Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в областях произвольного вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Осипенко Алексей Сергеевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ И КОАНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук

профессор Ю.А. Дубинский

МОСКВА — 1999

Содержание.

Введение............................4

Глава 1. Разложение полной шкалы пространств Соболева

в сумму аналитических и коаналитических подпространств. . . 24

1. Функциональные пространства.

Аналитическое и коаналитическое подпространства.....24

2. Основное ортогональное разложение.

Аналитический и коаналитический проекторы.......30

3. Основное разложение в неограниченных областях.....36

4. Интегральные представления аналитического проектора. 41

5. Об общем виде линейных непрерывных функционалов

на аналитическом подпространстве............56

Глава 2. Аналитическая задача........'., .......60

6. Оператор конграничного дифференцирования......60

7. Модельный пример аналитической вариационной задачи. 62

8. Аналитическая задача вариационного типа (общий случай). 64

9. Аналитическая задача вариационного типа

в неограниченных областях................69

10. О структуре аналитических функционалов.......73

Глава 3. Коаналитическая задача...............78

11. Модельная задача...................78

12. Существование и единственность

наилучшего продолжения.................82

13. Случай градиентной метрики.............86

Глава 4. Основное разложение в рамках клиффордова анализа. . 92

14. Определения.....................92

15. Декомпозиционная теорема в пространствах У^™Ап{Сх). . 96

16. Интегральное представление проектора на М.{1)р^г1{Вп). 98

Глава 5. "Аналитические" и "коаналитические" задачи

в рамках клиффордова анализа................103

17. Модель конграничного дифференцирования.......103

18. Модельная "аналитическая" задача...........106

19. "Аналитическая" задача. Общий случай........109

20. "Коаналитическая" задача...............114

21. Случай чисто градиентной метрики..........118

Список литературы .....................123

Введение.

Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, которые (задачи) возникают как математические модели задач на аналитических и коаналитических подпространствах пространств Соболева W™{G).

Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариационных задач было начато в недавних работах Ю.А. Дубинского (см. список литературы), в которых был получен ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коанали-тического уклонения и другие. Однако исследования Ю.А. Дубинского относились либо к случаю соболевских пространств W™(G), т.е. р = 2, либо к случаю р > 1, но для специальных областей G.

Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в банаховом случае пространств W™(G), р > 1, для произвольной области G С С1. Кроме того, в диссертации получено и многомерное обобщение теории (область G С Мп), которое оказалось возможным осуществить, используя подходы клиффордова анализа, активно развивающегося в последние годы в работах прежде всего математиков США и Германии.

Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является разложение шкалы соболевских пространств W™(G), р > 1, т = 0, ±1,..., в сумму аналитических и коаналитических подпространств, которое имеет, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, и которому в работе уделено значительное внимание.

Typeset by Д^-ТеХ

Исследования, представленные в диссертации, проводятся в рамках общей теории уравнений с частными производными на базе как вещественной, так и комплексной теории функций и функционального анализа, в многомерном случае — в рамках клиффордова анализа. При решении поставленных задач используются методы исследования дифференциальных уравнений, созданные в теории коэрцитивных и монотонных операторов. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Существенную роль в получении основных результатов сыграло использование теоремы о полном наборе £р-изоморфизмов в теории эллиптических задач.

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Установлено разложение полной шкалы пространств Соболева Иг™{0) в прямую сумму аналитических и коаналитических подпространств при произвольном 1 < р < оо.

2. Получены интегральные представления аналитического проектора для различных областей, в том числе для полосы.

3. Получено описание линейных ограниченных функционалов над аналитическими пространствами Соболева.

4. Изучена нелинейная аналитическая задача вариационного типа в рамках пространств Соболева (<7).

5. Исследована задача о минимизации коаналитичекого уклонения при продолжении заданной граничной функции внутрь области.

6. Основные результаты перенесены на многомерный случай в рамках клиффордова анализа.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер.

Основные результаты диссертации докладывались на научно- исследовательских семинарах: семинаре МИР АН им. В. А. Стеклова

под руководством акад. РАН С.М. Никольского, члена-корр. РАН О.В. Бесова и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А. Дубин-ского, семинаре по вычислительной математике и математическому моделированию под руководством проф. A.A. Амосова и проф. A.A. Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), а также на совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (девятнадцатая сессия, Москва, МГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14 -17], [27, 28].

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводятся основные результаты работы.

В главе 1 устанавливается основное разложение полной шкалы соболевских пространств в сумму аналитических и коанали-

тических подпространств.

В §1 вводятся основные функциональные пространства. Пусть С — ограниченная область с гладкой границей Г на плоскости Сг, 2 = х + {у. Через 1 < р < оо обозначим пространство

Соболева функций, определенных в области С. При отрицательных т, т.е. при т = -1, -2,... = (И^™^))*. В вводится

стандартная норма 11 • 11 т .

В пространствах IV™ (О) определим подпространство аналитических функций О™(С) и коаналитическое подпространство (О™}1 (С) — {¡(г) е и: ШМ*)) = О Ы*) е 0;Г(0)}, здесь (.,.) означает отношение двойственности в паре пространств УУ™(0),\¥~,гп(С).

Далее, введем пространства

Ш™0(в) а= сотр1 У0°°(С), теЖ,

являющиеся пополнениями пространства У0°° (С) = С°° (О) П Со (О) по н°Рме 1НЦР-

Ясно, что при т > 1 пространство УУ™0(С) можно отождествить с

о ^ _

пространством Ш™{С) П И7"^(С). Если же т < 0, то элементы f(z) Е Ш™0(С) принимают нулевые значения на границе Г в слабом смысле, т.е. в смысле интегральных тождеств, определяющих операторы дифференцирования дг и д^ (или, что то же, и щ)

{дяПг)М*)) =

где /(г) € У/™^), а пробные функции <р(г) суть произвольные функции из пространства 1У~,гп+1 (С).

В §2 доказан основной результат диссертации — теорема о разложении полной шкалы пространств Соболева в прямую сумму аналитических и коаналитических подпространств.

Теорема 2.1. Имеют место следующие утверждения.

\ { д ^ \

А) При любом т = 0, ±1,... оператор дг = - ( —--г— ) определяет

2 \ох оу ]

эллиптический изоморфизм

дя : <—► Б) Пространство Ц1™ (С) разлагается в прямую сумму

или, что то же в силу А),

Ш™(С) = <Э™(С) 0 дг}¥™+1(0). (1)

Говоря об эллиптическом изоморфизме, мы имеем в виду, что функция £ тогда и только тогда, когда существует

единственная функция г (г) Е И7^"1 (С) (коаналитичеекий потенциал), являющаяся решением уравнения

д2г(г) = ф).

При этом справедлива оценка М-1 |к(2)11т,Р ^ 11г(2)11т+1,р -М , где М > О — постоянная.

Разложение (1) играет основную роль при формировании ряда нестандартных математических моделей вариационного типа, описываемых в последующих параграфах, однако, оно имеет и более

широкий самостоятельный интерес. В частности это разложение дает возможность описать структуру произвольного линейного ограниченного функционала над соболевскими пространствами аналитических функций.

Доказательство теоремы 2.1 основано на построении аналитического (Ра) и коаналитического (Р^) проекторов

Ра=1- 4дя А-1^

Ра = ^Ло1^-

1 ( д д \

Здесь дг — ~ ( о—Ь ^ ), а Д0 1 — разрешающий оператор одно-2 \ох оу )

родной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. При доказательстве ограниченности этих проекторов используется известная теорема об Ьр-изоморфизмах в теории эллиптических задач.

В §3 теорема 2.1 формулируется для неограниченных областей на примере полуплоскости {г : 1т г > 0} и полосы {г : — 1 < 1тг < 1} (теорема 3.1). Далее, для полуплоскости и полосы установлено разложение типа (1) в терминах анизотропных пространств Соболева \¥™р(С) (га > 0) функций /(г) с конечной нормой ||/||^т =

х ,р

ЕГ=о & Р. При т < 0 по определению Ш™р(0) = (^(С))*.

р

Теорема 3.2. Функция д(г) £ (га > 1, 1 < р < оо)

удовлетворяет условию ортогональности

{д(г),<ра(г)) = 0

для любой аналитической функции <ра{г:) Е О™(С) тогда и только тогда, когда существует (единственное) решение задачи

дят{г) = ф), ф) е V-1W--(G),

■м

= 0

г

При этом справедлива оценка

где М > 0 — постоянная, зависящая от т, р.

Здесь V_1ИлaГ™(G') — пространство функций, которые вместе со своими обобщенными производными по переменным х и у принадлежат пространству Норма в пространстве вводится следующим образом

г

мл-™

гг х,р

+

дг дх

+

дг ду

ж-™

В силу вложения V-1W7aГ™ С С([—1,1]; ИЛр-т(М1)) определены следы функций из (6') на границе области (У.

В §4 получены интегральные представления аналитического проектора Ра для некоторых областей. В частности, для круга

Р-/М = \ //

ДО

1С|<1

(1 - гС)2

-=-с1£(1г1, С = С + Щ,

т.е. проектор Ра является классическим проектором Бергмана.

Укажем также интегральное представление аналитического проектора для полосы О = {г : — 1 < 1тг <1}

Ж)

<з

+ сЬ5(*-0

С = С + щ-

В §5 на основе разложения (1) получена теорема об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах Соболева аналитических функций.

Теорема 5.1. Пусть На (Е ((9™(С))* — линейный непрерывный функционал на О™(О), 1 < р < оо, га Е Z. Тогда существует единственная аналитическая функция ка{г) £ 0~,ш{0) такая, что

На(Л = </(*и«(*)>, /(*) € (2)

(здесь (•,•) означает отношение двойственности в паре пространств При этом имеет место оценка

Обратно, если функция ка{г) Е 0~,гп{0), то формула (2) определяет линейный непрерывный функционал на аналитическом подпространстве О™ (О).

Таким образом, теорема 5.1 устанавливает (сопряженно линейный) изоморфизм

(0?(0)Г = о;г(с),

который можно рассматривать как естественное обобщение теоремы Рисса (об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве) на случай полной шкалы пространств

В главе 2 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа, которая имеет следующий вид

гп

^{РгУЫ*, /(*)> /'(*), • • • /(т) М) + М*) = М-*),

&=о (3)

Ф)|г = о,

здесь дифференциальный оператор <9р является сопряженным к так называемому оператору конграничного дифференцирования дг (см. ниже).

Особенностью этой задачи является то, что в ней неизвестными являются две функции: f(z) — аналитическая функция в области G, и r(z) — коаналитический потенциал.

В §6 определяется оператор конграничного дифференцирования

<9Г =fa(x,y)^- + b(x,y)-^-,

где а(х,у),Ь(х,у) — комплекснозначные, гладкие в G функции, удовлетворяющие следующим соотношениям

а(х,у) + ih{x,y) = 1 bG,

а(х,у) eos а -j- Ъ{х, у) sin а? = 0 на Г,

где а — угол между внешней нормалью к границе и осью х.

Далее, через обозначим оператор, формально сопряженный к <9р

д -г, д

Оператор дг обладает следующими свойствами.

Утверждение 6.1. Оператор дг является расширением оператора аналитического дифференцирования. Другими словами, если /(г) — аналитическая функция, то дг/(г) =

Утверждение 6.2. Пусть и(г), д^и(г) Е ЬР(С), у(г),дгу(г) Е ЬР'(С), где р и р' — сопряженные по Гельдеру показатели. Тогда справедлива формула интегрирования по частям

^ и(г)дгу(г)с1хс1у = ^ ^ги(г)у(г)с1хс1у. в с?

В §7 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве аналитических функций. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В §8 доказана теорема о разрешимости задачи (3) в предположении, что функции Ak удовлетворяют следующим условиям:

1) Условие степенного роста:

для почти всех z G G и всех £о, ? • • • Лт £ С

m

IAk(z,£о,... ,£m)| < Mi ЮР-1 + ffk(z), к — 0,1,... ,т,

3= О

где gk(z) - некоторые действительные функции из LP'(G).

2) Условие коэрцитивности:

m

Re /,...,/<"■>),/<*>)

—^-^--► оо при \\f\\mtp <х> (/ 6

II«' llm,p

Теорема 8.1. Пусть функции Ak(z,£o,... ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1) 2). Тогда для любой правой части h(z) G W~,rn(G) существует по крайней мере одна пара функций f(z) G О™ (G), r(z) G являющихся обобщенным решением

задачи (3).

Теорема доказана в рамках идей метода компактности. В качестве достаточного условия, гарантирующего единственность решения, можно предложить условие строгой монотонности оператора

m

£ (д*г)к A&(z, f(z), f(z),... , /<"> (z)).

к=О

В §9 доказана разрешимость задачи (3) для полуплоскости и

полосы в рамках анизотропных пространств Соболева W™p(G). В

д

задаче (3) в качестве оператора <9г взят оператор 7—.

Теорема 9.1. Пусть функции ... ,£т) удовлетворяют усло-

вию Каратеодори и условиям 1), 2). Тогда для любой к(г) Е существует по крайней мере одна пара функций /(г) Е О™{С) и г (г) Е (г (г) = 0), являющихся решением задачи (3) в

смысле обобщенных функций над пространством (т >1).

В §10 на основе результатов §8, §9 получено структурное представление произвольного линейного непрерывного функционала на пространствах Соболева аналитических функций.

Теорема 10.1. Произвольный линейный ограниченный функционал ка(х) Е (О™(С))* представим в виде

т к=0

где ,ка;ГП(г) — некоторые аналитические функции из про-

странства Бергмана Орг(С).

В главе 3 исследуется вариационная задача о минимизации коана-литического уклонения.

Определение. Мерой неаналитичности или, что то же самое, коаналитическим уклонением функции ¡(г) Е Шр(С) (1 < р < оо) назовем число

где /о(^) — аналитическая составляющая функции /(г) в смысле разложения IV} (в) = ОЦС) ф (01р)±(С).

С учетом этого определения естественно поставить задачу о поиске такого продолжения заданной граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума /¿р(/).

Задача 11.1. Пусть /0(7) Е (Г) — функция, определенная

на границе Г области О. Среди всевозможных продолжений /(2;) Е

И? (С?),

/М|г=/о(7), найти то, которое минимизирует функционал /%>(/).

В §11 показано, что математической моделью поставленной задачи является краевая задача для дифференциального включения

-Др(/ - /в) + |/ - /аГ2(/ - /а) Е 0^(0), при дополнительных условиях

/М|г=/о(7),

-О,

г

где Ар(и) = (Ну 2\7-и) — р-лапласиан, Ра — проектор на

пространство следов аналитических составляющих функций класса

пцс).

В §12 в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коана-литическом уклонении.

Теорема 12.1. Для любой функции /0(7) существует

единственное решение /(г) Е И^ (С) задачи /%>(/) —» т£ о минимизации коаналитического уклонения.

§13 посвящен исследованию задачи о минимизации коаналитического уклонения в смысле чисто градиентной метрики

В случае, когда область С = В\ — круг на комплексной плоскости, показано, что наилучшим (в смысле /¿2) является гармоническое продолжение. Тем самым, гармоническое продолжение (в круге) минимизирует не только интеграл Дирихле, но и интеграл коаналити-ческого уклонения

М2(/) = ||У(/-/а)||2МВ1).

В главе 4 основное ортогональное разложение переносится на многомерный случай в рамках клиффордова анализа. При этом в роли аналитического подпространства выступает пространство лево-регулярных функций (ядро оператора Дирака).

В §14 вводятся основные определения.

Пусть Ап — действительная, ассоциативная, но не коммутативная алгебра Клиффорда размерности 2П с образующими е0 = 1, е^,... ,ега, удовлетворяющими соотношениям

eiej + — —21 < ^ < п, 1 < 3 < п,

где — символ Кронекера. Базис в Ап составляют элементы е0,е!,... ,еп, ..., е^ ---е..., е1---еп, где I < Зг <• - < Зг < п, 1 < г < п. Произвольный элемент х Е единственным образом представляется в виде

Ж - ^ ^ ^(Х^-ОС ■>

а

где коэффициенты ха Е К; базисные элементы еа = еа1 • • -еаг (г < п); мультииндекс а = {«1,... ,аг}, 1 < «1 < ... < аг < п. Норма элемента х — ^2хаеа £ ^п определяется формулой \х\ = (X] lж«|2)1^2•

a: а

Пусть через F(G) обозначено некоторое пространство действительнозначных функций, определенных в области С С К.п. Мы будем

говорить, что f(x) = fa{x)ea G —У Ап принадлежит функциональному пространству FAn(G) тогда и толь