Разрешимость граничных уравнений в задачах динамики упругих сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

-1 9,3,

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ®ЗИК0-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

ЧУДШОШЧ Игорь Юрьевич

РАЗРШШСТЬ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ДЙНАШНИ УПРУГИХ СРЕД ОПОКОЭ - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора фиэико-мат статических наук

Харьков - 1993

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычиа тельной математики Харьковского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор.физико-математических

наук М^ВДаукшто

доктор физико-математических наук, профессор Я.А;Ройтберг

член-корреспондент АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Е.Я.Хруслов

Ведущая организация - Ростовский-на-Дону государственный университет

Защита диссертации состоится 1993 года

в часов на заседании специализированного совета Д 016.27.0 при Физико-техническом институте низких температур АН Украины /310164, Харьков, пр.Ленина, 47/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-техн ческого института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан _ 199^ года.

Ученый секретарь совета, (№ш1шйо

доктор физико-математических наук, ^^ . .

профессор В.А.Ткаченко

>рулз . л,

' '..мЯ ОЩАЯ ХАРА1

(ТЫ

Актуальность темы. Роль методов теории потенциалов в теоретических исследованиях и численном решении краевых задач для уравнений и систем эллиптического типа хорошо известна. Их становление связано.с именами К.Неймана, А.Пуанкаре, О.Гельдера, А.М;Ля-пунова, В»А;Стеклова, Э.Фредгольма и многих других. Основной идеей этих методов является представление решений дифференциальных уравнений и систем уравнений в виде специальных интегралов, содержащих неизвестные функции - плотности потенциалов, позволяющее свести краевую задачу к решению интегральных /псевдодифференциальных/ уравнений относительно этих плотностей на граничной поверхности. В настоящее время построение теории потенциалов для общих ■ эллиптических, краевых задач можно считать практически завершенным /см; работы Ю.1Г.Красовского, опубликованные в конце 60-х годов/. Почти столь же хороню методы .теории потенциалов развиты в параболических начально краевых задачах. Совсем иное положение с граничными уравнениями сложилось в гиперболическом случае.

Начиная с конца 60-х - начала 70-х годов, в связи с бурным развитием метода граничных элементов стремительно растет количество работ, посвященных численному решении начально краевых задач для различных уравнений и систем гиперболического типа с помощью запаздывающих потенциалов. Общим для этих работ являлось не только отсутствие обоснований сходимости приближенных решений, возникающих при таком подходе граничных уравнений, к точным. Без ответа вплоть до последнего времени оставались основные вопросы теории -вопросы разрешимости этих уравнений и гладкости их решений. Между тем граничные уравнения в гиперболическом случае целым рядом свойств существенно - отличаются от аналогичных уравнений в эллиптическом и параболическом случаях,. причем эта свойства, существенно влияют на сходимость г устойчивость алгоритмов их численного решения. Имевшиеся несколько строгих -Математических работ, посвященных гранхчным свойствам скалярных запаздываниях потенциалов /С'Л'ХМихлин,, В'Д.Сапсжникова, 1976 т%/ к-разрешимости двух граничных уравнений, .возникающих при. решении с помощью этих потенциалов двух-основных начально , краевых задач для.трехмерного волнового уравнения: /¿¿БамЗергер, ХаДуонг, 1986 г.;/, являясь пионерскими в построении теории граничных уравнений в гиперболическом случае, давали ответы лишь на первоначальные, вопросы этой теории; Особо отметим вклад в исследование вопросов разрешимости задач динаквка

упругих сред, сделанный математиками Грузла /Ё.Д.Куцрадзс,. Т»Г.Ге-гелжа, М.О.Башелейшвилн, Т.В.Еурчуладзе, Р.В.Дуцучава е др./. В днссвртацЕй проаналазароваяы различна какду подходом, традиционным для математиков грузинской ксолы, tskso дспоя&зующгм катоды теории потеяцаалов, и подходом к решению этих задач, использованным автором. Суммируя сказанное, отметим, что отсутствие последовательной а достаточно полной георва запаздывающих потенциалов в гиперболическом случае к концу 80-х годов начало сдергивать развитие численных методов решения соответствующих начально краевых задач, входя в противоречие со все возрастающими потребностями исследования * многих физических процессов.

Цбль работа состоит в изучения свойств псевдоджфферавцнаяьных граничных операторов, порожденных запаздывающими потенциалами, в шкалах пространств типа соболевских; исследовании на основе этих свойств вопросов разрешимости граничных уравнений /ГУ/ в начально -краевых задачах для систем гиперболического типа, гладкости их ре» зелий, связи мезду решениями 17 и исходных начально краевых задач; построении методов приближенного решения Г7 Еместе с оценками погрешностей, возникающих при замене точных решений приближенными. Б качестве модели, на которой демонстрируются развитые методы и полученные результаты, выбрана динамическая теория упругости.

Метод исследований. Для получения результатов в работе, использованы методы функционального анализа и вариационные методы математической физики.

Научная новизна. Полученные в работе результаты являются новыми - автору неизвестны строгие математические работы других авторов, посвященные вопросам разрешимости рассмотренных ниже 17-в задачах динамики упругих сред. Работы se прикладного характера, в которых численно решаются практически, важные задачи /например, задача о распространении упругих волн при землетрясении/ обладают недостатками, указанными.вше....................... - -............

Теоретическая. и практическая ценность работы. - Теоретическая , .ценность работы состоит в изучении cboícsb основных граничных операторов теории упругости в шкалах соболевских пространств, что позволило дать ответы на вопросы об однозначной разрешимости. 17 для широкого класса начально краевых задач теории.упругости и о гладкости их решений. Отметим тах&е, •rao многие из развитых в работе катодов, по-видимому, могут быть перенесены на.другие классы задач математической физики - задачи колебаний тонких упругих пла-

стин, задачи термо- и вязкоупругости /для сред с "памятью"/, а также на начально краевые задачи электродинамики для системы уравнений Максвелла.

Практическая ценность работы состоит в построении методов приближенного решения ГУ в задачах динамической теории упругости. Отметим, в частности, результаты, собранные в последней главе работы. Б них указаны минимальные порядки пространств граничных элементов по пространственным переменным и сплайнов по временной переменной, достаточные для сходимости алгоритмов приближенного решения ГУ. Бее это дает возможность использования результатов работы при численном решении задач динамики упругих сред.

Для защиты выдвигаются следующие основные результаты, полученные, в диссертации.

, I. Теоремы о свойствах в шкалах соболевских пространств псевдодифференциальных операторов, возникающих при решении с помощью упругих запаздывающих потенциалов следующих задач динамической теории упругости.

а/ Четырех основных начально краевых задач,

б/ начально краевой задачи с граничным условием смешанного типа, •

в/ задачи трансмиссии /динамической контактной задачи/,

г/ задач нестационарной дифракции упругих волн на незамкнутой поверхности /многообразии с краем/, моделирующей пространственную трещину или разного рода включение в упругой среде.

2. Теоремы об однозначной разрешимости и о гладкости решений нестационарных ГУ в перечисленных выше задачах.

3. Исследование разрешимости и гладкости решений ГУ, полученных в рамках, так называемого, "прямого" варианта.

4. Построение методов приближенного решения нестационарных ГУ в перечисленных выше задачах. Обоснование их сходимости в соболевских пространствах вместе с оценками погрешностей.

5. Конкретизация оценок погрешностей в наиболее распространенном при численном решении ГУ случае выбора аппроксимирующих подпространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Харьковского, Санкт-Петербургского, Ростовского.университетов, Черниговского педагогического института, Института математики АН Украины /Киев/, Института проблем механики Российской

АН /Москва/, а также на заседаниях республиканского семинара "Эффективные методы решения, краевых .задач математической физики" /Гарьков/. Отдельные результаты докладывались на УП-й Всесоюзно? конференции "Комплексный'анализ и дифференциальные уравяения" /Чернотоловка, 1989/, Всесоюзном совещании "Метод граничных интегральных уравнений: задачи, алгоритмы, численная реализация" /Пу-щино-на-Оке, 1988/, Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" /Геленджик, 1988/, 17-м Аарьков, 1989/ и У-м /Одесса, 1991/ Всесоюзных симпозиумах "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики", Республиканской конференции "Эффективные численные методы решения краевых . задач механики твердого деформируемого тела" /Харьков, 1989/, Х-ь Всесоюзном симпозиуме по дифракции, и распространению волн. /Винница, 1990/, Всесоюзной школе по современным методам вычислительной математики /Харьков, 1990/, Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" /Самара, 1992/, Международной конференции, посвященной памяти академика М.Ф.Кравчука /Киев, 1992/.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 24 работах. Список основных публикаций автора приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация изложена на 268" страницах и состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы /205 наименований/.

СОДЕРШЙЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор методов решения задач статики и динамики упругих сред и полученных этими методами результатов. Заметим, что к настоящему моменту сформировались два основных подхода к изучению граничных уравнений. Первый, традиционный, состоит в исследовании ядер граничных операторов, участву-'щих в соответствующих ГУ, с последующим применением альтернативы Фредгольма при исследовании их разрешимости. Этот подход, позволивший провести полное исследование ГУ в задачах статики.упругих сред, а также в. задачах их установившихся колебаний /СЛ'.Шхлин, ВД.Купрадэв, А.МДусков и др./, оказывается неприменимым в суще-

ственно нестационарных задачах. Причиной этому является то, что основные граничные операторы, введенные ниже, перестают быть нормально разрешимыми - области их значений не замкнуты в соответствующих пространствах. На языке псевдодифференциальных операторов это связано с вырождением их символов на многообразиях меньшей размерности.

Для того, чтобы сделать более ясным смысл ряда приведенных ниже теорем, опишем типичную ситуацию, возникающую в гиперболическом случае. Пусть / - один из граничных операторов, порожденных упругими запаздывающими потенциалами. Во всех случаях удается доказать непрерывность и иньективность отображения/ '■ , где

и ^ - некоторые гильбертовы пространства. Область значений ¡-{(¡С) оператора / лишь плотна в пространстве , не совпадая с ним, обратный оператор ЁГ_£ неограничен. Од-

нако, оператор / , отображающий в более широкое про-

странство Е7£о с более слабой, чем в пространстве Е^ , топологией, оказывается ограниченным. Следовательно,/ по непрерывности продолжается до оператора /с £г » причем его эбласть значений снова лишь плотна в Е^ . В свою очередь, обрат-аый к нему оператор / можно по непрерывности продолжить на цо оператора / : <-> ££ о и т.д. Отскда следует целесооб-

разность изучения свойств операторов/ и/1 в шкалах пространств. Зроблемой при этом является как можно более точный выбор пространств Б£ > Яз и т.д., обладающих как можно более сильной топологией. Применительно к ГУ это означает получение неулучшаемых результатов о гладкости их решений. Отметим также, что свойства граничных операторов в шкалах пространств оказываются весьма по-иезяыми при построении методов приближенного решения соответству-ощих ГУ /глава 6/.

Второй подход к изучению ГУ использует.тесную связь между шми и исходными начально краевыми задачами. Такой подход, в частности, использовали I.-Л.Лионе, а также В.Г.Мазъя в недавнем щкле работ, посвященных разрешимости ГУ в задачах статики упругих сред в областях с кусочно-гладкой границей. Именно этот под-сод использован.в диссертации.

Используя стандартные методы, несложно доказать существова-ше обобщенных решений начально краевых задач теории упругости в гроегранствах векторч£ункцжй, обладающих "конечной энергией". Од-

нако этого оказывается недостаточным для исследования свойств граничных операторов в шкалах соболевских пространств вектор-функций на граничной поверхности. Одним из его центральных моментов является использование оценок соболевских норм решений начально краевых задач в пространствах с высшими номерами /в шкале пространств/. Трудность здесь состоит в следующем. Нужные оценки естественно искать в работах, посвященных разрешимости общих начально краевых задач гиперболического типа. Однако.результаты большинства этих работ /Л.Р.Волевич, С.Г.Гивдикин, Я.А.Ройтберг и многие другие/относятся лишь к, так называемым, строго гиперболическим по И.Г.Петровскому /или Лере-Еолевичу/ уравнениям и системам. Система же уравнений динамической теории.упругости является нестрого гиперболической /в терминологии В.Д.Купрадзе - вырожденной гиперболической/. В связи с этим автору пришлось получить требуемые оценки - соответствующие результаты собраны в главе 3 диссертации, Метод их получения основан на переходе к преобразованиям Лапласа по временной перемешой и изучении возникающей при этом эллиптической системы с параметром. Изучение этой системы при каждом фиксированном значении параметра преобразования Лапласа р тривиально, сложности возникают при попытке проследить зависимость констант, входящих в оценки решений соответствующих краевых задач, от параметра р . Аналогичные задачи.рассматривались.ранее рядом авторов /М.С.Агранович, М.И.Вшшк, Я.А.Ройтберг и др./, однако возникающая в те-ории упругости система "нерегулярно" зависит от параметра р , что не позволяет использовать полученные ранее результаты. В работе предложен метод получения оценок решений краевых задач для системы теории упругости с параметром, который, с одной стороны, существенно использует специфику этой системы, а,. с другой стороны, по-видимому, может быть распространен на системы более сложной структуры.

Перейдем к изложению результатов, полученных в.диссертации.

Первая ее глава насит вспомогательный характер, в §1.1 вводятся нужные обозначения. Пусть ¡о - гладкая класса замкнутая гиперповерхность /многообразие без края/, разделяющая ,(¿>2 /в реальных задачах с!= 2, 3 / на области (1? /внутреннюю/ шЛГ /внешнюю/. В областях (?+=Х2+х {о,схГ) кли£=/2Гх1Р+ ищем

вектор-функцию тлСХ)=00, •..; И^ £Х)~) ,Х=(х,£) /в теории упругости - смещение точки X в момент времена "Ь /, являющуюся решени-

ем начально краевой задачи

= ХеС^, (I)

(д^ХК + о)^ Ог (2)

граничное условие.

В СО , С2") <р - постоянная /плотность среды/, которая далее полагается равной единице, _Я - матричный дифференциальный оператор анизотропной теории упругости

я^си), с1}

± ~ тензор напряжений^ связанный с тензором деформаций з-коном Гуна

'З-цкк. > ..., с1 - компоненты тензора упругих коэф-

фициентов среды, удовлетворяющего условиям симметричности и эллиптичности. Заметим, что однородность уравнения (I) и условий (2) не существенно ограничивает общность задачи, поскольку иглеющиеся неоднородности можно с помощью хорошо известной процедуры перенести в краевые условия, к формулировке которых мы переходим.

В задачах Г72£ /первой основной внутренней или внешней/ граничное условие имеет вид 1С ОС) =

. Здесь и

далее верхние индексы над векгор-^функциями обозначают их предельные значения из или соответственно. Во второй основной задаче т£ задан век1ор(Туг1)'0С) = (^(Х),Х^21+, где УСх) - орт нормали к , внешней относительно Л? -операция нормальных граничных напряжений, определенная пормулой

(X и\ 00 - ЛД ^ 00 ^ <*) , ¿.Ч , с[.

± +

Мы не приводим здесь постановки третьей П13 и четвертой пп^ основных начально краевых задач, основной задачи с краевым условием смешанного типа гшх~ , задачи трансмиссии Г и двух задач

нестационарной дифракции упругих волн на многообразиях с краем

и <¿¿-^3 - они будут даны при описании соответствуют« разделов работы. Заметим, что в §1.1 даны математически "наивные" постановки -.корректные же постановки начально краевых задач приводятся в §1,5 после введения необходимых функциональных пространств.

Б §1.2 вводятся упругие запаздывающие потенциалы и излагаются известные сведения об их поведении при переходе точкичерез' гиперповерхность 2!=& х • Упругие запаздывающие потенциалы. простого и двойного слоев с с£. -компонентными плотностями и. , заданными на 2 , вводятся формулами

ш) - 52 ((т^рра-щсщ «

соответственно. Поясним использованные в (з) , (4) обозначения. Через 'Щ а), ¿ = • ■ ч ^ обозначены столбцы фундаментального решения Ф(Х) уравнения (I) , представлящего собой -ма-

трицу /тензор/, удовлетворяющую условию причинности:ФСХ")-О при •¿< О ^, е- ,¿ = 4,. ■ ■ ,с1 - орты декартовой систе-

мы координат, Т^-) - операция нормальных граничных напряжений, действующая по переменной ^ . Очевидно, оба потенциала при финитных плотностях и, , е [СГ(2)]* равных нулю при Ь< О , удовлетворяют (I) и условиям (2) . Формулы скачков потенциалов Сз) , (4) аналогичны формулам скачков соответствующих статических потенциалов: , ^ _

уед - гсо, суОЮ-РМ а) -¿а),

Основные граничные операторы, действующие в функциональных пространствах на , вводятся формулами:

К**.-- (%УУ(Х), ^ = Л€Л-

Изучение свойств операторов ~У , , , Р , проведенное во второй и третьей главах работы, является одним из ее цен-

гральных моментов. При этом удобно перейти к преобразованиям Ла-шаса по переменной ~Ь' :

ОО

Ц"Ср) - гкх,р) = £ехр(-р^)сИ. (5)

Как видно из (5) , для оригиналов и изображений сохранено од-го и то же обозначение 11 . После перехода к преобразованиям Ла-шаса уравнение (I) принимает вид

С£?+*Я)исх,р) = о , у Сб)

потенциалы (3) , (4) обозначаются через ~\/р 00 , "И^р Ос) , осно-¡ные граничные операторы - через Лр , УУр, Кр , Рр .

В §Г.З поставленные ранее начально краевые задачи с помощью Представлений их решений в виде различных комбинаций упругих за-газдывающих потенциалов сводятся к системам ГУ на гиперповерхно-:ти Так, например, представляя решения задач ггг^ потенциа-

юм простого слоя

И(Х) = У(Х) , Те СГ С7)

госле предельного перехода X Ж из приходим к ГУ

У^ = £ (8)

Представляя решения этих же задач потенциалом двойного слоя

исх) = уга), хес?., сэ)

1риходим к ГУ +

пг

= ^. Сю)

~ . - . ±

Представление (7) решений задач приводит к 17 ±

ггг

К^ = д , (II)

гредсгавление (9) для решений тех же задач дает 17

Отметим, что ГУ (10) , (П~) содержат внеинтегральные члены + 1 ¿об соответственно. Входящие же в них интегральные члены представлены сингулярными интегралами с запаздывающим аргументом у подинтегральных функций. Левые части в (8) , (12} являются соответственно слабосингулярными и гиперсингулярными интегралами с запаздывающими аргументами подинтегральных функций.

Ограничимся пока этими ГУ. Другие ГУ, возникающие при решении задач пг^ ,пйх~ г ¿Г , будут приведены при описании соответствующих разделов работы.

В §1.4 вводятся функциональные пространства, в которых действуют граничные операторы, определенные в §1.2. Пусть а€>0. Введем при всех гтг.кеК пространства Иг,-т, к, ее (2+), состоящие из обобщенных <Л -компонентных вектор-функций и.(Ж) , заданных на 2 , равных нулю при ~Ь < О , таких, что елр(-зе£)(Э^г1) (.X) е £ [Уугг£(2;)]с1, где - оператор дробного дифференцирования .Подстандарт кое пространство С.Л.Соболева с номером гп . Аналогично вводятся пространства Нё.ттг, к,ге )• Через у- обозначим операторы следов, непрерывно при гп > -^/й. отображающие пространства •Н5;Л7,к,наЯе.те-^,к,жС2+).

Как уже было сказано, в §1.5 даны корректные обобщенные постановки начально краевых задач.из §1.11 Ограничимся здесь постановками задач ГП£ . Предположив, что заданная вектор-функция ^£ еНг^^ае. С-2+) , назовем решением задач гп^ элемент ИеЩ^оге^/, такой, что $ > удовлетворяющий уравнению

где (■ , • - скалярное произведение в для любой фини-

тной вектор-функции £ е [С^С^г')]^ » равной нулю на . Объем автореферата не позволяет привести здесь аналогичные постановки остальных начально краевых задач.

Вторая глава посвящена изучению свойств основных граничных операторов, позволяющих ответить на вопрос о разрешимости ГУ в двух первых основных начально краевых задачах теории упругости. Результаты главы 2 справедливы для кусочно-гладких поверхностей 0 класса , состоящих из гладких "кусков" класса С^^Ю. В случае же гладких ;5 эти результаты могут быть обобщены и усилены, что и сделано в главе 3. Объектом исследования являются

операторы , У/п~, Кр , Рр , действующие в пространствах С. Л .Соболева Ы -кошонентных вектор-функций с

параметром р , меняющимся в Сэефе€^ер>ее} . В случае нормы в этих пространствах вводятся формулой

^ 03)

где й(£,р)~ преобразование Фурье элемента г^^р) по переменной ХсК^. В случае произвольной нормы пространств Н^рСБ) определяются с помощью стандартной процедуры локализации. Аналогично определяются пространствар(Х1г). Заметим, что при всяком фиксированном ре С0 пространствоНт,рСЗ) и пространство С.Л.Соболева [У/^ (В)]1^ совпадают как множества, их нормы эквивалентны. Используя это обстоятельство, несложно сделать вывод о том, что основные граничные операторы при каждом фиксированном р £ Са обладают теми же свойствами, что и аналогичные операторы в статическом случае. Например, оператор 1/р осуществляет изоморфизм пространств р^кН-^ р (£>) . Нетривиальным же здесь является исследование зависимости' операторов от параметра р ,.

В §2.1 вводится один из основных объектов теории нестационарных ГУ - операторы нормальных граничных напряжений ТУ"- . Приведем их определение. Пусть Ну^рС^^^Я^р(¡От)- /обобщенное/ решение уравнения (6 ) в соответствующих областях ¿Г2г со следом на /э , равным ^ . Пусть 2 - произвольный элемент пространства Нуг р($) .ЫеЦ р(22 ) - его произвольное продолжение в . Определим при всех р е операторы Ар равенствами

где <',->0а, -^скалярное произведение , ('¡Оо.л* - в

¿ш

Операторы ./^"определяются с помощью оператора преобразования Лапласа А равенствами./^-=

¿л . Механический смысл операто-ровтУ' состоит в следующем. Эти операторы сопоставляют смещениям граничных, точек среды вызываемые ими при отсутствии объемных сил нормальные граничные напряжения. Формула (14) определяет/У^ как операторы, отображаювде. В §2.1 доказано, что эти отображении биективны, более того, для любого элемента

при всех р € С-е ,32 > О справедливы оценки:

с постоянной с , не зависящей отреС^. Заметим, что именно оценка (15) в случае гладких ¿> может быть усилена /глава 3/. Установив голом^фность отображений^^[Жу, СА)]^ , (^р)Ь при условии голоюрфности отображений

ре С*^ Я(*,рУ-ре , и заметив, что но^

ма элемента может быть представлена в виде

где

=исхзр), получаем основное утверждение §2.1. Теорема 2.1. Операторы-Д7- осуществляют непрерывные инъек-гивные отображения

при всех 1<е К ,а2>-0.. ; области их значений плотны в соответствующих пространствах.

Обратные операторы, продолженные с плотных множеств на эти пространства, осуществляют отображения

непрерывные при тех же к , эе .

Отметим, что важность исследования свойств операторов Ы' связана с тем, что основные граничные операторы У ,Р

являются элементами алгебры, натянутой на образующие М~. На это. обстоятельство в статическом случае обратил внимание В.А.Щербина, использовав его при решении задачи Неймана с помощью потенциала двойного слоя.

В §2.2 изучаются свойства оператора потенциала простого слоя

У

. Заметим, что в силу формул скачков)' . Основные результаты представлены в теореме 2.2, в которой доказана непрерывность операторов У , V ^ и плотность областей их значений в следующих парах пространств:

к,% ^ Н5;% к-1, а? ,

Г*: Яг; . (Г) «Л.,^« С*).

Сочетание этого утверждения и утверждения теоремы 2.1 приво-аг к непрерывности при всех кеЯ? операгоровК^Т^У и

5ратных к ним (К-) , отображающихН^. вН^-^к-г,ее

§2.3 посвящен изучению свойств операторов предельных значе-ай потенциала двойного слоя ТУ~~ . Заметив, УЛ^ , по-

учаем непрерывность при всех ке£1 ,аг>о .операторов ТУ^ , го б ражащих и К ж ;У>,к-г,а* • Наконец, прямым

недствием предыдущих результатов является утвервдение о непреры-гасти оператора У =.ЛГ РУ и обратного к нему. Однако

га результаты могут быть усилены. Справедливо утверждение /тео-зма 2.5/ о непрерывности при всех к е П? ,а°>о операторов

Полученные результаты дают ответ на вопрос о разрешимости 'стационарных ГУ (8) , (10) - (12) в первых двух основных нача-ьно краевых задачах. При этом следует лишь воспользоваться свой-гвами разрешающих операторов У"1 ЛУ^Т^^У1, этих ГУ, при-зденными выше. •

Решив ГУ (8) , Сю) - (12) , построим соответствующие потен-1алы простого или двойного слоев с найденными плотностями. Дают I эти потенциалы решения соответствующих начально краевых задач Т12 или Г)2£ ? Другими словами, обладают ли эти потенциалы "коне-гой энергией" в ? Утвервденин теоремы 2.7 дают положительный свет на этот вопрос при выполнении условий ^еНэ-и/ » (2^),

Последний раздел главы 2 посвящен разрешимости нестационар-к ГУ в-рамках, так называемого, "прямого" варианта. В отличие г уравнений (8) , (10) - (12) , полученных методами потенциалов, жомые величины в прямом варианте имеют непосредственный механи-гский.смысл - это смещения или нормальные граничные напряжения 1 /> . Саш уравнения выводятся с . помощью формулы Сомильяны -1ругого аналога 3-й фори^улы Грина. В наших обозначениях эта ура-

+

внения в задачах гп^ имеют вид:

nfly.t да

Решив уравнения (16) или (17), строим вектор-функцию

(ЖХ1 -VCX), XeG, J

в которой VQC) - потенциал с найденной плотностью

c¿ ,W)-

потенциал с плотностью ^ , давдуго решения задач . В случае зада17 имеют ввд

г ' , С«.)

<*>

При этом решением задач m¿ является вектор-функция и(Х), определенная формулой (18), в которой теперь ~V~(X) - потенциал с заданной плотностью Q , WCX) - потенциал с найденной плотностью JJ3 . Заметив, _что разрешающими для уравнений (16), (17) являются операторыУ для уравнений (19),(20) - операто-

ры

видим, что разрешимость ГУ (16), (17^ (19), (20) является следствием полученных ранее результатов. При

вектор-шункция П(Х) , построенная по' формулам (18) , дает решение задач ni]_ , /7i¿ соответственно.

Глава 3 посвящена исследованию гладкости решений нестационарных ГУ, существование которых доказано в §2.4. В этой главе обобщаются и уточняются результаты §§2.1-2.3, касающиеся свойств граничных операторов. Основным моментом исследований является получение оценок в пространствах Нпг( р Нпг, р СЙ) , ре С & , се>0 решений эллиптических краевых задач с параметром для уравнения

ргисх,р) + р) = ср СУ, р), xeJTT, (21)

где <2. - матричный дифференциальный оператор с переменными коэффи-

сентами ,

тензор упругих коэффициентов неоднородной ани-►тропной среды, удовлетворяющий условиям:

;е постоянная оС> О ,^укк, о ,К^ = 1,- ■, (£ постоянны,

к.Н.=л такзке удовлетворяют условиям мметричности (22) и эллиптичности (23) . Гиперповерхность ^полагается гладкой класса

Как уже было сказано, изучению эллиптических краевых задач параметром посвящено большое число работ, однако применение .звитых в этих работах методов исследования общих эллиптических дач с параметром сталкивается в данном случае со значительными удностями, связанными с нарушением "регулярной" зависимости от .раметра. Это обстоятельство существенно усложняет исследования, гесте с тем, система (21) обладает рядом благоприятных свойств имметричность (22) и эллиптичность (23) ее коэффициентов/, что конечном счете и позволяет получить требуемые оценки.

Результаты исследований, проведенных в двух первых разделах авы 3,.собраны в следующем утверждении.

Теорема 3.3. Пусть иеВ^рСЛ*), 1 ц, . Суще-

вуют положительные постоянные С^ ,Э?с£) , такие, что при $ер= ^■аеС^) справедливы оценки:

3/г р>3 + чср^р^), Щ^е-ЪР.а «ьС^в-м* ирг'и^р,^,

которых верхние индексы "±" обозначают предельные значения со-

Г7

ответ ствущих величии при из соответственно.

В §3.1 утверждения теоремы 3.3 доказаны в случае полупространства, в §3.2 с помощью стандартной процедуры локализации эти результаты перенесены на случай произвольных областей /2г с гладкой границей.

В следующем §3.3 аналогичные оценки получены для решений задачи трансмиссии. Предположим, чпоиеИ^ р^^йеЩ^р^), £>4.;

, причем на граничной гиперповерхности 11^=11 . Основным результатом §3.3 является теорема 3.4, содержащая оценку _ ,

при <зъ ее(1)>о. ...

Результаты теорем 3.3, 3.4 позволили в §3.4 доказать одну из центральных теорем работы, касающуюся свойств основных граничных операторов динамической теории упругости. Ввиду ее важности, приведем здесь ее полную формулировку. ^

Теорема 3.5.

ОператорыУк , V" , К1 , Р

осуществляют непрерывные инъективные отображения:

■ Нё;т+1,к,ге и-1, ж

К-: Яё;тлж (Х+) ^Н^^СЖ*),

р ' т-иХ эе. (2*) '-"УЗ^гп., к-1,5£

при всех пг^-1/е., ке (Р? ,эе » зе(Ьг) > О. Области их значений плотны в соответствующих пространствах.

Обратные операторы, продолженные с плотных множеств на эти пространства, осуществляют отображения

<£>) «Н*™«,^,* его,

а*), оп,

зпрерывные при тех же пг , к , эе .

Результаты теоремы 3.5 позволяют существенно уточнить и обо-цить утверждения о разрешимости нестационарных ГУ (8) , (ДО) -12), полученные в §2.4. Уточняется при этом также теорема 2.7, ринимаицая следующий вид.

Теорема 3.6. I. Пусть ^еЦэ-/^® (2'+). Решив ГУ (8), (10) , эстроим потенциалы (7),(9) с найденными плотностями оС ,со-гветственно. При I ,зеъЭеСЕ) вектор-функция и (Х)£

в ойоих случаях дает решения задач гп± .

2. Пусть деНё^пг,^ Решив ГУ (II),(12) , построим

эгенциалы (7), (9) с найденными плотностямио£ соответствен-

о. Припг^-^/г.пи/о-^ ,эе»а?£лг) вектор-функция 7л(Х~)£ Б ойоих случаях дает решения задач т^ .

Нельзя'ли усилить полученные результаты? В §3.5 построен ример, показывающий, что для ГУ ,пг\ Р-г , возникающих

рамках прямого варианта при решении плоской задачи теории упру-осги в полуплоскости, этого сделать нельзя. Этог пример может лужить основой для аналогичных примеров, относящихся к другим ипам ГУ.- Пусть Щ ¿£г: Уг>о] . Разрешающим

ператором уравнений ,пг| р.г является (/V*). В §3.5

троится вектор-пункция <де.Н£.0 у ж (.2Г+) , такая, что(Ж+)е

г&еМ2*) ни ПРИ каком 6 >0 •

есьма неожиданным оказалось то, что - это релеевская вол-

а, бегущая вдоль границы упругой полуплоскости.

В последнем разделе главы 3 рассматриваются начально краевые адачи для неоднородного уравнения динамической теории упругости неоднородными начальными условиями. Показано, что с подащью бъемного запаздывающего потенциала и двух "начальных" потенциа-ов неоднородности в уравнении и начальных условиях могут быть пе-енесены в краевые условия. Если при этом выполнены известные "ус-овия согласования" начальных и граничных данных, то задача сво-ится к рассмотренным ранее.

Четвертая глава работы посвящена исследованию ГУ в динамиче-кой контактной задаче, 3-й и 4-й основных начально краевых эада-ах, а также в основной задаче с граничным условием смешанного

типа. При этом возникает необходимость расширения алгебры граничных операторов, действующих в шкалах соболевских пространств на граничной гиперповерхности. Исследование свойств новых образующих этой алгебры в сочетании с результатами, полученными ранее, по- . зволяет доказать утверждения об однозначной разрешимости соответствующих ТУ.

Б §4.1 рассмотрена следующая задача трансмиссии. Пусть область по-прежнему^ занята упругой средой с тензором упругих коэффициентов fo.gKh.lij, к, /г область ЛГ - другой средой с другим тензором упругих коэффициентов, удовлетворяющих условиям симметричности и .эллиптичности. Условимся далее все величины, относящиеся к среде в области <€Х , помечать сверху волной. Б областях (3^ и ищутся вектор-функции ЖХ)рЮО соответственно, удовлетворяющие соответствующим уравнениям (I), начальным условиям (2~) и граничным условиям:

Ъ1+СХ) - гГ(Х)=^ЬО, (ТиШ) - (%£)00

механический смысл которых состоит в условиях контакта на границе раздела сред. Представив решение этой задачи /задачи Ьг / в виде

1±сХ)=У(Х), Хе^ ; исХ)=У(Х),

придем к системе ГУ относительно плотностей с1 , и. : 'У^-У^гР ' . е , п

ть-ъ-ъ ™

Представление решений задачи Ьг в виде других комбинаций запаздывающих потенциалов простого или двойного слоев приводит к соответствующим системам 17, которые здесь не приводятся.

Центральным моментом исследования ^истем ГУ в задаче ¿Г является изучение свойств оператора(/\i-JZ~) ^ Оказывается, при всех т>-у£,ае^'де(гт£)>0 этот оператор осуществляет непрерывные ото-бражения^Т^'^.-Н^^^ге Сочетая

этот результат с утверждениями теоремы 3.5, получаем следующее утверждение о непрерывности прзе-^зеОтг) разрешающего оператора Ьг^- /фрагмент теоремы 4.2/ в следующих парах пространств

:галогичные утверждения получены и для разрешающих операторов зтальных систем ГУ в задаче -Ьг . Далее в теореме 4.3 доказано, го при во всех слу-

аях упругие потенциалы с плотностями, являющимися решениями со-гветствующих систем 17, дают решения задачи Ьг .

В §4.2 рассмотрены ГУ, возникающие при решении 3-й основной шамической задачи Г7Ъ^. В этой задаче к уравнению (I) и условии (2) добавляются следующие краевые условия:

це нижний индекс ^ или 7Г при вектор-функции обозначает ее нор-альную или касательную к ¡5 компоненту соответственно. В работе зучены четыре варианта систем ГУ, отвечающие представлениям ре-эний задач гп^ в виде потенциалов-простого слоя, двойного слоя их суммы с плотностями, одна из которых касательна, а другая -эрмальна к £ . Приведем результаты, относящиеся к одноку из зречесленных выше вариантов. Представление решения задачи виде

исХ) = Ш) , Г24)

1е плотность ^ потенциала 1/У касательна, плотность оД; потен-яала У нормальна к ,5 , приводит к системе ГУ

Обозначим через\*) кН^то^^(2^)подпространства в {¿т к & > состоящие соответственно из касательных и норма-5ных к векторных полей. Основным моментом исследований разде-1 4.2 является изучение свойств операторов , ЗТу , сопоста-ияюащх элементу г1£Щт кге(2%а-ры§^и)г,2гу } и (№*и)у ] со-гветственно. Знание этих свойств в сочетании с результатами тео-змы 3.5 позволяет доказать следующий результат о непрерывности ^решающего оператора системы (25) , составляющий часть утвер-1ений теоремы 4.5. При всех гп ■> -1/&, ке ,де>а%рг)>о оператор пз>уу) осуществляет непрерывные отображения

Решив.систему 17 (25), построим вектор-функцию иОС) по формуле (24) . Пусть (Л*) . Если Ъ/2. ,-за^эес£) , тогг^еН-^^^йГ^дает решение задач /7г| . Аналогичные утверждения получены и для других систем ГУ в. задаче пг£ .

В §4.3 рассмотрены четыре системы ГУ, возникающие при представлении решения четвертой основной задачи пг^ теш ке комбинациями потенциалов, что и в предыдущем случае. В задачах пг^ на2+ заданы касательная компонента вектора смещений и нормальная компонента вектора нормальных граничных напряжений. Полученные в §4.3 результаты аналогичны результатам §4.2 и поэтому мы их здесь не приводим.

Последние два раздела главы 4 посвящены ГУ в основной задаче Iтих- со смешанным граничным условием. Эта задача состоит в решении в или в С? уравнения с условиями (2) . Для формулировки граничного условия предположим, что £ разбита на две части ^ и ^ ненулевой поверхностной меры: £> 0 . Обозначим: ^ х ,1=1 ^ . Граничное условие в задачах гпЬс1 имеет вид

иЧХ) -^а), Хе 7 (Г^СХ) -дОС) , Хе (26)

Смысл условий 26 состоит в задании на части смещений граничных точек среды, а на части - нормальных граничных напряжений. Предлагаются четыре варианта представления решений этих задач: в виде потенциала простого слоя, двойного слоя и их суммы с плотностями,. сосредоточенными на разных частях гиперповерхности

. Рассмотрим здесь лишь один из вариантов. Представим решение задачи гтйх* в виде

. ИОО-ЖОО+УОО , - т

где плотность^ потенциала .ТУ сосредоточена на , плотность . оС потенциала V" - на . Представление (27) приводит к системе ГУ

[PttefD-i

. которой ±-< - операции сужения вектор-функций c2i на ,

Введем при m,l<£ ¡R , э&> О пространстваН^щ^-зеЩ), , вляющиеся подпросгрансгвами в Н^- гп< ^ д» состоящими из эле-ентов U с носителями SufpUc. Щ . Че^езН^гп.к,^ (Zj) ,L=i,£ do значил пространства, образованные сужениями на Л* элементов ространства^^тт^ к,« С2+). Основным моментом исследования си-тем ГУ в задачах mix- является изучение свойств операторов^;, £. > > которые сбпоставлязот элементам ¿¿сНг/гад«^*)

ары ,P//~zl} . Свойства этих операторов исследованы в §4,4. очетание полученных в этом разделе результатов со свойствами ос-овных граничных операторов позволило в §4.5 доказать однозначную азрешимость всех четырех типов ГУ в задачах mix- . Приведем цесь результат, касающийся непрерывности разрешающего оператора истемы (28) , составляиций часть утверждений теоремы 4.9.

Оператор (rnix^.Y~)~ при всех ke [R ,ае>де0>0 осуществляет епрерывные отображе'ния: а

Теорема 4.10 утверждает, что при выполнении условий -f е

(^г) вектор-функция и(X) , построен-ая по'формуле (27), в которой g , оС - решение системы (28) , ает решения задач mix- .

Первые три раздела главы 5 посвящены ГУ в задачах нестацио-арной дифракции упругих волн на незамкнутых гиперповерхностях многообразиях с краем/, моделирующих трещины или разного рода ключения в упругой среде. Для определенности будем говорить о рещине. Основной трудностью, возникающей при исследовании этих 7, является удачное введение граничных операторов и соотЕетству-цих функциональных пространств, позволяющее вести исследования, ридерживаясь использованных ранее схем.

Пусть ¡3<7 - незамкнутая гиперповерхность, являющаяся частью амкнутой гиперповерхности 0 ,/2-lR ,Q=J2*iRi_,^0 = SoxIR+ .

В Q решается уравнение (I) с начальными условиями (2) . Краевы! условия в задаче ^¿^ имеют вид

иЧХ) = f+cx), исх) - f~a), ; сгэ;

что отвечает заданию смещений берегов трещины, в задаче cLifg_ -

(TyufcX)=fa)? (TyurOQ=f(X), Хе ?

то есть на берегах трещины известны нормальные граничные напряжения. .

Ищем радения обеих задач в виде

TiOVVa)^ W(X) , XeQ (31)

с плотностями cL , сосредоточенными на . Граничные уело вия (29) приводят к системе 17

CZCVoitWty-ff-,

\ Р0 + f,

в которой -f^ - операция сужения с 2 на Z0 , условия (30) - к системе ГУ

jpoO(b+ = \P0(Ku+Fy) = g-

Перепишем полученные системы ГУ в виде где 8f= f - f ,

TKet9g = o+- д~ . Введем пространстваТЛъ;т,к,ее СЮ Лг;т,/<,%(%!) так же, как были введены пространства(Z'f) при исследовании ГУ в задачах mix- . Б §5.1 определяются действующие в этих пространствах основные граничные операторы. Пояс-

ним для примера, как определяется в этом случае оператор нормальных граничных напряжений _/\Г . Пусть ^+ и ^ - смещения берегов трещины. Решив в уравнение (I) с начальными условиями (2) и граничными условиями (29) , построим векторы нормальных граничных напряжений> Оператор://" сопоставляет паре пару. Приведем одно из утверждений теоремы 5.1, касамцееся свойств оператора/*/" .

Оператор тУ осуществляет при всех 1<е1Я ,сбг=а?о>0 непрерывные отображения

области их значений плотны в соответствующих пространствах.

Обратный оператор_/У \ продолженный с плотных множеств на эти пространства, осуществляет отображения

непрерывные при тех же к , аг .

Кроме оператора _/У в §5.1 введены: оператор потенциала простого слоя , двойного слоя ТУ , нормальных граничных напряжений потенциала простого слоя Л и двойного слоя Р , а также изучены их свойства.

На основании этих свойств в §5.2 доказана однозначная разрешимость ГУ (32), (33). Приведем утверждения теоремы 5.2 о непрерывности соответствующих разрешающих операторов.

ОператорыЗХ-^ ,3)1-^ при всех кге 0? ео>0 осуществляют непрерывные отображения: 0

Теорема 5.2 дает ответ на вопрос о разрешимости ГУ (32), (33). Теоремаоже 5.3 утверждает, что приI а?(2*), [За^ёЩ-у^^&^хЩ.у^^ъекто^-^втяяиСХ) , построен-, ная по формуле (31), в' которой - решение ГУ (32) или (33),

.является решением задач сИ^ или сИ^ соответственно.

. В §5,3 рассмотрены четыре задачи в ограниченной области содержащей трещину 30 , различающиеся видом краевых условий на

внешней гиперповерхности ^ и на берегах трещины ¡э0 . Эти задачи сведены к системам ГУ, разрешимость которых доказана с помощью сочетания методов, развитых в §§5.1, 5.2 и результатов, полученных в предвдущих главах.

До сих пор переменная ~Ь изменялась на бесконечном интервале JR+ • В §5.4 изучен случай, когда -Ь изменяется на конечном интервале (О, Т), Т-> О . Все утверждения о свойствах основных граничных операторов и о разрешимости нестационарных ГУ остаются справедливыми, если в их формулировках пространства Нэ-гп,н,ее. Нё;т,К ге&'!)'Н&;гп,)<,эе ^V »1 * °> 1>г заменить на Ё-Ъ.т.кС^и^'Щго.к CZir) соответственно, тлеЩт,к(2Т) ~ пространства, состоящие из сужений на Zy. элементов пространств •И?, 2Т= S * 69Т). Нормы пространств Н-г.-т, к инду-

цированы нормами соответствующих щэостралств . Ана-

логично определяются пространства Нг.го,и (^¿Д Нз-mi^ .

Напомним, что справедливость утверждений о непрерывности основных граничных операторов и обратных к ним /теорема 3.5/ доказана лишь в пространствах Hs;m, к при m^ -i/z . Справедливы ли эти утверждения в полной шкале соболевских пространств, то есть при всех (тгеК ? Вопрос этот интересен и сам по себе, однако, кроме того, необходимость его решения связана с оценками, проводимыми в следующей главе 6, посвященной методам приближенного решения нестационарных ГУ. В §5.5 на этот вопрос дан положительный ответ. Доказательство соответствующего утверидения основано на идее "транспонирования". Наряду с запаздывающими вводятся "опережающие" потенциалы. Эти потенциалы определяются формулами (3),(4), в которых

Фа) ■ заменено фундаментальным решением Фа0С) уравнения (I), равным нулю при^ >0 . "Опережающие" граничные операторы , > Rx обладают теми же свойствами, что

и запаздывающие с заменой пространствН^/т? К&т) на пространства Hq;/77iK (Zj), состоящие из вектор-функций, равных нулю при-£>Т. Далее остается лишь воспользоваться сопряженностью операторов V

и Уа .^нУ^.^Е К + ,РиРа.

Последняя глава работы посвящена построению методов приближенного решения нестационарных ГУ, разрешимость которых доказана в предыдущих главах. Каждое из рассматриваемых ГУ сведено к эквивалентному вариационно^ уравнению с последующим применением

при его решении метода Галеркина. Однако использование этого метода оказывается нетривиальным. Основным препятствием, с которым приходится сталкиваться при решении каждого уравнения, является невозможность выбора пространства, в котором билинейная форма соответствующего вариационного уравнения была бы одновременно непрерывной и эллиптической /коэрцитивной. Для преодоления этого препятствия в.работе вводится понятие "слабо эллиптической" формы. Суть его состоит в следующем. Форма <2(2^ гг) , непрерывная на некотором пространстве Н *Н , называется "слабо эллиптической" относительно более широкого пространства Н оН" с более слабой, чем в Л топологией, если

а(и, 71) > с №4$ Уи еЯ.

л

Оказалось, что все рассмотренные в главе 6 билинейные формы являются слабо эллиптическими относительно некоторых специальным образом выбранных пространств, что, в конечном счете, и позволило доказать сходимость галеркинских приближений к точным решениям в топологии, пространства Н .

В §6.Г собраны вспомогательные утверждения.технического характера, используемые в следующих разделах. §§6.2-6.5 посвященн построению методов приближенного решения нестационарных ГГ в четырех основных начально краевых задачах /§6.2/, в задаче с краевым условием смешанного типа /§6.3/, в динамической контактной задаче /§5.4/ и в задачах нестационарной дифракции упругих волн на пространственных трещинах /§6.5/. Объем автореферата вынуждает нас ограничиться изложением результатов для какого-нибудь одного нестационарного ГГ.

Возьмем, к примеру, ГГ Ук. = | в случае конечного интервала времени (О, Т). В пространстве -Н^ у^ (Лт) это ТУ эквивалентно вариационному уравнению

т=<Ърт.£)/>от У/еН^(2ГГ), (34)

где <■ , ■ >ог - скалярное произведение в На пространст-

ве /Д?,о % ЫтИ е вводится билинейная форма

аи,р^<дУ^}(т~1)/>0)Т. (35)

Справедливы следующие утверждения /лемма 6.2/. Форма (35) непрерывна на 0 ¿^С-^'т*) 3й и слабо эллиптична в следующем смы-

сле:

аы, ci) > ci]uiie^o.^T ' V* ,

где II ■ Ilm, к; sT ~ н°Рма пространства Ji^m^CZ,-).

Пусть {- последовательность конечномерных подпространств, образующих внутреннюю аппроксимацию пространства H.st0i . Назовем приближенным решением уравнения (34) эле-

мент е , удовлетворяющий аппроксимирующему вариационному уравнению

= Ьп*^. Г36)

Теорема 6.1. Уравнения (36) однозначно разрешимы при всех П с/У . Пусть oL eHg-Q^CZ^m а1гг с - соответственно, точное и приближенное решения уравнения (34) . Справедлива оценка

Ы-dJ ^ с- in f IU-JJ0 (37)

Заметим, что из (37) и определения понятия "внутренняя аппроксимация" следует сходимость приближенных.решений к точному oL в топологии пространства о (2-f). Обратим внимание на сле-

дующее обстоятельство. Несмотря на то, что и точное oL и приближенное решения являются элементами пространства сходимость к vi имеет место лишь в пространствеН^.^, 0(2г) с более слабой, чем yJig,0,^4 (^т) топологией. Построим потенциалы ИОС) =Y00 и zinCO~00 с плотностями oL и oLn соответствен но. Справедливо утверждение о сходимости приближенных решений ц^СХ) начально краевых задач гп£ к точному решению и. ОС) "по энергии" в областях ■*(0,Т), Аналогичные утверждения дока-

заны и для других ГУ в перечисленных выше начально краевых зада-чая.

В заключительном разделе 6.6 оценки погрешности типа (37) конкретизируются в случае наиболее часто используемых при численном решении аппроксимирующих подпространств ^¿а, . Пусть cL= 3 , Ylh - пространство граничных элементов порядка £ О , построенное с помощью регулярной триангуляции поверхности $ с максимальным диаметром разбиения /г> О . Через ßo(£p-i, р, обозна-

тл подпространство в пространстве сплайнов по переменкой по-эдка 2р~1 , дефекта ^р р , построенное по раз-

¡иению промежутка [0,Т] с максимальным шагом Т > О , состоящее з сплайнов, удовлетворяющих условиям ¿Я^О)- О , ¿ = 0,1,..., р-А. .. !озьмем в качестве аппрокешлирущих пространстваЛ^^б^-.^г)]3, Теорема 6.13. Пусть ¿еЯ^^к^" точное-риближенное решения-уравненияУ~оС = ^ .

1. При тъь£+1,гп+къ.р , т- з/^

" * * ¿»-У;, о; № ' $ Ы11 К,

2. При т>, ы, 173+к % £р , з/г

{и-Ще,а>2т * С { ^ } 1Ш ■

Аналогичные выражения для оценок погрешностей получены и для ;ругих 17,. методы приближенного решения которых построены в раз-;елах 6.2 - 6.5.

. - В заключении отмечено, что многие из развитых в работе методе, по-видимому, могут быть перенесены на другие классы неста-донарных задач математической физики. Особый интерес представяя-т построение теории нестационарных ГУ на кусочно-гладких поверх-остях, включающей асимптотики юс решений вблизи многообразий, на оторнх нарушается гладкость граничных поверхностей'.

ПУБЛИКАЦИИ

. Чудинович. И';Ю'; Метод граничных уравнений в динамических, задачах, теории упругости /Харьковский ун-т.-.Харьков, 1990. -. 122 с'.- Дел. в ШНИТИ 26.06:90, й 3549-В90.

Чудинович И.Ю. Метод, граничных уравнений, в задачах динамики упругих сред,- Харьков: Изд-во ХГУ, 1991",- 131 с'; . Чудинович И.Ю. .Граничные уравнения в задачах динамики, упру. гих сред /Докл; АН УССР. Сер.Аь,- 1990".- С.19-21. Чудинович И.Ю. Методы приближенного решения граничных уравнений в задачах динашки упругих сред /Харьковский ун-т:~ . Харьков, 199Г»- 92 с> Дет; в ВИНИТИ 22; 10 ".91, й 4024-В9Т. . Чудинович И.Ю. Граничные уравнения.в задачах.данагяага кусочно-однородных упругих сред //Матем; заметет-;- 1992;- Т";51, вш;2. - С'. 124-127.

6. Чудинович И.Ю. Методы решения граничных уравнений в задача динамики упругих сред //Цокл. АН УССР. Сер.А,- 1991.- №4.-С.14-17. . .

7. Чудинович И.Ю. Граничные уравнения в задачах нестационарно] дифракции упругих волн на пространственных траншах //Матем заметки,- 1992,- Т.51, вып.4.- С.126-130.

8. Чудинович И.Ю. Замечание о. гладкости решений нестационарны: граничных.уравнений //Матем. заметки,- 1992;- Т.52, вып;5,-С.132-135. .

9. Чудинович И.Ю. Энергетические оценки решений краевых задач для дифференциального оператора анизотропной теории упругости с параметром.//Динамические системы и комплексный анализ,- Киев, 1992,- С.91-103.

10. Чудинович И.Ю. Граничные уравнения в задачах динамики упругих, сред //Интегральные уравнения.и краевые задачи математической физики,- Владивосток, 1992,- 4,2,- С.105-ГП.

11. Чудинович И.Ю. Метод граничных уравнений в задачах нестационарной дифракции упругих волн //Волны и дифракция-90,- М., 1990.- T.I.- С.65-68.

12. Чудинович И.Ю. Граничные уравнения в задачах динамики упругих сред с краевыми условиями смешанного типа /Доп. АН Укрг 1ни,- 1992,- ЖГ1,- С.24-26.

13. ChudLnovich. IYu. The Boundau еаиайоп rndhpclLn ihe-ihi^d

Uniiat SoundQZu vatue ргЫСегЛ of ¿he iheory ofefosticiiy. Pasil_ Existence Iheo&ms //Maih.MeLh. ui ihe Upp£-3cL.-199Z.-Vo£J$, лг5 -P. 436-5Q3.

14. CkudinovLcJi IYu. The 8ouixIqsu emotion ^^¿»^.^Mo initial Boundpsyva&e prv^tefhofiheUeorvofe&iskcc^^S Methods for approximate zoCuiions Maih. Neih. in iheAppf.&i - less.. -Vo£. 15, л- в. - P. 5BO - sg±.