Негамильтонова динамика тонкого стержня в поле внешних сил тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РАБАДАНОВ РАМАЗАН ГАЗИМАГОМЕДОВИЧ

НЕГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ТОНКОГО СТЕРЖНЯ В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ

Специальность: 01.04.02 -Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ИЮЛ 2014

МОСКВА-2014

005550694

005550694

Работа выполнена на кафедре № 311 «Математическое моделирование» Московского авиационного института (Национальный исследовательский университет) МАИ.

Научный руководитель: Гладков Сергей Октябриновин,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Кондратов Дмитрий Вячеславович,

доктор физико-математических наук, профессор, Поволжский институт управления

им. ПА Столыпина.

Рогов Анатолий Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет путей сообщения, (МГУПС (МИИТ)) - Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации.

Ведущая организация: Московский институт электроники и математики

Национального исследовательского университета (Высшая школа экономики).

Защита состоится «25» сентября 2014 г. в 15.00 часов на заседании Диссертационного Совета Д.212.155.07 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в МГОУ по адресу: 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ Автореферат разослан « 1 » июля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. доцент

Н.Н. Барабанова

Актуальность темы.

В большинстве задач теоретической физики, как правило, охватывается спектр линейных проблем, для которых разработана масса аналитических методов, позволяющих адекватно описывать самые разнообразные явления. В последнее время на передний план исследований стали выходить чисто нелинейные задачи из различных областей теоретической физики, в том числе и из механики. Именно к последнему типу проблем относится и наша задача, связанная с развитием теории и исследования общих свойств и закономерностей динамики очень неравновесных систем, связанная с построением не гамильтоновой динамики произвольным образом изгибающегося тонкого нерастяжимого стержня типа троса в поле внешних сил. Решаемая в диссертации задача является существенно нелинейной, что и определяет ее актуальность.

Цель работы. При описании динамических изгибов очень гибкого нерастяжимого стержня в реальной диссипативной среде используется метод наименьшего действия, связанный с построением функции Лагранжа. При этом возникает ряд проблем, которые ставят перед нами несколько важных целей:

1. Исследование сильных механических изгибов тонкого стержня с помощью функции Лагранжа и диссипативной функции при учете, как собственной силы тяжести, так и силы сопротивления со стороны вязкого континуума;

2. Вывод и анализ нелинейного уравнения движения и уравнения трансверсальности, описывающих форму стержня с учетом перечисленных сил и уравнение траектории движения его свободного конца.

Научная новизна. В диссертации развита теория и проведено исследование общих закономерностей нелинейной динамики очень неравновесной системы. Благодаря принципу наименьшего действия поставлена и решена чисто теоретическая проблема, связанная с описанием формы изгибающегося под действием внешних сил тонкого стержня. Формально ее решение сводится к выводу общего нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, описывающего в общем случае сложную траекторию движения каждого элемента стержня. Показано, что соответствующее нелинейное

движение определяет в начальный момент времени его сильный механический изгиб. Эта форма стержня является начальным условием нелинейной задачи и определяется некоторым внешним воздействием, что, в результате, приводит к увеличению его механической энергии [1, 2]. Вся последующая эволюция, связанная с выяснением формы стержня в каждый фиксированный момент времени и в каждой точке плоского- двухмерного пространства приводит к естественному затуханию колебаний и установлению равновесного положения, которое представляет собой вертикально висящий стержень с максимальной энтропией и минимальной энергией [3,4]. В подобной постановке задача не решалась и этим она отличается от известных классических работ [5 - 7], что и определяет ее новизну. Достоверность полученных результатов

Проведенные вычисления указывают на правильный вид уравнений, поскольку в предельных случаях они переходят в классические результаты. Достоверность полученных результатов обеспечивается также использованием апробированных математических и физических методов, а также возможностью экспериментальной проверки полученных решений.

Практическая ценность работы может быть сформулирована в следующих двух пунктах:

- Разработан метод решения нелинейных задач движения протяженных нежестких объектов в вязких средах, например, в условиях переноса вертолетом различных грузов на гибком стальном тросе, форма которого в зависимости от внешних условий становится совершенно произвольной. Решение этой задачи имеет важное практическое значение также и в условиях космических экспериментов, сопровождающихся выходом космонавтов в открытый космос на страховочном гибком канате.

- Полученные уравнение движения и условие трансверсальности могут быть использованы для решения различных теоретических и прикладных задач, а также для постановки соответствующих экспериментов.

Апробадия работы. Основное содержание диссертации было доложено на: международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные

уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа,2007).Х1П Международном симпозиуме «Динамические и

технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2007). VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007). Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007). Второй международной конференции «Деформация и разрушение материалов и нано материалов» (Москва, 2007). Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 110 - летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007). Конференции молодых ученых, посвященной 175-летию со дня рождения Д.В. Менделеева (Самара, 2009); четвертой Международной конференции «Деформация и разрушение материалов и нано материалов» (Москва, 2013).

Публикации. Результаты диссертации отражены в 12 научных публикациях, в число которых входят три публикации из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Объем диссертации составляет 137 страниц. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Список литературы насчитывает 215 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе диссертации излагаются главные принципы получения и составления дифференциальных уравнений динамики сложных систем. В первом параграфе первой главы изложены методы получения дифференциальных уравнений движения механических систем благодаря составлению функции Лагранжа и последующих применений методов вариационного исчисления. Второй параграф включает в себя обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа благодаря учету неоднородности по координатам искомого параметра. В третьем параграфе приводится гамильтонов формализм составления не диссипативных уравнений движения в случае консервативных систем. Четвертый параграф посвящен феноменологическому учету диссипации

в механической системе и рассмотрению некоторых частных примеров получения уравнений эволюции. В частности, рассмотрен пример описания нестационарного поведения температуры в неоднородных средах. Все подобные примеры основаны на использовании единого принципа получения уравнений движения, представляющего собой диссипативное уравнение Эйлера -Лагранжа. Наконец, последний пятый параграф первой главы целиком посвящен постановке задачи, решаемой в настоящей диссертации. Суть этой задачи заключается в выводе нелинейных динамических уравнений движения тонкого длинного и очень гибкого стержня (типа троса), сильно выводящегося из положения равновесия, и движущегося в некоторой вязкой среде с учетом силы тяжести. Дальнейшей целью диссертации является решение этого уравнения, а также его анализ при некоторых упрощающих предположениях.

Во второй главе диссертации вычисляется сила сопротивления, действующая на произвольно движущийся в вязкой среде стержень, один конец которого закреплен. В общем случае сила сопротивления вычисляется, как

Е

где поверхность стержня, ¿К, - к- ая компонента элемента поверхности

(Ё, а по повторяющимся индексам здесь и везде далее подразумевается суммирование. Входящий сюда тензор вязких напряжений

Щ , 8ик дхк дх1

(2)

где 77- динамическая вязкость, и,- /- ая компонента вектора смещения среды и. После подстановки (2) в (1) с использованием формулы <й=2яг(/)Л, где /•(/) - изменяющийся вдоль ее длины радиус поперечного сечения, а элемент

длины в двумерном случае, который нами и рассматривается, dl=dy^\л^^ («штрих» означает частную производную по координате у от функции формы струны £ вдоль оси х), найдем

где ип - нормальная скорость движения. При получении формулы (3) было предположено, что распределение скоростей вблизи поверхности тонкого стержня, а также на его поверхности, совпадает с нормальной компонентой скорости самого стержня. Это же относится и ко всем производным, взятым по нормали к поверхности стержня. Окончательно, сила сопротивления будет

(4)

Ч

где // - сила сопротивления, отнесенная к единице длины стержня (троса). Если радиус изменяется вдоль всей длины несущественно, то, полагая г(0 = 1 = сот! > найдем из (4)

(5)

Заметим, что соотношение (5) носит нелокальный характер, и описывает силу сопротивления в общем случае.

Учет диссипативной добавки в классическое действие благодаря (5) будет

'о' 'о / }

(б)

Используя основные принципы вариационного исчисления, в третьей главе выводится нелинейное уравнеш1е движения стержня, закрепленного на одном конце, с учетом, как сил трения, так и силы тяжести (первый параграф). С учетом (6), полное действие можно тогда представить в виде

?1 У\ \ а ¡с/у

2'* уо

1 РГ+?х

(7)

Полная же система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных имеет довольно громоздкий вид

£ = ^-(8)

х 1+£2 г^у м2

= 0, (9)

Л

где нижнее уравнение (9) представляет собой условие трансверсальности свободного конца стержня, который описывает в плоскости В,,-у некоторую сложную (и даже самопересекающуюся) кривую <р(у). Заметим, что уравнения (8) и (9) не учитывают жесткость стержня. Это обосновано следующими соображениями. В общем случае потенциальная энергия стержня должна

включать в себя еще одну аддитивную часть вида ив = , где В - жесткость

I к

стержня, а Я- радиус кривизны в каждой его точке. Видно, что при малых изгибах эта добавка будет играть весьма важную роль и будет сильно влиять на форму стержня. В итоге должно будет получиться нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Мы упростили нашу задачу и пренебрегли жесткостью, считая произвольные отклонения хотя и не малыми, но

плавными. Условие этого легко найти, используя неравенство « Ет , где

I ^

Ет - кинетическая энергия стержня. Это предположение позволило нам свести решение нашей задачи к исследованию уравнений лишь второго порядка.

Во втором параграфе анализируется система уравнений (8), (9). В случае углов а между касательной, проведенной в произвольной точке наибольшего

изгиба деформированного стержня и осью х (если а не близко у), решение можно искать в ад дитивном виде

где С, 2 - функции только времени и координаты соответственно. При подстановке (10) в уравнения (8) и (9) получаем

(Ю)

¿„¿re qH^) 1 2(1+ф2

В результате ряда простых действий уравнение (11) приобретает вид

(И) (12)

Су+Р-

С1С2 _ С2

rgV-

■Jm^ о+Ф

1. Пусть С, = к, = const. Тогда С, = 0 и отсюда следует временная зависимость

(13)

С\(1)=к11+к2,

где к1Л - постоянные интегрирования. В этом случае уравнение (13) приводится к виду

к,С

12 _ 2

Ю>.

Здесь существует два варианта. А). С2=0. Откуда

С2(у)=Ь1у+Ь2,

где 6,2 - константы интегрирования и Б). С2" * 0 и тогда

1

Отсюда jj+C;,2 j2 и после интегрирования

С2(у)==±|^

gy

2

-1,

А

где у > . В результате искомое решение получается следующим g

(14)

(15)

(16)

К"

МoJ

ёУ

2

щ

-1

т)

2

+1-1п

£У

Щ)

1

8У

+1

(18)

Ач

-А-»

1

---\

. У ___—-►

Рис.1. Схематическое представление решения (1 8) в разные моменты времени для углов а не близких к

, ^ а-З/^.Г «"V

90 градусам и вдали от точки закрепления, где 12 > /,, Л — ^ I ^ \ ■

2. Пусть теперь производные £ и £ велики (углы а примерно равны —).

Тогда из уравнения (8) следует

(19)

(20)

'х

А уравнение трансверсальности приводит к условию

Решение уравнения (19) можно искать, как и для случая линейного уравнения колебаний, в факторизованной форме, поскольку оно представляет собой однородное относительно неизвестной функции & уравнение, то есть

^'оО^ОСгОО,

(21)

где функции С, и С2 следует найти.

В итоге мы получаем два довольно похожих друг на друга нелинейных уравнения

2 „

СХС{ +2С12+^^С,С1 =0, 2 V1

(22)

/

2<-2=

Полученные уравнения легко сводятся к уравнениям Бернулли, если сделать подстановку

(23)

С2(уУ1е^У, (24)

В результате получаем, что смещение стержня вблизи углов ^ будет вести себя, как

щ

1 -Ахе 1 1 -л2е

2 ГУ

(25)

£

<

/

У ->

Рис.2. Схематическая зависимость решения для множества углов вблизи — (пунктиры) в

фиксированные момешы времени.

Третий и четвертый параграфы третьей главы посвящены исследованию движения растяжимого стержня. В линейном приближении находится решение полученного уравнения. При этом учитывается потенциальная энергия

растяжения (сжатия) и учитывается конкуренция двух механизмов: колебание под действием силы тяжести и растяжение (сжатие). Ну и, наконец, в последнем, пятом параграфе анализируется движение массивного жесткого стержня в вязкой субстанции с помощью полученной системы уравнений (8) и (9). Четвертая последняя Глава диссертации излагает численное решение нелинейного уравнения движения тонкого стержня, полученного в третьей Главе. На рисунках 3-8 проиллюстрированы некоторые частные случаи этих решений. Уравнение

гЩх &А+Г&) | ^

было предварительно записано в безразмерном виде, и для численного анализа мы его представили как

К2 №

где Ъ = ~~, с = @у новые безразмерные постоянные. Безразмерное

t с 6г

время есть г = —, смещение 4 = —.

'о '

Граничная задача ставилась как ———

= 0, iML=o-

А начальная - £(х,0) = х(0.5 - х). Численный расчет был осуществлен благодаря программе Maple 12. В результате проведенного численного эксперимента было установлено вполне неплохое согласие с аналитическим решением, о чем свидетельствуют, в частности, рисунки 3 - 8, на которых по оси ординат отложено искомое смешение стержня в безразмерных единицах. На них проиллюстрированы случаи, когда с = 0 (нижняя линия) и с = 10 (верхняя линия). Случай с = 0 отвечает отсутствию диссипации энергии (вязкость равна нулю), а случай с = 10 учитывает вязкость среды. Как видим, учет диссипативных свойств континуума, приводит к существенному качественному

отличию динамики поведения стержня (троса) в реальной среде. Все моменты времени показывает цифра, приведенная на верхней части каждого рисунка

0.10

с=Ю —— с=о~]

Рис.3. / = 0.10.

О 30

Рис. 4. / = 0.30

0.50

Рис. 5. t = 0.50 от

Рис. 6. / = 0.60.

0.20

Рис. 7. t = 0.80 0.90

Рис. 8. f = 0.90.

На рисунках 9-18 проиллюстрирована динамика шести различных ситуаций для разных значений параметров а,Ь,с.

020

Рис. 11. 0.40

0.J0

Рис. 13. 0.60

0.70

Рис. 15.

0.20

б 050

Рис. 17.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Найдено феноменологическое выражение для силы сопротивления, действующей на единицу длины тонкого гибкого стержня, закрепленного на одном конце;

2. Получено нелинейное уравнение движения и условие трансверсальности свободного конца стержня с учетом вязкой силы и силы тяжести;

3. Проанализировано решение уравнения движения в некоторых частных случаях, и в предельном переходе доказано его соответствие линейному уравнению малых колебаний тяжелой нити;

4. Установлено вполне удовлетворительное согласие аналитического и численного решений полученного уравнения.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. 270 с.

2. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: УРСС, 2003. 280 с.

3. Гладков С.О. Модельное описание роста кристаллов из неоднородных субстанций. Доклады РАН 2004. Т. 394. В. 4. С. 334 - 337.

4. Гладков С.О. К вопросу синергетического описания поведения температуры в сильно неоднородных средах. Письма в ЖТФ, 2004. Т. 30. В. 17. С. 55 - 60.

5. Светлидкий В .А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: МАИ 2001.431с.

6. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т управления упругими граничными силами на двух концах струны. Доклады РАН. 2007. Т. 417. В. 4. С. 456-463.

7. Ильин В .А. Независимость оптимальных граничных управлении колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий. Доклады РАН. 2008. Т. 420. В. 1. С. 18-21.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. ПЕРЕЧЕНЬ ИЗ СПИСКА ВАК

1. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. Синергетика нелинейных колебаний струны. Вестпик МГОУ. Серия - Физика и математика. 2007. В. 1. С. 23 -27.

2. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О динамике движения тонкой струны в реальной среде». //Нелинейный мир, 2008. Т. 6. В.7. С. 394 - 400.

3. Гладков С,О., Рабаданов Р.Г. «К вопросу о нелинейной динамике нежесткого длинного тонкого стержня в вязкой среде». Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные науки. 2010. №2. С. 10-17.

ОСТАЛЬНЫЕ ПУЕЛИКАЦИИ

4. Gladkov S.O., Rabadanov R.G. On non-linear vibrations of a thin elastic rod with the account of gravity and viscosity of media. Advancement and Development in Modera Physics. 2013. V. 2. N1,2. PP. 17 - 32.

5. Гладков C.O., Рабаданов Р.Г. К вопросу о вычислении силы сопротивления, действующей на тонкую струну в вязкой среде.// Материалы XIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. М.: МАИ. 2007. С. 93-98.

6. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О хаотическом движении нерастяжимой струны». // Труды VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии». Новосибирск 2007. С. 55 -57.

7. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О хаотических колебаниях тонкой струны». //Труды Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». М —2007. Самара, 2007. С. 122- 126.

8. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «Синергетика нелинейных колебаний тонкой струны». //Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 110 - летию со дня рождения И.Н. Векуа. Новосибирск, 2007. С. 77 - 81.

9. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О выводе дифференциального уравнения сильных колебаний струны». //Груды международной конференции: комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа, 2007. С. 33-36.

10. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О синергетике нелинейных колебаний тонкой струны учетом сил тяжести и сопротивления». //Труды второй международной конференции «Деформация и разрушение материалов и нано материалов» Москва ИМЕТ РАН, 2007. С. 640 - 641.

11. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О сложной динамике движения растяжимой струны», Труды 10-ой международной конференции «Актуальные проблемы современного естествознания. Естественные науки. Самара 2009. С. 48 - 55.

12. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. К вопросу о нелинейных сдвиговых деформациях тонкого упругого стержня с учетом его жесткости. V Международная конференция «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» (DFMN-2103). Г. Москва, 26 - 29 ноября 2013. ИМЕТ РАН им. А.А. Байкова. Труды конференции. СС. 122.

Корректура авторская

Подписано в печать: 30.06.2014 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60x84/16. Усл. п. л. 1,5,.

_Тираж 70 экз. Заказ № 82._

Изготовлено с готового оригинал-макета в ИИУ МГОУ, 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а.