Континуальные модели разностно-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

г л т

¡0 V. {

На правах рукописи УДК 517.95

ФИЛИМОНОВ Андрей Матвеевич

КОНТИНУАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАЗНОСТНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (01.01.02. - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ).

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

A.Г. Костюченко

доктор физико-математических наук, профессор

B.Б. Лидский

доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Серегин

Ведущая организация: университет.

Санкт-Петербургский государственный

¿ст/гМ-? 1996 г. I диссертационного совета Д 002.38.04

Защита состоится " часов на заседании Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук (Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " с/3 " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Актуальность темы. Работа посвящена анализу взаимосвязей между конечными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющими некоторую специальную структуру (в работе они названы разностно-дифференциальными уравнениями (РДУ) или, для краткости, цепочками), и соответствующими уравнениями с частными производными (в работе они названы континуальными моделями). Говоря несколько описательно, можно сказать, что под термином "разностно-дифференциальное уравнение" в нашей работе понимается такое уравнение, в котором неизвестной является функция двух переменных, одна из которых непрерывна, а другая - дискретна. При этом предполагается, что такое уравнение, вообще говоря, содержит оператор дифференцирования по непрерывной переменной и оператор сдвига по дискретной переменной1 .

Классическим примером задачи о взаимосвязи между разностно -дифференциальным уравнением и его континуальной моделью может служить задача о колебаниях нити с бусинами, обсуждавшаяся в середине XVIII века Д'Аламбером, Эйлером, Даниилом Бернулли и Лагранжем. Лагранж, получив точное решение задачи о колебаниях нити с N бусинами и совершив формальный предельный переход при Л-»«, нашел правильное решение задачи о колебаниях непрерывной струны. Это породило убежденность в том, что при достаточно большом N колебания нити с N бусинами похожи на колебания непрерывной струны. Рэлей, анализируя частоты для нити с бусинами и сравнивая их с частотами для струны, пришел к заключению, что поскольку при N==10 частоты можно считать весьма близкими, то и колебания можно считать достаточно похожими.

В 1919 году Н.Е.Жуковский рассмотрел задачу о продольных колебаниях системы из N материальных точек, соединенных линейными связями, причем к крайней точке мгновенно прикладывется постоянная сила Р. Основываясь на близости решений для дискретной цепочки и для сплошной среды, Н.Е.Жуковский сделал вывод о том,

1Такая терминология использовалась еще в начале XIX века (см.,

1 1

например курс Lacroix S.F. Traite du calcul différentiel et calcul intégral, v.III, 2ed, Paris, 1819, 776 p.

что при достаточно большом N силы в такой цепочке не превышают величину Г. Впоследствии несколько иным способом к тому же выводу пришел А.И.Лурье. На возможность переноса идеи о близости решений для подобных цепочек и для соответствующих сплошных сред на случай нелинейных связей между материальными точками указывали Р.Курант и К.Фридрихс:2 "Можно изучать волновое движение в средах, которые не подчиняются, вообще говоря, закону Гука. Существует определенная аналогия между такими дискретными средами и сплошными средами. Эту аналогию можно использовать двояко: в некоторых вычислениях выгодно приближенно заменять сплошную среду дискретной и наоборот". Вычислительный эксперимент, в 1943 г. осуществленный фон Нейманом^ говорит о правдоподобности такой замены.

Но в 1962 г. Забуски пытался аналитически подтвердить результат Ферми, Паста и Улама, численно обнаруживших периодические колебания в системе материальных точек, соединенных слабо нелинейными связями. Заменив такую дискретную цепочку физически аналогичной слабо нелинейной сплошной средой, Забуски4 обнаружил, что в такой сплошной среде невозможно возникновение периодических колебаний. Поэтому в 1965 г. Крускал и Забуски предложили другую континуальную модель цепочки5. Что же

2Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, М: 1950, с. 27.

3Neumann J. Proposal and Analysis of a New Numerical Method for the Treatment of Hydrodynamical Shock Problems. Collected Works, v. 6, 1963, p. 361 - 379.

4Zabusky N. Exact solutions for the vibration of nonlinear continuous model string. J. Math. Phys. 5,3, 1962, p. 1028-1039.

5Kruskal M. Asymptotology in Numerical Computations: Progress and Plans on the Fermi-Pasta-Ulam Problem. Proc. IBM Scient. Сотр. Symp. on Large-Space Problem Divis. N.Y., 1965, p. 43-66.

касается случая чисто линейных связей, то В.П.Маслов^ рассмотрев колебания кольцевой цепочки дискретных масс, показал в частности, что производные решений для цепочки могут не стремится к производным решений для соответствующей сплошной среды. Отличие характера колебаний для кольцевой цепочки с чередующимися массами и линейными связями от колебаний сплошной среды с усредненной равномерной плотностью отмечалось также Борном и Карманом еще в 1910 г.

Метод конечных разностей с успехом применялся (см., например,7) для доказательства многих свойств решений уравнений с частными производными весьма общего вида. Однако в последнее время усилился интерес (особенно в квантовой механике) к построению дискретных аналогов физических законов, исходя не из аппроксимации классических уравнений с частными производными, а из внутренних свойств, присущих самому дискретному объекту (см., например8). Таким образом, разностные и разностно -дифференциальные уравнения стали активно выступать и в качестве исходных математических моделей в физике. При этом естественно возник вопрос о том, в какой мере свойства дискретных моделей похожи на свойства непрерывных моделей и вопрос о том, как можно описывать с помощью континуальных моделей те свойства дискретных моделей, которые не отражаются классическими уравнениями с частными производными. Таким образом, возникший еще в середине XVIII века вопрос о взаимосвязи между разностно -дифференциальными уравнениями и их континуальными аналогами продолжает привлекать большое внимание на протяжении последних 250 лет.

6Маслов В.П.'Операторные методы. М.: Наука, 1972, 483 с.

7Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. Труды третьего Всесоюзного математического съезда, т.2, 1956, с. 13 - 16.

8Дезин A.A. Многомерный анализ и дискретные модели, М: Наука, 1990 г., 238 с.

Цель работы. Построение и исследование свойств континуальных моделей разностно-дифференциальных уравнений.

Методы исследований. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, функционального анализа, теории Галуа (круговые поля), гармонического анализа.

Научная новизна. В работе показано, что в задаче Жуковского, в классической задаче о свободных колебаниях нити с бусинами, в задаче о колебаниях круговой цепочки с N бусинами решения задач для дискретных цепочек и для их основных континуальных моделей (в виде сплошных сред) на неограниченном интервале времени могут отличаться тем сильнее, чем больше число N (во всяком случае если это число простое, или степень двойки), поскольку в этом случае в дискретной цепочке может возникать эффект всплесков.

Для линейных РДУ достаточно общего вида доказаны аппроксимационные теоремы, показывающие, как построить континуальную модель, аппроксимирующую исходное РДУ с заданной точностью. В качестве иллюстрирующих примеров рассмотрены: задача Жуковского, классическая задача о свободных колебаниях нити с бусинами, круговая цепочка, . цепочка линейной теории вязкоупругости (случай, когда связи обладают релаксацией и ползучестью), дискретная цепь Маркова с непрерывным временем, дискретный аналог нестационарного уравнения Шредингера.

Для сильно нелинейных цепочек (сильно нелинейный вариант задачи Ферми - Паста - Улама и его обобщения) построены континуальные модели, для которых найдены явные выражения для периодических решений и исследованы их свойства.

В ряде случаев, порожденных задачами физики твердого тела, континуальные модели сложных нелинейных РДУ приводят к новым задачам для уравнений с частными производными, имеющим черты задач Стефана и Балле Пуссена для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением. Для таких задач в работе доказаны теоремы локального существования и единственности решений и получены достаточные условия глобальной разрешимости.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней получены результаты, касающиеся процессов, описываемых

РДУ, для анализа которых естественно использование континуальных моделей. Приведены условия возможности приближенной замены заданного РДУ на континуальную модель и условия возможности замены заданной континуальной модели на РДУ определенного вида. Свойства континуальных моделей, полученные в работе, могут также найти применение и для исследования явлений, в которых континуальные модели возникают не только в связи с РДУ, но и как самостоятельные объекты. Ряд результатов получил дальнейшее развитие в работах других авторов (см., например,9).

Апробация работы. Работа обсуждалась на следующих семинарах и конференциях: Совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского по дифференциальным уравнениям и Московского Математического общества в МГУ - в 1981, 1991, 1993, 1994, 1995 г.; IX Международная конференция по нелинейным колебаниям в Киеве в 1981г.; семинар в Московском Энергетическом институте (руководитель С.И. Похожаев) в 1982 г.; II Международная конференция по дифференциальным уравнениям в Руссе (Болгария) в 1982 г.; Семинар в МГУ (руководители: А.Г. Костюченко, Б.М. Левитан, A.A. Шкаликов) в 1990 - 1992, 1994 г.; Третья международная конференция по дифференциальным уравнениям в Пловдиве (Болгария) в 1992 г.; Школа по применению математики в технике - Варна (Болгария) в 1992 г.; семинар в МГУ (руководитель В.М. Тихомиров) в 1993 г.; семинар в институте Прикладной математики (руководитель B.C. Рябенький) в 1993 г.; семинар в

9 Сокил Б.И., Барвинский А.Ф. Об асимптотическом решении одной нелинейной краевой задачи. ДАН УССР, 1980, серия А, 1, Киев: Наукова Думка, с. 22-26.

Bassanini P., Turo J. Generalized solutions to free boundary problems for hyperbolic systems of functional partial differential equations. Anriali di Matematica Рига ed Applicata, v. CLVI, 4, 1990, p. 211 - 230.

Turo J. Global solvability of the mixed problem for first order functional partial differential equations. Annales Polonici Mathematici LII, 1991, p. 232 - 238.

институте Проблем механики (руководитель Ф.Л. Черноусько) в 1993г.; Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения IV" в 1993г.; семинар в МГУ (руководители Д.В. Аносов, Р.И. Григорчук и A.M. Степин) в 1993 - 1994 г.; Воронежская школа "Современные проблемы механики и математической физики" в 1994г.; заседание Московского математического общества 29 марта 1994г.; семинар в Московском физико - техническом институте (руководитель В.Б. Лидский) в 1994г.; семинар в институте Прикладной математики (руководитель А.Д. Брюно) в 1994 г; семинар в институте Математики им. В.А.Стеклова РАН (руководители В.П. Михайлов, А.К. Гущин, A.A. Дезин) в 1995 г.; семинар в СПбГУ (руководитель В.А. Якубович); семинар в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (руководитель О.А.Ладыженская) в 1995 и в 1996 г.; семинар в Московском государственном университете путей сообщения (руководитель А.Д. Мышкис) в 1975 - 1995 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-

[30].

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 140 наименований. В работе 244 страницы, 18 рисунков и 1 таблица.

Содержание работы

Первая глава работы посвящена подробному обсуждению понятия РДУ, постановке задач, а также формулировке и обсуждению основных результатов; их доказательства и дополнительные детали содержатся в последующих главах. В качестве примеров приведены десять РДУ, возникающих в различных вопросах механики, физики твердого тела, электротехники, теории вероятностей и квантовой механики. На примерах показано, что во многих случаях в качестве исходной математической модели естественно принять некоторое РДУ, для последующего анализа которого часто привлекается его континуальная модель. При этом, поскольку для данного РДУ можно построить не единственную континуальную модель, то возникает вопрос о построении такой континуальной модели, которая по возможности точнее отражала бы свойства РДУ. В качестве способов построения рассматриваются два основных способа: формальные

разложения и физическая аналогия. Эти способы можно пояснить на следующем примере. Рассмотрим РДУ вида

^=1,...,N-1, у и)

ту,

s , - s , j+a j

sj = i(Aj),

y.

y (t) = 0, (1)

N

(2)

-у ^

где Ф - заданная функция. Построим теперь континуальный аналог РДУ (1), (2) с помощью формальных разложений. Для этого, предполагая функцию $ аналитической и вводя аналитическую по х функцию (х.О и(хД), такую что 11(^11,Ь) = у (Ь) (здесь V Ь>0 играет роль масштабной единицы), запишем формальное разложение10:

аз

ппц.ЛДЬ.О = 2Ф' (0)У ^(^.О +

гг (2п)! ах

-Г

р = 2

А Р)

(0)

р!

У ÎL. п!

hn эпи

П=1 р

sx"

(jh.t)

n=i

n=i

n!

3 и зх"

(jh,t)

(3)

Определение. Уравнение, получающееся из такого формального разложения после отбрасывания слагаемых порядка по h, большего чем некоторое фиксированное число d, будем называть промежуточной континуальной моделью порядка d для исходного РДУ.

Если связи чисто линейные т. е. ф(д) = сд, то, введя обозначения: р = m/h, Е = c/h, получаем промежуточное уравнение

10Идея использования формальных разложений для решения подобных задач активно использовалась еще в начале XIX века - см., например, курс Lacroix , упомянутый на с. 3 и продолжает оставаться привлекательной и настоящее время - см., например: Л.А. Калякин. Длинноволновые асимптотики. Интегрируемые уравнения как асимптотический предел нелинейных систем. Успехи матем. наук., т. 44, 1 (265), 1989, с. 5 - 34;

Яненко H.H., Шокин Ю.И. 0 корректности первых дифференциальных приближений разностных схем. ДАН СССР, 182, 4, 1968, с. 776 - 778.

рии(х,0 = иУ-^-^- и(х,Ь)) . " пГГ(2п)! ах

Полагая, в частности, в этом уравнении М=1 (что соответствует й=2), приходим к обычному волновому уравнению, а положив М=ю (что соответствует сЗ = и), формально приходим к исходному разностно -дифференциальному уравнению. Рассмотрим теперь случай сильно нелинейных связей:

Ф'(0) = ... =Ф'р"1'(0) = 0; Ф(р>(0) * О, где р^О - нечетное натуральное число. Тогда промежуточная модель (р+1)- го порядка будет иметь вид:

= ФСр' (0) -РЬЦ^и )"-1и =

гь р! эх

, (Р)

(0)

Р!

(4)

Обратимся теперь к другому приему построения континуальных

аналогов РДУ, используя тот же пример (1), (2) цепочки

материальных точек. Распространенным является мнение, что если

число точек в такой цепочке велико, а расстояния между ними малы,

то движения такой системы точек похожи на движения сплошной

среды, физически аналогичной этой цепочке. Такая точка зрения

высказывалась еще во время знаменитого спора между Д'Аламбером,

Эйлером, Д.Бернулли и Лагранжем о колебаниях струны. В частности,

континуальная модель РДУ (1) - (2), построенная на основании

непосредственной физической аналогии со сплошной средой, имеет

вид: ,

рии = о"х(т?), р =ш/Ь, , п = их , (5)

где о- = ф(у/) - так называемое опеделяющее соотношение, которое мы будем считать заданным (это аналог соотношения (2)). Например, в обычной задаче Ферми - Паста - Улама подобным физическим континуальным аналогом определяющего соотношения

SJ = с^ + В| д^ | рб£п(л^ ) (с^О, В>0, р>0 )

служит определяющее соотношение

а = Е^ + ЫуП^пМ (Е г0, Ь>0, р>0).

Однако Забуски показал, что краевая задача для соответствующего уравнения

риь). = (Е1 + рЫих1р_1)ихх (р>1), и(О^) = и(1, Ъ) = О

с немонотонными начальными условиями, вообще говоря, не может иметь периодических по t решений. Это побудило Крускала и Забуски рассмотреть в качестве континуального аналога цепочки не соответствующее уравнение для сплошной среды, а промежуточную модель (р+1) - го порядка (в нашей терминологии) при р = 2 или р = 3. Например, в случае р = 3 такая модель имеет вид

И4

тии = сг (Ь2ихх+ т^ихххх) * ЗВ^и^и^

и совпадает с уравнением Буссинеска относительно функции тг = их-Отметим, что промежуточная модель наинизшего порядка (р=2) в этом случае совпадает с линейным волновым уравнением, а не с нелинейным уравнением.

Таким образом, в общем случае нелинейное уравнение для сплошной среды (т. е. континуальная модель, построенная методом физической аналогии), может не совпадать ни с какой из промежуточных моделей. Однако бывают ситуации, когда это совпадение возможно. Так, если в (4) и (5) положить

Р = ш/Ь, = *""'(0) ь = Ь",

р! р!

то континуальные модели РДУ (1), (2), построенные с помощью

физической аналогии со сплошной средой или с помощью перехода к

промежуточному уравнению, в данном случае совпадут и будут иметь

вид _

ши = ЬР(их)Р 1ихх"

Как показано в главе 3, такое уравнение обладает

периодическими по Ь решениями при некоторых немонотонных

начальных условиях.

В связи с оценкой близости решений цепочки и 4 ее

континуальной модели возникают две проблемы.

Проблема 1. Можно ли при заданном фиксированном РДУ (то есть

при фиксированном N и других параметрах) так подобрать

соответствующую континуальную модель, чтобы величина

шах |у (Ь)—и(ДИ,Ь)| была достаточно малой на том или ином J

промежутке времени ?

Проблема 2. Можно ли при заданной фиксированной континуальной модели и некотором заданном виде РДУ так подобрать размер конечной области изменения дискретной переменной (то есть число N "точек цепочки") и другие числовые параметры, характеризующие РДУ, чтобы величина шах |у (Ъ)—и(^Ь,Ъ)| была

J 3

достаточно малой на некотором заданном промежутке времени ?

Отметим, что вторая из упомянутых проблем по существу аналогична исследованию вопроса о сходимости некоторого варианта метода прямых для заданной континуальной модели. Первая проблема двойственна вопросу о сходимости разностно-дифференциальной схемы (подобные вопросы рассмотрены, например, в 11,12,13), аппроксимирующей заданное уравнение с частными производными.

Положительный ответ на вопрос, поставленный в проблеме 2, для случая волнового уравнения содержится в работах Лагранжа14 и Бернулли1.5 Основанием здесь послужило то, что если в решении задачи для РДУ (1) - (2) при выполнении условия Ф(й)=сд совершить формальный предельный переход при N Ь 0, то получится

решение соответствующей задачи (5). В связи с этим, в ряде работ прикладного характера принималось, что решения задач (1) - (2) и (5) можно считать близкими, если число N достаточно велико. Этот подход часто используется при анализе решений задач для цепочки

11Ладыженская О.А. О применениии метода конечных разностей к решению задачи Коши для гиперболических систем. Доклады АН СССР, 88, 4, 1953, с. 607 - 610.

1гСамарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики М.: Наука, 1993, 352 с.

13Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М: Наука, 1977, 440 с.

14Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика, т.1. Л.: ОНТИ, 1938, 348 с. )

15Bernoulli D. Reflexions et eclaircissemens sur les nouvelles

» »

vibrations des cordes exposees dans les mémoires de l'Academie. Mémoires de la' Academie Royale de Berlin. 1753, v.9, p. 147-172.

путем ее замены соответствующей сплошной средой. В частности, на такой точке зрения по существу основана известная работа Жуковского16, посвященная анализу максимальных продольных сил в поезде при трогании его с места постоянной силой.

Однако в главе 2 показано, что решения задачи для РДУ (1), (2) (в чисто линейном случае) и для соответствующей сплошной среды (5) могут отличаться тем сильнее, чем больше число точек N (во всяком случае, если это число - простое или степень двойки), так как в цепочке может возникнуть так называемый эффект всплесков. Таким образом, естественно возникает вопрос о построении более точной, чем волновое уравнение, континуальной модели цепочки. Решение этой задачи, содержащееся в главе 3, по существу дает положительный ответ на вопрос, поставленный в проблеме 1.

Сходные вопросы возникают и при изучении других РДУ. В главе 3 установлены условия, при которых обе упомянутые выше проблемы имеют положительное решение в линейном случае. Что же касается нелинейных РДУ, то основным способом исследования взаимосвязи решений РДУ с решениями их континуальных аналогов, как и в задаче Ферми - Паста - Улама, пока является вычислительный эксперимент. При этом возникает следующая проблема. Если решать уравнение с частными производными каким-либо сеточным методом, то это фактически означает, что ищется решение не континуальной модели, а соответствующего дискретного по х и по t уравнения. Поэтому представляется весьма желательным получение каких - либо точных решений для континуальных моделей. Наличие таких точных решений, построенных в главе 4, дает возможность проведения более корректного сравнения решений.

Вторая глава посвящена свойствам так называемого эффекта всплесков, который послужил отправной точкой всей работы.

В 1919 году Жуковский, занимаясь проблемой определения продольных сил в поезде, возникающих при трогании его с места постоянной силой Г, рассмотрел следующую задачу

16Жуковский Н.Е. Поли. собр. соч., т.8, 1937, с.221 - 225.

msj = c(sj + i - 2sj + s^) + G}, j=l,...,N-l, m>0, c>0, s (t) = s (t) =0, s (0) = s (0) = 0, j=l.....N-l,

О N J J

G3 = 0 (j*l), Ga= cF (F = const>0) . (6)

Точное решение этой задачи имеет вид N—1

s (t) = — VsiníM ctg—(1 - coso t) , cj = 2 ✓m/c sin^ . J N N 2N k k 2N

k=l

Анализируя это решение, Жуковский совершил формальный предельный переход при N ш, то есть по существу перешел к соответствующей континуальной модели. Основываясь на этом, он пришел к выводу, что is (t)|s F, j=l,...,N-l, tiO. Однако из теорем главы 2 следует, что этот вывод, вообще говоря не справедлив. Введем величины a (N), djCN) : N-l

a (N) := - 2 yV(-sin5M)ctg^ * s (t)/F * J N N 2N J

k=l

N-l

* 2 yv(sinnki)ct nk =. d (N)) (7)

N L. N 2N 3 k=l

где V(c) = 0, (cí0), V(c) = с (c*0).

Теорема 2.2.1. Если число N=p - простое, или N=2"1 (т>1), то

оценки (7) неулучшаемы:5ир s (t) = Fd (N),inf s (t) = Fa (H).

tsO 1 1 U0 J J

Теорема 2.2.2. Справедливы равенства

lim lim d (N) = +ш , lim lim a (N) = -«> . j-»oo N->cd 3 J-»03 N-»ra 3

Возьмем в качестве континуального аналога задачи (6)

соответствующую сплошную среду, т.е. рассмотрим задачу

patt = Etrxx' х al» cr(0,t) = F, <r(l,t) = О, сг(х,0) = trt(x,0) = о ,

р = m/h, Е = ch, 1 = Nh, (8)

Точное решение этой задачи, получаемое методом Д'Аламбера, имеет вид:

Г, (х, ) е п = {хД) |х/а+2к/а*Ь-х/а+2(к+1)/а}, кем,

сг(х,Ь) =

О, (хД) е [0Д]х[0,оо)\П, а2=Е/р. Поэтому для любых хД выполняются неравенство

|о-(х^)мР, х =51, (9)

Из сравнения свойств решений задач (6) и (8) вытекают следствия:

Следствие 1. Если N - простое, или степень двойки, то существуют моменты времени Ь„ такие, что для некоторых ] значение - ) I .заведомо больше, чем величина эир|ст(х,О | = |П.

Эффект существования таких моментов времени мы будем называть эффектом всплесков.

Следствие 2. Если N - простое или степень двойки, то решения задач (6) и (8) на неограниченном интервале времени отличаются по равномерной метрике тем сильнее, чем больше число N указанного вида.

Приведем результаты некоторых вычислений, показывающие, как изменяются неулучшаемые границы оценок (7) с ростом числа N.

Если N<8, то <1 (N) < сЗ ^ (Ю (^>1). Если же Ыа8, то шах <^(8) = £12(в] = 1.7561;' шах (1 (16) = с!з(16) = 2.0645;

шах' с^(32) = с!7(32) = 2.3468; шах сЗ (64) = с!14(64) = 2.6271; шах^ (128) = (1 (128) = 2.9078; шах (1.(256) = (1 (256) = 3.1887.

^ j 2 8 5 6

В работе также получены теоремы, из которых следует, что если в (6) заменить скачкообразно нарастающую функцию t -> С^) на монотонно неубывающую непрерывную функцию, то эффект существования всплесков сохранится. Вычислительный эксперимент показывает, что при числовых данных, соответствующих, например, грузовому железнодорожному составу из локомотива и 63 вагонов (N=64), превышение сил между вагонами ( в модели (6)) над силой тяги локомотива Г составляет примерно 30% за первые 15 секунд реального "физического" времени, т.е. эффект всплесков действительно может быть наблюдаем.

Причиной упомянутой сильной разницы между решениями для дискретной цепочки и сплошной среды является то, что из-за линейной независимости частот функции t -> з (О являются

почти-периодическими, а решение (хД) <г(хД) - периодической

функцией времени. Но из равномерной аппроксимации функции а функциями Sj на конечном промежутке времени (что имеет место в методе прямых), вообще говоря, не вытекает справедливость такой аппроксимации на бесконечном промежутке времени. С точки зрения физики.этот эффект может быть объяснен как следствие явления дифракции волн на точечных массах в дискретной цепочке, поскольку

дисперсионное соотношение для цепочки имеет вид и=2(/с/га sin(k/2),

а для сплошной среды - вид и = Ус/т к. Поэтому при построении такой континуальной модели для дискретной цепочки, которая отражала бы эффект всплесков, естественно попытаться ввести в волновое уравнение некоторые дисперсионные слагаемые.

Как указано выше, цепочка (6) описывает вынужденные колебания и, при определенных условиях, ее решение обладает всплесками сил. Однако легко переформулировать результат на случай свободных колебаний (классическая задача о колебаниях нити с бусинами), для которых оказываются возможными всплески перемещений. Сходные результаты справедливы и для круговых цепочек.

Основное содержание третьей главы составляют две аппроксимационные теоремы, показывающие при каких условиях возможна замена с заданной точностью исходного РДУ на соответствующую континуальную модель и наоборот.

В прямоугольнике n(TQ)={(x,t)|0sx=a,0it:sTo}, где 1>0, TQ>0 -некоторые константы, рассмотрим задачу

R Р М

Vr = Vh «L (УЖГ^) + g (10)

L ratr tr KL(2п)! ax2n ё'

r=0 r=0 n=l

e!2u(o,t) = = 0, n=0,...,M-l, (11) ax2n ax2"

^(x,0) - p (x), r=0,...,R-l, (12)

at r

где rr (r=0,...,R), rR * 0, Hr (r=0,...P), 1>0, ReW, Pe{0,1,...,R-1}, New - заданные константы, h=l/N, a (x,t) g(x,t), x ^ |3r(x) (r=0,...R-l) - заданные функции. Полагая

и(х,Ъ) = в(Ь)ф(.х), можно легко установить, что собственные

функции х -> |/»к(х) и собственные значения хк (к=1,...) соответствующей однородной задачи имеют вид

м

пкЬ

1

к =1,... (13)

Ф (х) = БН1(пкх/1), А =

М2п)! п=1

Из (13) следует, что все Хк>0 (к=1,...) тогда и только тогда, когда М - нечетное число. В простейшем частном случае, когда 11=2, Р=0, г =г =0, Гз=т>0, Но=с>0, g(x,t)= 0, т. е. когда уравнение (10) служит промежуточной континуальной моделью для классической задачи о колебаниях нити с бусинами, условие *к>0 (к=1,...), получающееся при нечетном М, необходимо для корректности задачи (10) - (12), так как оно обеспечивает отсутствие экспоненциально растущих решений (в разбираемом частном случае при нечетном М уравнение (10) гиперболично по Гордингу).

В общем случае для корректности задачи (10) - (12) используются следующие предположения. Пусть <р ,... ,<р (Ъ;л)

- фундаментальная система решений уравнения

^ г ^ г

V Г-Д— <р + ЛV Н_Д-_ р = 0, (14)

г=0 г=0

причем функции I -» ¡р (Ь;л) выбраны так, что

<р (0;л) = 5Г, г=0, ..., 1?-1; б=0,...,К-1,

где - символ Кронекера. Мы предполагаем, что существуют

константы Б>0, 1>>0 и гладкая функция t п(0)=0

такие, что для каждого решения <р (t;л), з=0,...,11-1 выполняется

г

условие

у (Ь,Л)| *0(лг" + 1)п(0<ш , г=0,...Д. (15)

Пусть, например, уравнение (14) имеет вид шр + хс <р = 0, что соответствует классической задаче о колебаниях нити с бусинами;

тогда, если М - нечетное, то все л >0 и ® (1;Л) = сови^/сл/т),

к О

<P (t;A)=sin(tv/cA/m)/v/cA/m, так что можно положить D = иах{1,с/т}, i>=l, fi(t)=t2/2. Как уже отмечалось, в этом случае уравнение (10) гиперболично по Гордингу. Если R=l, Р=0, Го=0, Г1=1>0, HQ=a2 е к, g(x,t) = 0, то есть когда уравнение (10) служит промежуточной континуальной моделью для конечной цепи Маркова, то условие (15) выполняется также только при нечетном М (в этом случае уравнение (10) параболично по Петровскому); если же в этом примере положить HQ=ib, beR, i2=-l (континуальная модель для аналога уравнения Шредингера с дискретной пространственной переменной), то условие (15) выполнится и при четном и при нечетном М (уравнение (10) в этом случае корректно по Петровскому с отрицательным родом). Наконец, если решение понимать в классическом смысле, то для корректности задачи (10) - (12) предполагается, что £г е Сч[0Д] и

— РАО) = — /з_(1) = 0, г=0, .. . ,R, п=0, .. . ,MRi>, dx г dx r

где q;=2MRi> + 2. Стандартными рассуждениями легко показывается,

что при сформулированных выше предположениях задача (10) - (12)

корректно поставлена.

Предполагая, как и ранее, что Tr*0, R>P, рассмотрим

следующую задачу для РДУ:

R Р

IrrS yj = + S(t)' J-1.---.N-1,- (16)

г=0 г=0

yo(t)=yN(t)=0, ^ у_,(0) = ar(j), r=0,...,R-l. (17)

Соответствующая задача для промежуточного уравнения имеет вид

(10) - (12) при Нг = Вг (г=0,...,Р). Предположим, что для задачи

(10) - (12) выполняются условия корректности, сформулированные

выше. Поскольку в данном случае величина h, играющая здесь роль

масштабной единицы, изменяться не будет, то полагаем h=l.

Первая аппроксимационная теорема. Пусть для задачи (10) -

(12) выполнены все сформулированные выше предположения и N-1

g(x.t) = 2 Vg (t)(D (n(j-x)/N) - D U(j+x)/N)), N L— j=1

N-1

р_(х) = 2 УагШШн Ы^х)/М) - (я(3+х)/И)) г=0,. .,И—1 1 Ц 1 1,-1 1,-1

1-1

з1п(а(Ы-0,5))

где Б (.) - ядро Дирихле: Б са> = -

К_1 2з1п(а/2)

Тогда для решений задач (10) - (12) и (16) - (17) при любом

Оз^Т (уТ >0) справедлива оценка:

О О гр

о

гс2М + 2

п(йехр(5С t)dt)- ,

2 (2М+2)!

|у (t) - u(j,t)| ^ Kj(n(t)exp(5C2To )

К := 2NC max{R max|a (j)|, sup IG (t)|}((4 + n4/12)Rl' + 1), j.r Г j,bTo J

С := DP max |Н„|/|Г|, С := R max { max ir_|, max |Н„|}/|Г |. 1 oirsP 2 osrsR-i r о^г^Р 1 R

Следствие. При фиксированном значении N, за счет выбора

достаточно большого нечетного числа М величина max |у (t)-u(j,t)|

j J

может быть сделана сколь угодно малой на произвольном конечном промежутке [0,TQ1. В этом смысле можно считать, что эта теорема дает решение проблемы 1.

Для анализа проблемы 2 положим в уравнении (10) Н =b /h2,

Г Г

г=0.....Р. Рассмотрим задачу (10) - (12) для промежуточного

уравнения (10), которую можно рассматривать как промежуточную континуальную модель для РДУ (16) - (17). Характеризующие континуальную модель величины Гг (r=0,...,R), br (r=0,...,P), 1>0, натуральное число Mil, функции х -> эг(х) (г=0,...,R-1), (x,t) -> g(x,t) будем считать заданными и фиксированными. Для каждого New полагаем h = h(N) = 1/N.

Вторая аппроксимационная теорема. Предположим, что при каждом h=l/N для задачи (10) - (12) выполнены условия корректности, сформулированные выше. Пусть 1

G,(t) := 2

g(x,t)(DK_i(jr(jh-x)/l) - DM_1(w(jh+x)/l))dx,

a„(j): =

2

Pr(x)(DNi(n(jh-x)/l)-DNi(n(jh+x)/l))dx, r=0,..,R-1,

где Dn i(.) - ядро Дирихле. Тогда для любых NoeiN и New, таких что N—N^, справедлива оценка

Н»- j

|y,(t)-u(jh,t)|sK п.(Т)(—-ехр(К N Т ) +—), (18)

J ° N3H Nq

К := шах{2К , К }, К := 2К (шах|я (х)I + sup |g(x,t)|), 6 25 5 3 r.x r x-tiT0

К := 2D12(R max|/s'ix)l + sup |gvv(x,t) |/|Г | )/n2, 2 г ,x x, tsT ** R

' о

я2"'2

К := С тг2/(412), К = С --((4 + ir4/12)Rl' + 1),

4 2 3 1

3

1г(2М+2)! t

n,(t) := n(t) + n(t) + n(t)exp(C t) +

n(t)exp(C t)dt.

о

Следствие. Считая число Nq выбранным из условия достаточной

-1

о

"о

малости величины К sup n,(t)N выберем значение N таким,

чтобы N г Н2М<" ехр(аКзЫоТо>, а>1. Тогда правая часть оценки (18) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно больших Ко и Н указанного вида. В этом смысле можно считать, что эта теорема дает решение проблемы 2.

В качестве иллюстрирующих примеров в третьей главе рассмотрено построение континуальных моделей и соответствующих оценок для задачи Жуковского, для классической задачи о колебаниях нити с бусинами, для задачи о колебаниях круговой цепочки, для некоторых задач линейной теории вязкоупругости, для конечных цепей Маркова, для дискретного варианта нестационарного уравнения Шредингера. В этой же главе приведены результаты некоторых вычислительных экспериментов, иллюстрирующих полученные теоремы.

Четвертая глава посвящена построению и исследованию свойств континуальных моделей в сильно нелинейной задаче Ферми - Паста -

- Улама и ее обобщений. Для этих задач, в частности, удается получить явное представление периодических решений и изучить их свойства. В качестве континуального аналога РДУ

ту^в^-в^ Л=1.....N-1, уо(0 = уы(Ь) = 0, (19)

SJ = B|ДJ|psgn Д^ Д^У^У^- р>0 (20)

рассмотрено уравнение

ри^ = <г^(уг), о- = Ьцп1^!! те, w = их, р>0, р=ш/Ь, Ь=В11Р.

Континуальные модели РДУ (9) - (20), построенные с помощью физической аналогии со сплошной средой или с помощью перехода к промежуточному уравнению в данном случае совпадают и имеют вид

тии = Вр^11их1р"1ихх, и(о,Ю = и(1,Ъ) = 0. (21)

Теорема 4.4.1. Для каждых АеК^, кеИ, 1>еК существует периодическое по I и по х решение задачи (21) в виде

и(хД). = в(Ь)фЫ), (22)

где в, ф — решения уравнений

ф"\ifi-Г"1 + \ф = 0, 0(0) = ф(1) = 0, {ф' (0) >0);

в+ а2х10|рзёп е = 0, V = е(0)/е(0) (23)

причем

Р-1 Р+1

А. Б (р) п, Б (р) х = -^7Т01(р)= -- , А""1 = 2 ■ (24)

ПГ а2Ар П2 Л2 а201(р)

Здесь 01(р), 02(р) - некоторые явно выписываемые константы, а2=ВрЬр/ш, 1=>Ш, А^:=шах|^(х)|, А0:=тах|еШ|, А:=А^А0, п^:=21/к, п^ - период функции ф, а П0 - период функции е.

Замечание. Решение ("22) уравнения (21) понимается в обобщенном смысле (как С1 гладкая функция, удовлетворяющая соответствующему интегральному тождеству).

Следствие. Для каждых фиксированных 1>0, А>0, р>0, у<=к

существует счетный набор периодических по t решений уравнения (21) в виде стоячих волн (22).

Для построения периодической по t и по х стоячей волны нужно

знать значения А., п^, А0, п0, v. Поэтому, если заданы краевые

условия вида (21), то можно определить счетный набор значений

величины п^=п^(к)=21/к, где натуральное число к задает "основной

тон" (к=1), или "высшие тоны" колебаний (к>1). Если кроме того

известна амплитуда А=А^А0 в пучности стоячей волны, то из (24)

можно определить значение Пе=П0(к) и затем, задав величину v,

построить решение (22). При этом значение * остается

неопределенным (если р*1), так как оно зависит от неизвестной

величины k^, определяющей нормировку функции ф. Тем не менее,

серия решений вида (22) может быть построена упомянутым выше

способом однозначно. Неопределенность значения х связана с

некоторым свойством однородности рассматриваемой задачи (теорема

4.5.1). Поэтому можно положить, например, x^D^(р)/п^-1(к), что

соответствует А^=1. Тогда амплитуда А0 функции e(t) становится

равной величине А - амплитуде стоячей волны (22) в ее пучности.

Отметим, что наблюдаемой физической величиной является константа

А=А^А0, а не величины А^ и А0 по отдельности. Поэтому такой выбор

нормировки функции х ¿(х) позволяет придать непосредственный

физический смысл величине А„.

и

В линейном случае (р=1) с помощью линейных комбинаций стоячих волн (22) можно приблизить произвольное решение уравнения (21), что и составляет основу метода Фурье. При этом собственные значения х^, однозначно определяемые при р=1 краевыми условиями, характеризуют величину dk соответствующего колмогоровского

поперечника й^т/х."1 в пространстве собственных функций х -> ^(х).

Естественно возникает вопрос о той роли, которую играют стоячие волны (22) в нелинейном случае (р*1). Конечно, при р#1 линейные комбинации стоячих волн, вообще говоря, уже не являются решениями исходного уравнения. Однако оказывается, что и в случае р*1 при определенных предположениях соответствующие "собственные значения" х^, аналогично линейному случаю, связаны с колмогоровскими поперечниками некоторых соболевских пространств

нелинейных аналогов собственных функций 17.

В нелинейном случае (р*1), как видно из формул (24), период н колебаний стоячих волн (22) по временной переменной t зависит от амплитуды А. Поэтому естественно возникает вопрос: не приведет ли уменьшение амплитуды, возникающее вследствие рассеяния энергии, к распаду нелинейной стоячей волны? Для ответа на этот вопрос были рассмотрены различные способы рассеяния энергии: внешнее сопротивление движению, нелинейная внутренняя вязкость и гистерезис. Из теорем, доказанных в главе 4 следует, что для каждого из соответствующих уравнений можно построить точные решения вида (22), причем уравнение для функции Ф во всех случаях совпадает с уравнением (22), а решение соответствующего уравнения для функции в затухает во времени (теорема 4.3.1 и теорема 4.3.2). Физически это можно интерпретировать так: стоячая волна, возбужденная в нелинейной струне, описываемой уравнением (21), затухает, не нарушая своей пространственной формы; при этом такая струна издает звук повышающейся (при 0<р<1) или понижающейся (при р>1) тональности.

Для анализа влияния внешней периодической по времени нагрузки на возможность возникновения нелинейных стоячих волн в главе 4 было рассмотрено уравнение

ии = аг|их|Р_1ихх + а>х^Р"ЧхЬ - азиь +

где t g(t) - х-периодическая функция. Оказалось (теорема 4.4.1), что при определенных условиях и яри каждом кем для такого уравнения существует хотя бы одно т-периодическое по Ь решение.

В главе 4 также доказаны теоремы, дающие возможность построения точных решений для континуальных моделей, обобщающих этот вариант сильно нелинейной задачи Ферми - Паста - Улама на случай уравнений высших порядков по ^ что можно интерпретировать как случай цепочек с нелинейной релаксацией и ползучестью.

17Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов. Матем. сб., 181, 12, 1990, с. 1587 - 1606.

Показано, как для таких уравнений можно построить серии точных решений в виде стоячих волн, то есть в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от t. Эти решения оказываются периодическими по пространственной переменной х. Заметим, что возможность построения решений подобного типа для широкого класса нелинейных уравнений с частными производными рассматривалась также С.И.Похожаевым18. Однако в его работе основное внимание уделено возможности построения решений, периодических по времени.

Конечно, в нелинейном случае трудно получить строгие утверждения, аналогичные аппроксимационным теоремам, доказанным в третьей главе. Основным методом, показывающим насколько оправдана замена цепочки (28) уравнением (31) является вычислительный эксперимент, который в данном случае показывает правомочность такой замены. Как уже отмечалось выше, именно наличие точных решений, построенных в четвертой главе для уравнения (31) дает возможность проведения такого, более корректного сравнения решений.

В пятой главе рассмотрен фрагмент теории континуальных моделей более сложных РДУ. Отправной точкой здесь послужила система РДУ, возникающая в одной из задач физики твердого тела. При изучении перемещения ионов примесей в кристаллической решетке с учетом сильного электрического поля возникает следующая система

Уj = У^ехР^-2^) - y^xpiZj) - у^хр(-^)+ yj+jexp(zj+i)

Va - =

Ф — Ф = G(z) . j + i j j

Своеобразие постановки указанной задачи состоит в том, что потенциал задается при двух значениях j=0, j=s(t), причем функция t s(t) - неизвестна, то есть одна из линий, на которых

18Похожаев С.И. О периодических решениях некоторых нелинейных уравнений с частными производными. ДАН СССР, т.198, 6, 1971, с. 1274 - 1277.

задан потенциал, может изменяться со временем и заранее не известна. Из дополнительных условий в этой задаче можно получить дифференциальное уравнение для функции t s(t).

Естественное математическое обобщение континуальной модели этой системы РДУ приводит к своеобразным задачам для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением и с движущимися по заранее не заданным законам точками, несущими добавочные условия. Особенность этой задачи состоит в частности, в том, что некоторые из семейств характеристик горизонтальны. Поэтому одни возмущения распространяется с ограниченной скоростью, а другие - с бесконечной скоростью. Для таких задач в пятой главе получены достаточные условия локальной и глобальной разрешимости. Приведем некоторые формулировки.

В n(TQ) = {(x,t)|0^x<l,0itsTo}, рассматривается система

-(и,) + а - (х, t, и, v)-^—(и -) = f-(x,t,u,v), i=l,...,m,

at 1 1 эх

—(v ) = q (x,t,u,v), j=l,...,n,

эх 3 J

Us ) = r (t,s(t),u(s (t),t),v(s (t),t)), j=l,...,n, (32) dt J 1 J J

где (x,t) -> u^(x,t), (x,t) -> v (x,t), t Sj(t) - неизвестные функции. Для системы (32) задаются начальные и граничные условия:

Ujíx.O) = о^(х), i=l,...,m, s^O) = с j, j=l,...,n, 0 ^ Cj si;

u^O.t) = r-(t,u(0,t), i 6 I°= {i|sgn(xi(0,t,u,v)) = 1},

1^(1,t) = T-(t,u(l,t), i 6 I1 = {i|sgn(Ai(l,t,u,v)) = -1},

VjíSjít),t) = gj(t), j=l,...,n, (33)

где функции üj, gj, y?, и константы сзаданы.

При этом предполагается, что sgn(xj(0,t,u,v))=const, sgn(A (l,t,u,v))=const, i=l,...,m.

Пусть выполнены условия согласования

7°(0,а(0)) = «JO), i с Io, rj(0,a(l)) = a.(l), leí1.

Пусть функция (x,t,u,v) q (x,t,u,v), j=l,...,n не зависит

от тех vfc, для которых с^*^. Кроме того, предположим, что г (t,0,u,v)2:0 при с^О, а при с =1 пусть rj(t,l,u,v)sO. Обозначив w=(u,v), предположим, что все рассматриваемые функции непрерывны, причем л^ fj.r . qj (i=l..., m;j=l,.., n) удовлетворяют по x, w локальному условию Липшица.

Предположим, что функции х а (х), i=l,...,m локально липшицевы. Функции (t,u)-»r°(t,u) (iel°), (t,u)-*rj (t,u) (iel!), t -> g.(t) будем предполагать локально липшицевыми по t, и. Пусть r°(t,u) не зависит от тех и , для которых kel°, a rj(t,u) не зависит от тех и , для которых kel1. Пусть Те(0,Т ]. Введем обозначения

|u|=max lu.l, |v|=max |v |, |s|=max |s |, [w|=max {|u|,|v|}, i 1 j 3 j 3

5 =min{c ,1-c I с *0, с *1}. j j 1 j j

Если Cj*0 & с *1 , то для таких j положим

= {(x,t)en(T)|0sX5C }, n' = {(x,t)en(T)ICj-SsXil}.

Если же с^=0 (аналогично при с =1), то полагаем = и, ßj-= п(Т). Обозначим (при произвольном D=const>0)

nun = шах |u|, iisn = max |s|, П(Т) te[0,T]

nvii=max max {шах (|v|exp(-D(c +s-x))), max(|v|exp(-D(x-c +s)))},

J ' fi1 ' j j

Пусть существует непрерывная функция х М(т)>0 такая, что

Iq (х,t,ff)| =sM(x)|v|, ir (s,t,tf)| sM(t)|s|, j=l,...,n.

Пусть U>0 - некоторая константа. Предположим, что iiun s U. Тогда из свойств функций qj, г , с помощью леммы Гронуолла, легко получить априорные оценки: iiviisV, iisnsS, где V, S - некоторые константы. Рассмотрим пространство д липшицевых функций w:n(T)->Rn',',°; причем функции (x,t) u(x,t) будем предполагать липшицевыми по x,t, а функции (x,t) v(x,t) - липшицевыми по х. Пусть flQ(T) - шар в этом пространстве, такой что nwiisPo=max{U,V}. Рассмотрим множество м=п(Т)х{иеКт, nuiisU}x{veRn, iiviisV} . Через

fl^T.L) обозначим множество функций (u,v)eflo(T) таких, что константы Липшица для функции u(x,t) ограничены сверху величиной L >0, а для функции v(x,t) - величиной Lv>0. Обозначим L = max{L ,L }. Решение задачи

U V

dx/dt = xi(х,t,w(x,t)), i—1.....ш, x(t°) = x°, weflo(T), (34)

будем называть характеристикой i-го семейства, соответствующей функции w, и обозначать через р (t;x°,t°,w). Решение задачи

Is = г (t,s(t),w(s (t),t)), j=l,...,m, s (0) = с , weft (T) (35)

lib J j j J i о

будем обозначать через s^tjw) и называть j-й внутренней границей.

В силу наших предположений, для we«o(T) решения задач (34), (35) сушествуют и могут быть продолжены до границы прямоугольника п(Т). Через * (x°,t°,w) обозначим то наименьшее значение аргумента t, для которого решение уi(t;x°,t°,w) определено. Для i=l,...,ш введем множества:

n"(w)={x.t)en(T)Iх, (x,t,w)=0},

' 1

n°(w) = {x,t,en(T) (x,t,'w)>0, ^(^(x.t.W^X.t.VfbO}

n|(vf) = {x,t,en(T) l^i(x,t,w)>0, ?>i(^i(x,t,w);x,t,w)=l} Для i=l,...,m; j=l,..., n обозначим

a (<p. (0;x,t,w)), i=l,...m, (x,t)ena(w)

я [w](x,t)=

i

^(^(x.t.iO.wiO.z^x.t.ir))), i«=I° (x,tbn°(w)

r[(ari(x,t,w),w(0,^i(x,t,w))), iel1 (x,t)en1i(w) t

5i[w](x,t)= fi((Pi(T;x,t,yf),r,Tf(iii(T:;x,t,w),T))dr Xj (x,t,w)

DjwKx.t) = ajifKx.t) + sJwKx.t), i=l,. .. ,m

BjlwKx.t) = gj(t) +

q.(C,t,wU,t))d¡r, j=l,...,n s,(t;w)

j

Определение. Пусть непрерывная функция w=(u,v) :li(T)-^iRm+n удовлетворяет системе

u((x,t) = DjUKx.t), i=l,...,m,

= BjfvrKx.t), j=l.....n,

причем u - липшицева по x,t, a v - липшицева по x.

Тогда будем называть w обобщенным непрерывным решением рассматриваемой задачи. Легко проверяется, что гладкое решение является в то же время и обобщенным непрерывным.

Отметим, что такого типа определение (в случае обычных смешанных задач для гиперболических систем полулинейных уравнений) впервые было дано в работе19. Оказывается, что если выполнены сформулированные выше предположения, то при достаточно большом значении L, и достаточно малой величине Т>0 оператор б=(э ,-•-.!) .Б .....в ) имеет единственную неподвижную точку,

1 mi п

которая и является обобщенным непрерывным решением (теорема 5.3.1)

Известно, что для гиперболических систем квазилинейных уравнений возможно возникновение разрывов решений. Поэтому существенное значение приобретает вопрос о выяснении условий, при которых эти разрывы не возникают. Один из возможных ответов на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 5.4.1. Если о^, f¡t q^, г} неубывающие по

x,u,v, а у1 не зависят от u,v, причем г° неубывающие, невозрастающие, f^O iel°, fj-0 iel1, q^O, то задача (32) - (33) разрешима во всем n(TQ).

Замечание. Доказательства теорем 5.4.1 и 5.4.2 имеют конструктивный характер (они основаны на принципе сжимающих

19Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости. Матем. сб., 50(92), 4, 1960, с. 423 - 442.

отображений), что дает возможность приближенного построения решений.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Филимонов A.M. Периодические решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными. Дифференциальные уравнения, т.XII, 11, 1976, с. 2076 - 2084.

2. Филимонов A.M. 0 решениях специального вида уравнений в частных производных полиномиального типа. В сб. Дифференциальная геометрия, изд. Калинин, гос. университета, 1977, с. 112 - 119.

3. Филимонов A.M. Устойчивость нулевого решения смешанной задачи для некоторого класса нелинейных уравнений с частными прозводными. В сб. Дифференциальные и интегральные уравнения. Изд. Горьк. гос. университета, 1, 1977, с.82-85.

4. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Дифференциальные уравнения, t.XYII, 3, 1981, с.488 - 500.

5. Филимонов A.M. Достаточные условия глобальной разрешимости смешанной задачи для квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Деп в ВИНИТИ, N 6-81, 1981, 14 с.

6. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем на прямой. Успехи матем. наук, т. 36, 4, 1981, с. 221.

7. Филимонов A.M. Локальная разрешимость смешанной задачи для гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Деп. в ВИНИТИ, N 4001-82, 1982, 71 с.

8. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. В кн. Труды II Международной конференции по дифференциальным уравнениям, Руссе (Болгария), 1982, с. 23 - 28.

9. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Периодические колебания в нелинейных одномерных сплошных средах и их приложения к задачам продольной динамики поездов. Труды МИИТа, вып. 653, 1982, с. 23-28.

10. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Периодические колебания в нелинейных одномерных сплошных средах. В кн. IX Международная конференция по нелинейным колебаниям, том I - Аналитические

методы, 1984, с. 274 - 276.

12. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Автомодельные решения некоторых задач продольной динамики поезда. Труды МИИТа, вып. 758, 1984, с. 34 - 40.

13. Кокин С.М., Селезнев В.А., Филимонов A.M. Моделирование распределения концентрации заряженных дефектов в электролюминесцирующих кристаллах. Тезисы докладов к заседанию научного совета по люминесценции АН СССР, Вильнюс, 1989, с. 24.

14. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Аналитические решения некоторых задач продольной динамики поезда. Труды МИИТа, вып. 839, 1991, с. 155 - 158.

15. Filimonov A.M., Kurchanov P.F., Myshkis A.D. Some unexpected results in the classical problem of the string with N beads when N is large. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris t. 313, Serie 1,

1991, p. 961 - 965.

16. Курчанов П.Ф., Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Колебания железнодорожного состава и теорема Кронекера. Прикладная математика и механика, т. 55, 6, 1991, с. 989 - 995.

17. Филимонов A.M. Стоячие волны в нелинейной одномерной сплошной среде с гистерезисом. Известия РАН - Механика твердого тела, т. 26, 6, 1991, с. 57 - 59.

18. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Неожиданные свойства решений классической задачи о нити с бусинами. Успехи матем. наук, т. 46, 6, 1991, с. 169 - 170.

19. Filimonov A.M. Some unexpected results on the classical problem of the string with N beads. The case of multiple frequenies. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris t. 315, Serie 1,

1992, p. 957 - 961.

20. Филимонов A.M. К задаче Жуковского о трогании поезда с места. Труды МИИТ, вып. 866, 1992, с. 117 - 120.

21. Filimonov A.M., Myshkis A.D. Correlation betveen discrete and continuous models of one-dinentional medium vibrations. Selected Invited Lectures and Short Communications Delivered at the International Colloquium on Numerical Analisis and the Third International Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, August 1992, p. 58 - 69.

22. Филимонов A.M. Точные решения некоторых задач о колебаниях одномерной сплошной среды с нелинейной наследственностью и особенности соответствующих нелинейных спектральных задач. Известия РАН - Механика твердого тела, т. 27, 6, 1992, с.121-128.

23. Филимонов A.M. Промежуточные континуальные модели в теории конечных цепей Маркова с дискретным числом состояний и непрерывным временем. В кн. Воронежская матем. школа "Понтрягинские чтения IV", тезисы докладов, 1993, с. 191.

24. Филимонов A.M. Точные периодические решения нелинейного аналога одномерной теории дислокаций в твердых телах по Френкелю - Конторовой. Современные проблемы механики и математической физики, тезисы докладов школы, Воронеж, 1994, с. 99.

25. Филимонов A.M. Промежуточные континуальные модели для одномерного уравнения Шредингера с дискретной пространственной переменной. XXVI воронежская зимняя математическая школа, ВГУ, 1994 г., с. 98.

26. Филимонов A.M. О глобальной и локальной разрешимости задач Стефана - Валле Пуссена для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением. Успехи матем. наук, 1994, 49, 4, с. 84.

27. Filimonov A.M., Myshkis A.D. On approximation of difference operator with differential one by investigation of oscillations of 1-dimensional discrete systems. Abstracts of sec. int. conf. on difference equations and appl., Veszprem, 1995, p. 28.

28. Кокин C.M., Филимонов A.M., Бойко А.Я., Тандетник И.JI., Зак И.И. О возможности стационарного и квазистационарного режимов работы электролюминесцентного излучателя. Известия вузов, серия физическая, 1995, 1, с. 8-12.

29. Филимонов A.M. Континуальная модель дискретной цепочки. Успехи матем. наук, 1995, 50, 4, с. 115.

30. Filimonov A.M. Continuous approximations of difference operators. Journ. of Difference Equations and Applications. 1996, 2, 3. (in press).