Динамика дискретно-континуальных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

003054028

СЕРГЕЕВ Александр Диепич

нампка дискретно-континуальных механических систем

Специальность 01.02.04 -механика дсфпрм11р)смою твердою тела

ДВТОРЕФЕРЧГ диссертации на соискание ученой степени доктра физико-математических наук

Слип-Пстср»» рг

2007

003054028

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, В.О., Большой пр. 61, Санкт-Петербург

Научный консультант;

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физнко-матемагическнх наук, профессор доктор физико-математических наук, доцент доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Институт машиноведения им. А.А. Клагонравопа РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, Малый Харитоньевский нер. 4, МОСКВА

П.А. Жилнн

Н.В. Блничук В.А. Еремеев П.Е. Torcíик

Зашита состоится "22" марта 2007 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: Большой пр., д. 61, В.О., С.-Петербург, 199178.

С диссертацией можно ознакомиться в OHT1I ИПМаш РАН. Автореферат разослан "15" февраля 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.075.01, доктор технических наук ' ~ У У__) Ii.Ii. Доренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Как направление механики динамика дискретно-контннуальных систем развивается отраслями фундаментальной и инженерной науки, осваивающими новые для себя объекты, отличающиеся разномасштабностью и многообразием одновременно протекающих в них физических процессов. В междисциплинарных исследованиях труднообозримы границы областей поиска решений, что затрудняет возможности экспериментального изучения, ограничивает применение методов, ориентированных на использование в совершенно определенных системах. Естественную актуальность приобретают как проблемы синтеза адаптируемых к конкретным ситуациям моделей, так и развитие надежных детерминированных подходов к анализу таких моделей.

Анализ динамики смешанных систем, опыта работы с которыми либо недостаточно, либо не существует вовсе, вынуждает учитывать то, что, например, хорошо развитые подходы гамильтоновой механики действительно надежно работают только в закрытых системах. Инженерная же практика до сих пор имеет основания считать неэффективными смешанные модели, требующие прямого численного интегрирования динамических уравнений с частными производными и систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности с недиагональной матрицей коэффициентов при вторых производных по времени. Наряду с потреблением машинного времени на каждый пробный расчет, например, в популярном сегодня у разработчиков сложных конструкций интерактивном режиме, недостатками таких программных модулей являются объективно неустранимые погрешности численных решений. На краевые и начальные условия при проектировании сложной или уникальной многоцелевой установки в принципе накладываются весьма слабые ограничения, и это противоречие тоже не устранимо. По меньшей мере при экспресс-анализе динамики поведения сложной конструкции как целого в реальных условиях крайне актуально вынесение данных процедур за пределы численного интегрирования.

Развитию методов анализа динамики многоэлементных систем и конструкций с регулярной структурой посвящены работы Л.Д. Акуленко, Н.В. Баничука, Н.С. Бахвалова, И.И. Блехмана, Г.А. Ванина, П.А.Жилина, И.И. Карпова, Г.В. Костина, Д.М. Климова, C.B. Нестерова, Э.И. Григолюка, В.В. Залипаева. А.Б. Мовчана, В.А. Пальмова, Г.П. Панасенко, JI.A. Фильшинско-

го и др. Теоретическими аспектами динамики рельсовых экипажей занимались В.Ф. Журавлев, H.A. Фуфаев, P.J. Remington, Е.П. Блохин, В.Г. Вильке, В.Н. Данилов, А.Г. Заболотный, H.H. Кудрявцев, И.А. Копылов, И.В. Новожилов, А.Н. Пшинько, В.Н. Филиппов, В.Д. Хусидов и др В области аварийной динамики поезда отметим работы В.А. Лазаряна. C.B. Вертинского, В.М. Казаринова, П.Т. Гребенюка, Б.Л. Карвацкого, А.Л. Лисицына, В.Г. Иноземцева, Е.П. Блохина, H.A. Панькина, Л.А. Мугинштейна, Г.В Костина и Ю.М. Черкашина и др. Волновые процессы, наводимые взаимодействием подвижной нагрузки с бесконечной упруго-инерционной направляющей, наделенную частными свойствами оснащенных одномерных континуумов исследовали В.В. Бологин, CR. Steele, L. Fryba, ЮД. Каплунов, Г.Г. Денисов, В.В. Новиков, J.A Wickert, И.А. Дуплякин, Г.Б. Му-равский, А.И. Весницкий, Г.А. Уткин, В.М. Александров, A.B. Метрикин, И.И. Иванченко, Д.А. Индейцев, С.Н. Гаврилов, П М. Белоцерковский. и др. Стационарная динамика цепочек обсуждается в работах М. Борна и К Хуана, Л. Бриллюэна и М. Пароди, Н.Е. Жуковского, A.B. Зологарюка, В.М. Корнева, A.M. Косевича, A.M. Кривцова, Л.И. Мандельштама. Л. И. Маневича, A.B. Савина, А.Т. Филиппова. Исследованию механических свойств двумерных решеток и интерпретации на этой основе физических явлений посвящены работы Э.Л. Аэро, Е.А. Ивановой, И.А. Куннна, A.B. Михайлова, В.П. Мясникова, Н.Ф. Морозова, Л.С. Чхартишвили, А Д. Фирсовой и др. Поведение погруженных в жидкость упругих систем и трубопроводов с жидкостью исследовалась в работах В.В. Болотина, Г.О. Берто, К П. и Д К Андрейченко, Э.И. Григолюка, А.Г Горшкова, A.A. Мовчача, О А. Мухина. А.Б. Смаруня, В.А. Светлицкого, П.Е. Товстика, В.И. Феодосьева. Механика мягких оболочек, к классу которых, относятся, в частности, биомембраны, обсуждается в работах С.А. Алексеева, Б.И. и И.Б. Друзей, Е.В Еремеева. Р.П. Кузьминой, Л.М. Зубова и др.

Цели работы

В работе развивается подход к исследованию динамики в открытых дискретно-континуальных системах с подвижными нагрузками и подвижными границами, опирающийся на параллельное математическое моделирование смешанных систем, имеющих выраженное "продольное" направление, уравнениями оснащенных одномерных континуумов, оснащенных ломаных и оснащенных цепочек. Выделяются особенности и явления, проявляющие себя при любом способе описания.

В основные цели работы входит:

• Смоделировать локализованную динамику твердотельного включения с внутренними степенями свободы в континуум для теоретического изучения шумозащитных свойств изолирующих покрытий.

• Исследовать устойчивость нелинейных цепочечных систем, физические явления в которых связаны с целестностью структуры, ее термодинамическими свойствами и фазовыми переходами.

• Смоделировать и исследовать аналитическими и полуаналитическими методами совместную динамику верхнего строения железнодорожного пути и подвижного состава, аварийную динамику поезда при экстренном торможении.

• С использованием "оснащенной пространственной ломаной линии" описать динамику погруженных в жидкость трубопроводов, динамику шлангов с потоком несжимаемой жидкости,

• Исследовать связь между потерей упругой устойчивостью и плавучестью при погружении гибких оболочек в тяжелую жидкость с градиентом давления.

Научная новизна

В работе впервые введено в рассмотрение и использовано при решении прикладных задач континуальное описание пространственных деформаций рельсошпальной решетки как целого.

В неограниченных и полуограниченных дискретно-континуальных системах со смешанным (дискретным и сплошным) спектром исследован эффект возникновения и исчезновения дискретного спектра локализованных колебаний.

Теоретически показана возможность гашения конечного набора гармонических сигналов в дискретно-континуальной системе путем настройки собственной колебательной динамики пространственного мультиэлементного гасителя колебаний.

Аналитически исследованы задачи о стационарных локализованных колебаниях в системах с подвижными инерционными включениями в одномерные безмоментные и моментные континуумы. Впервые в рамках эйлеровой механики рассмотрено взаимодействие балки Бернулли-Эйлера с неньютоновским инерционным объектом.

Предложена единая для всего диапазона рабочих скоростей высокоскоростного электроподвижного состава нелинейная дискретно-континуальная модель системы "токоприемник-контактный провод", позволяющая полуаналитическими методами исследовать проблему надежности токосъема.

Построена теория схода с рельсов на прямолинейном участке пути вагонов тормозящего поезда, впервые учитывающая породольно-поперечную пространственную динамику подвижного состава.

Предложена оригинальная модель оснащенной упруго-инерционной ломаной, моделирующая в ЗО-пространстве динамику райзеров — находящихся в воде длинных гибких трубопроводов, по которым нефть или газ со дна моря доставляется на нефтедобывающую платформу или танкер.

Исследовано явление "захвата" объекта при его погружении в тяжелую жидкость, возникающее в результате конечных изгибных деформаций корпуса сильнодеформируемой упругой оболочки. Обнаружен эффект улучшения плавучести при совместном деформировании корпуса оболочки растущим с глубиной нормальным давлением и "погружающей" сосредоточенной силой.

Научная и практическая значимость работы

Полученные результаты вносят вклад в развитие механики и физики движущихся в среде деформируемых объектов, механики протяженных регулярных структур, сегменты которых обладают внутренней локальной асимметрией. В ряде случаев удалось строго установить и проследить определяющую роль локальной устойчивости объекта в ЗО-физическом пространстве и общего сценария развития макропроцессов в подобного рода системах. Предложенные модели позволили применить ряд точно поставленных и строго решенных задач математической физики для объяснения и механистической интерпретации реально наблюдаемых физических явлений, происходящих при взаимодействии локализованного инерционного объекта, движущегося в окружающей его среде, формируемой внешним полем достаточно общего вида.

Практические приложения полученные результаты находят при вибро- и шумозащите погруженных объектов, при оптимизации условий эксплуатации и конструкций пути и подвижного состава, при экспертизе железнодорожных аварий, связанных с возможностью предотвращения наезда поезда на препятствие за счет применения экстренного торможения. Эти же результаты позволяют описать механические аспекты проблемы идиопатического

сколиоза — искривления позвоночника подростка. Применительно к нефтедобывающим платформам и морским трубоукладчикам математическая модель гибкого райзера реализована в одном из модулей программного комплекса "ANCHORED STRUCTURES", разработанного морским регистром в сотрудничестве с СПбГТУ и Центром "Морской инжиниринг" Ассоциации центров инжиниринга и автоматизации, и предназначенного для выполнения расчетов стагики и динамики плавучих заякоренных сооружений. Усовершенствование данной модели позволит использовать ее для эффективного изучения жестких и плохопредсказуемых условий работы морских ветро-генераторов. Результаты исследования погружения сильнодеформируемых оболочек в жидкость имеют большое значение для понимания особенностей протекания процессов фазовых превращений, а также микрофильтрации и активного транспорта в клеточных мембранах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ, предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результатами экспериментов.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитическое исследование условий исчезновения и сохранения спектров локализованных колебаний в неограниченных одномерных дискретно-континуальных системах.

2. Исследование свойств спектров локализованных колебаний одномерных безмоментных и моментных упруго-инерционных направляющих с подвижными инерционными твердотельными включениями.

3. Аналитическое описание параметрических колебаний в оснащенной нелинейной дискретно-континуальной системе типа "токоприемник-контактный провод".

4. Теория схода с рельсов железнодорожного состава при экстренном торможении на прямолинейной участке пути.

5. Исследование влияния больших нзгибных деформаций упругой оболочки на устойчивость процесса ее погружения в тяжелую жидкость.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, представлялись, на ежегодной межд. конференции Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (С.Петербург, 1997—2006); Всероссийской научно-прак. конф "Первые окунев-ские чтнения". (Санкт-Петербург, 1997), конф. GAMM (Regensburg, 1997); конф. "Подвижной состав 21 века (идеи, требования, проекты)" (Санкт-Петербург, 1999); IV Междунар. конф. "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте", (Санкт-Петербург1999); Nordic-Baltic Transport Research Conf. (Riga, 2000); IUTAM Symp. on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity (Manchester. 2000); 2-nd Baltic-Bulgarian Conf. on Bionics, Biomechanics and Mechanics (Varna, 2001), EUROMECH Colloq. 425, Nonl. dyn., control and condition monitoring (Aberdeen, 2001); VIII и IX Всеросс. съездах по теорет. и прикл. механике (Пермь, 2001. Н Новгород, 2006); 5th International Conference on Vibration Problems. (Moscow, 2001). 42-47th Inter. Sc. Conf. (Riga, 2001—2006); межд науч.-прак. конф. "Акт. проблемы развития трансп. систем и строительного комплекса" (Гомель. 2001, 2003); 4th Euromech Nonlinear Oscillations Conf. (Moscow. 2002); 3-й Всеросс. конференции по теории упругости (Азов, 2003); Всерос. науч. конф. по волновой динамике (Н.Новгород, 2004); межд. науч -практ конф. "Подвижной состав ж.д. транспорта" (Гомель, 2004); межд. школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Ростов-на-Дону, 2005).

Материалы диссертации опубликованы в 19 работах.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложений Общий объем диссертации 332 страниц Диссертация содержит 120 рисунков и фотографий и список литературы из более, чем 380 названий.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, представлен обзор литературы, приведены структура и содержание диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту.

Первой главе в работе отводится вспомогательная роль. Для дискретной цепочки твердых тел с пространственными моментными связями, вза-

имодействующей с окружающей ее средой выводятся линейные уравнения движения в ЗО-пространстве. Указаны условия, при выполнении которых с помощью близкого по спектру собственных частот оператора удается подобрать одномерный оснащенный континуальный аналог дискретной цепочки и предложены уравнения в частных производных, описывающие линейную динамику в ЗО-пространстве континуального аналога дискретной цепочки твердых гел, взаимодействующей с окружением.

Рассматриваются соединенные безынерционными балками Бернулли-Эй-лера в цепочки одинаковые твердые тела (рис. 1). Крайние инерционные элементы цепочки закреплены посредством сферических шарниров (рис. 2). Геометрические параметры симметричной двухстержневой цепочки указаны на рис. 3.

ШШ-Ш1Ж Ш1ШТНЕ Ж Я« 1:133;

к -1 к к + 1

Рис I Рис 2 Рис 3

Для симметричных одностержневой и двухстержневой цепочек поставлена задача о нахождении частот продольных, крутильных и поперечных собственных колебаний. Приведем уравнения поперечных колебаний цепочки с двухстержневой связью в плоскости рисунка. С использованием обозначений А=Л1ё;/(8С3), = Л7(12С3), ^П2 = Мш2/{АСЪ), где Ах -жесткость балки Бернуллн-Эйлера на растяжение; Сз — жесткость балки Бернулли-Эйлера на изгиб в плоскости рисунка; т — масса инерционного элемента, ,7з — соответствующий момента инерции; и/ — размерная частота колебаний; Г2 — безразмерная частота колебаний.

Уравнения крайнего элемента слева

И'ц" = 0. ЗИ7 - (Д + 2 - ^,иГ22) 1Ф* + (А - 1) 1Ф> = 0. (1)

"Внутренние" уравнения

211^, - (4 - Щ + 2И- №ьш + №ьк-у = 0,

(2)

(Л-1) - (24,+4-«*П2) №ьк+ (.4,-1)

Уравнения крайнего элемента справа

= 0. -ЗИ'; + (/},-!) №ьы- (Д,+2-1* лг+1П2) = 0. (3)

Задача о частотах поперечных колебаний такой системы сводится к определению собственных значений шестидиагональной ленточной матрицы для конечно-разностной системы уравнений. Ищем решение в виде

IV? = XV,Хк, ФЬк = Ф*\к.

Условие существования нетривиального решения системы (2)

4+\П2+8р}-х01П2-2и}П'2

Х*-Х3ХЛ+Х2Х-^-Х!Л+1=0, Х1=Хг=

П _ л^о2 4- 19.fi, -

х2

(1+2/?з)

6 - 4\П2 + 12Рз - 2ХШ2 ~ 4- х^П'1

(1 + 2Д,)

Если Л1 и А2 — корни нашего уравнения, то еще двумя корнями будут Аз = АГ1 и Л4 = Л,"1. Решение ленточной системы уравнений выглядит так

4 4

щ = X! 1У'*Х>• = И 1Ф"Х> (4)

(=1 !=1

Подстановка (4) в уравнения крайних инерционных элементов дает

{[(М-ЛзХЛГ2-^2-!) + (А1А2-1)(Л^+2-Л5'+2)] (-4-2^+^) „.ПЧ е{[(А1-Аг)(А;у+2А2л'+2-1)-(А1Л2-1)(АГ2-А2Л'+2)] (-)-■-'/?,

+2г,,А1(А^+1-1) [-(1-Зз)(Л^'+3-1)1'зП2-А2(А"+1-1)(-С(1+2.91) + (2-^|^)1/зП2)]) = О

Здесь г;,=(Л,+Л,_1)/2. Наличие в уравнении (5) безразмерных инерционных параметров не позволяет построить общее аналитическое решение полученного уравнения. Но в частном случае, когда инерционные -элементы — твердые тела, масса которых сосредоточены в точках, лежащих на оси симметрии системы, найти общее решение уравнения (5) удается

С3 (4С3 + н.п4

96 1Ь*> 2(УУ+1)

"I/3 7Г5 \ .-,.■> 7Гв.

, я= 1.2... . N. (6)

Если условия взаимодействия с окружением стесняют индивидуальные повороты твердых тел, двухстержневая цепочка (рис. 1) вырождается в цепочку неповарачивающихся тел. Спектр частот колебаний такой стесненной окружением системы имеет вид

9 6С-.

3 sin2

" тР 2(АЧ-1)

Этот же результат получается, если в (6) положить Ац£ —> оо. Наличие аналитических представлений позволяет сравнивать спектры континуальной, дискретно-континуальной и дискретной моделей одного объекта, и

Рис 4

^hiiL

Рис 5

выделять те качественные свойства спектров частот, на основании которых можно с большей уверенностью делать заключение о природе недоступного прямому наблюдению объекта. В качестве иллюстрации сравним качественные особенности спектров систем с заведомо известной внутренней структурой. Для этого рассмотрим спектры частот шарнирно опретой инерционной балки Бернулли-Эйлера с изгибной жесткостью 2Сз и погонной плотностью р (схема I на рис. 4, спектр 1 на рис. 5) ajf = 2CsTr4s'/(pl4(N+l)4), частоты цепочки N частиц, "насаженных" на такую же безынерционную балку Бернулли-Эйлера в случае, когда N — большое число (схема II на рис. 4, спектр 2 на рис. 5), даваемые формулой (6) при д —* 0, и частоты сугубо дискретной колебательной системы, которая называется дискретным аналогом инерционной балки Бернулли-Эйлера (схема III на рис. 4, спектр 3 на рнс. 5), даваемые формулой (6). Последняя система представляет собой цепочку безынерционных стержней, соединенных между собой инерционными упругими шарнирами с жесткостью на поворот р. Ее собственные частоты таковы

2 10/i . , 7Г5

5 = 0,1,2,

N

На рнс. 5 показан один из возможных вариантов совмещения трех безразмерных спектров. В качестве огсчетной выбрана максимальная частота системы с 25 дискретными инерционными элементами. Общность строения цепочек предопределяет преемственность части их свойств. Положив

(1 = 2Съ/1, можно добиться хорошего совпадения свойств континуальной, дискретно-континуальной и дискретной систем в области низких частот. Несмотря на "похожесть" спектров, неустранимые различия трех систем наблюдаются при сопоставлений зависимостей от параметр;! N кришппы кривых, проходящих через точки спектров. При количественном согласовании спектров очевидно, что с ростом изгибНОЙ жесткости качество совпадения ухудшается. Но всегда спектр дискретно-континуальной системы оказывается "между" спектрами сугубо дискретной системы и сугубо континуальной системы.

Подбором оператора, близкого по спектру низших собственных частот спектру двухстержневои цепочки вводятся уравнения континуального аналога рельсошпальной решетки (Рис. 6) При этом предполагается, что балластный слой описывается реологической моделью, являющемся обобщением модели винклеровского основания. Полное континуальное описание деформаций прямолинейно го рельсового пути в пространстве как единого целого сведено всею лишь к трем уравнениям в частных производных

Рис. 6:

ш-

= №

«— = -с-'-щ ~кьщ + !ь>

12

С2 = 2 Ш

, дЧт т

дЧт 1 -:

Вщ

А

с,

/>2 = '»/' ■ п - '»/( ■

р)

иг = 0. + ф„ = 0. & = 0.

<)х.

Обозначения в (7) соответствуют оргам, изображенным на рис. 6. Все модули определяются параметрами рельсошпальной решетки и балластного слоя: Сз ~ изгибиая жесткость одиночного рельса в горизонтальной плоскости; С1 — изгибная жесткость одиночного рельса в вертикальной плоскости, содержащей орт направляющей; I — расстояние между шпалами; — ширина колеи; т. — погонная масса рельсошпальной решетки; ./] — главный погонный момент инерции рельсошпальной решетки, вычисленный относительно оси, параллельной направляющей; к„; к/, м ;/.г — определяемые либо теоретически, либо экспериментально модули упругости балластного слоя; и р'т''' — прочие составляющие внешних воздействий на на-

правляющую, включающие в себя, в том числе, и воздействие рельсового экипажа.

Во второй главе аналитическими средствами исследуются особенности спектров локализованных колебаний, существующих у неограниченных одномерных континуальных объектов с дискретными включениями. Представлены свыше двадцати различных вариантов условий сопряжения между дискретным и упруго-инерционным элементами смешанной системы на предмет качественного перехода от проявления "преимущественно дискретности" к проявлению "преимущественно континуальности".

Рассмотрим свободные локализованные колебания безмоментного и мо-ментного континуумом с двумя массами в качестве включений. Амплитуда стационарных колебаний упругой инерционной линии типа струны или балки Бернулли-Эйлера с погонной плотностью р, лежащей на винклеровском основании с жесткостью к и имеющей двухточечный безмоментный контакт с двухэлементными точечными включениями с массами тп\ и т2, при частотах колебаний, меньших частоты отсечки иь — \fkjp, удовлетворяет уравнению:

Здесь в — материальная (лагранжева) координата сечения, отсчитываемая вдоль упругой линии; ги — — смещение элемента направляющей с координатой е. Амплитуды поперечных смещений включений из положения равновесия их центров масс описываются функциями \У\ и Другие обозначения: с2 = Т/р — скорость распространения поперечного возмущения в струне (Т — сила продольного натяжения струны); ¡5А = С/р упругий параметр балки Бернулли-Эйлера (где С — ее изгибная жесткость), щ — у/к/р — частота отсечки; N1 и N2 — амплитуды силовых воздействий на упругую линию в точках контакта с включениями. Амплитуды колебаний двухэлементного включения удовлетворяют соотношениям

т\ш2\У\ = Ии т2и2\У2 = ЛГ2, ги{0) = \Уи гиЩ = \У2. (9)

Выполнение условий сопряжения движения упругой линии и вкшочения (9) для ограниченных на бесконечности решений как для струны, так и для балки Бернулли-Эйлера дает два уравнения относительно спектрального параметра и>2. Для струны эти уравнения имеют вид:

О ^ —^ «

' =-2-2—>0' Струна,

(8)

гщт2ш2,,, (1-е'2Х' "1) \и,рс1{т\ + т2)

= 1Т

(10)

Для балки аналогичные соотношения таковы

тпхтп-^ц (1 - е~2Х' "1 (1 + мп 2Хи1Ь))

4А?лр/34(т1 + тщ) _

= 1 [ 1 4т1ТП2 С1-6"2"' "1 (1+ ап2ЛЛ/;Ь)) ) 1/2 (П) 1 (тп\ + т2)2 (

При малых Ь выражения (10) и (11) принимают вид

{т1+т2)ьЛ , т^тчЬиЛ,

струна : --' = 1. ——-и— — 1,

2рсу/ш£ - и;] рсг(тп\ 4- тп2)

{ттц+ТП.2)Ш2 т^щЬшц балка : —=-Чгп = 1- „ ,,,-гг~т—., ,,= 1

(12)

2^2рр{ш2-и2)3/4 ' 2р/3*{т1+т-г)(<4-ш}1у/г

Интерес представляет случай и>2 < ш2. В случае струны для расстояний между массами Ь, меньших, чем

Ь, и рс2(т1+т2)/(т1т242), Ь, = 1|т1=эс « рс2/{т2^1), (13)

вещественные значения шц, являющиеся корнями частотных уравнений, уже не удовлетворяют условию иц < иц. Первое из равенств (13) дает Ь* в случае струны с двухмассовым включением, второе — в случае с одной шарнирно закрепленной точкой и одномассовым включением, что отвечает Ш\ —» оо. То есть, для струнного волновода существует такое расстояние между инерционными включениями, для которого не соблюдается условие вещественности и положительности квадрата частоты собственный колебаний. При этом соответствующий спектр собственных частот переходит в комплексную область, нарушаются критерии существования локализованных незатухающий колебаний, отвечающих этому собственному значению, и данная локализованная мода колебаний исчезает (Рис.7и). Эффект "растворения" локализованной моды указывает утрату системой проявления ею свойств, характерных для дискретной структуры.

Из решения аналогичных по постановке задач для балки Бернулли-Эйле-ра следует, что ухода собственной частоты локализованных колебаний за частоту отсечки "вверх" с уменьшением расстояния между массами или расстояния до неподвижной опоры не происходит. Помимо задач о двухточечных включениях с двумя "дискретными" степенями свободы, были рассмотрены локализованные колебания в струнном и балочном волноводах твердотельного включения при его безмоментном контакте волноводом (Рис.7в,г,ж,з). Рассмотрены формы колебаний одиночных твердотельных включений в балочный волновод при моментном точечном контакте

Рис 7:

(Рис.7л,м), тоже имеющих две "дискретные" степени свободы, и, наконец, формы локализованных колебаний пары твердотельных включений в балочный волновод при моментном точечном контакте (Рис.7н,о). Кроме того, рассмотрены предельные ситуации, когда какой-либо из инерционных или геометрических параметров двухэлементного включения вырождается. Прямым анализом точных решений задач, для системы, представленной на рис.7н,о), показывается, что явление "растворения" дискретного спектра в неограниченной дискретно-континуальной системе, упруго-инерционным элементом которой является одномерный моментный континуум, возможно лишь в ситуации, когда по меньшей мере одно из включений обладает набором инерционных параметров, характерных для твердого тела — и массой и тензором инерции.

Завершает вторую главу исследование дифракции внешнего сигнала на включениях, обладающих внутренними степенями свободы и перераспределение закачиваемой в систему внешним источником энергии. Рассматривается прохождение гармонического сигнала через сегмент квазиодномерной структуры, включающей в себя одномерный континуум и мультиэлементное твердотельное включение, обладающее собственной колебательной динамикой (рис. 8).

т.

V/,

V

б)

ПТЩТЩТПТОПШГ^ !Н|шШ1--,

—•• 2 ш

л

1

Ж,.-

Р(МГ0

1|||1!ШН|Ш||Н|Н1ПТШ

Рис 8-

Для упруго-инерционного сегмента изображенной на рис. 8а) системы, условия сшивки перемещений континуума и несущей платформы-включе-

ния вместе с условиями для продольных деформаций при s = s* таковы

дги d2w

pü = A—pw = T0lr4-kmw, u{—L/2, t)=U, u{L/2.t)=U. o s¿ o s¿

w(—L/2,t) = W-Lip/2, iü(L/2,í) = W+Ly/2, Adu/ds\^=4=P(t)

N 0u\L/2

msU+Цг U-mi дг Я1 ^ x + }m,U, соча, = Л— ,

W g 1 Z./2

mj;W+mi /v Si /v « + > тп,(У, sin а, =

tí «M-L/3

-ттц.лгЯ^У + + ЬТц<р- У'т.Я^^^— ( +

' 2 v (7 5 4 c7 s

* 1=1 \ i

m, (ucosa.+H7sina,-#,V + U^j = -¡i,U„ t = 1.2. ,iV

Эти уравнения описывают движение в плоскости рисунка многоэлементного включения, состоящего из N линейный осцилляторов, произвольно распределенных на несущей платформе. При P(t) = Рц exp (гхЧ) для перемещений платформы получена система уравнений, которая выглядит в обобщающих обозначениях следующим образом

Quu(w) Uo + auw(uj) [Vg + autp{u>) ip0 = b 1 Pa awu(íj) U0 + a,„,„(w) U'0 + a„v(w) <p0 = 0 (14)

Uq + aVU!(u) Wü + щ = 0.

Структура коэффициентов аху(ш) известна. Варьированием размещения осцилляторов на платформе можно добиться выполнения условий

auw{u)=awt¡{u)=Q, aUÍ>(i')=aípU(w)=0 или awwavv—a№V,a^=U (15)

В первом случае сложное включение "пропускает" продольное возмущающее воздействие так, что поперечные колебания несущей платформы не возбуждаются (Рис. 86), во втором — вся энергия внешнего источника вибраций "перекачивается" в энергию поперечных колебаний платформы, защищая от продольного воздействия область левее включения (Рис. 8в).

В третьей главе изучается взаимодействие бесконечных одномерных континуальных структур с подвижными инерционными нагрузками. Рассматриваются задачи о спектре локализованных колебаний инерционного объекта, контактирующего с лежащим на винклеровском (с жесткостью к,„) основании упруго-инерционным континуумом в ситуации, когда объект движется вдоль континуума с постоянной продольной скоростью v (рис. 9 (а-г)).

Рнс 9

Такие системы моделируют взаимодействие подвижного состава и верхнего строения пути, влияние скорости потока жидкости внутри райзера на его динамику в окружающей жидкости и другие явления физики движущихся сред. В качестве одномерного континуума выступают струна и балка Бернулли-Эйлера и используются уравнения в переменных £ = и т = I. В качестве включения для струны использует материальная точка и тележка, для балки — тело-точка с массой тп и моментом инерции ,/, его предельные случаи и тележка.

ЧЯ/ИЧО)

\

-л

у/с

Рис. 10

На рис. 10 представлены зависимость частоты локализованных поперечных колебаний смешанной системы от скорости перемещения массы вдоль струнного волновода (а), влияние скорости движения включения на протяженность возмущаемой окрестности (б) и формы поперечных колебаний движущейся вдоль струны тележки (в). Аналогичные задачи решены для балочного волновода. В этом случае имеем следующие уравнение и условия сопряжения в точке контакта балки и тела-точки

дги' 2гд1и! 1)2д21 ¿М

.1

дтд£

сЯи; |?=+» (?№!?=+»

=—С—гг — к„.и>. «> =0. — =0, (16)

ОС !{=-» <9£1{=-о

оеот2

= с

£=0

,02 и; К

=+и

тп

О2

ш

От2

£=0

^ <93 ш кс=+»

Решение задачи о форме локализованных колебаний системы (16)-(17)

т(£.т) =

(18)

fil = <7b(a+î'&i), /t2 = <7b(a-'M. = (^„/4C)1/4, дз = а+гбг), /¿4 = сьС-а-гбг), а > 0, > О, b2 > О. Входящие в (19) величины удовлетворяют системе уравнений

2<ть <" -2

х4-

+ P^MM2[4a2+(6l+62)2]=0i Х!

mJ

а4 - 2e2o2 -

+ е4-(1-х2) = 0, б = v/(~ih\/b7b).

2ех

2tx

Ь\ = аг - 2 +-. К = а2 - 2

1 а 1 а

На рис. 11 представлены зависимости безрамерной частоты (I), а также вещественной (II) и мнимой (III) частей /г, от скорости движения включения вдоль волновода. Аналогичные зависимости получаются и при рас-

Рчс. 11 •

смотрении включений, представленных на рис. 9 в) н г), а также для так называемого неньютонова инерционного объекта, не имеющего массы, но обладающего ненулевым моментом инерции. Сравнение случаев б) и в) показало наличие эффекта "растворения" дискретного спектра в случае в) при приближении продольной скорости включения к значению V —► 7ь\/2шь-

Завершает третью главу исследование динамики системы "пантограф-контактный провод". Предложена физическая модель (Рис. 12), учитывающая наличие поля силы тяжести, но игнорирующая инерционные свойства контактного провода. Это позволило аналитически описать взаимодействие в многоуровневой дискретно-континуальной системе с подвижной нагрузкой и периодически изменяющимися свойствами.

Выведено уравнение вертикальных колебаний пантографа, взаимодействующего с тяжелой линией, погонная плотность которой меняется по

тУГттТТттттЧ^ГГг

ЛЯ<.

1шщщптГ (11

-—1

1—1——1

Рис 12:

периодическому закону, а область ее приподнятия движущимся вдоль линии с продольной скоростью V пантографом заранее неизвестна и ищется в процессе решения задачи. Полученное уравнение пантографа имеет вид

ШрН'р + СрН'р = Ср№0 - тРе - у/ЩрЩ у/Щ-

Г 2зг

у/ЗДГр | Ьдр, ап2тг ( ь у/ЗДЛ^ У^к 2 л- ро I у/пк

(20)

1'(+

Р1

л

2тг Л у^Ур V \/2ро1

)])}

2тН уТУр

Здесь И'ц — поднятие недеформированного пантографа; р0 — постоянная составляющая погонной плотности, р\ — ее переменная составляющая. Используя очевидное предположение о том, что статическое решение уравнения (20) существует и может быть построено (г>|, — параметр данного решения), в качестве новой искомой переменной вводится безразмерное смещение пантографа из положения его статического равновесия Нр(£) = \Уь1 + Н?{£)\Уп. Его подстановка в (20) после соответствующих упрощений дает уравнение движения пантографа с учетом предположений относительно малости параметра />\/рп

Пр + ш:

а'г — ттгЧ| сояш,^, = ¡3,1

К"

соя (ш,¿—Ра) 2жм

Ро

и

2тгч/27Ь

К

„, тРК | 4Т„№й 2 Г г _трй\ 2Горпе | 47^ ср с* у \ 0 ср ) с*

Все коэффициенты уравнения (21) получены аналитически из решения корректно поставленной задачи математической физики, поэтому оно корректно описывает колебательные режимы системы "токоприемник-контактный провод" высокоскоростного подвижного состава вне зависимости от того, с какой скоростью движется экипаж. В этом и новизна модели и преимущество описывающего модель уравнения перед другими (полуэмпнрн-ческими) моделями данной системы.

Четвертая глава содержит анализ устойчивости стесненной твердотельной цепочки при ее нестационарном нагружении продольной силой.

систему асимметрию. Предполагается, что если цепочка движется вдоль прямолинейной направляющей с постоянной скоростью, можно говорить о ее натуральной конфигурации, в которой внутренняя энергия зависит от параметров связей с направляющей и параметра внешнего гравитационного поля.

Для исследования локальной динамики элементов цепочки, индуцируемой ускоряющим продольным воздействием Р на один из торцов цепочки, выделяется сегмент цепочки с так называемым "аномальным звеном", состоящим из двух твердотельных элементов На рис. 14 показан вид "аномального звена" сбоку. Цепочка составлена из четырех последовательно связанных инерционных элементов, движущихся вдоль прямолинейной направляющей конструкции. Она симметричная относительно плоскости, ортогональной орту п, и имеет в ЗБ-пространстве пять степеней свободы

Считается, что, помимо вертикальной силы, на каждое тело действует система сил и моментов со стороны упругих связей тела с направляющей, линейно зависящих от малых отклонений тела от "рабочей" конфигурации

^ = -Со, ■ ДИ, - В0, • у?.. = -ДН, • В0, - Оо, • ¥>,.

Здесь Со,, Во,, Е>о, — тензоры второго ранга в ЗО-пространстве, учитывающие фактор возможности потери контакта с направляющей отдельных

Рис. 13

Твердотельная цепочка состоит из соединенных друг с другом сферическими шарнирами тел. Тела связаны с направляющей упругими неудерживающими односторонними линейно-упругими связями и прижаты к направляющей однородным гравитационным полем. "Прижимающее" воздействие определяет орт к (Рис. 13). Точки контакта тел находятся ниже центров их масс С;,, внося в

Рис 14:

элементов подвески Д!!.,, <р, — векторы отклонения от отсчетной конфигурации. Структура тензоров взаимодействия с направляющей определяется геометрией виртуального параллелепипеда (рис. 15)

Со, По,

= "И <чк<?,к + с„п*п , Во,= - сикйк+с/.пвп х У (Р1^„+дсЛп®т У] 51,

' ■■ > 3=I :='

= -|с,,кх ^¿(^^„вП^,^ хк + с/,пх хп|-

-снп

Параметры упругого подвешивания в направляющей: а — высота параллелепипеда; Ь — ширина параллелепипеда; с„ — жесткость элемента вертикальной подвески; с/, — жесткость элемента горизонтальной подвески; б-1 = 1 если контакт в точке ] "включен"; <Р = 0 если контакт в точке ^ "выключен"; — вектор, "проведенный" из точки О, в точку с меткой Кинематические соотношения для описания малых перемещений инерционных тел из отсчетной конфигурации

Рис 15:

VI = Ч>\Т + 01. <¿>2 = + 02, Т - в 1=0, Г • 02 = 0,

(/?! и — углы поворота вокруг оси направляющей первого и второго инерционных элементов. При описании "поперечных" деформаций структуры удобно использовать функции

0, = 01пп + 0,кк. 02 = 02.,п + 6>2кк. 01 = -02 = 0.

Если все индивидуальные параметры тел идентичны и отсутствует отрыв связей от направляющей, замена переменных <р\ = ф + Ф и <р2 = ф — V' позволяет описать динамику цепочечной структуры системой уравнений

тф = -Р}, вп + П2(Р,)0п = 0.

а ■ г.21г,\а , л 2с''а1 х , п

Ь+ЪМЬ + = (22)

^ёк-2-рвк + Ф + „1Ф = о. Ф + = и

В (22) использованы обозначения

7Т Г_1_,г, „2 Г» Г" . | - ^ тЬ ,

«Е = , ^Е = -Л + —--• ^Е = },

ч2^ Л , Ч Р]1 т,+тп

П2/п\ Слг/г Л , Ч Р/1 тг+тп 9 4с/|я2+с„Ь2 .гтгод = ^ + ■ ^ = — ^

Можно показать, что собственные числа системы линейных уравнений, описывающих локальную поперечную динамику "аномального" сегмента цепочки, вещественны. Легко видеть, что они зависят от величины продольного усилия Р[, приложенного ко всей структуре в целом Нетрудно установить, что при Р{ > руЗЕ) = [с„ие {1+1,/(21)) -г,т,g] /{(тг+гп,)1}, в вертикальной плоскости цепочки образуется экспоненциально нарастающий по времени Л-образный излом (Рис. 16 а). Сценарий, представленный на рис. 16 б) реализуется, если величина Р; > где оказывается следующими корнями квадратного уравнения

тЕ(тг+т,)1 (4о,а2+г„Ь2-г,тп^)

Ат?г2 [сиИ (\ + М__^_1 ^

^ — --_----

('тТ+т,)Ч2 (4с1,а2+с„Ь'2-г,т&) Один из корней (23) оказывается отрицательным, то есть, одна из критических нагрузок на цепочечную структуру является "разгоняющим" или растягивающим воздействием. Пространственные формы потери устойчивости, сопровождающиеся вращением твердых тел "аномального звена" вокруг продольной оси, имеют вид

_ 2тп£С1га1 + ггтгР^зп ^ ^ ^ 2т^сна1 - г,т,Р^п ^ ^ ^ тпъ(4с11а2+с„Ь'г-г1т&) ' ^1 гпЕ(4с;1а2+с„62-г,т^)

Put. 10:

Рис г 17:

Две из трех критический сил вызывают нарушение условий устойчивости "рабочей" конфигурации цепочечной структуры при сжатии, одна — при растяжении, Сама потеря устойчивости реализуется ire но веем степеням свободы. При асимметрии связей внутри структуры и связей с окружением энергетически выгодными могут оказаться формы потери устойчивости, сопровождающиеся локальными пространственными вращениями фрагментов структуры, так как квазистатичещое достижение: продольной силой критического значения сопровождается вращением инерционных элементов цепочки вокруг оси, параллельной внешнему силовому воздействию. Локальное разрушение структуры, вызванное потерей контакта между телами цепочки и направляющей, является интегральным проявлением динамики всей структуры.

Как приложение полученных результатов построена теория схода с рельсов вагонов железнодорожного состава па прямолинейном участке пути вследствие применения экстренного торможения. Теоретически подтвердился известный из практики работы сортировочных станций факт: причина соскоков с рельсов легких вагонов при резком трогании маневрового локомотива с места — наличие у "нендеальной" цепочечной системы критической растягивающей силы. Формы нарастающих но амплитуде колебании "аварийных вагонов" объясняют преимущественный сход с рельсов колеса задней тележки аварийного вагона и "змееподобный" характер возникающих при изломов цепочки в результате применения экстренного торможения (Рис. 17). Это показывает, что в качественном отношении построенная Теория дает весьма близкую реальности картину аварии.

В пятой главе рассматриваются особенности движения взаимодействующей с жидкостью оснащенной цепочки. Предлагается модель в виде оснащенной ломаной, описывающая ЗЕ)-динамику гибких райзеров — находящихся в поде длинных гибких трубопроводов, по которым нефть или газ со

дна моря доставляется на нефтедобывающую платформу (рис. 18). Основное достоинство модели — в процессе численного анализа она не требует численного интегрирования уравнений в частных производных, давая значительный выигрыш по продолжительности расчетов.

С использованием законов об изменении количества движения и кинетического момента выводится система обыкновенных дифференциальных уравнений, в инвариантной форме описывающих ЗО-движения оснащенной цепочки в жидкости (рис. 19). Стержни "оснащенной цепочки" предполагаются безынерционными, прямолинейными и неизгибаемыми, однако допускающими упругое удлинение вдоль направления, проходящего через их торцы. Между собой стержни связаны инерционными сферическими шарнирами с массами тп к и линейными моментными пружинами с жесткостями fik, где (к — номер соответствующего узла. Для моментов Mk-i.k(h-\,k) (слева от к-го узла) и M^jt+i(0) (справа от к-го узла) приняты определяющие соотношения

Mjfc_u(i*-u-) = -Aifc(m+1 X Т/.-1 0 = Mit ш (0). (24)

В законе упругости (24) использованы орты направления "от (fc-l)-ro узла к к-му" и "от А>го узла к (А,+1)-му"

- ~ й-*-! _ fifc+i ~ Rfc

Tk-l*-\Rk-Rk.ïy TkM<~\Rk+1-Rk\

Rit — радиус-вектор узла с номером к. Считается, что на элемент длины соединительного стержня в жидкости действуют распределенные силы гидродинамического сопротивления, пропорциональные квадрату нормальной компоненты относительной скорости точки оси стержня и окружающей

стержень жидкости. Скорость течения V* между узлами цепочки принимается постоянной. При таком условии получены силы и моменты, приложенные к соединительному стержню

fc = —дг(е-т®т) • {Л(у5-у*)+вшхт} ,

(25)

= -/?crx(®(v5-V*)+e£Jxr)

В (25) v.? — скорость середины соединительного стержня, из — его угловая скорость; 0<г — коэффициент квадратичного сопротивления, скалярные коэффициенты Л, Ъ и С из (25) вычисляются

L/2 L/2 Ы1

А= J y/eV+m+vs* di. В= J у/еЧ2+2Ы+ъ2 ¡di, С= J у/еЧ2+2Ы+ъ2 0 di. (26)

-L/2 -L/2 -L/2

В (26) введены обозначения для скалярных величин, которые при V* = const не зависят от положения сечения стержня

e2=(wxr)2. Ь=(шхт) • (vs—V*), n72=(vs-V.)2- [г • (vs-V*)f.

Интегралы (26) эффективно находятся численно непосредственно в процессе численного счета. Помимо сил квадратичного сопротивление в модель вводится присоединенная инерция соединительного стержня

Мол = ГО1гт®г + ГО?П(Е - т®т), тт = mizr/L, ал„ = ЯЛZn/L.

Мол — трансверсально-изотропный тензор присоединенной массы трансляционного движения единицы длины стержня, 3Jtj> и fflz,, — известные коэффициенты. Присоединенная масса безынерционного стержня рассматривается, как самостоятельный объект механики. Ее векторные меры движения получены "по определению" из выражения кинетической энергии

f 1 1

DC = / dX = - vs • As- • vs + - u> • Is- • ш.

L

mr r 2

As- = ЯНегt®t + Ш1е„(Е-т ® r), Js = g (E-r®r).

Векторные меры движения — линейные формы скоростей

DJC ООС

/с, = —- = as- • vs, kg = rqs-x/c,+—- = rqs'x/c,+1s • w.

UVy ОШ

Уравнение движения узла цепочки с номером к

mfcRit = Qw+i(0) - Qk-i.k{k-i.k) + {)>k-irikg}k+ ^

+«k,í+1 (RA.+i-Rjt-Uk+iT°k.k+i) -<ik-u. (R/.-R;.-i-'/.-i,;.Tyr-i/г)

Здесь ак,к+1 — жесткость стержня на растяжение, входящие в (27) поперечные силы Qk-i,k{k-i,k) и Qum-i(O) таковы

Qfc-l.fcCfc-l к) = l,(E—• (íU-lU-2 Í.-1 + /ЦП |.+ i) +

12 l h-u '

Qi.i+i(o) = —'Гл+Д®--) • (wn-u +

l 'U.+1 '

+¡l-[tlru+ixMsew+l + ÍF(utl

С использованием цепочечной модели аналитически решены две задачи нелинейной динамики о конечных деформациях безынерционной направляющей ломаной, внутри которой находится одномерный поток инерционной жидкости, движущийся с относительной скоростью ws. В первом случае рассматривается замкнутая "жидкая линия" в поле инерционных сил (Рис 20) Уравнения движения системы, имеющей при l?[>=const и i,\=coiist две степени свободы

То 1

dK(i „ Ж

^-Rox"^

= -Pusin^i,

dt dt

d(K?12+K?2J) , d{ K112+K1J!

0

(Нз-КО . _ (Нз.п.). =

Для нулевого расстояния между точками и А (см. рис. 20) аналитически построены равновесные конфигурации данной консфукцнн. Их определяют корни уравнения

= ^ (28)

уД+аг I 1 + а2 ' ' /1,2'

Устойчивые и неустойчивые решения, отвечающие корням (28), найдены. Во второй задаче рассматриваются стационарные состояния открытой системы "инерционный поток-деформируемая безынерционная направляющая" с условиями обмена системой массы с окружением, представленными

Рис, 20

Рис 21

на рнс. 21. Два полых безынерционных стержня сцеплены сферическим шарниром в узле 1. Длины стержней /о i " h 2> а их "внешние" торцы помещены в идеальные сферические шарниры. Внутри стержней вдоль прямолинейных направляющих течет поток несжимаемой инерционной жидкости. Фиксированный расход жидкости через сечение каждого стержня обеспечивается насосом Я. Площади сечения обоих стержней одинаковы и равны F. В узле 2, расположенном в точке В, при внешнем давлении фг = const строго вдоль направления тп жидкость покидает формообразующую Узлу 2 разрешено свободное перемещение вдоль прямой, проходящей через точки Q и В. Элемент потока несжимаемой жидкости, находящийся в стержнях, соединяющих точки Q, D и В, рассматривается как оснащенный открытый одномерный безмоментный континуум. Существование такого объекта обеспечивает наличие переменного вдоль длины жидкой линии неотрицательного "продольного" давления ф. Баланс энергии для такой системы

-j^R-i • • R-2 - • R-з)*-

• R,)(R,2 • R,)' + fl,Ra • Ri+ (29)

Г 2

+|^'[(Ri+R2) • (R2 - Ri) + Z1.2R2 • r0] = -«Pafro • R2.

У (29) имеется решение в виде стационарного вращения формообразующей направляющей как жесткого целого вокруг то

R;'= Р,,(12о <)•<!• то-МД)0 =Р,»(Ш)-Т0 = г0.

п0 = Д)ТЦ. Д) = const, R.^ = Х20Т0, Х20 = const.

Для решения (30) интеграл момента количества движения дает связь A'.Jo = шеД^м (1 — cos 0О)/3. При этом необходимое для совместности

деформаций системы условие оказывается следующим

ыпфо- сояфо tg 00 =

4т/ sin tl'f) cos t/'n

9/Vir

/о 1

in",, - Фа^ ' 4тЕ/ц ! (1 - cos i/>,,)2' h 2'

Допустимые Л-образные конфигурации, при которых возможны стационарные вращения потока, определяются решениями двух уравнений

О COS фц [ (1 - cos фи)'2

1±

\/l — a1 sin" фц

COS ii'u

= 4,,

(31)

Уравнению со знаком "плюс" отвечает cosc»n<0. Эго конфигурации I) и И), представленные на рис. 22. Для них выполнено тт/2<фп<п. В конфигурациях III) и IV), показанных на рис. 22, соблюдается условие 0<<ри<тг/2. Их описывает уравнение со знаком "минус", справедливое для cos<fo>0.

Физические явления, возникающие в процессе квазистатического погружения сильнодеформируемого упругого тела в тяжелую жидкость, составляют содержание шестой главы. В первой части рассмотрена точная нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений погружения цилиндрической оболочки под действием двух сосредоточенных сил. Поскольку аналитически задачу о погружении такого упругого тела удается решить для линеаризованных уравнений, описывающих оболочку, вводится в рассмотрение имеющее цепочечное строение тело в виде шестигранной призматической оболочки (Рис. 23а), позволяющее решить такую же задачу о погружении полуаналитически в полной нелинейной постановке Для момента, действующего на расположенную между /с и /с+1 узлами грань справа от к-го угла принято определяющее соотношение М/;(+0) = -/ц - x)'j), i)°k = 2тг/3, геометрия системы описывается точно.

Погружение реализуется способом, изображенным на рис. 236 "Внутри" расположенных вдоль боковых ребер цилиндрических шарниров с метками

Рис 23

"О" и 'V' находятся емкости, куда извне через торцы шарниров организован квазистатический приток вещества (на рис. 23а показан стрелочками), в результате чего один из шарниров обладает переменной массой то{Ь), другой, соответственно, массой т,((). Исключает заполнение жидкостью внутреннее пространство призмы наличие двух торцевых стенок. Эти стенки считаются плоскими, непроницаемыми, обладающими абсолютно гладкими поверхностями и плотно прижатыми к пластинам боковой поверхности. Силы контактного взаимодействия торцевых стенок и боковых пластин призмы не препятствуют произвольным деформациям контура основания призмы. Верхнее и нижнее боковые ребра (их метки "О" и 'V соответственно) упорядочены по вертикали и всегда соблюдается симметрия деформируемого тела относительно плоскости, содержащей две неподвижных вертикальных направляющих. Скольжение вдоль направляющих происходит без трения. Изменения углов ограничены условием самонепересекаемости контура основания призмы "Вывернутые" конфигурации призмы тоже из рассмотрения исключаются. Система уравнений, состоящая из уравнений равновесия и условия существования симметричной конфигурации погружающейся полой призмы, имеет вид

тт:

+

-25о1сой^+

(32)

(vi - щ)sin + {<Рж - Vi) sin </>i + (<P\ - <p-z) sin

У?0 + <|Р)г 2

Mo,,

sin <Pi--h Sin <f\

Mi.2

<Po+4>* 2

вш ¡Р1

сое <р2

sin

Входящие в (32)-(34) 3"о,ь ^и и ^ ,, представляют собой величины суммарных сил, действующих со стороны окружения на пластины, соединяющие соответствующие шарниры; Му ь М[ 2 и Мг.гг суть величины суммарных моментов и моментов сил, действующих со стороны окружения на пластины, соединяющие соответствующие шарниры. При вычислении моментной составляющей воздействия окружения на верхнюю пластину в качестве оси взята ось шарнира с меткой "О", для средней пластины — ось шарнира с меткой "2", и для нижней пластины — ось шарнира с меткой "7г". Их вычисление разбивается на четыре стадии — в зависимости от того, какие боковые ребра оказываются выше уровня свободной поверхности, какие ниже (Рис. 24). На каждой стадии операцию вычисления сил

и моментов, создаваемых линейно растущим с глубиной нормальным давлением, удается выполнить в аналитической форме. Например, на стадии I, когда ниже свободной поверхности находится только узел с меткой 'V, ЗЬ,1 = ^5,0 = 3*1,2 = 3\),5 = 0, Мц.) = М5,и = М1.2 = М4.5 = 0. Величина суммарной силы, создаваемой давлением жидкости р = р(/») на боковую грань призмы, имеющую единичную длину бокового ребра и соединяющую узлы с метками "2" и 'V', либо узлы с метками "тг" и "4", через плотность жидкости вычисляется следующим образом

I)

Рис 24

Л/sin f-

о

Моменты сил давления относительно узла с номером "тг" на стадии I

Л/sin

= Мм = I pgl (л-isin у) di = №/i3/(ß«in2 {v,/2}).

о

Отдельно рассмотрены погружения заполнением нижней и верхней емкости при различных значениях упругого параметра призматической оболочки.

На рис. 25 и 26 в координатах "масса-положение относительно поверхности" показана зависимость между значениями глубины погружения, удовлетворяющими уравнениям статического равновесии призмы и массой нижней или верхней емкостей, а также изображены соответствующие каждому решению конфигурации призмы. Если нижняя грань призмы в области 1, сила тяжести стремится погрузить призму "вниз" до положения устойчивого равновесия. Из области 2 под действием сил давления жидкости деформируемая призма должна возвращаться к поверхности в положение устойчивого равновесия. При попадании призмы в область 3 происходит "схлопывание" и необратимый "захват" деформируемого тела слоем жидкости. Проникнув сюда через поверхностный слой жидкости, тело тонет. В области 4 тело утонет обязательно. В случае "не очень мягкого" корпуса при нагужении призмы в верхней точке отчетливо проявляется конечный "нырок", сопровождающийся значительными деформациями ее боковой поверхности. Затем тело "зависает" на некоторой глубине вблизи поверхности, причем в дальнейшем глубина и форма боковой поверхности призмы с ростом массы верхней емкости меняются достаточно плавно Деформируемая призма

Рис 27

окончательно тонет при нагружении силой, меньшей по величине, чем вес жидкости, вытесненной недеформированной призмой.

На рис. 27 для квазистатического режима погружения построена связь между положением инерционного элемента призмы в слое жидкости и величиной погружающей силы, обусловленной наличием внешнего поля. Участок 1 отвечает линейному нарастанию перемещения тела в зависимости от увеличения величины действующей на него силы. На участке 2 статического решения построить не удается. Здесь при постоянной внешней силе тело "плывет" к другой равновесной конфигурации. Участок 3 аналогичен участку I, но имеет ярко выраженный нелинейный характер. Участок 4 — граница способности тела, погруженного в среду, сопротивляться внешней силе. Для участка 5 в рамках статического подхода физическую интерпретации указать не удается.

Если деформируемая призма с основанием в виде правильного многоугольника погружается вдоль своих ребер, то, в силу симметрии системы и свойств боковых граней, до определенной глубины погружения она остается недеформированной. Специальный интерес представляет поведение такой оболочки при потере ею плавучести вследствие потери упругой устойчивости под действием линейно растущего с глубиной нормального давления. Такое поведение поддается аналитическому анализу, если рассмотреть погружение силой Р четырехгранной призмы, "закрывающие" плоскости которой параллельны свободной поверхности жидкости (Рис. 28)

¿3=0 3 0=ОО

Рис. 28:

При глубине погружения /г < ад равновесное положение упруго деформируемого плавающего тела, "натуральная" конфигурация которого пред-

ставляет собой призму с квадратным сечением, описывают уравнения

cosV, = ± tg t^^gdL-, ф = 1r/2-v. (35)

Здесь ОС — безразмерная глубина, у — безразмерная архимедова сила, 0 — безразмерное давление внутри оболочки, тг/2 — угол между гранями. Система (35) всегда имеет решение вида

0 = 0. :к = 7 => ч> = тг/2, h = p/{pSoe). (Зб)

Для i/'=0 основание остается квадратным, а второе из двух уравнений системы выполняется тождественно. В этом случае зависимость у = " (JC) линейна и отвечает участку "1" на рис. 29. Условие ¡КД-/,) >

Рис 30*

1 обеспечивает погружение призмы при

неизменной квадратной форме контура основания до положения, когда верхняя "закрывающая" стенка оказывается ниже уровня свободной поверхности. В случае ¡Х*(7*) < 1 устойчивость равновесной конфигурации с квадратной формой основания теряется на глубине, меньшей глубины полного погружения оболочки.

Так как система (35) симметрична относительно ф и {—ф), ее решение для ^ / I) и М, < Jf < 1 отвечает двум возможным ромбовидным конфигурациям (Рис. 30). Если Ф ф 0, второе уравнение системы (35) перестает быть тождеством. Исключение из (35) "К дает

72 _ Ф cos'2 ф + 0 cos Ф [/¿о sin ф i/<50

Зависимость у — y{7i) для ромбовидной конфигурации призмы при разных значения безразмерного давления 0 представлена участками, обозначенными цифрой "2" (Рис. 29). Увеличение параметра и, характеризующего изгибную жесткость оболочки, приводит к удлинению прямолинейного участка "1". Фрагменты обозначенных на рис. 29 цифрой "2" участков зависимости 7 = 7(3i) при 7 > 1 уже не имеют физического смысла, так как после полного погружении призмы необходимо переходить к другой системе уравнений, описывающей равновесные конфигурации погруженной оболочки. Полное погружение подробно не рассматривается.

Заключение содержит общие выводы, вытекающие из выполненных исследований, печатные работы, в которых отражены основные результаты.

В Приложения помещены аналитические выкладки, подтверждающие строгость представленных в диссертации результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Жилин П.А , Сергеев А.Д. Экспериментальное исследование- факта устойчивости консольного стержня//Тр. СПбГТУ. 1993. №446. С.174-175.

2. Жилин П.А , Сергеев АД Кручение консольного стержня консервативным моментом. // Тр. СПбГТУ. 1994 №448

3. Жилин ПЛ., Сергеев А Д. Кручение упругого консольного стержня моментом, приложенным на свободном торце. СПбГТУ. 1993. 32 с.

4. Zhiliti РА , Sergeev AD An Asymptotic Analysis of the Stability of Thin Rod under Twisting Load. Report on the Intern. Conf. on Asimp in Mech. St.P.State Marine Technical University, 1994

5. Индейцев Д.А , Сергеев А.Д Локализованные колебания системы "упругая направляющая-движущееся инерционное включение'' // В сб Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Тр XXV-XXVI летних школ. С.-Петербург. 1998 с 154-162

6. Индейцев Д. А., Сергеев АД, Литвин С С Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями. // ЖТФ. 2000. Т.70. вып.8. С. 8-15.

7. Сергеев А Д. Исследование особенностей автоколебательных процессов в некоторых бурильных установках с помощью повой механической модели. Рига: РФ ЛИИЖТа, 1991. 13 с.

8. Сергеев АД. Бифуркация равновесия сжатого стержня, скрученного следящими и мертвыми моментами // Тр СПбГТУ 1993. №446. С. 193195.

9. Сергеев А Д., Сергеев Д А. Математическое моделирование схода вагонов с рельсов при торможении грузового состава // Тр. н.-тех. конф. "Подвижной состав 21 века (идеи, требования, проекты)" С.-Пб. 27-29 мая 1999 г.

10. Sergeyev A.D., Sergeyev D.A. Wave Passage through a String having Multielement Inclusion with Partial Interior Dynamics // Proc. of the IUTAM Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity held in Manchester. UK. 16-20 July. 2000. KLUWER. pp. 141-150

11. Sergeyev A., Sergeyev D. Mechanical Simulating of Teenagers' Anomalous Spine Growth // Proceedings of the 2-nd Baltic-Bulgarian Conference on Bionics, Biomechanics and Mechanics, June 4-6, 2001, Varna, Bulgaria, pp.30-33

12. Sergeyev A., Sergeyev D. Rigid-body chain-like system for spine to study teenagers' Scoliosis // Proc. of the XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", June 21-30, 2001, St. Petersburg, Russia, pp.484-491.

13 Сергеев А Д., Сергеев Д А. Потеря контакта с направляющей звена движущейся цепочечной структуры при торможении. // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Анн. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2001. С.525.

14. Сергеев А Д, Сергеев Д.А. Нестационарная динамика группы вагонов, обусловленная торможением поезда перед препятствием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №4. с.98-104.

15. Сергеев АД Взаимодействие одномерного континуума с движущимся по нему инерционным объектом // ПМТФ. 2005. Т.46. №4. С.88-97.

16. Сергеев А.Д Плавучесть сильнодеформируемого упругого тела в слое жидкости с постоянным градиентом давления // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. Регион. Естественные науки. 2005. №4. С. 19-26

17. Сергеев А.Д. Потеря устойчивости формы упругого тела в процессе его квазистатического погружения в жидкость // Вестник ЮНЦ РАН. 2005. Т.1. Вып. 3. С.3-10.

18. Жилин ПА., Сергеев АД, Товапик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения: / В сб. трудов П.А. Жилина "Актуальные проблемы механики". Т. 1. СПб : Издание Института проблем машиноведения Российской Академии Наук. 2006 С. 115-140.

19 Сергеев А Д Нелинейное взаимодействие токоприемника электрического подвижного состава и контактной подвески // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. №1.

Подписано к печати 08 02.2007

Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,3. Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 107

ИПМаш РАН Большой пр., д. 61, В.О., Санкт-Петербург, 199178

Оглавление

Введение

Обзор литературы

Структура работы.

Результаты, выносимые на защиту.

1 Цепочка твердых тел с моментно-силовыми связями

1.1. Уравнения твердотельной цепочки

1.1.1. Уравнения движения внутренних инерционных тел

1.1.2. Уравнения крайних инерционных элементов.

1.2. Частоты продольных колебаний цепочки тел.

1.3. Частоты крутильных колебаний цепочки тел.

1.4. Поперечные колебания цепочки тел.

1.4.1. Ленточной система с шестидиагональной матрицей

1.4.2. Краевые уравнения.

1.5. Частотные уравнения поперечных колебаний цепочек тел

1.5.1. Условия существования нетривиальных решений

1.5.2. "Удобные" и "неудобные" переменные.

1.5.3. "Аналитический" случай получения спектра частот

1.5.4. Цепочка неповорачивающихся тел

1.5.5. Цепочка тел с неподвижными центрами масс.

1.5.6. Характер спектров

1.5.7. Сравнение спектров разных моделей одного объекта . . 53 1.6. Рельсошпальная решетка.

1.6.1. Континуальное описание рельсошпальной решетки

1.6.2. Модули континуального описания решетки.

1.6.3. Учет балластного слоя.

Смешанные дискретно-континуальные модели механики — инструмент, используемый в инженерной практике для описания стационарных и нестационарных динамических режимов работы сложных конструкций, объединяющих в себе стержневые, оболочечные, твердотельные и etc. элементы. К классу смешанных механических систем относят естественные структуры, искусственные сооружения и приборы, в которых жидкие, газообразные или сыпучие тела, а также внешние поля гравитационной или электромагнитной природы участвуют в динамических процессах наравне с абсолютно твердыми и деформируемыми твердыми телами [84, 221, 226]. Уже в качестве частных подсистем в смешанных системах взаимодействуют друг с другом, например, тяжелая жидкость и упругая оболочка, абсолютно твердое тело и трехмерная упруго-инерционная среда, сыпучая среда и погруженная в нее упругая стержневая конструкция, то есть объекты, описанием собственной и совместной динамики которых специально занимаются отдельные ветви механики.

Как направление механики динамика смешанных систем развивается отраслями фундаментальной и инженерной науки, осваивающими новые для себя объекты, отличающиеся разномасштабностью и многообразием одновременно протекающих в них физических процессов, в интересах какой-либо "третьей" науки [317]. На первых этапах таких междисциплинарных исследований, как правило, не ясны или труднообозримы сами границы областей поиска. Это затрудняет возможности экспериментального изучения, ограничивает применение теоретических методов, ориентированных на использование в совершенно определенных системах [50, 135, 240]. В подобного рода ситуациях естественным образом возникают проблемы синтеза адаптируемых моделей и проблемы детерминированных подходов к адекватному анализу таких моделей в конкретных ситуациях. Поэтому введение в рассмотрение оригинальной смешанной системы практически в каждом случае сопровождается разработкой метода ее теоретического анализа. Примеры результативных комбинированных построений подобного рода, относящихся к областям механики, представлены в [12, 39, 40, 30, 227].

Найденные "методом проб и ошибок" решения технических задач механики, радиотехники, радиофизики, радиолокации, вычислительной техники, автоматики и т.п. для конкретных смешанных систем, будучи специальным образом переформулированными, позволили уже на регулярной основе предсказывать характер поведения смешанных систем гораздо более широкого класса [32, 81, 221, 270, 271]. Оказалось, что моделирование динамики смешанных систем самой разной природы, в том числе и немеханических, имеет ряд общих методологических особенностей в плане постановки формальных задач [282]. Как результат, исследования общетеоретического и прикладного характера, начатые в 50-60-ых годах [29, 33, 55, 226], к концу XX века вылились в создание таких прикладных разделов математики, как теория катастроф и теория фракталов, во многом опирающиеся на результаты упомянутых работ [24, 26, 108].

При экспресс-анализ динамики смешанных систем, опыта работы с которыми либо недостаточно, либо не существует вовсе, приходится учитывать следующие обстоятельства. Например, хорошо развитые изысканные подходы гамильтоновой механики действительно надежно работают только в закрытых системах. Инженерная же практика до сих пор имеет основания считать неэффективными модели, требующие прямого численного интегрирования динамических уравнений с частными производными и конечно-разностных систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности с недиагональной матрицей коэффициентов при вторых производных по времени. Наряду с потреблением машинного времени недостатками таких программных продуктов являются объективно неустранимые погрешности численных решений. Как известно, неустранимая погрешность — часть решения, которая обусловлена ошибками исходных данных, и никакое искусство вычислителя не может ее уменьшить [160]. Достаточно очевидно, что на краевые и начальные условия при проектировании сложной или уникальной многоцелевой установки в принципе накладываются весьма слабые ограничения, и это противоречие тоже не устранимо. Поэтому включение в смешанную модель такого описания сдерживается и ресурсами ЭВМ и точностью сертифицированных методов численного интегрирования [303].

В силу большой размерности фазового пространства многоэлементых смешанных систем перед использованием численных методов крайне желательно осуществить предварительное сужение допустимых к рассмотрению областей пространства параметров [84, 226, 332]. Эту проблему в определенной мере решает полуаналитическое моделирование динамики смешанных систем. Полуаналитическое моделирование не исключает использования численных методов, однако этапы вспомогательного интегрирования уравнений в частных производных или конечно-разностных уравнений при таком подходе выносятся за рамки численных расчетов. Решающая роль в таком подходе отводится созданию замкнутой и адаптируемой к внешним воздействиям имитационной физической модели всего комплекса представляющий интерес физических явлений, но не собственно методам численного интегрирования.

Необходимым и практически неформализуемым этапом создания такой модели является сравнительный анализ динамики нескольких близких по части свойств объектов в условиях однотипного смешанного нагружения. В связи с этим в особый класс выделяются многоэлементные дискретно-континуальные структуры, для которых удается аналитически преодолевать трудности построения инвариантных уравнений движения, и которые позволяют привлечь классические методы механики и математической физики для их анализа. Для них специально подбираются безупречно строгие с точки зрения механики постановки математических задач и надежные методы их аналитического и полуаналитического решения. Результатом сравнения является подбор простейшей репрезентативной совокупности элементов гибридной структуры для численного моделирования детерминированной составляющей многоуровневых физических процессов в условиях, когда аналитическая проверка уже невозможна, а существование решения с предполагаемыми свойствами для выбранного множества объектов удается обосновать только интуитивными соображениями и здравым смыслом [221, 282].

Эффективность анализа детерминированной динамики в открытых смешанных негамильтоновых системах обеспечивает привлечение к рассмотрению оснащенных кривых, поверхностей, континуумов, а также оснащенных цепочек, решеток и других оснащенных объектов [17, 18, 118, 258]. Математические модели, полученные прямым построением инвариантных уравнений движения оснащенных объектов на основе подхода, представленного в монографии [126], отличает структурная устойчивость к варьированию свойств отдельных элементов сложной структуры. Данное свойство позволяет при необходимости наделять в готовых уравнениях движения инерционные элементы системы дополнительными качествами, не беспокоясь о корректности такой модификации. Такое преимущество часто удается реализовать в дискретно-континуальных системах, где одним из основных оснащенным виртуальными свойствами элементов являются регулярные цепочки твердых тел. Оснащенные цепочки тел представляют собой расширение цепочек частиц, чаще других применяемых для проверки интуитивных представлений о динамике реального протяженного объекта.

Обзор литературы

Исследование физикой свойств регулярных струюур с очень большим числом частиц выделилось в отдельную область — динамику кристаллической решетки — самостоятельный раздел, разрабатываемый в основном на основе принципов и постулатов теоретической физики. Феноменологическое моделирование динамики кристаллической решетки, в рамках которого речь идет о колебаниях объектов, имеющих масштабы порядка размеров атомов, основывается на понятии нормальных упругих колебаний кристалла, наличии фононного газа, заполняющего межрешеточное пространство, и на предположении о гамильтоновости такой системы в условиях внешнего стационарного гармонического воздействия [51, 181, 217].

Методы изучения стационарной динамики цепочек излагаются в монографиях М. Борна и Кун Хуана, JI. Бриллюэна и М. Пароди, A.M. Косевича, Л.И. Мандельштама [51, 53, 182, 183, 212]. Большое внимание в этих монографиях уделяется линейным цепочкам одинаковых частиц и цепочкам с двумя и более наборами одинаковых частиц. Эти цепочки описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, матрицы которых оказываются ленточными [32, 81]. Система уравнений для цепочки одинаковых частиц имеет трехдиагональную матрицу, и для широкого набора условий закрепления крайних элементов однородная система таких уравнений допускает точное аналитическое решение при любом количестве инерционных элементов. Поэтому считается, что в рамках линейного рассмотрения про цепочки одинаковых частиц известно все [51, 53, 260], и такие цепочки традиционно служат базовыми моделями для рассмотрения регулярных структур типа двумерных сеток и трехмерных решеток, а также для изучения в одномерных цепочках эффектов, обусловленные нелинейностью связей и наличием нескольких типов инерционных или упругих элементов.

Импульс изучению одномерных цепочек с нелинейными потенциалами взаимодействия придали известные численные эксперименты Э. Ферми, Дж. Пасты и С. Улама [347]. В 1952 году Ферми, Паста и Улам многократно численно интегрировали на продолжительных временных интервалах уравнения продольных движений одномерной цепочки со слабонелинейной связью между частицами, и результаты такого интегрирования не подтвердили предсказываемые статистической физикой сценарии развития динамики консервативной системы с достаточно большим числом степеней свободы. В 1966 году М. Тода нашел специальные нелинейные цепочки с экспоненциальным взаимодействием между материальными частицами, которые допускают построение точных интегралов движения [312]. Точные решения, описывающие распространение воли в одномерных решетках Тоды, активно привлекались и привлекаются в работах по теоретической физике, чтобы предложить физические интерпретации явлениям, обнаруженным ранее в численных экспериментах. Работы A.B. Золотарюка, Л.И. Маневича, A.B. Савина, А.Х. Ханмамедова по исследованию цепочек Тоды в последние годы в основном связаны с солитонной тематикой [137,214,215,326]. Помимо классических монографий [51,53, 183,217], физическим явлениям, связанным с целостностью цепочки, ее термодинамическими свойствами, фазовыми переходами и пр. посвящены работы A.B. Андреева, Ю.М. Гуфана, В.М. Корнева, A.M. Кривцова, Л.И. Маневича, Е.Е. Слядникова, А.Т. Филиппова и др. [9, 61, 103, 186, 302, 323]. Исследованию механических свойств двумерных решеток и интерпретации на этой основе физических явлений посвящены работы Э.Л. Аэро, Е.А. Ивановой, A.M. Кривцова, И.А. Кунина, A.B. Михайлова, В.П. Мясникова, Н.Ф. Морозова, Л.С. Чхартишвили, А.Д. Фирсовой и др. [18, 19, 20, 21, 22, 143, 185, 190, 223, 355].

Теория механических колебаний, опирающаяся на принципы классической механики, тоже описывает динамику объектов с многими степенями свободы. Хотя физика кристаллической решетки и механика регулярных структур используют весьма близкий математический аппарат, тем не менее подходы к математическому моделированию реальных явлений и трактовке формальных результатов теорией кристаллических решеток в физике [52, 53, 167, 210] не всегда отвечают запросам ориентированных на инженерные нужды отраслей механики деформируемого твердого тела и теории механических колебаний. Гамильтоновость механической структуры большой размерности является весьма сильной идеализацией, а неконсервативность реальной системы — ситуация обычная. Это заставляет механику развивать собственные концепции и методики [38, 44, 123, 126, 131, 313].

Прикладные задачи, решаемые механикой деформируемого твердого тела, одной из основных целей имеют получение численных значений напряжений и деформаций в элементах конструкций. Эту проблему в регулярных дискретных, дискретно-континуальных и кусочно-однородных периодических структурах с большим количеством звеньев механика преодолевает, вводя в рассмотрение для моделей, на практике доказавших надежность, так называемые приведенные или эффективные модули. Поскольку такой шаг не является формальным и требует обоснований, для получения самих приведенных модулей приходиться строить специальные теории. В частности, для определения приведенных количественных характеристик многоэлементных конструкций применяется рассмотрение процессов в ячейке регулярной структуры на нескольких временных и пространственных масштабах. Процедуры реализации таких способов изложены в монографиях Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко, Г.А. Ванина, Э.И. Григолюка и Л.А. Фильшинского [30, 58, 100]. Применение этих методов сопряжено с объективными трудностями постановки и решения соответствующей статической задачи "на ячейке" и последующего динамического осреднения полученных результатов. Публикации В.В. Залипаева, А.Б. Мов-чана, Р.К. Макфедрана посвящены аналитическому моделированию волновых процессов в двумерной структуре с регулярно расположенными полостями

Крушой формы [379, 380]. В работах JI.C. Рыбакова [279, 280, 281] определяются значения эффективных модулей в плоских линейных задачах для регулярной структуры рамного типа. В публикациях Л.Д. Акуленко, Г.В. Костина, C.B. Нестерова, К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, А.Б. Смаруня и др. [5], [11] показано, что для конкретных регулярных механических систем с известной структурой приведенные модули удается получить с помощью специально разработанных численных методов. Выполняемые во всех этих работах построения жестко привязаны к специфике конкретной системы.

Изменение механических макросвойств сложного протяженного континуального объекта с множеством присоединенных к континууму дискретных осцилляторов, индуцированное внешним воздействием, обсуждается в монографии В.А. Пальмова [258]. В.А. Пальмов показал, что распространение вибраций вдоль такого объекта хорошо описывается уравнением в частных производных параболического типа, если в каждую точку протяженной континуальной системы обеспечен приток энергии от внешнего источника. И.И. Блехман в [39,40] рассматривает связанную с самосинхронизацией трансформацию динамических свойств нелинейных дискретных структур в присутствии постоянного подвода извне энергии вибраций. В свете теории, представленной В.А. Бабешко, Б.В. Глушковым и Н.Ф. Винченко [28], так называемая локализованная динамика детально обсуждается в работах В.М. Фомина, Л.И. Маневича, Е.Г. Веденовой, В.Н. Пилипчука, Д.А. Индейцева, A.B. Алексеева, С.ГТ. Киселева и др. [1, 2, 61, 165]. Полученные этими авторами результаты доказывают, что динамические процессы вблизи включений, индуцированные внешними гармоническими воздействиями, могут протекать по сценарию, характерному для гамильтоновых систем, хотя в целом системы гамильтоновыми и не являются. Наличие же весьма разнообразных проявлений индуцируемой внешним воздействием локализованной динамики заметно расширяет интерпретации экспериментов в кристаллографии за счет наработанного при решении прикладных задач опыта применения многоэлементных динамических гасителей. Это вытекает из прямого сравнения описания колебательной динамики ячейки Вигнера-Зейтца и описания динамики многоэлементного динамического гасителя колебаний, систематически рассмотренного в монографиях A.M. Алексеева и А.К. Сборовского, C.B. Елисеева и Г.П. Нерубенко, Б.Г. Коренева и JI.M. Резникова [7, 140, 176].

Прикладные проблемы динамики рельсовых экипажей стимулируют разработку в рамках классической механики таких методов моделирования гибридных цепочечных систем с применением оснащенных объектов, которые в перспективе вполне могут быть адаптированы к электродинамике движущихся сред [107]. В гибридной структуре, включающей в себя рельсовый путь, подрельсовое основание, поезд и контактную подвеску, при больших скоростях поезда естественным образом возникает необходимость в континуали-зации описания нескольких цепочечных подсистем, состоящих из большого количества дискретных элементов, в моделировании процессов взаимодействия подвижного инерционного включения с упруго-инерционной направляющей, играющей роль среды, в анализе устойчивости цепочечной структуры при продольном и поперечном нагружении. Но отличает систему "рельсовый путь-движущийся экипаж-контактная сеть", например, от кристаллических решеток или заряженной частицы во внешнем поле то, что для нее нет необходимости выдвигать феноменологические гипотезы относительно "главных членов" межэлементного взаимодействия. В реальных условиях работы железнодорожного транспорта набор возможных динамических процессов ограничен, источники и пути передачи внешней энергии в систему определены, а относительно поведения отдельных подсистем накоплен богатый практический материал, требующий теоретического подтверждения и систематизации1.

1 Отработка алгоритмов решения математических задач для смешанных моделей на непосредственно наблюдаемом "макроуровне" должна предшествовать их внедрению в близкие по формальной постановке теоретические

Теоретические исследования совместаой динамики системы "балластный слой-рельсошпальная решетка-железнодорожный состав-контактная подвеска" в большей в большей степени затрагивают вопросы вертикальной динамике таких подсистем, как "рельсошпальная решетка-рельсовый экипаж" и "токоприемник-контактная подвеска". Причиной меньшего количества публикаций, посвященных совместной поперечной динамике этих же подсистем является отсутствие удобных и эффективных расчетных схем для стесненной направляющей, аналогичных системе "упруго-инерционная балка на вин-клеровском основании". Для моделирования поперечной горизонтальной динамики подсистемы "путь-рельсовый экипаж" М.Ф. Вериго и А .Я. Коган [168, 169], например, выделяют каждый рельс еще в одну в отдельную подсистему и применяют для его описания дифференциальное уравнение балки при ее кручении и поперечном изгибе, приведенное в монографиях С.П. Тимошенко [307] и А.П. Филиппова [319]. Используемое в [168, 169] моделирование рельсошпальной решетки — это практически буквальное описание реального строения пути теорией стержней [330] в условиях, когда у дискретных инерционных элементов, таких, как шпалы и вагоны, одновременно участвующих во взаимодействии, количество степеней свободы тоже весьма велико. Так, в настоящее время динамику вагона "с твердым грузом" описывают системами, имеющими от одной до семнадцати-восемнадцати степеней свободы [57]. Исследованием теоретических аспектов данной проблематики занимались В.Ф. Журавлев, Н.А. Фуфаев, P.J. Remington, Е.П. Бло-хин, В.Г. Вильке, В.Н. Данилов, А.Г. Заболотный, Н.Н. Кудрявцев, И.А. Копылов, И.В. Новожилов, А.Н. Пшинько, В.Н. Филиппов, В.Д. Хусидов и др. [41, 72, 73, 130, 174, 175, 187, 248, 249, 250, 251, 365]. Поскольку историпостроения на наблюдаемых опосредовано микро-, нано- и более глубоких уровнях. Само же их внедрение в практику изучения физических явлений на этих масштабах уменьшает потребность в чрезмерной идеализации и гипотезах, используемых как фундамент для проверки совпадения теоретических предсказаний и экспериментальных измерений. чески сложилось так, что данный круг проблем оказался выделен в самостоятельную ветвь динамики рельсовых экипажей [67], эти результаты прежде всего ориентированы на использование в задачах поперечной динамики отдельного вагона, вагона в составе поезда, а также таких элементов вагона как тележка или колесная пара. Смешанные же модели, описывающие совместную пространственную динамику пути и подвижного состава, построенные на базе таких специализированных моделей пути и подвижного состава, оказываются чрезмерно громоздкими, непрозрачными и неуклюжими [169].

Верификация инженерных расчетов показывает [301], что применительно к высокоскростным поездам все более и более остро проявляется проблема так называемой приведенной массы инерционного элемента системы "токоприемник-контактная подвеска" [74, 325, 266]. Целый ряд традиционных инженерных расчетных схем нуждаются в модернизации по причине того, что внедрялись они в практику инженерных расчетов в 60-70-ых годах, то есть, до выявления особенностей учета локализации динамики, обусловленные всем спектром свойств окружения инерционного включения. Этот дефект может быть устранен только сравнением в аналогичных условиях динамики двух типов моделей: более точных, но сложных моделей с распределенными параметрами, и упрощенных традиционных прикладных моделей с дискретными параметрами. Без такого анализа расчетная схема не отвечает современным критериям достоверности описания2 динамики подсистемы "токоприемник-контактная подвеска" применительно к высокоскростным поездам [337, 350].

2Еще в 1968 году И.А. Беляев в [35] заострял внимание на том, что сопоставление такого параметра токо-приемиика, как приведенная масса, полученного на тестовых задачах по разным полуэмпирическим моделям подсистемы "токоприемник-контактная подвеска", используемым в приложениях, давало 17-ти кратное расхождение. В монографии И. А. Беляева и В.А. Вологина [36], вышедшей спустя пятнадцать лет, это расхождение оценивается, как 15-ти кратное. Столь резкие различия в определении значения одной и той же величины, вычисляемой по экспериментальным измерениям, свидетельствуют о плохой пригодности полуэмпирических моделей по крайней мере для исследований природы физических процессов в области контакта токосъемника и контактного провода.

Волновые процессы, наводимые взаимодействием подвижной нагрузки с бесконечной упруго-инерционной направляющей, наделенную частными свойствами оснащенных одномерных континуумов, изучались такими учеными, как В.В. Болотин, C.R. Steele, F.T. Flaherty, L.B. Freund, L. Fryba, Ю.Д. Каплунов, Г.Г. Денисов, E.K. Кугушева, B.B. Новиков, J.A. Wickert, C.D. Mote, И.А. Дуплякин, А .Я. Коган, Г.Б. Муравский, А.И. Весницкий, H.S. Zibdeh, R. Rackwitz, Г.А. Уткин, В.М. Александров, A.B. Метрикин, С.Н. Веричев, И.И. Иванченко, Д.А. Индейцев, С.Н. Гаврилов, П.М. Белоцерковский, G. Shupp, С. Weidemann, L. Vauer и др. [6, 34, 45, 46, 68, 69, 70, 78, 80, 105, 114, 145, 146, 147, 169, 230, 348, 349, 351, 352, 353, 359, 360, 367, 371, 376, 377, 383].

В работах Н.Е. Жуковского [128, 129], датируемых 1919 годом, выполнен анализ продольных колебаний нелинейной сугубо механической цепочки с неудерживающими связями между деформируемыми инерционными элементами, учитывающий возможности ударных воздействий соседних элементов друг на друга. Эти две работы, в которых были рассмотрены процессы, происходящие при трогании поезда с места и в начале движения, положили начало теоретическому изучению переходных режимов движения поездов в России. Н.Е. Жуковский предложил рассматривать железнодорожный состав, как продольно нагруженный стержень [128, 129], роль окружения которого, обеспечивающего поезду-цепочке рабочую конфигурацию, выполняют рельсы и поле силы тяжести.

Предложенные Н.Е. Жуковским непрерывная и дискретная модели поезда в дальнейшем дополнялись и использовались для решения различных задач продольной динамики поезда, и до сих пор разработка отечественных инженерных расчетных схем ориентируется на этот подход. Некоторые усовершенствованные модели приведены в книге [82]. В работах В.А. Лазаряна, C.B. Вертинского, В.М. Казаринова, П.Т. Гребенюка, Б.Л. Карвацкого, А.Л. Лисицына, В.Г. Иноземцева, Е.П. Блохина, H.A. Панькина, Л.А. Мугинштейна, Г.В. Костина и Ю.М. Черкашина и др. учтены диссипативные свойства поездной системы, дана оценка влияния сопротивлений, обусловленных взаимными перемещениями вагонов, проанализировано движение по перелому профиля пути, рассмотрен вклад в продольную динамику газодинамических процессов в тормозной магистрали, изучались устойчивость вагонов в колее от выжимания продольными сжимающими силами и устойчивость от стаскивания продольными растягивающими силами в кривых участках пути [66, 92, 93, 184, 196, 197, 198, 199, 201, 203, 229]. По мере расширения возможностей вычислительной техники появились новые пути совершенствования расчетных схем межвагонных связей и самих вагонов [218].

Среди многообразия процессов, в которых одновременно участвует вагон в составе поезда, универсальностью выделяется проблема устойчивости цепочечных регулярных структур при нестационарном внешнем воздействии и взаимодействие движущегося инерционного включения с упруго-инерционным окружением. В.А. Лазарян [198, 199], исследуя распределения продольных сжимающих сил по длине поезда на переходных режимах движения, связал изменение величины продольных сил во времени с вероятностью схода вагона с рельсов. Оценка вероятности по методике В.А. Лазаряна использует модели поезда, предназначенные для тяговых расчетов, то есть, ориентированные на исследование продольной динамики поезда [41]. Такая теория сходов вагонов с рельсов по сути оказывается вероятностной, так как прямых критериев устойчивости вагона на рельсах не дает. Специалисты, разделяющие точку зрения М.Ф. Вериго и А.Я. Когана, предпочитают искать причины потери контакта в системе "колесо-рельс", акцентируя внимание на динамике пути и поперечной динамике отдельного вагона, оставляя "вне модели" продольную динамику поезда. В дебатах, проходящих на страницах специальных изданий, интенсивно участвует B.C. Лысюк, предлагающий, в частности, считать, что одной из причин неочевидных сходов является аномальное поведение отдельной ("шальной") тележки [207]. Однако введение поправочных коэффициентов, коэффициентов запаса или нестрогие правдоподобные рассуждения не позволяют согласовать существующие точки зрения на причины неочевидных сходов вагонов на прямых участках пути в рамках общей замкнутой теории [236, 263].

Стеснение цепочки твердых тел податливой, но достаточно жесткой направляющей придает ей, как, например, в ситуации с железнодорожным составом, так называемую "рабочую конфигурацию". Это позволяет свести многие вопросы к изучению отклонений многоэлементной системы от такой конфигурации. Принципиальная же трудность описания динамики оснащенных твердотельных цепочек, погруженных в тяжелую жидкость, создается, образно выражаясь, естественным "размыванием" четких представлений о натуральной конфигурации деформируемого цепочечного объекта и неоднородностью стесняющего его внешнего распределенного воздействия.

Монография Г. О. Берто [37] содержит смешанные модели, с помощью которых оцениваются условия работы буйковых станций, погруженных в океаны и заякоренных посредством гибких связей. Динамика трубопроводов и гибких шлангов в жидкости рассматривалась в работах отечественных исследователей К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, А.Б. Смаруня, В.А. Светлиц-кого [10, 11, 372]. Варианты описания динамики подобного рода объектов зарубежными авторами изложены в материалах проводившийся в 1995 году в Гааге (Нидерланды) конгресса [373]. Особое место в динамике трубопроводов занимает учет находящегося внутри потока жидкости. Данный вопрос рассматривается в работах В.В. Болотина, A.A. Мовчана, O.A. Мухина, В.А. Светлицкого, В.И. Феодосьева и др. [45, 225, 231, 285, 321]. Исследование процессов приводнения, начальной стадии погружения оболочек вращения представлено в монографиях и статьях Э.И. Григолюка и А.Г. Горшкова, Дж. Ньюмена, A.A. Горшкова и Н.И. Дробышевского [85, 90, 97, 98, 99, 252]. Используемые в этих работах модели обладают фиксированной плавучестью и изменений плавучести за счет упругих деформаций объема не учитывают. Проникание деформируемых тел при заданных условиях входа в плотную среду, рассмотренное в работах В.Н. Аптукова, Н.А. Остапенко и Г.Е. Якуниной, И.В. Симонова и М.В. Хаврошкиной [13, 255, 299], является предельным случаем погружения твердого тела в жидкость. Но здесь эффект изменения объема не имеет уже практического значения, поэтому тоже игнорируется.

В реальности же только податливый, но "достаточно" жесткий корпус деформируемого тела позволяет пренебречь вкладом деформации в изменение архимедовой силы и расщепить исходную задачу на практически независимые области исследования. Работы М.В. Дерябина и В.В Козлова, Ю.В. Пыльнева и Ю.В. Разумеенко, С.М. Рамаданова, О.В. Мотыгина и И.В. Стуровой, И.К. Тена [106, 228, 275, 278, 306] анализируют колебания тела, флотирующего на поверхности и на границе раздела слоев жидкости, падение абсолютно твердого тела в жидкости. Однако Э.И. Григолюк и А.Г. Горшков подчеркивают [99], что общий случай непрерывного погружения деформируемого тела в жидкость является нерешенной задачей гидроупругости.

Погружение деформируемой оболочки в тяжелую жидкость описывается системой интегро-дифференциальных уравнений с подвижными границами. Учет перемещения границ жидкости по поверхности плавающего деформируемого тела делает подобного рода задачи о непрерывном погружении такого тела в жидкость тяжелыми и для постановки и исследования [99]. В важных для приложений ситуациях, пользуясь экспериментальными наблюдениями и интуитивными соображениями, выделяют процессы, связанные с преимущественным изменением одного параметра, и исследуют их в предположении, что остальные параметры остаются приблизительно постоянными, либо меняются по заранее известному закону. Если конкретность условий нагружения и возможность привлечения экспериментальных результатов позволяют обосновать правомерность такой декомпозицию общей задачи, то как частные и независимые, формулируются и решаются задача об определении сил, действующих на находящееся в жидкости тело, и задача о деформациях упругого тела под действием заданной системы нагрузок. Однако совершенствование опирающихся на декомпозицию подходов заведомо ограничено. При этом например, "не перекрываются" запросы биомеханики мембранного транспорта и физико-механических основ теории наркоза, предъявляемые к теории в монографиях [83, 109].

Рассматривать погружение цепочек в жидкость с перспективой приложения результатов к проблеме мембранного транспорта позволяют экспериментальные исследования биомеханики клеток [179]. Существуют прямые аналогии между поведением плавучих деформируемых объектов в тяжелой жидкости и поведением биологических мембран в растворах с градиентом концентрации веществ [109]. Среди общепризнанных выводов, к которым наука пришла при объяснении механизма наркотического действия на живые организмы различных веществ, выделим два: а) окончательный механизм действия наркотических веществ должен быть одинаков; б) данный механизм не сопровождается химическим взаимодействием. Эти выводы поднимают перед механикой вопрос об описании устойчиво возникающих на клеточном масштабе обратимых механических процессов, инициируемых исключительно изменением градиента концентрации окружающей клетку среды. Биомембраны действительно можно отнести к классу мягких, но обладающих изгибной жесткостью сложных оболочечных конструкций, что и должно однозначно предопределять основные закономерности их поведения. Проверка же общности механизмов связи между плавучестью и проницаемостью биологических и искусственных деформируемых объектов, оценка диапазонов изменения их параметров в ситуациях, когда эта связь становится определяющей, все это тоже прямые приложения механики деформируемого тела. Мягким оболочкам посвящены работы С.А. Алексеева, Б.И. и И.Б. Друзей [8, 110]. В монографии Р.П. Кузьминой [189] решаются задачи равновесия под гидростатическим давлением оболочек, имеющих до деформации форму плоской полосы, кругового цилиндра, полусферы, сферического цилиндра. Особо подчеркивается неединственность равновесных конфигураций, поэтому используемую при получении результатов тонкую технику интегрирования уравнений в частных производных вряд ли разумно применять в динамических задачах.

Структура работы

Диссертационная работа посвящена аналитическому и полуаналитическому моделированию стационарной и нестационарной динамики смешанных дискретно-континуальных систем. Основное сосредоточено на разработке подходов к описанию многоуровневых взаимоперевязанных физических процессов, протекание которых обеспечивается притоком энергии извне или расходованием предварительно запасенной энергии. Рассматриваемые объекты, как правило, включают в себя в качестве подсистем сегменты, впервые используемые при исследовании дискретно-континуальных систем. Расширяются на ЗЭ-физическое пространство хорошо зарекомендовавшие себя в приложениях традиционные одномерные и "плоские" расчетные схемы. Все модели объединяет в класс наличие в них многоэлементной твердотельной цепочечной структуры.

В диссертации преимущественно представлены точные результаты исследования конкретных моделей, допускающие обобщение на более широкие классы систем. Излагаются эффективные приемы построения корректного математического описания дискретно-континуальных систем. Применяется единообразная техника вывода в ЗЭ-физическом пространстве инвариантных уравнений движения для реальных объектов. Описания таких объектов требует решение проблем, возникающих при разработке, создании и эксплуатации скоростного железнодорожного транспорта, нефте- и газодобычи на прибрежных шельфовых и глубоководных морских месторождениях, а также объектов, погруженных в водную среду. Последнее, в частности, позволяет адаптировать результаты к исследованию задач мембранного транспорта.

Отличительные особенности рассматриваемых систем:

• Системы имеют иерархическое строение, не всегда допускают декомпозицию на простейшие подсистемы.

• Основные элементы систем могут совершать ЗО-движения в физическом пространстве, что позволяет учесть влияние фактора трехмерности упорядоченных протяженных цепочечных структур на устойчивость протекания в них физических процессов, традиционно рассматриваемых с использованием одномерных или двумерных моделей.

• Большинство систем существует только при наличии внешних постоянных и монотонно изменяющихся полей, что учитывается при анализе устойчивости упорядоченной конфигурации механической структуры "в целом".

• Системы как правило обладают асимметрией внешних связей, асимметрией строения инерционных элементов, формирующих эти структуры, что дает возможность изучать индуцированную внешними воздействиями макродинамику дискретно-континуальной системы, порождаемую исключительно локальной асимметрией ее строения.

В Главе 1 приводятся линейные уравнения движения в ЗБ-пространстве дискретной цепочки твердых тел с пространственными моментными связями, взаимодействующей с окружающей ее средой. Указаны условия, необходимые для того, чтобы дискретная цепочка допускала построение того или иного оснащенного одномерного континуального аналога. Демонстрируется, каким образом внешнее окружение может эти условия превратить в достаточные. Предложены уравнения в частных производных, описывающие линейную динамику в ЗЭ-пространстве континуального аналога дискретной цепочки твердых тел. Подобраны математические эксперименты, позволяющие определить значения приведенных модулей континуального аналога твердотельной цепочки, соотношения между упругими и инерционными параметрами которой соответствуют рельсошпальной решетке. Приводится пример цепочечной структуры, проявляющей при "континуализации" дуальные свойства, зависящие от поляризации зондирующего его внешнего гармонического воздействия.

В первой части Главы 2 аналитическими средствами исследуются особенности спектров локализованных колебаний, существующих у неограниченных одномерных континуальных объектов с дискретными включениями. Представлены свыше двадцати различных вариантов условий сопряжения между дискретным и упруго-инерциоппым элементами смешанной системы на предмет качественного перехода от проявления "преимущественно дискретности" к проявлению "преимущественно континуальности". Подробно рассмотрено прохождение гармонического сигнала через сегмент квазиодномерной структуры, включающей в себя одномерный континуум и мультиэлементное твердотельное включение, обладающее собственной колебательной динамикой.

Глава 3 исследует особенности взаимодействия дискретно-континуальных структур, описанных в Главах 1 и 2, с подвижными инерционными нагрузками. В первой части данной главы ставятся и аналитически решаются задачи о спектрах локализованных колебаний при стационарном взаимодействии подвижных включений с безмоментным и моментным одномерными континуумами. Решения сравниваются между собой по экспериментально регистрируемым показателям. Предложена физическая модель, позволяющая аналитически описать взаимодействие в многоуровневой дискретно-континуальной системе с подвижной нагрузкой и периодически изменяющимися свойствами. На ее основе получены аналитические представления коэффициентов дифференциального уравнения (уравнения типа уравнения Матье), описывающего параметрические колебательные режимы системы "токоприемник-контактный провод" высокоскоростного подвижного состава.

Глава 4 посвящена вопросам локальной устойчивости нагруженной продольными силами "рабочей" конфигурации стесненной связями твердотельной цепочки, движущейся вдоль упруго-инерционного континуума. Выведены инвариантные уравнения движения асимметричной цепочечной системы с пятью степенями свободы в ЗБ-пространстве при наличии неудерживающих связей и внешнего поля. На их основе построена система уравнений в вариациях, описывающая и глобальные и локальные эффекты потери устойчивости цепочки. Установлена зависимость от параметров исходной цепочки всех значимых для динамики коэффициентов математической модели. Исследуется вырождение динамики системы при ее "симметризации" и стеснении существенно пространственных форм движения. В качестве приложения полученных результатов строится теория схода с рельсов железнодорожного состава как следствия его экстренного торможения.

В Главе 5 вводится в рассмотрение оснащенная твердотельная цепочка, предназначенная для моделирования динамики гибких райзеров. На основе фундаментальных законов механики выводится система обыкновенных дифференциальных уравнений, в инвариантной форме описывающий ЗБ-движения оснащенной цепочки в жидкости. На оснащенной твердотельной цепочке твердых тел отрабатывается гибридное полуаналитическое математическое описание динамики объекта в среде, учитывающее и анизотропию присоединенной к объекту инерции жидкости и силы сопротивления, пропорциональные квадрату скорости, и наличие поля течений в жидкости. С использованием цепочечной модели аналитически решены представляющие и практический и теоретический интерес задачи нелинейной динамики о конечных деформациях безынерционной направляющей ломаной, внутри которой находится одномерный поток инерционной жидкости. Рассматриваются закрытая замкнутая "жидкая линия" и открытая негамильтонова система "инерционный поток-деформируемая безынерционная направляющая".

В Главе 6 построена нелинейная система интегро-дифференциальных уравнений квазистатического погружения цилиндрической оболочки. Исследуется погружение такой оболочки по линеаризованной модели. Аналогичный анализ в полной нелинейной постановке выполнен полуаналитически для призматической оболочки специального вида. Также вводится в рассмотрение система, позволяющая аналитическими средствами изучать вопрос о физических явлениях, имеющих место при потере оболочкой плавучести в результате потери упругой устойчивости ее формы, вызванной действием линейно растущего с глубиной нормального давления.

Результаты, выносимые на защиту

1. Аналитическое исследование условий исчезновения и сохранения спектров локализованных колебаний в неограниченных одномерных дискретно-континуальных системах.

2. Исследование свойств спектров локализованных колебаний одномерных безмоментных и моментных упруго-инерционных направляющих с подвижными инерционными твердотельными включениями.

3. Аналитическое описание параметрических колебаний в оснащенной нелинейной системе типа "токоприемник-контактный провод" .

4. Теория схода с рельсов железнодорожного состава при экстренном торможении на прямолинейной участке пути.

5. Математическая модель взаимодействующей с жидкостью оснащенной ломаной применительно к описанию динамики гибкого райзера.

6. Исследование влияния больших изгибных деформаций упругой оболочки на устойчивость процесса ее погружения в тяжелую жидкость.

Заключение

• Прямым применением законов об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии к описанию движения классических и неклассических оснащенных объектов, минуя процедуры формального осреднения, строятся математические описания смешанных дискретно-континуальных систем, ориентированные на полуаналитические и численные методы анализа, считающиеся сегодня надежными и заслуживающими доверия. Вывод уравнений движения во всех случаях осуществляется в инвариантной векгорно-тензорной форме.

• На основе корректно полученных уравнений предлагаются формально строгие постановки задач механики, позволяющие исследовать значимые аспекты динамики целого класса реальных естественных и искусственно созданных физических объектов. Специально оговариваются условия и пути применения моделей на более сложные случаи, в работе не рассмотренные.

• Аналитические решения, построенные для оснащенных объектов, позволяют эффективно указывать приоритеты в декомпозиции и агрегировании моделей изучаемых в работе сложных и многоуровневых естественных и искусственно создаваемых дискретно-континуальных систем при расширенном экспресс-анализе протекающих в них физических явлений.

• Все представленные в работе многоэлементные модели имеют модульную структуру, предполагающую, что углубленный анализ их динамики как целого и парциальной динамики отдельных оснащенных "схем замещения", может (и должен) осуществляется одновременно с воплощением "в металл" результатов их анализа. В моделях предусматривается сохранение "степеней свободы", позволяющих целенаправленно и непротиворечиво модифицировать их отдельные сегменты, естественным образом включая в них результаты независимо выполняемых исследований, но не внося принципиальных изменений в описание "в целом". Явным образом учитываемые силовые и моментные составляющие взаимодействий между элементами оставляют весьма удобный произвол при конкретном моделировании самих взаимодействий.

• Построенные математические описания смешанных дискретно-континуальных физических систем ни в одном пункте не вступают в противоречие с фундаментальными положениями классической механики. Как следствие, приложимость их самих и полученных с их помощью результатов к исследованию физических явлений сохраняется в условиях, когда ограничения, накладываемые соответствующими "специализированным" теориями выполняются весьма приблизительно, и даже не выполняются вовсе.

В диссертации получены следующие результаты

1. Аналитически исследованы особенности смешанных спектров в неограниченных дискретно-континуальных системах. Установлены условия, при которых часть дискретного спектра локализованных колебаний смешанной системы исчезает.

2. Аналитически описаны спектры локализованных колебаний одномерных безмоментных и моментных упруго-инерционных направляющих с подвижными инерционными твердотельными включениями. В момент-ном волноводе обнаружена связь между типом инерционного включения, типом его контакта с одномерным упруго-инерционным континуумом, скоростью движения включения вдоль континуума и явлением "растворения" частоты дискретного спектра при приближении скорости перемещения включения к критической.

3. Построено аналитическое описание нелинейных колебаний нелинейной структуры с подвижной нагрузкой. Полученное уравнение позволяет создать систему автоматического регулирования, подавляющую параметрические резонансы в системе "токоприемник-контактный провод".

4. Исследована устойчивость находящейся во внешнем поле и стесненной связями асимметричной твердотельной цепочки при нарастающем продольном нагружении. Построена замкнутая теория схода с рельсов железнодорожного состава при экстренном торможении на прямолинейной участке пути.

5. Построены уравнения движения оснащенной цепочечной структуры, в инвариантной форме моделирующие пространственную динамику находящейся в жидкой среде гибкой линии при наличии у упруго-инерционной линии больших неплоских изгибных деформаций.

6. В нелинейной постановке аналитически решена задача о равновесных конфигурациях замкнутого потока инерционной несжимаемой жидкости в поле центробежных сил. Показано влияние кориолисова ускорение на формирование пространственной конфигурации деформируемой структуры и исследована устойчивость найденных решений.

7. В нелинейной постановке аналитически решена задача о стационарных конфигурациях открытого потока инерционной несжимаемой жидкости, находящегося внутри деформируемой безынерционной направляющей. Показана необходимость использования уравнения баланса энергии для получения корректной замкнутой математической модели негамильтоно-вой дискретно-континуальной системы.

8. Исследовано влияние больших изгибных деформаций, особенностей приложения сосредоточенных воздействий и ориентации сильно деформируемой упругой оболочки в пространстве на устойчивость процесса ее погружения в тяжелую жидкость.

АЛ)

1. Абрамян А.К., Андреев В.Л., Индейцев Д.А. 1. Моделирование в механике. 1992. Т.6. С. 34.

2. Абрамян А.К., Алексеев В.В., Индейцев Д.А. Совместные колебания двухслойной жидкости и массивного штампа в бесконечном волноводе // ЖТФ. 1998. Т.68. №3. С. 15-19

3. Акуленко Л.Д., Костин Г.В. Метод возмущений в задачах динамики неоднородных упругих стержней // ПММ. 1992. Т.56. Вып. 3. С. 452-464

4. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B., Шматков A.M. Колебания вращающейся тяжелой неоднородной нити и их устойчивость // ПММ. 1999. Т.63. Вып. 1. С. 13-25.

5. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания взаимодействующих систем с неоднородными распределенным параметрами // Изв. АН. МТТ. 1999. №2. С. 15-25.

6. Александров В.М., Дуплякин И.А. Динамика бесконечной балки Тимошенко, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками, при движении деформируемого экипажа // Изв. АН. МТТ. 1996. №1. С. 180197.

7. Алексеев A.M., Сборовский А.К. Судовые виброгасители. Д.: Супромгиз, 1962. 196 с.

8. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек // В сб.Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1967. Вып. XI. С.5-37.

9. Андреев A.B., Корнев В.М., Тихомиров Ю.В. Обрыв атомных связей в вершине трещины. Потеря устойчивости участка цепочки атомов // Изв. АН. МТТ. 1993. №5 С. 135-146

10. Андрейченко ДК. Переходные процессы в глубоководных трубопроводах // Изв. АН. МТТ. 1999. №3. С. 159-170.

11. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К., Смарунь А.Б. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем // ПММ. 2000. Т.64. Вып. 2. С. 183-195

12. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

13. Аптуков В.Н. Проникание: Механические аспекты и математическое моделирование // Проблемы прочности. 1990. №2. Т. 21. С. 76-131.

14. Ахатов И.Ш., Коновалова С.И. Регулярная и хаотическая динамика сферического пузырька // ПММ. 2005. Т.69. Вып. 4. С. 637-647.

15. Аргатов И.И., Дмитриев И.И. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб.: Политехника. 2003. 233 с.

16. Аэро Э.Л., Кувшинскж Е.В. Основные уравнения теории сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т.П. Вып. 7. С. 1399— 1409.

17. Аэро ЭЛ., Булыгин А.Н. Уравнения движения нематических жидкокристаллических сред // ПММ. 1971. Т.35. Вып. 5. С. 879-891.

18. Аэро Э.Л. Двумерные ориентированные деформации нематических жидких кристаллов в неоднородных электрических полях, порожденных поверхностями с электрическим рельефом // Кристаллография. 1995. Т.40. Вып. 5. С. 889-899.

19. Аэро Э.Л. Нелинейная динамика закрученной структуры нематических жидких кристаллов в однородном магнитном поле // Изв. АН. МТТ. 1998. №1.С. 182-190.

20. Аэро Э.Л. Микромасштабные деформации в двумерных решеточных структурных переходах при критическом сдвиге // ФТТ. 2000. Т.42. №6. С. 1147-1153.

21. Аэро Э.Л. Динамические задачи для уравнения синус-гордона с переменными коэффициентами. Точные решения // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 1 С. 102-108.

22. Аэро Э.Л. Нелинейная микромеханика сплошной среды с периодической структурой // Актуальные проблемы механики. Тр. XXIX школы-семинара. С.-Петербург, 2002. С. 623-640.

23. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

24. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 128 с.

25. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений : Монодромия и асимптотики интегралов. М.: Наука, 1984. 336 с.

26. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., ШильниковЛ.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-220. (Итоги науки и техники)

27. Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС, 1999. 175 с.

28. Бабешко В.А., Глушков Б.В, Винченко Н.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 332 с.

29. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Сов. радио. 1969.

30. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

31. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 336 с.

32. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

33. Беллман Р., Дрейфус С. Динамическое программирование и надежность многоэлементных устройств: Пер. с ант. Оптимальные задачи надежности / Под ред. И.А. Ушакова. - М.: Издательство стандартов, 1968

34. Белоцерковский П.М. Взаимодействие бесконечного ряда колес с постоянным шагом, равномерно движущегося по рельсовому пути // ПММ. 2004. Т.68. Вып. 6. С. 1025-1034.

35. Беляев И. А. Взаимодействие токоприемника и контактной сети при высоких скоростях движения. М.: Транспорт, 1968.

36. Беляев И. А., Вологин В.А. Взаимодействие токоприемника и контактной сети. М.: Транспорт, 1983. 191 с.

37. Берто Г.О. Океанологические буи. Л.: Судостроение, 1985. 367 с.

38. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1972. 416 с.

39. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

40. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

41. Блохин Е. П., Пшинько A. Н., Заболотный А. Г. К вопросу устойчивости движения легковесных вагонов в составе грузовых поездов // Зб1рник наукових праць. Вып. 6. Дншропетровськ: Арт-Прес. Транспорт. 2000. С. 29-42.

42. Бобринецкий И.И., Неволин В.К., Хартов C.B., Чаплыгин Ю.А. Модуляция проводимости квазиодномерных молекулярных микропроводников. // Письма в ЖТФ. 2005. Том 31. Вып. 20. С. 65-69.

43. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1956.

44. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М.: Физ-матгиз, 1961.

45. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов // Тр. МЭИ. 1956. Вып. 19. С. 272-291.

46. Болотин В.В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение 1964. №4. С. 109-115.

47. Болотин В.В., Трифонов О.В. Предельный анализ конструкций при нестационарных воздействиях // Изв. АН. МТТ. 2001. №1. С. 134-142.

48. Бондарь Н.Г., Козьмин Ю.Г., Тарасенко В.П. и др. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом. М.: Транспорт, 1984. 272 с.

49. Борисков П.П., Величко A.A., Стефанович Г.Б. Влияние электрического поля на переход металл-изолятор с образованием сверхструктуры // ФТТ. 2004. Т.46. Вып. 5. С. 895-898.

50. Борисов A.B., Мамаев A.C. Современные методы теории интегрируемых систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. 2003. 296 с.

51. Борн М., Кунь X. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ, 1972.

52. Борн М. Символ и реальность / В кн. Моя жизнь и взгляды. М.: УРСС, 2004. 160 с.

53. Бриллюэн Л., Породи М. Распространение волн в периодических структурах. М.: ИЛ, 1959. 457 с.

54. Бубнов И.Г. Напряжение в обшивке судов от давления воды // Морской сб. 1902. Т.311. №8. С. 117-141; Т.312. №9. С. 111-139; №10. С. 119-138; №12. С. 107-130.

55. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978. 399 с.

56. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 с.

57. Вагоны. Конструкция, теория и расчет / Под ред. Л.А. Шадура. М.: Транспорт, 1980. 439 с.

58. Ванин Г.А. Микромеханика композитных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 302 с.

59. Ванин Г.А. Градиентная механика и термодинамика многоуровневых композитов // Механика композитных материалов. 1996. Т. 32. №1. С. 3-20.

60. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости // Изв. АН. МТТ. 1999. №1. С. 46-53.

61. Веденова Е.Г., Маневич Л.И., Пшипчук В.Н. Нормальные колебания в струне с сосредоточенными массами на нелинейно-упругих опорах // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 203-211.

62. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 560 с.

63. Вериго М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава в кривых малого радиуса и борьба с боковым износом рельсов и гребней колес: М.: ПТКБ ЦП МПС, 1997. 207 с.

64. Вериго М. Ф. Еще раз о причинах и механизмах контактно-усталостных отказов рельсов // Вестник ВНИИЖТ. 2001. №5. С. 21-26.

65. Веричев С.Н., Метрикин А.В. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // ПМТФ. 2000. Т.41, №6, С. 170-177.

66. Вертинский С. В., Бойчевский О. Г., Гребенюк П. Т. Исследование поглощающих аппаратов автосцепки // Вестник ВНИИЖТ. 1962. №6. С. 3-7.

67. Вертинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагонов. М.: Транспорт, 1991. 360 с.

68. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // ПММ, 1983, Т47, N5, с. 863-866.

69. Весницкий А.И., Метрикин A.B. Неустойчивость колебаний объекта, равномерно движущегося по случайно-неоднородной упругой системе // Изв. АН. МТТ. 1996. №5. С. 155-161.

70. Вибрации в технике. Т. 1. М.: Машиностронение, 1999. 504 с.

71. Вильке В.Г. О качении вязкоупругого колеса // Изв. АН. МТТ. 1993. №6. С. 11-15.

72. Вильке В.Г. Качение деформируемого колеса по деформируемому рельсу // Изв. АН. МТТ. 1996. №1. С. 25-35.

73. Власов И. И., Марквардт К. Г. Контактная сеть. М.: Транспорт, 1961.

74. Вулдридж Д. Механизмы мозга. М.: Мир, 1965.

75. Высоковский Д.А., Шумейко В.И. О некоторых следствиях теории призматических оболочек // Изв. АН. МТТ. 2004. №2. С.145-150.

76. Воронков В.Н. Метод решения задач на собственные значения для сложных линейных систем // Изв. АН. МТТ. 2005. №4. С.178-187.

77. Гаврилов С.Н. О возможности преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой, движущейся по струне // Тр. XXVII летной школы-конференции. СПб.: Ин-т пробл. машиноведения РАН. С.-Петербург, 2000. с. 517-532.

78. Гаврилов С.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции локализованной моды колебаний в системе "струна на упругом основании- подвижное инерционное включение" // ПММ. 2002. Т.66. Вып. 5. С.864-873.

79. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

80. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. М.: Транспорт, 1988. 392 с.

81. Гепнис Р. Биомембраны. Молекулярная структура и функции. М.: Мир, 1997. 624 с.

82. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука. 1965.

83. Горшков A.A., Дробышевский Н.И. Динамическое поведение экраноплана при ударе о воду// Изв. АН. МТТ. 1998. №3. С. 139-147.

84. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука. 1995. 352 с.

85. Горшков А.Г., Стпаровойтой Э.И., Яровая A.B. Механика слоистых вязко-упругопластических конструктций. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. 576 с.

86. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Вертикальный удар абсолютно жеской сферы или цилиндра с заполнителем по упругому полупространству // Изв. АН. МТТ. 1998. №4. С. 56-68.

87. Горшков А.Г., Кузнецов В.Н., Селезов И.Т. Цилиндрическая оболочка в нестационарном потоке вязкой жидкости // Изв. АН. МТТ. 1996. №3. С. 89-94.

88. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Федотпенков Г.В. Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству // Изв. АН. МТТ. 2000. №5. С. 151-158.

89. Граничим O.E., Хантулева Т.А. Гибридные системы и рандомизированные измерения в неравновесных ситемах // Электр. Ж. "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2004. №3.

90. Гребенюк П. Т. Переходные режимы движения длинносоставных поездов на спусках // Вестник ВНИИЖТ. 2001. №3. С. 31-35.

91. Гребенюк П.Т. Продольная динамика поезда: Труды ВНИИЖТ. М.: Ин-текст. 2003. 95 с.

92. Гребенюк П.Т., Панькин Н.А., Филимонов A.M. Метод исследования процессов распространения возмущений в сверхдлинных и соединенных поездах // Вестник ВНИИЖТ. 1977. №1. С. 1-4.

93. ГребенюкП.Т., Першин В.Ф., Тимощук А.И. Продольные силы в грузовых поездах при торможении // Вестник ВНИИЖТ. 1980. №5. С. 6-8.

94. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями. М.: 1971.

95. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974.

96. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Динамика твердых тел и тонких оболочек вращения, взаимодействующих с жидкостью. М.: Из-во Моск. ун-та, 1975.

97. Григолюк Э. И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. JL: Судостроение, 1976.

98. Григолюк Э.И., Филъшшинский JI.A. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. М.: Наука, 1992.

99. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы и прощелкивание тонких упругих панелей // ПММ. 1996. Т.60. Вып. 5. С. 865-876.

100. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, 1997.

101. ГуфанЮ.М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. 304 с.

102. Данилов В.Н., Хусидов В Д., Филиппов В.Н. Извилистое движение экипажа с нелинейными кинематическими и силовыми связями // Вест. ВНИИЖТ. 1971. Т.49. №3. С. 20-24.

103. Денисов Г.Г., Кугушева Е.К., Новиков В.В. К задаче об устойчивости одномерных безграничных упругих систем // ПММ. 1985. Т.49. Вып. 4. С. 691-696.

104. Дерябин М.В., Козлов В.В. Об эффекте "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости // Изв. АН. МТТ. 2002. №1. С. 68-74.

105. Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. М.: Прогресс, 1967. 253 с.

106. Динамика неоднородных систем. Выпуск 8. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

107. Довгуша В.В., Следков А.Ю. Наркоз. Концепция электромагнитных (частотно-полевых) механизмов возникновения. СПб.: Изд. ГУП НИИ промышленной и морской медицины, 2003. 68 с.

108. Друзь Б.И., Друзъ КБ. Теория мягких оболочек. Владивосток: Морской гос. университет им. адмирала Г.И. Невельского. 2003.

109. Дудин М.Г. Идиопатический сколиоз. Новые данные // В сб.: Новые имплантанты и технологии в травматологии и ортопедии (Материалы конгресса). Ярославль. 1999. С. 535-537.

110. Дудин М.Г., Авалиани Т.В., Пинчук Д.Ю. Выявление особенностей ней-рогуморальной регуляции опорно-двигательного аппарата у больных с идиопатическим сколиозом метод ом биотестирования // Ж. Хирургия позвоночника. 2004. №2. С. 9-13.

111. Дудин М.Г., Пинчук Д.Ю. Центральная нервная система и идиопатический сколиоз // Ж. Хирургия позвоночника. 2005. №1. С. 45-55

112. Дуплякин И.А. Движение экипажа с постоянной скоростью по балке бесконечной длины, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 461-471.

113. Егоров Г.Е. Асимметричная нагрузка при занятиях спортом как фактор, способствующий развитию сколиозов и нарушений осанки // Теория и практика физической культуры. 1972 №9.

114. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: Учебник для вузов по специальности "Гидравлические машины и средства автоматики". М.: Машиностроение, 1978. 463 с.

115. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Общая нелинейная теория упругих микрополярных оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кав. Регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. Нелин. пробл. мех. сплошных сред. С. 124-169.

116. Жилин П.А. Двумерная деформируемая среда. Математическая теория и физические интерпретации // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №6.

117. Жилин П.А. Новый метод построения теории упругих оболочек. II Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №5. с.191.

118. Жилин П.А., Сергеев А.Д. Экспериментальное исследование- факта устойчивости консольного стержня // Тр. СПбГТУ. 1993. №446. с. 174175.

119. Жилин П. А., Сергеев А.Д. Кручение консольного стержня консервативным моментом. // Тр. СПбГТУ. 1994. №448.

120. Жилин П.А. Исходные понятия и фундаментальные законы рациональной механики: // В сб. Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Тр. XXII школы-семинара, С.-Петербург, 1995, С. 14-40.

121. Жилин П.А. Реальность и механика // В сб. Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Труды XXIII летней Школы-Конференции, С.-Петербург, ИПМаш РАН. 1996. С. 6-49.

122. Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения: // В сб. Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Тр. XXIV школы-семинара, С.-Петербург, 1997. С. 313-337.

123. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. С.Пб.: Нестор, 2001. 275 с.

124. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. С.Пб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.

125. Жилин П.А., Сергеев А.Д. Кручение упругого консольного стержня моментом, приложенным на свободном торце. СПбГТУ 1993. 32 с.

126. Жуковский Н.Е. Работа (усилие) сквозного и несквозного тягового приборов при трогании поезда с места и в начале его движения / Собр. соч. Т. III. М., Л., 1949. с. 647-679.

127. Жуковский Н.Е. Сила тяги, время в пути и разрывающие усилия в тяговом приборе и сцепке при ломаном (резко переменном) профиле / Собр. соч. Т. III. М., Л., 1949. с. 680-694.

128. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

129. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997. 320 с.

130. Журавлев В.Ф. Об одной модели механизма движения змеи // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 4. С. 534-538.

131. Зайдман A.M. II Письма в Ж. Хирургия позвоночника. 2005. №2.

132. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. И ЖЭТФ. 1967. Т.52. №5. С. 1083.

133. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. 2004. 288 с.

134. Зацепин С.Т. Костная патология взрослых. М. 2001

135. Золотарюк А.В., Савин А.В. Взаимодействие солитонов и бисолитоны в одномерной молекулярной решетке. / Под ред. JI.H. Лупичева. Релаксационные процессы и явления в активных средах, с. 23-33. М.: ИФТП, 1990.

136. Золотенко /ТФ. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак жидкость"// Изв. АН. МТТ. 1996. №5. С. 155-161.

137. Зоркалъцева И.В., Шарипов Р.Н., Зайдман A.M. и др. Изучение полиморфизма числа тандемных повторов в экзоне G-3 гена-агрекана в семьях с идиопатическим сколиозом // Генетика. 2002. Т. 38. № 2. С. 259-263

138. Елисеев C.B., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск: Наука, 1982. 144 с.

139. Ентов В.М. О механике сколиоза. М.: ИПМ АН СССР. Препринт №117. 1978. 35 с.

140. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Особенности расчета изгиб-ной жесткости нанокристаллов // Докл. АН. 2002. Т.385, №4. С.494-496.

141. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Изв. РАН. МТТ. 2003. №4. С.110-127.

142. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учетмомент-ного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Докл. АН. 2003. Т.391, №6. С. 764-768.

143. Иванченко ИИ. О действии подвижной нагрузки на мосты // Изв. АН. МТТ. 1997. №6. С. 180-185.

144. Иванченко ИИ. Метод расчета на подвижную нагрузку стержневых систем, моделирующих мосты // Изв. АН. МТТ. 2001. №4. С. 151-165.

145. Иванченко И.И. Динамика мостовых и путевых конструкций при действии железнодорожной подвижной нагрузки // Изв. РАН. МТТ. 2005. №4. С. 158-177.

146. Израшев Ф.М., Чириков Б.В. //ДАН СССР. 1966. Т.П. С. 30.

147. Илизаров Г.А., Мархашов A.M. Кровоснабжение позвоночника и влияние на его форму изменений трофики и нагрузки. Челябинск. 1981. 223 с.

148. Ильяшенко Ю.С., Ли В. Нелокальные бифуркации. М.: 1999. 415 с.

149. Индейцев Д.А., Сергеев АД. Локализованные колебания системы "упругая направляющая-движущееся инерционное включение": // В сб. Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Тр. XXV-XXVI летних школ. С.-Петербург. 1998. с.154-162.

150. Индейцев ДА., Сергеев АД, Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями. // ЖТФ. 2000. Т.70. вып.8. С. 8-15.

151. Иноземцев В.Г., Гребенюк П.Т. Нормы и методы расчета автотормозов. М.: Транспорт. 1971. 56 с.

152. Исаков Н. Ю., Исполов Ю.Г., Шабров H. Н. Метод численного интегрирования уравнений динамики больших конечноэлементных моделей // Проблемы прочности. 1987. №12.

153. Исполов Ю.Г. К расчету жесткости армировки шахтного ствола // Механика и процессы управления. Труды ЛПИ. №266. М.-Л.: "Машиностроение", 1966.

154. Исполов Ю.Г., Сливкер В. И. Об одном эффекте, возникающем при использовании метода конечных элементов в смешанной форме И Строительная механика и расчет сооружений, вып. 1. 1984.

155. Исполов Ю.Г. Численное решение задачи Коши для конечномерных моделей механических систем // Механика и процессы управления. Сб. научных трудов. Тр. СПбГТУ №46. 1993.

156. Исполов Ю.Г., Шабров H. Н. Конечноэлементный анализ нестационарных полей температур в деталях ГТУ // Проблемы прочности. 1989. №12.

157. Ишал В.А. Признак Кона и некоторые другие рентгенологические симптомы прогнозирования эволюции сколиоза // Ортопедия, травматология и протезирование. 1988. №3.

158. Калиткин H.H., Алъшин А.Б., Алыиина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 224 с.

159. Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. Колебания бесконечной струны на деформируемом основании при действии равноускоренно движущейся нагрузки. Переход через критическую скорость // Изв. АН. МТТ. 1986. №1. С. 155-160.

160. Каплунов Ю.Д. Крутильные колебания стержня на деформируемом основании при действии движущейся инерционной нагрузки // Изв. АН. МТТ. 1986. №6. С. 174-177.

161. Кирейчук М.А. Растяжение диска зрительного нерва при глаукоме // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Сб. тр. научн. шк. акад. В.В. Новожилова. Под ред. К.Ф. Черныха. СПб.: 2004. Вып. 8. С. 87-96.

162. Кириллов О.Н., Сейранян А.П. Влияние малого внутреннего и внешнего трения на устойчивость распределенных неконсервативных систем // ПММ. 2005. Т.69. Вып. 4. С. 584-611.

163. Киселев С.П., Фомин В.М. Математическая модель гетерогенной среды типа матрица-сферическое включение // ПМТФ, 1999. Т.40. №4. С.170-178.

164. Клигман Е.П., Матвиенко В.П., Юрлова H.A. Динамические характеристики тонкостенных электроупругих систем //Изв. АН. МТТ. 2005. № 2. С. 179-187

165. Климонтович ЮЛ. Статистическая теория открытых систем. T.l. М.:1995. 624 с.

166. Коган А.Я., Агафонова Л.П., Перельштейн А.П. Поперечные горизонтальные силы, действующие на железнодорожный путь на прямых участках пути / Под ред. А.Я. Когана, М., 1979. 88 с. (Тр. ВНИИЖТ, вып. 619).

167. Коган А.Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. М.: Транспорт. 1997. 326 с.

168. Комаров В.И. Либрационные колебания тяжелой нити в центральном поле // Космические исследования. 1972. Т.Х. Вып.1. С. 46-56.

169. Коноплев В.А. Агрегативная механика систем твердых тел. СПб.: Наука,1996. 166 с.

170. Конторович М.И Нелинейные колебания в радиотехнике. М.: Советское радио. 1973. 320 с.

171. Копылов И.А., Новожилов И.В. Поперечные колебания железнодорожного поезда // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №4. С. 66-70.

172. Копылов И.А., Новожилов И.В. Модель переменной струкруты для поперечного движения железнодорожного вагона // Изв. АН. МТТ. 1996. №6. С. 27-36.

173. Копылов И.А., Новожилов И.В. Модель поперечных колебаний железнодорожного поезда // Изв. АН. МТТ. 1998. №2. С. 27-35.

174. Коренев Б.Г., Резников U.M. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М.: Наука, 1988. 303 с.

175. Корнев В.М., Тихомиров Ю.В. Потеря устойчивости участка цепочки атомов при наличии примеси // ПМТФ. 1996. Т.37. №3. С. 160-173

176. Козлов В.В. О падении тяжелого цилиндрического твердого тела в жидкости // Изв. АН. МТТ. 1933. №4. С. 113-117.

177. Кононенко В.Л., Розенберг Ю.М., Шимкус Я.К, Атауллахапов Ф.И. Н Биологические мембраны. 2004. Т.21. №2. С. 120-132.

178. Кононов A.B., Метрикин A.B. Дифракционное излучение в двумерных упругих системах // Изв. АН. МТТ. 1996. №1. С. 52-56.

179. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972.

180. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов. Киев.: Наук, думка. 1981.

181. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки. М.: Наука, 1988.

182. Костин В.Г., Черкашин Ю.М. Обеспечение безопасности движения вагонов в поездах повышенной массы и длины. — В кн.: Повышение массы грузовых поездов / Под ред. АЛ. Лисицына. М.: Транспорт. 1985. С. 54-63.

183. Кривцов A.M., Мясников В.П. Моделирование методом динамики частиц изменения внутренней структуры и нагруженного состояния в материале при сильном термическом воздействии // Изв. АН. МТТ. 2005. №1. С. 88-103.

184. Кривцов A.M. Термоупругость одномерной цепочки взаимодействующих частиц // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. Регион. Естественные науки. 2003. С. 231-243.

185. Кудрявцев H.H. Исследование динамики необрессоренных масс вагонов // Тр. ВНИИЖТ. 1965. Вып. 287. 168 с.

186. Кузнецов В.В., Льгсюк B.C. О причинах и механизмах контактно-усталостных отказов рельсов // Вестник ВНИИЖТ. 2000. №6. С. 33-39.

187. Кузьмина Р.П. Мягкие оболочки. М.: Из-во "Факториал", 2005 г. 256 с.

188. Кунин H.A. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости: М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. л-ры. 1975 г. 416 с.

189. Куракин Л.Д., Юдович В.И. Бифуркации при монотонной потере устойчивости равновесия косимметричной динамической системы // Докл. РАН. 2000. Т.371. №1. С. 29-33

190. Куракин Л.Д., Юдович В.И. О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы // Сиб. мат. журн. 2004. Т.45. №2. С.356-374

191. Курбаков А.И., Трунов В. А., АндреЖ. //Кристаллография. 2004. Т.49. с. 995-1002.

192. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функций комплескного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

193. Лаврентьев М.А., Митинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. 1949. Т.64. Вып. 6. С. 779-782.

194. Лазарян В.А. О динамических усилиях в упряжных приборах поездов при сопротивлениях относительным перемещениям экипажей // Труды ДИИТ. Вып. 19. Трансжелдориздат. 1948.

195. Лазарян В.А. Об усилиях в упряжных приборах поездов при тяге и подталкивании // Труды ДИИТ. Вып. 21. Трансжелдориздат, 1950.

196. Лазарян В.А. Исследование усилий, возникающих при переходных режимах движения, в стержнях с различными упругими несовершенствами // Труды ДИИТ. Вып. 25. Трансжелдориздат, 1956. С. 5-50.

197. Лазарян В.А. О динамических усилиях, возникающих в упряжных приборах при трогании с места растянутых грузовых поездов // Труды ДИИТ. Вып. 25. Трансжелдориздат, 1956. С. 5-50.

198. Лазаряи В.А., Длугач Л.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наук, думка, 1972. 197 с.

199. Лазарян В.А. Динамика транспортных средств: Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1985. 528 с.

200. Левин М.А., Фуфаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989. 271 с.

201. Лисицын А.Л., Мугинштейн Л.А. Нестационарные режимы тяги (Тяговое обеспечение перевозочного процесса). М.: Интекст, 1996. 159 с.

202. ЛичДж. У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. 173 с.

203. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

204. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. M.: Наука, 1980. 520 с.

205. Лъгсюк B.C. Причины и механизм схода колеса с рельса. Проблема износа колес и рельсов. М.: Транспорт, 1997. 188 с.

206. Лысюк B.C. Надежность железнодорожного пути. М.: Транспорт. 2001. 286 с.

207. Лысюк B.C., Сазонов В.И, Башкатова Л.В. Прочный и надежный железнодорожный путь. М.: Транспорт. 2001. 286 с.

208. Маделунг О. Физика твердого тела. Локализованные состояния. М.: Наука, 1985. 184 с.

209. Малыгин Г.А. Эйлерова неустойчивость двунаправленного эффекта памяти формы в ленте из никелида титана // ФТТ. 2003. Т. 45. Вып. 12. С.2233-2237.

210. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.470 с.

211. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

212. Маневич Л.И., Савин A.B., Смирнов В.В., Волков С.Н. Солитоны в невырожденных бистабильных системах // Успехи физических наук. 1994. Т. 164. Вып. 9.

213. Маневич Л.И., Савин A.B. Солитонный механизм распространения эндотермических структурных переходов в бистабильных системах // ЖЭТФ. 1995. Т. 107. Вып. 4.

214. Маневич Л.И. О теории катастроф // СОЖ. 2000. №7. С. 85-90.

215. Марадудин А., Мотролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.: Наука, 1965.

216. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 319 с.

217. Меркин Д.Р. Введение в механику нити. М.: Наука, 1981. 240 с.

218. Механика больших космических конструкций. / Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др. М.: Изд-во "Факториал", 1997. 302 с.

219. Минаков АЛ. Основы механики нити. // Тр. Моск. текст, ин-та. T. IX. Вып. 1. М.: Гизлегпром, 1941. 87 с.

220. Михайлов A.B. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки То-ды // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т.30. №7. с. 443^48.

221. Михеев В.П., Сидоров O.A., Саля И.А. Исследование и прогнозирование износа контактных пар устройств токосъема // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. №5. с. 74-79.

222. Мовчан A.A. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // ПММ. 1965. Т.29. Вып. 4. С. 760-762.

223. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488 с.

224. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб, 1995. 158 с.

225. Мотыгии О.В., Стурова И.В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего границу раздела // Изв. АН. Механика жидкости и газа. 2004. №4. С. 105-119.

226. Мугинштейн H.A., Лисицын А.Л. Нестационарные режимы тяги (Сцепление. Критическая масса поезда). М.: Интекст, 1996. 176 с.

227. Муравский Г.Б. Колебания груза, движущегося по бесконечной балке, опирающейся на деформируемое основание // Инженерные проблемы строительной механики. М.: Изд-е инж.-строит. ин-та, 1980. С. 48-61.

228. Мухин O.A. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью // Изв. АН СССР. Механика 1965. №3.

229. Нагаев Р.Ф., Степанов A.B. Об оптимизации коэффициента затухания свободных колебаний двухмассовой системы // Изв. АН. МТТ. 1999. №6. С. 167-172.

230. Наумов А.М., Светлицкий В.А. Определение напряженно-деформированного состояния "жесткого" шланга в потоке воздуха или жидкости // Изв. АН. СССР. 1979. №4. С. 24-28.

231. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

232. Неделъко И.В. Существование решений с внутренними слоями, выходящими на границу // Математические заметки. 2005. Т.77. Вып. 1. С. 80-92.

233. НедорчукБ.Л. Общая оценка состояния вопроса безопасности перевозок опасных грузов // Научно-практ. конф. Безопасность движения поездов. Труды конф. М.: МИИТ, 1999. С. 17.

234. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. JI.: ЛКВВИА, 1949. 141 с.

235. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 424 с.

236. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.

237. Нелинейная механика. / Под ред. В.М. Матросова, В.В. Румянцева, A.B. Карапетяна. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 432 с.

238. Нелинейнейные электромеханические свойства ацентричных кристаллов. / Зайцева М.П., Кокорин Ю.И., Сандлер Ю.М. и др. Новосибирск: Наука, 1986. 177 с.

239. Николаи E.JI. К вопросу о давлении вибраций // Изв. СПб политехи, ин-та. 1912. Т. 18. Вып. 1. С. 49-60.

240. Николаи E.JI. Труды по механике: М.: Гостехиздат, 1955. 584 с.

241. Нигматулип Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1,2. М.: Наука, 1987.

242. Нигматулин Р.И., Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К. Вынужденные колебания газового пузырька в сферическом объеме сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1999. Т.40. №2, с. 111-118.

243. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

244. Новиков Л.З., Шаталов М.Ю. Механика динамически настраиваемых гироскопов. М.: Наука, 1985. 245 с.

245. Новожилов И.В. Разделение движений рельсового экипажа // Изв. АН СССР, МТТ. 1980. №1. С. 55-59 .

246. Новожилов И.В. Модель движения деформируемого колеса // Изв. АН. МТТ. 1995. №6. С. 19-26.

247. Новожилов И.В., Павлов И.С. Приближенная математическая модель колесного экипажа // Изв. АН. МТТ. 1997. №2. С. 196-204.

248. Новожилов И.В., Филиппов В.Н. К оценке условий вкатывания гребня железнодорожной колесной пары на головку рельса // Изв. АН. МТТ. 2002. №5. с. 21-29.

249. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. JT.: Судостроение, 1985.

250. ОртегаДж., Пул. У Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986 с.

251. Остеохондроз позвоночника (диагностика, лечение, профилактика) / В.А. Епифанов, A.B. Епифанов. М.: МЕДпресс-информ, 2004. 272 с.

252. Палъмов В.А. Основные уравнения несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т.28. Вып. 3. С. 401-408.

253. Палъмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

254. Паповко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. 316 с.

255. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977. 224 с.

256. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современнные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с.

257. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела. Современнные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1985. 288 с.

258. Петров Г.И. Методы идентификации причин крушений и аварий поездов с использованием компьютерных технологий // 2-я научно-практ. конф. Безопасность движения поездов. Труды конф. М.: МИИТ, 2000. С. 18-24.

259. Пшипенко В.А. О моделях контурного движения гибкой нити // Изв. АН. МТТ. 1997. №2. С. 185-195.

260. Пилипенко В.А. Самоорганизованное движение одномерной цепочки в воздушном потоке // Изв. АН. МТТ. 2002. №3. С. 187-191.

261. Плакс A.B. Математическое моделирование колебаний контактной подвески и токоприемников электрического подвижного состава // Изв. ВУЗов. "Электромеханика". 1966. №3. С. 251-259.

262. Подобедов В.А., Пономарев А.Т., Попов В.М. Моделирование полета высокоскоростной упругой ракеты с решетчатыми рулями // Изв. АН. МТТ. 1999. №4. С. 134-142.

263. Пономарев С.Д., Бидерман B.JI., Лихарев К.К., Макушин В.М., Феодо-сьев В.И. Основы современных методов расчета в машиностроении. М.: Машгиз, 1952. с. 195-207.

264. Постон Т., Стюарт Й. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980. 607 с.

265. Потапов A.A., Герман В.А., Чеканов Р.Н. Теория катастроф и фракталов в волновой физике. // Труды VII Всерос. школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". М.: МГУ, 2000. Т.2. С 62-66.

266. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации : Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

267. Правила тяговых расчетов для поездной работы. М.: Транспорт, 1985. 287 с.

268. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. 559 с.

269. Продольная динамика в объединенных поездах повышенного веса / О. Г. Бойчевский, П. Т. Гребенюк, Е. П. Блохин, Г. В. Костин // Железнодорожный транспорт. 1971. №6. С. 55-59.

270. Пыльнее Ю.В., Разумеенко Ю.В. Способ существенного уменьшения волновых возмущающих воздействий на плавающие и стационарные морские объекты // Изв. АН. МТТ. 1997. №5. С. 83-99.

271. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.712 с.

272. Райхер Ю.Л., Столбов О.В. Деформация эллипсоидального образца фер-рогеля в однородном магнитном поле // ПМТФ. 2005. Т.46. №3. С. 153164.

273. Рамаданов С.М. О влиянии циркуляции на характер падения тяжелого твердого тела в жидкости // Изв. АН. МТТ. 1996. №5. С. 19-24.

274. Рыбаков Л.С. О теории одной плоской регулярной упругой структуры ферменного типа // Изв. АН. МТТ. 1995. №5. С. 171-179.

275. Рыбаков Л.С. Упругий анализ одной плоской регулярной стержневой структуры // Изв. АН. МТТ. 1996. №1. С. 198-207.

276. Рыбаков Л.С. Линейная теория плоской ортогональной решетки // Изв. АН. МТТ. 1999. №4. С. 174-189.

277. Саймон Г. Науки об искусственном. М.: Едиториал УРСС, 2004. 144 с.

278. Самсонов В.А. Перестройка конфигурационного многообразия и критические системы // ПММ. 1999. Т.63. Вып. 5. С. 770-774

279. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

280. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982.

281. Светлицкий В.А. Пассивная виброзащита механических систем при случайных возмущениях, ограниченных по модулю // Изв. АН. МТТ. 2000. №6. С. 174-178.

282. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М,: Изд-во МАИ, 2001. 432 с.

283. Седое Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 432 с.

284. Сенницкий В.Л. О поведении газового пузыря в вязкой колеблющейся жидкости в присутствии силы тяжести // ПМТФ. 1997. Т.38. №5. С. 73-79.

285. Сергеев А.Д. Исследование особенностей автоколебательных процессов в некоторых бурильных установках с помощью новой механической модели. Рига: РФ ЛИИЖТа, 1991. 13 с.

286. Сергеев А.Д. Бифуркация равновесия сжатого стержня, скрученного следящими и мертвыми моментами // Тр. СПбГТУ. 1993. №446. С. 193-195.

287. Сергеев А.Д, Сергеев ДА. Математическое моделирование схода вагонов с рельсов при торможении грузового состава. // Тр. н.-тех. конф. "Подвижной состав 21 века (идеи, требования, проемы)" С.-Пб. 27-29 мая 1999 г.

288. Сергеев А.Д, Сергеев Д.А. Потеря контакта с направляющей звена движущейся цепочечной структуры при торможении. // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Анн. докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2001. С.525.

289. Сергеев АД., Сергеев Д.А. Нестационарная динамика группы вагонов, обусловленная торможением поезда перед препятствием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №4. с.98-104.

290. Сергеев АД. Взаимодействие одномерного континуума с движущимся по нему инерционным объектом // ПМТФ. 2005. Т.46. №4. С.88-97.

291. Сергеев А.Д. Плавучесть сильнодеформируемого упругого тела в слое жидкости с постоянным градиентом давления // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. Регион. Естественные науки. 2005. №4. С. 19-26.

292. Сергеев А.Д. Потеря устойчивости формы упругого тела в процессе его квазистатического погружения в жидкость // Вестник ЮНЦ РАН. 2005. Т. 1. Вып. 3. С.3-10.

293. Сивков A.A. Гибридная электромагнитная система метания твердых тел // ПМТФ. 2001. Т.42. №1. С.3-12.

294. Симонов КВ., Хаврошкина М.В. Изгибные колебания упругих удлиненных тел при динамическом внедрении в упругопластическую среду // Изв. АН. МТТ. 1997. №6. С. 112-120.

295. Синельников Р.Д. , Синельников Я.Р. Атлас анатомии человека. В 4-х томах. М.: Медицина, 1996.

296. Скоростной и высокоскоростной железнодорожный транспорт. Сооружения и устройства. Подвижной состав. Организация перевозок. (Обобщение отечественного и зарубержного опыта). Т.2. СПб.: Информационный центр "Выбор", 2003. 448 с.

297. Слядников Е.Е. Предпереходное состояние и структурный переход в деформированном кристалле // ФТТ. 2004. Т.46. Вып. 6. С. 1065-1070.

298. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2 т. / Ин-т вычислительной математики. М.: Наука, 2005.

299. Степанов A.B. Оптимальное гашение вынужденных колебаний в упругих системах с несколькими степенями свободы. Ч. 1. Гашение в окрестности наименьшей собственной частоты // Изв. АН. МТТ. 1997. №1. С. 29-33.

300. Степанов A.B. Оптимальное гашение вынужденных колебаний в упругих системах с несколькими степенями свободы. 4.2. Гашение в области, содержащей несколько собственных частот // Изв. АН. МТТ. 1997. №3. С. 64-67.

301. Тен И.К. Нестационарное движение плавающего тела прямоугольной формы // ПМТФ. 2001. Т.42. №5. С. 84-92.

302. Тимошенко СЛ. Колебания в инженерном деле. М.: Физ.матгиз, 1959.

303. Тимошенко СЛ. Устойчивость стержней пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.

304. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

305. Торможение поездов разной длины при воздухораспределителе №483 / Е.П. Блохин, В.Г. Иноземцев, В.В. Крылов, Е.А. Стамблер, JI.B. Урсуляк. В сб. науч. тр. ВНИИЖТ. М.: Транспорт, 1987. С. 123-134.

306. Товстик U.E. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Физматлит, 1995. 320 с.

307. Toda М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984. 264 с.

308. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир, 1973. 334 с.

309. Трусделл К. Первоначальный курс механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

310. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

311. Уткин Г.А. Постановка задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами // Волновая динамика машин. М.: Наука, 1991. С. 4-14.

312. Ушаков H.A. Надежность: прошлое, настоящее, будущее // Методы ме-нежмента качества. 2001. №5-6.

313. Филиппов А.П., Кохманюк С.С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни. Киев: Наук, думка, 1967. 132 с.

314. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 737 с.

315. Федоренко А.Г., Цыпкин В.И., Иванов А.Г. и др. Особенности динамического деформирования и разрушения цилиндрических стеклопласти-ковых оболочек при внутреннем импульсном нагружении // Механика копозит. материалов. 1983. №1. С. 90-94.

316. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973. 400 с.

317. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1975. 176 с.

318. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. 224 с.

319. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология : Математические образы в реальном мире. М.: Изд. МГУ, 1998. 416 с.

320. Фрайфельд А. В., Марков А. С., Тюрнин Г. А. Устройство, монтаж и эксплуатация контактной сети. М.: Транспорт, 1967.

321. Ханмамедов А.Х. О быстроубывающем решении задачи Коши для цепочки Тоды // ТМФ. 2005. Т. 142. №1. С. 5-12.

322. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

323. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.

324. Чхартишвили JI.C. Квазиклассические оценки постоянной решетки и ширины запрещенной зоны кристалла: двумерный нитрид бора // ФТТ. 2004. Т. 46. Вып. 11. С. 2056-2063.

325. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. М.: Транспорт, 1987. 479 с.

326. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 2.

327. Яненко H.H., Карначук В.И., Коновалов А.И. Проблемы математической технологии / Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. 8, 3, 1977.

328. Axenovich T.I., Zaidman A.M., ZorkoltsevaI.V., etal. Segregation analysis of idiopathic scoliosis: demonstration of major gene effect // Am. J. Med. Genet. 1999. Vol. 86. P. 389-394.

329. Al-Qassab M., Nair S., O'Leary J. Dynamics of an elastic cable carrying a moving mass particle // Nonlinear Dyn. 2004. 33. №1. pp. 11-32. (Динамика упругого каната, несущего движущуюся материальную частицу)

330. Alienbach Н., Zhilin P.A. The Theory of Simple Elastic Shells // in Critical Review of The Theories of Plates and Shells and New Applications, ed. by H. Altenbach and R. Kienzler, p. 1-12, Berlin, Springer, 2004.

331. Bailey, A.K. Sphere drag coefficient for subsonic speeds in continuum and free-molecule flows.

332. Jour, of Fluid Mech., 1974. V.65. part 2. P.401-410.

333. Bauer, K.-H., Seifert, R., und Kießling, F. Weiterentwicklung der Oberleitungen fur höhere Fahregeschwindigkeiten. Eisenbahntchnische Rundschau. №1/2. 1989.

334. Bleich H.H. Effect of vibrations on the motion of small gas bubbles in a liquid // Jet Propultion. 1956. V.26, №11. P.958-964, 978.

335. Böttger Principles of the Theory of Lattice Dynamics. 1983.

336. Carrol P.A., Naghdi P.M. The influence of the reference geometry on the response of elastic shells // Arc. Rat. Mech. Anal. 1972. Vol.48. P.302-318.

337. Eremeyev V.A., ZubovL.M. Nonlinear elastic shells with microstructures and applications to the biomembranes // Abstr. XXX Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (APM 2002). P.41-42.

338. Eriksen J.L. Symmetry transformations for thin elastic shells // Arc. Rat. Mech. Anal. 1972. Vol.47. P.l-14.

339. Eriksen J.L. Apparent symmetry of certain thin elastic shells // J. Mecanique. 1973. Vol.12. №1.P.12-18.

340. Eriksen J.L. Some phase transitions in crystals // Arc. Rat. Mech. Anal. 1980. Vol.73. №2. P.99-124.

341. Eriksen J.L. Twinning in crystals / Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S. Antman, J.L. Eriksen, D. Rinderleher, I. Muller. IMA Vol. Math. Appl. 1987. Vol.3. P.77-93.

342. Eriksen J.L. Twinning theory for some Pitteri neighborhoods // Continium Mech. Thermodyn. 2002. Vol.14. P.249-262.

343. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Los Alamos Rpt. LA-1940 (1955). Collected Papers of Enrico Fermi (Univ. of Chicago Press, Chicago 1965), V.II. P.978.

344. Flaherty F.T. Transient Resonance of an Ideal String Under a Load Moving With Varying Speed // Int. J. Solids Structures. 1968. V. 4. pp. 1221-1231.

345. Freund L.B. Wave motion in an elastic solid due to a nonuniformly moving line load // J. of Appl. Math. 1972 Vol. 30. №1.

346. Fahrleitungen elektrischer Bahen: von Anatoli I. Gukow/KieBling/Pusch-mann/Schemieder/Schmidt — Stuttgart: Teubner, 1997

347. Fryba L. Vibrations of Solids and Structures Under Moving Loads. Groningen: Noordhooff International, 1972.

348. Fryba L. Non-stationary response of a beam to a moving random force // Journal of Sound and Vibrations. 1997 Vol. 46. pp. 323-338.

349. Fryba L. Estimation of fatigue life of railway briges under traffic loads // Journal of Sound and Vibrations. 1980 Vol. 70. pp. 527-541.

350. KrivtsovA.M. // Chaos, Solitons & Fractals. 2002. Vol.17. №1. P.79-87.

351. Kunin I.A. Elastic media with microctructure II: Springer-Verlag, Berlin, New York, etc. (1983).

352. Lindberg H.E. Buckling of a very thin cylindrical shell due to an impulsive pressure // Ibid. P.267-272.

353. Lunsford G.H., Ford J. J. Math Phys. 1972 №13. p 700.

354. Meirovitch L., Stemple T. Hybrid eqations of motion for flexible multibody systems using quasicoordinates // J. Guid., Contr., and Dyn. 1995. V. 18. No 4. P. 678-688.

355. Metrikine A. V., Dieterman H.A. Instability of vibrations of a mass moving uniformly along an axially compressed beam on a visco-elastic foundation // Journal of Sound and Vibrations. 1997. Vol 201. No 5. pp. 567-576.

356. Metrikine A.V., Wolfert A.R.M., Dieterman, H.A. Transition radiation in an elastcally suppurted string. Abrupt and smooth variations of the suppurt stiffness // Wave motion. 1998. Vol 27. No 4. p. 291.

357. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 16. 1964. №7. pp. 51-78.

358. Mindlin R.D., Tiersten H.E. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 11. 1964. №5. pp. 415-448.

359. Morris A.S., Madani A. Static and dynamic modeling of a two-flexible-link robot manipulators // Robotica. 1996. V. 14. No 3. P. 289-300.

360. Newton, I. 1719. Prinsipia Mathematica. (See Mathematical Principles. pp.356-366. University of California Press. Berkeley, 1967.

361. Remington P.J. Wheel/rail rolling noise, 1: Theoretical Analysis / J. Acoust. America. 1987. V. 81. №6. P. 1805-1823.

362. Saito N., Hirooka H. J. Phys. SoC. Jpn. 1967 №23. p 167.

363. Schupp G., Weidemann C., Vauer L. Modeling the contact betveen wheel and rail within multibody system // Vehicle Syst. Dyn. 2004.41. №5. pp. 349-364.

364. Sergeyev A., Sergeyev D. Mechanical Simulating of Teenagers' Anomalous Spine Growth // Proceedings of the 2-nd Baltic-Bulgarian Conference on Bionics, Biomechanics and Mechanics, June 4-6, 2001, Varna, Bulgaria, pp.30-33

365. Sergeyev A., Sergeyev D. Rigid-body chain-like system for spine to study teenagers' Scoliosis // Proc. of the XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", June 21-30, 2001, St. Petersburg, Russia, pp.484-491.

366. Steele C.R. The Timoshenko Beam With a Moving Load // Jour, of Appl. Mech. V. 35. Trans. ASME. V.90. Series E. 1968. PP. 481-488.

367. Svetlitsky VA., Yankin VA. Oscillations of an absolutely flexible pipe-line model with concentrated masses in the liquid flow // Flow-Indused Vibration. London, 1995. P. 527-532.

368. The proceedings of the Fifth International Offshore and Polar Engineering Conference The Haque. Netherlands. V. II. 1995. (ISOPE)

369. Wang J., Hong J., Liu Y Новый метод моделирования системы связанных и упругих тел // J. Vibr. Eng. 2003. 16. №2. pp. 194-197. Пер. с кит.

370. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Наука, 1961.

371. Wickert JA., Mote C.D., Jr. Classical vibration analysis of axially-moving continua // J. of Applied Mechanincs. 1991. V. 57. pp. 738-744.

372. Wickert JA., Mote C.D., Jr. Traveling Load Response of an Axially Moving String // J. of Sound and Vibrations. 1991. V. 149. №2. pp. 267-284.

373. Zahariev E. V. Dynamic bifurcation of multibody systems // Nonlinear Dyn. 2004. 34. №1. pp. 95-111.

374. Zalipaev V.V., Movchan A.B., Poulton C.G., McPhedran R.C. Eigenvalue Problems for Doubly Periodic Stractures and Phononic Band Gaps // Proc. Roy. Soc. 2000. A 456. pp. 2543-2559.

375. Zalipaev V.V., Movchan A.B., Poulton C.G., McPhedran R.C. Phononic Band Stractures for Arrays of Circular Cavities in an Elastic Medium // Fluid Mechanics and Its Applications. 2002. Vol. 68. pp. 95-104.

376. Zhilin P.A., Sergeev A.D. An Asymptotic Analysis of the Stability of Thin Rod under Twisting Load. Report on the Intern. Conf. on Asimp. in Mech. St.P.State Marine Technical University, 1994.

377. Zhilin P.A. Rigid body oscillator: a general model and some results. // Acta Mechanica, vol.142, pp. 169-193, (2000).

378. Zibdeh H.S., Rackwitz R. Moving loads on beams with gentral boundary conditions // Journal of Sound and Vibrations. 1995 Vol.195. №1. pp.85-101.