Моделирование нелинейных деформаций тонких тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1 ВЫДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ПОВОРОТОВ

В ДЕФОРМИРУЕМОМ КОНТИНУУМЕ КОШИ

1.1 Начальное и мгновенное состояния деформируемого континуума.

1.2 Преобразование виртуальной работы напряжений.

1.3 Уравнения нелинейной деформации континуума.

1.4 Малые нелинейные деформации континуума Коши

1.5 Комментарии и выводы.

2 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕОБРАЗНОГО ТЕЛА

С НЕЗАВИСИМЫМ ПОЛЕМ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ

2.1 Начальное и мгновенное состояния стержня

2.2 Нелинейная формулировка модели деформации стержня

2.3 Инкрементальная формулировка нелинейной модели деформации стержня.

2.4 Комментарии и выводы.

3 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКООБРАЗНОГО ТЕЛА

С НЕЗАВИСИМЫМ ПОЛЕМ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ

3.1 Начальное и мгновенное состояния оболочки.

3.2 Нелинейная формулировка модели деформации оболочки

3.3 Инкрементальная формулировка модели

3.4 Комментарии и выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ СТЕРЖНЕЙ

4.1 Нелинейные уравнения плоской деформации стержня

4.2 Численный анализ нелинейных деформаций прямых стержней

4.3 Численный анализ нелинейных деформаций круговых арок

4.4 Комментарии и выводы.

5 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ОБОЛОЧЕК

5.1 Нелинейные уравнения осесимметричной деформации оболочки

5.2 Численный анализ осесимметричных форм изгиба куполообразных оболочек.

5.3 Комментарии и выводы.

Под тонким телом понимается такое материальное тело, у которого хотя бы один размер мал по сравнению с другим. Этот термин объединяет оболочкообразные и стержнеобразные тела. Оболочкообразное тело — это тело, тонкое в одном направлении, стержнеобразное — в двух направлениях. Первая группа тонких тел включает в себя оболочки, пластины и тонкостенные стержни, вторая — прямолинейные и криволинейные стержни с жесткими поперечными сечениями. Отличительное свойство тонкого тела — малая изгибная жесткость в направлении малого размера. Оно способно сильно изгибаться под нагрузкой, т.е. претерпевать деформацию с большим градиентом перемещений материальных точек.

Геометрические особенности тонких тел были использованы для построения специальных математических моделей их деформирования, отличных от классической модели Коши. В соответствующей научной литературе можно различить два метода построения нелинейных моделей деформации тонких тел — аксиоматический и аппроксимационный. Первый с самого начала трактует оболочку как материальную поверхность (двумерный объект), стержень — как материальную линию (одномерный объект) и устанавливает законы их деформирования под действием локальных внутренних и внешних сил, наделяя каждую оснащенную точку объекта не только позиционными (как в модели Коши): но и ориентационными степенями свободы. Во втором, аппроксимационном методе оболочка и стержень — трехмерные деформируемые объекты Коши. Уменьшение размерности достигается той или иной аппроксимацией объемного поля перемещений по тонким направлениям и применением метода моментов. Оба метода в результате дают моментные модели деформации тонких тел, определенные в пространстве меньшего числа измерений, чем физическое. Оболочкообразным телам ставятся в соответствие двумерные модели деформации, стержнеобразным — одномерные.

Аксиоматический метод игнорирует пространственную структуру оболочки по толщине, стержня — по сечению и не дает сам по себе теоретических правил построения моментных определяющих уравнений и восстановления полей деформаций и напряжений в объеме тела. Указанные неопределенности раскрывает аппроксимационный метод. Включая в себя процедуру усреднения динамических уравнений по тонким направлениям, он выявляет обобщенный характер моделей деформации тонких тел: усредненные уравнения состояния обнаруживают явную зависимость от малых размеров. Все модели такого типа названы в диссертации аппроксимационпыми моделями.

Первые аксиоматические формулировки нелинейных уравнений деформации стержня были даны Я. Бернулли и JI. Эйлером [20] еще до установления общих уравнений теории упругости. Общие основы аксиоматического моделирования нелинейных деформаций тонких тел были заложены братьями Е. & Ф. Коссера [21]. В дальнейшем их теория развивалась в трудах Дж. Эриксена и К. Трусдела [35], А. Е. Грина,

H. Лоуза, П. Нахди и В. Вейнрайта [ 36, 37, 74, 75 ], Дж. Саймонд-са и Д. Даниэльсона [ 76, 77 ], В. В. Елисеева [39], П. Жилина и X. Альтенбаха [ 78, 79 ].

Основополагающий вклад в аппроксимационную формулировку нелинейной проблемы деформации тонких тел внес Г. Кирхгоф [ 17, 18 ]. Дальнейшее всестороннее развитие его теория получила в трудах А. Клебша [19], А. Лява [20], Г. Е. Хэя [31], Я. Л. Синга и В. Ц. Чиня [59], Э. Рейсснера [ 53, 55 ], К. 3. Галимова [ 60, 61 ], Н. А. Алумяэ [ 64, 65 ]. Конструктивное влияние на утверждение и внедрение в расчетную практику нелинейной теории Кирхгофа оказали монографии А. Лява [20], В. 3. Власова [44, 46], Е. П. Попова [32], В. А. Светлицкого [33], А. С. Вольмира [58], X. М. Муштари и К. 3. Галимова [62, 63], Н. В. Валишвили [103], Л. М. Зубова [105], К. Ф. Черныха [13].

Предпринятые С. П. Тимошенко [30] и Э. Рейсснером [54] первые попытки выхода за рамки модели Кирхгофа в линейных задачах деформации стержней и пластин были подхвачены позже и в нелинейной теории. Построению более общих (по отношению к аппроксимации Кирхгофа) нелинейных аппроксимационных моделей деформации тонких тел посвящены труды X. М. Муштари и И. Г. Терегулова [80], А. Е. Грина и П. М. Нахди [38], А. Я. Айнолы [81], К. 3. Галимова [ 63, 82 ], В. Петрашкевича [ 83, 84 ], К. Ф. Черныха [73].

В результате анализа работ, посвященных формулировкам нелинейных уравнений и задач деформации тонких тел оболочко- и стержнеоб-разных конфигураций, у соискателя появился ряд замечаний к опубликованным до 1980 года вариантам нелинейных моделей :

I. Аксиоматические и аппроксимационные модели оперируют с разными кинематическими параметрами и поэтому они не согласованы, не сравнимы друг с другом.

2. Среди множества нелинейных вариантов аппроксимационных моделей для оболочек и стержней отсутствуют варианты, которые были бы вполне согласованы с линейной аппроксимацией поля перемещений по тонким направлениям. Имеющиеся варианты не определяют всех компонент объемных тензоров деформации и напряжения и в этом смысле являются усеченными вариантами.

3. Нелинейные варианты аппроксимационных моделей в большей или меньшей степени ограничивают величину перемещений, поворотов и деформаций у тонких тел. Наиболее распространены варианты, линейные относительно деформаций и квадратичные относительно перемещений.

4. Имеющиеся в литературе точные и приближенные решения нелинейных краевых задач деформации стержней, пластин и оболочек получены в рамках наиболее простых моделей: Эйлера, Кармана, Кирхгофа -Клебша - Лява, Маргерра - Власова.

Преодоление этих ограничений и установление физически согласованных и математически строгих нелинейных моделей деформации тонких тел составляет фундаментальную цель диссертации. Вместе с тем работа содержит решения ряда нелинейных задач анализа деформаций стержней, пластин и оболочек, которые демонстрируют прикладные возможности предложенных моделей.

Идея Кирхгофа - Коссера о явном выделении конечного поворота координатного базиса из его полного преобразования вследствие деформации воплощена соискателем в качестве общей кинематической основы для нелинейных аппроксимационных моделей оболочко- и стержнеоб-разных тел. А так как аппроксимационные модели являются следствием модели Коши, то кинематические параметры Коссера были предварительно внедрены в нелинейную формулировку модели деформируемого континуума Коши.

Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка литературы.

В первой главе представлены результаты работ соискателя [ 14, 15, 16, 88 ], относящиеся к построению нелинейной модели деформации континуума Коши с явным выделением конечных поворотов материальных частиц.

Изложенная в главе процедура выделения локальных поворотов не связана с полярным разложением градиента деформации. Она базируется на идее Коссера о независимом повороте координатного базиса. Вращающийся базис Кирхгофа - Коссера наиболее удобен для моделирования поворотов, поскольку он порождает пространство с неизменяемой внутренней метрикой. Вращающийся базис вводит в кинематику континуума Коши поле конечных поворотов, выраженное ортогональным тензором - ротатором.

В качестве меры изменения метрики пространства введен индифферентный пост-ротационный тензор деформации W, линейно зависящий от позиционного градиента и тензора поворота и энергетически сопряженный тензору напряжения Пиола Z в двойном разложении по начальному и повернутому базисам. Введены также инвариантные сопряженные тензоры Zq и Wq , имеющие в начальном базисе те же компоненты, что и тензоры Z, W в двойном базисе.

Предложены не связанные с полярным разложением позиционного градиента и легко реализуемые способы устранения ротационных степеней свободы - посредством триангуляризации матрицы компонент тензора деформации.

Из модифицированного принципа возможных перемещений получены локальные динамические уравнения с явно выраженной зависимостью от тензора поворота.

Для энергетически сопряженной пары тензоров Zq и Wo даны объективные формулировки конечных, дифференциальных и инкрементальных определяющих соотношений, выражающих упругую и гипоупругую реакцию континуума. Указаны их приближенные варианты для малых нелинейных деформаций континуума.

В целом глава содержит математическую формулировку нелинейной модели деформации континуума Коши, модифицированную по отношению к классической формулировке Коши - Пиола и кинематически согласованную с формулировкой нелинейной модели деформации моментного континуума Коссера.

Во второй главе дано последовательное и детальное изложение нелинейной аппроксимационной модели деформации стержнеобразного тела, сформировавшейся в работах соискателя [ 14, 41, 87, 88, 92 ].

Деформируемый стержень представлен как трехмерный объект Коши с линейной по поперечным координатам аппроксимацией поля перемещений, допускающей произвольные жесткие движения поперечных сечений. Эти движения представлены двумя независимыми полями конечных перемещений и конечных поворотов локального базиса, жестко связанного с точками базовой линии (контура) стержня. Кроме первичных контурных полей перемещений и поворотов, введены дополнительные контурные параметры деформации поперечных сечений стержня. Определены пост-ротационные контурные тензоры метрической и крутилъно-изгибной деформации, аппроксимирующие объемный тензор деформации стержнеобразного тела при произвольных перемещениях и поворотах его поперечных сечений.

В соответствии с интегральным законом динамики стержнеобразного тела введены моментные силовые реакции, энергетически согласованные с контурными мерами деформации, и получены локальные динамические уравнения, отнесенные к базовой линии.

На основе объективной формулировки определяющих соотношений для упругого континуума Коши с пост-ротационными мерами деформации указана процедура построения моментных определяющих соотношений, связывающих контурные меры напряжения и деформации.

В конечном счете, аппроксимационная модель упругой деформации стержнеобразного тела представлена замкнутой системой одномерных квазилинейных уравнений (в общем случае 12-го порядка) и трехмерными соотношениями, необходимыми для восстановления перемещений, деформаций и напряжений в объеме тела. Модель включает стержни переменного и неоднородного профиля.

Для применения итерационных процедур решения нелинейных задач дана инкрементальная (линеаризованная) формулировка полной системы векторно-тензорных уравнений нелинейной модели гипоупругой деформации стержнеобразного тела. В метрическом пространстве базовой линии сформулировано интегральное тождество, эквивалентное замкнутой системе одномерных инкрементальных уравнений и граничных условий и выражающее ее слабую форму при недостаточной гладкости искомых функций.

В результате сравнительного анализа научных публикаций установлены условия, приводящие к согласованию аксиоматических моделей типа Коссера [ 21, 35 - 39 ] с аппроксимационной моделью соискателя. Последняя включает в себя кинематические и динамические уравнения Коссера - Елисеева. Кроме того, аппроксимационная модель дает процедуру построения моментных определяющих соотношений и содержит уравнения для вычисления объемных полей перемещений, деформаций и напряжений в стержнеобразном теле.

В третьей главе дано последовательное и детальное изложение нелинейной аппроксимационной модели деформации оболочкообразного тела, сформировавшейся в работах соискателя [ 14, 41, 85-88, 93 ].

Деформируемая оболочка представлена как трехмерный объект Коши с линейной по толщине аппроксимацией поля перемещений, допускающей произвольные жесткие движения поперечных волокон. Эти движения представлены двумя независимыми полями конечных перемещений и конечных поворотов локального базиса, жестко связанного с точками базовой поверхности оболочки. Кроме первичных поверхностных полей перемещений и поворотов, введены дополнительные поверхностные параметры деформации поперечных волокон оболочки. Определены пост-ротационные поверхностные тензоры метрической и крутильно-изгибной деформации, аппроксимирующие объемный тензор деформации оболочкообразного тела при произвольных перемещениях и поворотах его поперечных волокон.

В соответствии с интегральным законом динамики для оболочкообразного тела введены моментные силовые реакции, энергетически согласованные с поверхностными мерами деформации, и получены локальные динамические уравнения, отнесенные к базовой поверхности.

На основе объективной формулировки определяющих соотношений для упругого континуума Коши с пост-ротационными мерами деформации указана процедура построения моментных определяющих соотношений., связывающих поверхностные меры напряжения и деформации.

В конечном счете, аппроксимационная модель упругой деформации оболочкообразного тела представлена замкнутой системой двумерных квазилинейных уравнений (в общем случае 10-го порядка) и трехмерными соотношениями, необходимыми для восстановления перемещений, деформаций и напряжений в объеме тела. Модель включает оболочки переменной толщины и слоистые.

Для организации итерационных процедур решения нелинейных задач дана инкрементальная формулировка полной системы векторно-тензорных уравнений нелинейной модели гипоупругой деформации оболочкообразного тела. В метрическом пространстве базовой поверхности сформулировано интегральное тождество, эквивалентное замкнутой системе двумерных инкрементальных уравнений и граничных условий и выражающее ее слабую форму при недостаточной гладкости искомых функций.

В результате сравнительного анализа научных публикаций установлены условия, приводящие к согласованию аксиоматических моделей типа Коссера [21, 74-79] с аппроксимационной моделью соискателя. Последняя включает в себя кинематические и динамические уравнения Коссера - Жилина. Кроме того, аппроксимационная модель дает процедуру построения моментных определяющих соотношений и содержит уравнения для вычисления объемных полей перемещений, деформаций и напряжений в оболочкообразном теле.

В четвертой главе представлены опубликованные в [ 129-133 ] результаты численного анализа нелинейных краевых задач упругого плоского изгиба прямолинейных стержней и круговых арок.

Задачи сформулированы на основе модели деформации стержня с кинематически независимыми полями конечных перемещений и поворотов. Разрешающая система уравнений модели состоит в этом случае из шести квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В пределе по малому параметру они вырождаются в уравнения Эйлера.

Метод стрельбы применен для численного анализа нелинейных краевых задач о плоском изгибе консольного прямого стержня при конечных поворотах. Рассмотрены четыре варианта нагружения стержня торцевыми поперечными и продольными силами. Выявлен разветвленный характер решений краевых задач, наличие пересекающихся и изолированных ветвей. В случае поступательной продольной силы получены классические эластики Эйлера. При сжатии стержня следящей продольной силой доказано наличие единственной - прямолинейной - формы равновесия.

Метод стрельбы применен для численного анализа нелинейных краевых задач о плоском изгибе упругих круговых арок под равномерно распределенной нагрузкой. Рассмотрены два варианта граничных условий: жесткое защемление и шарнирное опирание. Получены разветвленные решения краевых задач. В случае шарнирного опирания множество решений включает симметричные и несимметричные формы изгиба, разветвленные в областях положительных и отрицательных значений параметра нагрузки. У жестко защемленной арки оно состоит из одних симметричных форм, разветвляющихся лишь в областях положительных значений. В обеих задачах зависимости параметра состояния от параметра нагрузки не являются монотонными и допускают возможность катастрофы — мгновенного скачка из основной формы в вывернутую. В обеих задачах эти зависимости образуют в фазовой плоскости изолированные замкнутые ветви, о существовании которых ранее не было известно.

Так как состояние плоского изгиба характерно для длинных полос и цилиндрических панелей при однородном нагружении по длине, то все результаты, относящиеся к стержням и аркам, остаются справедливыми и для такого рода систем.

В пятой главе представлены опубликованные в [ 93, 134-136 ] результаты численного анализа нелинейных краевых задач упругого осе-симметричного изгиба пластин и куполообразных оболочек.

Задачи сформулированы на основе модели деформации оболочки с кинематически независимыми полями конечных перемещений и поворотов. Разрешающая система уравнений модели состоит в этом случае из шести квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Методом стрельбы численно решены нелинейные краевые задачи осе-симметричного выпучивания конических куполов под равномерным давлением. Рассмотрены два варианта граничных условий: шарнирное опи-рание и жесткое защемление. В зависимости от геометрических параметров куполов и параметра давления прослежено разветвление решений краевых задач, получены многозначные и разрывные кривые состояний равновесия, свидетельствующие о возможности катастрофы -потери устойчивости хлопком. В случае шарнирного опирания установлено наличие областей многозначности решений не только при внешнем, но и при внутреннем давлении.

Инкрементальное вариационное уравнение применено для численного анализа осесимметричной упругой деформации полусферического купола, нагруженного кольцевым центростремительным усилием. Проиллюстрировано нарастание погрешности при расчете нелинейного процесса формоизменения по широко распространенной квадратичной модели деформации оболочки.

Численные результаты получены в предположении об абсолютной упругости и линейности материала. Принимались во внимание только нелинейности кинематического происхождения. Сравнение с экспериментом убеждает, что именно эти нелинейности определяют разветвленный характер процессов деформирования тонких тел.

Актуальность темы диссертации определяется логикой развития механики деформируемого твердого тела и потребностями прогрессирующих отраслей машиностроения во все более и более глубоком анализе процессов деформирования деталей и конструкций. Растущий уровень развития вычислительной математики и вычислительной техники открывает широкие возможности для численного моделирования реальных процессов на основе их математических моделей. Появилась возможность отказаться от тех или иных ограничений, которые по необходимости закладывались в модели, и привлекать или создавать нелинейные модели, более точно отображающие реальные процессы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами НИР Института вычислительного моделирования по программам СО РАН и приоритетным программам РАН в рамках темы 0186.0060374: Математическое моделирование и разработка численных алгоритмов расчета задач механики деформируемых твердых тел и композиционных материалов.

Научная новизна. Новыми научными результатами являются:

• Коротационная формулировка нелинейной модели деформации континуума Коши с произвольным тензором поворота;

• Нелинейная аппроксимационная модель общей деформации стерж-необразного тела, энергетически согласованная с модифицированной моделью деформации континуума Коши и вводящая независимые одномерные поля конечных перемещений, конечных поворотов и поперечных деформаций;

• Нелинейная аппроксимационная модель общей деформации оболоч-кообразного тела, энергетически согласованная с модифицированной моделью деформации континуума Коши и вводящая независимые двумерные поля конечных перемещений, конечных поворотов и поперечных деформаций.

• Численный анализ разветвленных решений нелинейных квазистатических задач деформации стержней, пластин и оболочек, в том числе - изолированных решений, не обнаруживаемых методом продолжения по параметру.

Прикладное значение работы заключается в демонстрации успешного применения предложенных моделей к постановке и решению задач анализа деформаций стержней, пластин и оболочек при произвольно больших перемещениях и поворотах с оценкой возможности их катастрофического поведения.

Обоснованность и достоверность результатов. Согласованность с законами механики континуума Коши и отсутствие иных кинематических ограничений, кроме исходной аппроксимации, обеспечивают физическую корректность и математическую строгость сформулированных нелинейных моделей деформации тонких тел. Использование стандартных программ численного анализа с контролируемою точностью, сравнение с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными подтверждает достоверность численных результатов.

Публикации и апробация работы. Содержание диссертации достаточно полно изложено в монографии [14], в статьях [ 15, 16, 41, 66, 67, 69, 70, 85-89, 92, 93, 130, 132-136 ] и в докладах [ 40, 41, 68, 87, 90, 91, 129, 131, 134 ].

Представленные к защите научные результаты докладывались и обсуждались на 11-й (1977) и 14-й (1987) Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин; на Симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980); на Научно-технической конференции Нелинейные задачи теории пластин и оболочек (Саратов, 1981); на Европейских коллоквиумах по механике (Польша, 1985 и Германия, 1992); на Симпозиуме Математические модели и численные методы механики сплошных сред (Новосибирск, 1996); на Международной конференции Всеси-бирские чтения по математике и механике (Томск, 1997); на 3-м и 4-м Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998 и 2000); на Международной конференции Математические модели и методы их исследования (Красноярск, 2001) и на научных семинарах Института вычислительного моделирования (Вычислительного центра) СО РАН (рук. акад. Ю.И.Шокин и чл.-корр. В.В.Шайдуров); Института гидродинамики СО РАН (рук. проф. О.В.Соснин); Новосибирского гос. университета (рук. чл.-корр. Б.Д. Аннин).

Основные результаты диссертации являются новыми, получены лично автором и состоят в следующем.

1. Дана математическая формулировка нелинейной модели деформации континуума Кошщ модифицированная по отношению к классической формулировке Коши - Пиола и кинематически согласованная с формулировкой нелинейной модели деформации момент-ного континуума Коссера. Отличительные особенности формулировки -явное выделение тензорного поля конечных поворотов и введение объективных пост-ротационных мер напряжения и деформации.

2. Сформулирована нелинейная аппроксимационная модель общей деформации стержнеобразного тела, энергетически согласованная с модифицированной моделью деформации континуума Коши и вводящая независимые одномерные поля конечных перемещений, конечных поворотов и поперечных деформаций. Модель представлена системой одномерных квазилинейных уравнений и трехмерными соотношениями, необходимыми для восстановления перемещений, деформаций и напряжений в объеме тела. Модель включает стержни переменного и неоднородного профиля.

3. Сформулирована нелинейная аппроксимационная модель общей деформации оболочкообразного тела, энергетически согласованная с модифицированной моделью деформации континуума Коши и вводящая независимые двумерные поля конечных перемещений, конечных поворотов и поперечных деформаций. Модель представлена системой двумерных квазилинейных уравнений и трехмерными соотношениями, необходимыми для восстановления перемещений, деформаций и напряжений в объеме тела. Модель включает оболочки переменной толщины и слоистые.

4. В рамках аппроксимационной модели сформулированы нелинейные краевые задачи упругого плоского изгиба криволинейных стержней при больших перемещениях и поворотах. Численно решены квазистатические задачи изгиба консольного прямого стержня и двухопорной арки - панели. Построены однопараметрические множества решений, обнаруживающие наличие пересекающихся и изолированных ветвей. При сжатии прямого стержня следящей продольной силой аналитически доказано наличие единственной - тривиальной - ветви.

5. В рамках аппроксимационной модели сформулированы нелинейные краевые задачи упругого осесимметричного изгиба куполообразных оболочек при больших перемещениях и поворотах. Численно решены квазистатические задачи осесимметричного выпучивания пластин л конических куполов под равномерным давлением. Рассмотрены два варианта граничных условий: шарнирное опирание и жесткое защемление. В зависимости от геометрических параметров куполов и параметра давления прослежено разветвление решений краевых задач, получены многозначные и разрывные кривые состояний равновесия, обнаруживающие возможность катастрофы - потери устойчивости хлопком.

6. С целью организации итерационных процедур решения нелинейных задач даны инкрементальные (линеаризованные) формулировки нелинейных моделей деформации стержнеобразных и оболочкообразных тел. Инкрементальное вариационное уравнение применено для численного анализа осесимметричной упругой деформации полусферического купола, нагруженного кольцевым центростремительным усилием. Проиллюстрировано нарастание погрешности при расчете нелинейного процесса формоизменения по усеченным моделям деформации оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

2. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1948.

3. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958.

4. Green А.Е., Adkins J.E. Large elastic deformations and non-linear continuum mechanics. Oxford: Clarendon Press, 1960.

5. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды . Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

6. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

7. Гольденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.

8. Mase G.E. Theory and Problems of Continuum Mechanics. McGraw-Hill Book Compaby, 1970.

9. Мейз Дж. Теория и задачи сплошных сред / Пер с англ. М.: Мир, 1974.

10. Truesdell С. A First Course in Rational Continuum Mechanics. The Johns Hopkins University, 1972.

11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

12. Germain P. Cours de Meqanique des Miliex Continus. 1. Masson Ed., 1973.

13. Ж^ермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория / Пер. с франц. М.: Высшая школа, 1983.

14. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

15. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

16. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук, думка, 1987.

17. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986.

18. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука, 1988.

19. Шкутин Л.И. Нелинейная динамика деформируемых сред // Динамика сплошной среды: Сб.науч.тр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики, 1980. Вып. 45. С. 152-160.

20. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформируемых моментных сред // Прикл. механика и техн. физика. 1980. № 6. С. 111-117.

21. Kirchhoff G. Uber die Gleichungen des Gleichgewichts eines elasti-schen Korpers bei nicht unendlich kleinen Verschiebungen seiner Teile // Acad. Wiss. Wien Sitzungsberichte. 1852. B. 9.

22. Kirchhoff G. Vorlesungen iiber mathematische Physik: Mechanik. Leipzig , 1874.

23. Кирхгоф Г. Лекции по математической физике. Механика / Пер. с 4-го нем. изд. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

24. Clebsch A. Theorie der Elastizitat fester Korper. Leipzig, 1862.

25. Love A. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 1, 2. Cambridge, 1892, 1893.

26. Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. M.-JL: ОНТИ, 1935.

27. Cosserat Е., Cosserat F. Theory des corps deformables // Chwol-son's Traite Physique: 2nd ed. Paris, 1909. P. 953-1173.

28. Biot M.A. Non-linear theory of elasticity and linearized case for a body under initial stress // Philosophical Magazine. Ser. 7. 1939. № 183. P. 468-489.

29. Biot M.A. Mechanics of Incremental Deformation. N. Y.: John Wiley к Sons, 1965.

30. Шамина В.А. Об определении вектора перемещения по компонентам тензора деформации в нелинейной механике сплошной среды // Известия АН СССР. Мех. тверд, тела. 1974. № 1. С. 14-22.

31. Лурье А.И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости // Известия АН СССР. Мех. тверд, тела. 1979. № 2. С. 23-34.

32. Oden J.T. Finite Elements of Nonlinear Continua. McCraw-Hill Book Company, 1972.

33. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

34. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978.

35. Washizu К. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Perga-mon Press, 1982.

36. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

37. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.

38. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazine. 1921. V. 41, № 6. P. 744-746.

39. Hay G.E. The finite displacement of thin rods // Trans. Amer. Math. Soc. 1942. V. 51, № 1. P. 65-102.

40. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

41. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978.

42. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наук, думка, 1979.

43. Ericksen J.L., Truesdell С. Exact theory of stress and strain in rods and shells // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V. 1, № 4. P. 295-323.

44. Green A.E., Laws N. A general theory of rods // Proc. R. Soc. Lond. 1966. A-293, №1433. P. 145-155.

45. Green A.E., Laws N. A general theory of rods // IUTAM-Sjinposium, 1967 / Ed. E. Kroner. Berlin: Springer-Verlag, 1968. P. 49-56.

46. Green A.E., Naghdi P.M. Non-isothermal theory of rods, plates and shells // Int. J. Sol. Struct. 1970. V. 6, № 2. P. 209-244.

47. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой // Известия АН СССР. Мех. тверд, тела. 1976. № 1. С. 163-166.

48. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформируемых тонких тел // Нелинейная теория оболочек и пластин / Симпозиум: Тез. докладов. Казань, 1980. С. 51-52.

49. Shkutin L.I. Nonlinear models of deformed thin bodies with separation of the finite rotation field // Finite rotations in structural mechanics: Proc. Euromech. Colloquium 197. Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 272285.

50. Flugge W. Statik und Dynamik der Schalen. Berlin: Springer-Verlag, 1934.

51. Флюгге В. Статика и динамика оболочек / Пер. со 2-го нем. изд. М.: Госстройиздат, 1961.

52. Timoshenko S. Theory of plates and shells. N.Y., 1940. • Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки/ Пер. с англ. М.: Гостех-йздат, 1948.

53. Власов В.З. Строительная механика оболочек. М: Стройиздат, 1936.

54. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикл. математика и механика. 1944. Т. 8, № 2. С. 109-140.

55. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

56. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек // Прикл. математика и механика. 1939. Т. 2, JV« 4.

57. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963.

58. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // Прикл. математика и механика. 1940. Т. 4, № 2. С. 7-33.

59. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: ГИТТЛ, 1947.

60. Гольденвейзер A.JI. Уравнения теории тонких оболочек // Прикл. математика и механика. 1940. Т. 4, JYe 2. С. 35-42.

61. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953.

62. Reissner Е. A new derivation of the equations for the deformation of elastic shells // Amer. J. Math. 1941. V. 63, № 1. P. 177-184.

63. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. Phys. 1944. V. 23, № 2. P. 184-191.

64. Рейсснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек // Упругие оболочки / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. С. 7-65.

65. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Оборонгиз, 1941.

66. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

67. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

68. Synge J.L., Chien W.Z. The intrinsic theory of elastic shells and plates // Appl. Mechanics / Karman Anniv. Volume. Calif., 1941. P. 103-120.

69. Галимов К.З. Общая теория упругих оболочек при конечных перемещениях // Известия Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.~ мат. и техн. наук. 1950. № 2. С. 3-38.

70. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях и деформациях // Прикл. математика и механика. 1951. Т. 15, № 6. С. 723-742.

71. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957.

72. Галимов К.З. Основы нелинейной теории упругих оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975.

73. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояний равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // Прикл. математика и механика. 1949. Т. 13, № 1. С. 95-106.

74. Алумяэ Н.А. О представлении основных соотношений нелинейной теории оболочек // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, № 1. С. 136-139.

75. Шкутин Л.И. Векторные уравнения совместности нелинейных деформаций оболочки // Динамика сплошной среды: Сб.науч.тр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики, 1976. Вып. 25. С. 133-136.

76. Шкутин Л.И. Смешанное вариационное уравнение для сильно деформируемых оболочек // Динамика сплошной среды: Сб.науч.тр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики, 1976. Вып. 26. С. 148— 153.

77. Шкутин Л.И. Оптимальный вариант теории нелинейного деформирования тонких оболочек // 11-я Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин: Тез. докладов. М., 1977. С. 61.

78. Шкутин Л.И. Кинематика и статика тонких оболочек при произвольных поворотах // Механика деформируемого твердого тела: Межвуз. сб./ Куйбышев: Изд-во Куйбышев, ун-та, 1977. С. 94-103.

79. Pietraszkiewicz W. Introduction to the non-linear theory of shells // Mitteilungen Inst. Mech. № 10. Bochum: Ruhr-Univ., 1977.

80. Pietraszkiewicz W. Geometrically non-linear theories of thin elastic shells // Mitteilungen Inst. Mech. № 55. Bochum: Ruhr-Univ., 1988.

81. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек // Известия АН СССР. Мех. тверд, тела. 1980. № 2. С. 148-159.

82. Green А.Е., Naghdi P.M., Wainwright W.L. A general theory of a Cosserat surface // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 20, № 4. P. 287-308.

83. Green A.E., Naghdi P.M. The Cosserat surface // Proc. IUTAM-Symp. / Ed. E. Kroner. Berlin: Springer-Verlag, 1968. P. 36-48.

84. Simmonds J.G., Danielson D.A. Nonlinear shell theory with a finite rotation vector // Proc. Kon. Nederland. Akad. 1972. B-73, № 5. P. 460-478.

85. Simmonds J.G., Danielson D.A. Nonlinear shell theory with finite rotation and stress-function vector // Trans. ASME. 1972. E-39, № 4. P. 1085-1090.

86. Жилин П.А. Механика деформируемых оснащенных поверхностей // Труды 9-й всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. JL: Судостроение, 1975. С. 48-54.

87. Альтенбах X., Жилин П.А. Общая теория упругих простых оболочек // Успехи механики. 1988. V. 11, № 5. С. 107-148.

88. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины // Доклады АН СССР. 1959. Т. 128, № 6. С. 1144-1147.

89. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Известия АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. Т. 14, № 3. С. 337-344.

90. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Известия АН ССР. Мех. тверд, тела. 1976. № 4. С. 155-166.

91. Pietraszkiewicz W. Finite rotations and Lagrangian description in the nonlinear theory of shells. Warszawa-Poznan: Polish Scientific Publishers, 1979.

92. Петрашкевич В. Некоторые соотношения нелинейной теории оболочек Рейсснера // Вестник Ленингр. ун-та. Матем., мех., астрон. 1979. № 1. С. 115-124.

93. Шкутин Л.И. Нелинейная модель оболочки с недеформируемыми поперечными волокнами // Прикл. механика и техн. физика. 1982. № 1. С. 163-167.

94. Шкутин Л.И. Нелинейная модель оболочки с деформируемыми поперечными волокнами // Прикл. механика и техн. физика. 1984. № 1. С. 168-174.

95. Shkutin L.I. Cosserats type models and analysis of thin bodies finite bendings // Modelling of shells with nonlinear behaviour: Extended abstracts of Europ. Mech. Colloq. 292. Munich: TU, 1992. Lecture 4.

96. Шкутин JI.И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел // Прикл. механика и техн. физика. 1996. Т. 37, № 3. С. 120-132.

97. Шкутин Л.И., Головина Л.Г. Двойная аппроксимация конечных деформаций оболочки // Прикл. механика и техн. физика. 1996. Т. 37, № 3. С. 145-150.

98. Шкутин Л.И. Нелинейные модели деформации тонких тел // Ма-тем. модели и числ. методы механики сплошных сред: Тез. докладов. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1996. С. 521-522.

99. Шкутин Л.И. Инкрементальные модели деформации тонких тел // Веесиб. чтения по математике и механике / Междунар. конференция 1997 г.: Тез. докладов. Т. 2. Томск: ТГУ, 1997. С. 232-233.

100. Шкутин Л.И. Инкрементальная модель деформации стержня // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, № 4. С. 229-235.

101. Шкутин Л.И. Инкрементальная модель деформации оболочки // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, № 5. С. 202-207.

102. Mises R. Uber die Stabilitatsprobleme der Elastizitatstheorie// ZAMM. 1923. V. 3. S. 406-462.

103. Biezeno C.B. Uber die Bestimmung der "Durchschlagkraft" einer schwach-gekrummten, kreisformigen Platte // ZAMM. 1935. B. 15. S. 10-22.

104. Timoshenko S.P. Buckling of flat curved bars and slightly curved plates // Trans. ASME. 1935. E-2. P. 17-20.

105. Timoshenko S.P. Theory of elastic stability. N.Y., 1936.

106. Karman Т., Tsien H.S. The buckling of spherical shells on external pressure // J. Aeron. Sci. 1939. V. 7. P. 43-50.4

107. Marguerre K. Zur Theorie der gekriimmten Platte grofier Formanderung // Proc. 5-th Intern. Congr. Appl. Mech. (Cambridge, Mass., 1938). N.J.: J. Willey & Son, 1939. P. 93-101.100101102103104105106107108109,110.111.112.113.

108. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963.

109. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964.

110. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Изд-во Саратов, ун-та, 1975.

111. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976.

112. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

113. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1982.

114. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986.

115. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987.

116. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

117. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. 1949. Т. 64, № 6. С. 779-782.

118. Thurston G.A. A numerical solution of the nonlinear equations for axi-symmetrical bending of shallow spherical shells // Trans.ASME. 1961. E-28, № 4. P. 551-562.

119. Петров В.В. Исследование конечных прогибов пластинок и пологих оболочек методом последовательных нагружений // Теория пластин и оболочек: Тр. 2-й Всесоюз. конф. Киев, 1962.

120. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27, № 2. С. 265-274.

121. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29, № 5. С. 894-901.

122. Шкутин Л.И. Определение критической величины давления для пологих конических оболочек // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. С. 849-852.

123. Шкутин Л.И., Шубин И.А. Экспериментальное исследование устойчивости пологих конических оболочек при статическом нагру-жении давлением // Прикл. механика / АН УССР, 1966. Т. 2, № 6. С. 63-70.

124. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Инженерный журнал. Мех. тверд, тела. 1968. JV® 1.

125. Астрахарчик С.В. Метод решения задач большого изгиба тонких упругих стержней и пластин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики, 1977. Вып. 28. С. 14-29.

126. Riks Е. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems // Intern. J. Solids Struct. 1979. V. 15. P. 529-551.

127. Wang C.Y. Buckling and postbuckling of a long-hanging elastic column due to a bottom load // Trans.ASME. 1983. E-50, № 2. P. 311-314.

128. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. О численном решении задач нелинейного изгиба плоских стержней // Прикл. механика / АН УССР, 1986. № 10. С. 91-98.

129. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Анализ деформаций оболочек при произвольных перемещениях методом конечных элементов // Известия АН ССР. Мех. тверд, тела. 1987. № 1. С. 131-138.

130. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Иванова О.Н. Вычисление плоских равновесных форм тонких стержней методом самоуравновешенных невязок // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, № 2. С. 142-151.

131. Иванов Г.В., Иванова О.Н. Вычисление пространственных равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, № 4. С. 130-136.

132. Иванов Г.В., Иванова О.Н. Численное решение нелинейных задач о пространственных формах равновесия тонких упругих стержней // Прикл. механика и техн. физика. 1995. Т. 36, № 5. С. 105-112.

133. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней // Прикл. мех. и техн. физика. 1998. Т. 39, N0- 2. С. 141-149.

134. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Анализ нелинейных решений со многими особыми точками в задачах пространственного деформирования стержней // Прикл. мех. и техн. физика. 1998. Т. 39, № 6. С.148-153.

135. Кузнецов В.В., Левяков С.В. О вторичной потере устойчивости эйлерова стержня // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, № 6. С. 184-185.

136. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Эластика эйлерова стержня с защемленными концами // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, № 3. С. 184-186.

137. Шкутин Л.И. Моделирование деформаций стержневых элементов // 3-й Сибир. конгресс по прикл. и индустр. математике: Тез. докладов. Ч. 3. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1998. С. 24-25.

138. Вогульский И.О., Шкутин Л.И. Численный анализ нелинейной краевой задачи плоской деформации стержня // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1999. Вып. 114. С. 140-141.

139. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней // 4-й Сибир. конгресс по прикл. и индустр. математике: Тез. докладов. Ч. 2. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2000. С. 69-70.

140. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 2. С. 141-147.

141. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба арок // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 4. С. 155-160.

142. Шкутин Л.И. Численный анализ нелинейных задач изгиба конических оболочек // Математические модели и методы их исследования: Тр. междунар. конф. / Красноярск: Ин-т вычислительного моделирования СО РАН, 2001. С. 283-285.

143. Шкутин Л.И. Численный анализ нелинейных краевых задач осе-симметричного выпучивания оболочек // Вычислительные технологии / Ин-т вычислительных технологий СО РАН, 2001. Т. 6. Спец. вып., ч. 2.

144. Шкутин Л.И. Численный анализ осесимметричных форм выпучивания конических оболочек // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 6. С. 159-165.с (1рОССИ!">ЯКЛЯ БИБЛИОТЕКАiO?se -Я-02