Гармонический проектор и граничные интегральные уравнения для областей с нерегулярной границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Гармонический проектор.

1.2 Ьр-теория граничных интегральных уравнений.

1.3 Граничные интегральные уравнения в пространствах Гельдера.

1.4 Асимптотическое поведение решений граничных интегральных уравнений для области с пиком

2 Гармонический проектор

2.1 Интегральный оператор Бергмана.

2.2 Гармонический проектор

2.3 Доказательство основной теоремы.

2.4 Бигармонический оператор.

3 Ьр-теория граничных интегральных уравнений

3.1 Предварительные сведения

3.2 Интегральное уравнение первого рода.

3.3 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле на контуре с внешним пиком

3.4 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле на контуре с внутренним пиком

3.5 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана на контуре с внешним пиком.

3.6 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана на контуре с внутренним пиком

3.7 Замечания.'.

4 Граничные интегральные уравнения в пространствах Гельдера

4.1 Непрерывность оператора 7г/—

4.2 Непрерывность оператора п1 + -^-У.

4.3 Краевые задачи Дирихле и Неймана в полуполосе.

4.4 Граничные интегральные уравнения краевых задач Дирихле и Неймана в области с внешним пиком.

4.5 Граничные интегральные уравнения краевых задач Дирихле и Неймана для области с внутренним пиком.

5 Асимптотическое поведение решений граничных интегральных уравнений для области с пиком

5.1 Задачи Дирихле и Неймана в области с пиком.

5.2 Интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле.

5.3 Интегральное уравнение внешней задачи Неймана.

5.4 Дополнения.

5.4.1 Интегральное уравнение внешней задачи

Дирихле.

5.4.2 Интегральное уравнение внутренней задачи

Неймана

Глава

Введение

1.1 Гармонический проектор

1.1.1 Пусть П - область на комплексной плоскости, и пусть Ьра (О) - пространство аналитических функций / в области й с конечной нормой где Ш2 - мера Лебега в И2. Значение функции в точке я £ О является непрерывным линейным функционалом в Ь2а{0). В силу теоремы Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве найдется функция — К(г,ии) £ такая, что

-г) = J K(z,w)f(w)dm2{w). п

Функция К (г, ио) называется воспроизводящим ядром или ядром Бергмана (см. [1,56]).

Ядро Бергмана играет важную роль при изучении конформных отображений области О на канонические области и в теории ортогональных систем функций, аналитических в О.

Так, конформное отображение ф(г,го) односвязной ограниченной области 1] С С на единичный круг О, нормированное условиями ф(го, го) = О, о) > 0, где 20 ~ фиксированная точка из О, связано с функцией К (г, и>) соотношением

Пусть теперь фк(г), к = 1,. , - полная ортонормированная система функций из Ь\(0,). Тогда билинейный ряд

ЫС)<Мг) при каждом фиксированном С из !Г2 равномерно сходится внутри к функции К(г,С) е ЬЦП), т.е. оо к=

Ядро Бергмана просто связано с функцией Грина () задачи Дирихле для оператора Лапласа в области О

1. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядро. Математика (сб. переводов), 1963, т. 7, с. 67-130.

2. Бабушка И. Об одном свойстве гармонических функций. Чехословацкий матем. журн., 1955, т. 5, с. 220-233.

3. Вержбинский Г.М., Мазья В.Г. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы 1. Сиб. матем. журн., 1971, т. 12, вып. 6, с. 1217-1249; 2. Сиб. матем. журн., 1971, т. 12, вып. 6, с. 1239-1271.

4. Гапошкин В.Ф. Обобщение теоремы М. Рисса о сопряженных функциях. Матем. сб., 1958, т. 46, вып. 3, с. 359-372.

5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., Наука, 1966.

6. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. УМН, 1958, т. 13, вып. 2, с. 3-72.

7. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., Наука, 1975.

8. Дудучава Р., Латсабидзе Т. Об индексе сингулярных уравнений с комплексно сопряженными функциями на кусочно-гладких кривых, Труды Тбилиского матам, ин-та АН Гр.ССР, 1985, 76, с. 40-59.

9. Дудучава Р., Латсабидзе Т. Сагинашвили А., Сингулярные интегральные операторы на кривых с пиками, Сообщения АН Гр.ССР, Тбилиси, 1992, 146, 1, с. 21-24.

10. Дынькин Е.М., Емельянов А.П. Ограниченность напряжений вблизи точек заострения в плоских контактных задачах, Изв. ВУЗов, Математика, 1993, т. 2, с.21-32.

11. Заргарян С.С., Мазья В.Г. Об асимптотике решений интегральных уравнений теории потенциала в окрестности угловых точек контура. Прикл. матем. и механ., 1984, т. 48, вып. 1, с. 169-174.200

12. Захарюта В.П., Юдович В.И. Общий вид линейного функционала в Н'р. УМН, 1964, т. 19, вып. 2, с. 139-142.

13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972.

14. Козлов В.А., Мазья В.Г. Оценки Lp-средних и асимптотика решений эллиптических краевых задач в конусе. Seminar Analysis, Operator equations and numerical analysis 1985/86, Karl-Weierstrafi-Institut fur Mathematik, Berlin 1986, p. 55-91

15. Кокилашвили B.M. О неравенствах Харди в весовых пространствах. Сообщ. АН Груз.ССР, 1979, т. 96, вып. 2, с. 37-40.

16. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды Московского матем. об., 1967, т. 16, с. 219-292.

17. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. УМН, 1883, т. 38, вып. 2, с. 3-76.

18. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М., ИЛ, 1953.

19. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Укр. матем. журн., 1953, т. 5, вып. 2, с. 123-151.

20. Лопатинский Я.Б. Про один тип сингулярных штегральных р1внянь. Теор. i прикл. матем., вип. И, Львовск. ун-т, 1963, с. 53-57.

21. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления ( Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1988, т. 27, с. 131-228.

22. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкой границей. УМН, 1981, т. 36, вып. 4, с. 229-230.

23. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л., Изд-во ЛГУ, Л., 1985.

24. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи в областях типа внешности пика. Проблемы матем. анализа, 1984, вып. 9, с. 105-148.

25. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Ьр и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе, Math. Nachr., 1978, т. 81, с. 25-82.201

26. Мазья В.Г., Соловьев A.A. Об интегральном уравнении задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе. Матем. сб., 1989, т. 180, вып. 9, с. 1211-1233.

27. Мазья В.Г., Соловьев A.A. Разрешимость интегрального уравнения задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе. Доклады АН СССР, 1988, т. 298, вып. 6, с. 1312 1315.

28. Мазья В.Г., Соловьев A.A. Асимптотика решения интегрального уравнения задачи Неймана в плоской области с остриями на границе. Сообщение АН Гр.ССР, 1988, т. 130, вып. 1, с. 17 20.

29. Мазья В.Г., Соловьев A.A. О граничном интегральном уравнении задачи Неймана для области с пиком. Труды Ленинград, матем. об., 1990, т. 1. с. 109-134.

30. Мазья В.Г., Соловьев A.A. Интегральные уравнения теории логарифмического потенциала на контурах с пиком в пространствах Гельдера, Алгебра и Анализ, 1998, т. 10, вып. 5, стр. 85-142.

31. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Изд-во ГИТТЛ, М., 1957.

32. Мовчан A.B., Назаров С.А. Асимптотика напряженно-деформированного состояния вблизи пространственного пикообразного включения. Механика композитных материалов, 1985, вып. 5, с. 792-800.

33. Мовчан А.Б., Назаров С.А. Напряженно-деформированное состояние вблизи вершины трехмерного абсолютно жесткого пика, внедренного в упругое тело. Прикладная механика, 1985, т. 25, с. 10-19.

34. Назаров С.А. Асимптотика решения задачи Неймана в точке касания гладких компонент границы области, Изв. АН, сер. матем., 1994, т. 58, вып. 1, стр. 92-120.

35. Назаров С.А. О течении воды под лежачий камень, Матем. сб., 1995, т. 186, вып. 11, стр. 75-110.

36. Няга В.И. Условие фредгольмовости сингулярных интегральных операторов с сопряжением в случае кусочно-ляпуновского контура. Исследования по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям, Кишинев, 1984, с. 90-101.

37. Парасюк E.H. Об индексе интегрального оператора, соответствующего второй основной задаче плоской теории упругости. Укр. матем. журн., 1964, т. 16, вып. 2, с. 250-254.

38. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала. УМН, 1946, т. 1, вып. 3-4, с. 96-124.202

39. Соловьев A.A. О непрерывности в Lp интегрального оператора с ядром Бергмана. Вестник ЛГУ, 1978, вып. 19, с. 77-80.

40. Соловьев A.A. Оценки в LP интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций. Докл. АН СССР, 1978, т. 240, вып. 6, с. 1301-1304.

41. Соловьев A.A. О непрерывности гармонического проектора в Lp пространствах. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т. 126, с. 191-195.

42. Соловьев A.A. Оценки в Lp интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций. Сиб. ма-тем. журн., 1985, т. 26, вып. 3, с. 168-191.

43. Соловьев A.A. Письмо в редакцию. Сиб. матем. журн., 1992. т. 33. вып. 2. с. 218.

44. Соловьев A.A. Об индексе оператора задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой или радоновской границей. Изв. ВУЗов, Математика, 1991, вып. 11, с. 60-66.

45. Соловьев A.A. О спектре произведения двух проекторов. Вестник Челябинского университета, Серия 3, 1994, вып. 1, с. 117-125.

46. Соловьев A.A. Интегральные уравнения краевых задач Дирихле и Неймана в плоской области с острием на границе, Математические заметки, 1996, т. 59, вып. 6, с. 881-892.

47. Степанов В.Д. О весовых оценках одного класса интегральных операторов. Сиб. матем. журн., 1993, т. 34, вып. 4, с. 84-90.

48. Татоян П.Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций. Докл. АН Арм.ССР, 1969, т. 49, вып. 1, с. 3-8.

49. Хавин В. П. Аппроксимация аналитическими функциями в среднем. Докл. АН СССР, 1968, т. 178, вып. 5, с. 1025-1028.

50. Шелепов В.Ю. Об индексе интегрального оператора типа потенциала в пространстве D>. Докл. АН СССР, 1969, т. 186, вып. 6, с. 1266-1270.

51. Шелепов В.Ю. Об индексе и спектре интегральных операторов типа потенциала вдоль кривых Радона. Матем. сб., 1990, т. 181, вып. 6, с. 751-778.

52. Шихватов A.M. О пространствах аналитических функций в областях с угловой точкой. Мат. заметки, 1975, т. 18, вып. 3, с. 411-420.

53. Шихватов A.M. Об Lp-пространствах функций, аналитических в областях с кусочно-аналитической границей. Мат. заметки, 1976, т. 20, вып. 4, с. 537-548.203