чш ?«••;}..»< краевой задачи Римана, имвадей

¡/кзгсчислеише njSEKhohseiih в задачах естествознания, а тзкиэ могут бить щшенэян в задачах теории функций, например, в теории приближения функций полиномам к радаонапьныш функциями.

Апрсбац^л рвбота. Результаты настоящей работы докладывались гя семинарах член-корр. Ali Азербайджана, проф. А.А.Бабаева(БГУ, 1330-1993), члрн-корр. АН России, проф. П.Л.Ульянова (МГУ, 1Э89, 1992), проф. J.A.Казьмина (МГУ, 1987, 1909), проф. Е.П.Долженхо (МГУ, 1989), на Британском математическом симпозиуме (Бристоль, 1S84). на семинаре проф. У.Хеймэна (Лондон, Империал колледж;' Йорк, йоркский Университет, 1934), на международной конференции по т&орки функций (Киев, 1983), на саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов, 1982, 1986, 1988, 1990, 1992), на Всесоюзных энференцнях по теории функций (Уфа, 1986; Теберда; 1988; Баку, Загульба, 1989; Одесса, 1991), на семинаре памяти акад. З.И.Халилова (Баку, Ин-т Математики к Механики, 1991), на 2-м азербайджанско-турецком' симпозиуме (Баку, Гяндалик, (992), на самине;:*? член-корр. АЛ России, проф. Л.Д.Кудрявцева (ШАН Рогсзи, 1992), кг семинаре академика АН •Республики Азербайджан, проф.- Ф.Г.Ыаксудова (Баку, Ин-т Математики и Механики, 1993), на семинаре член-корр. АН Республики Азербайджан, прсф. Дх.Э.Аллахвердиева (Паку, ЕГУ, общеуниверситетский семинар, 1993).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах • автора (1-103.

Объеи работы.'Дисертзцаонная- работа изложена на 29G страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и списка литература из 227 наименований.

, у. и •

СОДЕРЖАНИЕ К ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во введении приводится обзор исследований, связанных с тоу-гп диссертации, э также дается краткое изложение содерзмш:.-:, оОсукдаотся актуальность, новизна, теоретическая и практическая ценность получешых результатов.

В первой главе данной работы рассматривается внт-егр^лыс;?. оператор типа потенциала в случае, когла ядро однородно стег.е:ш (-¡л) по второй переменной. 13 этом случае удобно от ядра порой!к характеристике £(г,ег)-\у-цт Ш,у-г), 8г=(у-г)/|у-2|.

Пусть 0с8* - огранич шое открытое мноаество, гп р. 2 , геК™4*, 2=(хД), где х<з.л. геК. Положим при у^' у°=(у,0), йММО, 2"1 - т-мерная единичная сфера с центром в нача.т' координат и пусть задана Г:5Кт+"'» И* -> £.

Рассмотри?.: иитегралышй оператор типэ потенциала *)

г -X

= аид> „ -м ц(у)<1у , (1.2.1)

. Л0 |У°-2|Я

где и непрерывна на С, а

у°-а (у-х,-г) " 6*<У> " - (|у-х|г*12)"г '

В § 1.2 для оператора (1.2.1) доказывается формула скачко. Формулы скачка хорошо известны для классических потенциалов.

Приведем доказанную теорему С ВС (Е) - класс непрер'-пдах- и ограниченных на Е с к11 функций).

* 'Всюду ни».' нумерация соотлотьует нумерации ь диссертации.

"МЯШк 1.2.1. Пусть С - ограниченное апкрьтое мл-охество в К®, а £ 2. Гевсог^1« исС(о), выполнено условие

| 1(х°,в°)бое = 0 , Х€С, (1.2.4)

и условия

| ьки,*^ < Ю, | «РИ^Лт. < <0 , 11Ш ы1(Г,в)1п а = 0. (1.2.5) о с.

Пусть г еС6, г. = (х .0!, теО. Тогда интеграл Ш )

* с о о о

существует в слысде глзбного зшчекия и существуют привели

) = й*(х .О)*?* 11т ШЛ) = й(х„,0) + *.*(хг)и(х (1.2.6) ° ° с ,г)-(х0.о±) - ° °

где

Й*<гв) = |--у--йу[ Г(го.(в(1-уг)1/2^у5)вав. (1.2.7)

о

В доказанной фэркуле скачка (1.2.6) коэффициент скачка й±(хо) (1.2.7) в явном виде выражается через хгмктеристику ядра Г, что позволяет для конкретных ядер Сг;з труда получать формулы скачка. Здесь ке приведены условия, при которых^ сингулярный патента;: ((.2.1) непрерывен при переходе границу.

Отмотки следуипий вгшшй момент. Б работе &.Е.Тршшского1 'для достаточно гладких (по крайней море класса двуме*Л:¥Х поверхностей в К3 и общих ядер получена формула

41 ТгДХг1пвку 1. Асга Наш., 1951, в4, Л 1-2, 3-128.

скачка, в которой коэфГ&пдаэнт скачка Еыражзотся через характеристику Г. Предол оператора ии(г) в 15 вычисляется вдоль фиксированного направления, ведущего а "очку го€3", задаваемого единичным вектором я образующего либо остры®, либо тупой угол с нормалью п(г ) (в зависимости от стороны поверхности). В полученной формуле для коэффициента скачка, который обозначил через явно участвуют конюнентг вектора X, в связи с чем

в 1) утверждается, что "вообще говс, я, й^±(го) зависит от направления к". Формулы (1.2.6), (1.2.7) показывают, что зависимость от Л, в "йх1(го) из работа 1) является фштивной.

Отмеченная независимость коэффициента скачка от напразлэЕия одностороннего приближения к граничной точке по существу реабилитирует предпринятую в 1' попытку построения теория пространственных граничных задач линейного сопрягания по образцу одномерной теории, изложенной в известных гапогр^кях Ф.Д.Газовз и Н.И.Мусхелишвили. Эта задача с применением результатов §§ 1.2, 1.3, рассматривается в 5 1.6.

Формула (1.2.6) позволяет свести изучение граничного поведения потенциала (1.2.1) к изучению на в прямого . значения потенциала (1.2.1) - многомерного сингулярного интегрального оператора. Слегка изменяя обозначения , рассмотрим интегральный оператор вила

где С - ограниченная опг.игп ь У™. Ю2, и«С(С), Г(С(С«?В"1), О-(у-х)/|у-х|, а интограл понимается в смысле главного значения, причем предполагается выполненным услови»

(1.3.1)

i i(x,S)dfl0 - 0 , XiG. (1.3.2)

V'

Относительно интеграла (1.3.1) изьзстие следующая }--.:с/ческая теорема Г.Жиро : если выполнено условие (1.3.2), г'.пракгеристкк? г ограничена и ¡grad^EU.y)) < const |у-хГт~1 при г.,-у, iuHjo), 0<а<1, то а С €i!a(G' ),где G' - трокзьолъная строго ькутрепи подобласть оогзбтс G. Чэстнкм случаем интегралов . типа г:. 2.1; яьляьтся интеграла, _ ьозк;ка.-сте при двукратном оСъемкогс (ньютоновского) aovcm^xia, которые у-„-сьно обозначим через Г(х). Н.М.Гкатером доказано, что для ."»-стнссгй u<K (GJ, '0<а<1, 1у.чкпкя 1ЧНа< (G), где С<а'<д (точнее, кзблкдаутся логариХмаческая потеря гладкости: |и(л)~й'2)| < С !л-?Ла1п>~т).3 работе Г.Кяро 2) доказано бо-ч-е сильное утверждение: если г^аший сбластл является ляаунэвекой поверхностью с показателен а,- Оса--! и ц*Н (3/, то u<-;H (G).

* ^t Л-

доказательства суаоственяо ;:с;юльзуга специфику адрв V.

В случае ойяого ките гряда ьида (1.3.1.) подобная ■утьеркденпя, вообще гоиоря, hp имеют »эста. Без дсполп'.тельг.их crpaini'ieK'Jl на характеристику X функция Q при приближении к Гранине дг даже в случае простейших областей, например,' шара, будет рас и как логарифм расстояния от точки х до границы 9G.

В работе А'.С.Ашконова 3> показано, что для областей с границей класс С1,1щя icHv(Sx2), , 0<a<v$i, условие: для

любой пол;.а)ери 2' с s и всех хеС

Г Г(х,е)<1о6 - 0 , (1.3.3)

__ а'

2> Glraud G. ¿nn.Sci.Ecole Nom.Super., 1932, 49, 1 -104.. 245-309.

Ашковов Д.С. Натек.сборник, 1977, 104(146), JM(12), 515-534.

-Заявляется достаточным для справедливости импликации

и с Нв(0) ■» ü е Ha(G); (1.3.4)

если характеристика 1 не зависит от толюса х, то есть при í(z,6)=g(8), условие (1.3.3) является также и необходимым для справедливости (1.3.4). Отметим,что в случае, когда характеристика í зависит от полюса, условие (1.3.3) не является необходимым для справедливости имшшкгции (1.3.4). В работах автора [73, [16] найдено необходимое и д статочное условие на f • для справедливости импликации (1.3.4). Приведем этот результат.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть G - ограниченная область в 5?, т>2, 0G€C1,\ f€Hv(0x2m~1), 0<а«^1, и выполнено (1.3.2). Тогда

Оля того, чтобы оператор Ва = й Оействовал в На(0), необходимо и достаточно, чтобы Оля любого z(dG

J Í(x,9)ÍJct9 »0, (1,3.5)

'2(n(s)í

где n[s) - едшичная внутренняя нормаль в почке xeSG, Г(п(х))= =(eeSra~1:<.6,n(x)> > Q), а <•,• > - скалярное произведение в К®.

Отметим, что при f(x,9)=g(6) условия (1.3.3) и (1.3.5) совпадают. В общем se случав простые примера показывают, что ! условие (1.3.5) слабее.'

Теорема 1.3.1 выводится из доказанной в $1.3 общей оценки приращения сингулярного интеграла (1.3.1) (см. теорему 1.3.2) и V анализа свойств сингулярного интеграла í(x) с единичной плотностью (леммы 1.3.2-1.3.4). Приведем оценку приращения ?(х).

Положим

ил/.(0) = sud sup |grad <р,(С) - grado (í)f,

s gí>ü t.C€Ba x E

st-tffc

- 1С -

где бй локально в мастной системе коордянат с началом з точке х задается как график срх, Ва - иар радиуса а с центром в нуле в местной системе координат, а - достаточно мало и не зависит от ж.

ЛША 1.3.4. Пусть 0 - ограниченная область в 1«"', сгСеС1'0, Г<В0(Ск2), выполнены услабш (1.3.2) и (1.3.3) а тглхаге условия

| | < [ <1.3.13).

о .о о

:згда при х.гсб, справедлива оценка

_1?(х>-1(»>1 * с< б [ ^ ах ♦ ( +

о ' о

ч Г -Ц-¿а I ) , (1.3.14)

е о

где постоянная С>0 зависая лишь ст т, 1, в.

Здесь же в §1.3 приводится лекальный вариант теоремы о

продолжимости на'части границы (теорема 1.3.4), необходимый при

рассмотрении сингулярного интеграла (1.3.1) в случае области с

кусочно-глахкой граицей. Далее в § 1.3 исследуется сингулярный

интеграл 1.3.1 з случае неограниченной области.

Интеграл (1.3.1) и соответствующий интегральный оператор б

различных классах и пространствах непрерывны* функций п случае С=

= К?" изучался во многих рзботах. При изучении свойств интеграла

(1.3.1) по неограниченной области ль плотность ц помимо

непрерывнеега накладываются условия убывания на бесконечности с

определенной скоростью. 3 монографии С.Г.Мих чина 4) введены

Ыюслин С.Г. Ыкогсметаше сингулярные интегпалн и сингулярные интегральные уравнения. П.; 11КШ, 1952, 254 с,

классы A&>k и причем U с и показано, что оператор

0.3.1) действует из ¿ак в а был поставлен вопрос об

инвариантности класса Аа к относительно (1.3.1). Г.А.Тиман (1968)

било показ?...о, что класс Аа v не инвариантен относительно

(1.3.1). Задача построения классов, инвариантных относительно

оператора 2и (1.3.1) была ранен • В.В.Салаевым S). Нами

ргзвивзется предложенный з 5) подход, основанный на получении

оценок характеристик CI, описивгэдих гладкость и убывание на

бесконечности 0 в тержшах тех ей характеристик плотности (в

случае интерзала в К соотзэтствушдо характеристики билл введены

А.Л.Бабаевым в работе 6'» где решена задача об оценке локальных

максимума кодуля и модуля непрерывности сингулярного птгегргла

через те кз харахтеристки плотности). Кроне того, при нааих

яредположекмх относительно характеристики Г, функция й макет

растя бесконечности, з связи с чем вводятся характеристики,

осисываиаке гладкость и рост Q на бесконечности. Вводятся

пэострзкстзз Н убызащях на бесконечности функций и

пространства Й рзстудкх яз бесконечности функций я

прослеживается действие оператора BU--Q в шкале пространств (Н^)

(з частности, выделяется скала кнва- рааитных пространств) , а

тахке из якала iH ,5 в скалу (Н ,). В качестве следствия общих <fK> «РФ

теорем прослеживается действие оператора 8а в классах В.В.Оалаева

Sa , ввелешшх в случае G - Ег™.

Пусть G - неограниченная область в к1", с компактной

гладкой границей, OilP'O. d dlsUO.dG). <1 = sup (zf.

° 1 xioa

'3' Салпс-а D.I'. Уч. зал .KB и COO АзССР, сер.ф. -м.я., 1Э75,Й1, 40-46. Ь) гЖаев АЛ. Лехл.АН ССР. 1903. 170. Я 5. 1003-1005.

Для ае(0,11 й МК-определим пространства Б „ = {исС(ё):|и|_ вир |х|к|и(х)| +

а,к а. 1с х€С

+ еир |х5а+3с|и(г)-и(у)| <»}.

• Нетруд: э видеть, что Ба у - банахово пространство. Пусть 1еС(С«2т_1) удовлетворяет условиям: существует 0%>0 такая, что

|1(х.9)КСг|х|а+р. в«?0"1,

прих,,х2сй. |хгхг|^|х,|<|х2|. ^дес!,, вез"1-1

(1.3.16)

. |Г(х1,е)-1(хг.в)ксг|хГхг1а|х1|р, при |х, 1^2(1,, е , е^Е®-1 |Г(х.е))-1(х,ег)|<сг|вГ9гГ|х|р+а.

Положим Е = (учС: |у!<4й,).

УЕОРША 1.3.8. Пусть С - неограниченная область б Е™, №2, ас«с1 СкК^С, удовлетворяет условь&л 11.?,.2),

(1.3.5), (1.3.16), 0<1;<а, 5<а*Ш, а<г«1. Тогда операпор Ви=й ОеОст&ует из к 6 к_(р+а) и ограничен.

При 0+а=О оператор В ограниченно действует в За к.

В }1.4 устанавливается формулы, огшсыващие скачок интеграла

(■1.3.1) при переходе граница области. В частном случае т-з для

вторых честных производшх объемного потенциала по области с

ляпукошсой границей формулы скачка получены И.Войнгартеном

(1387), К.И.ГШтерок (1934), Л.Н.Србтеноким(¡946).

Пра условхяе теорема 1.3.2 кз $1.3 функция й(х> равномерно

непрерывна в С а, следовательно, ее мохно продолжить до

непрерывной в 5 функции. Положим . йо!

й+(хл) = 11Ш Г'Х), хеОЦ. (1.4.1)

0 О*** 0

!ЕОРША 1.4.1. Пусть G ограниченная область в R®, га>2, öGiGua, UCC(Ü), ieC(ÜxS), билалне-ы условия (1.3.2), (1.3.5), а.3.13) и

| т^мъ < „.

Тогда для jxßaü почки х imesxxu ü(x„) (1.3.1)

О 4 о

существует в смысле глазного значения и существует превел

Ü+(X ) = 1131 Ö(X) = Ü(X ) + l (2 )й(Х ), (1.4.2) ° C5S-2 ° О о

о

eöe

l+(xo) = - j Г(хо,-0) In <0,n(xo)>do9. (1.4.3)

2(n(zoJ)

Если ГсСШхЗ®-'), где S - шар радиуса 2d с центром в кскотороГ точке beG, d=diam G, и выполнены условия ., аналогичные условиям теоремы 1.4.1, то существует предел .

dei

ü"(Xo) = lln Ü(X) = ü(Xo) + l"(2o)ü(xo), (1.4.4)

г'ло

Г(хо) = J i(xo,0) In <9,n(x0)><toe. (1.4.5)

2(n(xo))

При условиях, обеспечивашкх справедливость обеих формул (1.4.2) и (1.1.4), вычитая (1.4.4) из (1.4.2), найдем собственно

скачок

ü*(xfc> - Г(хо) = (! + (хо) - Г(хо))и(хо) а 1<хо)и(хо), где коэффициент

Ш0) = J (Г(хо,-9)+Г(хо.в) In

Slaisl ) °

- 2С< -

Если 1 не зависит от ползай х , то сравнивая лос^зд;.?-форцузу'. с известной форцулсе для свкзояа мяогоквркого сшкгдяраого интеграла 8(С) (ок. 7), стр.52) видки, что для четной. Г кьвем 1(хе) = Й(п(го)|, а для нечеткой t ю'.еги Их о, то есть кнтеграя (1(х) незрврйвва ирг переход? зт/^г-х^ 5С.

Газовг обрзг-'иа, в случае четкой ?, г.сг^&сочля 1 оярагаказгок си2£Лв иахяо ргетагзть как гранична с^^ос , ¿„т значзкке сг>йс.".ь нз гразщз. отизг^, ч:с сзязс ¡^хи/ ди$фзреащ8й<5о-падкэ«нйи свогетвад-: сшзодэ к характер • сцс-..; ъзрщггъ ъ работах ¿„¿.Гадгизва. <1921 Ь'Б.С.Нричкоьг О&Зс..

В §1.5 интеграл (1.3.1) рассматривается з случае илоснсх области а) ей2 с кусочно-гладкой границей. каг-еграгг с

едазгчнвЗ вготгоеть^ г ox.ee облает: о углсй.-.^

точкой нз грзшщз - кругового сектора - на&иеш средь-льн.:; згачзЕж гдая» ]раашчннх каарааз&яггй. -чг^хж 2 углглг: точку к нз тагшэрз показана занесшее.:. ог -.-к-зиг

пргЗиавкия к углоаоГ. точке.

Здесь ез для оЗластг» легза;-:. в г.сг^ой квадраьш» ^ я ограниченной хусотао-2ядуиовс&££ - зажнуто2 кривой, сохгргггбК щу парзбога {(зг.х2): к отрезок 10.П. дсказзйг

раЕЕзкетЕЗЯ ЕбпрзрсяЕостъ в обгзстг интеграла ткпз (1.3.1} с хграЕгегегагкй: КЬ, «4»г> - -

Глаза 2 смЕЕЗЗна изучеЕ2Б свойств теплового потешшяль дзеаного слой с непрарцЕноа елл ограниченной плотностью ьо

7> СтеЗв li.ll. Сингулярные интегралы г диЗФэреншзльнне «эдЯстз& ®ункциаГы.:"Ита". 1572. 342 о.

- >.]. -

ямледдрической поверхности с гладкой направлящей, также явллгтегос-я классическим объектом исследований з теорий функций к д-ДферездиальЕЮ. уравнений с чагтзяги производными. К изучена подобных им-егратоЕ применила! подходы и методы, развитые для исследования сингулярных интеграла в смысле главного значения. Для теплового потенциала двойного слоя формулы скачка типа (8) хорошо известны. Здесь рассматривается прямое значение потенциала на поверхности цилиндрической сплести.

В ¿2.1 приведены обозначения л предварительные сведения.

В §2.2 обсуждаются различи;: варианты определения прямого значения теплоь го потенциала - как. сингулярного ннтегр&кэ со специальным выбором семейства вырезаемы^ окрестностей в определении глазного значения (выбор диктуется характере« шшзотропности ядра теплового потенциала), как несобственного интеграла по зремсянбЯ переменной и, наконец, как нессбстгенного кратного интеграла по поверхности с краем. Показано, что определения в виде сингулярного интеграла и в виде несобственного интеграла по оремош'бй переменной в случае единичной плотности совпадают, а определение в виде несобственного кр гного интеграла в случае произтольней гладкой направляющей коявт привести к расходимости интеграла с единичной плотностью. В сеязи с этим принимается определение теплового ' потенциала в виде несобственного интеграла по ввеменнСй зерекенней , то есть

I

° 1

-- Ил <3г Ш1.1)С(г,1Л-'К)\<Ы], (2.1.7) о у

и Ц(2.0)й§г0, гда 7 - замкнутая гладкая кр;шая в комплексной плоскости С, |(1|| - мэра длины дуги на у, а

£(24,у) = £ дщ^ЦХ- г)--. (2.1.5)

= ^ езФ(- ^»ЩТ 1пТИП- « е У>0. (2.1 .6;

Формула (2.1.6) позволяет связать изучение по^нциала (2.1,7) с теорией логарифмического потенциала и для изучения подобных потенциалов применима методика исследования сингулярных интегралов.

В §2.2 в случае произвольной замкнутой гладкой красой 7 доказано существование интеграла (2.1.7) с единичной плотностью 3 (гД) е 1 прл (а,г)с 72(0,?] (лемма 2.1.1.) и оценки'частных /щжрап,9НЕ2 ?(£,£), суЕэсгв-знно Ешальзус-ше далее в §§ 2.3 и 2.4. •

Пусть I - длина кривой 7, я=а(с), ееЮ,1].- равнение 7 в дуговых координатах. Положим

и ,(') = аир ¡з' (е.)--' (з_)|.

15 |в(в1)-а(«2Я 1 2

ШШ 2.2.4. Пуст» 7 - завклуяш гладкая кривая., 2»зг г, > 0. Тогда

" „ „ |2. I и ,(■/»?)

. |?(2.Д)-?(гг,г)| < с ———-Д-— . (2.2.4)

^(аД,)-?^,!,)! « С ыя, (/|1,-гг| ), (2.2.5)

гЭечкмйг^воя С>0 эабисш -яакь ой 7.

\ £ достаточные условия сходимости теплового

потенциала лщШдгр в геряиах условий типа условия Дини для частных ,*едуяай ^^р^^ноага, плотности, а тага» доказана формула'т^ер^щф!¡вяя¡ШЯШ?™ (явмиа 2.3.2).

В §2.4 доказываются оценка частных модулзй непрерывности теплового потенциала двойного слоя типа оценку. А.Зигмунда. Ои^нкам приращений теплого го потенциала и его произвел:^:: посвящены многочисленные, работы Г.Невре, В.Погожельсксго, М.Паньи, Л.И.Какшина, Б.М.Ланддап, О.А.Ладаенской, А.грклмзна и многих других, в которых потенциалы двойного и простого с-сл изучены в пространствах функций, которые вместе с прсзспсджка определенных порядков удовлетворяют ус.~св;:ю Гельдера с

о

показателен а в параболической метрике (пространство т>:лз п1,'А/-) и дано применение полученных резу -.¡лотов к начальнс-хрэ^ам задачам для уравнения теплопроводности.

!1ригедем один из результатов §2.4.

7Т50Р5МА 2.4.1. Пусть 7 - золкнутая глаОтя кривая, (!>„), ¡.Цг,0)-0. Если выполнено условие

Га и„. (тИы1 (т)+^11(гг))

-*--dx < +(о, (2.3.1)

о

г.о инпогрси |A(z,t) (2.1.71 существует и справедливы оценка т ' rd ш-(т)^1 (D-Ho^Ct2)) г

ш^(в) ^ с( о] -iWa) v---e*p<- +

о

р ш ('I )

+ --), б€(0,б], (2.4.1)

II ТГ г^Ч.. (т)' ы , (тк^со

и1/(б) < ССпНгКи^Св^ -5--ах) .+

** о . о

гга ы , (%)иХ1(хг) ' й , _Лг-> • б€(О.Т], (2.4.2)

гее т - тахШ./г) „ а поете иная С>0 зависит лишь от '¡, г > 0 -- обсолтная постоянная.

Аналогичные оценка доказаны в случав ограниченной плотности р, (си. теорему 2.4.2, оценки (2.4.3), (2.4.4)).

На основании- полученных оценок строятся • пространства напрзравных функций типа обобщенных гельдеровых пространств gu(6).-o>o'5)> гдэ у _ фущщид пшд модуля непрерывности, а именно

^(Zi0)eC> (J^(0)=0(ы(й) ),U)^1(6)=0(U)(VS) )}

(при ш(6)=ба," 0<а<1, соответствуший класс обозначается через Н®,с/г) н в razz изучается действие интегрального оператора, порожденного тепловкы потенциалом двойного слоя.

В . глйез 3 рассматривается интеграл типа Копи и особый ентеграл с ядром Есзз в однокзриоы случае на замкнутых яордановых сщншяэьзе i:psshx (з.е.с.к.), а такие is аналоги для весщшлязмах крагах.' .

В {ЗИ приведены необйойзше йрздарктоям^© сведаем. В §3,2 рзгс?<йтрйва»?ей круг еоарзоэз, связааак с йззестноа теоремой Шййё/й-Прйвайо£з»

Рассмотрим особый интеграл в ег.£ада главного значено- иг-Кош ■

Si(t) = J dc > ret) *

'«Ш f d£ 4- f(t), t€T. . (3.2.t)

где у - 3.2.с.к., 7e(t)=U€T:|i-t|«>. ГсС(7)» » обобщения

интеграла (3.2.I) в интеграла типа Кожи

< " -

■ ¿rj f5}

т

на случай замкнутой ©эрдзновой кривой (з.а.к.). зоебяе говоря, нэспрямляемой, ввда

¿*т = иг) + | ш [| ^ , . (3.2.4)

?г(г) = гт .+ .;][ ^ . иет. (з.г.5Г

• - т+

где 7+ - внутренность кривой у, а через 1 обозначено продолзеяне

в по Уитни и в У'нулем фунюкд Г, первоначально заданной на у.

Классическая теорема Племеля-Привалова . относительно интеграла (3.2.1) или относительно предельных значений интеграла тага Ковш утверждает, что гели 7 - единичная окруяность, то имеет место импликация

* < Н^Т)» БГ € На(7), 0<а<1. (3.2.3)

Этой теореме и связанному с ней кругу вопросов посвящекн работы И.Племеля, И.й.Привалова, Н.А.Давыдова, К.И.Мусхе лишили,

A.Зигмунда, Л.Г.Магнарадзе, А.А.Бабаева, А.А.Бабаева и

B.В.Салаева, В.В.Салаева. В этих . работах последовательно расширялся класс з.я.с.к., на которых сохранялась теорема Племеля-Привалова, а также оценка А-Зпщунд&. Яаиболее пирокяй класс з.ж.с.к. с чисто метрическим описанием,, жпа которых справедлива теорема Племеля-Привалова, был получен В.® Салаевым 8).

Этот класс з.я.с.к. списывается условлен 6 («)• = 0(0). О - 0+,

где

8 (б) = аир шеа У.а).

85 Сэлаев .В.В. Матвм.ззметк8^Г9?а^ 3,' 365-380.

В 1975 г. Е.В.Салзгвкм была выделена задача: описать -класс По тех з.к.с.к., для которых справедлива' теорема Гг.емеля-Пркв&лова. \

Важные результаты в направлении решения этой задачи были получены в работах Г.С.Салилова 9),10): построены примеры кривых, частично вскрывающих структуру класса Па: пример з.к.с.к., на которой теорема Племеля-Привалова не имеет каста, а также пример з.а.с.к., для которой 6(8)*0(в), б - о+, ко теорема Ллемеля-Привалова справедлива. Подобный пример, использунций иную конструкцию, построен также В.В.Андриевским. - В работах 10) найдено необходимое и достаточное условие для справедливости теоремы Племеля-Привалова. Условие формулируется в терминах характеристик типа емкости, связанных с фиксированным -классом Гельдера Н^?).

Рэшегае задачи В.В.Салаэза . в геометрических терминах получено автором совместно с В.В.СйЛ':.ешм и Е.Г.Гусейновым 11 >. Условие нз з.к.с.к., необходимое и достаточное для справедливости теоремы Племеля-П:.талона, формулируется в терминах плоской меры приграничных полос иноаиств, содйрЕащихся в квадратах из некоторой сети квадратов, к в определенном" смысле существенно покрывающих кривую т (см. определение 3.2.1, следствия 3.2.1, 3.2.2 ниже; решение соответствующей задачи для обобщенных пространств Гельдера Н , Н при условиях типа Зигмунда-Вари-

9) Салимов Т.С. Науч.тр. МЗ и ССО АзССГ, сер.ф.-м.н., 1979, ЛЗ, 102-113; 1Э79, * Б, 59-75.

Са.ти\еоз Т.С. В сб."Сингулярные интегральные операторы", к!зд. ДГУ, 1983, 64-82; 1936, 76-91.

15 Шалаев В.В., Гусейнов Е.Г., Сейфуллаэв Р.К. Докл.АН СССР, 1&9С. 315, * 4, 790-793.

Стечкина на мажоранты типа модуля непрерывности <р,ф дано Е.Г.Гусейновым (1992).

Этому кругу вопросов посвящены также работа М.Цишайстера (1986) и ¿стала Кари (1983) в случае квазиконформных крирых.

Отметим, что аналоги особого интеграла (3.2.1) и интеграла типа Коши в случае неспрямляемых з.ж.к. вводились з работах В.А.Селезнева, В.И.Белого, й.М.Батчаева.Е.А.Кзца, M.Zlnmeiater'a, Astala Karl и др.

Как показано з работах А.А.Бабаева и В.В.Салаева, Е.М.Дккькина, Т.с.салимова, спраБед.-^зость теоремы Племеля-Привалова существенно зависит от показателя Гельдера а я, кроме того, возможна потеря гладкости сингулярным интегралом или интегралом т;пта Коши. В связи с этим естественна следувдая nocTan'jbica задачи В.В.Салаева: описать класс О „ тех з.ж.к., для

Ct. р

которых ч.. граве длива обобщенная теорема Племеля-Привалова, а именно, справедлива импликация

f С На(7) St е IIß(7). 0<Р«Х<1. (3.2.в)

Обозначим через Ла, 0<а<1, класс з.я.к. у таких, что

dli5t(z,7)a~1eL1 Лоо(в). (3.2.7)

Пусть Q - замкнутый квадрат в плоскости С, стороны которого параллельны координатным „сям, 2Q - семейство диадических годкьадратов квадрата Q (получающихся последовательным делением сторон пополам). Обозначим через t'Pl ранг подквадр;та Р, то есть iT) = 2"1 lOptj |Q|/1Р|, где |Е| обозначает плоскую лебегову меру множества Е. Для изморписго подмножества E<=Q рассмотрим мнонества

= иСР: Ре2е, [Р3=к, ¡РПЕ|>|Р|/2>,

С~(Е) = 11СР; Ре2°. ГРЬк, |РПЕ|«|Р|/2>,

А^Б) = иСР: Р€2а, СР]=к, |РПС*+,(Е)|>0)с Ы5Г*>. Таким образом, каждому измеримому подмножеству Е квадрат о сопоставляется систек: множеств СА^СЕ)

3.2.1 .Скахел, то з.ж.к. у плисной леры

(или з.я.с.к. т) удовлетворяет условию 1'а (или еооаееастЯвнн:-условия ?а р), где О<0$а<1, если существует постоянная С>0 шкал» что для любого квадрата О

2 (т+ПО)! < + (3.2.0)

к=о . •

где {Ак(7+П0))^=о - систзла множеств, построенной по агисритоху Г О лчонеспву 74ПЭ. йрл. а=р' будел гобортор что кривая удовлетворяет условия V (ссжвапственчо условия ).

ТЕОРША 3.2.1. Пуст» 7 - з.в.к., 0<Р«х<? и уВс,и г удовлетворяет условгво Р„ по

Из этой теоремы следует ряд результатов работ В.К./саыдаяа (1979), Т.С.Салимова (1979-1936), ' В.В.Салаева-Е.Г.Гусейново-Р'.К.Сейфуллаева (1991).

В 53.3 обсуждается тесно связанная с задаче® В.В.Салаеве задача А.А.Бзбаева-В.В.Салаева: найти оценку типа сэдкки А.Зигмунда для интеграла (3.2.1) на произвольной з.х.с.к.

В §3.4 на основе развитой в предыдущих параграфах метода;?, к техника- доказываются достаточные условия для непрерывной продолжмости интеграла типа коси на Гранину изнутри и извнг рассматриваемой области.

В § 3.5 .дается применение получоншх результатов к ясслздоаэнмю разрешимости классиче-кой краевой задачи теории аиачитических фикций - краевой задачи Римана - на з.а.с.к., а также к исследованию разрешимости соответствующего синг'улярного интегрального уравнения. В случае произвольной з.к.^.к. теория краевой задачи и сингулярного интегрального уравнения построена в работе А.А.Бабаева и В.В.Салаева 121 . Случай неспрямляеыой кривой рассмвтривзлся в работах 3.А.Селезнева, Т.С.Папускаловой, Б.А.Каца и др.

Глава 4 посвящена исследование сингулярного интеграла я интеграла типа Коии на разомкнутой ж.с.к. и применению полученных результатов к исследовании разрешимости краевой задачи Рютана.

Г; 34.1 приводятся необходимые сведения и обозначения.

Б рассматривается краевая задача Римана'(однородная) на произвольной разомкнутой ж.с.к. 7 - : найти Ф с £ по краевому условию

<5+(t) =G(t)$"(t) f g(t), t € T = Y^a,^}, (4.2.1)

где С - фиксированный класс кусочно-голоморфных функций с линией скачков т, В я я -- заданные на 7 непрерывные функции, причем G(t)/a на 7. -

В классической постановке в качестве класса JC выбирается класс В С 7 ) ограниченных кусочно-голоморфных функций, либо класс К (7; обращающихся в нуль на бесконечности кусоч..о-голоморфных .{¡ункций.

В классической теории краевой задачи Римана lia гладких кривых с гельдсровскими коэфТициентакя доказывается, что индекс

'Kartдев А.А.. Сзлаев В.В. Матем.замзтки, 1932, 31, Л 4,571-530.

задачи полностью определяется коэффициентом G- В работе аЕтора

13)

было показано, что б случае негладких кривых индекс задачи существенно зависит от геометрии кривой вблизи концевых точек. Суть возвнкевдкх здесь эффектов заключается в . возможной спиралевидносги кривой вблизи концов (или, иначе, в возможной неограниченности взтвей argís-a^.) вблизи конца а^,, k=i, 2).

В 131 построена Teopi ч краевой задачи Римана на разомкнутых Е.с.к., удовлетворяющих условию 6^(5) = 0(5), б - 0+, г.'показано, что индекс задачи определяется коэффициентом G и числами

_ arg(z-a¿) arg(z-a )

ln ad ' = га'- •

"¿T

Исследованию задачи Ртеапа кь негладких кривых в последнее время привлекло большое вдиманла и -ену посвящено большое число работ. Приведем один из голучэшзк* ¿ диссертации результатов.

ТЕ0РШ& 4.2.1 . Пусть 7 - размахнутая s.s.z., G уОовАИйборяея; условию Лигшмр. и нэ обраещегяал v нуль на 7 и пусть Ф - решение однородной icpasBoü задачи Рилхзна в классе ограниченных кусочко-гоАояорЯтх футшй В (7). Тогда

®(s) = схр (r(s))P,(glg »Vfs (4.3.3)

\ 2

г<*> - ¿i í

Р,,(р) - A, w Б (1 - V ), q,. £ Ü = 1,2,

¡анонтескоэ произведение рода куль, построенное ко посл&вовапвАЬНоат ( еде z* - нуди ргаения),

R US) 71 П ГС

13'СейфуjuiasB Р.К. Уатеы.сборник, 1 ££•' 12, .0 2, 147-161.

... - 31 -причел порядок р',?^) удовлетворяет неравенству

■ р(?к) С ^(т), К-1,2, (4.2.7)

сЙ<9

ц. (7) = 1пШ'50: 11я |й-аи|"|аге(2-а!1)|=0>.

и на 7 выполняется асиягтояапесхов керсйенсжбо

За |Рк(1/(г-зк)| $ - ак1п|1-эк|+рк»и-0(С-аи)^, (4.2.8)

где 1п °<ак>'

При р(Рк)-1 и.адел а(?к)=0 а £ < +о, а счияаххря

функции нулей удовлетворяет нераЗ&ихпву

■ г4 /\(а, ,т)

п(Н.Р^) « сопз); I _~__0.1 . (4.2.10)

Л

16Н ''

где , " '

Мг,0) = иез{Е€7: 0<|£-1; |<4б), б>0.

Пр1 Рк(7)<1/2 ОбУ£1й вид решения однородней зойсчи ЙШЗТ-а а ¡Uac.ce В (у) дается фор.«улой (4.2.3), где функции удовлетворят уславши. (4.2.Т), (4.2.3).

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИЙ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛВДУИЩ РАБОТАХ?

I. ' 1ШУЛЛАШ Р. К. Разрешимость однородной крзевой задачи Рамана тш разомкнутой кривой// Тр. 1 -ей Сарзгснекой зтшей икслы "Теория фугасций и приближений", часть 2, 1983, с. 140-143. Л. СЕ1ШЛЛ/Е3 Р.К. Оцонки нокотори* характеристик решения зядачг Римша// Тр. мезухунар. копф. по тоорш приближения функций. Клоп, 1982. М.: "Наука", 1287, С.40С-402.

2. СЛФУЛМЕВ Р.К. Оценки для модулей непрерывности теплового потенциала двойного слоя// В сб."Сингулярные интегральные операторы". Баку: Изд. АТУ, 1Э87, C.10S-113.

4. СШФУ&ЛАШ1 Р,К. . О действии многомерного сингулярного интегрального оператора по .области в обобсщпгкт. гелъдеровых пространствах /V В сб."Сингулярные интвгргж*!.® операторы". Баку: ИЗД. Ш, 1S8&, с. 95- 100.

5. СШФУЛМЕВ ?Л. О действии многомерного сингулярного интегрального опзрзторз в пространствах Гельдера// Труды 4-ой Саратовской зимней ¡¡колы "Теория функций и пряблкгэний"» 1590. часть 3, с. 75-77. .

6. СЕпФУЛЛАЕВ Р.Е. Многомерный сингулярный интеграл с непрерывной

; шгатностьз по неограниченной области// В сб. "Сикгулярныз

интегральные операторы?. Ьаку: Изд. AT.V, 19Э1, с. 80-90.

7. СЖФУЛЛАЕВ Р.К. (SEIRILLAEV. R.K.), The Plemalj-Fnvalov theorem on a closed • Jordan curve. "The 2-гЛ Гй-^с.-АгэгЬ. 3¿-'íp, -Beau, Sept. B-14, 1932. Abstracts". Bato : f,992, pp. 7?-73.

8. СШФШЛВВ P.K. Граничные ззачексг. >ап?ошркых интеграле;» потенциала // Докл. АН России, 1993, у.£¡28, й 4, 431-433.

9. СЕИФУЛЛАЕВ V.K, Интегральные операторы типа потенциала -ш у.х граничные свойства // Мзтеи. сборник, 19ЭЗ, т. 184, й з, 57--ш,

Ю.СЕИФ^МАБВ РЖ. Граничные свойство многомерного сингулярного интеграла // иатам. заметки, 1993, т. 53, й 5, 107-119.

- 33 - • SÍ.IFULLAEU RUSTftM KAFflR oglg

BOUNMRY PROPERTIES OF POTEST I fli. TYPE IhTESRAL OPERATORS m THEÍP flPPl.ICftTJOS TO IRRE&OR BOUtiDAKV VALUE PROBLEMS

Thesis far tlte Degree of Doctor of Sciences in Physics and Hathenallcs in speciality 0!.01,01 -Xatheaatlcal Analysis.

5 ü M M fl R ¥ .

The dissertation is devoted to the investigation of boundary ijripnrties of potential type integral operators, including invss-li^atioi. of related singular integral operators.

The principal results of dissertation are as follous:

i :■ Tin; conditions for continuous extendability of potential Ir:-' i.- ' i:jr.3l operators to the boundary and foraulae, describing :ii? jacrií'ss Ihe boundary surface have been found. Necessary -rilcicat conditions for the bounds dr.ess of corresponding : ' : : integral operators in Holder space* for dosains aith r,5cci{h h-rrv.ijry have buen found and the connection hetue^n the Mivi«rv í-irsu.'ae for singular integral and the syibol has been rev.-i i H*. The obtained results have bean applied to solution of spin ia' analogue uf Riesann boundary value problea.

2) For the düii'jle layer heat potential nea estisates of partial uoduli of continuity in teras of partial aoduli of continuity of i'.cnsitj and saoothncss characteristic of boundary in C - cylinders have bi^en obtained. The estisates lapij the assertions on action of cnrrespcndir.i; integral operator tn parabolic

¡■'!!li'T SPslCÜS,

> r «r .i mIíííí class nf lor dan closed curves (Including non-¡■fe". 1 fiab 1*; ones) sufficient conditions for the validity of Ple-> ! i Prj"alov t iusircB have buen found and the obtained results 'jt-e-.i applied to ihe solution of Kiesann boundary value prob-tK in coaplex plana.

4 ? l-Yr 1 urdan upen rectiflable M-.rves having rotation order at '¡".t points loss than half thr ger.era! fo-rj of solution in t:i >..;•■ i;í' hounded anaütyc function ñas bt-.:a oa-aín*.-,;.^ and ihe u fur the tinitaness „f Riescon boundary value pro.»lea's ¡¡.¡.;t* been anal txed.

ШШШШ PfCTSM Г/iï'i? о■

ЖЕЕНШЛ КПЛН ШЕЕГРАЛ ШКРАТОРЛДШШ СЗРЬЭД МСС8ЛЭРЙ

еэ шш) pejrî-fetoijap сзрьзд кэсэлзлэршэ тэгбйп1 X Y Л А с в

Диасертасзуа изш: потенсиал гигаш интеграл сператорлзрыкш в; yJryH сингул^р интеграл опера торларынын с&рЬзд хассэларинпп е^энилиэсияэ hacp олунмушдур.

ДиосертасиЛада ашагыдаки эсас нэтичэлар алшашэдар.

1 ) Потепсиал типли кнтограл оперзторларшшн еорЬэдэ годэр касшизз олыасн учун кэртлар еэ сирЬэд гиЛмэтлэри учун сачраЛкш Паггындз дустурлар ташлмшвдыр. УЛгун»синг}^эр оператор чариям йамар сзрПвдэ малик олан белкулэрда Ьедцер фэ'заларда тэ'скрн учун Еорури еэ кафи ыэртлэр тапылмцздыр еэ серЬвддэ cirspajua har-гшада дустуру вэ символ арасшда ыовчуд олан элагэ г.еотэрилуш!-дкр. Алынмшз натетэлэрин ?инан сэрЬзд -мэсэлэсинин фэ'за аналогун Ьздлплэ татбиги верилмипдар..

. 2) Икигат ла,)ан истилик потенсиалын хусуси кэсилмэзлик коду ллэры учуй сыхдшгшин хусуск кесхАтгшяс кодулларн ьэ серЬэдан Ьамарлкг характерис-дасасы терятдспаздэ С1 -сшюндрлэрикдз таза п^мэтлэдирмалэр алынмшпдыр. ¿лншшш пОматлэндирмэлврд&н yjryn интеграл операторунун параболкк Ъеддер фэ'заларда тэ'сиря har-гыддз тэклкфяэр чыхыр.

3) Гапалы Еордан э^илэрин кениш бир сшшфи учун (дузльад! рала Склизj3K й^рнлэр дахил олмагла) Лпемел-Иривалов теореминин догру олмасн учун кафи шэртлэр тагшлмишднр на ялынмига нотиччл;'рим комплекс мустэвидэ Риман сэрпэд мэсэлаоинин îk-шшнэ тиг1";;:1;: зсрклминдар.

4) Ачиг дузлэндарилэ йилаг во уч ногтрлзриня» bv.-дяи кгияс фыраланмасынын кеетэричисинэ малик олан Жгрцэн ajpn.-..tp у.; • ыэйдуд 1шссэ-1шссэ Ьоломсрф Cr/HKCHjanap еинафяиа скрчклг Г.и.-> ! сзрпэд мэсэласпнин Ьоллшекл умуми иакли алшмшпдир г:и и.чл'т.гг.н соплу олмасы учун шэртлэр о^ни.чмкгдир; •

^ о t •'/'■< - .1