Задачи изгиба и концентрации напряжений для трансверсально изотропных пологих оболочек на основе уравнений уточненной теории тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОД ВАРЬИРОВАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЯЕМОМУ СОСТОЯНИЮ И ПОСТРОЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

§ I. Основные положения метода варьирования по определяемому состоянию (МВОС)

§ 2. Уравнения равновесия и соотношения между внутренними силами и деформациями.

§ 3. Основные уравнения теории пологих оболочек в форме смешанного метода. Краевые условия

§ 4. Упрощенный вариант теории изгиба пологих оболочек

Глава 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 5. Действие локальной нагрузки на свободно опертую пологую оболочку . ^

§ 6. Сферический сегмент, под действием нагрузки, распределенной по круговой площадке

Глава 3. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО

ИЗОТРОПНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧКАХ

§ 7. Решение осесимметричной задачи концентрации напряжений.*

§ 8. Концентрация напряжений около свободного кругового отверстия

§ 9. Концентрация напряжений около подкрепленного кругового отверстия

В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года указывается, что развитие науки и техники должно быть в еще большей мере подчинено решению экономических и социальных задач советского общества, содействовать ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства. • •

В области естественных и технических наук следует сосредоточить усилия на решение таких важных проблем: развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях.

Весомый вклад в осуществление решений ХХУ1 съезда КПСС должно внести применение современных достижений механики при проектировании тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек, широко применяемых в различных областях техники.

Возможности применения тонкостенных конструкций значительно расширились вследствие создания и широкого применения композиционных материалов, обладающих целым рядом специфических свойств, которые необходимо учитывать при определении их напряженно-деформированного состояния.

К настоящему времени можно считать завершенным построение теории пластин и оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява. В достаточной мере разработаны и методы их расчета.

Большой вклад в разработку теории и методов расчета внесли исследования В.З. Власова [ 19,20 У, А.Л. Гольденвейзера / 39-43 А.И. Лурье [ 68 У, Г.Н. Савина Г 97 У и др. ученых.

Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, дают, как правило, удовлетворительные результаты для достаточно тонких пластин и оболочек с малым показателем изменяемости напряженного состояния, выполненных из традиционных изотропных материалов.

Широкое внедрение в инженерную практику композиционных материалов, обладающих низкой поперечной сдвиговой жесткостью и высокой податливостью обжатию, обусловило необходимость создания уточненных теорий, свободных от кинематических и статических ограничений, принимаемых классической теорией, или решений задач в трехмерной постановке.

Указанные факторы следует учитывать при расчете нетонких пластин и оболочек, оболочек с быстро изменяющимися параметрами, а также в задачах с повышенными градиентами напряженно-деформированного состояния, вызванных действием локальных нагрузок, наличием концентраторов и т.д.

При решении таких задач с использованием уравнений трехмерной теории упругости возникают значительные трудности. Полученные результаты на основе уравнений трехмерной теории упругости, наряду с прикладным, имеют и теоретическое значение, т.к. позволяют оценить точность различных приближенных теорий, установить область их применения.

Вместе с тем, класс задач, для которых удается построить решения на основе трехмерной теории упругости, весьма ограничен и потому получили широкое развитие различные уточненные теории пластин и оболочек.

Выдающиеся ученые прошлого Коши, Пуассон, Кирхгоф, Ляв, Навье, Леви и др. внесли важный вклад в основы теории упругости, в построение теории пластин и оболочек. Еще в конце прошлого века были сформулированы гипотезы, связанные с учетом деформации поперечного сдвига - сначала для изгиба балок и устойчивости стержней, а в начале нынешнего века - для пластин и оболочек.

Подробный анализ методов построения уточненных теорий пластин и оболочек приведен в обзорах И.И.Воровича [ 28,30 /, А.К.Галинь-ша [ 35 /, А.Л.Гольденвейзера [ 41,42 У, монографии Н.А.Кильчев-ского, Г.А.Издебской, Л.М.Кисилевской [ 62 /, монографии Н.А.Киль-чевского [ 61 У. А.Л.Гольденвейзер /39/ при переходе от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теорий пластин и оболочек выделяет три группы методов: I) метод гипотез ; 2) метод разложений по толщине ; 3) асимптотические методы.

При построении уточненных теорий с использованием различного рода кинематических и статических гипотез задают (аппроксимируют) законы изменения по толщине пластины или оболочки некоторые компоненты напряженно-деформированного состояния. Остальные компоненты напряженно-деформированного состояния определяют из трехмерных уравнений теории упругости. Разрешающие уравнения выводятся или с помощью вариационных принципов, либо с использованием уравнений трехмерной теории упругости (такие теории часто называют прикладными). Отличительной особенностью теорий, построенных с учетом деформаций поперечного сдвига является повышение порядка основных дифференциальных уравнений (шестой для пластин, десятый для оболочек). Отметим, что имеется значительное количество прикладных теорий, предложенных различными авторами. По этому вопросу в [ 35 J указывается: ". невозможно построить универсальную прикладную теорию, т.е. теорию, которая давала бы одинаково приемлемые результаты для всех характеристик напряженно-деформированного состояния конструкции. Может считаться установленным, что для определенного класса задач нужна определенная теория".

Первым на необходимость учета деформации поперечного сдвига при рассмотрении колебаний балки указал С.П.Тимошенко. В 30-х годах H.A. Кильчевский /61 J построил теорию оболочек, свободную от ограничений классической теории, вопросам расчета толстых плит посвящены труды Б.Г.Галеркина, А.И.Лурье.

Широкое применение и дальнейшее развитие сдвиговая модель С.П.Тимошенко получила в работах Б.Л.Пелеха [ 77,83 /, Б.Л.Пеле-ха, А.А.Сяського [ 81 У, А.Н.Гузя, И.С.Чернышенко, Вал. Н. Чехова, Вик. Н. Чехова, К.И.Шнеренко / 70 ] и др. авторов.

Как свидетельствуют проведенные исследования, в задачах с большим показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния необходим учет не только деформаций поперечного сдвига, но и обжатия.

Рейсснер [ 129-131 ] в 40-х годах опубликовал уточненную теорию пластин, которая подробно проанализирована в работе А.Л.Гольденвейзера /38 7. В более поздних работах / 91,92 7 Рейсснер обобщих свои результаты на оболочки.

Построению уточненных теорий пластин и оболочек и их модификаций посвящены исследования С.А.Амбарцумяна [ 6-8 У. В них не учитывается обжатие и принимается закон изменения поперечных касательных напряжений в виде квадратной параболы. Для определения всех остальных неизвестных функций используются трехмерные уравнения теории упругости. Отметим, что в отличие от классической теории и теории типа Тимошенко закон изменения изгибных напряжений по толщине, как и в некоторых из модификаций теорий Рейсснера, является нелинейным.

Наряду с достоинствами прикладных теорий (сравнительная простота основных уравнений) необходимо отметить и их недостатки, которые заключаются в том, что не представляется возможным повысить точность результатов без изменения принятых гипотез. Вследствие этого развиваются методы приведения трехмерных задач к двумерным, в которых содержится регулярный процесс уточнения решения. При реализации этих методов компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываются в бесконечные ряды. Н.А.Кильчевский [ Ы] с учениками / 62 ] применили разложение искомых функций в тензорные ряды по поперечной координате. В качестве аппроксимирующих функций принимались ряды Тейлора, а также ряды по функциям, зависящих от толщинной координаты. Разрешающие уравнения получаются путем использования трехмерных уравнений теории упругости или вариационных принципов. В этом направлении выполнены работы H.A. Кильчевского, Г.А.Издебской, Л.М.Кисилевской /61, 62 7, И.Н.Векуа / 16,17 /, М.В.Бегина, И.Ю.Хомы / 9 7, Б.Л. Пелеха, М.А.Сухороль-ского / 79,80 7, Э.Г.Сайфулина, А.В.Саченкова / 100 7, Д.В.Вайн-берга, В.Н.Кислоокого, А.С.Сахарова / 15 7.

Весьма широкое применение и развитие получила теория оболочек и пластин И.Н.Векуа / 16,17 7, в которой искомые величины раскладывались в ряды по полиномам Лежандра. Некоторые задачи на ее основе рассмотрены в работах М.В.Бегина, И.Ю.Хомы /9 7» В.И.Гуляева, В.А.Баженова, П.П.Лизунова /52 7» Г.Н.Савина, И.Ю.Хомы / 99/, И.Ю. Хомы / 116 У.

К недостаткам теорий, получаемых методом разложений по толщинной координате, следует отнести увеличение порядка уравнений при повышении их точности.

К третьей группе методов построения уточненных теорий относятся асимптотические методы, среди которых можно выделить два направления. Идея асимптотического метода А.Л.Гольденвейзера заключается в непосредственном интегрировании трехмерных уравнений теории упругости с учетом малости толщины пластины или оболочки, приводящих к итерационному определению трех видов напряженного состояния - внутреннего напряженного состояния, распространяющегося на всю пластину или оболочку, и двух (плоского и антиплоского) быстрозатухающих краевых эффектов. Изложение метода А.Л.Гольденвейзера приводится в / 40-43 7. В этом методе порядок разрешающих уравнений не увеличивается с повышением точности теории.

Асимптотический метод, отличный от метода, используемого в [ 40-43 У, предложен в работе И.И.Воровича / 28 У. В методе [ 28 ] асимптотическим разложениям подвергаются общие решения уравнений трехмерной теории упругости, получаемые с помощью однородных решений А.И.Лурье. Метод позволяет построить решения как для внутреннего напряженного состояния, так и для краевых эффектов.

В.Л.Бердичевский [ 10 У применил вариационно-асимптотический метод построения уточненных теорий тонкостенных конструкций, который основывается на асимптотическом анализе функционала полной энергии трехмерного тела.

В работе Н.К.Аксентяна, Н.А.Полякова, Ю.А.Устинова / 4/ на основе асимптотического метода проведен анализ напряженного состояния плиты в окрестности нагрузки локального типа. В работе Ю.А. Устинова [ 112 У этот метод обобщен на случай замкнутой сферы, нагруженной в полюсах сосредоточенными силами. На основе асимптотического метода рассмотрены некоторые задачи о концентрации напряжений около отверстий в пластинах в работах О.К.Аксентян и А.К.Ко-солапова /"ЗУ, И.И.Воровича и О.С.Малкиной /29 У, Г.В.Соколовской и М.А.Шленева [ 103 У.

Подробный перечень исследований по развитию и применению асимптотических методов приводится в работах А.Л.Гольденвейзера [ 40-43 У, И.И.Воровича [ 28,30 У и обзорной статье А.К.Галиньша /"35 У.

На основании приведенного обзора можно сделать следующие выводы, определяющие выбор темы диссертационной работы:

I. Приближенные теории оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, развиты недостаточно. Работы в этом направлении следует продолжить с целью разработки эффективных приближенных методов решения задач теории пологих оболочек с высоким градиентом изменяемости напряженно-деформированного состояния.

2. На основе уточненных теорий рассматривались задачи, как правило, с учетом деформаций поперечного сдвига. Для задач с высоким показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния проведенные исследования необходимо продолжить с учетом всех его компонент перемещения и напржкения.

В диссертационной работе рассмотрены некоторые задачи изгиба траневерсально изотропных пологих оболочек на основе уравнений уточненной итерационной теории, полученных на основе метода варьирования по определяемому состоянию, предложенного в работах А.П.Прусакова, А.В.Плеханова [ 85,89 /.

В первой главе работы на основе метода варьирования по определяемому состоянию получены уравнения равновесия трансверсально изотропной пологой оболочки и зависимости между силовыми и деформационными факторами для I -го напряженного состояния ( [ = О, I, 2.). Эти уравнения учитывают все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки. Уравнения первого приближения при Е /Е^ =0 совпадают с уравнениями сдвиговой модели Тимошенко и определяют несамоуравновешенное по толщине оболочки напряженное состояние. Последующие напряженные состояния определяют самоуравновешенные по толщине напряженные состояния и уточняют внутреннее напряженное состояние, вихревой погранслой и описывают в соответствующих приближениях потенциальный погранслой. Порядок разрешающих уравнений для первого приближения равен десяти, для последующих не повышается и равен шести.

Оценено влияние на напряженно-деформированное состояние оболочки деформации Е2 и напряжения & 2 .

Во второй главе на основе уравнений метода варьирования по определяемому состоянию решены некоторые задачи изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек.

Рассмотрена задача изгиба свободно опертой прямоугольной в плане пологой оболочки под действием синусоидальной нагрузки. Оценено влияние симметричных относительно срединной поверхности напряженных состояний ( I = 2, 4), а также деформации £ и напряжения на общее напряженное состояние для некоторых упругих и геометрических параметров оболочки. Рассмотрена задача о действии на свободно опертую оболочку локальной нагрузки, представленной в виде двойных тригонометрических рядов.

Изложен метод построения решения уравнений МВОС (метода варьирования по определяемому состоянию) в полярной системе координат. На основе полученного решения рассмотрена задача о действии на оболочку в виде сферического сегмента нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке.

В третьей главе рассмотрена задача о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями. Коэффициенты концентраций определены для мембранных и изгибных напряжений, что позволило оценить влияние упругогеометрических параметров кольца и оболочки на величину компонент напряженно-деформированного состояния оболочки. Рассмотрено влияние поперечного обжатия на концентрацию напряжений для оболочки со свободным и подкрепленным отверстиями.

В приложениях приведены программы реализации алгоритмов для

ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в дальнейшем развитии метода варьирования по определяемому состоянию и построении итерационной теории изгиба пологих трансверсально изотропных оболочек (для I -го напряженного состояния) с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния; в получении варианта итерационной теории, не учитывающей, начиная с [■ - 3, деформации и напряжения 6> . В работе дан способ исключения функций первого приближения из уравнений второго и последующих напряженных состояний. На примерах задач о действии локальной нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке, и задач концентрации напряжений в сферической оболочке, ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями, показано, что с ростом податливости оболочки на сдвиг увеличивается погрешность решения на основе модели С.П.Тимошенко.

Достоверность результатов подтверждалась:

- сравнением решений рассмотренных задач с решениями по другим теориям оболочек;

- предельным переходом к пластине при рассмотрении задачи о действии поперечной локальной нагрузки и сравнением с решением ее по уравнениям трехмерной теории упругости ;

- сравнением некоторых решений с результатами экспериментов.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе итерационной теории изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек можно определять их напряженно-деформированное состояние для широкого диапазона изменения их упругогеометрических параметров, для задач с большим показателем изменяемости ВДС (действие локальных нагрузок, концентрация напряжений). При этом с повышением точности теории порядок уравнений изгиба для несамоуравнове-шенного напряженного состояния равен десяти, для самоуравновешенных напряженных состояний остается постоянным и равным шести, что значительно упрощает решение задач в высоких приближениях. Результаты решений задач представлены в виде таблиц, графиков и программ для ЭВМ, что позволяет их использовать при проектировании оболо-чечных конструкций различного назначения.

Результаты работы внедрены в ГПЙ "Днепрпроектетальконструк-ция" Госстроя СССР для исследования напряженного состояния купола воздухонагревателя в области ослабления люком.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [ 23-27,86,90 У, доложены на второй Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" в г.Днепропетровске (1981 г.), на Третьей конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов в г.Риге (1981 г.), на У1 научной конференции молодых ученых Горьковского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Н.И.Лобачевского (1981 г.), на У тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" в г.Ленинграде (1981 г.), на научно-технической конференции "Нелинейные задачи теории пластин и оболочек" в г.Саратове (1981 г.), на республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" в г.Донецке (1983 г.), на семинарах НТО "Стройиндустрия" и на заседаниях кафедры сопротивления материалов в Днепропетровском инженерно-строительном институте в 1981-1983 гг.

На защиту выносятся:

- уравнения итерационной теории, полученные МВОС для трансвер-сально изотропных пологих оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, порядок которых не зависит от номера напряженного состояния ;

- уравнения итерационной теории, не учитывающие влияние деформации и напряжения б2 (при I ^ 3) на общее напряженное состояние оболочки;

- решение уравнений МВОС в полярной системе координат для трансверсально изотропной пологой оболочки как при отсутствии так и при наличии поперечной нагрузки ;

- решение задачи о действии локальной нагрузки на пологую оболочку;

- решение задачи о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями.

В заключение автор выражает благодарность А.В.Плеханову за внимание к работе и обсуждение результатов.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сфор мулированы в виде следующих ВБШОДОВ:

1. В диссертации получены методом варьирования по определяе мому состоянию (МВОС )основные уравнения итерационной теории из гиба трансверсально изотропных пологих оболочек, зависимости между силовыми и деформационными фактораьш с учетом всех компо нент напряженно-деформированного состояния оболочки. Уравнения первого приближения МВОС при Е/В, = О совпадают с уравнениями сдвиговой модели П.Тимошенко и определяют несамоуравновешенное по толщине оболочки напряженное состояние. Порядок основных уравнений для первого напряженного состояния равен десяти. Урав нения для последующих напряженных состояний определяют самоурав новенные напряженные состояния, их порядок при ^ :^ 2 одинаков и равен шести.2. В диссертации получены уравнения уточненной теории, не учитывающие при [ ^ 3 деформации £^ и напряжения б^ на напряженное состояние оболочки. Порядок этих уравнений при \ ^ 3 на два меньше и равен четырем. Установлено, что этот вариант уточненной теории применим для тонких изотропных оболочек с ьла лой стрелой подъема.3. На основе полученных уравнений рассмотрена задача изгиба оболочки при действии локальной нагрузки на свободно опертую по краям прямоугольную в плане оболочку из трансверсально изотроп ного материала. Решение задачи представлено в виде двойных тригонометрических рядов. Удерживая первый член ряда, получено решение задачи о действии синусоидальной нагрузки, которое срав нивалось с решениями по другим теориям.В предельном переходе при R = «^ получено решение об изгибе пластины. Для изотропного материала дано сравнение с решением в постановке трехмерной теории упругости, что позволило оценить сходимость решений МВОС. Для рассмотренной локальной нагрузки в виде пирамиды при к /Р1 - 0,2 для определения прогибов можно ограничиться решением в первом приближении ( теория пластин Рейс снера) , При определении же напряжений необходимо решение задачи в последующих приближениях.При определении НДС изотропных пологих тонких оболочек как для локальной так и синусоидальной нагрузок можно ограничиться решением в первом приближении. Увеличение толщины оболочки, пара метров сдвиговой и поперечной податливости требует решения в более высоких приближениях.Оценено влияние самоуравновешенных симметричных относительно срединной поверхности оболочки напряженных состояний, а также деформаций £ и напряжений б^ на напряженное состояние оболоч ки. Для тонких оболочек симметричные самоуравновешенные состояния можно не учитывать и при \ ^ 3 можно пренебречь деформацией S^ и напряжением 6'^ .4. Для сферической оболочки при отсутствии и при наличии осе симметричной поперечной нагрузки получено общее решение уравнений МВОС, которое представлено через специальные функции. Это решение использовалось при решении задач о действии локальных нагрузок и концентрации напряжений у отверстий.5. Используя полученное решение, рассмотрена задача изгиба бесконечной сферической оболочки локальной нагрузкой, распределен ной по круговой площадке. Установлено, что с увеличением Е/(т, до 50 добавки к решению первого приближения при определении про гибов с уменьшением площадки нагружения и увеличением толщины обо лочки могут достигать 35 9^ . Моментные составляющие напряженного состояния при определении их в первом приближении с увеличением Е/&. до 50 уменьшаются на 7-10 %. Добавки к решению первого приближения, с увеличением E/G- до 50 достигают 15-30%, что сви детельствует о необходимости решения задачи в высоких приближе ниях.Тангенциальные компоненты напряженного состояния, с ростом податливости сдвигу увеличиваются, причем более существенно ближе к центру площадки нагружения. Для изотропного материала при опре делении компонент НДС можно ограничиться решением первого прибли жения.6. Используя общее решение для осесимметричной задачи, рас смотрены задачи концентрации напряжений в сферических трансвер сально изотропных оболочках, нагруженных внутренним давлением и ослабленных круговыми свободными и подкрепленными отверстиями, Подкрепляющее кольцо рассматривалось в рамках МЮС. Результаты первого приближения при рассмотрении свободного отверстия соответ ствуют известным решениям на основе сдвиговой модели П.Тимошен ко. Показано, что с увеличением податливости сдвигу возрастает погрешность решения в первом приближении. При рассмотрении свобод ного отверстия исследовано влияние деформации 6^ на концентра цию напряжений.Показано, что путем соответствующего подбора подкрепляющих элементов можно существенно снизить концентрацию напряжений.7. Методика расчета и соответствующие алгоритмы внедрены в ГПИ "Днепропроектстальконструкция" Госстроя СССР с экономическим эффектом в четырнадцать тыс. руб.

1. Агаловян Л,А. Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек.ПММ, 1966, т.30, 2, с.388-398.

2. Айнола Л.Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера.В кн.: Теория оболочек и пластин. Труды 1У Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин.- Ереван: АН Арм. ССР, 1964, C.I7I-I77.

3. Аксентян O.K., Косолапов А.И. Некоторые задачи концентрации напряжений в толстых плитах.- Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, I97I, 3, с.142-150.

4. Аксентян Н.К., Поляков Н.А,, Устинов Ю.А. Трехмерное напряженное состояние плиты в окрестности нагрузки локального типа.- В кн.: Труды УШ Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с.13-17.

5. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок.- В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972, с.227-266.

6. Амбарцумян А. Теория анизотропных оболочек.- М.: Физматгиз, I96I.- 384 с.

7. Амбарцумян А. Теория анизотропных пластинок.- М.: Наука, 1967.- 267 с.

8. Амбарцумян А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.- 336 с.

9. Бегин М.В., Хома И.Ю. Изгиб трансверсально изотропных пластин, слабо сопротивляющихся поперечным деформациям.- Механика полимеров, 1974, I, с.89-92.

10. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод.- В кн.: Некоторые вопросы механики сплошной среды.- М.: МГУ, 1978, с.271-289.

11. Буйвол В.М., Голобородько C O Шнеренко К,И. Розпод1л напружень в сферичн1й оболочц1 з отвором, край якого п1дкр1плений пружним к1льцем.- Прикл. мех., 1964, т.10, 3, с.263-270.

12. Буйвол В.М. Концентрац1я напружень в сферичн1й оболочц1 б1ля п1дкр1пленного отвору.- Доп. АН УССР, 1963, т.9, II, с.14601464.

13. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. К оценке некоторых допущений в теории однородных и слоистых оболочек.В кн.: Труды IX Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975, с.33-36.

14. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. В 2-х т.- М.: Иностраниздат, 1949.

15. Вайнберг Д.В., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С. Уравнения теории непологих оболочек и оболочечных систем.- В кн.: Труды IX Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975, с.28-33.

16. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек.В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т.З. Механика деформируемого твердого тела,- М.: Наука, 1972, с.267-290.

17. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.- М.: Наука, 1982, 285 с.

18. Величко П.М., Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. Напряженно-деформированное состояние оболочек положительной кривизны под действием сосредоточенных касательных сил.- Прикл. мех.,1969, т.5, в.12, с.53-59.

19. Власов В.З. Общая теория оболочек.- М.-Л,: Гостехиздат,1949.784 с.

20. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости.- Изв. АН СССР, ОТН, 1955, 7, с.49-69.

21. Власов В.З., Леонтьев Н.Н, Балки, плиты и оболочки на упругом основании.- М,: Физматгиз, I960.- 491 с.

22. Власов В,В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики,- М.: Стройиздат, 1975.- 224 с.

23. Вовченко Н.Г., Плеханов А.В., Прусаков А.П. К уточненной теории трансверсально изотропных пологих оболочек.- Изв. вузов. Строительство и архитектура, I98I, I, с.30-33.

24. Вовченко Н.Г., Плеханов А.В. Исследование напряженного состояния в ослабленной отверстиями сферической оболочке из композитных материалов.- В кн.: Третья конференция молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов. Тез. докл. Рига: Зинатне, 198I, с.92.

25. Вовченко Н.Г., Плеханов А.В. К решению задачи о концентрации напряжений в сферической оболочке с подкрепленным отверстием в уточненной постановке.- Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1982, 8, с.32-35.

26. Вовченко Н.Г. К решению задачи локального нагружения пологой оболочки.- Днепропетровск, 1982.- 12 с Рукопись представлена Днепропетр. инже.-строит, ин-том. Деп. в ВНИИИС Госстроя СССР, 1982, 3171-82.

27. Вовченко Н.Г., Забияка Г,И., Плеханов А.В. К решению задачи о концентрации напряжений в сферической оболочке в уточненной постановке.- Днепропетровск, 1982.- 12 с Рукопись представлена Днепропетр. инж.-строит, ин-том. Деп. в ВРШИС Госстроя СССР, 3172-82.

28. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек.- В кн.: Труды У1 Всесогозн. конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966, с.896-903.

29. Ворович И,И., Малкина О.С. Напряженное состояние толстой плиты.- ПММ, 1967, т.31, 2, с.230-241.

30. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек.- В кн.: Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: ТГУ, 1975, с.51-149.

31. Галимов К.З., Суркин Р.Г. О работах казанских ученых по теории пластин и оболочек (Обзор).- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып.У.- Казань: КГУ, 1967, с.3-55.

32. Галиньш А.К., Гурьянов Н.Г. Действие локальных нагрузок на пологую трансверсально изотропную сферическую оболочку.- В кн.: Сборник аспирантских работ. Теория пластин и оболочек. Казань: КГУ, вып.1, I97I, с.158-167.

33. Галиньш А.К. Об упрощении уравнений теории пологих анизотропных оболочек, учитывающих поперечные составляющие деформации.- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Сб. УШ.- Казань: КГУ, 1972, с.393-409.

34. Галиньш А.К,, Гурьянов Н.Г. О математических аналогиях в теории пологих сферических оболочек и пластин, учитывающих поперечные сдвиги.- Механика полимеров, 1972, 2, с.338-345.

35. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям, В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, сб. У, 1967, с.66-92 вып. У1-УП, 1970, с.23-64.

36. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматгиз, 1959.

37. Гнатыкив В.Н., Трущ Е.И. Многослойные пологие сферические оболочки под действием сосредоточенных сил.- В кн.: Динамика и прочность машин. Респ. межвед. научн.-техн. сб. Харьков: изд.-во ХГУ, 1968, вып.8, с.18-23.

38. Гольденвейзер А.Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера.Изв. АН СССР. ОТН, 1958, 4, с.102-109.

39. Гольденвейзер А.Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек.- ПММ, 1962, т.26, 4, с.668-686.

40. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.- ПММ, 1963, т.27, 6, с.593-608.

41. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек.- В кн.: Труды УП Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин.- М.: Наука, 1970, с.749-754.

42. Гольденвейзер А.Л. Асимптотический метод построения теории оболочек.- В кн.: Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин.- Тбилиси: ТГУ, 1975, с.151-250.

43. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.- М.:Наука, 1976.- 512 с.

44. Грах И.И., Сидорин Я,С. Об ограничениях на упругие коэффициенты анизотропных твердых тел.- Механика полимеров, 1974, I, с.84-88.

45. Градштейн И.О., Рыжик И.М, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Физматгиз, 1963.- IIOO с.

46. Григоренко Я.М., Судавцова Г.К. Оболочки вращения сферического класса при локальных нагрузках в полюсе.- Прикл. мех., 1973, т.IX, вып.6, с.24-30.

47. Гузь А.Н., Шнеренко К.И. Концентрация напряжений около отверстий в оболочках, изготовленных из материала с малым сдвиговым модулем.- Прикл. мех., 1970, т.6, 8, с.15-23.

48. Гузь А.Н., Чернышенко И.О., Шнеренко К.И. Сферические днища, ослабленные отверстиями.- К.: Наукова думка, 1970.- 324 с.

49. Гузь А.Н., Шнеренко К.И. Тонкие оболочки из композитных материалов, ослабленные отверстиями (Обзор).- Механика композитных материалов, 1979, 5, с.819-834.

50. Гузь А.Н., Чернышенко И С Чехов Вал.И., Чехов Вик.И., Шнеренко К.И. Исследования по теории тонких оболочек с отверстиями (Обзор).- Прикл. мех., 1979, т.15, II, с.3-37.

51. Гузь А.Н., Макаренков А.Г. О несущей способности сферических оболочек с подкрепленным отверстием.- Пробл. прочности,1970, 4, с.59-63.

52. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лузунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач.- Львов: Вища школа, 1978.- 190 с.

53. Гурьянов И.Г. Сферическая оболочка, находящаяся под действием нагрузки, равномерно распределенной по площадке.- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, сб. I.- Казань:КГУ, 1967, с.136-147.

54. Дараган В.И., Саченков А.В. Об одном подходе к теории пластин средней толщины,- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, сб.УШ.- Казань: КГУ, 1972, с.96-109.

55. Даревский В.М, Контактные задачи теории оболочек,- Труды У1 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966, с.927-934.

56. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Наука, 1974.- 544 с.

57. Жигалко Ю.П. Статика оболочек при силовых локальных воздействиях (Обзор).- В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып.XI.- Казань: КГУ, 1975, с.62-91.

58. Жигалко Ю.П. Пологие сферические, оболочки под действием сосредоточенных сил.- В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. ХП.- Казань: КГУ, 1976, с.58-67.

59. Именитов Л.Б. Концентрация напряжений в тонких упругих сферических оболочках.- В кн.: Теория оболочек и пластин.- Труды

60. Киль Н.А. О действии местных нагрузок на оболочки.- Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1973, 3, с.43-46.

61. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек.К.: Наукова думка, 1963.- 353 с.

62. Кильчевский Н.А., Издебская Г.А., Кисилевская Л.М. Лекции по аналитической механике оболочек. К.: Вища школа, 1974.- 232 с.

63. Кильчевский Н.А. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек.- Теория пластин и оболочек. Труды П Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. К.: АН УССР, 1962, с.58-59.

64. Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К. Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки.- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, сб.ХП.- Казань: КГУ, 1976, с.27-37.

65. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях.- М.: Физматгиз,1960.458 с.

66. Коренев Б.Г. Введение

67. Лехницкий Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977.- 415 с.

68. Лурье А,И. Пространственные задачи теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1955.- 491 с.

69. Макаренков А.Г., Фирсов В.А. О распределении напряжений возле подкрепленного отверстия в сферической оболочке.- Прикл. мех., 1975, т.XI, вып.2, C.I2I-I23.

70. Методы расчета оболочек. Теория тонких оболочек, ослабленных

71. Новацкий В. Динамика сооружений.- М.: Госстройиздат, 1963.376 с.

72. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.:Судпромгиз, 1962.402 с.

73. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР.Исследования по теории оболочек и пластин, 1970, вып. 6-7, с. 5-22.

74. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: МГУ, 1969.- 695 с.

75. Ольшанский В.П, Местные усилия в оболочке двоякой кривизны, нагруженной по прямоугольной площадке.- В кн.: Динамика и прочность машин. Харьков: ХГУ, 1979, 30, с.43-49.

76. Пелех Б.Л., Лунь Е.И. Концентрация напряжений около отверстий в трансверсально изотропных оболочках.- Механика полимеров, 1970, 6, C.I076-I08I.

77. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.К.: Наукова думка, 1973.- 248 с.

78. Пелех Б.Л., Мамчур И.Л. Разрешающие уравнения теории трансверсально изотропных оболочек вращения в комплексной форме.Прикл. мех., 1973, т.IX, вып.З, с.61-62.

79. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Про наближен! зображення ключових р1внянь теорИ пологих оболонок стосовно розвязку контактних задач.- Доп. АН УРСР, сер. А., 1975, 4, с.351-354 (на украинском языке).

80. Пелех Б.Л., Сорольский М.А. Про один новий п1дх1д до побудови теорИ оболонок з врахуванням граничних умов на поверхнях.Доп. АН УРСР, сер. А. 1978, 5, с.441-444 (на украинском языке).

81. Пелех Б.Л., Сяський А,А. Распределение напряжений возле отверстий в податливых на сдвиг анизотропных оболочках,- К.: Наукова думка, 1975.- 198 с.

82. Пелех Б.Л. Некоторые вопросы развития теории и методов расчета анизотропных оболочек и пластин с конечной сдвиговой жесткостью (Обзор).- Механика полимеров, 1975, 2, с.267-284.

83. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек.- Львов: Вища школа, 1978.- 159 с.

84. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек.- М.: Наука, 1977.- 151 с.

85. Плеханов А.В., Прусаков А.П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины.- Изв. АН СССР, Мех. тверд, тела, 1976, 3, с.84-90.

86. Плеханов А.В., Вовченко Н.Г. Исследование концентрации напряжений в сферических оболочках из композитных материалов на основе уточненной теории.- Рига, 1982.- 10 с Рукопись представлена редакцией журнала "Механика композитных материалов", деп. в ВИНИТИ 29 сент. 1982, 4978-82.

87. Поляков Н.А., Устинов Ю.А, Исследование асимптотического поведения решения задачи теории упругости вблизи сосредоточенной силы для замкнутой оболочки.- В кн.: Труды УП Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1970, с.493-497.

88. Поляков Н.А,, Устинов Ю,А, О действии локальных нагрузок на сферическую оболочку,- Изв. АН СССР, Мех, тверд, тела, 1974, 3, C.II0-II7.

89. Прусаков А.П, О построении уточненной теории пологих оболочек энергоасимптотическим методом,- Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1977, 12, с.25-29.

90. Прусаков А,П,, Плеханов А.В,, Вовченко Н,Г. К определению напряженного состояния сферической оболочки с подкрепленным

91. Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости.- В кн.: Проблемы механики сплопшой среды.- М,: Изд-во АН СССР, I96I, с.326-377.

92. Рейсснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Упругие оболочки.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

93. Рейсснер Э. Асимптотические разложения для круговых цилиндрических оболочек.- Прикл. механика. Труды Американского общества инженеров-механиков. Серия Е. 1964, т.31, 2, с.96-104.

94. Ручимский М.И. К расчету конических и пологих сферических оболочек при осесимметричном нагружении.- М.: Гостоптехиздат, 1958.- 107 с.

95. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий в оболочках (Обзор).- В кн.: Труды И Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек,- К.: АН УССР, 1962, с.70-85.

96. Савин Г.Н., Космодамианский А С Гузь А.Н. Концентрация напряжений возле отверстий (Обзор).- Прикл. мех., 1967, т.З, вып. 10, с.23-37.

97. Савин Г.Н, Распределение напряжений около отверстий,- К.: Наукова думка, 1968.- 888 с.

98. Савин Т.Н., Пелех Б.Л. Концентрация напряжений возле отверстий в пластинах и оболочках с учетом явлений, обусловленных деформациями поперечного сдвига (Обзор).- Прикл. мех., I97I, т. 7, 2, с. 3-II.

99. Савин Г.Н., Хома И.Ю. К теории анизотропных оболочек свободных от кинематической гипотезы нормального элемента.- Прикл. мех., I97I, т, 7, 3, с,9-15. ЮО.Сайфулин Э.Г,, Саченков А,В. К теории пластин и оболочек,

100. Сеницкий Ю.Э., Заметалина Н.П. О точном расчете пологой сферической оболочки при осесимметричном загружении. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1980, 3, с. 24-29.

101. Слепов Б.И, Соколов Е.В. Воздействие сосредоточенной силы на пологую оболочку вращения произвольной формы. Строительная механика сооружений. Межвуз. темат. сб. тр. Ленинград, инж,-строит, инстр. 1978, 3, с.124-131,

102. Соколовская Г.В., Шленев М.А. К теории анизотропных плит средней толщины.- В кн.: Труды Ж Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с.70-75.

103. Сяський А.А., Лунь Е.И. Напряженное состояние изотропной сферической оболочки с круговым отверстием.- Прикл. мех,, 1975, т. 10, Р 8, с. 98-102.

104. Сяський А.А., Лунь Е.И, Граничные условия для оболочки с отверстием, край которого подкреплен тонким упругим стержнем.- Прикл. мех., 1975, т.II, 3, с.25-32.

105. Сяський А.А., Лунь Е.И. Распределение напряжений около подкрепленного отверстия в ортотропной сферической оболочке.Механика полимеров, 1973, 5, с,879-883,

106. Сяський А.А., Сяський В.А. Напряженное состояние кусочнооднородной сферической оболочки с криволинейным отверстием.Прикл. мех., 1976, т.12, 7, с.18-23.

107. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига.- Казань: КГУ, 1977.- 209 с.

108. Тетере Г.А. Пластины и оболочки из полимерных и композиционных материалов Обзор Механика полимеров, 1977, Р 4, с.486-493.

109. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике.- М.: Гостехиздат, 1956.- 204 с.

110. Устинов Ю.А. Переход от трехмерной задачи теории упругости к двумерной для замкнутой сферической оболочки при негладкой внешней нагрузке.- В кн.: Теория оболочек и пластин, Труды У1 Всесоюзн. конф, по теории оболочек и пластин.- М.: Наука, 1966, с.762-765. И З Улитко А.Ф. Напряженное состояние полой сферы, нагруженной сосредоточенными силами.- Прикл. мех., 1968, т. 4, 5, с. 38-45.

111. Хижняк В.К. К расчету анизотропных оболочек на сосредоточенные воздействия. В кн.: Теоретическая и прикладная механика. Респ. межвед. темат. науч.-техн. сб. Харьков: ХГУ, 1974, вып. 5, с.64-70.

112. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Напряженно-деформированное состояние трансверсально изотропных оболочек при локальных нагрузках.- Прикл. мех., 1972, вып. II, с. 21-27.

113. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных оболочек переменной толщины,- Прикл. мех., 1974, т. 10, 3, с,17-24.

114. Чернышев Г.Н. О контактных задачах теории оболочек,- Труды X Всесоюзн, конф, по теории оболочек и пластин,- Тбилиси: Мецниереба, 1975, т.1, с, 296-304,

115. Чернышев Г.Н. Прогиб под сосредоточенной силой в оболочках положительной кривизны. ПММ, 1967, т. 31, вып. 5, с, 18-32.

116. Шаповалова Е.В., Шевченко В.П. Исследование напряженно-деформированного состояния пологой сферической оболочки при сосредоточенных нагрузках по уточненным теориям,- В кн.: Теоретическая и прикладная механика. Респ. межвед. темат.

117. Шевляков Ю,А,, Шевченко В,П. Розвязок задач згину пологих сферичних оболонок, Прикл, мех,, 1964, т. 10, вып. 4, с. 382-391.

118. Шевляков Ю.А, Концентрац1я напружень б1ля кругового отвору в сферичному днищ1.- Доп. АН УРСР, сер. А., 1955, I, с. 46-49.

119. Шнеренко К.И. Влияние деформаций сдвига на напряженное состояние сферической оболочки, ослабленной отверстиями.Прикл. мех., I97I, т. 7, Р 3, с.21-27.

120. Шнеренко K.I. Осесимметричний напружений стан ан1зотропно1 сферично! оболочки з отвором.- Доп. АН УРСР, сер. А., I97I, Р 2, C.I78-I8I.

121. Шнеренко К,И, Анализ расчетных схем для оболочек из композиционных материалов с отверстиями. Прикл, мех., I98I, т.17, 4, C.24-30.