Деформация и переменное нагружение упругопластических оболочек с учетом геометрической нелинейности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННОЕ НАГРУЖЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ

ДЕФОРМИРОВАНИИ

§ 1. Вывод физических соотношений при знакопеременном нагружении оболочек вращения

§ 2. Случай несжимаемости материала оболочки

§ 3. Постановка задачи о знак one ременном нагружении оболочек вращения

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТИПА УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИ

РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

§ 1. Методы установления и решение задач в конечных разностях.

§ 2, Сходимость метода Ричардсона при однократном и знакопеременном нагружениях

§ 3. О сходимости метода "динамическая релаксация" для тонких упругих оболочек

Глава 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК

ВРАЩЕНИЯ

§ 1. Применение метода конечных разностей и сравнение решений. '

§ 2. Решение задач с учетом сжимаемости материала.

§ 3. Знакопеременное нагружение цилиндрической оболочки с учетом деформации, возникшей перед началом разгрузки

§ 4. Влияние геометрической нелинейности на знакопеременное нагружение пластинки и конуса с подкрепляющим кольцом

- 3

Тонкостенные конструкции находят широкое применение в различных областях техники: машиностроении, авиастроении, судостроении, ракетостроении, строительстве. Многие из них работают в условиях, когда внешние силы прикладываются многократно, в том числе с изменением знака. Расчет на прочность в этом случае отличается от случая однократного нагруяения. Развитие науки и техники непрерывно выдвигает новые сложные задачи в области расчета этих конструкций, предъявляет высокие требования к точности расчетов, требуя учета нелинейных факторов геометрического или физического характера, при воздействии на конструкцию достаточно больших нагрузок. В некоторых случаях это вызвано видом самих конструкций, в которых могут возникать большие или конечные перемещения или деформации.

В то же время при проектировании легких и надежных конструкций следует учитывать реальные свойства материалов, в том числе деформаций пластичности, ползучести, вязкоупругости и т.д.

Отмеченные выше факторы приводят к необходимости совершенствования методов расчета тонкостенных конструкций. Учет нелинейных факторов как геометрического или физического характера, так и совместный их учет привели к изучению нелинейных проблем механики деформируемых тел, в том числе и решению нелинейных задач теории тонких оболочек.

В этих случаях возникают огромные математические трудности для решения важных практических задач, и, вероятно, они не могут быть решены классическими методами. В настоящее время использование ЭВМ и развитие общих методов дискретизации, таких, как метод конечных разностей, метод численного интегрирования и метод конечных элементов, сделали возможным численное решение проблемы.

Представляется возможным выделить четыре класса важнейших задач при решении проблемы: линейные (физически и геометрически), геометрически нелинейные (физически линейные), физически нелинейные (геометрически линейные), геометрически и физически нелинейные.

В развитии как линейной, так и нелинейной теорий оболочек большие заслуги принадлежат советским ученым. Геометрически нелинейной теории оболочек и методам решения нелинейных задач статики тонких оболочек посвящены многие монографии. Среди них работы Х.М.ЭДуштари, К.-З.Галимова [44] , К.З.Галимова £1бЗ *, В.В.Новожилова [46] , А.С.Вольмира [И] , М.С.Корнишина [32] , В.В.Петрова [50] , Н.В.Валишвили [10] , Э.Л.Аксельрода [2] и др. Известны многие зарубежные монографии, касающиеся этих же вопросов, например, работы А.Лява [37] , Р.Саусвелла [54] ,

A.Грина и Дж.Адкинса [24] и многие другие. Большое развитие получила геометрически нелинейная теория в работах теоретического и прикладного характера советских ученых Д.Ю.Панова [49] ,

B.И.Феодосьева [54] , Л.Я.Айнолы [l] , В.И.Усюкина [63] , Н.А.Алумяэ [4] , И.И.ВороЕича и Н.М.Минаковой [14] , И.Д.Гер-лаку, В.П.Морара и Д.И.Шилькрута [17] , Э.И.Григолюка и В.И.Мамая [22] , Э.И.Григолюка, В.й.Мамая и А.Н.Фролова [23] , В.В.Гайдайчука, Е.А.Гоиуляка и В.И.Гуляева [15] , М.С.Корнишина и Ф.С.Иеанбаевой [33] , Л.С.Срубщика [56] , А.В.Коровайцева [34] , А.А.Шаповалова [71] , Д.И.Шилькрута [73] и др. Много работ в этом направлении выполнено за рубежом. Назовем только некоторые из них статьи Э.Рейсснера [86,87] для больших осесим-метричных перемещений оболочек и [88] для уравнений на большие деформации, а также К.Маргерра 83 , Дж.Одена [84] , А.Калнинса [80] , В.Олмроса и Д.Бушнелла [77] , Дж.Стриклина [90] , Е.Попова и С.Ягхмаи [94] , В.Хайслера [79] и др.

Учет}' физической нелинейности материала оболочек посвящены монографии А.А.Ильюшина [28] , А.А.Ильюшина и Б.Е.Побед-ри [29] , Ю.Н.Работнова [51] , В.В.Москвитина [40] , В.И.Королева [35] , И.А.Зиргера [7] , А.Г.Угодчикова и Ю. Г.Коротких [62] , Н.Н.Малинина [38] , И.И.Гольденблата [5] , в которых рассматриваются не только теоретические вопросы, но и методы решения и их приложения к решению задач статики тонких оболочек.

Большой интерес представляет совместный учет нелинейных факторов. Среди этих работ можно выделить работы советских и зарубежных ученых: А.В.Кармишина, В.А.Лясковца, В.И.Мячен-кова и А.Н.Фролова [30] , Н.И.Дедова, М.С.Корнишина, Н.Н.Столярова [27] , А.Н.Фролова 66 , И.В.Ширко и В.Л.Якушева [74], И.С.Чернышенко 63 , В.Ф.Терентьева [61] , А.П.Господарикова [20] , А.С.Юдина [76] , И.И.Воровича и Н.И.Минаковой [14] , С.А.Алексеева [3] , П.Маркола [81] , Дж.Стриклина, В.Хайслера и В.Ван Ршзмана [91] и др.

Известны монографии и работы, изданные в Советском Союзе и за рубежом, в которых изучались переменные нагружения за пределом упругости и в которых учитывались реальные свойства материалов. Классическая теория упругости не различает случаи первого или последующего нагружения, если исключается наличие всякого рода начальных напряжений. То же самое показывают эксперименты, в том случае, когда число нагружений не очень велико. Если при первом нагружении во всем теле или в его некоторых областях возникли пластические деформации, то после удаления внешних сил в нем возникнут определенные остаточные деформации и напряжения. При последующем нагружении произвольной системой сил тело будет вести себя иначе, чем в случае его нагружения из исходного состояния. Гипотезы, позволяющие построить зависимости между напряжениями и деформациями при переменных нагружениях, предлагались известными зарубежными и советскими экспериментаторами: Г.Мазингом [82] , Х.Шойи [92], Р.Вулли [93] , А.П.Гусенковым и Р.МЛнейдеровичем [2о] и др. Здесь же следует отметить результаты, в которых теория переменных нагружений получила свое дальнейшее развитие, изложенные в монографиях В.В.Москвитина [40,4l] , Р.М.Шнейдеровича [75] . С.В.Серенсена [55] , И.А.Одинга 143] , Д.А.Гохфельда [21] , С. Мэн с она [45] , В.А.Стрижало [57] , Ю.Н. Шевченко [72], а также отдельные работы И.С.Чернышенко Г.К.Шаршукова [70] , В.И.Берлянда [б] , В.В.Москвитина и С.й.Тараканова [42] , У.С.Саидкаримова и В.А.Толока [52] , С.И.Тараканова [58,60] и др.

Важное значение имеет также решение вопросов применимости и сходимости конкретных методов, используемых при решении задач. Результаты исследований в этой области, относящиеся к использованию метода упругих решений, даны в работах И.й.Ворови-ча, Ю.П.Краеовского [12] , Д.Л.Выкова И . 3 последней работе, кроме того, доказывается сходимость метода переменных параметров упругости. Указывается преимущество одних методов перед другими. Анализируются достаточные условия сходимости различных процессов последовательных приближений. В работе А.Городецкого [19] дано доказательство сходимости метода последовательных приближений для одного класса циклических нагружений. В работах Т.(^.Красовской [Зб] и С.И.Тараканова [59] рассмотрен вопрос о применении методов установления к решению статических задач.

В работе, в рамках теории малых упругопластических деформаций Ильюшина, уточненной В.В.Москвитиным для переменных нагружений, получены новые физические соотношения для оболочек вращения, находящихся под действием осесимметричных нагрузок для случая знакопеременного нагружения. Разработан эффективный численный метод решения таких задач с учетом геометрической нелинейности и физической неоднородности материала. При решении конкретных задач с использованием ЭВМ представляется возможным проследить за изменением физического состояния в окрестности точки при знакопеременном нагружении независимо от того, в каком физическом состоянии (упругом или пластическом) находилась окрестность данной точки перед началом разгрузки. Новыми являются также доказательства сходимости методов типа установления, один из которых, метод "динамическая релаксация", применяется в данной работе.

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

- физические соотношения нелинейной теории тонких оболочек при знакопеременном нагружении в рамках гипотез Кирхгофа-Лява;

- разработка эффективного численного метода решения нелинейных задач, учитывающих физическую и различные виды геометрической нелинейноетей, при однократном и знакопеременном нагружениях;

- сходимость методов типа установления, в которых применяются аналитические доказательства;

- выявление нелинейных факторов при знакопеременном нагружении;

- результаты решения конкретных задач.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, сводятся к следующему:

1. На основе теории малых упругопластических деформаций дана постановка задачи о знакопеременном нагружении оболочек вращения, находящихся в условиях осесимметричного деформирования. В физических соотношениях учтены зависимость предела текучести от степени деформации в момент начала разгрузки и наличие сохранившихся в тот же момент упругих областей. При этом использованы геометрически нелинейные уравнения.

2. Исследованы некоторые вопросы сходимости методов типа установления в рамках геометрически линейной теории, а именно: доказана сходимость метода Ричардсона решения задач о равновесии упругопластических тел при активном знакопеременном нагружении и упругопластических оболочек нулевой гауссовой кривизны, материал которых несжимаем, при активном однократном нагружении; доказана сходимость метода "динамическая релаксация" решения задач равновесия упругих оболочек.

3. Составлен алгоритм решения задач об определении напряженно-деформированного состояния оболочек, основанный на сочетании методов "динамическая релаксация" и конечных разностей, который реализован в вычислительных программах для ЭВМ типа 8ЭСМ-6.

4. Получены результаты численного решения задач о знакопеременном нагружении цилиндрической оболочки, круглой пластинки и конуса с подкрепляющим кольцом в указанной постановке.

- 121 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аинола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек. Изв. АН ЭССР, серия физ.-мат. и техн. наук, 1965, т. 14, Ш 3, с. 337-344.

2. Аксельрад Э.Л. Гибкие оболочки. М., Наука, 1976. 376 с.

3. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек. В сб. "Расчет пространственных конструкций", в. 11, Стройиздат, М., 1953, с. 5-37.

4. Алумяэ Н.А. К теории осесимметричной деформации оболочек вращения при конечных перемещениях. ГШ, 1952, т. 16, № 4, с. 419-428.

5. Везухов Н.И., Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Николаенко Н.А., Синюков A.M. Расчеты на прочность, устойчивость и колебанияв условиях высоких температур. М., Изд-во "Машиностроение", 1965. 568 с.

6. Зыков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности. Упругость, неупругость, 1975, 4, с. 119-139.

7. Валишвили Н.В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых задач. ПММ, 1968, т. 32, i? 6, с. 1089-1091.

8. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., "Машиностроение", 1976. 278 с.

9. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М., ГТИ, 1956.420 с.

10. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений. ДАН СССР, 1959, 126, В 4, с. 740-743.

11. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши. ПММ, 1955, т. 29, Ш 5, с. 894-901.

12. Ворович И.И., Минакова Н.И. Уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния непологой сферической оболочки из нелинейно-упругого материала при больших деформациях. ГШ, 1973, т. 37, i 5, с. 934-939.

13. Гайдайчук В.В., Гоцуляк S.A., Гуляев В.И. Нелинейная устойчивость тороидальных оболочек переменной толщины при действии внешнего давления. МТТ, 1978, 5 3, с. 107-113.

14. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Изд-во Казанск. ун-та, 1975. 325 с.

15. Герлаку И.Д., Морар В.П., Шилькрут Д.И. Осесимметричные нелинейные упругие деформации тонких непологих оболочек вращения. В кн. Труды УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1969. М., Наука, 1970, с. 172-176.

16. Голда Ю.Л., Преображенский И.Н., Тараканов С.И. К вопросу расчета гибких оболочек вращения. Проблемы прочности, 1981, Я 12, с. 75-78.

17. Городецкий А.В. 0 сходимости методов последовательных приближений в случае одного класса сложного переменного нагружения. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 1980, Р 4, с. 62-65.

18. Гохфельд Д.А. Несущая способность конструкций в условиях теплосмен. М., Машиностроение, 1970. 259 с.

19. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Об одном варианте уравнений теории конечных перемещений непологих оболочек. Прикл. мех., 1974, т. 10, £ 2, с. 3-13.

20. Григолюк Э.И., Мамай В.й., Фролов А.Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек на основе различных уравнений теории оболочек. М'ТТ, 1972, Р 5, с. 154-165.

21. Грин А., Адкинс Дж. Золыпие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., Мир, 1955, 455 с.

22. Гусенков А.П., Москвитин Г.В. Анализ некоторых подходов к описанию циклических диаграмм деформирования. Машиноведение, 1973, £ 4, с. 59-67.

23. Гусенков А.П.,, Шнейдерович P.M. Особенности циклического упругопластического деформирования при повышенных температурах. Машиноведение, 1965, Р 1, с. 85-90.

24. Дедов Н.И., Корнишин М.С., Столяров Н.Н. Изгиб прямоугольных в плане гибких пластин и пологих оболочек из нелинейного упругого сжимаемого материала. В сб. "Теория оболочек и пластин." М., Наука, 1973, с. 284-287.

25. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л., Гостехиздат, 1948. 376 с.

26. Ильюшин А.А., Победря З.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., Наука, 1970. 280 с.

27. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., Машиностроение, 1975. 376 с.

28. Кассель А.Ц., Хоббс Р.Е. Динамическая релаксация. В сб. "Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ'.' Л., Судостроение, 1974, т. 2, с. 259-274.

29. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., Наука, 1934. -192 с.

30. Корнишин М.С., Исанбаева 'Г.С. Гибкие пластины и панели. М., Наука, 1968. 230 с.

31. Коровайцев А.В. Параметрический анализ оболочек вращения при больших перемещениях. Известия вузов. Машиностроение, 1979, S3 2, с. 5-9.

32. Королев В.И. Упруго-пластические деформации оболочек. М., Машиностроение, 1971. 303 с.

33. Красовская Т.Ф. Применение динамических методов к решению статических задач. В кн. "Проблемы механики твердого деформируемого тела." JI., Судостроение, 1970, с. 225-230.

34. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, М.-Л., 1935,574 с.

35. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., Машиностроение, 1958. 400 с.

36. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., Наука, 1958,575 с.

37. Москвитин В.З. Пластичность при переменных нагружениях. М., йзд-во МГУ, 1955. 264 с.

38. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М., Наука, 1981. 344 с.

39. Москвитин В.В., Тараканов С.И. Некоторые вопросы деформирования упругопластических тел при переменном нагружении. 1У Всес. симпозиум. Малоцикловая усталость механика разрушения, живучесть и материалоемкость конструкций. Краснодар, 1983, с. 135.

40. Мосолов П.П., Мясников В.П. 0 корректности краевых задач в механике сплошных сред. В кн. Матем. сб., 1972, 88, 13 2,с. 256-267.

41. Муштари л.М., Галимов К.-З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957. 430 с.

42. Мэнсон С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. М., Машиностроение, 1974. 344 с.

43. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JI., Судпромгиз, 1951.— 344 с.

44. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М., Изд-во МГУ, 1935. 695 с.

45. Одинг И.А. Допускаемые напряжения в машиностроении и циклическая прочность металлов. М., Машгиз, 1962. 280 с.

46. Панов Д.Ю. О больших прогибах круглых мембран со слабым гофром. ПММ, 1941, т. 5, вып. 2, с. 303-318.

47. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов, Изд-во Саратовск. ун-та, 1975. 120 с.

48. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М., Наука, 1988. 752 с.

49. Саидкаримов У.С., Толок В.А. Упруго-пластический расчет тонких цилиндрических оболочек при циклическом нагружении. Прикл. механика, 1972, 8, S 7, с. 15-18.

50. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971. 552 с.

51. Саусвелл Р. Введение в теорию упругости. Для инженеров и физиков. М., гос. изд. иностр. лит., 1948. 675 с.

52. Серенсен С.В., Шнейдерович P.M., Махутов Н.А., Дверес М.Н., Левин О.А., Махненко В.И., Петушков В.А. Поля деформаций при малоцикловом нагружении. М., Наука, 1979. 277 с.

53. Срубщик Л.С. О разрешимости нелинейных уравнений Рейсснера для непологих симметрично загруженных оболочек вращения. ПММ, 1968, т. 32, вып. 2, с. 328-332.

54. Стрижало В.А. Циклическая прочность и ползучесть металлов при малоцикловом нагружении в условиях низких и высоких температур. Киев, Наукова думка, 1978. 238 с.

55. Тараканов С.И. О переменном нагружении упруго-пластических оболочек вращения. Рукопись деп. в ВИНИТИ. М., 1982, 401582. 13 с.

56. Тараканов С.И. 0 сходимости метода Ричардсона в задачах нелинейной теории упругости. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 1983, Р 1, с. 92-95.

57. Тараканов С.И. Знакопеременное нагружение упруго-пластических оболочек вращения с учетом нелинейных факторов. Актуальные проблемы механики оболочек. (Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов), Казань, 1983, с. 20S.

58. Терентьев В.Ф. 0 расчете осесимметричной деформации оболочек вращения из нелинейно-упругого материала с учетом изменения формы срединной поверхности. Известия ВНИИГ, 1959, т. 91, с. 239-253.

59. Угодчиков А.Г., Коротких Ю.Г. Некоторые методы решения на ЭВМ физически нелинейных задач теории пластин и оболочек. К., Наукова думка, 1971. 219 с.

60. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек. МТТ, 1975, £ 1, с. 70-75.

61. Феодосьев В.И. 0 больших прогибах круглой мембраны. ПММ, 1945, т. 9, В 5, с. 389-412.

62. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем. ПММ, 1953, т. 27, вып.2, с. 255-274.

63. Фролов А.Н. Нелинейная деформация оболочек вращения. Изв. АН СССР. МТТ, 1975, Р 5, с. 103-109.

64. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. К., Техника, 1976, 178 с.

65. Чернышенко И.С. Осесимметричное упруго-пластическое состояние сферической оболочки, ослабленной отверстием, при конечных прогибах. В кн. Теория оболочек и пластин. М., Наука, 1956, с. 895-899.

66. Чернышенко И.С., Макаренков А.Г. Исследование упругопласти-ческого состояния оболочек вращения при переменном коэффициенте поперечной деформации. Прикл. механика, 1977, 13,1. Р 3, с. llg-119.

67. Чернышенко И.С., Шаршуков Г.К. К исследованию упруго-пластического состояния оболочек вращения при циклическом нагружении. Проблемы прочности, 1976, Ш 4, с. 99-102.

68. Шаповалов А.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек. МТТ, 1968, % 1, с. 55-62.

69. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. К., Наукова думка, 1970. 287 с.

70. Шилькрут Д.И. и др. Решение задач нелинейной теории оболочек на ЭВМ методом прямого моделирования и на ЦВМ методом непосредственного сведения к задаче Коши. РИО АН МолдССР, Кишинев, 1969, 144 с.

71. Ширко И.В. Якушев B.JI. Физически и геометрически нелинейные задачи деформации оболочек вращения. Изв. АН СССР. МТТ, 1975, Е 8, с. 103-109.

72. ШнейдероЕич P.M. Прочность при статическом и повторноста-тическом нагружениях. М., Машиностроение, 1968.-343 с.

73. Day A.S. An Introduction to Dynamic Relaxation. The Engineer, Jan., 1965.

74. Haisler W.E., Stricklin J.A., Stebbins F.J. Development and Evaluation of Solution Procedures for Geometrically Nonlinear Structural Analysis. AIAA Journal, vol. 10, No. 3. 1972,p. 264-272.

75. Kalnins A., Lestingi J. On Nonlinear Analysis of Elastic Shells of Revolution. J. Appl. Mech., 1967, March, p. 59-64.

76. Marcal P.V. Numerical Analysis of the Elastic-Plastic Behavior of Axisymmetrically Loaded Shells of Revolution. J. Mech. Eng. Sci., 1963, vol. 5, No. 3, p. 232-237.

77. Masing G. Eigenspannungen und Verfestigung beim Messing, Proc. of the 2-nd Internation Congress of Applied Mechanics, Zurich, 1926, p. 332-335.

78. Marguerre K. Zur Theori der gekrummten Platte grosser For-manderung. Jahrbuch 1939 der deutschen Luftfahrtforschung. Bd. 1. Berlin, Adlershof Biicherei, 1939, SS. 413-426.

79. Oden J. Finite Deformations of Elastic Membranes by the Finite Element Method. Inter. J. Sol. Struc., 1967, vol. 1,p. 471-488.

80. Otter J., Cassel A., Hobbs R. Dynamic Relaxation. Proc. Inst. Civ. Eng., 1966, vol. 35 (Dec.), p. 633-656.

81. Reissner E. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution. Proc. Sympos. Appl. Math., 1950, 3.

82. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution. In books Progress in Applied Mechanics. New York, Macmillan Co.j London, Collier-Macmillan Ltd, 1963, p. 171-178.

83. Reissner В. On Finite Symmetrical Strain in Thin Shells of Revolution. J. Appl. Mech., 1972, 39, p. 1137-114-3»

84. Reissner E. Linear and nonlinear theory of shells. Proc. of the Sympos. on Thin Shells Structures, Prentice-Hall, 1972.

85. Stricklin J., Haisler W., MacDougall H., Stebbins ЗГ. Nonlinear Analysis of Shells of Revolution by the Matrix Displacement Method. AIAA Journal, 1968, vol. 6, No. 12,p. 2306-2312.

86. Stricklin J., Haisler W., Von Riesemann W. Evalution of Solution Procedures for Material and Geometrically Nonlinear Structural Analysis. AIAA Journal, 1973, vol. 11, No. 3,p. 292-299.

87. Shoji H. tfber den Bauschingereffekt. Zeitschrift fur Physik, 1928, Bd. 51, SS. 728-730.

88. Way S. Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1934, v. 56, p. 627.

89. Woolley R. The Bauschinger Effect in Some Face-Centred, Bo-dy-Oentred Cubic Metals. Philos. Mag., 1953, vol. 4Л, N0.353, p. 597-618.

90. Yaghmai S., Popov E. Incremental Analysis of Large Deflection of Shells of Revolution. Inter. J. Sol. Struc., 1971, vol. 7, p. 1375-1390.