Применение метода малого параметра и вариационно-разностного метода в задачах изгиба неоднородных пластин с отверстием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1ШСТЕРСТВ0 ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРМЕНИИ

Ереванский государственный университет

на правах рукописи

САРКИСЯН МАРИНЭ АЛЬБЕРТОВНА УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА' МАЛОГО ПАРАМЕТРА И ВАРИАЩОННО-РАЗН0СШ0Г0 МЕТОДА В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЕМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН -1993

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среда Ереванского государственного университета

Научный руководитель - член корр. АН Армении,доктор физико-математических наук.заслуженный деятель науки Армении, профессор САРКИСЯН B.C.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Мовсисян Л.А., кандидат физико-математических наук, профессор Белубекян М.В.

Ведущая организация - Ереванский государственный технический

универоитет

тории N 22 на заседани i5.0I.02 пс

присуждению ученой степени кандидате физико-математических наук е Ереванском государственном университете по адресу: 375049,г.Ереван -49.ул.А.Манукяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Защита состоится

в ауди-

Автореферат разослан

1993г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математичес-

ких наук

Джилавян С.А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В различных отраслях современной техники по тем или иным технологическим, конструктивным, экономическим причинам используются конструкции, состоящие из неоднородных элементов с отверстиями сложных очертаний. Наличие в элементах конструкций вырезов, разрезов, угловых точек отверстий вызывает дополнительные напряжения, особенно резко проявляющиеся в окрестности этих точек. Отверстия становятся источником концентрации напряжений. Мерой такого локального увеличения напряжения является коэффициент концентрации напряжения, определяемый как отношение величины напряжения при наличии концентратора к напряжению в той же точке при отсутствии концентратора.

Такие факторы, как физико-механические свойства материала, неоднородность, нелинейный закон упругости, характер нагрузки, формы конструкции, очертаний и размеры концентратора, наличие подкреплений вокруг отверстий оказывают большое влияние на величину коэффициента концентрации напряжений. Резкое увеличение напряжения имеет место в сравнительно малой зоне около отверстия, но тем не менее концентрация напряжений в окрестности концентратора опасна для прочности конструкций. Таким образом, проблема изучения концентрации напряжения около отверстий как в однородных, так и в неоднородных телах составляет важный класс прикладных задач. Исследованием проблем, связанных с определением коэффициента концентрации напряжения, занимались Гузь А. Е, Калоеров С. А. , Клойзнер С. М., Колчин Г. Б., Космодамиан-ский А. С., Лехнидкий С. Г., Мамриллова А., Меглинский Е Е , Му-схе липши ли Е И., Немиш Ю. Е , Овсепян Л. 0., Пелех В. Л., Савин Г. Е , Сапонджян 0. М., Саркисян Е С., Цурпал И. А., Шерман Д. И. и другие.

Изучение напряженного состояния в пластинах с отверстиями осуществлялось при различных условиях, различными методами.

Реальные материалы обладают определенной неоднородностью (молекулярная структура, отклонения кристалличеокой'решетки, поликристалическая структура технических металлов и сплавов и т. п.). Напряженное состояние пластины с учетом неоднородных

свойств материала, влияние неоднородности материала на концентрацию напряжений исследованы в работах Ломакина В. А., Саркисяна В. С., Когана Б. М., Колчина Г. Б., Мартыновича Т. Л. и других. Неоднородностью обусловлены такие специфические эффекты, как смещение максимума напряжения вглубь от поверхности отверстия, изменение знаков напряжения.

При решении задач неоднородной теории упругости эффективны метод малого параметра и метод возмущений,развитые в работах Саркисяна Е С., Ломакина Е А., Колчина Г. Б. Метод эффективного построения решения граничных задач для некоторого класса многосвязных областей предложен Шерманом Д. И.

Применение аналитических методов решения приводит к необходимости сглаживания углов границ отверстий произвольной .формы, искривлению сторон отверстий. Как нам кажется, при решении задач с особенностями, возникающими в окрестности угловых точек, эффективен вариационно-разностный метод (ВРМ), позволяющий решать подобные задачи без сглаживания углов с учетом особенностей, возникающих в углах, без искажения геометрии контура. Среди многочисленных работ, посвященных разработке математической теории ВРМ, отметим работы Оганесяна Л А., Руховца Л А. работы Деклу Ж., Зенкевича О., Лионса Ж. -Л., Одена Дж., Розина Л. А., Стренга Г., Фикса Дж.

Эффективным приемом работы с особенностями является локальное сгущение сетки. Построению ВРС для краевых задач в областях с негладкими границами, использующих сгущение сетки в окрестности угловых точек, в том числе покоординатное сгущение, посвящены работы Бабушки Й, Волкова Е. А., Оганесяна Л. А., Руховца Л. А., Дадаяна Ю. Г. и других.

Поскольку упомянутые аналитические и численные методы являются приближенными, представляется актуальным при решении задач изгиба неднородных пластин с отверстием произвольной конфигурации применение различных методов и сравнение полученных результатов для выявления эффективного метода решения с учетом возникающих особенностей в угловых точках отверстий. В свете быстродействия современных ЭВМ представляется перспективным вариационно-разностный метод.

Дель работы. Диссертационная работа посвящена решению задач изгиба тонких неоднородных изотропных пластин с отверс-

тием, имеющим квадратную, прямоугольную, треугольную форму. Цель работы заключается: в решении задач изгиба методом малого параметра; в решении задач изгиба вариационно-разностным методом с учетом особенностей, возникающих в угловых точках контура отверстий; в получении удобных формул для определения коэффициента концентрации напряжений около отверстий; в исследовании влияния неоднородности на распределение напряжений около отверстий; в сравнении результатов, полученных методом малого параметра и вариационно-разностным методом.

Новизна работы. В диссертационной работе впервые задача изгиба неоднородной пластины при распределении напряжения около отверстия произвольной формы при соответствующих граничных условиях решена аналитически и вариационно-разностным методом, проведено сравнение результатов. В вариационно-разностном методе используется эрмитово восполнение для прямоугольного элемента в дифференциальных уравнениях четвертого порядка Использовано покоординатное сгущение сетки в окрестности особых точек.

Показана аппроксимация и сходимость функций эрмитова восполнения для прямоугольного элемента. Вариационно-разностный метод применяется с учетом угловых точек. Выведены формулы, с помощью которых определяется коэффициент напряжения для отверстий произвольной формы. Путем расчёта выявлен эффект неоднородности.

Практическая ценность. Исследованные в диссертациионной работе проблемы концентрации напряжений около отверстий различной формы, найдут применение при расчетах элементов конструкций, состоящих из неоднородных материалов при различных граничных условиях. Комплекс разработанных программ позволяет существенно облегчить и ускорить решение задачи, а также повысить точность полученных решений. Параметриз ированный характер программ дает возможность проводить практические расчеты для различных материалов, видов отверстий с учетом характера задаваемых граничных условий.

Достоверность. Достоверность полученных результатов основана на корректном применении математического аппарата, в сравнении с известными результатами в некоторых частных случаях. Программы, численно реализующие расчеты при вариационно-разностном методе, прошли проверку на модельных задачах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Вариационно-разност-ные_методы в математической физике" (Москва, 24-26 мая 1983 г.), на И Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван, Цахкадзор, 13-16 ноября 1984 г.), на VII Всесоюзной школе-семинаре "МКЭ в механике деформируемых тел" (Запорожье, 25-28 ноября, 1985 г.), на Республиканской научно-практической конференции по методике преподавания математики и механики в вузе (Ереван, Кировакан, 29-31 мая, 1986 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Усть-Нарва, 15-17 мая, 1987 г.), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Москва, 7-11 сентября, 1987 г.), на Всесоюзной научно-технической конференции "Методы потенциала и.конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" (Киев, 10-11 декабря, 1991 г.). Диссертация в целом доложена и обсуждена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета.

.Публикации. По. материалам диссертационной работы опубликованы 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 239 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко определены цель, характер и актуальность выполненной работы. Приведен краткий обзор работ, связанных с тематикой диссертации, указан круг обсуждаемых вопросов, методы решения исследуемых проблем.

В первой главе рассматриваются основные понятия и соотношения, необходимые для решения задачи изгиба неоднородных изотропных пластин с отверстием методом малого параметра и вариационно-разностным методом с учетом неоднородности.

Первый параграф посвящен выводу основных соотношений и

уравнений теории изгиба для неоднородных изотропных пластин с отверстием произвольной формы, изгибаемых моментами и усилиями, приложенными к ее краю. Необходимые' соотношения выражены в комплексной форме.

Во втором параграфе представлены интегральные уравнения плоской теории упругости для областей с отверстием.

В третьем параграфе, решая задачу об определении напряженного состояния методом малого параметра, осуществляем конформное отображение бесконечной плоскости с произвольным отверстием на бесконечную область с круглым отверстием:

где Р. - действительная величина, характеризующая размеры отверстия; Ь - малый геометрический параметр; - функция, зависящая от формы отверстия.

Предполагается, что материал пластины обладает слабой неоднородностью вида

| £50,(2,2)1«, 0<Ъ<4.

©

4,0'/¿о-п'

где £ - малый физический параметр, характеризующий неоднородность материала-, - характеризует однородный материал, Я - толщина пластины.

Напряженное состояние пластины характеризуется функцией

Решение ищем в виде двойного ряда по малым (физическому и геометрическому) параметрам:

п*( <Г о

оо

КгО '

п" (3)

- \ <

Функция G-nK.CS, ч) определяется из бесконечной системы краевых задач для однородной изотропной бесконечной пластины:

СО1

Ьо ^бД)] ЛА'^к^^-^Д), 6*-,,-, 6Л)]

/, Г 1 - в»^

+ ¿.С* ^ШАЛ^н^З^Д^«^^

<2 -Щ'

4 Ф^» О 7

Полученная реккурентная последовательность краевых задач однородной теории упругости решается с применением -аппарата ин-

тегрального уравнения Шермана-Лауричелла и интеграла типа Коши.

В четвертом параграфе определены граничные условия для областей с отверстием произвольной формы. В пятом параграфе приведены некоторые основные обозначения и соотношения вариационно- разностного метода.

Во второй главе решаются конкретные задачи теории изгиба методом малого параметра. Каждый из четырех параграфов, составляющих вторую главу посвящен одной задаче, а именно: задаче изгиба неоднородной пластины с отверстием, подверженной цилиндрическому изгибу; чистому изгибу на бесконечности для неоднородной пластины с отверстием; рассмотрена неоднородная бесконечная пластина с отверстием в условиях кручения на бесконечности; в четвертой задаче изгибающие моменты распределены равномерно по краю отверстия.

Бри реализации численных расчетов рассматривались пластины с квадратным отверстием, прямоугольным, формы равностороннего треугольника; квадратным отверстием, повернутым на 45 по отношению к осям координат. Функция С^) соответственно имеет вид

¿гл 2 ^ { _ <_ Л_

Щ-Щ-Ц^- -{гщ<* (б)

для квадратного отверстия и т.п. Расчеты осуществлялись при различном количестве членов в функциях . определяется после конформного преобразования как

рф1 £ §> %

Ьо.б', а=о,г5.

Задачи численно реализованы при различных значениях параметра I . Рост параметра I оказывает влияние на картину изменения коэффициентов концентрации К . К примеру, при цилинд-

-Ul-

к

к,

í

Рис.i. Цилиндрический изгиЗ (квадратное огвэрстиэ)

ричееком изгибе, когда в функции берем три слагаемых, увеличение Гот 3 до 10 изменяет К на 27 7, при 8= 0° и на 10 X при 9Особенно эта зависимость проявляется, когда I изме-

-О

няется от 3 до 4: если 0= О , отличие в коэффициентах составляет 20 %; если в-45° - 7 %. Рост параметра I приводит к сужению зоны отрицательных коэффициентов концентрации напряжения.

Таблица 1.

в а - 0,25

$-0 Ь- 0,01 Ь- 0,1 0,2

0 0 0,1573 0,1657 0,2486 0,3547

15" 0,1376 0,1418 0,1852 0,2443

30° 0,0035 0,0119 0,0921 0,1845

45 р 3,0939 3,1867 3,9640 4,3350

60° 1,6839 1,6861 1,7001 1.7047

75" 1,3538 1,3507 1,3149 1,2586

90° 1,2437 1,2436 1,2366 1,2151

Величина коэффициента зависит от радиуса закругления углов. Добавление одного, двух членов ряда1 для функции приво-

дит к изменению значений коэффициентов концентрации напряжений, что особенно ярко выражено в угловых точках, как видно на рис. 1 ( К; - коэффициент концентрации напряжения, когда в функции <|(з) взято I членов ). Увеличение количества членов в функции привносит устойчивость в распределение коэффициентов концентрации напряжения. В таблице 1 представлены коэффициенты концентрации напряжения при различных значениях & . При этом, как видно на рис. 2, происходит перераспределение напряжений около отверстия.

Третья глава посвящена применению вариационно-разностного метода к задачам изгиба неоднородных изотропных пластин с отверстием.

В первом параграфе рассмотрено покоординатное сгущение сетки, позволяющее строить ВРС, имеющие такой же по К (шаг сетки)

порядок, как и БРС в области с гладкой границей. Доказана теорема аппроксимации

.<П (8)

г.4< Тт»

Дана оценка сходимости ВРС. Далее представлено решение вариационно-разностным методом задач, рассмотренных во второй главе. Например, в случае цилиндрического изгиба решаем краевую задачу

О8

~7&Хг

(9)

(10)

8

-0.

в области А с внешней границей I и внутренней границей у , моделирующей бесконечную пластину с отверстием.

оЭнлело г Тело, ^0.1

Рис. 2.

Четвертый параграф посвящен численной реализации ВРМ. Построив систему сеточных уравнений, получаем линейную алгебраическую систему уравнений с симметричной ленточной матрицей. Реше-

-1 ¡3-

ние этой системы, определяет параметры . 0 помо-

щью которых получено приближенное решение задачи (9)-(10) во внутренних точках области:

В таблице 2 представлены сравнительные результаты решения задач изгиба при цилиндрическом изгибе неоднородной изотропной пластины с квадратным отверстием методом малого параметра и вариационно-разностным методом. Для сравнения приведены значения коэффициентов концентрации напряжения, полученные методом малого параметра, когда в функции берем один или три члена ряда. Значения б взяты с учетом узловых точек, используемых в ВРМ. Плотность расположения точек увеличивается при приближении к угловой точке. В угловых точках и их малой окрестности наблюдается рост концентрации напряжения. Вариационно-разностный метод обеспечивает более высокую точность решения задач в угловых точках.

Таблица 2.

е К. ВРМ

0° 0,2384 0,2486 0,2596

18" 0,0773 0,1605 0,1419

33,66° 0,0683 0,2089 0,1256

44,16° 1,7709 2,6354 67,956

44,66° 1,8902 3,0235 111.307

44,9° 1,9441 3,0740 2030,879

45° 1,9668 3,1040 10386,447

45,1° 1,9891 3,1489 2502,721

45,33° 2,0401 3,2081 189,642

45,83° 2,1434 3,4491 24,858

56,33е 2,2877 2,0566 2,3455

72° 1,3557 1,3414 1,3584

90° 1,1850 1,2366 1,2531.

Численная реализация задач, рассмотренных в диссертационной работе, осуществлялась по программам, составленным на алгоритмическом языке РЬ-1 на ЭВМ ЕС-1046.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертационной работе решены задачи изгиба тонких неоднородных изотропных пластин с отверстием разными методами с целью определения эффективного способа решения с учетом возникающих в угловых точках отверстий особенностей: методом малого параметра и вариационно-разностным методом. Проведено сравнение результатов, получены новые оценки коэффициентов концентрации напряжений в зависимости от задаваемых граничных • условий, формы отверстия и степени неоднородности пластины.

2. Метод малого параметра применен при решении задач с квадратным, прямоугольным, треугольным отверстиями,выявлен эффект влияния неоднородности, составляющий 2-24 X в -зависимости от параметра I , от степени отклонения формы отверстия от правильного квадрата, прямоугольника, треугольника.

3. Получены численные результаты, характеризующие зависимость коэффициента концентрации от степени точности задаваемой функции <|(я,) , особенно проявляющейся в угловых точках.

4. Увеличение количества членов в функции <{(%) придает устойчивость характеру распределения коэффициентов концентрации.

5. Выявлена степень зависимости коэффициента концентрации от параметра ( . С постепенным ростом параметра I влияние его на коэффициент концентрации постепенно затухает.

6. Уточнение функции приводит к смещению точки максимального коэффициента концентрации на 1 - 1,5*.

7. Параметр I и точность задания функции оказывает влияние на дипазон распределения отрицательных коэффициентов концентрации напряжения.

8. При решении задач изгиба вариационно-разностным методом применяется покоординатное сгущение сетки в окрестности особых точек, показана аппроксимация и сходимость функций эрмитова восполнения для прямоугольного элемента.

-! П-

9. Путем численного сравнения результатов показано, что вариационно-разностный метод обеспечивает более высокую точность решения задач в угловых точках. При аналитическом решении углы округляются. Использование вариационно-разностного метода позволяет находить решение непосредственно в угловой точке с учетом особенностей. При этом наблюдается резкий рост концентрации напряжений.

10. Разработан комплекс программ на языке Р1Л-1, осуществляющих числовые расчеты для метода малого параметра и вариационно-разностного метода. Высокая эффективность работы программ на ЭВМ доказывает перспективность и практическую ценность применения вариационно-разностного метода при решении поставленных задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Саркисян Е С., Дадаян Ю. Г., Саркисян М. А. Решение вариационно-разностной схемы для одной краевой задачи с особенностями методом переменных направлений. - Сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике. ОВМ АН СССР,

ч. Г| , 1984, с. 196-204.

2.-^Саркисян М.А. Применение вариационно-разностного метода к задаче изгиба прямоугольной ортогропной пластины. - Материалы Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов", Ереван, 1984, т. 3, с. 115-119.

3. Саркисян НА. Об одной задаче теории изгиба неоднородных тонких пластин с прямоугольным отверстием. - Материалы Республиканской научно-практической конференции по методике преподавания математики и механики в вузе. Ереван, 1986,

с. 117.

4. Саркисян В. С., Саркисян М. А. О решении задачи изгиба неоднородных изотропных пластин с отверстием. - Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций", Киев, 1991 , с. 11.

5. Саркисян М. А. О задачах изгиба тонких неоднородных изотропных пластин с отверстием. Ученые записки, т. 1, 1993 (находится в печати).