Пространства Lp для полуконечных JBW-алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЯ СХОДИМОСТИ ПО МЕРЕ.

§ I.I Предварительные сведения • ••••••

§ 1.2 Веса и следы на J^Jjf - алгебрах

§ 1.3 Топология сходимости по мере в алгебре тотально измеримых элементов

ГЛАВА П. ПРОСТРАНСТВА L^ ДШ ПОЛУКОНЕЧНЫХ

СЛЕДОВ НА ЗШ" - АЛГЕБРЕ

§ 2.1 Пространства для pS^JL^.

§ 2.2 Пространства L»^ для

ГЛАВА Ш. ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА И ПРОСТРАНСТВА L^ ДЛЯ ВЕСОВ НА

ПОЛУКОНЕЧНОЙ J^f - АЛГЕБРЕ.

§ 3.1 Теорема Радона-Никодима

§ 3.2 Пространства , ассоциированные с локально конечным весом.на полуконеч-. ных З^М - алгебрах

Теория интегрирования в алгебрах операторов возникла в связи с задачами математического обоснования квантовой механики и в настоящее время является интенсивно развивающейся частью теории алгебр операторов в гильбертовом пространстве.

Алгебраический подход к квантовой механике развивался преимущественно на - алгебрах, введенных в работах Мюррея и фон Неймана [зо\ ,^39*] ,\4l] . - алгебры - это слабо замкнутые комплексные * - алгебры операторов в гильбертовом пространстве, получившие также название алгебр фон Неймана. При таком подходе наблюдаемым соответствуют самосопряженные операторы, а состояниям положительные функционалы на алгебре фон Неймана, принимающие значение L на единичном операторе. Обычное ассоциативное произведение Ol- 1о Двух самосопряженных операторов 0. и ^ не является, вообще говоря, самосопряженным оператором. Этому произведению, в отличие от ^орданова произведения

Ol e - Ь 'Ol^ ^ трудно придать какой либо физический смысл [24] . Поэтому рассмотрение алгебр фон Неймана вызвано не столько физическими соображениями, сколько соображениями технического характера. В настоящее время теория алгебр фон Неймана - это глубоко развитая теория с многочисленными приложениями, которой посвящено огромное количество работ. Подробнее см. монографии Сакаи и Такесаки [55] .

В начале 50-х годов в работах Сигала [4б\ и Диксмье [27] была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантных мер на проекторах в полуконечных алгебрах Фон Неймана. Важным достижением Сигала, обеспечивающим разнообразные приложения его теории, является реализация и L»^ в виде пространств измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана. Диксмье дал двойственное описание пространства L^ , построенного по точному нормальному полуконечному следу на алгебре фон Неймана. Эти результаты были развиты многими авторами ^42^ , \l9*\ .

Различные виды сходимости в алгебре измеримых операторов были рассмотрены в работах Стайнспринга , Санкарана , Падманапхана [43[ , Йедона \$8\ и других, вслед за которыми появились несколько работ О] , М ,\ь<э\ , \зь\ ), в которых вводятся пространства относительно точного нормального полуконечного следа на алгебре Фон Неймана. В частности, Нельсоном было введено пространство 11 р ^ьо4) как пополнение идеала интегрируемых элементов по Up -норме, и дана реализация этих пространств измеримыми операторами» Йедон [бэ\ предложил другой подход. Пространства ^(Д^р^ьо4) он ввел, как пространство измеримых операторов интегрируемых в - ой степени. Им же было перенесено на эти пространства классическое утверждение двойственности. Японский математик Сайто [зб] рассмотрел пространства ^ для случая ^ Д) •

Одним из первых достижений по распространению результатов Сигала на веса, которые являются наиболее общим аналогом интеграла на алгебре фон Неймана, стали работы А.Н.Шерстнева

• Пространства w. , построенные в этих работах реализованы как пространства билинейных форм на линеале веса,

В последние годы в работах Н.В.Трунова введены пространства ^ ассоциированные с точным нормальным состоянием и с точным нормальным локально измеримым весом (1б] на полуконечной алгебре фон Неймана. При этом существенно использованы результаты работ , [Ьэ] • Для случая точного нормального состояния дана реализация пространства L»^ билинейными формами. Для точных нормальных локально измеримых весов, при дополи нительном предположении локальной измеримости оператора, обратного к производной Радона-Никодима, пространства L»^ описаны локально измеримыми операторами.

В настоящее время в работах предложены различные подходы к построению пространств относительно точного нормального полуконечного веса на алгебре фон Неймана. Подробный обзор современного состояния теории интегрирования на алгебрах Неймана содержится в статье А.Н.Шерстнева .

В середине 60-х годов в работах Толлинга и

Штёрмера ^52, 5з\ впервые были рассмотрены неассоциативные вещественные аналоги алгебр Фон Неймана

И алгебры, т.е.: слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

После появления работ Альфсена, Шульца, Штёрмера ^25] и Шульца [49] (были введены - и -алгебры) бурно начала развиваться теория йордановых банаховых алгебр.

Как отмечалось выше, перечисленные результаты, полученные для алгебр фон Неймана, более естественно, с точки зрения приложения в квантовой механике, рассмотреть для зш - алгебр. Так,недавно Ш.А.Аюповым была построена теория интегрирования по конечному следу, рассмотрены аналоги пространств и L.^ , которые инъек-тивно вложены в 03 - алгебру тотально измеримых элементов З^Ы - алгебры. Для случая полуконечных следов пространства L и Lj^ были рассмотрены М.А.Бердику-ловым в И .

Все сказанное указывает на актуальность теш диссертации, целью которой является: а) Изучение топологии сходимости по мере в 03 - алгебре тотально измеримых элементов. б) Построение и описание пространств L^ СО^р^-оо) относительно точного нормального полуконечного следа на - алгебрах; в) Изучение свойств весов на - алгебрах и доказательство теоремы Радона-Никодима. г) Построение и описание пространств L»p U^^00*) ассоциированных с нормальным регулярным локально конечным весом и с точным нормальным состоянием на полуконечной - алгебре.

При решении этих задач не всегда можно применять технику, хорошо развитую для алгебр фон Неймана. Это обусловлено тем, что в йордановых алгебрах произведение эле-метов неассоциативно, а также тем, что существуют неоператорные (исключительные) йордановы банаховы алгебры и необратимые - алгебры. Б некоторых случаях, для того, чтобы обойти эти трудности, от З^М - алгебры отщепляется исключительная часть и используется метод исследования 3W - алгебр с помощью обертывающей алгебры фон Неймана, разработанный Ш.А.Аюповым \f\ ,\з\ Й > \з\ f [263 • В доказательстве некоторых результатов использованы методы, отличные от случая алгебр фон Неймана (например, в исследовании пространств Li р р (О, lY) . Эти методы являются новыми и в случае алгебр фон Неймана.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семь параграфов и списка литературы.

1. А ю п о в Ш.А. О конструкции йордановых алгебр само-сопряженных операторов. Доклады АН СССР, 1982, т.367, JS 3, с. 521-524.

2. А ю п о.в Ш.А. Интегрирование на йордановых алгебрах. Известия АН СССР, серия математическая,1983, т.47, А I, с. 3-25.

3. Аюпов Ш.А. Локально измеримые операторы для JVT -алгебр. Известия АН СССР, серия математическая,1984, т.48, № 2, с. 211-236.

4. А ю п о в Ш.А., Верди к улов М.А. Теоремы осходимости мартингалов на йордановых алгебрах. Деп. ВИНИТИ, 1983, В 5044-83. Деп., 44 с.

5. А ю п о в Ш.А. JW факторы и антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Известия АН СССР, серия математическая, 1.984, т.48, Ш б, с.

6. А ю п о в Ш.А. О существовании йордановых алгебр самосопряженных операторов заданного типа. Сиб.мат. журнал, 1984, т.25, Ш 5, с. 3-8.

7. Бердикулов М.А. Пространства L-l и L-я.для полуконечных JBW алгебр. Доклады АН УзССР, 1982, Ш 6, с.3-4. 8.Золотарев А.А. Пространства Lp относи- . тельно состояния на алгебре Неймана.и интерполяция. Изв. ВУЗов. Матем., 1982, Ш 8, с.36-43.

8. Жевлаков К.А., С л и н ь к о A.M., Шеста-к о в И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978, 432 с. .

9. Сарымсаков Т.А., А ю п о в Ш.А. Частичноупорядоченные йордановы алгебры. Доклады АН СССР, 1979, т. 249, В 4, с. 789-792.

10. Сарымсаков Т.А. Полуполя и теория вероятностей, Ташкент, Фан, 1981, 96 с,

11. Сары.мсаков Т.А., А ю п о в Ш.А., Хаджи-е в Дж., Чилин В.И. Упорядоченные алгебры. Ташкент,Фан, 1983, 304 с.

12. Тихонов О.Е. Пространства типа Lp относи-.тельно веса на алгебре Неймана. Изв. ВУЗов. Матем., 1982, JS 8, с. 76-78.

13. Т р У н о в Н.В., Шерстнев А.Н. К общей тео- .рии интегрирования в алгебрах операторов относительно веса. I. Изв. ВУЗов. Матем., 1978, J8 7, с.79-- 88.

14. Т р у н о в Н.В. О некоммутативном-аналоге пространства Lp . Изв. ВУЗов. Матем., 1979, JH II, с.69-77.

15. Трунов Н.В. Пространства Lp , ассоциирован- .ные с весом на полуконечной алгебре Неймана. В сб.: Конструктивн. теория функций и функц. анализ. Казань, 1981, вып. 3, с. 88-92.

16. Т р у н о в Н.В. Интегрирование в алгебрах Неймана и .регулярные веса. В сб.: Конструктивн. теория, функций и функц. анализ. Казань, 1981, вып.З, с.73-87.

17. Т р у н о в Н.В. К.теории.нормальных весов на алгебрах Неймана. Изв. ВУЗов. Матем., 1982, Jfi 8, c.6I-- 70.

18. X о л е в о А.С. Исследование по общей теории статистических решений. Труды МИ АН СССР, т.124. -М.: Наука, 1976,.140 с.

19. X о левоА.С. Вероятностные, и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980, 320 с,

20. Шерстнев А.Н. К общей теории состояний на ал- /7 гебрах Фон Неймана. Функциональный анализ и его прилож., 1974, т.8, Ш 3, с. 89-90.

21. Ш е р с т н е в. А.Н. .Каждый гладкий вес являетсяt весом. - Изв. ВУЗов, Матем., 1977, Ш 8, с. 88-91.

22. Ш е р с т н е в А.Н. К.общей теории меры и интеграла в алгебрах.Неймана. Изв. ВУЗов. Матем. 1982, in 8. с. 20-35.

23. Э м х Ж. Алгебраические методы.статистической механики и квантовой теории поля'. М.: "Мир", 1976, 424 с.

24. А 1 £ а е n Е.М., S h u 1 t z F.W., Stormer P.A Gelfand Neumark theorem for Jordan algebras. Advances in Math., 1978, v:ol. 28, No 1, p. 11-56.

25. A j up о v Sh.A. Extension of traces and type criterions for Jordan algebras of self adjoint operators. Math. Z., 1982, vol. 181, p. 253-268.

26. D i. x m x e r- J, Formes lineaires sur un anneud*operateurs. Bull» Soc. math» Prance, 1953,t.81, p. 9-39.

27. E f f г о s E.G., S t о r m e r E. Jordan algebrasof self-adjoint operators. Trans, Amer. Math.Soc., 1967, vol. 127, p. 313-316. 29 ,E a a g e r u p U. Normal weights on -algebras. J. Funct. Anal., 1975, v. 19, No 3» p. 302-31?.

28. Haagerup U. Lp spaces associated withan arbitrary von Heumann algebras. Coll. int CERS, 197/9, No 274, p. 175-184.

29. Haagerup U., Hanche-Olsen H. Tomita-Takesaki theory for Jordan algebras. Preprint Odense Universitet, 1982, No 4,p.1-35.

30. BBilsum M. bes espaces Lp d'une algebre devon Neumann definies par la dervie spatiale. J.Funct. Anal., 1.981, v. 40, No'2, p. 1.51-169.

31. Joch.um B, Cones awfcopolaires et Algebras de Jordan. Lect. Notes 1049, 1984.

32. Jacobson N. Structure and representationsof Jordan algebras. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 39, Providence R.I., 1968, X ^ 453 p.

33. Kichi~Suke Saito. Non commutative1. spaces with 0 < P< 1 . Proc. Camb. Phil. Soc., v.89, 1981, c. 405-411.

34. К i n g W.P.C. Semifinite Traces on JBW -algebras. Math. Proc. Comb. Phil. Soc. 1983, 93,No 3, 503-509.37, К u: n z e R.A. |,р Fourier transforms on locallycompact unimodular groups» Trans» Amer .Math, Soc., 195S, Vt89, No 2, p» 519-540.

35. Padmanabhan А.К», Convergence in measureand related results in finite rings of operators. Trans. Amer. Math, Бос» 19&7, v» 128, p. 359 388.

36. P e d e r s e n G.K., Takesaki M, The Radon-Nikodymtheorem for von Neumann algebras. Acta.Math.1973» V.130, No 1—2, p, 53-87,

37. S а к a i S., C*- algebras and algebras.Ergebnisse der Math. 60, Berlin: Springer, 1971, XII + 256 p.46. s a n к a r a n S., The algebras of unbounded.operators. J. London Math. Soc. 1959, vol. 34, p. 337-344.

38. Sankaran S. Stochastic convergence for operators. Quart. J, Math. Oxford, 1964, Ser. 2, No 15, p. 97-102.

39. Segal X., A non commutative extension of abstractintegration. Ann. of Math. 1953, vol. 57, p.401-457. 49«Shultz P.W., On normed Jordan algebras which are Banach dual spaces» J. Functional Analysis, 1979, vol. 31, No 3, 360-376.

40. S t а с e у P.J. Type Г J BW algebras.SwQuort. J. Math., 1982, v. 33, No 129, p.115-127.

41. S tinespring W.I1», Integration theorems forgages and duality for unimodular groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1959, vol.90, p. 15-56*

42. Stormer E., Jordan algebras of type.I. ActaMath., 1966, vol. 115, No 3-4, p. 165-184.

43. Stormer Е», Irreducible Jordan algebras of selfadjoint operators. Trans. Amer. Math. Soc. 1968, vol. 130, p. 153-166.

44. Stormer E., Real structure in the hyperfinitefactor. Duke Math. J. 1980, vol.47, No 1, p.145-153.

45. Takesaki M., Theory of operator algebras.I.New-York Heidelberg. Berlin: Springer, 1979, XII + 415 P.

46. Topping- D. Jordan algebras of self-adjoint operators* Mem. Amer. Math. Soc., 1965» No 53, p. 1-48.57» Topping D., An isomorphism invariant for spin factors. J. Matii. and Mech. 1966, vol. 15, p. 1055-Ю64.

47. Y e a d о n F.J., Convergence of measurable operators. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1-973» vol.74, p. 257-268,.

48. Yeadon F.J. Non-commutative L»p spaces. Math.Proc. Cambrisge Phil. Soc., 1975, v. 77, No 1, p. 91-102,

49. Абдуллаев P.S. Пространства Lp . для.йордановых алгебр с полуконечным следом. Деп. ВИНИТИ, Ш 1875-83, Деп. 19 с.

50. Абдуллаев Р.З. Lp пространства для йордановых алгебр. ( 0 ^ Р ^ i ) . Докл. АН УзССР,1983, Ш 9, с. 4-6.

51. А б д у л л аев Р.З. Неассоциативные пространства Lp . Известия АН.УзССР, серия физ.-мат. наук. 1983,. 18 6, с. 3-5.

52. А ю п о в . Ш.А., Абдуллаев Р.З. ТеоремаРадона-Никодима и пространства Lp для весов на полуконечных JBW алгебрах. Деп.ВИНИТИ,1984, 2469 -84,Деп.26 с.