О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ФАМ ТУАН КЫОНГ

О полной наблюдаемости нестационарных динамических систем

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы н оптимальное управление

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

.1 2 ИЮЛ 2012

Воронеж 2012

005046418

005046418

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баев Александр Дмитриевич

Оффициальные оппоненты: Каменский Михаил Игоревич, доктор

физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой функционального анализа и операторных уравнений

Покровский Андрей Николаевич, доктор физико-математических наук, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор кафедры диагностики функциональных систем

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 4 сентября 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г.Воропеж, Университетская пл., 1, ВГУ, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан V июля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22,

доктор физ.-мат. наук, профессор

Глнклнх Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Рассматривается система

*^l = Ax(t)+m, а)

F{t) = Bx(t), (2)

где В : R" R'", А : R" R", x(t) 6 R", f(t) <Е С"([0, Т], R"), F{t) е R"1, t € [О, Г] (Т — конечно или бесконечно).

. Система (1), (2) называется системой наблюдения, вектор функция x(t) состоянием системы, функции /(f) и F(t) — входной н выходной функциями соответственно.

В динамической системе, описываемой соотношениями (1), (2), в результате реализованного неизвестного начального состояния а;(0) происходит переходный процесс. Состояние системы недоступно непосредственному измерению, в распоряжении наблюдателя имеются лишь наблюдаемые функции /(£) н F(t).

Система называется полностью наблюдаемой, если начальное значение .г'(0) но выходной функции F(t) определяется однозначно.

Для системы (1), (2) из единственности а-(О) следует единственность х(t), поэтому система (1), (2) является полностью наблюдаемой, если состояние системы x(t) в любой момент времени но выходной функции F(t) определяется однозначно.

Таким образом, возможность выявления состояния объекта но выходному сигналу определяет именно свойство наблюдаемости системы.

Во многих случаях к решению задачи управления, а именно, к синтезу обратной связи можно приступать только после решения задачи наблюдения для исходной системы. Поэтому исследование свойства наблюдаемости различных динамических систем является актуальной задачей.

Математическую постановку задачи полной наблюдаемости динамической системы (1), (2) с f(t) = 0 относят ко второй половине прошлого века н связывают с именем Р. Калмапа. Им же был сформулирован, ставший классическим, критерий полной наблюдаемости, согласно которому система (1), (2) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда для матрицы Л.4, сопряженной к матрице А, выполняется условие:

ранг матрицы наблюдаемости {В А*В ... (А*)"~1В) совпадает с размерностью 71 исходного пространства.

Свойства наблюдаемости различных систем (с запаздыванием, с малым параметром, систем с переменными коэффициентами, иелшюипых систем, систем с частными производными, дискретных систем и т. д.) анализировались в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса: Андреев Ю.А., Асмыковнч И.К., Бояринцев Ю.Е., Васильев Ф.П., Габасов Р.Ф., Марченко В.М., Кириллова Ф.М., Д'Аижело Г., Квакериаак X., Конейкпна Т.Б., Красовскпп H.H., Ли Э.Б., Попов В.М., Цсхап О.Б., Щеглова A.A., Cobb J.D., Campbell S.L., Hou М., Ishihara J.Y., Jacob В., Koumboulis F.N., Paraskevopoulos P.N., Uctake Y., Yip E.L., Sincovcc R.F.

Для линейных стационарных систем наблюдения рассматривался, как правило, случай т = п и регулярного матричного пучка В — XI (матричный пучок В — XI называется регулярным, если существует обратная матрица (В — XI)'1 для некоторого A G С).

Для линейной нестационарной системы вида

cMÜ = A(t)x(t), (3)

F(t) = B(t)x(t) (4)

сформулирован ряд критериев и условии полной наблюдаемости.

Например: система, описываемая уравнениями (3), (4) полностью наблюдаема па интервале [£o,*i] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы

B(t)X(t.to) линейно независимы на интервале [io,<i] ( Г. Д'Апджело).

dx(t)

(X(t,to) - матрица Кошп (переходная матрица) системы ^ = A(t)x(t), О ^ t0 < t ^ Т) .

Наряду с вопросом о полной наблюдаемости весьма актуальной является задача построения функции состояния рассматриваемых систем. Однако, лишь в отдельных работах строятся функции состояния, например, в монографии С.А. Красновой, В.А. Уткина, или определяются отдельные компоненты функции состояния в частных случаях, например, в работах Campbell S.L.

Теория и методы построения функций состояния для широкого класса полностью наблюдаемых динамических систем разработаны недостаточно глубоко н полно. Настоящая работа посвящспа воснолпеиию этих пробелов.

В работах Зубовой С.П., Расцкой E.D. разработан метод каскадного расщепления пространств па подпространства, в результате чего па каждом этапе расщепления исходная система сводится к системе относительно неизвестной, принадлежащей более узкому подпространству.

Алгоритм применения данного метода предполагает, в случае выявления пол-нон наблюдаемости системы, предъявление формулы для построения функции состояния исследуемой системы. Выявление характера связей между входной и выходной функциями исследуемой системы, необходимо реализующихся в случае полной наблюдаемости системы, также не требует дополнительных исследовании, а осуществляется естественным путем, в ходе реализации метода каскадного расщепления.

В монографии Красновой С.А., Уткина В.А. при построении функции состояния стационарной системы наблюдения используется сходная схема перехода к системам в подпространствах, однако, для ее реализации авторы прибегают к достаточно громоздким матричным преобразованиям, что сопряжено со значительными временными затратами и достаточно объемными вычислениями.

Цель работы.

1. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:

^± = A(t)x(t) + f(t), (5)

F(t) = B(t)x(t). (G)

2. Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной динамической системы:

^ = A(t)x(t) + G(t; x{t)-, + f(t), (7)

F(t) = B(t)x(t) (8)

с нелинейным слагаемым G(t; x(t); Рассматривается случаи прямоуголь-

ной матрицы B(t), что исключает использование свойств регулярности матричного пучка В — XI при каждом фиксированном t G [О,Г].

3. Анализ влияния малых возмущений на полную наблюдаемость нестационарной динамической системы, а именно, исследование полной наблюдаемости возмущенной линейной системы:

dx(t,s)

dt

= A(t,e)x(t,£)+f(t,e)1 (9)

F(t,s) = B(t,s)x(t,s).

(10)

4. Анализ влияния малых возмущении на ио.чпую наблюдаемость нелинейной нестационарной динамической системы:

= A(t, e)x(t, s) + G (t. s; аЦ, s); + f(t, s), (11)

F(t,s) = B(t,s)x(t,e), (12)

с коэффициентами, аналитически зависящими от малого параметра £ € (0, ео].

5. Сравнение полной наблюдаемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем, а также певозмущенной и возмущенной нелинейных нестационарных систем.

6. Построение функций состояния для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных динамических систем, атаки« систем, возмущенных при помощи малого параметра.

7. Установление соотношений, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная н выходная функции наблюдаемых нестационарных систем.

Методы исследования. Основным методом, применяемым в данной работе для исследования полной наблюдаемости нестационарных динамических систем, является метод каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах. Также используются общие методы анализа, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории матриц.

Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить следующие результаты:

1. Установлены необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости определённых выше динамических систем.

2. Для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных систем выведены формулы для построения состояний систем x(t).

3. Установлены соотношения "входа-выхода", то есть условия, которым необходимо удовлетворяют функции входа f(t) и выхода F(t) полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных систем.

4. Произведен анализ влияния малых возмущений г € (0, г0] 11,1 полную наблюдаемость линейной и нелинейной •нестационарных систем.

5. Сформулированы условия, при выполнении которых возмущенные системы являются полностью наблюдаемыми.

6. Построены функции состояния x(t,e) полностью наблюдаемых возмущеп-иых линейной и нелинейной нестационарных систем.

7. Сформулированы условия "входа-выхода" для полностью наблюдаемых возмущенных систем.

8. Доказано, что из полной наблюдаемости предельных (г = 0) систем следует полная наблюдаемость возмущенных систем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных прикладных задачах, а также в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи наблюдения для линейных (5), (6) н нелинейных (7), (8) нестационарных динамических систем, а также возмущенных линейных (9), (10) и нелинейных (11), (12) систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягипскне чтения"(Воронеж, 2010, 2011, 2012); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные щюбломи "(Воронеж, 2011); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйиа (Воронеж, 2012); Международная конференция по дифференциальным уравнениям н динамическим системам (Суздаль, 2010); Международная научная конференция "Современные физико-математические и информационные методы в естествознании, технике и гуманитарных науках" (Тамбов, 2010): IV Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики, теории управления н математического моделнровання"(ПМТУММ - 2011) (Воронеж, 2011); Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011); The 8-th Congress of the International Society for AnaLysis, its Applications, and Computation (Moscow 2011).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных публикаций [1], [2], [5] -- [8], [12], [14] в диссертацию вошли только полученные автором результаты. Работы [1]-[5] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК России.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации 145 страниц.

Содержание работы

Во введении формулируется объект п предмет исследования, обосновывается актуальность работы, научная новизна.

В главе 1 исследуется полная наблюдаемость нестационарных линейной (5), (G) и нелинейной (7), (8) динамических систем.

В нервом разделе первой главы приводятся некоторые известные и доказываются некоторые новые факты из теории матриц, применяемые в дальнейших исследованиях.

Используется свойство нестационарной матрицы B(t), действующей из R" в Ж'": при каждом t 6 [О, Г] имеют место разложения исходных пространств в прямые суммы:

Ж" = I<erB(t)+CoimB(t), Ж'" = CokerB{t)+ImB{t). (13)

Используются: проекторы P>(t), Qa(t), (7-P„(i)), (I - Qu(t)) па подпространства KerB(t), CokerB(t), CoimB(t) и imB(i), соответственно, отвечающие разложению (13); B~{t) = В '1 (I - Q0(t)) полуобратиая матрица (£?(£) сужение отображения B(t) па подпространство CoimB(t); отображения и соответствующие им матрицы обозначаем одинаково).

Используется свойство: алгебраическое уравнение (6) при каждом t £ [0,Т] эквивалентно системе:

Г Q(t)F(t) = О,

\ x(t)=B~(t)F(t) + P{t)x(t), где P{t)x(t) ~ произвольная вектор-функция со значениями в подпространстве KerB(t).

Применение метода каскадного расщепления исходных пространств для исследования полной наблюдаемости динамической системы предполагает постоянство размерности подпространств на каждом шаге расщепления, для чего вводится условие: Vi € [0,Т], выполнение которого влечет dimKerB(t) = constyt € [О,Т], а также dimCoimB(t) = const, Vi е [0,Т].

Во втором разделе первой главы исследуется полная наблюдаемость нестационарной линейной динамической системы (5), (6). Выявляются условия, при выполнении которых возможна реализация метода каскадного расщепления. Доказывается

Лемма 1.2.1. При выно.

лнсшш условий

(14)

в случае 0 < щ < пк.1 < ... < щ < п система (5), (6) эквивалентна системе:

3,(0^(0 = о,

= вгюъю + Щ)х,(1),

(1x1. и)

= ВкЦ)хк{1),

где х1+1Ц) = />■(*)*«(*) б КегВМ) (здесь хпЦ) = х(4),/о(0 = /(*). = ^(4), Д|(0 = В{1),АаЦ) = = сИтКегВ,•(*)).

В силу конечномерности исходного пространства процесс каскадного расщепления полностью реализуется за конечное, равное р (р < п) число шагов. На последнем, ром, шаге прпходпм к системе:

<1х„(Ь) , , ,

~~ = АрЦ)хр{1) + Ш, (15)

ЗД = Вр(0х„(*)- (16)

Условия полной наблюдаемости редуцированной системы последнего шага сформулированы в следующем утверждении:

Лемма 1.2.2. Если матрица В„^) является инъективной при каждом фиксированном £ е [0;Т], то при выполнении условий (14) (при к = р) редуцированная нестационарная линейная система (15), (16) является полностью наблюдаемой.

Выводятся необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости линейной нестационарной системы (5), (6):

Теорема 1.2.1. (Критерий полной наблюдаемости нестационарной линейной системы). При выполнении условий (14) нестационарная линейная дифференциально-алгебраическая система (5), (6) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда существует такое р 6 N (0 ^ р < п), что матрица Вр{г) инъективна при каждом фиксированном ( е [О Т] (КегВ (г) = {0}).

Выведена формула для функции состояния полностью наблюдаемой системы (5), (6):

*(0 = £вг(0*Н0- (17)

1=0

Определяется вид связи (условия "входа-выхода") между входной и выходной функциями полностью наблюдаемой линейной системы, то есть условия, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции:

1=0 »=0

Здесь же доказано

Следствие 1.2.1. Система (5), (6) не является наблюдаемой тогда и только тогда, когда Зр 6 N (0 < р ^ п), такое, что Вр(г) = 0, \/£ € [0,Т].

В третьем разделе первой главы исследуется полная наблюдаемость нестационарной нелинейной динамической системы (7), (8). Установлено, что при выполнении условий (14) и условия:

(I - Я(0)С{(*) = 0, г = 0, к — 1, (18)

система (7), (8) редуцируется к эквивалентной системе произвольного шага в подпространствах.

Процесс каскадного расщепления за конечное число шагов реализуется полностью. На последнем р - ом шаге раещенлепня приходим к редуцированной нелинейной системе, для которой сформулированы условия полной наблюдаемости.

Теорема 1.3.1. (Критерий полной наблюдаемости нелинейной нестационарной системы). При выполнении условий (14), (18) с г = 0,1... и неединственности решены :г(£) уравнения (7) нелинейная нестационарная система (7), (8) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда Эр 6 N (0 ^ р ^ п) такое, что В,,(£) - инъективна V* е [0, Т].

В процессе реализации метода каскадного раещенлепня, строится функция состояния л:(4) системы (7), (8) вида (17), а также устанавливаются соотношения входа выхода". Доказано, что при иынолненнн условий теоремы 1.3.1, справедливо следующее утверждение:

Следствие 1.3.1. Нелинейная нестационарная система (7), (8) не является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда Эр 6 М, такое, что

ад = о.

В четвертом разделе первой главы проводится исследование полной наблюдаемости нестационарной нелинейной динамической системы, описывающей распространение эпидемического заболевания в обществе. Исследуются свойства коэффициентов, при которых нелинейная система является полностью наблюдаемой.

При решении практических задач зачастую целесообразнее производить эквивалентные замены переменных н переходить к системам меньшей размерности, чем осуществлять построение соответствующих проекторов, и производить расщепления исходных пространств на подпространства, что и продемонстрировано на данном примере.

Вторая глава посвящается исследованию полной наблюдаемости возмущенных при помощи малого параметра нестационарных линейной (9), (10) н нелинейной (11), (12) динамических систем.

В нервом разделе второй главы леммой 2.1.1 установлено, что при выполнении условии (14) с г = 0,1 и £ < тпт{е0,£ь ...,£,-), где таково, что:

1МГ(0Дч(«,£)|| <1, V? 6 [0,Г],г = 0Д, (19)

исходная система сводится ко вполне эквивалентной ей редуцированной возмущенной системе произвольного шага расщепления.

Получены условия полной наблюдаемости редуцированной линейной возмущенной системы р-го шага в случае пнъектнвной матрицы £?;,(<)■ Доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1.1.(Условия полной наблюдаемости возмущенной линейной нестационарной системы). При выполнении условий (14) с г = О^р, (19) с г = 0возмущенная нестационарная система (9), (10) явмется полностью наблюдаемой, если 3р е М, такое, что матрица итективна при каждом фиксирован-

ном г е [о, т].

При этом функция состояния х(1, е) единственным образом определяется но формуле

р з

= Е№+ ВГ (Оад^ГЧВДО^.г) (20)

у—о ;=о

и наблюдаемые входная и выходная функции необходимо удовлетворяют условию " входа-выхода".

Далее исследуется полная наблюдаемость возмущенной иестационаноп лпней-

ион динамической системы (9). (10) и случае Bp(t) = 0. Формулируются условия:

3^Pp,(/),Vf е[0,Г] ¿eN, (21)

е < rnin{£ljU sp2,£,,•), где spi таково, что \\splB-{t)Bpil(t, с)|| < 1, (22)

при выполнении которых редуцированная система р - го шага расщснлення сводится к эквивалентной ей редуцированной возмущенной системе последнего {р + т)-го шага расщсплення.

Выводятся условия полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы (р + т) -го шага расщепления в случае ппъектнвной матрицы Bpm(t) при Bp(t) = 0. Доказывается утверждение.

Теорема 2.1.2. (Условия полной наблюдаемости исходной возмущенной системы в случае Bp(t) = 0). При выполнении условий (14) с к = р, (19) с I = р; и условий (21). (22) с i - 0, т, при п„ = пр^и система (9), (10) является полностью наблюдаемой, если матрица Bpin(t) инъективна при каждом фиксированном t 6 [0, Г].

В этом случае получена формула для функции состояния x(t,e) и формулируются соотношения "входа-выхода" .

При выполнении некоторых ограничений выводятся необходимые п достаточные условия полной наблюдаемости нестационарной возмущенной линейной системы.

Во втором разделе второй главы производится сравнение полной наблюдаемости возмущенной (9), (10) и невозмущенной (5), (6) нестационарных линейных динамических систем.

Теорема 2.2.1. При выполнении условия (22) из полной наблюдаемости предельной системы (5), (б) следует полная наблюдаемость возмущенной системы (9), (10).

Обратное, вообще говоря, неверно. То есть предельная система (5), (б) может быть ненаблюдаемой, а возмущенная (9), (10) система является полиостью наблюдаемой. Это подтверждается приведенными в диссертации примерами.

В третьем разделе второй главы исследуется полная наблюдаемость возмущенной нестационарной нелинейной динамической системы (И), (12).

Установлено, что при выполнении условий (14), (22) и условий

{1-РШ1+^Вгтп{1,е))С1(иг,х>+1{1,Е), ^i±lM) = 0, i = (23)

система (11), (12) редуцируется к возмущенной нелинейной системе произвольного шага в подпространствах.

Доказано, что при выполнении условий (14), (22) и (23), редуцированная нелинейная нестационарная система />-го шага является полностью наблюдаемой в случае ннъсктпвной матрицы Вр(€}.

Теорема 2.3.1. При выполнении условий (14), (22), (23) с 1=р возмущенная нелинейная нестационарная система (11), (12) является полностью наблюдаемой, если Бр е N такое, что матрица Вр{€) инъективна при каждом фиксированном ге[о,т].

В этом случае строится функция состояния х{Ь,е) системы (11), (12), а также устанавливаются соотношения "входа выхода" .

Далее исследуется полная наблюдаемость возмущенной нестационарной нелинейной динамической системы в случае Вр{{) = 0.

Формулируются условия, при выполнении которых редуцированная нелинейная система рто шага расщепления сводится к эквивалентной ей редуцированной возмущенной нелинейной системе последнего (р+тга)-го шага расщепления в случае Вр{г) = 0.

Устанавливаются условия полной наблюдаемости редуцированной нелинейной возмущенной системы (р + 7?г)-го шага расщепления:

Лемма 2.3.4. В случае пр = пр_и при выполнении условий (21), (22) и условия

+ =о, V* 6 [0,Г], (24)

редуцированная нелинейная возмущенная система (р+т) - го шага ¡хищеше-ния:

^^ = + (25)

= Врт{^е)х11П1(г,е), (26)

является полностью наблюдаемой, если Зтп е N. такое, что Врш{Ь) инъективна при любом фиксированном £ € [0,Т].

Выполнение условий леммы требуется при i = 0~т..

Получены условия полной наблюдаемости исходной возмущенной системы в случае Вр(Ь) = 0:

Теорема 2.3.2 При выполнении условий (14) с к = р, (19) с I = р, (23) с I = р и при пп = условий (21), (22). (24) с ( = 0,?/г, нелинейная возмущенная

система (11), (12) является полностью наблюдаемой, если матрица Вр1П{Ь) ипъективна при каждом фиксированном £ € [О, Г].

Выводится формула для функции состояния х{1,5) полностью наблюдаемой системы (11), (12) и условия "входа-выхода".

Установлен критерий полной наблюдаемости нестационарной возмущенной линейной системы:

Теорема 2.3.3.При выполнении условий (14) с к = з 4- 1, (19) с I — в, (23) с I — з + 1 нелинейная возмущенная нестационарная система (11), (12) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда Зв е М, такое, что матрица Д,(£) ипъективна при каждом фиксированном £ 6 [О, Т].

В четвертом разделе второй главы производится сравнение полной наблюдаемости возмущенной (11), (12) и нсвозмущенпой (7), (8) нестационарных нелинейных систем. Доказано, что при выполнении условия (22) из полной наблюдаемости предельной (7), (8) нелинейной системы следует полная наблюдаемость возмущенной нелинейной системы (11), (12).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Фам Туан Кыоиг. Полная наблюдаемость нестационарной дифференцнально-алгебранчеекоп системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыоиг // Вестник Воронежского государственного технического университета. ISSN 17296501. Воронеж. - 2010. - Т.С, № 8. - С. 82 - 86.

[2] Фам Туан Кыоиг. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений /С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыоиг // Вестник Тамбовского ушшсрснтста. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов. - 2010. - Т. 15, выи. 6. - С. 1678 - 1679.

[3] Фам Туан Кыоиг. Исследование полной наблюдаемости одной нелинейной системы / Фам Туан Кыоиг/ / Вестник Ижевского государственного технического университета. ISSN 1813 - 7903. Ижевск. - 2011. - № 3. - С.152 - 154.

|4] Кьюнг, Фам Туан. Исследование полной наблюдаемости нсстационар-

ной возмущенной динамической системы / Фам Туаи Кыонг// Полпте-матнческнй сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [электронный ресурс]. - Краснодар : КубГАУ, 2012. - № 06(80). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/03/pdf, 0,625 у.п.л.

[5] Кыонг, Фам Туаи. Исследование полной наблюдаемости динамической системы, моделирующей распространение информации в обществе/ М.В. Драпалюк, С.П. Зубова, Фам Туан Кыонг, Е.В. Раецкая // Вестник Воронежского государственного технического университета. Воронеж. - 2012. Т.8, № 5. - С. 10-14.

[6] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нестационарной деекрпнтор-ной системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Международная конференция по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Москва. -2010. - С. 89 - 90.

[7] Фам Туан Кыонг. Об инвариантности возмущенной дескрипторной нестационарной динамической системы/ С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Международная конференция по математической теории управления ц механике: тезисы докладов. Суздаль. - 2011. - С. 85 - 86.

[8] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости дифференциально-алгебраической нестационарной системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягпнские чтення-ХХГ'. - Воронеж : ВорГУ. -2010. - С.97-98.

[9] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости динамической системы, описывающей процесс изменения долен потребления и накопления в национальном доходе/ Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягпнские чтенпя-ХХП". Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 191.

[10] Фам Туан Кыонг. Об инвариантности стационарной системы наблюдения, неразрешенной относительно производной/ Фам Туан Кыонг// Современные методы теории функций н смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 330 - 331.

[11] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости нестационарной возмущенной дп-

памнческой системы / Фам Туап Кыонг// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции,- Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 139 - 140.

[12] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нелинейной возмущенной динамической системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг .// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции.- Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 81 - 82.

[13] Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нелинейной системы / Фам Туан Кыонг/ / Современные проблемы прикладной математики, теории управления н математического моделирования (ПМТУММ - 2011: материалы IV Международной научной конференции.- Воронеж : ВорГУ. - 2011. - С. 173 -

174.

[14] Cuong Phalli. Он the invariance of time-variable nonlinear system of observation with respect to special perturbation/ S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, Tuan Cuong Phalli The 8-th Congress of the International Society for AnaLysis, its Applications, and Computation: Abstracts. Moscow. - M. : PFUR. - 2011. - P. 397.

[15] Фам Туаи Кыонг. Исследование полной наблюдаемости возмущенной нелинейной нестационарной системы / Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягнискпе чтения-ХХШ". Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 11 - 12.

[1G] Фам Туаи Кыонг. О полной наблюдаемости одной возмущенной стационарной системы / Фам Туаи Kuuin Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягнискпе чтения-ХХШ". Воронеж : ВорГУ. - 2012. - С. 12 - 14. Работы [1] - [5] опубликованы в журналах нз перечня рецензируемых научных

журналов н изданий, рекомендованных ВАК Мппобрнауки РФ.

Подписано в печать 03.07.12. Формат 60 <84 '/ц. Усл. псч. л. 0,93. Тираж 100 жз. Заказ 634.

Отпечатано с готового орнгинал-макста в типографии Пздатсльско-полиграфнчсекого центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкннская, 3

Введение

1 Полная наблюдаемость нестационарных динамических систем

1.1 Основные предпосылки.

1.2 Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной системы.

1.2.1 Исследование полной наблюдаемости линейной системы в частных случаях.

1.2.2 Переход к редуцированной системе первого шага.

1.2.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной линейной системы первого шага расщепления в частных случаях.

1.2.4 Переход к редуцированной системе второго шага расщепления

1.2.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы второго шага в частных случаях.

1.2.6 Переход к редуцированной системе произвольного шага

1.2.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы последнего шага расщепления

1.2.8 Критерий полной наблюдаемости нестационарной линейной дифференциально-алгебраической системы

1.3 Исследование полной наблюдаемости нелинейной нестационарной дифференциально-алгебраической системы

1.3.1 Исследование полной наблюдаемости нелинейной системы в частных случаях.

1.3.2 Переход к редуцированной системе первого шага.

1.3.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы первого шага в частных случаях.

1.3.4 Переход к редуцированной системе произвольного шага

1.3.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы произвольного шага в частных случаях.

1.3.6 Критерий полной наблюдаемости нелинейной нестационарной дифференциально-алгебраической системы.

1.4 Исследование полной наблюдаемости системы, описывающей распространение эпидемического заболевания в обществе

2 Полная наблюдаемость возмущенных нестационарных динамических систем

2.1 Исследование полной наблюдаемости линейной нестационарной возмущенной системы.

2.1.1 Исследование полной наблюдаемости возмущенной линейной нестационарной системы в частных случаях

2.1.2 Переход к редуцированной возмущенной системе первого шага.

2.1.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы первого шага в частных случаях

2.1.4 Переход к возмущенной редуцированной системе второго шага расщепления

2.1.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы второго шага расщепления в частных случаях.

2.1.6 Переход к редуцированной возмущенной системе общего вида.

2.1.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы р - го шага

2.1.8 Исследование полной наблюдаемости редуцированной линейной возмущенной нестационарной системы р - го шага при пр = пр-1 в частных случаях.

2.1.9 Переход к редуцированной возмущенной системе в случае пр = пр-1.

2.1.10 Исследование полной наблюдаемости редуцированной системы (р + т) - го шага расщепления при пр = пр-\

2.1.11 Полная наблюдаемость возмущенной линейной нестационарной системы в случае пр = пр-1 и Прт =

2.2 Сравнение условий полной наблюдаемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем.

2.3 Исследование полной наблюдаемости возмущенной нелинейной нестационарной системы.

2.3.1 Исследование полной наблюдаемости возмущенной нестационарной системы в частных случаях

2.3.2 Переход к редуцированной возмущенной системе первого шага.

2.3.3 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы первого шага в частных случаях

2.3.4 Переход к редуцированной возмущенной системе второго шага расщепления

2.3.5 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы второго шага в частных случаях

2.3.6 Переход к редуцированной возмущенной нелинейной системе общего вида.

2.3.7 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы р - го шага

2.3.8 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной системы р - го шага при пр = пр-\ в частных случаях.

2.3.9 Переход к редуцированной возмущенной системе в случае пр = np 1.

2.3.10 Исследование полной наблюдаемости редуцированной возмущенной нестационарной системы (р + т)-го шага при пр = пр-1.

2.3.11 Полная наблюдаемость исходной нелинейной возмущенной нестационарной системы в случае

Пр = Пр1 при Прт = 0.

2.4 Сравнение полной наблюдаемости предельной и возмущенной нелинейных нестационарных систем.

Задача наблюдения является фундаментальной задачей теории автоматического управления.

Одной из основных проблем, возникающих при конструировании автоматических систем управления, является задача построения обратной связи, которая в классической постановке формулируется следующим образом. Рассматривается система = Лоаф)+ /?«(*), (1) где Ао : Кп —К", В : К* ЕГ, е Мп, и(£) Е £ е [О, Т], Т - конечно или бесконечно.

Система (1) называется системой управления, вектор-функция х(Ь) состоянием системы (траекторией, фазовым вектором). Свойство управляемости системы (1) означает существование такой входной функции и(£) - управляющей функции (управления), под воздействием которого состояние системы х(¿) обладает заданными свойствами.

Задача построения обратной связи для динамической системы (1) заключается в определении управления в виде: и(г) = к0х(г), где Ко : Мп —;► Жп, после чего система принимает вид

2) где А = А0 + ОК0.

Формирование обратной связи в системах автоматического управления возможно лишь после получения полной информации о состоянии объекта управления. Если все компоненты состояния доступны для измерения, исследователь располагает возможностью выбрать обратную связь, обеспечивающую наиболее оптимальные динамические свойства обследуемой системы.

Однако, при решении практических задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда измерению поддаются лишь некоторые компоненты вектора состояния системы или их линейные комбинации. В большинстве случаев это связано как с недостаточным количеством измерительных приборов в системе, так и с невозможностью их монтирования вследствие объективно возникающей труднодоступности измеряемых параметров.

При наличии возможности проведения дополнительных измерений (наблюдений), исследователи вводят в систему дополнительные измерительные приборы — датчики, что с одной стороны, приводит к увеличению стоимости исследования, а с другой стороны, приводит к возникновению в системе параметров и возмущений, провоцируемых этими самыми дополнительными устройствами. Такой путь неизбежно ведет к увеличению стоимости исследований и вносит в систему дополнительную динамику, что усложняет её синтез.

Таким образом, возникает задача наблюдения, то есть выявление возможности получения информации о векторе состояния по измеряемым, наблюдаемым входным и выходным функциям, а именно, необходимость выявления свойства наблюдаемости системы. Рассмотрим систему

Известно, что в динамической системе, описываемой соотношениями (3), (4), в результате реализованного неизвестного начального состояния ж(0) происходит переходный процесс. Состояние системы недоступно непосредственному измерению. В распоряжении наблюдателя имеется лишь наблюдаемая функция (выход) — F(t).

Система (3), (4) называется системой наблюдения, функция F(t) -выходной функцией.

3)

F(t) = Bx(t)

4) где В : Шп Mm, F{t) Є Жт.

Система называется полностью наблюдаемой, если начальное значение ж(0) по выходной функции определяется однозначно.

Свойство наблюдаемости динамической системы означает возможность определения состояния объекта по выходному сигналу.

Для системы (3), (4) из единственности ж(0) следует единственность ж(£), поэтому система (3), (4) также называется полностью наблюдаемой, если состояние системы х(1) в любой момент времени по выходной функции определяется однозначно.

Во многих случаях к решению задачи управления, а именно, к синтезу обратной связи, можно приступать только после решения задачи наблюдения для исходной системы, поэтому исследование свойства наблюдаемости различных динамических систем является действительно актуальной задачей.

Математическую постановку задачи полной наблюдаемости динамической^ системы (3), (4) связывают с именем Р. Калмана [13]. Им же был сформулирован, ставший классическим, критерий полной наблюдаемости системы (3), (4). Доказано [13]: для полной наблюдаемости системы (3), (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие гапк(В А* В . (А*)п~1В) = п.

Матрицу (В А*В . (.А*)п~1В) называют матрицей наблюдаемости [А* — матрица, сопряженная к матрице А).

Известно еще несколько форм критериев полной наблюдаемости стационарной системы (3), (4) (система (3), (4) называется стационарной, если матрицы А, В - постоянные)(см., например, [3], [17],[23]). Приведем один из них.

Система (3), (4) является полностью наблюдаемой в том и только том случае, когда система

АВ1г = 0, г = М, имеет лишь нулевое решение г.

В дальнейшем задачи полной наблюдаемости рассматривались для различных систем: с запаздыванием, с малым параметром, систем с переменными коэффициентами (нестационарных систем), нелинейных систем, систем с частными производными, для дискретных систем и т. д. ([1]

4], [7], [11], [13]- [15], [17], [22], [24], [28], [30], [32]- [35], [38]-[41], [44]- [46]). Для линейных стационарных систем наблюдения рассматривался, как правило, случай т — п и регулярного матричного пучка В — XI (матричный пучок В —XI называется регулярным, если существует обратная матрица (В—Л/)-1 при некотором Л Є С).

Для линейной нестационарной системы вида сформулирован ряд критериев и условий полной наблюдаемости. Приведем несколько из них (см. [11]):

Система, описываемая уравнениями (5), (6) полностью наблюдаема на интервале [¿о, ¿і] тогда и только тогда, когда столбцы матрицы ¿о) линейно независимы на [¿о^і]х и)

Х(і, ¿о) - матрица Копій (переходная матрица) системы —— = А(і)х(і),

Теорема 1. Система, описываемая уравнениями (5), (6), где А(Ь), £?(£) — матрицы, дифференцируемые соответственно (п — 1) и (п — 2) раз почти везде на интервале [¿о^і], полностью наблюдаема на [¿Оі^іЬ если (п х пг) — матрица наблюдаемости (^о(і) имеет ранг п почти везде на некотором конечном подынтервале интервала

Здесь матрица наблюдаемости имеет вид

Несмотря на достаточно обширное количество публикаций по тематике наблюдаемости, вопрос о возможности построения функции состояния для

5)

6)

Г(і)=В(і)х(і),

0 ^ ¿0 ^ * ^ г). полностью наблюдаемых систем рассматривается довольно узким кругом1 авторов. Лишь в отдельных работах строятся функции состояния, например, в монограии Красновой С.А., Уткина В.А. [16], или определяются отдельные компоненты функции состояния в частных случаях, например, в работе Campbell S.L. [35].

В работе [48] рассматривалась стационарная система с дополнительной входной функцией f{t) Е Мп (дополнительным входом): в случае прямоугольной матрицы В, то есть в случае нерегулярного матричного пучка В — XI.

В той же работе [48] для исследования полной наблюдаемости системы (7), (8) разработан метод каскадного расщепления пространств на подпространства, в результате чего на каждом этапе расщепления исходная система сводится к системе относительно неизвестной, принадлежащей более узкому подпространству. За конечное число шагов расщепления исследователь выявляет полную наблюдаемость или ненаблюдаемость системы. В случае полной наблюдаемости предъявляется в явном виде формула для построения х{Ь) — функции состояния системы. Устанавливаются, кроме того, соотношения "входа-выхода" — условия, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемой динамической системы (7), (8).

В данной работе метод каскадного расщепления распространяется на случай нестационарных линейных и нелинейных динамических систем.

Подобные схемы перехода к системам (уравнениям) в подпространствах применялись при построении собственных значений и векторов возмущенной матрицы [5], при решении задачи Коши для дескрипторной системы в банаховом пространстве [12]. В работе [16] при построении функции состояния стационарной системы наблюдения используется сходная схема перехода к системам в подпространствах. Однако, для её реализации d^- = Ax{t)+m

7)

F{t) = Bx(t)

8) авторы прибегают к достаточно громоздким матричным преобразованиям, что сопряжено со значительными временными затратами и достаточно объемными вычислениями.

Применение метода каскадного расщепления, разработанного в [48], к более широкому классу задач позволяет избежать сложных матричных преобразований. Кроме того, алгоритм применения данного метода предполагает, в случае выявления полной наблюдаемости системы, незамедлительное предъявление формулы для построения функции состояния исследуемой системы. Выявление характера связей между входной и выходной функциями исследуемой системы, необходимо реализующихся в случае полной наблюдаемости системы, также не требует дополнительных исследований, а осуществляется естественным путем, в ходе реализации метода каскадного расщепления.

В данной работе рассматривается общий случай прямоугольной матрицы B(t), что исключает использование свойств регулярности матричного пучка B(t) — XI при каждом фиксированом t G [О, Т].

Исследуется линейная нестационарная динамическая система вида = A(t)x(t) + m, (9)

F(t) = B(t)x(t), (10) а также нестационарная динамическая система вида = A(t)x(t) + G(t\x(t)-+ f(t), (И)

F(t) = B(t)x(t), (12) dx(t). с нелинейным слагаемым G{t,x(t), ——) определенного вида. tLb

Примером системы (11), (12), в частности, является система, описывающая распространение эпидемического заболевания в обществе. То есть исследование свойства полной наблюдаемости подобных динамических систем весьма актуально.

Анализ влияния малых изменений конструктивных параметров и внешних условий на динамику системы является одной из основных задач теории чувствительности динамических систем.

Важнейшей задачей автоматического управления является также синтез систем, малочувствительных к малым изменениям параметров и условий функционирования. Метод каскадного расщепления, применяемый в данной работе, является эффективным при исследовании полной наблюдаемости возмущенных с помощью малого параметра систем (9), (10) и (11), (12), а именно систем вида = A(t,e)x(t,e) + f(t,e), (13)

F(t,e) = B(t,e)x(t,£), (14) и A(t, e)x(t, s) + G(t, s, x(t, e), ^M) + /(t, e)> (15) F{t,e) = B(t,e)x{t,e) (16) с коэффициентами, аналитически зависящими от малого параметра e G

0,е0]

Целью данной диссертационной работы является

- исследование свойства полной наблюдаемости нестационарных линейной и нелинейной динамических систем;

- анализ влияния малых возмущений на полную наблюдемость нестационарных динамических систем;

- построение функций состояния для полностью наблюдаемых линейной и нелинейной нестационарных динамических систем, а также систем, возмущенных при помощи малого параметра;

- установление соотношений, которым необходимо удовлетворяют наблюдаемые входная и выходная функции наблюдаемых нестационарных систем;

- сравнение полной наблюдемости невозмущенной и возмущенной линейных нестационарных систем, а также невозмущенной и возмущенной нелинейных нестационарных систем.

Метод каскадного расщепления является основным методом, применяемым в данной работе для исследования полной наблюдаемости нестационарных динамических систем. Также используются общие методы анализа, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории матриц.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации 145 страниц.

1. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю. Н. Андреев. — М. : Наука, 1976. — 424 с.

2. Асмыкович, И. К. Двойственность между задачами управления и наблюдения в линейных дескрипторных системах / И. К. Асмыкович, В. М. Марченко // Труды Белорусского Государственного Университета- 1996. Вып. 4. - С. 3-9.

3. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. -Новосибирск : Наука. Сиб. Отд-ние.- 1980. 222 с.

4. Васильев, Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф.П. Васильева // Диф. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 11- С. 1983 1900.

5. Вишик, М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // УМН,- 1957. Т.ХН, вып.5 (77), С. 3-122.

6. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами / Р. Ф. Габасов и др.] // АН БССР, ин-т математики.— Препринт № 20 (177) Минск. 1983 36 с.

7. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1988. — 576 с.

8. Гайшун, И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И. В. Гайшун. — Минск: Институт матем.НАНБ, 1999. — 410 с.

9. Дорф Р. Современные системы управления/ Р. Дорф, Р. Бишоп // Пер. с англ. Б.И. Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

10. Д'Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез / Г. Д'Анжело. — М. : Машиностроение, 1974. — 287 с.

11. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышов // Дифференц. уравн. и их применение. Вильнюс: Институт физики и математики АН Литовской ССР. —1976.— Вып. 14.- С. 21-39.

12. Калман, P.E. Об общей теории систем управления / P.E.Kaiman // Труды IFAC, Москва. 1960. - С.521-546.

13. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Квакернаак, Р. Сиван. — М. : Мир, 1977. 650с.

14. Копейкина, Т.Б. Наблюдаемость линейных сингулярно возмущенных систем в пространстве состояний / Т.Б. Копейкина, О.Б. Цехан // Изв. РАН. Сер. Техн. Кибернетика. 1993.- № 3. - С. 40 - 46.

15. Краснова, С. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем / С. А. Краснова, В. А. Уткин — М. : Наука, 2006.- 272 с.

16. Красовский, H.H. Теория управления движением. М. : Наука, 1968. — 476 с.

17. Крейн, С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1972. -544 с.

18. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ. М. : Высш.шк., 1970. 576 с.

19. Куржанский, A.B. К управляемости в банаховых пространствах / A.B. Куржанский // Диф. уравнения. 1969. - Т.5, №- 9 . - С. 1715 -1718.

20. Курина, Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г.А. Курина //Изв. РАН. Техн. Кибернетика. 1992. - № 4. - С. 20 - 48.

21. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. М. Маркус. — М. : Наука, — 1972. — 574 с.

22. Петровский, И.Г. Лекции по терии обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

23. Попов, В. М. Гиперустойчивость автоматических систем / В. М. Попов.- М. : Наука, 1970. 454 с.

24. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовом пространстве линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, O.A. Рузакова // Диф. уравнения. 2002. - Т. 38, № 8 . - С. 1137 -1139.

25. Хасина, Е. Н. Об управлении вырожденными линейными динамическими системами / Е. Н. Хасина // Автоматика и телемеханика. —1982. — № 4.- С. 30-37.

26. Хапаев, М.М. Условия управляемости сингулярно возмущенных систем, содержащих сингулярные управления / М.М. Хапаев // Докл. АН СССР.- 1991. Т. 320, № 2 . - С. 300 -302.

27. Цехан, О.Б. Методы исследования управляемости и наблюдаемости нестационарных сингулярно возмущенных систем: автореф. дис. . канд. физ. мат. наук / О.Б. Цехан. Минск, 1993. - 24 с.

28. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. Новосибирск : Наука, 2003.- 319 с.

29. Щеглова, А.А. Наблюдаемость линейных алгебро-дифференциальных систем / А.А. Щеглова // Оптимизация, управление, интеллект. 2002.- № 7 . С. 23 -27.

30. Ailon, A. Controllability of Generalized Linear Time-Invariant Systems / A. Ailon // IEEE Trans. Autom. Contr 1987. V. 32, №5. P. 429 - 432.

31. Cobb, J.D. Controllability, observability and duality in singular systems/ J.D. Cobb // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. - V. 29, № 12. - P. 1076- 1082.

32. Cobb, Daniel. Topological Aspects of Controllability and Observability on the Manifold of Singular and Regular Systems / J. Daniel Cobb // Journal of Mathematical Analysis and Applications — 1989. V . 138, P. 21 42.

33. Campbell, S.L. Duality, observability and controllability for linear time varying descriptor systems / S.L. Campbell, N.K. Nichols, W.J. Terell // GRSC Tech. Rep.// North Carolina State University. 1990. - 3 p.

34. Campbell, S.L. Observability of time varying descriptor systems / S.L. Campbell, W.J. Terell // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. 1991. - V. 12, № 3. -P. 484 - 496.

35. Dai, L. Singular control systems Lecture Notes in Control and Information Sciences / L. Dai . —Berlin: Springer. Verlag. - 1989. — V. 118. — 433 p.

36. Favini, A. Controllability Conditions of Linear Degenerate Evolution Systems /А. Favini // Applied Mathematics and Optimization. 1980. - № 6. - C. 153 - 167.

37. Hou, M. Causal observability of descriptor systems / M. Hou, P.C. Muller // IEEE Trans. Autom. Control. 1999. - V. 44, № 1. - P. 158 - 163.

38. Ishihara, J.Y. Impulse controllability and observability of retangular descriptor systems / J.Y. Ishihara, M.H. Terra // IEEE Trans. Autom. Control. -2001. V. 46, № 6. - P. 991 - 995.

39. Jacob, В. Exact observability of diagonal systen with a finite-dimensional output operator / B. Jacob, H. Zwart // Syst. and contr. letters. 2001. - V. 43,- P. 101 - 109.

40. Koumboulis, F. N. On Kalman/s Controllability and Observability Criteria for Singular Systems / F. N.Koumboulis, B. G. Mertzios // Circuits Systems Signal Process. 1999. - V. 18, № 3. - P. 269 - 290.

41. Kokotovic, P.V. Singular perturbation and order reduction in control theory- an overviev / P.V. Kokotovic, R.E. O. Malley, Jr. P. Sanutti // Automatica.- 1976. V. 12, № 2. - P. 123 - 132.

42. Lewis, F.L. A surway of linear singular systems / F.L. Lewis // Circuits Systems and Signal Processing. 1986. V. 5. № 1. - P. 3 - 36.

43. Paraskevopoulos, P.N. Observers for singular systems / P.N. Paraskevopou-los, F.N. Koumbolis // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. - V. 37, № 8. -P. 1211 - 1215.

44. Uetake, Y. Adaptive bserver for continious descriptor systems / Y. Uetake// IEEE Trans. Autom. Control. 1994. - V. 39, № 10. - P. 2095 - 2100.

45. Yip, E.L. Solvability, controllability and observability of continious descriptor systems / E.L.Yip, R.F. Sincovec // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. -V. 3. - P. 702 - 707.

46. Zhang, L. Robust guaranted cost control of descriptor systems / L. Zhang, B. Huang, J. Lam // Dynamics of Continious Discrete and Impulsive Systems. Ser. B. : Applications and Algoritms. 2003. - № 10. - P. 633 - 646.

47. Раецкая E. В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем. Дисс. канд-физ-мат наук. Воронеж, 2004. 149 стр.

48. Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной нестационарной дескрипторной системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Международная конференция по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Москва. 2010. Стр. 89-90.

49. Фам Туан Кыонг. Об инвариантности стационарной системы наблюдения, неразрешенной относительно производной// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2011. С.

50. Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости нестационарнойвозмущенной динамической системы / / Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012: материалы международной конференции,- Воронеж: ВорГУ, 2012. С. 139 140.

51. Фам Туан Кыонг. О полной наблюдаемости одной возмущенной стационарной системы / Фам Туан Кыонг// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XXIII". Воронеж: ВорГУ, 2012. С. 12 -14.

52. Фам Туан Кыонг. Исследование полной наблюдаемости одной нелинейной системы / / Вестник Ижевского государственного технического университета. ISSN 1813 7903. Ижевск. - 2011. № 3.- С.152 154.