Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в весовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Аналитическая и коаналитическая периодические задачи в полуполосе.

1. Определение основных пространств.

2. Теорема об ортогональном разложении.

3. Модельный пример вариационной аналитической задачи.

4. Общая аналитическая задача.

5. Коаналитическое уклонение. Постановка коаналитической задачи.

6. Существование и единственность наилучшего продолжения.

Глава 2. Аналитическая и коаналитическая задачи в круге.

7. Определение основных пространств.

8. Теорема об ортогональном разложении.

9. Модельный пример вариационной аналитической задачи.

10. Общая аналитическая задача.

11. Коаналитическая задача. Существование и единственность наилучшего продолжения.

Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, возникающих как математические модели вариационных задач на аналитических и коанали-тических подпространствах весовых пространств Соболева.

Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариационных задач было начато в недавних работах Ю.А. Дубинского (см. список литературы), в которых был исследован ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коаналити-ческого уклонения и другие. Однако исследования Ю.А. Дубинского относились к случаю невесовых соболевских пространств.

Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в случае весовых пространств в единичном круге и в полуполосе на комплексной плоскости.

Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является результат об ортогональном разложении квадратично суммируемой с рассматриваемыми весами функции на аналитическую и коаналитическую составляющие, который имеет, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, и которому в работе уделено значительное внимание.

Исследования, представленные в диссертации, проводятся в рамках общей теории уравнений с частными производными на базе как вещественной, так и комплексной теории функций и функционального анализа- При решении поставленных задач используются методы исследования дифференциальных уравнений, созданные в теории коэрцитивных и монотонных операторов. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Существенную роль в получении основных результатов сыграло наличие ортогонального базиса в подпространствах аналитических функций в круге единичного радиуса и в полуполосе. i

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Установлено ортогональное представление квадратично суммируемой с весом функции в виде суммы аналитической и коаналитической составляющих.

2. Изучена нелинейная аналитическая задача вариационного типа в рамках весовых пространств Соболева.

3. Исследована задача о минимизации коаналитичекого уклонения при продолжении заданной граничной функции внутрь области также в пространствах Соболева с весом.

Результаты п.п. 1—3 получены в случае полуполосы комплексной плоскости и в случае круга единичного радиуса.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер.

Основные результаты диссертации докладывались на научно - исследовательских семинарах: семинаре МИР АН им. В. А. Стеклова под руководством акад. РАН С.М. Никольского, члена-корр. РАН О.В. Бесова и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А. Дубинского, семинаре по вычислительной математике и математическому Моделированию под руководством проф. A.A. Амосова и проф. A.A. Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), на совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (девятнадцатая сессия, Москва, МГУ,1998), а также на пятой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов (Москва, МЭИ,1999).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19-22], а также содержатся в статье Зубкова П.В. "Об аналитической нелинейной задаче вариационного типа", принятой к публикации в журнал "Доклады РАН" 23 апреля 1999 года. |

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводятся основные результаты работы.

В главе 1 проводится изучение аналитической и коаналитической периодических задач в полуполосе в пространствах с весом е~уу.

В §1 вводятся основный функциональные пространства.

Пусть С1 = {г = х + гу, х Е Я1 ,у € Я,1} - комплексная плоскость, <2 = {г £ С1 : —7Г < х < 7Г, у > 0} - полуполоса, /л(у) = - весовая функция,

Обозначим через (С, е~1У) весовое пространство Лебега комплексных функций, измеримых и суммируемых с квадратом в области (7 с весом е-7У. Положим т\ь2(С,е-^ = \\М\\0„ = (Л^\Нх + 1У)\2е-^хс1Уу2.

Далее, введем анизотропное пространство Соболева периодических функций

Цг^^е-^^иМ-.О С1;/(г), ^^ е Ь2(0,е^у),к^ 1,. т г) = /(* + 2*); ||/И^«,,-™) = И/С = £ а;—о и подпространство аналитических функций из \У™,0(С, е~уу)

0?(0,е~™}={ /(г) : ¡(г + 2тт) = /(г), /(г) в д-г№ = 0}.

Пространство аналитических функций 0™(С, е~уу) является замкнутым подпространством пространства Ил™'°(<7,е71/). дк/ дхк

О .'У

Система экспонент {егпг}, п = N,$1 + 1,., где N = [—+ 1, образует в О™{С, е~~7У) ортогональный базис. Очевидно,

С С»™-1^-™) С ••• С С О^е"™), причем эти вложения плотны в силу единого базиса Фурье.

Через обозначим сопряженное к IV™ (О, е~7У) пространство £ нормой |(-|(т 7тп

Заметим, что дифференциальный оператор Л= 2/(~1) де]йа;=0 ствующий из пространства е~~гу) в сопряженное пространство осуществляет изометрический изоморфизм между этими пространствами. Введем пространство

- И/11-тл +

1А

1 дх м

-т, 7

1 ^ п

-ту

В силу вложения У;1^""™'0^, е"™) С С ([0, оо); ТГ2""то(-тг, тг)) определены следы функций из У"1!^-т'° (С, е~7У) на границе у — 0. В §2 доказана формула которая отражает тот факт, что всякая функция f(z) £ е~1У) i может быть единственным образом представлена в виде ортогональной суммы аналитической и коаналитической составляющих, причем для коаналитической составляющей fca(z) справедливо представление М где функция р(г) 6 И1^ (С?,е - коаналитический потенциал. Здесь И/21(^е7У) ~ подпространство функций из

И^С.е"™) = { /{г + 2тг) = /(г)-, /(г), |-/(г), |-/(г) е £2(С,е-™); ||/М1Й.т + 1^/(2)11^ < оо}, обращающихся в нуль при у = 0, т.е. { /(г) е /(*) = 0). у-о

Теорема 2.1. Яусть у ^ 2к, к = 0, ±1, ±2,.нф) 6 Ь2(0,е~™). Тогда ц(г) обращается в нуль на подпространстве аналитических функций 02(<?,е~7У) ( т.е. = 0 для любой функции (р(г) £ 02(С,е~~гу) ) тогда и только тогда, когда существует единственное решение р(г) задачи

-8ж(рф)) = ф), М = е"™, р(*) € А4 2тт) = р(г), При этом справедлива оценка

В работе приведены примеры, показывающие существенность налагаемых на весовую функцию условий. Справедлив и более общий результат. I

Теорема 2.2. Пустьуф2к, к = 0,±1,±2,.ид{г) £ (га > 0). Тогда д(г) обращается в нуль на подпространстве аналитических функции ( т.е. (д, <р) — 0 для любой функции г!(г) £ е 7У) ) в том и только в том случае, когда существует единственное решение задачи 9«, А* = рМ € V"1 е~7У);

2тг )=р(г); О. у=0

При этом справедлива оценка

Этот результат играет основную роль при формировании и исследовании ряда нестандартных математических моделей вариационного типа, описываемых в последующих параграфах данной главы.

В §3 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве аналитических функций. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В §4 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа порядка 2т (т > 1), которая имеет следующий вид ш

Г(-1 )кБкхАк(г, ¡{г), /'(*),., /<»•>(*)) + -д2(^р{г)) = к=0 ^ г + 2тг) = /(г), р(г + 2тг) = р(г), рМ\у=0= 0, р, = е-™, здесь через Вх обозначен оператор ^ дифференцирования по переменной х.

Особенностью этой задачи является то, что в ней неизвестными являются две функции: /(г) - аналитическая функция, и р(г) - коанали-тический потенциал.

Доказана теорема о разрешимости этой задачи в предположении, что функции Ак удовлетворяют следующим условиям:

I. Условие "подлинейного" роста: для почти всех г Е <2 и всех

Со, • • •, £ тп ее1 т < + дк(г), к = 0,1, — з=о где дк(г) - некоторые действительные функции из />2(£,',е~~7У), М\ > О - постоянная.

II. Условие коэрцитивности: для почти всех 2 £ б? и всех • • • ? £т т т

Яе ]Г • • •, > М2 ]Г |6|2 - (*),

0 А=0 где М2 > 0 - некоторая постоянная и Ьг(г) - функция из /^(С?,е-7У).

Теорема 4.1. Пусть 7^2/г, /г=0,±1,±2,. и функции . ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1,11. Тогда для любого Н(г) £ Ш^"1'0 {0,е~1у) существует, по крайней мере, одна пара функций /(г) е и р{х) £ (в, являющихся решением задачи в смысле обобщенных функций над пространством (т> 1).

Теорема доказывается в два этапа. Сначала методом Галеркина определяем аналитическую функцию /(г), а затем, используя теорему 2.2, находим коаналитический потенциал р(г). В качестве достаточного условия, гарантирующего единственность решения, можно предположить условие строгой монотонности оператора тп и,/'И,. ,/<"*>(*)). к=0

В §5 рассматривается постановка вариационной задачи о минимизации коаналитического уклонения.

Определение. Мерой неаналитичности или, что то же, коаналитичес-ким уклонением функции /(г) £ е~"*у) назовем число

Ы/,1) = УсаШ^НО.е^,) 3 ||У(/ - /,)|Ц17 + ||/ - = - /«) " А) I/ - АГ е~~1У&х(1у.

С учетом этого определения естественно поставить задачу о поиске такого продолжения заданной периодической граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума «7-2 (/,7).

Задача. Среди всевозможных продолжений е 1¥}(0,е-тУ), /(г + 2тг) = /(г), /(г) = /„(*), у=0 найти то, которое имеет наименьшее коалалитическое уклонение

Математической моделью поставленной задачи является краевая задача для дифференциального включения д

-Д(/ - /„) + - /а) + (/ - А) € 02-Ч<г,е-7У), при дополнительных условиях = /0(х), у=о где - проектор на подпространство периодических функций, разлагающихся в ряд по ехр гпх, п = N + 1,. •где N = [— 2] + 1.

В §6 в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коаналитическом уклонении.

1 /2

Теорема 6.1. Для любой периодической функции /о (ж) £ Ш2 (—7Г, 7г) существует единственное решение /(г) Е И/21(С?, е7у), /(г 27г) = /(г) задачи минимизации коаналитического уклонения.

В главе 2 исследуются аналитическая и коаналитическая задачи в круге единичного радиуса.

В §7 вводятся основные функциональные пространства. Пусть К = {г £ С1 : х2 + у2 < 1} -круг единичного радиуса. В этой главе в качестве весовой функции на К рассматривается степенная функция вида р(х,у) = дь \ где д = уж2 + у2, Ь - вещественное число.

Обозначим через дь) - весовое пространство Лебега функций г) : К —>■ С1, измеримых и суммируемых с квадратом в области К с весовой функцией р(х,у), где норма вычисляется по формуле

Ш\\ык>д ь> = 1№)11о,ь = + |2М®,у)^у)1/2.

На полярной сетке (д,9) в круге К введем оператор комплексного уго д лового дифференцирования о$ —-- — и оператор радиального компгд од лексного дифференцирования дв = е~гв — . Заметим, что дифференцидд я 1 ( д ■ д \ < альныи оператор о2 = - ( —--г— I в полярных координатах (¿>, и) записывается в виде дг = + де).

Через 1У™0(К, дь) обозначим весовое пространство функций, которые имеют комплексные угловые производные до порядка га (т > 1) и суммируемы с квадратом в области К вместе с этики производными при весовой функции дь, т.е.

У£е(К,дь) = {/(г):К-> С1', /(г), $/(*) £ Ь2(К, дь), к = 1,. т к=О

Введем весовое подпространство "почти аналитических" функций дь) = { ¡(г) : КС1, /(г) € И^(ЛГ, дь), /(г) — аналитическая в

Пространство О™(К, дь) является замкнутым подпространством

Система мономов {гп},п = ЛГ, N + 1,.образует в О™(К, дь) ортогональный базис, где /0, ¿€(-2,2т];

I [-2] + т> Ь0(-2,2т].

Очевидно

• • • Л с еь) с • • • с с е% причем о плотности вложений в цепочке пространств можно говорить при — 2 < Ь < 0 в силу общего базиса гп,п = 0,1,2, —

Через ЦГ^^К, дь) обозначим сопряженное к \¥™в(К, дь) пространство с нормой

II и - II II \<Л>Р>

1Ы1И7-= Ы\-т,Ь = |Гр|

II-* \\т,Ь т к(Я \к

Заметим, что дифференциальный оператор Л = {Щ) \дв) •> Дейк=0 ствующий из пространства \¥™в(К, дь) в сопряженное пространство \¥2™{К, дь), осуществляет изометрический изоморфизм между этими я* д (е* \ пространствами, здесь Од - = — I -— 1 - оператор, сопряженный к оператору комплексного дифференцирования д$-. Используя это свойство, можно дать следующее эквивалентное определение пространства оо

Щ7?(К, вь) = { д(г) : # С1; д(г) = £ дп(9упв-,

ОО

Е / О п= — оо

2тт > ' /" п= — оо т д в

2Яг к=0 гдеП„)= = (1^ = 0!'"

Далее введем пространства п - к + 1), к ф 0;

Л = {л ¿)^ (Мй/)> ¿у^(?(*)/) € и^Л*. Кв) = Л деШ) т,Ь т.Ь оо

И^Л*. = { /(*) -К С1; /(л) = £ п= —о©

-¿Мм/) т,Ь 1 т,Ь т{П \i-Jo ? пи ' <''+Ь/01 > 1/ а;=0 "

При т = 0,1 пространства дь) и совпадают, а при т > 1 У;1^^, еЬ) С ^И^ЛЛГ, Заметим, что в силу вложений с С ((0,1]; И/2~т(0, 27г)) ,

V;1 {К, еь) С С ((0,1]; И7т(0,2тг)) можно говорить о следах функций из соответствующих пространств на границе области К.

В §8 доказывается теорема об ортогональном разложении в шкале пространств \¥2™(К,д1') (т > 0).

Теорема 8.1. Пусть Ь ф 2к, к = ±1,±2,., и ц(г) е где т > 0. Тогда ^(г) обращается в нуль на подпространстве "почти аналитических" функций О™ (К, дь) (т.е. {д,<р) = 0 для любой функции <р(г) £ О™(К, дь) ) в том и только в том случае, когда существует единственное решение задачи ф), !Л = е\ р(г) е V;1 вь),

При этом справедлива оценка М(т,Ь) \Ш\\т Ь .

В работе приведены примеры, показывающие существенность налагаемых на весовую функцию и коаналитический потенциал условий.

В §9 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве "почти аналитических" функций в круге. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В §10 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа, которая имеет следующий вид т 1 оо> /'(*)> • • •, /(т)м) + м*)) = ™ > 1,"

На* = 0.

Доказана теорема о разрешимости этой задачи в предположении, что функции Ак удовлетворяют следующим условиям:

I. Условие "подлинейного" роста: для почти всех г Е К и всех

Со? • • • ? £тп £ С1 т М1^\£з\ + 9к(г), А; = 0,1,. .,т, о где ^(-г) - некоторые действительные функции из Ь2{К, дь), М\ > 0 -постоянная.

И. Условие коэрцитивности: для почти всех г £ К и всех ., £т т т

Ке ^ Лк(г, Со, •. > М2 £ |&|2 ~

Лг=0 *;=0 где М2 > 0 - некоторая постоянная, и 61(2) - функция из Ьх{К, д1).

Теорема 10.1. Пусть Ьф2к,к = ±1, ±2,. и функции Ак(г,£0,. ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1,11. Тогда для любого Н(г) £ И^™(.К", существует по крайней мере одна пара функций ¡(г) Е 0™(К, дь) и р(г) Е дь), являющихся решением задачи в смысле обобщенных функций над пространством У/™в(К, дь) (т > 1).

Теорема доказана в рамках идей метода компактности. Замечание 10.1. В случае строгой монотонности оператора т (/(*)) = 52ткАк(г, т Г (г),., /<»>> (*))

Дс=0 найденное решение единственно.

В §11 исследуется вариационная задача о минимизации коаналити-ческого уклонения.

Ставится задача о поиске такого продолжения заданной граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума т2(/,Ь) = НЛаМН^к,^) 3 \\Vif - /а)||021Ь + II/ - /„11^ , где fa - аналитическая составляющая функции /(2).

Задача. Среди всевозможных продолжений f(z) G W}(K, f(z) = fo(s) e Wl,2(S), 5 = {z € C1 : \z\ = 1}, о найти то, которое имеет наименьшее коаналитическое уклонение m2(f,L).

В рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коаналитическом уклонении.

Теорема 11.1. Для любой функции /о(s) G W^2(S) существует единственное решение f(z) £ W2(K, gL) задачи минимизации коаналити-ческого уклонения.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи, постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях // Изд-во иностранной литературы. 1962.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды // М.: Наука. 1961.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука. 1975.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука. 1988.

5. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения // М.: Мир. 1978.

6. Демидов A.C. Обобщенные функции в математической физике. Основные понятия // М.: Изд-во МГУ. 1992.

7. Дубинский Ю.А. Обобщенные функции и их применения. Выпуск II. Нелинейные эллиптические задачи // М.: МЭИ. 1976.

8. Дубинский Ю.А. Об аналитической нелинейной периодической задаче // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. N3 С.371-381.

9. Дубинский Ю.А. О некоторых ортогональных разложениях и нелинейной аналитической задаче // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N2 С.262-275.

10. Дубинский Ю.А. Об аналитических "краевых" задачах на плоскости // Успехи математических наук. 1997. Т.52. вып.З. С.53-104.

11. Дубинский Ю.А. Об |одной задаче наилучшего продолжения периодической функции // Доклады РАН. 1998. Т.360. N1. С.10-12.

12. Дубинский Ю.А. О продолжении функций с наименьшим коаналитическим уклонением // Математические заметки. 1998. Т.64. N1. С.45-57.

13. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об аналитической нелинейной задаче в полосе // Вестник МЭИ. 1995. N6. С.29-40.

14. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. £р-теория некоторых аналитических и коаналитических задач вариационного типа / / Вестник МЭИ. 1997. N6. С.18-30.

15. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об "ортогональном" разложении <|оболевских пространств в сумму аналитических и коаналитических подпространств // Доклады РАН. 1998. Т.359. N6. С.735-738.

16. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об общем виде функционалов над пространствами аналитических функций. // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.36-46.

17. Евграфов М.А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды // М.: Мир. 1965. Т.2.

19. Зубков П.В. Аналитическая нелинейная вариационная задача в круге в пространствах с весом // Вестник МЭИ. 1996. N6. С.57-70.

20. Зубков П.В. Об аналитической нелинейной периодической задаче в полуполосе в весовых пространствах // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.62-72.

21. Зубков П.В. Об одной аналитической задаче в круге в весовых пространствах // Успехи математических наук. 1998. Т.53. вып.4. С.192-193.

22. Зубков П.В. Об аналитической нелинейной периодической задаче в полуполосе в весовых пространствах / / Пятая Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. Тезисы докладов. М.: Издательство МЭИ. 1999. Т.1. С.243-244.

23. ИосидаК. Функциональный анализ // М.: Мир. 1967.

24. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Наука. 1976.

25. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного // М.: Наука. 1973.

26. Лионе Ж.-JI. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач // М.: Мир. 1972.

27. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций // М.: ГИТТЛ. 1950.

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения // М.: Наука. 1977.

29. Ройтберг Я.А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. Препринт I IV // Чернигов: Педагогический институт. 1990.

30. Рудин У. Функциональный анализ // М.: Мир. 1975.

31. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии // М.: Изд-во "Факториал". 1996.

32. X. Трибель. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. // М.: Мир. 1980.

33. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства // М.: ГИИЛ. 1948.

34. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ // М.: Наука. 1976.

35. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре. // Математический анализ. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985. С.3-124.

36. Эдварде Э. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.

37. Axler H. Bergman spaces and their applications // Surveys of Some Recent Results in Operator Theory. V.l. (J.Conway and B.Morell, Editors). Pitman Res. Notes in Mathem. 1988. P. 1-50.