Строение и классификация йордановых алгебр самосопряженных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИСКРЕТНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫХ

ФАКТОРОВ ТИПА Ш

§ 1.1. Предварительные сведения

§ 1.2. Вещественное скрещенное: произведение вещественной алгебры фон Неймана на автоморфизм

§ 1.3. Дискретное разложение вещественных факторов типа Щ ? 0 < Я < 1.

§ 1.4. Построение о^ - инвариантного лакутарного веса бесконечнойкратности. на.факторе.типа

§ 1.5. Дискретное разложение вещественных факторов типа Щ

§ 1Д6. Изоморфизм вещественных факторов типа 1]

ГЛАВА П. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОНЛГЕБРЫ И ТЕОРЕМА О

ВЛОЖЕНИИ.

§ 2.1. Я - топология на 03 - алгебре

§ 2.2. Существование и единственность . Я - тополо гии ••.*••••••••• •••••••

§ 2.3. Вложение топологической 03 - алгебры в универсальную топологическую ОЛ - алгебру.

Йордановы алгебры были введены в 1934 году в работе Йордана, фон Неймана и Вигнера [ 32] в целях алгебраического описания множества наблюдаемых в квантовой механике. После этого длительное время в алгебраической переформулировке квантовой механики использовались алгебры фон Неймана, и йордановы алгебры изучались с чисто алгебраической точки зрения (см., например, [16, 31] ).

В 1947 году Сигал цредложил отождествить множество наблюдаемых с элементами некоторой равномерно замкнутой йор-дановой алгебры. Это впоследствии стимулировало интерес к йордановым алгебрам* В середине 60-х годов в работах Топпин-га 146] и Штёрмера 140] впервые были рассмотрены неассоциативные аналоги алгебр фон Неймана - Л""^ - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Структура этих алгебр оказалась близка к структуре алгебр фон Неймана, и в изучении ЛЫ - алгебр оказалось возможным применить идеи, сходные с идеями теории алгебр фон Неймана. В работе Толлинга [46] была получена начальная классификация - алгебр по типам X » , Н^, Щ , а в работах Штёрмера [42, 431 и Ш.А.Аюпова [7, 8, 24] была . решена проблема о связи типа ЗЛлГ - алгебры и типа её обертывающей алгебры фон Неймана, а также изучены - алгебры типа I . Возникла задача изучения - алгебр типов & и | .

В работе [421 Штёрмер доказал, что всякая ^ - алгебра А типа Ц или Щ изоморфна прямой сумме А с Ф А г

1"\дГ - алгебры А ^ = ^ С А & д , являющейся самосопряженной частью алгебры фон Неймана И(АС^ и - алгебры -А», = Я(А»Ле. » являющейся самосопряженной ъ Т-' 5А

частью вещественной алгебры фон Неймана Я (А^) * т#е* вещественной * - алгебры ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутой в слабой (операторной) топологии и обладающей следующим свойством:

Таким образом, задача изучения Л\Г - алгебр типа Н и Щ в существенном редуцируется к.изучению вещественных алгебр фон Неймана типа Е и [И . Поскольку с каждой вещественной алгеброй фон Неймана единственным образом связан некоторый инволютивный * - антиавтоморфизм обертывающей алгебры фон Неймана, то при изучении вещественных алгебр фон Неймана необходимо изучать и инволютивные * - антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Используя результаты Джиордано 1291 по классификации инво-лютивных * - антиавтоморфизмов, Ш.А.Аюпову удалось получить полное.описание так называемых инъективных - Факторов [Ю] . Следующим естественным шагом в этом направлении является изучение вещественных алгебр фон Неймана типа Щ , не обязательно инъективных.

Одним из значительных результатов теории алгебр фон Неймана является построенная А.Конном классификация (Г -конечных факторов фон Неймана типа Щ по типам [К ^ , о ^ г и дискретное разложение факторов типа Ш ^ ,

О ^ А, < 1 I 26} .

Вызывала интерес возможность построения для вещеитвенных факторов фон Неймана типа Щ аналога дискретного разложения. Решению этого вопроса посвящена первая глава диссертации.

В связи с дальнейшем обобщением понятия JW - алгебры, построением теории интегрирования на йордановых алгебрах и ее приложений к вопросам некоммутативной теории вероятностей, в работах Ш.А.Аюпова был введен класс упорядоченных йордановых алгебр-03 - алгебры. Эти алгебры включают в себя также йордановы алгебры неограниченных самосопряженных операторов и являются неассоциативным аналогом алгебр измеримых вещественных функций на пространствах с мерой. Более обще, 0J - алгебры являются неассоциативным аналогом полуполей, введенных в работах М.Я.Антоновского, В.Г.Болтянского и Т.А.Сарымсакова (см., например, III ).

Одним из основных результатов теории полуполей является теорема классификации, или теорема о вложении всякого полуполя в универсальное полуполе Li] . В связи с этим возникает задача вложения О J - алгебры в универсальную 0J - алгебру. В отличие от полуполя, не всякая 0J - алгебра вкладывается в универсальную О J -алгебру. В этом направлении Ш.А.Аюповым был получен ряд результатов; в частности, в работе til] им было построено вложение одного класса QJ -алгебр - модулярных - алгебр в универсальную 03 - алгебру неограниченных элементов.

В теории полуполей и их некоммутативных аналогов -0* - алгебр - для построения вложения часто применяется пополнение исходного полуполя или исходной 0 * - алгебры по равномерности, порожденной топологией сходимости по мере или Я - топологией) [I, 20-22 1 . Естественным было построение на более широком классе 01 - алгебр, чем модулярные ЛВЛлГ - алгебры, аналога & - топологии, и использование этой топологии для вложения исходной 03 - алгебры в универсальную 0Л - алгебру. Этому кругу вопросов посвящена вторая глава диссертации.

В диссертации решены следующие задачи:

- введено вещественное скрещенное произведение вещественной алгебры фон Неймана на ее автоморфизм;

- выделены классы вещественных факторов фон Неймана типа [¡I , 0 ^ Я < 1 , для которых существует дискретное V разложение, и построено это дискретное разложение;

- получены условия изоморфизма таких факторов в терминах вещественных скрещенных произведений;

- в 0Л - алгебре построена - топология;

- выделен класс 01 - алгебр, в которых существует - топология (класс топологических 03 - алгебр);

- построено вложение топологической 0 Л -.алгебры в универсальную топологическую - алгебру.

При изучении вещественных факторов фон Неймана типа Щ мы используем методы теории операторных алгебр. При исследовании топологических 0Л - алгебр используется техника теории йордановых алгебр и теории упорядоченных пространств.

Кратко изложим результаты диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48 - 5.2] . В работе [49] Ш.А.Аюпову-принадлежит общая постановка задач и результаты §§1-3; диссертантом получены результаты §§ 4 - 7. В работе [48] Ш.А.Аюпову принад^-лежит ростановка задачи; диссертантом получено ее решение.

Результаты диссертации докладывались на городском семинаре при кафедре функционального анализа в ТашГУ им. В.И.Ленина (1980-1984 гг.), на семинаре "Теория упорядоченных алгебр и ее приложения в квантовой теории вероятностей" при отделе функционального анализа Института математики АН УзССР (1980-1984 гг.), на конференциях молодых ученых ТашГУ (1982,1983 гг.), на ежегодных конференциях молодых ученых Института математики АН УзССР (1980-1984 гг.), на шестом международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, сентябрь 1984 г.), на семинаре по функциональному анализу при кафедре математического анализа МГУ.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Шавкату Абдуллаевичу Аюпову. за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

ГЛАВА I

ДИСКРЕТНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ

ТИПА III

§1.1. Предварительные сведения а) Йордановы алгебры

Мы всюду будем рассматривать йордановы алгебры над полем действительных чисел R . . .

Определение I.I.I. Пусть А - векторное пространство над R,. и в А введена операция умножения , » которая может быть неассоциативной.

А называется йордановой алгеброй, если:

1) ху -ip ;

2) = + ;

3) Я/txvp - (Я/ ;

4) = , где X, ^ , 1 &А , Л eR .

Пусть U. - ассоциативная, не обязательно коммутативная алгебра над R. , с операцией умножения Xlj , X, ^ ell Определим на U, новую операцию умножения:

Это умножение называется симметризованным, или йордановым произведением. Полученная новая алгебра (Ц,, о ) , как легко проверить, является йордановой алгеброй. Пусть И1 - . векторное подпространство ХЬ 9 замкнутое относительно.операции „о" . Тогда (И^о). также йорданова алгебра. Такие йордановы алгебры называются специальными. Неспециальные йордановы алгебры называются исключительными.

Пр и м е р 1.1.2. Пусть Н - гильбертово пространство над К , сГьИг Н Ъ Ч со скалярным произведением ^, У^еН • Рассмотрим множество А пар

I Т ^ \ ' где ^е ' ^ е Н. с покоординатными линейными операциями и с умножением:

Непосредственно проверяется, что А с этими операциями является йордановой алгеброй. Такие йордановы алгебры называются абстрактными спин-факторами. Они являются частным случаем алгебры симметрической билинейной формы ^16,311 и, в частности, специальны (116 , стр. 74, упр.1]).

Пусть А. - произвольная йорданова алгебра. Для элемента О. е. А» определим линейный оператор Я а следующим образом: - СХХ, X £ А . Этот оператор называется оператором умножения. Для любых элементов СХ , Ь из А определим линейный оператор ^ :

Будем писать: и Л • Оператор имеет вид:

Полезным техническим средством в теории йордановых . алгебр является пирсовское разложение. Пусть А - йорда-нова, алгебра с единицей идемпотент из А

1. Ст т.е. £ - ). Из очевидных равенств вытекает, что где 1с1 - тождественный оператор на А . Введем обозначения:

Тогда , .

Это разложение А в сумму подпространств называется пир-совскшд разложением; | \ , ^¡ч , 0 называются пирсовскими компонентами А по идемпотенту £ , - , , О ■ Точнее, имеет место следующий результат.

Теорема 1.1.3 (Альберт, 116) ). Пусть А йорданова алгебра с единицей, £ - идемпотент в А • Тогда А раскладывается в прямую сумму пирсовских компонент: А ~ * ^оС^? причем

1. Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарымсаков Т.А. Топологические алгебры Буля. Изд-во АН УзССР, Ташкент, 1963, - 132 с.

2. А ю п о в Ш.А. К.теории частично упорядоченных йорда-новых алгебр. Докл. АН УзССР, 1979, & 8, с.6-8.

3. А ю п о в Ш.А. Спектральная теорема для 03 -алгебр. Докл. АН УзССР, Ш 9, с.3-5.

4. А ю п о в Ш.А. 03 г- алгебры ограниченных элементов.

5. Изв.АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1980, 2, с.3-8.

6. А ю п о в Ш.А. Топологические частично-упорядоченные йордановы алгебры. Успехи мат. наук,- 1980, т.35, вып.З (213), с. 138 140.

7. А ю п о в Ш.А. О классификации йордановых алгебр самосопряженных операторов. Деп. ВИНИТИ, Ш 5760-84, 30 с.

8. А ю п о в Ш.А. Типы йордановых алгебр самосопряженных операторов и их обертывающих алгебр фон Неймана. "Функ. анализ и его прил.", 1983, т.17. вып.1, с.65-66.

9. А ю п о в Ш.А. 0 конструкции йордановых алгебр самп-сопряженных операторов. Докл. АН СССР, 1982, т.267, 3, с. 521 524.

10. Аюпов Ш.А. Интегрирование на йордановых алгебрах.

11. Изв. АН СССР, мат. серия, 1983, т.47, Я I, с. 3 25.

12. Ю. А ю.п о в Ш.А. Классификация иньективных J./\f факторов. "Функц. анализ и его прил;" 1984, т.18, вып.З, с.67-68.

13. А ю п о в Ш.А. Локально измеримые операторы для JW -алгебр и представление упорядоченных йордановых алгебр. Изв. АН СССР, мат. серия, 1984, т.48, Ш 2, с.211-236.

14. А ю п о в Ш.А. JW Факторы и антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Изв. АН СССР, мат. серия, 1985, т.49, В I, с.3-12.

15. А ю п о в Ш.А., Хаджиев. Дж. Топология в К. -пространствах с единицей. Докл. АН УзССР, 1975, 15 I, с.3-4.

16. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. Москва: Мир, 1982» 512 с. . .

17. Б и р к г о ф Г. Теория структур. М.: ИЛ., 1962,407 с.

18. Жевлаков К.А., С л и н ь к о A.M., Шеста-к о в И.П., Ш и р ш о в А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978, 432 с.

19. Сарымсаков Т.А., А.ю п о. в Ш.А. Частично. упорядоченные йордановы алгебры. Докл.АН СССР, 1979, т.249,# 4, с.789-792.

20. Сарымсаков Т.А., Р у б ш т ей н Б.А., Ч и -лин Б .И. Полные тензорные произведения топологических полуполей. Докл. АН СССР, т.216 (1974), JS 6, с.1226-1228.

21. Сарымсаков Т.А., А ю п о в Ш.А,, Хаджиев Дж., Ч и л и н В.И. Упорядоченные алгебры. Ташкент: Фан, 1983, 304 с.

22. Ч и л и и. В.И. Топологические 0* алгебры. I. Изв.

23. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1979, Д 3, с.27-34.,

24. Ч и л и н В.И. Топологические 0 алгебры. П. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1979, Ш 4, с.33-41.

25. Ч и л и н В.И. Топологические 0 алгебры. "Функ, анализ и приложения", 1980, т.14, вып.1, с ,87-88,

26. А г V е s о n W. On groups of automorphism of operator algebras. J. Funct, Anal. 1974, 15, 217-243.

27. A 3 up о v Sh.A. Extension of traces and type cri~ terions for Jordan Algebras of self-adjoint, operators. Math. Z., 1982, 181, 253-268.

28. A 1 £ s e п E., S h u 1 t z P., S t о, r m e r E. A Gelfsnd-Neumark theorem, foie Jordan algebras. Advances in Math., vol. 28 (1978), No 1, 11-56.

29. Connes A. Une classification des facteurs de type III. Ann. Ecole Norm. Sup., 1973, 6, No 2, 133-252.

30. С о n n e s A., T a k e s a k i M. The flow of weights on factors of type III. Tohoku. Math. J., 1977, 2.9, 473-575.

31. Dixmier S» Les algebres d*operators dans l'espace hilbertien. Paris, Gauthier Miliars, 1969» 367 c.

32. Giordano I. Antiautomorphismea involutifs des facteurs de von Neumann infectives. II. J, Fundi. Anal., 1983, 51, 32 6-3-60.

33. Haagerup U., Nanche-Olsen H. Tomita--Takesaki theory for Jordan Algebras, Odense Univ.,1982 (prepr. No 4).

34. Jacobson N. Structure and Reprecentations of Jordan algebras. Math, Soc. Colloq. Publ., 39, Amer, Math. Soc., Providense, R.I. 1968.

35. Jordan P., von Neumann J,,Wigner E, On an Algebraic Generalisation on Quantum Mechanical

36. Formalism. Ann. Math., 35 (1934>, 29-64,

37. K r i e g e r W. On non singular transformation of a measure space, X. Z. Wahrscheinlickkeitstheorie werw. -Gel., Bd,17, 1969, c. 83-97.

38. M a e d a P. Kontinuerliche Geometrien. Berlin, 1958.

39. Pedersen G., Takesaki M* The Radon-Ni-kodym theorem for von Neumann algebras. Acta Math.,1973, 130, 53-87.ii #

40. S a k a i Sh, C. and "\\f - algebras. Ergeb. Math. No 60, Springer, 1971« 256 C.

41. S e g a 1 I. Poctulates for general Quantum. Mechanics, Ann. Math., 1947, vol. 48, 930-948.

42. Shultz F. On normed Jordan algebras which are Banach dual spaces. J. of Funct. Analysis, vol. 31 (1979), No 3, 360-376.

43. S t a c e a P.J. Real structure in 6" finite factors of type |\\ where 0 < X < 4. • Proc. London Math. Sac,, 1983, 47, No 2, 275-284.

44. Stormer E. Jordan structure of Q. -algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 120, No 12, 438-447.

45. Stormer E. On anti-automorphisms of von Neumann algebras. Pacif. J, Math., 1967, 21, No 2, 349K370.

46. Stormer E, Jordan algebras of type I. Acta Math., 1968, 115, No 3-4, 165-184.43» S t o. r m e r E. Irredutible Jordan algevras of self-adjoint operators. Trans. Amer. Math. Soc., 1968, 130, No 1, 153-166,

47. Stormer E. Real structure in the hyperfinita factor. Duke Math. J., 1-980, 47, 145-153.

48. Т а к е s а к i M, Tomita's theory of modular hilbert algebras and its appl. Lecture Uotes in Math., 1970, No 128, Springer.

49. Topping D.M. Jordan algebras of self-adjoint operators. Mem, Amer. Math. Soc., 1-965» 53, 1-48.л

50. Zeller-Meyer G, Produit croise d'une С -- algebras par une groupa d'automorphismes. J. Math, Pure et Appl., 1968, 47, 102-239.

51. A ю п о в .Ш.А., У с m a h о в Ш.М. ft топология, на OJ -алгебрах. Докл. АН УзССР, 1980, J8 8, с .3-4.

52. А ю п о в . Ш.А., У с м а н о в. Ш.М. Порядок и топология в йордановых алгебрах. Деп. ВИНИТИ Jfi 4232-80 деп.,77 с.

53. У с м а н о в Ш.М. Структура вещественных "W*- Факторов типа Щ0 . Докл. АН УзССР, 1984, » 9, 0.3-4.

54. У с м а н о в Ш.М. Классификация вещественных W * --факторов типа % , 0 < %< i • Деп. ВИНИТИ Ш 8082-84 деп., 38 с.

55. Усманов Ш.М. Один класс вещественных "W факторов типа III. Конференция молодых ученых и специалистов, посвященная 60-летию Ленинского комсомола Узбекистана. (XI—12 марта 1985 г., Ташкент). Тезисы докладов, часть П, Ташкент - 1985, с. 75-76.