Строение изотропных редуктивных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

4 САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СТАВРОВА Анастасия Константиновна

СТРОЕНИЕ ИЗОТРОПНА "и3477Э23

РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискаиие ученой степени кандидата физико-математических наук

1 ОПТ 2009

Санкт-Петербург 2009

003477923

Работа выполнена па кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Вавилов Николай Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Рудаков Алексей Николаевич (Научно-исследовательский институт системных исследований РАН)

доктор физико-математических наук Смирнов Александр Леонидович (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН)

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Защита состоится «» ........ 200 Л г. в И... часов на

заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете но адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Защита состоится по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Автореферат разослан « 'И » 200.9 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория алгебраических групп является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX в. на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет обширные приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — редук-тивные группы.

Основы теории редуктивных групп были заложены в 1950-х-1960-х годах в работах К. Шевалле, Ж. Титса, А. Бореля, А. Вейля, А. Гротендика, М. Дема-зюра и др. В частности, в 1956-1958 годах К. Шевалле получил классификацию полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Позднее Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над 2, или, иначе говоря, получаются в результате расширения базы из некоторых групповых схем над Ъ, называемых схемами Шевалле—Демазюра. Группы точек схем Шевалле—Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле. Частными случаями групп Шевалле являются расщепимые классические группы матриц 8ЬП(Д), 80„(Я), Эр„(Д); конечные простые группы типа Ли Ап(д)-Сг(д) являются центральными факторами групп Шевалле.

Не все классические группы матриц являются группами Шевалле, однако в наиболее важных случаях они являются группами точек некоторых редуктивных групповых схем. Групповая схема й над коммутативным кольцом й с 1 называется редуктивной (соответственно, полупростой), если она является аффинной и гладкой, и если все ее геометрические слои являются редуктивными (соответственно, полупростыми) группами в обычном смысле.

Изучению строения групп Шевалле как абстрактных групп посвящено огромное количество работ, и ключевую роль в подавляющем большинстве из них играет элементарная подгруппа Е(Щ группы Шевалле С(Я), которая обычно определяется как подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотен-тами х0(£), где £ € Я и а пробегает систему корней группы Шевалле. Это понятие является прямым обобщением элементарной группы матриц Еп(Н) С СЬп(Л), порожденной всеми элементарными трансвекциями £;,•(£) = е + £ 6 Я,

1 < ® Ф ] < п. Важнейшим свойством элементарной подгруппы Е(И) является ее нормальность в объемлющей группе(3(Д). В частности, оно послужило отправной точкой для Г. Уайтхеда, X. Басса и Дж. Милнора при построении алгебраической /<Т-теории. Нормальность элементарной подгруппы в группах Шевалле ранга > 2 была доказана в работах А. Суслина, В. Копейко, Фу-ан Ли, И. Абе, Дж. Таддеи к концу 1980-х годов.

В случае произвольной редуктивной групповой схемы б над коммутативным кольцом Я. группа точек <3(Д) может не содержать полного набора элементарных корневых унипотентов, и данное выше определение элементарной подгруппы не может быть перенесено дословно. В случае, когда Л = к является полем, Ж. Тите определил группу (к) как подгруппу в С (к), порожденную ^-точками унипо-тентных радикалов всех параболических подгрупп в С, определенных над к. При таком определении ее нормальность очевидна, однако позднее А. Борелем и Ж. Титсом было показано, что группа на самом деле порождается точками

унипотентных радикалов любых двух параболических подгрупп й. Сходным образом, в случае нерасщепимых классических групп над кольцами Л. Васерштейн определил элементарную подгруппу как подгруппу, порожденную всеми транс-векциями Эйхлера-Зигеля-Диксона. Нормальность при этом также очевидна, однако Васерштейн доказывает, что элементарная подгруппа порождается транс-векциями специального вида. Для классических групп имеются также варианты определения элементарной подгруппы с использованием инволюции и "форменного параметра" (унитарные группы Бака), в этом случае нормальность доказана Л. Васерштейном и Хон Ю, А. Баком и Н. Вавиловым в 1995 г. Аналогичные результаты для "нечетных" унитарных групп были получены В. Петровым.

Теория алгебраических групп с самого своего возникновения была тесно связана с теорией алгебр Ли. В частности, упомянутая выше конструкция Шевалле полупростых групповых схем над Ъ основывается на существовании 2-форм полупростых комплексных алгебр Ли и их фундаментальных представлений. Хорошо известно, что над полем характеристики 0 категория односвязных полупростых алгебраических групп эквивалентна категории полупростых алгебр Ли.

Пусть С — произвольная редуктивная групповая схема. Можно показать, что изотропность С эквивалентна существованию нетривиального действия на б 1-мерного раыцепимого тора. Такое действие задает 2-градуировку на алгебре Ли группы С. Поэтому теория изотропных редуктивных групп параллельна теории й-градуированных (или, более общо, 2"-градуированных) алгебр Ли. В свою оче-

редь, 2-градуированные алгебры Ли тесно связаны с йордановыми алгебрами и другими алгебраическими структурами йорданова типа.

Понятие йордановой алгебры впервые возникло в 1934 г. в статье П. Йордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера в контексте математической формализации квантовой механики. В 1960-х годах в ряде работ была объяснена тесная связь между йордановыми алгебрами и алгебрами Ли. В частности, И. Кантор и М. Кехер показали, что произвольную йорданову алгебру J можно вложить в

2-градуированную алгебру Ли Ь, такую что = 0 при |г| > 1 (так называемую

3-градуированную алгебру), таким образом, что Ь±х — две копии алгебры ,/, а Ьо — внутренняя структурная алгебра Ли алгебры 3.

В это же время стали возникать новые понятия, обобщающие понятие йордановой алгебры или близкие к нему по свойствам. Именно, К. Майберг определил йордановы тройные системы и тройные системы Фрейденталя. По тройной системе Фрейденталя можно построить 5-градуированную алгебру Ли, такую что 2 и ¿2 ~~ модули ранга 1. Другие структуры, аналогичные йордановым алгебрам, но соответствующие 5-градуированным алгебрам Ли, изучались в работах Б. Эл-лисона, И. Кантора, О. Смирнова. Особую важность изучению 5-градуированных алгебр Ли придает тот факт, что простая комплексная алгебра Ли типа Е% имеет естественную 5-градуировку, но не имеет, в отличие от простых алгебр Ли других типов, естественной 3-градуировки. Другим важным обобщением понятия йордановой алгебры является понятие йордановой пары, введенное О. Лоосом.

Эти понятия получили широкое обобщение в работах Е. Зельманова. Около 1985 г. Зельманов определил йорданову систему как набор модулей с полилинейными отображениями между ними, такой что эти модули являются подмодулями с ненулевым весом некоторой Z'l-гpaдyиpoвaшroй алгебры Ли, а полилинейные отображения индуцированы скобкой Ли. В 1990-2000-х годах йордановы системы изучались в работах Е. Зельманова, Дж. Бенкарт, С. Бермана и Р. Муди и других. В частности, в 2003 г. Дж. Бенкарт и О. Смирнов описали йордановы системы, отвечающие 5-градуированным алгебрам Ли над полем.

В своих работах 1978-79 годов О. Лоос также установил связь йордановых пар с алгебраическими группами. Именно, он показал, что существует естественное соответствие (фактически, эквивалентность категорий) между простыми йордановыми парами и присоединенными полупростыми группами с фиксированной парой противоположных параболических подгрупп, обладающих абелевыми уни-потентными радикалами. В работах Дж. Фолкнера 2000 и 2004 годов результаты

Лооса были воспроизведены с использованием языка алгебр Хопфа.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, находятся в контексте современной теории редуктивных групп и алгебраических структур йорданова типа.

Цель работы. Целью работы является изучение строения изотропных редуктивных групп в терминах их элементарных подгрупп и ассоциированных с ними йордановых систем.

Методы исследований. Используются методы алгебраической геометрии, теории редуктивных групп и теории йордановых алгебр. Для доказательства нормальности элементарной подгруппы применяется строго плоский спуск, обобщение коммутационных формул Шевалле, метод локализации и вариант леммы Квиллена—Суслина. При исследовании связи между йордановыми системами и изотропными группами используется теорема Демазюра об автоморфизмах проективных однородных многообразий.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:

• Доказана нормальность элементарной подгруппы группы точек изотропной редуктивной группы над произвольным коммутативным кольцом, при стандартных ограничениях на изотропный ранг.

• Доказана эквивалентность категории изотропных присоединенных полупростых групп с параболической подгруппой, степень нильпотентности унипо-тентного радикала которой не превосходит п, и категории алгебраических йордановых систем степени п, при условии, что (2тс)! обратимо в базовом кольце.

• Получено задание изотропной редуктивной группы как группового пучка образующими и соотношениями в терминах ассоциированной с ней йорда-новой системы.

• Получены явные формулы для умножения элементов большой клетки изотропной редуктивной группы в случае, когда степень нильпотентности уни-потентного радикала соответствующей параболической подгруппы равна 2 (случай 5-градуированной алгебры Ли), при помощи выражений для квазиобратных в соответствующей йордановой системе.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории алгебраических и арифметических групп, а также в алгебраической геометрии, алгебраической /("-теории, теории неассоциативных алгебр и систем (лиевского и йорданова типа), алгебраической теории чисел и других разделах алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Группы преобразований", посвященной 70-летию Э. Б. Винберга (Москва, 2007), на международной конференции "Quadratic forms, algebraic groups, algebraic cobordism and related topics" (Ноттингем, Великобритания, 2008), на международной конференции "Quadratic forms and linear algebraic groups" (Обервольфах, Германия, 2009), на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фаддеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [lj-f*!]1. Работа [2] опубликована в журнале, входящем в действующий список ВАК, работа [1] — в журнале, входившем в список ВАК на момент публикации (до 2007 года).

В работе [1] диссертантке принадлежат теоремы 1, 2, 3 о строении параболических подгрупп, соавтору — теорема 4 об исключительном случае групп типа G2, не включенная в диссертацию. В работе [2] диссертантке принадлежит доказательство теоремы 2 о нормальности элементарной подгруппы, соавтору — постановка задачи и доказательство теоремы 1 о существовании корневых подсхем с определенными свойствами, не включенное в диссертацию. В работе [3] соавтору принадлежит постановка задачи, диссертантке — основные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (первая содержит три раздела, вторая — шесть разделов), списка литературы, содержащего 74 наименования, и двух приложений. Объем диссертации — 158 страниц (основной текст — 144 страницы, приложения — 14 страниц).

Содержание диссертации

Во введении излагается история вопроса, формулируется цель работы, описываются методы исследований и структура диссертации.

Первая глава посвящена изучению строения параболических подгрупп изотропных редуктивных групп и доказательству нормальности элементарной под-

1 С.и. также A. Stavrova, Normal structure of maximal parabolic subgroups in Chevailey groups over rings, Algebra CoUoquium 2009. T. 16. № 4. 631-648.

группы.

В первом разделе воспроизводятся основные определения теории редук-тивных групп, восходящие к Семинару по алгебраической геометрии (SGA 3) А. Гротендика и М. Демазюра.

Пусть R — коммутативное кольцо с 1. Для любого конечно-порожденного проективного R-модуля V мы обозначаем через W[V) соответствующую аффинную R-схему.

Для любой редуктивной групповой схемы G над R будем обозначать через Gad соответствующую групповую схему присоединенного типа, через Lie(G) — алгебру Ли G.

Редуктивная группа G над R называется изотропной, если она обладает (собственной) параболической подгруппой Р. В диссертации показано, что это условие эквивалентно существованию нетривиального действия на G некоторого 1-мерного расщепимого тора, или, иначе говоря, тому, 4ToGad содержит 1-мерный расщепимый подтор.

Во втором разделе изучается строение параболических подгрупп изотропных редуктивных групп.

Пусть G — редуктивная групповая схема над коммутативным кольцом R. Пусть S — тг-мерный расщепимый тор над R, который действует на групповой схеме G автоморфизмами. Тогда индуцированное действие S задает на Lie(G) структуру ^"-градуированной алгебры Ли. Мы будем называть тор S градуирующим тором, если гомоморфизм S —> Aut (G) является мономорфизмом.

Пусть

Lie(G)= © Lie(G)A ЛеХ*(А')

— разложение Lie(G), индуцированное действием S, где Х*(5) — группа характеров S. Пусть L = Cento (<5) ~~ неподвижная подгруппа S в G. Строго плоский спуск показывает, что для любого замкнутого по сложению подмножества Ф С Х*(5) существует единственная гладкая связная замкнутая подгруппа Щ группы G, нормализуемая L и такая, что Lie([/$) = ф Lie(G)^. При этом, если

Ф = {0}, то £/Ф = L; если Ф = -Ф, то Щ редуктивна; если Ф U (-Ф) = X*(S), то С/ф и С— две противоположные параболические подгруппы в G с общей подгруппой Леви С/фП(-Ф), а если 0 ^ Ф, то ¡Уф — унипотентная подгруппа.

Множество Ф5 ненулевых характеров A G X*(S') = Z", таких что Lie(G)yi ф 0, будем называть системой относительных корней группы G относительно S,

а элементы Ф5 — относительными корнями. Заметим, что если С — расщепимая группа и 3 — расщепимый максимальный подторС?, то Ф5 = Ф является системой корней в в обычном смысле. Если С? — редуктивная группа над полем, и 5 — максимальный расщепимый тор в, то Ф5 — относительная система корней С? в смысле Бореля—Титса. В общем случае Ф5 может и не быть системой корней.

Задав полное упорядочение на (^-пространстве мы можем раз-

бить Ф5 на два непересекающихся подмножества Ф£ и Ф^, так что Ф5 = Ф£ и Ф^. Это подмножества положительных и отрицательных относительных корней, соответственно. Тогда Р+ = и Р" = ~~ Две противоположные

параболические подгруппы с общей подгруппой Леви Ь = Сеп1с(5).

Пусть С? — редуктивная группа над Я, и С"1 = П ~ разложение соответствующей присоединенной группы в произведение неразложимых полупростых групп. Мы будем называть параболическую подгруппу Р С <3 строго собственной, если образ Р при проекции б —> (За(1 является произведением собственных параболических подгрупп групп С^. Градуирующий тор 51 называется строго градуирующим, если 5 не централизует ни один из сомножителей (7;. Это условие эквивалентно тому, что параболические подгруппы Р± = и$±ищ являются строго собственными.

Обратно, для каждой параболической подгруппы Р = Р+ существует градуирующий тор 5, такой что Р = 1/ф+и{о}. Локально в топологии Зариского за Б можно принять максимальный расщепимый подтор в подгруппе Леви образа Р в (?а<1. Соответствующую систему относительных корней мы будем обозначать через Фр вместо Ф$. Положим

Ул = 1ле(С)л, А б Фр.

Тогда Уд — конечно-порожденный проективный модуль над Л. Для любого А 6 Фр обозначим через (Л) подмножество Фр, состоящее из всех положительных кратных А, и рассмотрим соответствующую унипотентную группу и^у Можно показать, что для любого А £ Фр существует 5-эквивариантный изоморфизм — и замкнутое й'-эквивариантное вложение схем

Хд : Щ'Ы - С,

являющееся сечением для проекции —> И^(Уд). Подсхемы Ха(\¥(Уа)), А 6 Фр, называются относительными корневыми подсхемами <3, соответствующими параболической подгруппе Р. Они являются прямым обобщением корневых

подгрупп расщепимой редуктивной группы, в случае, когда Р = В является бо-релевской подгруппой этой группы. Для них также можно выписать аналог коммутационных формул Шевалле. Именно, для любых двух линейно независимых относительных корней А, В € Фр и любых V 6 Ул, и е Ур имеем

1,7>0

где ЛГ^ду: У^ х Ур —► У^-^р — некоторое однородное полиномиальное отображение степеней г ипо первому и второму аргументу соответственно.

В третьем разделе формулируется и доказывается первая основная теорема диссертации, утверждающая нормальность элементарной подгруппы изотропной редуктивной группы над коммутативным кольцом.

Пусть Р — собственная параболическая подгруппа групповой схемы С. Определим элементарную подгруппу Ер (Я), соответствующую Р, как подгруппу в группе Л-точек (?(Д), порожденную /2-точками унипотентных радикалов I)р(Я) и ир-(Я), где Р~ — некоторая противоположная к Р = Р+ параболическая подгруппа (нетрудно показать, что Ер(Я) не зависит от выбора Р~).

Заметим, что локально в топологии Зариского Ер{Я) = (-^л(Ул), А 6 Фр).

Теорема 1 Пусть Я — коммутативное кольцо с 1,0 — редукгпивная алгебраическая группа над Я. Предположим, что для любого максимального идеала М кольца Я каждый неразложимый полупростой сомножитель содержит расщепимый тор ранга > 2. Тогда группа Ер(Д) не зависит от выбора строго собственной параболической подгруппы Р в С. В частности, Е(Я) = Ер(Я) нормальна в С(Я).

Ключевым моментом в доказательстве теоремы 1 является применение аналога леммы Квиллена—Суслина, которая, по существу, сводит задачу к случаю локального кольца Я. Над локальным кольцом утверждение теоремы справедливо даже без ограничения на ранги расщепимых подторов, благодаря известной теореме о локальной сопряженности минимальных параболических подгрупп.

Вторая глава посвящена доказательству теоремы об эквивалентности категорий изотропных присоединенных полупростых групп и сепарабельных алгебраических йордановых систем, а также ее следствий.

В первом разделе дается определение йордановой системы и алгебраической йордановой системы, приводятся примеры.

Положим n = {±1, ±2,..., ±?г}. Пусть V = (V;, г € п) — набор из 2п модулей над коммутативным кольцом R, снабженных следующими билинейными и трилинейными отображениями:

qij : V, х Vj -у Vi+j для любых i,j е п, гф -j; di^ij : Vi х V_,- x Vj Vj для любых i,j € n (где Vi+j = 0 при |г + j\ > n). Пусть End (V) = ф End (Vi). Трилинейные отобра-

ien

жения di-ij, i,j £ n, естественным образом соответствуют билинейным отображениям : Vj х V-i —» End (V). Положим

V0 = E x V-i) С End (V).

ien

На Л-модуле £(V) = ф К рассмотрим билинейную форму

<€nU{0}

[-, -] : £(V) х £(V) - End (V) © ф Vit

i£ П

такую что для любых и £ Vj, v £ V}, г, j S n U {0}, имеет место

' <Jt,jKw), если г ^ -j, г, j ф 0; —Д._,-(и, v), если г =—j, гфО; [и, г/] = м(у), если г = 0, j ф 0;

—v(u), если i ф 0, j = 0; uv — vu, если г = j = 0.

Рассмотрим следующие наборы аксиом для V:

[«,«] = 0 для любого u € £(V); (JS1)

[[и,и],го] + [[ti;,ii],t>] + [[г/, w],uj = 0 для любых u,v,w е £(V). (JS2)

Система й-модулей V = (Vj,i € п) называется йордановой системой степени п над R, если для нее выполнены аксиомы (JS1) и (JS2), или, эквивалентно, если [£(V),£(V)] С £(V) и (£(V), [—, —]) является алгеброй Ли.

Иначе говоря, йордапова система — это набор подмодулей с ненулевым весом некоторой Z-градуированной алгебры Ли, вместе с полилинейными отображениями, индуцированными скобкой Ли. Это частный случай йордановой системы в смысле Е. Зельманова.

Гомоморфизмы, автоморфизмы, подсистемы и идеалы йордановой системы определяются естественным образом. Иорданова система V называется сепара-бельной, если для любого s 6 Spec R йорданова система V ®д k(s) не содержит

ненулевых идеалов, ограничения всех структурных отображений на которые тривиальны.

Предположим, что (2п)! £ Rx. Йорданова система V = (V^i £ п) называется алгебраической, если все модули V;, i £ п, являются конечно-порожденными проективными модулями над Д, и V удовлетворяет аксиоме

exp(ada)([b,c]) = [exp(ada)(6),exp(ada)(c)] в £(V)

(JS3)

для любых a £Vi, b £Vj, с € V*, i,j, ken, где мы обозначаем

2 n

exp(ad„) = £ ¿(adj* 6 End (£(V)).

k=0

Иначе говоря, мы требуем, чтобы эндоморфизмexp(ad„) для любого о € V{, i € n, являлся автоморфизмом £(V) как алгебры Ли.

Заметим, что при (Зп)! G Дх аксиома (JS3) выполнена автоматически.

В частном случае тг = 1 и 2 6 Д* оказывается, что аксиомы (JSl)-(JS3) в точности совпадают с аксиомами йордановой пары О. Лооса. В частном случае п = 2 и 2,3 € Rx, йорданова система, построенная по тройной системе Фрейден-таля, также удовлетворяет аксиоме (JS3).

Во втором разделе показывается, как построить по изотропной редуктив-ной группе сепарабельную алгебраическую йорданову систему.

Именно, пусть R — коммутативное кольцо с 1, такое что (2п)! G R, и пусть G — изотропная редуктивная групповая схема над Д. Пусть S — 1-мерный рас-щепимый тор над R, который действует на G автоморфизмами, т.е. ф : Gm —> Aut (G), S = ift(Gm). Пусть L = Centc^), P± = L ■ U± — две противоположные параболические подгруппы и их общая подгруппа Леви, ассоциированные с этим действием.

Как было отмечено выше, действие 1-мерного расщепимого тора задает Z-градуировку на Д-алгебре Ли Lie(G). Предположим, что Lie(G)t = 0, как только |г| > п. Тогда набор модулей

V{G,tp) = (Lie(G)i, г 6 п)

естественным образом является йордановой системой. Мы называем ее йордановой системой, ассоциированной с редуктивной группой G. В диссертации доказано, что такая система всегда является сепарабелыюй и алгебраической.

В третьем разделе мы показываем, что любую алгебраическую йорданову систему V степени п можно вложить в йорданову систему (End (-M)j, j S 2n) степени 2n, ассоциированную с редуктивной группой GL(.M) автоморфизмов некоторого конечно-порожденного проективного Z-градуированного .R-модуля М = M(V), такого что Mi = 0, как только |г| > п.

В частности, это позволяет доказать, что в случае, когда R = К является полем, любую сепарабельную алгебраическую йорданову систему можно представить как йорданову систему (Lie(G)i,i € п) для некоторой изотропной полупростой присоединенной групповой схемы G над R.

В четвертом разделе вводится понятие квази-обратимости для произвольной алгебраической йордановой системы V степени п > 1, которое обобщает понятия квази-обратимости в йордановых парах, введенное О. Лоосом (которое, в свою очередь, обобщает понятие квази-обратимости в йордановых алгебрах), и 2-обратимости в канторовых парах, введенное Дж. Фолкнером и Б. Эллисоном. В определении квази-обратимости используется наличие вложения V в "матричную" йорданову систему, полученное в предыдущем разделе.

п

Положим V± = ©V±{. Для любой квази-обратимой пары (х,у) € V+ х VI i^l

мы обозначаем через (xv,yx) € V+ х соответствующую пару квази-обратных, и через Ь(х, у) — задаваемый парой (х, у) внутренний автоморфизм йордановой системы V.

В пятом разделе мы показываем, как по любой алгебраической системе V построить изотропную редуктивную (в действительности, полупростую присоединенную) группу G с действием 1-мерного расщепимого тора ф : Gm —» Aut (G), такую что V естественно изоморфна йордановой системе V(G,ip). Эта конструкция является обобщением соответствующей конструкции для йордановых пар, полученной в работах О. Лооса.

Пусть V = (Vj,i en) - алгебраическая йорданова система степени п над

п

коммутативным кольцом R, таким что (2га)! € Rx. Положим V± = ф V±j. Мы

г=1

задаем на схеме X = W(V+) х W(V_) некоторое fpqc-отношение эквивалентности Е С X х X, определенное в терминах квази-обратимости, и рассматриваем фактор-пучок

X = ЗД = X/ Е .

В случае, если V — йорданова система, ассоциированная с изотропной редуктивной группой G с параболическими подгруппами Р± (в смысле второго раздела),

этот пучок X является ничем иным как фактор-многообразием С/Р+. В общем случае мы показываем, построив явное вложение в проективное пространство, что пучок X представим гладкой квазипроективной схемой над Д. Если же V — сепарабельная йорданова система, схема X оказывается, более того, проективной.

В 1977 г. М. Демазюр ввел понятие схемы Бореля. Именно, схемой Бореля над схемой У называется гладкая собственная схема X над У, такая что для любой точки я 6 У геометрический слой Х-щ схемы X изоморфен многообразию вида С/Р, где (3 — редуктивная алгебраическая группа над /с(5'), Р — ее параболическая подгруппа. По теореме Демазюра для любой схемы Бореля X над схемой У связная компонента А^ (А')° групповой схемы А\й (X) автоморфизмов X как схемы над У является присоединенной полупростой групповой схемой над У. При этом исходная схема X изоморфна многообразию параболических подгрупп Аи1 (Х)°, имеющих некоторый фиксированный тип.

Из результатов третьего раздела следует, что для любой сепарабельной алгебраической йордановой системы схема X является схемой Бореля. Следовательно, АгЛ (Х)° является присоединенной полупростой групповой схемой. Мы показываем, что существует естественное вложение йордановой системы V в йордано-ву систему У(А^ (Ж)0, ф), для некоторого действия 1-мерного расщепимого тора

ф : Ст —> А^ (Х)°.

Демазюром было также замечено, что присоединенная полупростая алгебраическая группа почти всегда изомоморфна группе автоморфизмов своего проективного однородного многообразия. Это позволяет показать, что в большинстве случаев V изоморфна \?(АпЬ(Х)°,'ф), а значит, АгЛ(ЗГ)0 является искомой ре-дуктивной группой. В исключительных случаях мы вручную строим некоторую присоединенную полупростую групповую подсхему (3 в Аи1 (Х)°, такую что V изоморфно отображается на йорданову систему

В шестом разделе формулируется и доказывается вторая основная теорема диссертации, утверждающая эквивалентность категорий изотропных присоединенных полупростых групп и сепарабельных алгебраических йордановых систем, а также ее следствия.

Пусть И — коммутативное кольцо с 1, такое что (2/?)! 6 Ях. Пусть С — присоединенная полупростая групповая схема над Д, и пусть : Ст —> Агй (С) — строго градуирующее действие 1-мерного расщепимого тора на б.

Для любого 1 < п < к определим категорию ЗяскЗгоирг^. следующим образом. Объектами Зго®соир5п являются пары (С, ф) описанного выше вида, удо-

влетворяющие Lie(G),- = 0 при |г| > п, где Lie(G) = ф Lie(G)i — градуировка,

ieZ

индуцированная ф. Морфизмами Jso0roup5n являются изоморфизмы групповых схем / : G —* G", коммутирующие с действием Gm, т.е. такие, что / о ф = ф'.

Также для любого 1 < п < к определим категорию ^orStystems,, следующим образом. Объектами 5ot0tjstemsn являются сепарабельные алгебраические йордановы системы степени п над R. Морфизмами 3ot©t}stemsn являются изоморфизмы йордановых систем степени п.

Теорема 2 Пусть R — коммутативное кольцо с 1, такое что (2k)\ € Rx. Для любого 1 < п < к функтор

F : Jso&ioupsn —> OorS^sicms,,,

такой что F((G,ift)) = (Lie(G),-,i £ n) — йорданова система, соответствующая Z-градуированной алгебре JIu Lie(G), и F(f) = (/¡,г En) - морфизм йордановых систем, индуцированный гомоморфизмом градуированных алгебр Ли, касательным к f : (G,ip) —* (С,ф'), является эквивалентностью категорий.

Из теоремы 2 вытекают следующие результаты, описывающие строение изотропной редуктивной группы в терминах соответствующей йордановой системы.

Следствие 1 Пусть R — коммутативное кольцо с 1, такое что (2п)! € R*. Пусть G — присоединенная полупростая группа над R с действием 1-мерного строго градуирующего тора ф •' Gm —» G, таким что Lie(G)i = 0 при |г| > п. Пусть V = V(G,^) = (Lie(G)i,i G п) — соответствующая йорданова система над R. Пусть Р* — ассоциированные параболические подгруппы, L — их общая подгруппа Леей, U± = Up± — их унипотентные радикалы.

(1) Имеет место изоморфизм групповых схем L = Aut (V)°.

п

(2) Положим Lie(G)± = ф Lie(G)±{. Пусть П = U~LU+ — большая клет-

>=1

ка в G, соответствующая параболическим подгруппам F±. Тогда существуют L-эквивариантные изоморфизмы схем

ехр : W(Lie(G)±) Ui,

такие что для любых х 6 Lie(G)+, у £ Lie(G)_ имеем ехр (х) ехр (у) £ О(Д) тогда и только тогда, когда пара (х,у) квази-обратима в йордановой системе V, и в этом случае

ехр(х) ехр(у) = ехр^1) • Ь(х,у) • ехр(ху)

— каноническое разложение ехр(х) ехр(у) как элемента Çl(R).

Это следствие позволяет выразить произведение любых элементов большой клетки изотропной группы в терминах структурных операций в соответствующей йордановой системе. В частности, в случаях п = 1 и в = 2, когда известны явные формулы для квази-обратных (приложение В диссертации), произведение элементов большой клетки также вычисляется явным образом.

Следствие 2 (Образующие и соотношения) В условиях Следствия 1, пусть G' — произвольный групповой пучок над R, и пусть G', f± : U± —> G' —

гомоморфизмы групповых пучков. Гомоморфизм групповых пучков f : G —* G', продолжающий /о и /±, существует тогда и только тогда, когда выполнены равенства

fu(h)f±{u)fu(h)~l = f±(huh'1) для любых h € L, и € Lie(G)±;

/+ (ехР (#) ) /- (ехР (у) ) = /-(ехр(у1))/0(6(х,у))/+(ехр(^))

для любой квази-обратимой пары (х,у) 6 Lie(G)_ х Lie(G)+.

В приложении А доказываются три технические леммы, сформулированные в четвертом разделе второй главы.

В приложении В при помощи лемм из приложения А выводятся явные формулы для квази-обратных в йордановых системах степени 1 и 2.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Казакевич В. Г., Ставрова А. К. Подгруппы, нормализуемые коммутантом подгруппы Леви // Зап. научи, сем. ПОМИ. 2004. Т. 319. С. 199-215.

[2] Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы в изотропных ре-дуктивных группах // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20. № 4. С. 160-188.

Другие публикации:

[3] Вавилов Н. А., Ставрова А. К. Основные редукции в задаче описания нормальных подгрупп // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2007. Т. 349. С. 30-52.

[4] Stavrova A. Normal structure of maximal parabolic subgroups in Chevalley groups over rings // Препринт ПОМИ. 2007. № 10. С. 1-19.

Подписано в печать 28.08.09. Формат 60*90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ, л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 24/09. Типография ЗАО «НПП «Система», 197045, Санкт-Петербург, Ушаковская наб., 17/1.

Содержание.

Введение.

Глава 1. Элементарная подгруппа изотропной группы

1.1. Основные понятия.

1.1.1 Проективные модули и полиномиальные отображения

1.1.2 Алгебра распределений групповой схемы.

1.1.3 Расгцепимые редуктивные группы и оснащения.

1.1.4 Редуктивные группы в общем случае

1.2. Градуирующие торы, относительные корни и корневые подсхемы

1.2.1 Градуирующие торы и параболические подгруппы

1.2.2 Система относительных корней, соответствующая параболической подгруппе.

1.2.3 Относительные корневые подсхемы

1.3. Нормальность элементарной подгруппы

1.3.1 Элементарная подгруппа редуктивной группы.

1.3.2 Леммы о коммутировании относительных корневых подсхем

1.3.3 Лемма Квиллена—Суслина и доказательство Теоремы

Глава 2. Йордановы системы и изотропные группы

2.1. Йордановы системы.

2.1.1 Определение

2.1.2 Алгебраические йордановы системы.

2.1.3 Пример неалгебраической йордановой системы

2.1.4 Связь с понятием йордановой пары

2.1.5 Связь с понятиями симплектической тернарной алгебры и тройной системы Фрейденталя.

2.2. Построение йордановой системы по изотропной группе.

2.2.1 Градуированные алгебры Хопфа.

2.2.2 Йордаиова система, ассоциированная с редуктивной группой

2.2.3 Действие подгруппы Леви на йордановой системе

2.3. Матричное представление алгебраической йордановой системы

2.3.1 Дифференцирования и автоморфизмы расширенной алгебры Ли

2.3.2 Экспоненты матриц.

2.3.3 Матричное представление йордановой системы.

2.3.4 Построение изотропной группы в случае поля и следствие для случая кольца.

2.4. Квази-обратимость для алгебраической йордановой системы

2.4.1 Квази-обратимые пары матриц.

2.4.2 Квази-обратимость в йордановой системе.

2.4.3 Числитель и знаменатель квази-обратного

2.5. Построение изотропной группы по йордановой системе.

2.5.1 Построение группового пучка Q(V).

2.5.2 Схема X(V).

2.5.3 Проективность схемы X(V).

2.5.4 Применение теоремы Демазюра о схемах Бореля

2.5.5 Исключительные случаи.

2.5.6 Заключительная лемма.

2.6. Теорема 2 об эквивалентности категорий.

Теория алгебраических групп является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX в. на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет обширные приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — редуктивные группы.

Классификация полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем была получена К. Шевалле [32]. В 1961 г. Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над Z [33], или, иначе говоря, для любой полупростой алгебраической группы G<c над полем комплексных чисел С существует групповая схема G над Z, называемая схемой Шевалле — Де-мазюра, такая что G получается из нее в результате расширения базы, то есть Gc — G х Spec z Spec С. Другие конструкции этой схемы были предложены М. Демазюром [36] и Б. Костантом [50]. Группы точек схем Шевалле — Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле. Примерами групп Шевалле служат (расщепимые) классические группы матриц SLn(jR), SOn(R), Spn(i?); конечные простые группы типа Ли An(q)~ G2{q) являются центральными факторами групп Шевалле.

Не все классические матричные группы являются группами Шевалле. Например, группа SO(q) автоморфизмов Rn, сохраняющих негиперболическую квадратичную форму q на Rn, не является группой Шевалле; однако она, как правило, является группой точек некоторой редуктивной групповой схемы. Групповая схема G над коммутативным кольцом Я с 1 называется редуктивной (соответственно, полупростой), если она является аффинной и гладкой, и если все ее геометрические слои являются редуктивными (соответственно, полупростыми) группами в обычном смысле. Групповые схемы Шевалле — Демазюра, расширенные до групповых схем над Я, являются единственными расщепимыми полупростыми групповыми схемами над Я [36].

Изучению строения групп Шевалле как абстрактных групп посвящены сотни работ, перечислить здесь которые невозможно. Ключевую роль во всех этих работах играет элементарная подгруппа Е(Щ группы Шевалле (?(/2), которая обычно определяется как подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотентамиа:а(£), где (бйи а пробегает систему корней группы Шевалле. Это понятие является прямым обобщением элементарной группы матриц Еп{Я) С Б1ип(Я), порожденной всеми элементарными трансвекциями = е + £ £ Я, 1 < г Ф ^ < п. Важнейшим свойством элементарной подгруппы Е(Я) является ее нормальность в объемлющей группе С (Я).

В случае произвольной редуктивной групповой схемы С над коммутативным кольцом Я группа точек С (Я) может не содержать полного набора элементарных корневых унипотентов, и данное выше определение не может быть перенесено дословно. Напомним различные существующие варианты определения элементарной подгруппы и известные результаты о ее нормальности.

Впервые понятие элементарной подгруппы ЕП(Д) полной линейной групы СЬп(Я) было введено Бассом [25] (до этого в неявном виде оно использовалось Уайтхедом при изучении гомотопических типов С\¥-комплексов) и легло в основу построения алгебраической К-теории. В частности, нестабильный А^-функтор определяется как фактор-группа ОЬп(Я)/ Еп(Я), а К2 — как ядро некоторого центрального расширения Еп(Я). В определении элементарной подгруппы участвует фиксированный базис модуля Яп, но, согласно теореме Суслина [14], в случае, когда Я коммутативно, а п > 3, Еп(Я) не зависит от выбора базиса, иначе говоря, нормальна в СЬп(Я). Обсуждение различных методов доказательства этого результата можно найти в работах Вавилова и Степанова [63, 73].

Как уже было упомянуто, для произвольных расщепимых полупростых групп над Я элементарная подгруппа определяется как подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотентами ха(£) или, что то же самое, /^-точками унипотентного радикала некоторой борелевской подгруппы В в С и унипотентного радикала противоположной борелевской подгруппы В" (см., например, [16, 56]). Аналогично описанному выше случаю С = СЬП оказывается, что если ранг неприводимых компонент системы корней С хотя бы 2, элементарная подгруппа не зависит от выбора борелевской подгруппы, то есть нормальна в С (Я). Для ортогональной и симплек-тической группы это было доказано Суслипым и Копейко [15, 9] и Фу-ан Ли [51], а для произвольной группы Шевалле — Абе [16] в случае локального кольца и Таддеи [66] в общем случае (см. также [17]). Упрощенное доказательство содержится в работе Хазрата и Вавилова [46]. Нормальность элементарной подгруппы в скрученных группах Шевалле была доказана Судзуки [65] и Баком и Вавиловым [23].

Для классических групп имеются также варианты определения элементарной подгруппы с использованием инволюции и "форменного параметра" (унитарные группы Бака), в этом случае нормальность доказана Васерштейном и Хон Ю [72] и Баком и Вавиловым [24]. Случай "нечетных" унитарных групп изучался Петровым в [10]. Разумеется, не все классические группы Бака являются группами точек редуктивных групповых схем, однако с точки зрения методов эти работы являются прямым обобщением упомянутых выше.

Для нерасщепимых почти простых групп над полем к часто рассматривается следующий аналог элементарной подгруппы, который был введен

Ж. Титсом [67]. Именно, он определил группу G+(k) (в оригинале G®) как подгруппу, порожденную А:-точками унипотентных радикалов всех параболических подгрупп в G, определенных над к. При таком определении ее нормальность очевидна, однако позднее Борелем и Титсом было показано, что группа G+(k) на самом деле порождается точками унипотентных радикалов любых двух противоположных параболических подгрупп G [30, Prop. 6.2]. Оказывается, группа G+(k) почти всегда (см. [67]) проективно проста, и описание нормальных подгрупп в G(k) сводится к вычислению фактора G(k)/G+(k) (который является аналогом iG-функтора). Известная проблема Кнезера-Титса заключается в том, чтобы выяснить, является ли этот фактор тривиальным для односвязной группы G. В случае числовых полей эта проблема решена положительно (последний шаг был недавно проделан Ф. Жилем в [42]), но в общем случае ответ отрицательный даже для групп типа А[ (контрпример Платонова), см. [12].

Сходным образом, в случае нерасщепимых классических групп над кольцами Васерштейн ([70, 71]) определил элементарную подгруппу как подгруппу, порожденную всеми трансвекциями Эйхлера-Зигеля-Диксона. Нормальность при этом также очевидна, однако Васерштейн доказывает, что элементарная подгруппа порождается трансвекциями специального вида. По существу, он фиксирует параболическую подгруппу типа Pi и рассматривает точки ее унипотентного радикала и унипотентного радикала противоположной подгруппы.

Наконец, упомянем понятие элементарной подгруппы, возникающее в теории алгебраических структур йорданова типа. В работах Дж. Фолкнера и О. Лооса [37, 55] и Дж.Фолкнера и Б. Эллисона [22] было введено понятие элементарной группы, соответственно, для случая йордановых и кан-торовых пар. Именно, элементарной группой, соответствующей йордановой или канторовой паре, в этих работах называется группа, порожденная экспонентами элементов пары в регулярном представлении. Заметим, что из результатов настоящей работы следует, что эти группы в действительности являются элементарными подгруппами некоторых присоединенных полупростых алгебраических групп.

Это естественным образом приводит нас к следующему определению элементарной подгруппы, которое обобщает все вышеупомянутые определения на случай произвольной изотропной редуктивной группы. Напомним, что редуктивная алгебраическая группа С над коммутативным кольцом Я с 1 называется изотропной, если она содержит собственную параболическую подгруппу Р. В этом случае С также содержит вторую параболическую подгруппу Р~, противоположную к Р = Р+, и унипотентные подгруппы 11р+ и IIр-, являющиеся унипотентными радикалами Р+ и Р~.

Пусть Р — параболическая подгруппа изотропной редуктивной группы С над Я. Определим элементарную подгруппу Ер(Я), соответствующую Р, как подгруппу в порожденную (в абстрактном смысле) 11р(Я) и

1/р-(Я), где Р~ — любая параболическая подгруппа, противоположная к Р. Заметим, что любые две параболические подгруппы, противоположные кР, сопряжены посредством некоторого элемента и £ [/р(Р), поэтому группа Ер(Я) действительно не зависит от выбора Р~.

Теорема 1 настоящей работы, сформулированная в § 1.3.1, утверждает, что при некоторых естественных ограничениях на изотропный ранг группы С? элементарная группа Ер (Я) = Е (Я) не зависит от выбора параболической подгруппы Р и, в частности, является нормальной подгруппой в О (Я).

Теория алгебраических групп с самого своего возникновения была тесно связана с теорией алгебр Ли. В частности, упомянутая выше конструкция Шевалле [33] полупростых групповых схем над Ъ основывается на существовании й-форм полупростых комплексных алгебр Ли и их фундаментальных представлений. Хорошо известно, что над полем характеристики 0 категория полупростых алгебраических групп эквивалентна категории полупростых алгебр Ли.

Пусть G — произвольная редуктивная групповая схема. Можно показать, что изотропность G эквивалентна существованию нетривиального действия на G одномерного расщепимого тора Gm. Такое действие задает Z-градуировку на алгебре Ли Lie(G) групповой схемы G. Поэтому теория изотропных редуктивных групп параллельна теории Z-градуированных (или, более общо, Жп-градуированных) алгебр Ли. В свою очередь, Z-rpa-дуированные алгебры Ли тесно связаны с йордановыми алгебрами и некоторыми близкими к ним по свойствам алгебраическими структурами, которые можно назвать структурами йорданова типа.

Понятие йордановой алгебры впервые возникло в 1934 г. в статье П. Йордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [48] в контексте математической формализации понятий квантовой механики. В 1960-х гг. в ряде работ была объяснена тесная связь между йордановыми алгебрами и алгебрами Ли. Одним из главных проявлений этой связи является так называемый магический квадрат Фрейденталя — Титса, который дает единообразную конструкцию исключительных простых алгебр Ли по композиционной алгебре и связанной с ней йордановой алгебре степени 3 [69]. Развивая идеи Титса, в конце 1960-х гг. И. Кантор и М. Кехер [6, 49] независимо друг от друга показали, что произвольную йорданову алгебру J можно вложить в Z-градуированную алгебру Ли L, такую что Li — 0 при |г| > 1 (так называемую 3-градуированную алгебру), таким образом, что L±\ — две копии исходной алгебры J, a Lq — внутренняя структурная алгебра Ли алгебры J.

В это же время начали возникать новые понятия, обобщающие понятие йордановой алгебры или близкие к нему по свойствам. Первым понятием, непосредственно обобщающим понятие йордановой алгебры, стало понятие йордановой тройной системы или йордановой.тройки (Jordan triple system), введенное учеником Кехера К. Майбергом в 1969 г. (см. [58]). Именно, пусть R — коммутативное кольцо с 1, такое что 6 G йх. Йордановой тройной системой над R называется Я-модуль V с трилинейной операцией

• V х V х V V, удовлетворяющей следующим аксиомам: x,y,z} = {z,y,x} (JTS1) х, у, {и, v, и;}} = {{ж, у, и}, v, w} + {и, и, {re, у, w}} - {и, {у, ж, v}, ги}

JTS2)

Для любой йордановой алгебры (J, •) над R операция {ж, у, z} = — y(xz) + {xy)z задает на J структуру йордановой тройной системы. С другой стороны, по йордановой тройной системе легко построить 3-градуированную алгебру Ли L = Li 0 Lo ® Li, так что Li и Ь\ — две копии V, a Lq порождено линейными операторами Du>v — {и, v, —}, u,v G V. При этом аксиома (JTS1) отражает симметричность тройного коммутатора [х, [у, z\] в алгебре Ли, а аксиома (JTS2) отвечает за коммутирование операторов

Кроме того, еще в 1968 г. Майберг опубликовал работу [57], посвященную изучению свойств троек или тройных систем Фрейденталя (Freudenthal triple system). Тройки Фрейденталя не являются обобщением йордановых алгебр, но обладают сходными свойствами. В действительности обе эти работы были мотивированы желанием Майберга расширить класс алгебраических структур, к которым применима конструкция Титса — Кантора — Ке-хера. По тройной системе Фрейденталя можно построить 5-градуированную алгебру Ли

L = L2 Ф L-1 Ф L0 © Li е L2, такую что L2 и L2 — модули ранга 1. Другие структуры, аналогичные йордановым алгебрам, но соответствующие 5-градуированным алгебрам Ли, изучались в работах Б. Эллисона [18, 19, 20, 21], И. Кантора [7], О. Смирнова [13]. Заметим, что особую важность изучению 5-градуированных алгебр Ли придает тот факт, что исключительная простая комплексная алгебра Ли типа Es имеет естественную 5-градуировку, но не имеет, в отличие от простых алгебр Ли других типов, естественной 3-градуировки.

Замечание Майберга о том, что в этом контексте можно было бы рассматривать вместо одного пространства с трилинейной операцией два пространства, действующие друг на друге, привело к созданию О. Лоосом глубокой теории йордановых пар [52]. Для нас особое значение имеет тот факт, что Лоос практически с самого начала связал йордановы пары не только с соответствующими 3-градуированными алгебрами Ли, но и со специальным классом алгебраических групп или, более общо, групповых пучков. При условии 6 € Я* определение йордановой пары формулируется следующим образом. Йордановой парой над-К называется пара Я-модулей У+), снабженная двумя трилинейными операциями которые симметричны и удовлетворяют аксиоме, аналогичной 1. х,у,г} = {г,у,х} (ЛР1) х,у,{и,у,и)}} = {{х:у,и},у,т}-\-{и,у,{х,у,т}}-{и,{у,х)у}^} (ЛР2)

По любой йордановой алгебре можно построить йорданову пару аналогично тому, как это было сделано для йордановой тройной системы. Однако не любая йорданова пара может быть построена по йордановой алгебре; для этого она должна содержать обратимую пару элементов [52]. Если Ь = 1/1®1уо©1/1 — 3-градуированная алгебра Ли, то сЬ естественным образом связана йорданова пара (Ь-\, Ь1), трилинейные операции в которой соответствуют тройному коммутированию в алгебре Ли: {х,у,г} = [ж, [2/, 2]]. Обратно, по любой йордановой паре можно построить 3-градуированную алгебру Ли.

Эти конструкции получили широкое обобщение в работах Е. Зельма-нова. В [5] (см. также [74]) Зельманов ввел понятие йордановой системы. Именно, пусть Я — коммутативное кольцо с 1, А — свободная абелева группа, М — конечное подмножество А, не содержащее 0, Мо = Ми{0}. Система ii-модулей (Va: 01 G M) с билинейными отображениями

Яа,/з :VaxVp-+ Va+p если a, (3 6 M, da,-a : Va x —> ф End (Уд), если a, —a G M,

AsM называется йордановой системой, если прямая сумма

L = L(Va, a G М) = 0 Уа, аеМ0 где Vo = Va х VLq,) С 0End(T4.), является А-градуированной a a алгеброй Ли относительно операции

О, если а + (3 М0; vp)> если + /3 е М; г , 1 J da,-a(ua,up), если a, ¡3 е М, а — -/3; [Ua' ~ | если a = 0, ¡3 G М; vp(ua), если о; G М, /? = 0; Uq/U/з — vpua: если a = ¡3 = 0.

Иначе говоря, модули (Va,a Е М) образуют йорданову систему, если они являются подмодулями с ненулевым весом некоторой Мо-градуированной алгебры Ли. В случае, когда М = {—1,1} С Z, и 6 6 Rx, понятие йордановой системы в точности эквивалентно понятию йордановой пары.

Дальнейшему изучению йордановых систем посвящены работы Дж. Бенкарт и Е. Зельманова [27], С. Бермана и Р. Муди [28], Дж. Бенкарт и О. Смирнова [26].

Напомним, что в своих работах [53, 54] О. Лоос также установил связь йордановых пар с алгебраическими группами. Именно, он показал, что существует естественное соответствие (фактически, эквивалентность категорий) между простыми йордановыми парами и присоединенными полупростыми группами с фиксированной парой противоположных параболических подгрупп, обладающих абелевыми унипотентными радикалами. При этом конструкция йордановой пары по полупростой группе достаточно прозрачна — как мы видели, изотропность группы влечет наличие Z-градуировки на ее алгебре Ли; условие абелевости унипотентного радикала означает, что это — 3-градуировка. Обратная конструкция гораздо сложнее и выполнена в духе конструкции Демазюра схемы Шевалле — Демазюра [36]. Отметим, что в недавних работах Дж. Фолкнера [38, 39] результаты Лооса были воспроизведены с использованием языка алгебр Хопфа, в стиле, близком к упомянутой выше работе Костанта [50].

Это приводит нас к естественной задаче обобщения соответствия, полученного Лоосом, на более широкие классы йордановых систем и изотропных групп. В настоящей работе такое обобщение получено в форме эквивалентности категории изотропных присоединенных полупростых групп с параболической подгруппой, степень нильпотентности унипотентного радикала которой не превосходит п, и категории алгебраических йордановых систем типа М = {—п,., — 1,1,. ,п} ("степени п"), при условии, что (2п)! Е IIх. Точная формулировка этого результата приведена в Теореме 2 настоящей работы (см. § 2.6) .

Опишем более подробно структуру работы.

1. Борель А., Тите Ж. Редуктивные группы // Сб. Математика. Т. 11. 1967. 1, 43-111; 2, 3-31.

2. Вавилов Н. А. Как увидеть знаки структурных констант? // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19. N 4. С. 34-68.

3. Вавилов Н. А., Ставрова А. К. Основные редукции в задаче описания нормальных подгрупп // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2007. Т. 349. С. 30-52.

4. Джекобсон Н. Алгебры Ли. Москва: Мир. 1964. 355 с.

5. Зельманов Е. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом // Сибирский математический журнал. 1985. Т. 26. С. 49-67.

6. Кантор И. Л. Нелинейные группы преобразований, определяемые общими нормами йордановых алгебр // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172. N3 4. С. 779-782.

7. Кантор И. Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ. 1974. Т. 17. С. 250-313.

8. Казакевич В. Г., Ставрова А. К. Подгруппы, нормализуемые коммутантом подгруппы Леви // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 319. С. 199-215.

9. Копейко В. И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов // Мат. Сборник. 1978. Т. 106. С. 94-107.

10. Петров В. А. Нечетные унитарные группы // Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 2003. Т.305. С. 195-225.

11. Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы в изотропных редуктивных группах // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20. № 4. С. 160-188.

12. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 654 с.

13. Смирнов О. Н. Пример простой структуризуемой алгебры // Алгебра и Логика. 1990. Т. 29. № 4. С. 491-499.

14. Суслин А. А. О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977. Т. 41. С. 235-252.

15. Суслин А. А., Копейко В. И. Квадратичные модули и ортогональные группы над кольцами многочленов // Зап. Научн. Сем. ЛОМИ. 1977. Т. 71. С. 216-250.

16. Abe Е. Chevalley groups over local rings // Tohoku Math. J. 1969. V.21. P. 474-494.

17. Abe E. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Algebraic if-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987), Contemp. Math. V. 83. Amer. Math. Soc., Providence RI, 1989. P. 1-17.

18. Allison B. N. A Construction of Lie algebras From J-ternary algebras // American Journal of Mathematics. 1976. Vol. 98. № 2. P. 285-294.

19. Allison B. N. Lie algebras of type BC1 // Transactions of the American Mathematical Society. 1976. V. 224. № 1. P. 75-86.

20. Allison B. N. Class of Nonassociative Algebras with Involution Containing the Class of Jordan Algebras // Math. Ann. 1978. V. 237. P. 133-156. •

21. Allison B. N. Models of isotropic simple Lie algebras // Comm. in Algebra. 1979. V. 7(17). P. 1835-1875.

22. Allison B. N., Faulkner J. R. Elementary groups and invertibility for Kantor pairs // Comm. in Algebra. 1999. vol. 27. pp. 519-556.

23. Bak A., Vavilov N. Normality for elementary subgroup functors // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1995. V. 118. P. 35-47.

24. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups. I. Elementary subgroups // Algebra Colloquium. 2000. № 7. P. 59-196.

25. Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. I.H.E.S. 1964. V. 22. P. 5-60.

26. Benkart G., Smirnov O. Lie algebras graded by the root system BC\ //J. of Lie Theory. 2003. V. 13. P. 91-132.

27. Benkart G., Zelmanov E. Lie algebras graded by finite root systems and intersection matrix algebras // Invent. Math. 1996. V. 126. P. 1-45.

28. Berman S., Moody R.V. Lie algebras graded by finite root systems and the intersection matrix algebras of Slodowy // Invent. Math. 1992. V. 108. P.323-347.

29. Borel A., Tits J. Groupes réductifs // Publ. Math. I.H.É.S. 1965. V. 27. P. 55-151.

30. Borel A., Tits J. Homomorphismes "abstraits" de groupes algebriques simples // Ann. Math. 1973. V. 97. P. 499-571.

31. Bourbaki N. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4-6. Paris: Masson, 1981. 288 p.

32. Chevalley C. Classification des groupes algébriques: Séminaire École Normale Supérieure 1956-1958, Secrétariat de Mathématiques / Institut Henri Poincaré. Paris. 1958.

33. Chevalley C. Certaines schémas de groupes semi-simples // Sém. Bourbaki 1960/61. Exp. 219. P. 1-16.

34. Demazure M. Automorphismes et déformations des variétés de Borel // Inv. Math. 1977. V. 39. P. 179-186.

35. Demazure M., Gabriel P. Groupes Algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1970. 700 p.

36. Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3) I, II, III. / Lecture Notes Math. Berlin: Springer-Verlag, 1970. V. 151-153.

37. Faulkner J. R. Stable range and linear groups for alternative rings // Geom. Dedicata. 1983. V. 14. P. 177-188.

38. Faulkner J. R. Jordan pairs and Hopf algebras // J. of Algebra. 2000. V. 232. P. 152-196.

39. Faulkner J. R. Hopf duals, algebraic groups, and Jordan pairs // J. of Algebra. 2004. V. 279. P. 91-120.

40. Faulkner J. R., Ferrar J. C. On the structure of symplectic ternary algebras // Indag. Math. 1972. V. 34. P. 247-256.

41. Ferrar J. C. Strictly regular elements in Freudenthal triple systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 174. P.313-331.

42. Gille Ph. Le problème de Kneser-Tits // Sém. Bourbaki. 2007. V. 983. P. 983-01-983-39.

43. Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage de schémas. / Publ. Math. I.H.É.S. 1960. T. 4.

44. Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Etude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. / Publ. Math. I.H.É.S. 1961. T. 8.

45. Grothendieck A. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) IV: Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. / Publ. Math. I.H.É.S. 1964-1967. T. 20, 24, 28, 32.

46. Hazrat R., Vavilov N. K\ of Chevalley groups are nilpotent // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 179. P. 99-116.

47. Jantzen J. C. Representations of algebraic groups. Boston: Academic Press, 1987. 576 p.

48. Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. // Ann. Math. 1934. V. 36. P. 29-64.

49. Koecher M. Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras I // Amer. J. Math. 1967, V.89. P. 787-816.

50. Kostant B. Groups over Z // Algebraic groups and discontinuous subgroups: Proc. Sympos. Pure Math. V. 9. AMS, Providence RI, 1966.

51. Fu-An Li. The structure of orthogonal groups over arbitrary commutative rings // Chinese Ann. Math. Ser. B. 1989. V. 10. P. 341-350.

52. Loos O. Jordan pairs. Berlin: Springer-Verlag, 1975. 218 p.

53. Loos О. Homogeneous algebraic varieties defined by Jordan pairs // Mh. Math. 1978. V. 86. P. 107-129.

54. Loos 0. On algebraic groups defined by Jordan pairs // Nagoya Math. J. 1979. V. 74. P. 23-66.

55. Loos O. Elementary groups and stability for Jordan pairs // K-Theory. 1995. V. 9. P. 77-116.

56. Matsumoto H. Subgroups of finite index in certain arithmetic groups // Algebraic groups and discontinuous subgroups: Proc. Sympos. Pure Math. V. 9, Amer. Math. Soc., Providence RI, 1966, P.99-103.

57. Meyberg K. Eine Theorie der Freudenthalischen Tripelsysteme, I // Indag. Math. 1968. V. 30. P. 162-174.

58. Meyberg K. Jordan-Tripelsysteme und die Koecher-Konstruktion von Lie-Algebren // Math. Z. 1970. V. 115. P. 58-78.

59. Petrov V., Stavrova A. Tits indices over semilocal rings // Препринт ПОМИ. 2009. № 2. С. 1-22.

60. Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. 1976. V. 36. P. 167-171.

61. Springer T. Linear algebraic groups. 2nd ed. Boston: Birkhàuser, 1998.

62. Stavrova A. Normal structure of maximal parabolic subgroups in Chevalley groups over rings // Препринт ПОМИ. 2007. № 10. С. 1-19.

63. Stepanov A., Vavilov N. Decomposition of transvections: a theme with variations // K-theory. 2000. V. 19. P. 109-153.

64. Strade H. Simple Lie algebras over fields of positive characteristic. I. Structure theory. Berlin: Walter de Gruyter, 2004. 540 p.

65. Suzuki K. Normality of the elementary subgroups of twisted Chevalley groups over commutative rings // J. Algebra. 1995. V. 175. P. 526-536.