Нелинейная динамика деформируемого стержня в вязком континууме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

РАБАДАНОВ Рамазан Газимагомедович

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО СТЕРЖНЯ В ВЯЗКОМ

КОНТИНУУМЕ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела и 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

2 9 НОЯ 2012

Москва-2012

005055986

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор

Гладков Сергей Октябринович

Официальные оппоненты: Кузнецов Евгений Борисович,

доктор физико - математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт

Защита состоится «14» декабря 2012 г. в 14- часов на заседании Диссертационного Совета Д.212.125.05 в ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) по адресу:125993, г. Москва, ГСП-3, Волоколамское ш., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета)

Автореферат разослан «13» ноября 2012 г.

(национальный исследовательский университет)», профессор

Дадиванян Артем Константинович,

доктор физико — математических наук, профессор Московский государственный областной университет им. Н.К. Крупской, профессор

Ведущая организация: Ярославский государственный университет

им. П.Г. Демидова

Ученый секретарь диссертационного совета

Актуальность темы.

Задачи механики, как правило, охватывают спектр линейных проблем, для которых разработана масса аналитических методов, позволяющих адекватно описывать самые разнообразные явления. В последнее время на первый план выходят чисто нелинейные проблемы из различных областей естествознания, в том числе и из механики. Именно к последнему типу задач относится наша задача, связанная с изучением нелинейного движения тонкого деформируемого стержня в вязкой среде, и, в отличие от предшествующей линейной науки, решаемая в диссертации задача является изначально нелинейной, что и определяет ее актуальность. Цель работы. При описании произвольного механического движения тонкого гибкого деформируемого стержня в реальной диссипативной среде используется вариационный подход и метод функции Лагранжа. При этом возникает ряд проблем, которые ставят перед нами несколько важных целей:

1. Исследование механической деформации тонкого очень гибкого стержня с помощью составления функции Лагранжа для случая его произвольных изгибов в условиях учета, как собственной силы тяжести, так и силы сопротивления со стороны вязкого континуума;

2. Вывод и анализ нелинейных уравнений механики, описывающих динамику движения гибкого стержня с учетом всех перечисленных слагаемых.

Научная новизна. С помощью принципа наименьшего действия решается чисто физическая задача из области теоретической механики, когда на тонкий стержень действует некоторая внешняя сила. Формально ее решение сводится к выводу общего нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, описывающего в общем случае сложное движение сильно изгибающегося (деформирующегося) объекта.

При этом учитываются, как сила трения, так и сила тяжести.

3

В диссертации показано, что соответствующее нелинейное движение определяет в начальный момент времени сильный механический изгиб стержня, который мгновенно выводится из положения равновесия, путем некоторого внешнего воздействия, приводящего к возрастанию его энергии [1,2].

Вся последующая эволюция, связанная с выяснением формы стержня в каждый фиксированный момент времени и в данной точке пространства приводит, в конечном итоге, к естественному затуханию колебаний и установлению равновесного положения, которое представляет собой неподвижно висящий (под действием силы тяжести и сопротивления континуума) стержень с максимальной энтропией и минимальной энергией [3 - 5]. В подобной постановке задача не решалась и этим она отличается от известных нам работ близкой направленности [6 - 8]. В частности, в монографии [6] излагаются вопросы, связанные с описанием движения струны, закрепленной с двух сторон, и в положении равновесия провисшей под действием силы тяжести. Однако, общее уравнение, которое предложено в [5, § 1.6, стр. 40], к сожалению, не может быть использовано в рамках нашей задачи, поскольку рассматриваемая нами струна шарнирно закреплена только с одного конца. Этим и определяется научная новизна исследования.

Практическая ценность. Решение задачи об оптимальных механических отклонениях тонкого гибкого стержня (струны) может оказать существенную практическую помощь в моделировании:

а) формы шлангов, подающих воздух космонавтам, выходящим в открытый космос и оптимальной формы шлангов для самолетов -заправщиков;

б) прокладки длинных трубопроводов по дну океана с минимумом

затрат;

в) минимальных перемещений троса с грузом при тушении лесных пожаров вертолетами МЧС.

Кроме того, предложенный метод решения нелинейной задачи о движении протяженных гибких объектов в вязких средах, будет весьма полезным при постановке чисто научных экспериментов в прикладных целях.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации.

- получено общее выражение для силы сопротивления, действующей на тонкий гибкий стержень, закрепленный с одного конца, в случае его произвольных смещений;

- выведено нелинейное динамическое уравнение движения и условие трансверсальности свободного конца стержня с учетом силы трения и силы тяжести;

- приведено решение полученного уравнения движения в частных случаях;

- смоделировано численное решение полученного уравнения. Апробация работы. Основное содержание работы было доложено на XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2007); на четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 110 - летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007); на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007); на Второй международной конференции «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» (Москва, 2007), на конференции молодых ученых, посвященной 175-летию со дня рождения Д.В. Менделеева (Самара, 2009). Публикации. Содержание диссертации отражено в 10 научных публикациях, в число которых включены три публикации из списка ВАК.

5

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Объем диссертации составляет 144 страницы, в том числе 70 рисунков. Список литературы

составляет 215 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе диссертации изложены основные принципы составления уравнений динамического движения сложных систем.

В первом параграфе первой главы продемонстрировано получение дифференциальных уравнений движения механических систем с помощью составления функции Лагранжа и последующему применению методов

вариационного исчисления.

Во втором параграфе дается обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа, путем учета возможной неоднородности по координатам искомого параметра задачи.

В третьем параграфе излагается гамильтонов формализм составления не диссипативных уравнений движения для чисто консервативных систем.

Четвертый параграф посвящен феноменологическому введению диссипации механической системы и разбору нескольких примеров получения уравнений эволюции различных систем и, в частности, описанию нестационарного поведения температуры в неоднородных средах.

Подобные примеры основаны на синергетическом принципе составления уравнений движения, который, по сути, представляет собой диссипативное уравнение Эйлера - Лагранжа.

Последний пятый параграф первой главы посвящен постановке задачи, решаемой в диссертации. Суть задачи заключается в выводе динамических уравнений движения тонкого длинного стержня, сильно выведенного из положения равновесия, и движущегося в некотором континууме с заданной вязкостью при учете также силы тяжести. Целью диссертации

является решение этого уравнения и его анализ в некоторых

асимптотических приближениях.

Во второй главе диссертации дается вычисление силы сопротивления,

которая действует на произвольно движущийся в вязкой среде стержень, у

которого один конец закреплен. В общем случае силу сопротивления

можно вычислить, как р/г _ , > ^ , где поверхность тела, сС, - к-{ > ¡к к I

ая компонента вектора элемента поверхности с&, а по повторяющимся индексам здесь и везде далее подразумевается суммирование.

Фигурирующий здесь тензор вязких напряжений есть , 7

а1к~2

дхк дх.}

где 7- динамическая вязкость, и,- /- ая компонента вектора смещения среды й. В результате с учетом формулы ¿ЙС = 2лг(1)с11, где г(1) -изменяющийся вдоль длины стержня радиус поперечного сечения, ди. За

получим р/г , _п д. = 2жг1\г{1)——с11

п Чд1 п \ 3/

Л " I д1п

где и„ - нормальная к оси стержня скорость движения. В итоге искомая сила сопротивления будет

1 - 1 д1-

(1)

где //' - сила сопротивления, отнесенная к единице длины стержня.

Заметим, что выражение (5) носит нелокальный характер, и описывает полную силу сопротивления. Добавка в классическое действие от этой диссипативной силы будет такой

и . и

81„

л я Г I-

Д5= \dt\i I л/ад—

'о 1 1о 1

■ (2)

В третьей главе, используя основные вариационные принципы, выводится

нелинейное уравнение движения тонкого гибкого стержня, закрепленного

шарнирно на одном конце, с учетом сил трения и силы тяжести (первый

7

параграф). С учетом диссипативных потерь (2), полное действие можно представить в виде

+-

Атгщ

О

,2

,_£ г

'М2

(3)

Н У\

¡Л \с1у 2'* 'О

И после взятия вариации от полного действия (3), находим следующую систему дифференциальных уравнений

' .2 ¿2

1+ 8<»х

(4)

1<

,2

2(1+Сс

№ (42 -«о2 -

= 0

(5)

где уравнение (5) представляет собой условие трансверсальности свободного конца, описывающего в плоскости у некоторую кривую <р(у). Надо обратить внимание, что уравнения (4) и (5) не содержат жесткость стержня. По большому счету потенциальная энергия стержня должна включать в себя еще одно дополнительное слагаемое вида

ив = , где В- жесткость стержня, а Л - радиус кривизны в каждой его

I &

точке. Как видно, при малых изгибах это слагаемое будет играть чрезвычайно важную роль в качественном поведении движения, и получаемое при учете энергии ив уравнение движения оказывается уравнением четвертого порядка (!). В этом смысле мы существенно упростили нашу задачу, и пренебрегли жесткостью, считая, что произвольные отклонения хотя и не малые, но довольно плавные. Соответствующее условие легко найти, используя неравенство •<Я

яГ—«Еш, где Еи1 - кинетическая энергия стержня. Такое /к

предположение позволило нам существенно упростить решаемую

проблему, и свести ее к формальному решению уравнений лишь второго порядка. Второй параграф посвящен анализу системы уравнений (4), (5).)

Одно из решений будет иметь следующий асимптотический вид

' ' _

1

1 2 2

3 /?к0 г" 3 3 -1 3 +1-1п

Ч К; К; 1

ю>

РУ,п

^о

+1

(6)

При больших значениях производной £ из (4) следует тогда, что

'X ' ' г ¿'

ъх ьх

(7)

Условие трансверсальности дает при этом условие & ф<\ _д.

ЬхГ\ у^

Решение уравнения (6) удобно искать, как и в случае линейного уравнения колебаний, в факторизованном виде, поскольку оно представляет собой однородное уравнение относительно неизвестной функции В итоге получаем, что смещение стержня должно вести себя, как

1/

1 -А^е 1

1-Л2е

Л

I

(8)

В третьем и четвертом параграфах третьей главы исследуется движение растяжимого стержня и в линейном приближении находится его решение. Здесь учитывается потенциальная энергия растяжения (сжатия) и рассматривается «интерференция» двух механизмов: колебание под действием силы тяжести и растяжение (сжатие).

Наконец, последний, пятый параграф посвящен анализу движения массивного стержня в вязкой субстанции, исходя из системы уравнений (4) и (5).

В четвертой главе диссертации приводится численное решение общего нелинейного уравнения движения тонкого очень гибкого стержня, которое

было получено в третьей главе. Рисунки 1 - 6 иллюстрируют некоторые частные случаи этих решений.

Граничные условия были заданы следующими. £(х,о) = х(0.5 - х),

Maple 12. Численный эксперимент продемонстрировал вполне удовлетворительное согласие с аналитическими выкладками. Как видно из этих рисунков, слагаемое, связанное с учетом диссипативных свойств континуума, приводит к существенно иному качественному поведению стержня в реальной среде. Момент времени иллюстрирует цифра, приведенная в верхней части каждого рисунка.

_о; f(x>f) | _0=0. Расчет проводился с помощью программы

0.10

0.008 -

0.007 -

0.006 -

0.005 -

/

0.004 -

0.003 -

0.001 ■

0.002 -

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

х_

с=10 -с=0

Рис.1. / = 0.10.

0.30

_í__

c=10 -c=0

Рис. 2. t = 0.30 0.50

Рис.3. / = 0.50 11

0.60

0.80

Рис. 5. t = 0.80 12

0.90

_х

с=10 -с=0

Рис.6, г = 0.90.

На рисунках 7, 8 проиллюстрирована динамика шести различных ситуаций для разных значений параметров а,Ь,с.

Рис.7. 0.20

Рис. 8.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Опираясь на общие принципы гидродинамики вязкой жидкости, получено общее выражение для силы сопротивления, действующей на тонкий деформируемый стержень, закрепленный с одного конца, в случае его произвольных смещений;

2. Исходя из общих принципов классической механики и используя метод наименьшего действия, найдено нелинейное динамическое уравнение движения и условие трансверсальности свободного конца стержня с учетом силы трения и силы тяжести;

3. Уравнение движения проанализировано аналитически и численно.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. 270 с.

2. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: УРСС, 2003. 280 с.

3. Гладков С.О. К вопросу о вычислении модуля Юнга. Инженерно -физический журнал 2003, т. 76, № 5, с. 144-147.

4. Гладков С.О., Ковнеристый Ю.К. Математическое описание значительных тепловых деформаций упругих структур с памятью формы. Деформация и разрушение материалов. 2005, № 2, с. 44-48.

5. Гладков С.О. О микроскопической природе модуля Юнга. Инженерно - физический журнал. 2006, т. 79, в. 4, с. 197 - 199.

6. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: МАИ 2001.431 с.

7. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т управления упругими граничными силами на двух концах струны. Доклады РАН. 2007. Т. 417. В. 4. С. 456-463.

8. Ильин В.А. Независимость оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий. Доклады РАН. 2008. Т. 420. В. 1. С. 18 - 21.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Рецензируемых в научных изданиях и журналах:

1. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. Синергетика нелинейных колебаний струны. Вестник Московского государственного областного университета, 2007. В. 1. С. 23 — 27.

2. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О динамике движения тонкой струны в реальной среде». //Нелинейный мир, 2008. Т. 6. В.7. С. 394 - 400.

3. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «К вопросу о нелинейной динамике нежесткого длинного тонкого стержня в вязкой среде». Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные науки. 2010. № 2. С. 10—17.

В других научных изданиях и журналах:

1. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. К вопросу о вычислении силы сопротивления, действующей на тонкую струну в вязкой среде.// Материалы XIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. М.: МАИ. С. 93 - 98.

2. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О хаотическом движении нерастяжимой струны». // Труды VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии». Новосибирск 2007. С. 55 -57.

3. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О хаотических колебаниях тонкой струны». //Труды Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». ММ - 2007. Самара, 2007. С. 122-126.

4. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «Синергетика нелинейных колебаний тонкой струны». //Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 110 - летию со дня рождения И.Н. Векуа. Новосибирск, 2007. С. 77-81.

5. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О выводе дифференциального уравнения сильных колебаний струны». //Труды международной конференции: комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа, 2007. С. 33-36.

6. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О синергетике нелинейных колебаний тонкой струны учетом сил тяжести и сопротивления». //Труды второй международной конференции «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» Москва ИМЕТ РАН, 2007. С. 640 -641.

7. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О сложной динамике движения растяжимой струны», Труды 10-ой международной конференции «Актуальные проблемы современного естествознания. Естественные науки. Самара 2009. С. 48 - 55.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от 03. -//201 г. Тираж/¿?¿/