Методы исследования управляемости и наблюдаемости нестационарных сингулярно возмущенных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

р[ 6 ОД 1 Ь той »333

На правах рукописи

Цехан Ольга Борисовна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ

01.0 1.02 -даФ1>еренциальние уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата |||цашю- математических наук;

Минск

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Беларуси.

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник КопеВкина Татьяна Борисовна

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущее учреждение

- доктор физико-математических наук , профессор Курина Галина Алексеевна

кандидат физико-математических наук, доцент, Крахотко Валерий Васильевич

- Одесский ордена Трудового Красного Знамени государственная университет им.И.И.Мечникова

Защита состоится Ш~ОН.£{ 1993 года в "_"

часов _ минут на заседании специализированного совета

К 086.03.10 в Белорусском государственном университете по ядресу: 220004 , г. Минск , пр. Ф.Скорины, 4, Релгосунипероитет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

' Автореферат разослан Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических нэук, доцент

МС1& 1093 года.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сингулярно возмущенные системы (СВС), к которым относятся, в частности, сиотемы дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, принадлежат к одной из наиболее интенсивно изучаемых в последние 20 лет областей современной математики. Это обусловлено большим прикладным значением СВС: они широко встречаются в самых различных областях физики, техники, химии, биологии (релятивистская теория поля, теории движения плазмы, жидкостей и газа, нелинейных колебаний, задачи динамшси полета, оптимального управления электродвигателями постоянного тока, ядернымл реакторами, процессами термообработки, экология и химическая кинетша и т.п.). Указанными процессами необходимо управлять, переводя состояние объекта из одного положения в другое, восстанавливать значения начальных или текущих координат по доступной наблюдателю информации. Данные задачи составляют существо 'проблем управляемости и наблюдаемости.

Для исследования разнообразных задач, описываемых СВС, успешно применяется метод усреднения Крылова-Боголюбова, метод пограничных функций Васильевой, метод регуляризации Ломова.

История возникновения и развития методов малого параметра насчитывает около века. Хорошо известно, что при,составлении математических моделей реальных процессов неизбежно приходится пренебрегать теш или иными малыми величинами. Естественно возникает вопрос о том, насколько точно упрощенная модель описывает исследуемый процесс. В математической постановке ответ на него часто сводится к проблеме исследования зависимости решений соответствующих уравнений от малых параметров. Эта зависимость может иметь либо

регулярный,либо нерегулярный характер. Первый случай хорошо изучен в литературе. Задача существенно усложняется во втором случае, т.е. в случае сингулярно возмущенных уравнений. Характерной особенностью решений таких уравнений является наличие пограничных и переходных слоев, т.е. областей быстрого изменения решения, в которых оно, в отличие от регулярного случая, не может быть описано рядом по степеням малого параметра.

Интенсивное исследование сингулярно возмущенных уравнений началось с работ А.Н.Тихонова (1948, 1950, 1952). Первые результаты по управляемости стационарных СВС принадлежат P.V.Kokotovio, A.H.Haddad (1975). В работах T.R."Giohev, A.L.Dontchev (1975, 1978, 1979, 1983), P.Sannuti (1977, 1978), P.V.Kokotovio, H.K.Khalil, O'Reilly (1986), P.V.Kokotovio, J.O'Malley, P.Sannuti (1976) вти результаты были распространены на линейные нестационарные и нелинейные СВС. Однако все доказанные результаты для линейных СВС, выраженные через условия управляемости вырожденной системы и системы погранслоя, носили достаточный характер а использованные методы исследования не позволяли дать ответ на вопрос: каковы условия управляемости СВС в случае невыполнения втих условий. Ответ на поставленный вопрос впервые был дан Т.Б.Копейкиной в работе "О необходимых и достаточных условиях управляемости линейных автономных сингулярно возмущенных- систем" (Междунар. советско-польский семинар "Математические методы оптимального управления и их приложение". Тезисы докл. Мн., 1989- С.64-66.).

Достаточные условия управляемости систем, не разрешенных относительно старшей производной (частный случай СВС), а также разнотемповых СВС, получены Г.А.Куриной.

Задача наблюдаемости СВС почти не исследована. Автору извес-

тен лишь результат P.V.Kokotovic, H.K.Khalil, O'Reilly (1986), где доказаны достаточные условия наблюдаемости нестационарных СВС, выраженные через условия наблюдаемости вырожденной системы и системы погранслоя.

Многие физические объекты содержат элементы задержек и их поведение оггасывается дифференциальными системами с запаздывающим аргументом. Построение асимптотики решения дифференциально-разностных уравнений с малым запаздыванием рассматривалось А.Б.Васильевой. Способ построения асимптотического разложения по малому параметру решения нестационарной сингулярно возмущенной начальной задачи для дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, основанный на методе пограничных функций, предложен В.И.Фодчуком, И.В.Якимовым. Исследование управляемости линейных СВС i запаздыванием (СВСЗ) проводилось Т.Б.КопеЙкиней. Ею предложены три метода решения задачи управляемости линейной СВСЗ: 1) модифицированный метод погранфункций; 2) метод невырожденной замены переменных; 3) метод'пространства состояний. Для линейных стационарных СВСЗ с помощью втих методов получены достаточные условия, критерии управляемости. Исследование управляемости нестационарных СВСЗ не проводилось.

Настоящая работа посвящена вопросам управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем (ЛНСВС). Цель работы состояла в получении эффективных, выраженных через параметры исследуемых систем, условий управляемости ЛНСВС бег запаздывания, о запаздыванием (ЛНСВСЗ), наблюдаемости ЛНСВС.

В соответствии о целью для сингулярно возмущенных систем управления и наблюдения были поставлены следующие основные задачи.

1. Построить асимтотическое разложение решений ЛНСВС и ЛНСВСЗ

■ в ряд по малому параметру.

2. Получить алгебраические достаточные условия рангового типа управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС, выраженные через параметры исходных систем.

3. Найти критерии управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

4. Установить принцип двойственности'свойств управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

Научная новизна и практическая значимость работы. В данной работе впервые получены следующие результаты.

1. Модифицирован метод погранфункций А.Б.Васильевой, на основании которого получен ряд достаточных условий управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС, имеющих алгебраический характер и выраженных через параметры исходных систем.

2. Разработан метод пространства состояний исследования управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

3- Предложены правила построения определяющих уравнений для ЛНСВС и ЛНСВСЗ управления, ЛНСВС наблюдения, в терминах решений которых доказаны критерии управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, наблюдаемости ЛНСВС.

7. Установлен принцип двойственности свойств управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое и прикладное значение. Проведенные исследования могут найти применение при изучении физических, технических, биологических и т.д. процесов, динамика которых описывается СВС, а также служить основой для разработки методов исследования управляемости и наблюдаемости нелинейных сингулярно возмущенных систем.

Публикации и апробация работы. Результаты исследований доло-

жены на 2-ых научных чтениях "Динамические системы* устойчивость, управляемость, оптимизация" (Миной, 1990), объединенном семинаре "Качественная теория оптимального управления" Института математики АНБ и Белгосуниверситета (Минск, 1990), Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1990), Международной математической конференции "Ляпуновские чтения" (Харьков, 1992), конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), Международной математической конференции, посвященной 200-летию Лобачевского (Мияок, 1992).

По теме диссертаций опубликовано 9 работ,2 находятся в печати. Структура и объем работы. Диссертации состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 115 источников. Дйоозр-тация содержит 2 рисунка. Объем работы 146 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Во введении приводятся обзор литературы по теме диссертации и

I

дается аннотация глав диссертации.

В главе I изучается управляемость ЛНСВС, опиоываемых \

обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Пусть поведение некоторого динамического объекта на отрезке времени I'=[tQ,ti ] описывается ЛНСВС дифференциальных

уравнений

i(t)=Ai(t)x{t)+Cl(t)y{t)+Bl{t)u(t). (1)

¡iy(t)=Аа(t)i(t) +Cg(t)y(t) +Ba(t)u(t), teT, j n, n _

где ^efR , uctf , u(t) - вектор управляющих воздейст~.

вий из класса и достаточно гладких вектор-функций, называемых' далее допустимыми, Ц - малый числовой положительный параметр, 0<(J</J°«i, z(t,(i)=(x(t,|i),y(tfp)} - состояние системы в произволь-

ный момент времени ит, А^г), С^О, 1=1,3, В(О,

3=1,2 - достаточно гладкие матричные функции соответствующих размерностей. Степень гладкости всех входящих в (1) функций уточняется в каадом конкретном случае.

Для того, чтобы .движение системы (1) было определено при

и некотором зададим начальйые условия

хИ0,(1)=х0, уа0,Ц)=у0. »„л"1, У0ек"2. (2)

Задача (д,»)~ управляемости ЛНСВС (1),(2) при Це(0,Ц°.

состоит в определении условий существования такого допустимого управления и^), и( • )е11, о помощью которого решение системы

(1) (его составляющая 1(4,y(t,|l)) может быть переведено из заданного начального состояния (2) в произвольную точку

П1 *П0 П4 по

г^х^у^ёЛ 1 а (!,€»? у^К а) за время tl-t0: =

Систему, для которой сформулированная задача имеет решение при любых начальных условиях (2), назовем (х,у}- (соответственно, х-} у-) управляемой на !Г.

Для решения поставленных задач предлагаются два подхода: 1) модифицированный метод погранфункций; 2) метод пространства состояний.

Первый подход использует наличие в фазовой картине ЛНСВС (1) быстрых и медленных движений, позволяет л-мерную систему (1) в результате декомпозиции' разделить на две подсистемы меньшей размерности и свести исследование различных свойств ЛНСВС (1) к исследованию соответствующих свойств полученных подсистем.

Для реализации этой идеи в работе модифицируется метод погранфункций А.В.Васильевой (1973). Отметим, что впервые этот

метод предложен Т.Б.Копейкиной (1989) для исследования управляемости стационарных СВС.

Пусть действительные ласти собственных значений матрицы С ( t ),.teT, отрицательны: .

Re X,(t) s -X < О, tef. (3)

Тогда при достаточно малых fi решение Системы (1) представиыо в виде суммы двух слагаемых

Z(t,(l) = 2B(t,|i) + Zf(X,¡i),

te?, Z=(t-t*)/ller[i=ÍZa,Zíl, (ИеГ, 10=(t0~t*)/H, X^(tj-tVjl),

где

2 (i,/i)= i ¡ilz (t) & lin z. (t.fi) à lim fî (t,p), ykB(t.ii)} (4)

" I «S k-Xo k-*a> V J

- регулярный ряд, коэффициенты z, (t) ж частичные суммы й-го по-

t а

рядка zkB(t,fi) которого зависят от "медленного" времени tel1, а г (T.fi)= I fílzlf(t) * llm гГг(х,Ю è llm p (t.íi), y f(r,ji)\ (5)

1«0 k-+oa k-*» ч i

- пограничный ряд, коэффициенты z(f(t) и чаотичные суммы fe-го порядка zkf(z,fl) которого зависят от "быстрого" времени teï^.

Управление, решающее задачу управляемости, ищем в виде u(t) = Ue(t) + uf(t),

где ug(t) -управление только медленной чаотыо zjt.p), a uf(r) ~ управление только быстрой частью zf(t,fi) решения z(t,¡i). Тогда изучение управляемости исходной JfflCBC можно свеоти к исследованию управляемости систем дифференциальных уравнений относительно частичных сумм fe-го порядка регулярного и пограничного рядов (4),-; (5), названных вырожденными системами fe-приближения (ВС^П) - й'. системами погранслоя ^-приближения (СП^1), соответственно. ВС^П и Ciyi называются подсистемами й-приближения.

Условия управляемости подсистем й-приближения формулируются в терминах решений алгебраических матричных уравнений, построенных по подсиотемам ^-приближения и названных определяющими уравнениями соответствующих подоистем. Как и подсистемы ^-приближения, их определяющие уравнения могут быть записаны как с использованием параметров оамих подсистем ^-приближения,'так и параметров исходной ЛНСВС (1). Для построения определяющих уравнений между

л, - п

векторными функциями я укв(1,д)еК , и^^сК ,

~ П1 ~ К „

хкГ(Т,Д)еК , |/к(.(Т,Д)еЯ , иг(г)с1к, и матричными функциями п.хг п„хг __ ~ П.УГ П УГ

т)€ЙГхГ, вводятся соответствия, согласно которым дифференциальным уравнениям ВС^П и СП^П соответствуют матричные алгебраические рекуррентные по (,1г определяющие уравнения.

Изложенный подход позволяет свботи решение задачи управляемости п1+па~мерной ЛНСВС (1) к решению задач управляемости двух систем меньшей размерности, что является несомненным достоинством □того подхода при большой размерности системы (1). Кроме того, он позволяет получить последовательность достаточных условий управляемости ЛНСВС (1), не зависящих от Д.

В §9 изложен глобальный по параметру Д метод пространства

п+п

состояний исследования управляемости ЛНСВС в К , восходящий к работе Р.Калмана (1961).С помощью его в терминах определяющих уравнений ЛНСВС (1) сначала получен ранговый критерий управляемости системы (1),зависящий от параметра д и справедливый для любого фиксированного Д>0. Использований малости д позволяет получить как необходимые, так и достаточные условия управляемости, не зависящие от д.

Первый подход исследования управляемости ЛНСВС реализован в

§§1-7. В §1 для (1) строится асимптотика решения по малому параметру (]. Получены представления ВС^П и Ь=0,1,2,... в

виде систем п^п дифференциальных уравнений.

В §§2,3 при условии .с1в1Са^)*0 дано представление п^п^ мерных подсистем ^-приближения: для ВС^П в виде п^ уравнений относительно только переменных xíв(t,f¡) ((=0,й). для СП^П в виде п3 уравнений относительно только переменных у,^(т,/1) (.1=0,к).

В §4 определены начальные условия 5квио,/1)€Йк(/1),

гч м

у (го,/ОеН (д) для подсистем й-приближения из §§2,3.

§§5,6 посвящены исследованию управляемости ВС^П. Допустимое управление и Ш гшблрается из класса К £C1[tn,t.], 3=0,1,2,...,

• в О *

достаточно гладких вектор-функций и (• )€С-*[^, ] и =

9 0 1 • I •

еС-Ч^,^ }=0,1,2,... . Степень ] гладкости вектор-функции и (4) зависит от номера ^-приближения и уточняется в каждом

Я

конкретном случае. •■

Задача ВС^П-управляемооти. Для заданной на Г при Це(0,Д°] ВС^П определить условия существования такого допустимого управлениями), и^ОеН^, которое переводит вту систему из заданного начального состояния х (4 (р) в любую точку

а^еК за время ^ № ,Ц) = а?1.

Определение 1.5.1. ВС^П (к=0,1,2,...) управляема на отрезке Т при /1е(0,Цк]£(0,д°], если задача ВС^П-управляемоети разрешима для любых начальных условий 5киио,д)еЙк(д).

В §5 изучается управляемость ВС^П в расширенном пространстве состояний, состоящем из векторов

ijt.fi) =

п=0,к

е К 1 . (6)

Теорема I«5.3. Пусть матрицы вырожденной системы fe-приближе-ния - аналитические функции. Тогда для того чтобы BC^II была управляема на Т для V(ic(0,(Jk] необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное число N, что

rank Г Г Ц" «=оТ» 1 vMO.fiJ,

I в«0 J '

•■де i=0,±1 ,±2,..., - решения определяющих уравнений BCfen

m»0 ra«0 q=0 n»0

вычисленные при начальных условиях

У°(П=ЕГ. 1*0\]Ъ*0,

5l(t)eCh «г» (7)

Здесь Am(t), В (t), t,m=o7fe, - параметры BCyi.

В §6 исследуется управляемость ВС^П о помощью управляющего

воздействия u (t) и k его производных un>(t), i=1,k, которая нч~ в в

звана fe-гладкой управляемостью ВС^П.

0пределение_1д6л_1. ВС^П (k=0,1,2,..) ft-гладко управляема на Г при lle(0,fik)s(0,(l°), если для любых начальных условий xkc(to,fl)<; dN (fi) и любого п -вектора х существует допустимое управление

- Г u("(t) 1

U, (t) = я I, такое, что порожденная им траектория

Ьв I 1=0, k J

iku(t,H), teT, BCfen удовлетворяет условию

®k.(ti',1)=Ii» MeiO.ii^l-Теорема 1.6.2 . Пусть матрицы вырожденной системы й-приближе--ния - аналитические функции. Тогда для того чтобы BCj?n была ft-гладко управляема на Т для \/Це(0,уи) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное число N, что

- \г -

rank Г ZHK I =V \/lle(0,Vk],

L n»o J

где матричные функции J^<u,(t) н [X*(m)(t),On

t ,к=0,1,2,.т=0,к, - решения определяющего уравнения Beyj

I^'U^E A. (t)5*<k,(t)+£ в fk.(t)^-Bno(t)-P(k,(t),

l + l _ к — т I in (к | I 1

га»о т«0

вычисленные при начальных условиях

Показано, что из управляемости BCyi следует fe-гладкая управляемость этой оиотемн. Приведен пример, доказывающий, что обратное не верно.

В §7 изучается управляемость СП^П. В качестве допустимых управлений uf(t) рассматриваются непрерывные вектор-функции uf(t) из класса Uf=juf (т)еС{Г0,<»)|-.

Задача СП^П-управляемости. Для заданной на Гд при Де(0,Д°] СП^П определить условия существования допустимого управления "rU), переводящего ету систему из заданного начального

•V Л/ W

состояния УкГ(,fi)efN^(/i) в любую точку y^R за время

Определение 1.7.1. СП^П (k=0,1,2,...) управляема 'на отрезке

при |/.-;(0,|ik]E(0,/Jo}, если задача СП^П-управляемости разрешима

для любич начальных условий t/]jf(To,(j)rNu(|i).

Теорема_1.7.2. Для того чтобы система погранелоя й-приближе-^

лия былп управляема на Т.. для VjJeiO.ft ] необходимо и достаточно,'

[2 к

чтобы существовало такое натуральное число N, что

rartfe Г £ /Г (t ). 1 = п , vfie(0,fl ],

L m = 0 J

и - ..

где У"^), 1=0» 7,2,..., т=0,Ь, - решения определящего уравнения

V

к в-1

Е Г I

■■1 п«0

х Е (-Я4«?""""1 .-^у*"" 4 (г) +

ч + т-п-1 ^ч »-ч-я + п

т«1 й«0 ^»О

X Е (-Очст"п_1 (г) +

чГо ч+т-п-1 йгч I-ч-т+п

+ Г £ С}->(*')^Т) ♦ Е ¡7 в'п,и*)ир(г) - -¡г-г^т),

т*0 ш«0

вычисленные при начальных условиях

гО/«\_|г „к

иЦх)^,. и\(х)=ог, 1*0 и ью.

х*(г)=сп кГ, 1*о цк*. (8)

т?<т)=ль хГ, «о и й<о.

Здесь i4lllj(t ), вI11j(t )• .7=0, - параметры СП^П.

В §8 устанавливается связь между управляемостью подсистем ¿-приближения и управляемостью исходной ЛНСВС (1). Показано, в частнооти, что из управляемости подсистем ¿-приближения следует {¡г,у)-управляемость исходной ЛНСВС при достаточно малых Ц. Доказаны достаточные условия управляемости ЛНСВС, выраженные через ее параметры.

Теорема 1.8.1. Если существуют такие натуральные числа Оет&к, что 1) выполнено условие

гстк [ ] = пх, (9)

то найдется такое Дв, дв€(0,д°], что ЛНСВС (1) г-управляема на Т для УДе(0,Дв]; 2) выполнено условие

гапк [ ^»(Т,), {=0^ ] = па, (10) '

то найдется такое ц , е(0,д°], что ЛНСВС (1) у-управляема на Т для УД€(0,ДГ]; 3) выполнены условия (9).(10), то найдется такое до=т{п{д>,дг}, дое(0,д°], пто ЛНСВС (1) {я.уЬуправлявма на Т для УДе(0,Д0].

Здесь У™(Т), q=0,±1,±2,..., 1,т=0,1,2,..., - решения

определяющих уравнений ВС^П

вычисленные при начальных условиях (7)» и определяющих уравнений

= V -£г 4(Т) + с^Ч^)^-""1 (X) +

т=0 V

га—О V

'вычисленные при начальных условиях (8).

В §9 излагается метод пространства состояний исследования управляемости ЛНСВС.

Теорема_Ь9л1- Предположим, что матрицы С и), 1=1,3,

3=1,2, {п^+п2~2) и (п1+п2-У) раз непрерывно дифференцируемы на Т, соответственно. Тогда достаточным условием {з:,{^-управляемости системы (1) на Т при де(0,Д°] является условие

rank

ю-0

I

1=0,11^-1

= Vna

для никоторого £е(го,11], Це(0,Ца]. Еоли элементы матриц системы (1) - аналитические функции, то ето условие является также и необходимым.

Здесь Xкi(t), Yki^tf, 1,Ъ=Ю,1,2,..., - решения определяющих уравнений ЛНСВС (1)

вычисленные при начальных условиях

иЦ(*)=Ег' 1*о и ь*о,

хГ, а<о и ко и хГ, Ы1 и ко и ш+1.

а

Глава II посвящена наблюдаемости ЛНСВС

п.

¡iy(t)=A3(t)x(t)+C3(t)y(t), ГеЗЧ^,^], Це(0,Д° ], . по ваходу

ша)=о1а)ха)+оа(1)уа), и т.

п

где ш(í)sa^(í,f^), 1иеК , причем при

(п1та)х(п1+пг)-иатрица (1),1) <4)], ЬъТ, вырождена.

Систему (11) с выходом (12) назовем ЛНСВС наблюдения (ЛНСВСН).

. В §1 ставится задача_{2\у}____наблюдаемости__ШСВСН:

для заданной на Т при Де(0,|1а] ЛНСВСН (11) ,(12) определить условия,« при которых по измерениям ш(1,|1), teЗ', можно однозначно восстановить начальное состояние {а?и y(t0,|i)} (компоненту

зао,(1)} I/(í0,íi)) начального состояния) системы (11), породившее

(11)

(12)

п=п,+п

3 1 3

данный выход (12).

ЛИСВОН (11),(12) называется (х,у}~ (х-\ у-) наблюдаемой при {1е(С>,(]0], если соответствующая задача наблюдаемости разрешима для ; любых начальных условий.

Для изучения наблюдаемости ЛНСВСН в §2 используется модифицированный метод погранфункций, а в §3 - метод пространства состояний, применяемые при исследовании управляемости ЛНСВС в главе I. В §2 получены представления подсистем ^-приближения и выходов ¿-приближения для этих подсистем. Поскольку условия наблюдаемости ЛНСВСН связаны с условиями наблюдаемости ее подсистем й-приближения по ^/-приближениям выходов, J=0,1,2,..., то вначале найдены условия наблюдаемости этих подсистем по соответствующим выходам, а затем установлена связь между ними и условиями наблюдаемости исходной ЛНСВСН.

В §3 для. изучения наблюдаемости ЛНСВСН используется метод пространства состояний.

Теорема 11.3.1. Для того чтобы ЛНСВС (11) была (з.,у)-~ наблюдаема по выходу (12) для \/(/е(0,ц°] достаточно, чтобы для некоторого ], У|]е(0,До], выполнялось условие

г м-Юо]'. I ИО*)]'

т—о * ' т=с 1 '

rank

Коли (элементы матриц системы (11) - эналитичесгае функции, то это условие является также и необходимым.

Здесь Y*(t), 1,К=0,1,2,..., - решения определяющих

уравнений ЛНСВСН (11)

X\^(t)^A;(t)X\^t)-Л'з(t)Yk-HtnD[^t)Uwi{t)-X^^l{t),

вычисленные при начальных условиях

u°(t)=En , , 1*0 и fe*o.

a а

XÏUHL , fe<0 и i<0 и fet.

13

, fe<o и «о и fei.

аз

В §4 устанавливается двойственность свойств управляемости и наблюдаемости СВС. Доказано, в частности, что ЛНСВСН (11),(12) {г,у)-наблюдаема тогда и только тогда, когда сопряженная ей линейная нестационарная система с разномасштабными коэффициентами .. x(t)=-A[(t)xlt)-(A'am/ß)-y(tUD'^t)u{t), MO.fl0].

y(t)=-C;(i)a:(i)-(C^t)/|l)..y(t)+i)^(t)u(i), UT, ,

(х,у)~управляема на Г.

Глава III посвящена изучению управляемости ЛНСВС о постоянным запаздыванием в состоянии (ЛНСВСЗ) i(t)=AAt)x[t)+Aa{t)x(t-h)+C(t)y(t)+C (t)y(t-h)+B It)u(t),

13 13 1

y(t)=Aa(t)x(thAi(t)x(t-n)^C3(t)y(t) +ßa(i)u(t),

n n

TelR , yeR , udR , teT, fie(0,ß ], ¡1*1, с начальными условиями

; ха(-,ц)=(х(е,ц)=<р(е,ц), e€tt0-h,t0)), р(е,ц)шО, e<t0-h, . : уь(-.ц)=(у(е,ц)=у>(в,Ю. ee[t0-h,t0]}, ?(в,д)-о, e<to-h, (u)

x(t,u)*0, y(t,[l)*0, u(t+h)*0, t<t0-h, Це(0,Ц°]. Здесь ^(t), {«774. Cj(t), J-ТЦз, Bk(t). k=1,2 - достаточно гладкие матричные функции соответствующих размерностей, h - число, характеризующее запаздывание, h>0, f)( -,/i), у(-,Ц) - кусочно-непрерывные тг1~ и п вектор-функции, соответственно. Степень гладкости всех входящих в (13).(14) функций уточняется в каждом конкретном "случае.

Задача относительной {аг,</}- (х-;____управляемости ЛНСВСЗ

состоит в нахождении для заданной на Т при ¡¡ч(0,Ц°] ЛНСВСЗ (13)

условий существования такого допустимого управления иЦ), и( • )е1),

с помощью которого решение {x(tt|}), y(t,|i)} системы (13) (его

составляющая з:( *, ц)'; y(t,fl)) может'быть переведено из заданного

начального состояния (14) в произвольную точку (х ,у } (х г у ) п+п п п

пространства К (К ; К 8) за время 11-t01 (x(tl,ll), y(tí,(i)) = (х1 ,у1} (хЦ^Ц)^; уИ1,ц)=у1).

Систему, для которой сформулированная задача имеет решение при любых начальных условиях (14), назовем относительно {¡соуправляемой на Т, (соответственно, х-; у-управляемой на Г).

Изучение управляемости ЛНСВСЗ проводится с помощью модифицированного метода погранфункций. В §§1,2 для ЛНСВСЗ (.13) построена асимптотика решения по малому параметру ¡1 и найдено представление подсистем ¿-приближения.

Управляемость подсистем ¿-приближения изучается в §§3-5. Постановки задач управляемости, а также классы допустимых управлений для подсистем ¿-приближения ЛНСВСЗ совпадают о постановками соответствующих задач и классами допустимых управлений для подсистем ¿-приближения ЛНСВС, данными в главе I.

0пределеш_1е_П1.5^!. ВС^П (¿=0,7,2,...) относительно управляема на отрезке Г при ]£(0,ДО°], если задача ВС^П-управля-емости разрешима для любых начальных условий.

В §3 получены необходимые и достаточные условия относительной управляемости ВС^П в расширенном пространстве состояний (6).

Тео£ема_П1Л Л. Пусть матрицы вырожденной систем ¿-приближения - аналитические функции. Тогда для того чтобы ВС^П была относительно управляема на Г для необходимо и

достаточно, чтобы существовало такое натуральное чиоло N, что rank Г £ ца ), «»О, J^l 1 = n , vne(0,iij,

где l*{Jh,t), 1=0,±1,±2,..., m=o7fe, J=o7T - решения определяющих

уравнений ВС^П

Е At)^(a-JhttJh)

ma0 J«0

* Е Е Е (t) ^(s.t),

п»0 J«0 qeO n«0

вычисленные при начальных условиях

U°(0,t)=Er, uJ(s,t)=or, 1*0 U k*0 U s^O,

^(3,t)=0n яГ, K-(k-l) U t<t0 U aetO.tt], ' (15)

t

y"(i)=On кГ, i<-k, и t<t0 и eeio.ih].

а , ,

Здесь / .(t), В ,.(t), m,t=Ö7te, J=0,T ~ параметры ВСЬП.

cu J n IJ JA

fe-гладкая относительная управляемость BCj^I рассмотрена в §4. В §5 изучается управляемость СП^П. Определение управляемой СП^П ЛИСВСЗ в точнооти совпадает о определением управляемой СП^П ЛНСВС.

Теорема III.7.2. Для того чтобы система4 погранслоя й-приближения была управляема на Гд для VfJe(0,fXfe] необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное чиоло N, что

ronfe Г £ дв Г tjp,x ), JSЛ 1 = п , vM0.fi ],

L m»0 J

где y"(Jp,tt), 1=0,1,2,..., m=0,k, J=0,l - решения определяющего уравнения Ciyi

«... W ю-1 m-n-l и-п-1 I п 1 (m-t -1-1)1

)*Z(im Е Е <-*) 1 Р 1 Т" Е Е——*

- »=t n»o l,«o J=o а

, l а

i'aJ q«0 q+m-n-lj-i ötq 1-q-m + n*^

к m-1 ra-n-1 m-n-l.-l i. n 1 (ffl-{ -t-1)l

+ E E E 1-1) 1 P 1 E E—('_Л, x

.»«1 ПВО »4»0 i 2*0 J«0 * a'

™ » 05 i i йЧ

"'iV qto 4«-n-lt-t arq i-q-n. + n+lj

* E Ü7 c'-'ít'jr^-ía.t) + E £ В(яп)и*)и\-°(з,х) - -Jj-y^a.t),-

вычисленные при начальных условиях

í/k(3,T)=0r, мимизй,

^(s,t)dDn хГ, ísO U fe<í U T<t0, VsctO.Xh], (16)

У*(э,т)=0„ ÍsO U ft<0 U t<r , VsétO.lh].

n2xr-

Здесь Л . , .(t ), В At"), m=1,k, ■ lt=0,k-1, t=0,ft-í, _ ™VaJ rali aJ 1 3

J=0,T, - параметры СП^П.

Связь между управляемостью подсистем fe-приближения и управляемостью исходной ЛНСВСЗ (13) устанавливается в §6.

Терема_1Пл_6л1. Если существуют такие натуральные .числя ft,.. п, N, CHmsk, что 1)

rank J ^.hM(Jp.tt). J=07l ] = nr (17)

то найдется такое ц , и с(0,д°], что ЛНСВСЗ (13) относительно

В С

т-управляемя н.ч Г для vjJeíO./J^]; 2)

mnk [ + «=07W, ] = па, (13)

то найдется такое ц , Jjf6(0,|i°], что ЛНСВСЗ (13) относительно ^-управляема на Г для vjj=(0,/if]; 3) вшолненм условия (17),(18), нчйдется такое ¡lo=mtn(¡iB,[if}, ¡i е(0,ц°1, что ЛНСВСЗ (13) ■томительно (г,г/)-управляема на Р для V/Js(0,íiQ].

то

л

Здесь X*(Jh,t), V"(Jp,I), q=0,±1,±2..... l,m=0,1,2,...,

J=0,I- решения определяющих уравнеий ВС^П XkUl(a,t)=Al(t)Xkl(a,t)+Aa(t)X*(з-h.,t-h)+Cl^t)Ykl(зtt)+

+с3й)ук1(з-пл-п)+в1и)йк(з^)Лк(з,г), вычисленные при начальных условиях (15), и определяющих уравнеий_

сп^п

Х*(*.г) ="Е £ {А1а,(^)Хк-"-1(з,г) + '»(ад) +

«1=0 Л

+ ^"'(^^-""'(а-р.т-р) + С<",>и*)?*-га-1(а~р,х-р) +

■=0 V

вычисленные щи начальных условиях (16).

* *

В каждой главе работы приведены примеры, иллюстрирующие излагаемые подходы.

На защиту вынооятоя оледуицие результаты.

1. Модифицированный метод погранфункций А.Б.Васильевой исследования управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем.

2. Построение вырожденных сиотем ¿-приближения, систем по-гранолоя ¿-приближения для ЛНСВС и ЛНСВСЗ, а также определяющих уравнений для подсистем ¿-приближения.

3. Необходимые и достаточные условия управляемости подсистем fe-приближения для ЛНСВС и ЛНСВСЗ.

4. Достаточные условия управляемости ЛНСВС и ЛНСВСЗ, их связь о условиями управляемости соответствующих подсистем fc-приближения.

5. Необходимые'и достаточные условия наблюдаемости подсистем fe-приближения для ЛНСВС.

6. Достаточные условия наблюдаемости ЛНСВС, их связь с условиями наблюдаемости подсистем fe-приближения.

7. Метод пространства состояний исследования управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

8. Критерии управляемости и наблюдаемости ЛНСВС.

9. Построение определяющих уравнений для ЛНСВС управления и наблюдения.

10. Принцип двойственности свойств управляемости и наблюдаемости СВС.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Копейкина Т.Е., Мэнцевич О.Б. К вопросу о виде решений линей- ' них нестационарных; сингулярно возмущенных систем управления - Мн., 1989. - 24с. - (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; и 43 (393)).

2. Копейкина Т.Б., Мэнцевич О.Б. О последовательности достаточных условий управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем // Республиканская конференция "Динамика твердого тела и устойчивость движения". Тезисы дом. Донецк, 1990. С.41-42.

3. Копейкина Т.Е., Мччцевич о.В. Об одном подход"3 к решению задачи управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем - Мн., - ч&о. - fПрепринт / АН БССР. Ин-т математики; ч 4? (443)).

4. Kuneitmura Г.в., Мониевич O.K. об упрярляемости одного типа

- -

линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Вырожденные системы - Мн., 1991. - 32с. - (Препринт / АН Беларуси. Ин-т математики; » 24 (474)).

5. Копейкина Т.Е., Манцевич О.Б. 00 одном подходе к исследованию управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных оистем. I. Выроаденные системы // Весц1 АкадемП навук Белорус!. Сер. ф!з.-мат. навук. - 1992. - « 3-4. - С.7-13.

6. Копейкина Т.Б., Манцевич О.Б. Об одном подходе к исследованию управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем. II. Системы погранслоя // Весц! АкадэмП навук Беларус!. Сер. ф!з.-мат. навук. - 1992. - » 5-6. - С.17-23.

7. Копейкина Т.Б., Цехан О.Б. К вопросу об управляемости одного

/

типа линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Междунар. матем. конф. "Ляпуновокие чтения". Тезисы докл. Харьков, 1992. С.89-90.

8. Копейкина Т.Б., Цехан О.Б. Об управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем в пространстве состояний // Изв РАН. Техн. кибернетика. - 1993. » 3

9. Копейкина Т.Б., Цехан О.Б. Наблюдаемость линейных сингулярно возмущенных систем в пространстве состояний // ПММ. - 1993. »

10. Манцевич О.Б. Об управляемости одного типа линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Системы погранслоя - Мн., 1991. - 32о. - (Препринт / АН Беларуси. " Ин-т математики; » 26 (476)).

11. Цехан О.Б. О двух подходах к решению задачи наблюдаемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем // Конференция математиков Беларуси. Тезисы докл. 4.4. Гродно, 1992. - С.151.