Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых банаховых алгебрах с полуконечным следом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В В Е ДЕ Н И Е.

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА ^ И Ьг ДЛЯ ЙОРДАНОВЫХ

БАНАХОВЫХ АЛГЕБР С ПОЛУШЕЧНЫМ СЛЕДОМ.

§ 1,1. Необходимые сведения • ••••.••.

§ 1.2. Пространстваи 1-1 ^

§ 1.3. Топология сходимости по мере • •••.

§ 1.4. Вложение пространств ^(Д и Ь^) в алгебру а

ГЛАВА 2. УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ И МАРТИНГАЛЫ НА ЙОРДАНОВЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ С ПОЛУКОНЕЧНЬМ СЛЕДОМ.

§ 2Д. Условные математические ожидания на йордановых алгебрах. Теоремы существова-. . ния и единственности *. •••••••

§ 2.2. Характеризационные теоремы для.условных математических ожиданий.

§ 2.3. Мартингалы на йордановых алгебрах.

§ 2.4. Теоремы о сходимости мартингалов на йордановых алгебрах

В 1953 году в работе Сигала [38] были заложены основы некоммутативного интегрирования» Он рассмотрел алгебру неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, являющуюся некоммутативным аналогом пространства измеримых функций на пространстве с мерой. В дальнейшем алгебры измеримых операторов были рассмотрены в работах Стайнспринга [41] ,Сан-карана [Зб] ,[37] , Падманабхана [35] , Нельсона [ЗЗ] , Йедо-на [53] и других,

Нельсон [33] доказал, что алгебра тотально измеримых операторов [54] является пополнением алгебры фон Неймана в топологии сходимости по мере (топология построенная при помощи полуконечного следа).

Развитие теории алгебр фон Неймана и некоммутативного интегрирования дало толчок исследованиям, по теории вероятностей на алгебрах фон Неймана.

Условные математические ожидания (у.м.о.) на алгебрах фон Неймана рассматривались в работах Умегаки [50 - 52] , Томийямы [46],[47], Арвесона [.23], Такесаки [45], Накамура --Турумару \^32] , Моя 1.34] и других* В этих работах у.м.о. определяется аксиоматически. Основываясь на результатах Томийямы [46] , у.м.о. можно рассматривать как проекционное (т.е. работах Накамура - Турумару [32], Мой [34] и Умегаки [51]дали характеризационные свойства у.м.о. Мартингалы на алгебрах фон отображение с единичной нормой.В своих

Неймана изучались в работах Куку леску [25] ,[2б] , Умегаки [51]

Ленса [31], Данг-Нгока [27], Барнета [24] и других. В этих работах получены теоремы о сходимости мартингалов на алгебрах Фон Неймана (конечных или полуконечных).

В середине 60-х годов в работах Топпинга [48] и Штёрмера ^43] впервые были рассмотрены неассоциативные вещественные аналоги алгебр фон Неймана - Ж - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. После появления работы Альфсена, Шульца, Штёрмера [19] и Шульца [39] (были введены -алгебры) бурно начала развиваться теория йордановых банаховых алгебр.

Недавно Ш.А.Аюповым было введено понятие упорядоченной йордановой алгебры ( 03 - алгебры) Ш , [з) . Были изучены йордановы банаховы алгебры с конечным следом. Б частности изучены условия существования у.м.о. и различные сходимости мартингалов [ ,[211 .

Более широкий и естественный класс - алгебр составляют - алгебры с точным нормальным полуконечным следом (он совпадает с классом всех локально модулярных - алгебр [48"} ). Поэтому возникает задача о рассмотрении вышеупомянутых вопросов в ЗВ'М - алгебрах с полуконечным следом.

Данная диссертация посвящена решению следующих проблем:

Б йордановой банаховой алгебре с полуконечным следом

- построить теорию интегрирования по следу;

- описать алгебру неограниченных элементов;

- изучить существование условных математических ожидании относительно данной подалгебры и их свойства;

- получить теоремы о сходимости в среднем и почти всюду мартингалов.

При решении этих задач нельзя применять технику, хорошо развитую для алгебр фон Неймана. Это обусловлено тем, что существуют неоператорные (исключительные) йордановы банаховы алгебры (йорданова алгебра эрмитовых 3x3 матриц над числами Кэли, обозначаемая .М.!^ ), а также тем, что в йордановых алгебрах произведение элементов неассоциативно и нет операции инволюции. Кроме того, неприменимость техники бикоммутанта и бедный запас унитарных элементов значительно усложняют изучение йордановых банаховых алгебр по сравнению с алгебрами фон Неймана,

При построении теории интегрирования и доказательстве вероятностных теорем важную роль играет порядок, и поэтому наши исследования основаны на модификации алгебраического подхода к классической и некоммутативной теории вероятностей на основе понятий полуполя и 0 алгебры, предложенного Т.А. Сарымсаковым ,[1?].

Кратко изложим основные результаты диссертации. Работа состоит из введения и двух глав.

1. А ю п о в Ш.А., К теории частично упорядоченных йордано-вых алгебр. Доклады АН УзССР, 1979, Я 8, с. 6-8.

2. А ю п о в Ш.А., Спектральная теорема для 03 -алгебр.Доклады АН УзССР, 1979, & 9, с. 3-5.

3. А ю п о в Ш.А., Топологические частично упорядоченныейордановы алгебры, ЗМН, 1980, т.35, вып.З (213), с. 138-140.

4. А ю п о в Ш.А., Нормальные состояния на 03В-. алгебрах. Известия АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1980, Л 3, с. 9-13.

5. А ю п о в Ш.А., У с м а н о в Ш.М., Порядок и топологияв йордановых алгебрах. Деп. ВИНИТИ, 4232-80, 78 с.

6. А ю п о в Ш.А., Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых алгебрах. Доклады АН УзССР, 1981, Л 10, с.3-5.

7. А ю п о в Ш.А., Эргодические теоремы для марковских операторов в йордановых алгебрах. I. Известия АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1982, 3, с. 12-15.

8. А ю п о в Ш.А., 0 конструкции йордановых алгебр самосопряженных операторов. Доклады АН СССР, 1982, т.367, .№ 3, с. 521-524.

9. А ю п о в Ш.А., Интегрирование на йордановых алгебрах.Известия АН СССР, серия математическая, 1983, т.47, и I, с. 3-25.Ю. А вп о в Ш.А., Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Ташкент, 1983, 34 с.

10. Б J р б а к и Н., Общая топология (топологические группы, числа) М.: "Наука", 1969, 392 с.

11. Гольдште й н М.Ш., Теоремы сходимости почти всюду в алгебрах Фон Неймана. J.Operator Theory., 1981, v.6, p. 233-311.

12. S е в л а к о в К.А., С л и н ь к о A.M., Шеста-к о в ИЛ., Ширшов А0И., Кольца, близкие к ассоциативным. М.: "Наука", 1978, 432 с.

13. Сарымсаков Т.А., Гольдште йн М.Ш.О частично упорядоченных инволютивных алгебрах. Доклады АН СССР, 1976, т.228, Jfi 2, с.306-309.

14. Сарымсаков Т.А., Некоммутативные вероятностныепространства на 0* алгебрах. Доклады АН СССР, 1978, т.241, ig 2. с. 297-300.

15. Сарымсаков Т.А., А ю п о в Ш.А., Частично упорядоченные йордановы алгебры. Доклады АН СССР, 1979, т.249, Jfi 4, с. 7В9-792.

16. Сарымсаков Т.А., Полуполя и теория вероятностей.Ташкент, "Фан", 1981, 96 с.

17. Сарымсаков Т.А., А ю п о в Ш.А., ХаджиевДж., Ч и л и н В.И., Упорядоченные алгебры. Ташкент, "Фан", 1983, 304 с.

18. Alisen Е.М., S h u 1 t z F.W., S t о г m е г Е.,A Gelfand Neumark theorem for Jordan algebras. Advances in Math., 1978, yol. 28, N 1, p. 11-56.

19. A 1 f s e n E.M., S h u 1 t z F.W., State spaces of Jordan algebras. Acta Math., 1978, vol. 140, N 3-4, p. 155-190.

20. Ajupov Sh.A., Martingale convergence and stronglaws of large numbers in Jordan algebras. Anal. Univ. Craiova, Ser. Mat. Fiz.-Chim, 1981, vol. 9, p.29-34.

21. A j u p o v Sh.A., Extension of traces and type criterions for Jordan algebras of self-adjoint operators. Math. Z. 1982, vol. 181, p. 253-268.

22. Arveson W.B., Analyticity in operator algebras.Amer. J. Math., 1967, vol.89, p. 578-642.

23. Barnett C., Supermartingales on semifinite vonNeumann algebras. J. London Math. Soc., 1981, vol.24, p. 175-181.

24. Cuculescu I., Supermartingales on W -algebras.Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1969, vol.14, p.759-773.

25. Cuculescu I., Martingales on von Neumann algebras. J. Multivariate anal., 1971, N 1, p. 17-27.

26. Dang-Ngoc N., Poitwise convergence of martingales in von Neumann algebras. Israel J.Math. 1979, vol. 34, N 4, p. 273-280.

27. Goldstein S., Convergence of martingales in vonNeumann algebras. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. sci. math., 1979, vol. 27, N 11-12, p. 853-859.

28. Haagerup H., Hanche-Olsen H., Tomita-Takesaki theory for Jordan algebras.Preprint Odense Universitet, 1982, N 4, p. 1-35.

29. Jacobson N., Structure and representations ofJordan algebras. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ.39, Providence R.I., 1968, 453 p.

30. Lance E.C., Martingale convergence in von Neumannalgebras. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1978, vol. 84, N 1, p. 47-56.

31. Nakamura M. ,Turumaru T., Expectationsin an operator algebra. Tohoku Math., 1954, vol. 6, p. 182-188.

32. N e 1 s o n E., Note on non commutative integrationtheory. J, Functional Analysis. 1974, vol. 15, p.103-- 116.

33. M o y S.C., Characterizations of conditional expectation as a transformation on function spaces. Pacific Journ. of Math., 1954, vol.4, p. 47-65.

34. Padmanabhan A.K-r, Convergence in measure andrelated results in finite rings of operators. Trans.Amer. Math. Soc., 1967, vol. 128, p. 359-388.

35. Sankaran S., The algebras of unboundedoperators., J. London Math. Soc. 1959, vol.34, p. 337-344.

36. Sankaran S., Stochastic convergence for operators.Quart. J. Math. Oxford, 1964, Ser, 2, N 15, p. 97-102.

37. Segal I., A non commutative extension of abstractintegration. Ann. of Math., 1953, vol. 57, p.401-457. 39* S h u 1 t z F.W., On normed Jordan algebras which are Banach dual spaces. J. Functional Analysis. 1979, vol. 31, N 3, p. 360-376.

38. S t a c e y P.J., Local and global splittings in thestate space of a algebra. Math. Ann., 1981,256, p. 497-507.

39. Stinespring W.F., Integration theorems forgages and duality for unimodular groups. Trans. Amer. Math. Soc. 1959, vol. 90, p. 15-56.

40. Stormer E.,0n Jordan structure of C. -algebras.Trans. Amer. Math. Soc. 1965, vol.120, p.438-447.

41. Stormer E., Jordan algebras of type I. ActaMath. 1966, vol.115, N 3-4, p. 165-184.

42. Stormer E., Irrediicible Jordan algebras ofself-adjoint operators. Trans. Amer. Math. Soc. 1968, vol. 130, p. 153-166.

43. Takesaki M., Conditional expectations in vonNeumann algebras. J. Functional Analysis. 1972, vol. 9, p. 306-321.

44. Tomiyama J., On the projections of norm onein W algebras.I. Proc. Japan Acad., 1957, vol. 33, p. 608-612.

45. Tomiyama J., On the projections of norm one inf algebras.III. Tohoku Math. J., 1959,vol.11, p.125-129.

46. Topping D., Jordan algebras of self-adjoint operators. Mem. Amer. Math. Soc., 1965, N 53, p.1-48.

47. Topping D., An isomorphism invariant for spinfactors. J. Math, and Mech., 1966, vol.15, p.1055--1064.

48. Umegaki H., Conditional expectations in an operator algebra.I. Tohoku Math.J., 1954,vol.6,p.177-181.

49. Umegaki H., Conditional expectations in an operator algebra. II. Tohoku Math. J., 1956, vol.8, p.86-100.

50. Umegaki H., Conditional expectations in an operator algebra. III. Kodai Math. Sem. Rep., 1959,vol.11, p.51-64.

51. Y e a d о n F.J., Convergence of measurable operators.Proc. Cambridge Philos. Soc., 1973, vol.74,p.257-268.1.P

52. Yeadon F.J., Non-commutative Ц -spaces. Proc.Cambridge Philos, Soc., 1975, vol.77, p.91-102.

53. E f f г о s E.G., Stormer E., Positive projections and Jordan structure in operator algebras., Math. Scand., 1979, vol.45, p. 127-138.

54. Верди к у л о в M.A., Пространства и L1 дляполуконечных J&W алгебр. Доклады АН УзССР,1982, Л 6, с. 3-4.

55. Б е р д и к улов М.А., Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых алгебрах. Доклады АН УзССР, 1983, Ji 6, с.3-4.

56. Бердикулов М.А., Характеризация условных математических ожиданий на йордановых алгебрах. Деп. ВИНИТИ, 1983, Л 1821-83. Деп., 14 с.

57. А ю п о в Ш.А., Бердикулов М.А., Теоремы осходимости мартингалов на йордановых алгебрах.Деп. ВИНИТИ, 1983, JS 5044-83 Деп., 44 с.