Устойчивость тонких пластин и оболочек, ослабленных отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УУ461 На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВ Александр Владимирович

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ПЛАСТИН и ОБОЛОЧЕК, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ипя

Санкт-Петербург 2010

004613755

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Смирнов Андрей Леонидович доктор физико-математических наук, профессор Даль Юрий Михайлович (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук Майборода Александр Леонидович (Ш Бо/ИаЬ)

Петербургский государственный университет путей сообщения

Защита состоится ¿¿ОЛ^ИЛ 2010 г. в _^7часов на заседании

совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механиче-ский факультет, ауд. 405. С 1

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « СЬР&кпп 1П Г.

г9

Учёный секретарь совета, доктор физико-математических наук, профессор

Кустова Е. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Обеспечение устойчивости равновесия и несущей способности тонкостенных деформируемых систем, состоящих из пластинок и оболочек, является одной из важнейших задач, решаемых при проектировании летательных аппаратов, конструкций различных машин и несущих инженерных сооружений. В прошлом столетии в этих областях происходило бурное развитие технологий, породив широчайший спектр разнообразных задач. Отсюда возникает повышенный интерес к поведению таких конструкций под действием различных внешних нагрузок. Внимание исследователей в первую очередь обращено на проблемы, имеющие непосредственное практическое значение. При расчёте таких систем возникают вопросы об их прочности и устойчивости в работе, т.к. наличие вырезов может существенно влиять на эти характеристики. Применение метода конечных элементов для моделирования тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, позволяет существенно ускорить экспериментальную часть исследования поведения таких систем. Изучение поведения тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, важно для понимания механизмов взаимодействия отверстий с упругими конструкциями и разработки математических моделей таких конструкций.

Представляет интерес исследование зависимости критических нагрузок и форм потери устойчивости от различных параметров, характеризующих геометрию пластины либо оболочки и свойства материала тонкостенной конструкции, в частности, зависимость критических нагрузок от размера, пропорций и особенности расположения отверстий, а также количества отверстий. Аналитически задача исследования устойчивости упругих тел сводится к решению граничных задач на собственные значения, причём потере устойчивости соответствует наименьшее собственное значение, зависящее от набора

параметров (волновых чисел и т.д.). В связи с наличием отверстий, области, занимаемыми тонкостенными конструкциями, оказываются многосвязными. Исследование поведения собственных чисел операторов, заданных в таких областях, представляет отдельный теоретический интерес.

Цель диссертационной работы заключается в выявлении характера влияния отверстий на устойчивость пластин и оболочек.

Достоверность основных научных положений основана на строгой физической постановке соответствующих задач и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях расчёты по выведенным теоретическим зависимостям были сопоставлены с решениями других авторов и с экспериментальными результатами, подтверждающими достоверность основных положений диссертационной работы.

Научная новизна. Получены новые результаты касающиеся поведения значений критических нагрузок и форм потери устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями, для широкого класса параметров и условий.

Практическая значимость. Полученные результаты могут применяться на практике для оценки прочности и жёсткости пластин и оболочечных конструкций.

Результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Исследовано влияние отверстия на устойчивость тонкой изотропной пластины под действием осевого сжатия. Обнаружено существенное влияние размера отверстия на величины критической нагрузки, зависящее от жёсткости граничных условий на боковых сторонах пластины и пропорций пластины. Основным фактором, влияющим на величину критической нагрузки является интенсивность начальных напряжений в зоне между отверстием и боковой стороной пластины. Изучена зависимость критической нагрузки от пропорций отверстия. При некотором соотно-

шении параметров обнаружен факт роста критической нагрузки при увеличении размера отверстия.

2. Исследована зависимость критической нагрузки для перфорированных пластин и оболочек при разных видах нагружения. Обнаружены так называемые "резонансные" формы пластин и оболочек, при которых критические нагрузки резко уменьшаются.

3. Исследованы ортотропные прямоугольные пластины и цилиндрические оболочки с отверстиями. Обнаружено, что для пластины увеличение жёсткости материала в направлении, нормальном к оси действия сжимающей силы, приводит к увеличению величины критической нагрузки, а на устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки под действием нормального давления существенное влияние оказывает увеличение жёсткости материала в окружном направлении.

Апробация работы. Материалы докладывались на следующих конференциях: Поляховские чтения 2009 [4], 2nd South-East European Conference on Computational Mechanics 2009 [7], IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной механике (ПГУПС, СПб.) [6], городской семинар "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (г. Санкт-Петербург, 2005, 2009 г.г.) [3, 5]. В целом диссертация докладывалась на заседании кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, из них две статьи [1, 2] в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации. В работах [7, 8], написанных в соавторстве, автору принадлежит проведение численных экспериментов и составление соответствующих компьютерных программ. Соавтору A. J1. Смирнову принадлежит общая постановка задачи. В работе [6], написанной в соавторстве, автору принадлежит проведение

численных экспериментов по устойчивости оболочек, соавтору С. Н. Микрю-кову — проведение численных экспериментов, касающихся колебаний оболочек, соавтору А. Л. Смирнову—общая постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, включающего 65 наименований. Работа содержит 113 страниц, 63 рисунка, 4 таблицы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Приведён обзор работ, посвящённых устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями.

Первая глава посвящена исследованию задачи о потери устойчивости тонкой изотропной упругой прямоугольной пластины, ослабленной одним или несколькими отверстиями, подвергнутой сжимающему нагружению, приложенному к торцам пластины. Исследуется влияние геометрических параметров оболочки и отверстия, граничных условий закрепления пластины на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости. Численные значения величины критической нагрузки, полученные путём моделирования пластины с помощью метода конечных элементов в пакете прикладного программного обеспечения ANS YS v.10, сравнивались с результатами, полученными методом Рэлея-Ритца и аналитическими результатами для пластин без отверстия

В первых параграфах главы произведена постановка задачи потери устойчивости однородных пластин, приведено основное уравнение и его решения для прямоугольных и круглых пластин. Рассмотрен метод исследования, ис-

пользуемый для проведения численных экспериментов — метод конечных элементов, описаны общие характеристики конечных элементов, используемых для моделирования пластины.

Параграф 1.3 посвящен численному эксперименту, позволяющему оценить влияние количества конечных элементов модели на точность вычисления величины критической нагрузки, которая сравнивается с известными аналитическими значениями. Далее поставлена задача об устойчивости тонкой прямоугольной пластины, ослабленной отверстием, находящейся под действием осевого сжимающего усилия. Введены безразмерные переменные, возможные типы граничных условий на сторонах пластины и контуре отверстия.

Изложение новых результатов начинается в параграфе 1.5, где исследовано влияние площади одиночного центрального квадратного отверстия на критическую нагрузку пластины под действием осевого сжатия при разных типах граничных условий. Для случая шарнирного опирания боковых сторон пластины и незакреплённых боковых сторон произведено сравнение результатов моделирования с аналитической формулой "приведённой толщины".

В параграфе 1.6. изучено влияние пропорций пластины на величину критической нагрузки. Для однородной пластины обнаружено хорошее совпадение численных и аналитических результатов.

Для пластины с отверстием в зависимости от соотношения сторон пластины г произведено сравнение вычисленной величины критической нагрузки qcr с аналитическими значениями, полученных для пластины без отверстия и с формулой (1), полученной И. Н. Преображенским и имеющей вид:

Ясг = Ъ-тг, (О

где

кх = с - 5*) - £-(2д + ш12ш22 + 2(1 - ц)ард\;

с = > «I = ~ *1; Ъ\ = у2 ~ у 1;

Л = = (а2 +р2)2-,е = тх2ь\р + т22а\а;

/И12 = 51п2ад:1 - $.\п2ах2\тгг - - 5т2/?у2>

где х\,х2,у\ и уг — координаты вершин прямоугольного выреза, Я* = а*Ь* — площадь выреза, £>о — цилиндрическая жёсткость пластины, Б = аЬ — площадь пластины, qx, ду — величины сжимающих усилий, приложенных соответственно к торцам и боковым сторонам пластины, а = пп/а\р = тл/Ь; пит — число полуволн, образующихся в пластинке после потери устойчивости, соответственно вдоль сторон а и Ь.

?сгх1(Гб

Рис. 1. Зависимость величины критической нагрузки для однородной пластины (сплошная линия) и пластины с квадратным отверстием со стороной (1 = 0.1 (пунктир) от соотношения сторон пластины г для разных волновых чисел п.

На рис. 1 произведено сравнение критической нагрузки для пластины с центральным квадратным отверстием со стороной с? = 0.1 и для пластины без

отверстия при различных соотношений сторон пластины г. Наличие отверстия приводит к падению величины критической нагрузки для нечётных волновых чисел п (количество волн в форме потери устойчивости пластины в направлении действия осевой сжимающей силы) и рост для чётных п. Обнаружено, что наличие отверстия в пластине ведёт не только к уменьшению её жёсткости, но и к увеличению начальных напряжений вблизи отверстия, которые тем больше, чем более жёсткие граничные условия заданы на боковых сторонах, что может привести к росту критической нагрузки при увеличении размера отверстия. Заметное влияние на увеличение критической нагрузки оказывает рост коэффициента Пуассона.

Параграфы 1.7-1.8 посвящены вопросам влияния пропорций центрального прямоугольного отверстия и граничных условий на величину критической нагрузки. Оказывается, что увеличение длины отверстия вдоль оси действия сжимающей силы приводит к снижению критической нагрузки, а увеличение длины в поперечном направлении влечёт за собой рост величины критической нагрузки.

Параграф 1.9 посвящен изучению влияния формы и положения отверстия. Показано, что форма отверстия в пластине не оказывает существенного влияния на величину критической нагрузки, хотя для длинных пластин, длина которых троекратно превосходит ширину, критическая нагрузка квадратного отверстия немного превосходит нагрузку для круглого отверстия. Смещение отверстия из центра вдоль оси сжатия пластины приводит к монотонному падению величины критической нагрузки до тех пор, пока отверстие расположено далеко от края пластины. Наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает смещение отверстия к боковым сторонам пластины. В таком случае критическая нагрузка падает быстрее.

В параграфе 1.10 анализируется устойчивость шарнирно опёртой по контуру перфорированной пластины, т.е. ослабленной несколькими отверстиями,

расположенными равноудалённо вдоль средних линий пластины в вертикальном или горизонтальном направлениях. В случае осевой перфорации выявлены "резонансные" значения для числа отверстий, кратного волновому числу формы потери устойчивости. Поперечная перфорация приводит к монотонному уменьшению критической нагрузки при увеличении числа отверстий.

Устойчивость кольцевых пластин исследуется в параграфе 1.11, где изучено влияние размера отверстия на устойчивость кольцевой пластины для граничных условий шарнирного опирания и жёсткой заделки наружных краёв пластины. Исследовано влияние пропорций отверстия в виде эллиптического выреза на устойчивость. Обнаружено, что рост эксцентриситета приводит к увеличению критической нагрузки.

Результаты первой главы (для прямоугольных пластин) опубликованы в работе [2].

Вторая глава посвящена численному исследованию устойчивости прямых круговых цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями. В начале параграфа рассмотрена задача об устойчивости однородной шарнирно опёртой цилиндрической оболочки под действием нормального давления и осевого сжатия. Для первого случая асимптотическая формула критической нагрузки получена Саутуэллом и Папковичем:

где Е — модуль Юнга, V —коэффициент Пуассона для материала оболочки, Ь, Я, И — соответственно её длина, радиус и толщина. Сравнение асимптотических и численных результатов для однородной оболочки выявило их хорошее согласование.

(3)

а для второго — Лоренцем и Типошенко

(4)

Изложение новых результатов начинается в параграфе 2.1, посвященном устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, под действием нормального давления. Изучается влияние площади одиночного квадратного отверстия на устойчивость шарнирно опёртой цилиндрической оболочки, которое приводит к расщеплению кратных критических нагрузок. Сравнение полученных результатов с работами других авторов показало совпадение характера поведения критической нагрузки. Произведён анализ влияния формы отверстия. Выявлено, что для круглого отверстия падение критической нагрузки происходит менее интенсивно, чем в случае квадратного отверстия.

Далее изучается влияние положения отверстия на величину критической нагрузки. Рассматривалось два типа закрепления торцов оболочки — шарнирное опирание и жёсткая заделка. Единственное центральное квадратное отверстие смещалось с центральной параллели цилиндра вдоль его оси к краю. Установлено, что смещение отверстия в осевом направлении не оказывает существенного влияния на величину критической нагрузки. В случае жёсткой заделки краёв оболочки наблюдаются меньшие флуктуации критической нагрузки, по сравнению с шарнирно опёртой оболочкой.

Представлены результаты исследования влияния пропорций центрально расположенного прямоугольного отверстия постоянной площади на величину критической нагрузки. Выявлено, что вытягивание отверстия вдоль параллели приводит к более сильному падению критической нагрузки.

В завершении параграфа 2.1 проведено исследование влияния перфорации на критические нагрузки. Под перфорацией понимается ослабление оболочки несколькими отверстиями, расположенными равномерно на центральной параллели цилиндра. Результаты численных экспериментов приведены на рисунке 2, где изображена зависимость первых двух кратных критических нагрузок от количества отверстий к. Общая площадь отверстий остаётся посто-

Л,/Ло

Рис. 2. Зависимость критической нагрузки Л (сплошная линия —первая кратная нагрузка, пунктир — вторая) от количества отверстий к при общей постоянной площади для шарнир-но опёртой цилиндрической оболочки под действием нормального давления.

янной при изменении к. В узлах указано количество волн в окружном направлении в форме потери устойчивости. Обнаружено сильное влияние взаимодействия отверстий и формы: если волновое число кратно количеству отверстий на оболочке, имеет место максимальное падение величины критической нагрузки и максимальное расхождение значений нагрузок для кратных форм.

Устойчивость цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями, находящихся под действием осевого сжатия рассмотрена в параграфе 2.2. Обнаружено, что при формах потери устойчивости оболочки с небольшим волновым числом в окружном направлении формула Лоренца-Тимошенко (4) имеет существенную погрешность, порядка 10%, поэтому при вычислении критической нагрузки использовалась уточнённая формула (П. Е. Товстик):

^ - Г 4(1+ с*1+пт+п-2)1• (5)

где Лт = тл/Ь. В этом случае расхождение численных и асимптотических

результатов оказалось менее 1%.

Исследована зависимость критической нагрузки от размера единственного квадратного выреза. Обнаружено быстрое падение несущей способности оболочки по мере роста площади отверстия. Появление выреза приводит к локализации формы потери устойчивости в районе отверстия. Показано, что для круглого отверстия падение критической нагрузки происходит менее интенсивно, чем в случае квадратного отверстия, из-за возникновения дополнительных напряжений в углах квадратного выреза.

Произведён анализ влияния пропорций прямоугольного отверстия. Выявлено, что увеличение длины стороны прямоугольника вдоль параллели цилиндра оказывает наибольшее влияние на падение критической нагрузки.

В заключении параграфа 2.2 рассматривается воздействие окружной перфорации на устойчивость цилиндрической оболочки. Отмечена локализация деформаций около отверстий. Показано, что уменьшение площади каждого отверстия, происходящее по мере роста их количества, приводит к росту несущей способности оболочки. Локализация формы потери устойчивости вокруг отверстий препятствует появлению "резонансных" форм, имеющих место в случае нормального давления.

Результаты второй главы опубликованы в работе [3].

В третьей главе исследуется влияние отверстия на устойчивость тонких прямоугольных пластин и цилиндрических оболочек из ортотропных материалов, слабо отличающихся от изотропных.

Аналитическая формула для вычисления величины критической нагрузки ортотропной прямоугольной шарнирно опёртой пластины имеет вид:

,-.13

где Н* = уухБ) 1 + £>11 и Д22 — изгибные жёсткости по главным направлениям, уху, уух — коэффициенты Пуассона по главным направлениям, С —модуль

сдвига.

При рассмотрении ортотропных пластин введён коэффициент е, характеризующий изменение жёсткости пластины в ортогональных направлениях:

где Е0, Уо — постоянные величины. При этом при е = 0 материал пластины является изотропным.

Сравнение численных и аналитических результатов для ортотропных однородных пластин при е = -2... 2 выявило хорошее соответствие.

Далее для ортотропной пластины под действием осевого сжатия исследуется зависимость критической нагрузки от размера отверстия. Отмечено, что по сравнению с аналогичной изотропной пластиной, критическая нагрузка для ортотропной пластины монотонно возрастёт с уменьшением е < 0 и убывает при положительных е, т.е. уменьшение жёсткости в поперечном направлении ведёт к снижению величины критической нагрузки. Показано, что при увеличении отношения сторон пластины более существенное влияние на величину критической нагрузки оказывают свойства материала, а не размер отверстия.

Расчёт устойчивости ортотропной круговой цилиндрической оболочки с отверстием, находящейся под действием нормального давления, приведён в параграфе 3.2. Приближенная формула для критической нагрузки однородной ортотропной цилиндрической оболочки имеет вид:

где Я— радиус оболочки, ¿ — длина, Вх = Ехк — жёсткость на растяжение-сжатие в осевом направлении, Эф — изгибная жёсткость в окружном направлении, А — толщина. Произведено сравнение численных и аналитических результатов

Ех = Е0(1 + \е\Г*пе,Еу = £0(1 + Ехуух = Еууху = Е0у0, в = Е0/(2(\ + у0)),

(7)

(8)

для оболочки без отверстия. Отмечено падение критической нагрузки по мере роста площади отверстия, а также сохранение характера зависимости критической нагрузки от е при различных величинах отверстия.

В заключении главы исследуется влияние свойств ортотропного материала шарнирно опёртой цилиндрической оболочки, ослабленной одним центральным прямоугольным отверстием постоянной площади. Отмечено, что увеличение жёсткости материала в окружном направлении (при постоянном размере отверстия) ведёт к монотонному росту величины критической нагрузки. Взаимодействие отверстия и формы потери устойчивости может привести к резким падениям величины критической нагрузки. Так, при относительно больших площадях отверстия критическая нагрузка оказывается весьма чувствительной к небольшому изменению пропорций отверстия. Результаты третьей главы опубликованы в работе [1]. В Заключении приводятся основные результаты работы.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

[1] Лебедев А. В. Влияние вырезов на устойчивость прямоугольных упругих пластин при осевом сжатии // Вестник Санкт-Петербургского Университета. - 2009. - № 4. - С. 77-83.

[2] Лебедев А. В. Устойчивость пластин, ослабленных отверстиями // Вестник Санкт-Петербургского Университета. — 2009. — № 2. — С. 94-99.

Другие публикации

[3] Лебедев А. В. Устойчивость цилиндрической оболочки, ослабленной отверстиями // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2004-2005 гг. - 2005. - С. 108-126.

[4] Лебедев А. В. Устойчивость пластин и оболочек, ослабленных отверстиями // Межд. Научная конф. по механике. Пятые Поляховские чтения, Тезисы докладов. - СПб: 2009. - С. 171.

[5] Лебедев А. В. Устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных отверстием // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2008-2009 гг. - 2009.- С. 142.

[6] Лебедев А. В., Микрюков С. Н„ Смирнов А. Л. Численный анализ свободных колебаний и устойчивости цилиндрической оболочки с отверстием // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тезисы докладов. — Т. 12.-2005.-С. 162-163.

[7] Smirnov A. L„ Lebedev А. V. Buckling of plates and shells weakened with cut-outs // 2nd South-East European Conference on Computational Mechanics. Book of Abstracts / Ed. by M. Papadrakakis, M. Kojic, V. Papadopoulos. — Zografou Campus, Athens 15780, Greece: 2009.-June. - P. 209.

[8] Smirnov A. L„ Lebedev A. V. Buckling of plates and shells weakened with cut-outs // SEECCM 2009. 2nd South-East European Conference on Computational Mechanics / Ed. by M. Papadrakakis, M. Kojic, V. Papadopoulos. — Athens: Institute of Structural Analysis and Seismic Research, National Technical University of Athens, 2009.—June. — Pp. 1-7.

Подписано в печать 07.10.2010. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ 442

Отпечатано в типографии ООО «Адмирал»

199048, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

Введение

ГЛАВА 1. Устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных отверстиями.

1.1. Задача потери устойчивости однородных пластин.

1.2. Устойчивость прямоугольных пластин с одиночным отверстием.

1.2.1. Численный метод исследования.

1.2.2. Модель рассматриваемой пластины.

1.3. Влияние количества элементов модели на величину критической нагрузки.

1.4. Влияние различных геометрических факторов и граничных условий на устойчивость пластин.

1.5. Влияние площади одиночного центрального квадратного отверстия.

1.6. Влияние пропорций пластины на величину критической нагрузки.

1.6.1. Результаты численного анализа.

1.6.2. Обсуждение результатов.

1.7. Влияние пропорций отверстия.

1.8. Влияние граничных условий на боковых сторонах пластины.

1.9. Влияние формы и положения отверстия.

1.10. Влияние перфорации.1.

1.11. Устойчивость кольцевых пластин.

1.11.1. Потеря устойчивости круглой пластины.

1.11.2. Влияние размера отверстия на устойчивость.

1.11.3. Влияние пропорций отверстия на устойчивость.

Актуальность темы. Обеспечение устойчивости равновесиям несущей способности тонкостенных деформируемых систем, состоящих из. пластинок и оболочек, является одной из важнейших задач, решаемых при проектировании летательных аппаратов, конструкций различных машин и несущих инженерных сооружений. В прошлом столетии в этих областях происходило бурное развитие технологий, породив широчайший спектр разнообразных задач. Отсюда возникает повышенный интерес к поведению таких конструкций под действием различных внешних нагрузок. Внимание исследователей в первую очередь обращено на проблемы, имеющие непосредственное практическое значение. При расчёте таких систем возникают вопросы о их прочности и устойчивости в работе, т.к. наличие вырезов может существенно влиять на эти характеристики. Применение метода конечных элементов для моделирования тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, позволяет существенно ускорить экспериментальную часть исследования поведения таких систем. Изучение поведения тонкостенных деформируемых систем, ослабленных отверстиями, важно для понимания механизмов взаимодействия отверстий с системами, разработки математических моделей, внедрения новых технологий.

Интересна зависимость собственных чисел от различных параметров; характеризующих геометрию пластины либо оболочки- и свойства материала тонкостенной конструкции, в частности, зависимость собственных частот от размера, пропорций и особенности расположения отверстий, а также их числа. Аналитически задача исследования устойчивости упругих тел сводится к решению граничных задач-на собственные значения, причём потери устойчивости соответствует наименьшее собственное значение, зависящее от набора параметров (волновых чисел и т.д.). В связи с наличием отверстий рассматриваемые области оказываются многосвязными. Исследование поведения собственных чисел для таких областей представляет теоретический интерес.

Обзор литературы. Теории устойчивости сплошных пластинок и оболочек посвящено значительное число монографий, опубликованных в России и за рубежом. Назовём, например, работы Н. А. Алфтуова [1], И. Арбопг[3, 51], В. В. Болотина [10, 11], В. 3. Власова [12], А. С. Вольмира [13], И. И. Во-ровича [15], Э. И. Григолюка [17], А. Н. Динника [18], Л. Г. Доннелла [19],

B. Койтера [24, 54], Р. Лоренца [57], X. М. Муштари [34], П. М. Огибало-ва [37], П. Ф. Папковича [38], А. В. Погорелова [39, 40], Э. Рейсннера [42], А. Р. Ржаницина [43], Р. Саусвелла [63], С. П. Тимошенко [45], П. Е. Товсти-ка [46], В. И. Феодосьева [48, 47], В. Флюгге [49].

В литературе имеется большое количество работ, посвященное конкретным задачам и экспериментам, но практически отсутствуют книги, обобщающие накопленные знания по проблемам устойчивости тонких оболочек, ослабленных отверстиями.

В работе И. Н. Преображенского [41] излагаются аналитические, численные и экспериментальные методы определения критических нагрузок тонкостенных конструкций с вырезами, для некоторых случаев выведены окончательные расчётные формулы.

Исследования устойчивости пластин с вырезами. Задача о потере устойчивости свободно опёртой квадратной пластины без отверстия при задании равномерных краевых перемещений в её плоскости исследовалась

C. П. Тимошенко и К. Маргером [45]. Они получили выражение для определения критического перемещения сплошной квадратной пластины.

Устойчивость прямоугольных пластин с вырезами прямоугольной формы. В числе первых публикаций по устойчивости прямоугольных пластин с отверстиями были работы Н. Л. Воробковой [14], основанные на методе конечных разностей, где излагались результаты, полученные для прямоугольных пластин с одним центральным прямоугольным (квадратным) отверстием при различных условиях опирания внешнего и внутреннего контуров.

В монографии [41] рассматривался приближенный метод аналитического решения задачи об упругой устойчивости прямоугольной, сжатой с четырёх сторон, шарнирно опёртой по наружному контуру пластины с центральным прямоугольным неподкреплённым вырезом, свободным от опор. Этот подход, основанный на энергетическом методе, даёт решение задачи в замкнутом виде. Исследование проводится в предположении, что возмущение, вносимое вырезом в докритическое напряжённое состояние, в первом приближении при оценке устойчивости пластины можно не учитывать. Рассматривается случай когда деформации не выходят за пределы упругих, а характер устойчивости — общий, а не локальный. Стороны выреза параллельны сторонам пластины, а постановка задачи — геометрически линейная. Получено уравнение для вычисления критической нагрузки. Было проведено сравнение коэффициента ослабления с работой Г. П. Зиненко [22]. Совпадение результатов удовлетворительное, в пределах 15%.

В отчёте [53] проводится анализ механической и температурной устойчивости прямоугольных пластин с центральным отверстием квадратной либо круглой формы. Методом конечных элементов исследовалось влияние граничных условий, пропорций пластины, размеров отверстия, на устойчивость пластины под действием, осевых сжимающих нагрузок или при нагреве; Моделирование производилось в программном пакете SPAR. Получены, следующие результаты: можно повысить термоустойчивость пластины, увеличивая размер отверстия; устойчивость к нагрузкам также может возрасти с увеличением размера отверстия, но только для определённых условий .закрепления и соотношений сторон пластины; форма потери устойчивости может быть как симметричной, так и антисимметричной, в зависимости от граничных условий, размера отверстия и пропорций пластины; для вырезов одинаковой площади критическая нагрузка для пластины с квадратным отверстием в большинстве случаев незначительно превосходит нагрузку для пластины с круглым вырезом. Отмечается, что представленные результаты и иллюстрации дают важную информацию для эффективного создания аэрокосмических деталей. I

Статья [64] содержит результаты исследования методом конечных элементов устойчивости квадратных пластин, ослабленных квадратным отверстием, под действием одно- и двухосных сжимающих усилий, действующих в срединной плоскости пластины, при различных типах граничных условий. Численные результаты изложены для отверстий размером от 0 до 0,8 стороны пластины. Делается вывод о том, что вырезы имеют существенное влияние на величину критической нагрузки, собственные частоты и формы потери устойчивости. Эффект отверстий возрастает на более высоких модах, из-за возрастающей сложности форм. Замечено, что с увеличением размера отверстия критическая нагрузка падает, кроме случая жёсткой заделки всех краёв, когда критическая нагрузка начинает расти при размере отверстия больше 0,4 стороны пластины.

Устойчивость прямоугольных пластин с вырезами круглой формы.

Одной из первых работ, посвященных исследованию устойчивости прямоугольных пластин с центральным круговым вырезом, была опубликованная в 1947 г. работа С. Леви, Р. М. Воллея и В. Д. Кроля [56]. В ней приведены результаты изучения поведения квадратных пластин с центральным круговым вырезом. Полученные в [56] зависимости были использованы практически лишь в 1951 г. Т. Кумаи [55] для сопоставления со своими опытными и теоретическими данными. Работы [56, 55] посвящены изучению поведения прямоугольных пластин с круговым центральным отверстием в случае равномерного нагружения вдоль двух параллельных противоположных краёв.

Работы А. Л. Шлэка [59, 60] посвящены изучению влияния отдельных членов в функциях, аппроксимирующих перемещения, на окончательное значение критического параметра нагружения. Теоретический анализ А. Л. Шлэк осуществлял на основе энергетического метода (метод Ритца). В результате получено простое аналитическое выражение для определения критического1, параметра.свободно опёртой прямоугольной пластинки, с центральным! круговым отверстием при одноосном равномерном краевом перемещении.

Подобная задача рассматривается, и в работе И. Н. Преображенского [41], решение производится энергетическим методом. Исследуется вклад отдельных членов функций, аппроксимирующих перемещения, в окончательный результат. Методы решения, изложенные в работе [41], сопоставляются с опытными данными и с вычислениями по зависимостям, выведенным другими способами.

Кольцевые пластины. В работе И. А. Биргера [7] приведена формула и график для расчёта критического напряжения для кольцевой пластины, сжатой радиальными усилиями, равномерно распределёнными по внутреннему и наружному контурам. Допустимы следующие граничные условия: жёсткая заделка и шарнирное опирание обоих краёв, жёсткая заделка, или шарнирное опирание внешнего контура при свободном смещении, без поворота, по внутреннему. Приведена зависимость формы потери устойчивости от геометрических характеристик пластины. Критическое значение внешней нагрузки определено приближенным способом с достаточной точностью для практического применения.

Несущая способность кольцевых пластин также рассматривается в книге К. Г. Чижевского [50], где приведены формулы для расчёта жёстких круглых и кольцевых пластин постоянной толщины с осесимметричной нагрузкой. Анализируется большое количество вариантов нагружений и граничных условий. Точность предложенных формул достаточна для инженерных расчётов.

Перфорированные пластины. В [41] рассмотрены прямоугольные пластины с произвольным числом прямоугольных вырезов, а именно, рассматривалась упругая устойчивость перфорированной прямоугольной, шарнирно опёртой по наружному контуру пластины, нагруженной сжимающими усилиями, действующими вдоль меньшей стороны, и сжимающими либо растягивающими усилиями, действующими вдоль большей. Предполагалось, что пластина имеет несколько прямоугольных вырезов, не закреплённых по контуру, ориентированных таким образом, что их стороны параллельны соответствующим сторонам внешнего контура. Реальная пластина заменяется на сплошную модель-аналог, характерный параметр жёсткости которой рассчитывается с учётом размеров вырезов. Изгибная жёсткость считается аналогично. Задача устойчивости перфорированной пластины решается методом Бубнова-Галёркина. Полученные данные сравнивались с результатами, полученными методом конечных разностей [22], и были рекомендованы для практических расчётов. Отмечено, что повышение точности, связанное с увеличением количества рассматриваемых степеней свободы пластины, является незначительным.

Исследования устойчивости оболочек с вырезами.

Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями при осевом сжатии. Работа Ю. Л. Голда, И. Н. Преображенского и В. С. Штукарева [16] посвящена опытному исследованию устойчивости цилиндрических и конических оболочек с одним или двумя отверстиями круговой и квадратной формы при осевом сжатии. При этом рассматривались вопросы влияния формы и величины, а также количества отверстий' на» значение критической нагрузки. В статье изучалась качественная картина потери устойчивости подобных оболочек в зависимости от формы отверстий и размера образцов. Оболочки с отверстиями круговой формы имели диаметр, равный

Рис. 1: Образцы цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия [41].

Рис. 2: Образцы цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия [41]. длине стороны отверстия квадратной формы, что облегчало сопоставление их критических нагрузок и форм волнообразования. Все исследованные цилиндрические образцы теряли устойчивость в области упругих деформаций. Цилиндрические образцы имели одно либо два отверстия круговой формы. Все отверстия располагались в средней части оболочек. Каждое испытание проводилось на трёх моделях разной геометрии.

Нагружение проводилось непрерывно. Момент потери устойчивости определялся визуально и по падению величины осевой нагрузки. Для большинства оболочек такое определение критической нагрузки было сравнительно просто, так как прогиб сопровождался хлопком с образованием ряда вмятин.

В результате проведённого исследования было установлено, что форма потери устойчивости цилиндрических оболочек с одним и двумя отверстиями в зависимости от размеров отверстия имели общий или локальный характер. В случае локальной потери устойчивости вмятины концентрируются у края отверстия и распространяются от него преимущественно в окружном направлении на расстояние, не превышающее двух наибольших размеров отверстия. При этом глубина вмятин, будучи наибольшей у края отверстия, уменьшается по мере удаления от отверстия.

Для образцов с малыми отверстиями критическая нагрузка и форма потери устойчивости в пределах точности эксперимента оказались близкими к критической нагрузке и происходила по форме потери устойчивости без отверстия.

Образцы с большими отверстиями теряли устойчивость лишь в районе отверстия, при этом наблюдались как симметричная, так и антисимметричная относительно вертикальной и горизонтальной осей отверстия (ось оболочки вертикальна) формы потери устойчивости. С увеличением размеров отверстий преимущественно происходила симметричная форма. Такой характер потери устойчивости имел место в оболочках с круговыми и квадратными отверстиями. Качественная картина потери устойчивости образцов с двумя отверстиями соответствующих размеров аналогична качественной картине для оболочек с одним отверстием.

Местная потеря устойчивости оболочек в районе отверстия происходила на участках, границы которых не достигали торцевых шпангоутов, поэтому влиянием последних на величину критической нагрузки можно пренебречь.

Численные результаты, полученные в ходе испытаний были сопоставлены с результатами, полученными исходя из линейной теории. Анализ результатов испытаний, представленных в работе, показывает, что критическая нагрузка не зависит от длины оболочки. Сравнение опытных данных с результатами, полученными Ю. Г. Коноплевым [26], показывает, что степень влияния размеров и формы одинакова независимо от размеров экспериментальных образцов.

Экспериментальное исследование несущей способности цилиндрических оболочек с прямоугольными вырезами при внешнем гидростатическом давлении. Целью работы [2] являлся анализ влияния размеров прямоугольных вырезов (длины и угла раствора) и геометрических параметров оболочки на несущую способность конструкции, а также оценка применимости математической модели оболочки с прямоугольными вырезами, основанная на предположении о её преимущественном изгибе в окружном направлении (рис. 3,4):

Для проведения экспериментов было изготовлено девять серий оболочек, имеющих два диаметрально противоположных симметричных выреза. Толщина и радиус образцов оставались неизменными. В каждую серию входило по три оболочки. На лист наносили развёртку цилиндрической поверхности с прямоугольными вырезами с таким расчётом, чтобы шов совпадал с вертикальной осью одного из отверстий. Такое расположение шва позволило исключить возможность несимметричного характера потери устойчивости конструкции. Развёртку вырезали и концы её соединяли внакладку методом точечной сварки. Отверстия герметизировались тонкой резиновой плёнкой. Все оболочки испытывали в торцовых приспособлениях, обеспечивающих круговую форму торцов, герметичность внутренней полости оболочки и граничные условия, близкие к шарнирному опиранию.

Конструкцию нагружали путём откачки воздуха из внутренней полости с помощью вакуумного насоса. Величина внешнего давления измерялась образцовым вакуумметром. Для предотвращения разгерметизации конструкции вследствие разрыва резиновой плёнки, а также для уменьшения усилий, действующих на оболочку со стороны плёнки, использовалось компенсирующее устройство: Последнее представляло собой цилиндрические панели, расположенные внутри оболочки* напротив вырезов и закреплённые на штоке.

В процессе нагружения производились замеры радиальных перемещений в отдельных точках оболочек индикаторами часового типа. Результаты замеров показали, что наиболее существенный изгиб происходит в зоне, прилегающей к прямолинейному краю выреза. Вплоть до потери устойчивости оболочка плавно деформируется по длине и интенсивно — по направляющей; часть поверхности, находящаяся у криволинейных краёв выреза, деформиру

Рис. 3: Локальная потеря устойчивости оболочки под действием гидростатического давления в работе [2].

Рис. 4: Общая потеря устойчивости оболочки под действием гидростатического давления в работе [2]. ется незначительно. Это свидетельствует о том, что определяющее влияние на поведение конструкции оказывает обобщённый краевой эффект, возникающий у прямолинейных краёв вырезов.

В целом, полученные результаты показывают, что наличие неподкреплён-ных вырезов в цилиндрической оболочке, нагруженной внешнем давлением, существенно понижает несущую способность конструкции, причём определяющее влияние на снижение критических нагрузок оказывают относительные размеры вырезов. Равные вырезы в несколько большей степени снижают относительные критические нагрузки для более длинных оболочек. Сделанные выводы могут быть отнесены и к оболочкам, имеющим слабо подкреплённые вырезы.

Численное исследование устойчивости цилиндрических оболочек с вырезами при осевом сжатии, и внешнем давлении. В статье Ю. Г. Ко-ноплева и А. Л. Тилыпа [25] рассматривалось влияние круговых неподкреп-лённых вырезов на устойчивость цилиндрических оболочек, находящихся под действием внешнего давления, кручения и комбинации этих нагрузок.

Эксперименты показали, что при испытании на устойчивость под действием внешнего давления верхние критические нагрузки в оболочках без отверстия на 3% ниже теоретических. Оболочка переходит в новое состояние хлопком с образованием 6 полуволн в окружном направлении.

Изучение процесса потери устойчивости оболочки, ослабленной круговым отверстием показывает, что у отверстия даже при малых величинах давлений происходят незначительные локальные изменения формы оболочки. Однако, они не вызывают понижения нагрузки. Нагрузка возрастает и потеря устойчивости происходит для малых отверстий хлопком, причём форма волнообразования безразлична к отверстию, т.е. гребень полуволны может быть как у отверстия так и не у него. С увеличением отверстия оно всегда оказывается на гребне. При увеличении отверстия потеря устойчивости начинается с плавного нарастания вмятин справа и слева у отверстия. С увеличением нагрузки прохлопывают другие полуволны.

Сравнивая полученные результаты с данными более ранних работ авторов (подробнее см. [26]), можно сказать, что влияние отверстий при внешнем давлении сказывается в значительно меньшей степени, чем при осевом сжатии. Причём для увеличения деформаций после прогиба требуется увеличивать давление, в то время как при осевом сжатии нарастание деформаций происходит при уменьшающемся усилии.

В работе [26] авторы обобщают все проведённые ранее эксперименты. В этой статье также приведены результаты эксперимента по нагружению осевой силой цилиндрических оболочек. В случае осевого сжатия при потере устойчивости имеет место образование большого количества волн в направлении образующей, что влечёт за собой независимость величины критической нагрузки от граничных условий. Потеря устойчивости оболочки без отверстия происходит хлопком с образованием многочисленных ромбовидных вмятин и

1 • сопровождается* резким^ падением нагрузки. 4

Из полученных зависимостей видно, что даже отверстия малого радиуса вызывают резкое снижение величины критических усилий. Во всех случаях потеря устойчивости оболочкой носит локальный характер и происходит хлопком с образованием двух несимметричных ромбовидных вмятин слева и справа у отверстия. Для отверстий большего радиуса хлопок выражен менее ярко. Падению нагрузки предшествует значительное изменение формы у отверстия, что можно объяснить перераспределением напряжений в зоне отверстия.

Не приводя больше аналитических соотношений, предложенных для определения критических параметров для оболочек с вырезами на основе теоретико-экспериментального метода, следует подчеркнуть, что в настоящее время достаточно полно разработана теория тонких упругих оболочек с малыми вырезами, которая не всегда пригодна для исследования вопросов устойчивости. Ю. А. Ашмарин [5] вывел уравнение упругой устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных относительно большим круговым вырезом. Для этого использовалась полярная полугеодезическая система координат. В уравнениях равновесия были учтены повороты, удлинения и сдвиги. Линеаризация уравнений осуществлялась относительно дополнительных перемещений, причём зависимость тангенциальных деформаций от перемещений предполагалась нелинейной. Аналогичную задачу рассматривали М. В1 Зацепина» и X. С. Хазанов [20, 21]. В работе Ю. А. Ашмарина и А. Н. Гузя [6] приведён обзор свыше 20 публикаций, посвящённых устойчивости оболочек, ослабленных вырезами различной формы. Изучение местной потери устойчивости цилиндрическими оболочками в локальной зоне около выреза при осевом сжатии было проведено Ю. Л. Голда [16]. Им рассмотрены оболочки с вырезами круговой и эллиптической форм. Несколько более полный обзор результатов исследования устойчивости оболочек, с вырезами при различных нагрузках и. формах вырезов можно найти в работе Н. Л; Воробковой и И. Н. Преображенского [14]. .

В монографии [27] с единых методологических позиций делается попытка исследовать задачи устойчивости и колебаний неоднородных пологих оболочек методом Бубнова-Галеркина. Авторами [27] рассматриваются прямоугольные в плане сферические и замкнутые круговые цилиндрические оболочки.

Вопрос устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями, находится на ранней стадии развития. Наиболее хорошо изучены лишь самые простейшие случаи: прямоугольные изотропные пластины с центральными в плоскости вырезами прямоугольной и круглой формы. В случае оболочек — цилиндрические оболочки с центральными вырезами. В результатах исследований различных авторов имеются расхождения.

Наиболее перспективным методом исследования задач устойчивости оболочек с отверстиями является моделирование методом конечных элементов, что, вместе с растущей вычислительной способностью современных ЭВМ, позволит накопить достаточное количество информации о поведении пластин и оболочек при различных условиях. Полученные данные могут стать основой для построения теорий, наиболее точно описывающих устойчивость пластин и оболочек, ослабленных вырезами:

Цель диссертационной работы заключается в выявлении характера влияния отверстий на устойчивость пластин и оболочек.

Структура работы.

Во введении обосновывается актуальность в современной механике задач об устойчивости тонкостенных деформируемых систем. Представлен краткий обзор литературы, связанной с рассматриваемыми в диссертации задачами:

Первая глава посвящена расчётам изотропных тонких прямоугольных и круглых пластин с отверстиями на устойчивость. Рассматриваются пластины находящиеся под действием осевой сжимающей нагрузки, ослабленные одним или несколькими отверстиями, исследуется влияние граничных условий и геометрических факторов, пропорций, формы и положения отверстия на величину критической нагрузки. Производится сравнение полученных в программном пакете А^УЭ численных результатов с асимптотическими и аналитическими решениями.

Во второй главе рассматриваются задачи об устойчивости изотропных тонких прямых цилиндрических оболочек, ослабленных отверстиями под действием внешнего нормального давления и осевого сжатия. Исследуется влияние формы, пропорций, положения на оболочке и размера отверстия на ве личину критической нагрузки. Рассматривается теоретическая постановка вопроса устойчивости оболочек, приводятся некоторые асимптотические формулы. Сделан обзор работ, с которыми проводилось сравнение полученных МКЭ численных результатов.

Третья глава содержит исследования устойчивости ортотропных тонких прямоугольных пластин, нагруженных осевой сжимающей силой и изотропных тонких прямых цилиндрических оболочек, под действием внешнего нормального давления. Пластины и оболочки ослабленных единственным отверстием прямоугольной формы. Численно исследуется влияние свойств материала и геометрических характеристик выреза на величину критической нагрузки.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялся метод конечных элементов реализованный в пакете программного обеспечения А^УБ уЮ.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Исследовано влияние выреза на устойчивость тонкой изотропной пластины под действием осевого сжатия. Обнаружено существенное влияние размера отверстия на величины критической нагрузки, зависящее от жёсткости граничных условий на боковых сторонах пластины и пропорций пластины. Основным фактором, влияющим на величину критической нагрузки является интенсивность начальных напряжений в зоне между отверстием и боковой стороной пластины. Изучена зависимость критической нагрузки от пропорций отверстия. При некотором соотношении параметров обнаружен факт роста критической нагрузки при увеличении размера отверстия.

2. Исследована зависимость критической нагрузки для перфорированной пластины под действием осевого сжатия. Обнаружены так называемые "резонансные" формы пластины, когда её пропорции являются кратными по отношению к числу отверстий. Критические нагрузки резко уменьшаются при приближении к "резонансным" пропорциям пласти ны.

3. Обнаружено, что для ослабленной несколькими отверстиями цилиндрической оболочки, когда число отверстий кратно числу волн формы потери'устойчивости, имеет место максимальное падение величины критической нагрузки.

4. Для ортотропной прямоугольной пластины увеличение жёсткости материала в направлении, нормальном к оси действия сжимающей силы, приводит к увеличению величины критической нагрузки. Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки под действием внешнего нормального давления возрастает по мере увеличения жёсткости материала в окружном направлении.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, включающего 65 наименований. Работа содержит 113 страниц, 63 рисунка, 4 таблицы. Основные результаты опубликованы в Вестнике СПб-ГУ [29, 31], трудах семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды" [28, 32].

выводы

В работе получены следующие новые результаты:

1. При исследовании устойчивости тонкой изотропной пластины под действием осевого сжатия обнаружено существенное влияние размера отверстия на величины критической нагрузки, зависящее от жёсткости граничных условий на боковых сторонах пластины и пропорций пластины. Изучена зависимость критической нагрузки от пропорций отверстия. Для определённых параметров обнаружен факт роста критической нагрузки при увеличении размена отверстия.

2. Для перфорированной пластины под действием осевого сжатия обнаружены так называемые "резонансные" формы пластины, когда её пропорции являются кратными по отношению к числу отверстий. При приближении к "резонансным" пропорциям пластины имеет место резкое падение величины критической нагрузки.

3. Ослабленная несколькими отверстиями цилиндрическая оболочка, с числом отверстий кратным числу волн формы потери устойчивости, имеет минимальную величину критической нагрузки.

4. Увеличение жёсткости материала в направлении, нормальном к оси действия сжимающей силы, для ортотропной прямоугольной пластины приводит к росту величины критической нагрузки. Для ортотропной цилиндрической оболочки под действием нормального сжатия имеет место рост величины критической нагрузки по мере увеличения жёсткости материала в окружном направлении.

3.3. Заключение.

В данной главе исследовано влияние отверстия на устойчивость тонких прямоугольных пластин и цилиндрических оболочек из ортотропных материалов, слабо отличающихся от изотропных.

Для ортотропной пластины под действием осевого сжатия при исследовании зависимости критической нагрузки от размера отверстия отмечено, что уменьшение жёсткости в поперечном направлении ведёт к снижению величины критической нагрузки. Показано, что при увеличении отношения сторон пластины более существенное влияние на величину критической нагрузки оказывают свойства материала, а не размер отверстия.

Расчёт устойчивости ортотропной круговой цилиндрической оболочки с отверстием, находящейся под действием нормального давления, показал падение критической нагрузки по мере роста площади отверстия, а также сохранение характера зависимости критической нагрузки от е при различных величинах отверстия.

Исследование влияния свойств ортотропного материала шарнирно опёртой цилиндрической оболочки, ослабленной одним центральным прямоугольным отверстием постоянной площади, показало, что увеличение жёсткости материала в окружном направлении (при постоянном размере отверстия) ведёт к монотонному росту величины критической нагрузки. Взаимодействие отверстия и формы потери устойчивости может привести к.резким падениям величины критической нагрузки. Так, при относительно больших площадях отверстия критическая нагрузка оказывается весьма чувствительной к небольшому изменению пропорций отверстия.

1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

2. Андреев Л. В., Ободан Н. И., Фридман А. Д., Шерстюк Г. Г. Экспериментальное исследование несущей способности цилиндрических оболочек с прямоугольными вырезами//Проблемы прочности. 1982. №4. С. 77-79.

3. Арбош И., Бабель Г. В., др. Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент и проектирование. М.: Машиностроение, 1980. 607 с. Под ред. Григолюка Э. И.

4. Атанацкович Т., Гуран А. Лекции по теории упругости / Пер. и ред. А. Л. Смирнова и П. Е. Товстика, Под ред. А. Л. Смирнов, П. Е. Тов-стик. СПб., 2003. 400 с.

5. Ашмарин Ю. А. К теории упругой устойчивости цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием // Прикл. механика. 1972. Т. IX, № 4. С. 27-43.

6. Ашмарин Ю. А., Гузь А. Н. Устойчивость оболочек, ослабленных отверстиями: Обзор // Прикл. механика. 1973. Т. IX, № 4. С. 3-15.

7. Биргер И. А., Пановко Я. Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. М.: Машиностроение, 1968. Т. 2,3.

8. Блохов В. Г. Исследование жёсткости прямоугольных пластин при изгибе методом конечных элементов // Изв. вузов. 1973. Т. 1. С. 5-9.

9. Блохов В. Г. Исследование прочности и жёсткости пластин,.нагруженных в своей плоскости методом конечных элементов // Изв. вузов. 1973. Т. 6. С. 11-15.

10. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

11. Болотин В. В. Вибрации в технике. М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. 352 с.

12. Власов В. 3. Общая теория оболочек и её применение в технике. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.13. .Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. 2 изд. Наука, 1967. 984 с.

13. Воробкова Н. Л., Преображенский И. Н. Обзор исследований по устойчивости пластинок и оболочек, ослабленных отверстиями // Расчёт пространственных конструкций. 1973. С. 89-112.

14. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

15. Голда Ю. Л., Преображенский И. Н., Штукарев В. С. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями // Прикладная Механика. 1973.

16. Григолюк Э. П., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. Наука, 1978. 360 с.

17. Динник А. Н. Устойчивость упругих систем. М.: ОНТИ, 1935. 183 с.

18. Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

19. Зацепина М. В., Хазанов X. С. Вариационные уравнения для цилиндрической оболочки с круглым вырезом при больших прогибах // Вопросы прочности элементов авиационных конструкций: Труды Куйбышевского авиац. ин-та. 1971. Т. 48. С. 274-279.

20. Зацепина М. В., Хазанов X. С. Устойчивость цилинрической оболочки с круглым вырезом-на боковой поверхности // Вопросы прикладной механики в авиационной технике: Труды Куйбышевского авиац. ин-та. 1971. Т. 66. С. 22-28.

21. Зиненко Г. П. Устойчивости и колебания прямоугольных трёхслойных пластин с большими вырезами // Прикл. механика. 1966. Т. 2, № 8. С. 59-66.

22. Ишлинский А. Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 477-479.

23. Койтер В. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем // • Механика. 1960. № 5. С. 99-110.

24. Коноплев Ю. Г., Тилып А. Л. Устойчивость цилиндрических оболочек с вырезами при кручении и внешнем давлении // Сборник аспирантских работ Теория пластин и оболочек. 1972. С. 159-164.

25. Коноплев Ю. Г., Тилып А. Л. Устойчивость цилиндрических оболочек с вырезами при осевом сжатии, кручении и внешнем давлении // Сборник аспирантских работ Теория пластин и оболочек. 1973. С. 3-13.

26. Крысько В. А., Куцемако А. Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. Саратов: Саратовский государственный технический университет, 1999. 202 с.

27. Лебедев А. В. Устойчивость цилиндрической оболочки, ослабленной отверстиями // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2004-2005 гг. 2005. С. 108-126.

28. Лебедев А. В. Влияние вырезов на устойчивость прямоугольных упругих пластин при осевом сжатии // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. № 4. С. 77-83.

29. Лебедев А. В. Устойчивость пластин и оболочек, ослабленных отверстиями // Межд. Научная конф. по механике. Пятые Поляховские чтения, Тезисы докладов. СПб: 2009. С. 171.

30. Лебедев А. В. Устойчивость пластин, ослабленных отверстиями // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. № 2. С. 94-99.

31. Лебедев А. В. Устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных отверстием // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2008-2009 гг. 2009. С. 142.

32. Лебедев А. В., Микрюков С. Н., Смирнов А. Л. Численный анализ свободных колебаний и устойчивости цилиндрической оболочки с отверстием // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тезисы докладов. Т. 12. 2005. С. 162-163.

33. Муштари X. М., Галимов X. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

34. Налоев В. Г. Устойчивость пластин с вырезами // Теория оболочек и пластин: Тр. IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. 1975. С. 138-140.

35. Новожилов В. В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958.

36. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М.: Изд-во моек, ун-та, 1963. 418 с.

37. Папкович П. Ф. Труды по строительной механике корабля. В. 4 т. Л.: «Судостроение», 1963. Т. 4. 552 с.

38. Погорелов А. В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296 с.

39. Погорелов А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. М.: Наука, 1986. 96 с.

40. Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

41. Рейсснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек // Упругие оболочки. 1962. С. 7-65.

42. Ржаницин А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1955. 475 с.

43. Тимошенко П. С. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки // Устойчивость стержней, пластин и оболочек. 1971.- С. 457-472.

44. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1955. 567 с.

45. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука. Физматлит, 1995.

46. Феодосьев В. И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределённого давления // Прикл. мат. и мех. 1954. Т. 18, № 1. С. 35-42.

47. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.

48. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Стойиздат, 1961. 306 с.

49. Чижевский К. F. Расчёт круглых и кольцевых пластин. Д.: «Машиностроение» Ленинградское отделение, 1977. 184 с.

50. Arbocz J., Badcock С. D. The effect of general imperfections on the buckling of cylindrical shells // Journal of Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. Pp. 2838.

51. Karaian T. Festigkcitsproblems in Machinenbau // Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. 1910. Vol. IV/4C. Pp. 311-385.

52. Ко W. L. Mechanical- and Thermal-Buckling Behavior of Rectangular Plates With Different Central Cutouts: Tech. Rep. NASA/TM-1998-206542. Edwards, California: Dryden Flight Research Center, 1998. —March.

53. Koiter W. T. On the nonlinear theory of thin elastic shells // Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Westenschap. 1966. Vol. 69. Pp. 1-54.

54. Kumai T. Elastic stability of the square plate thrust // Proceedings of the First Japan National Congress of Applied Mechanics. 1951. Pp. 81-86.

55. Levy S., Wolley R. M., Kroll W. D. Instability of simply supported square plate with reinforced circular hole in edge compression // Journal of Research of the National Bureau of Standarts. 1947. Vol. 39. Pp. 571-577.

56. Lorenz R. Die nicht achsensymmetrische Knickung dunnwandiger Hohlzylinder // Physical Zetschrift. 1911. Vol. 12, no. 7. Pp. 241-260.

57. SAS IP I. ANSYS Release 10.0 Documentation: ANSYS Theory Reference. 2005.

58. Schlack A. L. Elastic stability of pierced square plates // Experimental Mechanics. 1964. Vol. 4, no. 6. Pp. 167-172.

59. Schlack A. L. Experimental critical' loads for perforated square plates // Experimental Mechanics. 1968. Vol. 8, no. 2. Pp. 69-74.

60. Southwell R. On collapse of tubes by external pressure. Parts 1,2,3 // Philos. Mag. 1913, 1915. Vol. 25,26,29, no. 149, 153, 169. Pp. 687-697, 502-510, 67-76.

61. Srivastava A. K. L., Datta P. K. Elastic Stability of Square Stiffened Plates with Cutouts Under Biaxial Loading // Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. 2006. Vol. 11, no. 2. Pp. 421-433.

62. Tovstik P. E., Smirnov A. L. Asymptotic Methods in Buckling Theory of Elastic Shells. World Scientific Publishing Co Ltd., 2001. 347 pp.