Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах

Тимиршин, Марсель Рустэмович

Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Тимиршин, Марсель Рустэмович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах»

Автореферат диссертации на тему "Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах"

На правах рукописи

Тимиршин Марсель Рустэмович

МЕТОД ГРАФИКОВ И ПРОБЛЕМА ЛИНЕЙНОСТИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ МЕР НА ОРТОПРОЕКТОРАХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Казань - 2009

003484833

Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Шерстнев Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Амосов Гоигорий Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Тихонов Олег Евгеньевич

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 24 декабря 2009 года в 17.30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан » ноября 2009

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.10 при КГУ канд. физ.-мат. наук, доцент

Е. К. Липачев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Один из основных методов при изучении неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах заключается в переходе от заданного оператора к ассоциированному с ним семейству ограниченных линейных операторов. В качестве известных примеров такого подхода можно привести характеризацию симметрического оператора его преобразованием Кэли, характеризацию самосопряженного оператора семейством значений его резольвенты или однопараметрическим семейством орто-проекторов, ассоциированным с его спектральным разложением единицы. В один ряд с вышеперечисленными инструментами изучения неограниченных операторов также следует поставить и метод графиков, который, однако, не получил столь широкого освещения в литературе. Частично восполнить этот пробел является главной целью предлагаемой работы.

Впервые графики операторов были введены фон Нейманом1 при изучении фундаментальных свойств неограниченных линейных операторов. Позднее M. X. Стоуном2 было введено понятие характеристической матрицы, ассоциированной с графиком замкнутого оператора, что позволило свести изучение неограниченных замкнутых операторов к исследованию ограниченных операторов.

Метод графиков оказался особенно полезным в теории возмущений линейных операторов и в изучении сходимости неограниченных операторов (Като3, Рид и Саймон4, Кулькарни и Рамеш5). С использованием граф-топологии Ли и Нэшедом6 было дано обобщение метода градиента для обычных линейных уравнений с ограниченным оператором на случай линейных уравнений с произвольным замкнутым неограниченным оператором. Более того,

'Von Neumann J. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren // Math. Annalen. - 1929. - Bd. 102. - S. 370-427.

2Stone M. H. On unbounded operators in Hilbert space // J. Ind. Math. Soc. - 1951. - V. 15. - P. 155-192.

3Като T. Теория возмущений линейных операторов ] Пер. с англ. под ред. проф. В. П. Маслова, М.: Мир, 1972. - 739 с.

4Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1977. - 360 с.

°Kulkarni S. H., Ramesh G. The carrier graph topology. Preprint (shk@iitm.ac.in, rameshg@i¡trn.ac.in).

6Lee S. J., Nashed M. Z. Gradient method [or nondensely defined closed unbounded linear operators // Proc. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 88. - Ns 3. - P. 429-435.

как было показано Эль-Саккари7, б теории автоматического контроля граф-метрика оказалась наиболее подходящей метрикой для описания критериев устойчивости систем с обратной связью.

С применением графиков В.М. Мануйловым8 был построен /¡'-теорный непрерывный целочисленный инвариант для широкого класса неограниченных симметрических операторов. Благодаря работам Нассбаума9 и Леннона10 графики легли в основу теории прямых интегралов для неограниченных операторов, что позволило свести изучение этой теории к исследованию прямых интегралов от ограниченных операторов.

Кроме того, техника графиков нашла неожиданное применение при исследовании проблем продолжения ортоаддитивных отображений, заданных на ортопроекторах. Так, Г. Дай" с помощью метода графиков показал, что проекторный ортоизоморфизм между Ш*-алгебрами определенного типа продолжается до прямой суммы *-изоморфизма и *-антиизоморфизма. С другой стороны, Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым12 с использованием конструкций, основанных на графиках компактных операторов, было показано существование неограниченной ортоаддитивной меры на ортопроекторах подходящей алгебры фон Неймана, которая не продолжается до веса.

В данной работе продолжена разработка техники графиков замкнутых операторов, а также приведены приложения инструмента графиков к теории неограниченных операторов.

Другое направление исследования предлагаемой работы связано с проблемой линейности в некоммутативной теории меры. Данная проблема состоит в изучении возможностей продолжения ортоаддитивных мер на ортопроекторах алгебры фон Неймана до линейных функционалов.

7EI-Sakkari А. К. The gap metric: robustness of stabilization of feedback systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1985. - V. 30. - № 3. - P. 240-247.

8Мануйлов В. M. Инвариант пари почти коммутирующих неограниченных операторов // Функц. анализ и его прил. - 1998. - Т. 32. - Вып. 4. - С. 88-91.

9Nussbaum А. Е. Reduction theory for unbounded closed operators in Hilbert space // Duke Math. J. - 1964.

- V. 31. - № 1. - P. 33-44.

,0Lennon M.J.J. On sums and products of unbounded operators in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc.

- 1974. - V. 198. - P. 273-285.

"Dye H.A. On the geometry of projections in certain operator algebras // Ann. of Math. - 1955. - V. 61.

- № 1. - P. 73-89.

'2Lugov3ya G. D., Sherstnev A. N. On the extension problem ¡or unbounded measures on projections // Math. Sîovaca. - 2000. - V. 50. - № 4. - P. 473-481.

Впервые проблема линейности была поставлена и решена для факторов и унитарно инвариантных мер в классических трудах фон Неймана и Мюррея'314. В полном объеме программа продолжения таких мер до интеграла реализована И. Сигалом15. Проблема линейности для ограниченных ортоаддитивных мер, не обязательно унитарно инвариантных, была сформулирована Дж. Макки16 в виде гипотезы, что каждая ортоаддитивная вероятностная мера на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах продолжается до линейного функционала. Несколькими месяцами ранее выхода из печати статьи Дж. Макки положительное решение этой проблемы было получено А. Глизоном17. Для ограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана, в том числе и конечно-аддитивных, указанная проблема получила исчерпывающее решение благодаря усилиям ряда математиков четверть века спустя (Матвейчук18, Кристенсен19, Йедон20 21)-

Проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана в контексте их продолжения до весов была сформулирована А.Н. Шерстневым22. Несколькими годами позже Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым23 было получено положительное решение этой проблемы для неограниченных ¡т-аддитивных мер на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах. Затем

,3Murray F„ von Nemann J. On rings of operators 11 Ann. Math. - 1936. - V. 37. - P. 116-129.

14Murray F., von Nemann J. On rings о/ operators // Ann. Math. - 1936. - V. 41. - P. '20S-248.

15Segal 1. A non-commutative extension of abstract integration // Ann. Math. - 1953. - V. 57. - P. 401-457.

l6Mackey G. Quantum mechanics and Hilbert space // Amer. Math. Monthly. - 1957. - V. 64. - № 8.

- P. 45-57.

,7Gieason A.M. Measures on the closed subspaces of Hilbert space // J. Math. Mech. - 1957. - V. 6. - P. 885894.

|8Матвейчук M. С. Описание конечных мер в полуконечных алгебрах // Функц. анализ и его прилож.

- 1981. - V. 15. - №. 3. - С. 41-53.

"Christensen Е. Measures on projections and physical states // Comm. Math. Phys. - 1982. - V. 86. - P. 113— 115.

20Yeadon F. Measures on projections in W'-algebras of type Hi // Bull. London Math. Soc. - 1983. - V. 15.

- P. 1139-145.

21Yeadon F. Finitely aditive measures on projections in finite W'-algebras // Bull. London Math. Soc. - 1984.

- V. 16. - P. 145-150.

22Шерстнев А.Н. К общей теории меры и интеграла в алгебрах Неймана // Изв. вузов. Математика.

- 1982. - № 8. - С. 20-35.

23Луговая Г. Д., Шерстнев А. Н. О проблеме линейности для неограниченных мер на проекторах // Функц. анализ (Ульяновск). - 1984. - № 23. - С. 76-81.

этот результат был распространен на случай произвольных полуконечных алгебр фон Неймана М. С. Матвейчуком24. В 1992 году А. Н. Шерстневым25 был поставлен вопрос о возможности продолжения неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана до веса. Несколько лет спустя Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым26 был дан отрицательный ответ на этот вопрос.

В настоящей работе продолжено исследование проблематики линейности для неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах и конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана и получен ряд новых результатов.

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Разработка инструмента графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.

2. Изучение с помощью графиков свойств замкнутых операторов, действующих в гильбертовых пространствах.

3. Исследование возможности продолжения до веса неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах и конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы из следующих областей:

1. Теория неограниченных замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.

2. Спектральная теория и функциональное исчисление для самосопряженных операторов.

3. Некоммутативная теория меры для алгебр фон Неймана.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и снабжены подробными доказательствами. Они дополняют известные факты из

24Матвейчук М. С. Продолжение неограниченных мер до веса Ц Изв. вузов. Математика. - 1987. - № 4. - С. 47-51.

^Sherstnev А. N. On certain problems in the theory of unbounded measures on projections // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. - 1994. - V. 42. - P. 357-366.

26Lugovaya G.D., Sherstnev A.N. On the extension problem for unbounded measures on projections // Math. Slovaca. - 2000. - V. 50. - № 4. - P. 473-481.

теории графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах и теории некоммутативной меры в алгебрах фон Неймана.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных областях теории неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах и некоммутативной теории неограниченных мер.

Основные результаты диссертации. Основные результаты работы следующие:

1. Построены новые представления алгебр фон Неймана, ассоциированные с графиками замкнутых операторов. Установлена их связь с размножением алгебр фон Неймана.

2. В терминах графиков получен ряд исчерпывающих характеризаций различных свойств замкнутых операторов и их подклассов.

3. Изучены основные бинарные операции, определенные на замкнутых операторах, в контексте графиков этих операторов. Приведено применение метода графиков к теории прямых интегралов.

4. Доказано, что для произвольного кардинального числа п ^ 2 существует алгебра фон Неймана типа 1п и ограниченная полуконечная конечно-аддитивная мера на идеале этой алгебры, которая не продолжается до веса.

5. Установлено, что в произвольной алгебре фон Неймана, не содержащей прямых слагаемых типа /„, где п — кардинальное число, не меньшее 2, всякая конечно-аддитивная мера на идеале этой алгебры продолжается до веса.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись

1. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2005" (Казань, 2005 г.);

2. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007 г.);

3. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2008" (Казань, 2008 г.);

4. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009 г.);

5. на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (2005-2009 гг.).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [1]-[4] и одной статье [5] из списка ВАК общим объемом 27 страниц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации 141 страница. Библиографический список использованных источников содержит 55 наименований.

Содержание работы. Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, указываются цели, преследуемые автором при написании работы, перечисляются основные результаты, полученные автором, приводится краткое изложение содержания работы.

Первая глава посвящена изучению графиков замкнутых операторов, действующих в гильбертовых пространствах.

В разделе 1.1 приводятся общие для всей работы соглашения и обозначения.

В разделе 1.2 вводятся операторные аналоги Ат и Vt тригонометрических функций cos и sin, а также изучаются их свойства.

В разделе 1.3 строятся различные представления алгебр фон Неймана, индуцированные графиками замкнутых операторов. Кроме того, устанавливается связь этих представлений с размножением алгебр фон Неймана. Основные результаты данного раздела сформулированы в теоремах 1 и 2.

Для гильбертовых пространств X и Y через СС(Х, Y) (соответственно VC{X,Y), B(X,Y), BT(X,Y), C(X,Y), TV{X,Y)) будем обозначать класс всех замкнутых (соответственно плотно заданных замкнутых, всюду определенных ограниченных, ограниченных фредгольмовых, компактных, конечномерных) операторов из X в У. Если X — Y, то Y в приведенных обозначениях будем опускать. Для Т € СС{Х, Y) будут использоваться следующие обозначения: Т £ VC(X, Y) — каноническое продолжение оператора Т нулем, Г(Т) — график Т, РцТ) — ортопроектор в ХфУ на Г(Т). Если М — алгебра фон Неймана, то Л4+ — конус всех положительных операторов в

М, Мрг — семейство всех ортопроекторов в М. Пусть далее К^К^ — комплексные гильбертовы пространства, Я = При этом, если К\ = К2, то индексы будем опускать и считать, что Н = К © К.

Теорема 1. Пусть Т е Т>С{КиК2), М\ и М2 — алгебры фон Неймана, действующие в К\ и К2 соответственно. Определим отображения Фт : Мх В{Н), : М2 В(Я), а также Фг : Мг®М2 В{Н) следующими правилами

где а € М1, Ь € М2- Тогда (Фт, Н), Н) и Ю — инъективные представления алгебр М\, Мг и М\®М2 соответственно, определяющие пространственные изоморфизмы алгебр М.\ на Ф^Л^), М2 на Фу(_Мг) и М\®М2 на Фг(Л^1ФЛ42) соответственно.

Теорема 2. Пусть М — алгебра фон Неймана, действующая в К, Т £ ТС(К) и р : В(К) —> В(Н) — отображение, действующее по правилу

В разделе 1.4 вводится понятие стоуновской характеристической матрицы замкнутого оператора и находится ее явный вид в терминах тригонометрических операторов. Получена характеризация ортопроекторов, являющихся графиками некоторых замкнутых операторов. Кроме того, установлена взаимосвязь между основными понятиями, связанными с замкнутым оператором, и элементами его характеристической матрицы.

Во второй главе рассматриваются различные приложения техники графиков к теории неограниченных операторов.

Фг(афЬ) = Фг(а) + Фг(Ь),

р(а) = а®а (аеВ{К)).

Тогда следующие утверждения равносильны (1) Т^М';

(и) Фг(а) = РгспР^Рцт) (а £ М)\ (ш) Фу (а) = Р^т]р(а)Р^[т] (а е М).

В разделе 2.1 приводятся характеризации различных свойств замкнутых операторов и их подклассов в терминах графиков. Впервые исследование в данном направлении было начато M. X. Стоуном27. Им были найдены характеризации ограниченных, самосопряженных, нормальных и унитарных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, в контексте их характеристических матриц. Описание некоторых классов замкнутых операторов с помощью тригонометрических операторов были даны В. Кауфманом2829. Автором получен ряд новых результатов, дополняющих результаты М.Х. Стоуна и В. Кауфмана. В терминах характеристических матриц и тригонометрических операторов получены исчерпывающие характеризации таких подклассов замкнутых операторов, как классы ограниченных, обратимых, компактных, конечномерных, фредгольмовых, гипонормальных, квазинормальных, нормальных, эрмитовых, самосопряженных, положительных, аккретивных, инволютивных, присоединенных к алгебре фон Неймана, т-измеримых, принадлежащих к некоторому идеалу и других типов операторов. Ниже сформулированы выдержки из этих результатов:

Теорема 3. Пусть Т e VC{KUK2) и fey) — характеристическая матрица Т. Тогда

(i) Т е B(I<i,K2) qu обратим;

(ii) Т обратим <S=> 1 — qu обратим;

(iii) Т гомеоморфен <=> q2\ обратим;

(iv) Т € BF(KU К2) 921 G ВГ(Ки К2); (у) Т е FD{KU К2) q21 е FD(KU К2)\ (vi) Т е С(Ки К2) <=> q22 6 С(К2).

Теорема 4. Пусть Т S VC(K) и (g¿y) — характеристическая матрица Т. Тогда

(i) Т гипонормален & ç?u +q22 ^ 1;

(ii) Т формально нормален qn = \/l - q22p\/l - q22, где р Ç В(К)рг;

27Stone M. H. Ort unbounded operators in Hilbert space // J. Ind. Math. Soc. - 1951. - V. 15. - P. 155-192.

28Kaufman W. E. Representing a closed operator as a quotient of continuous operators // Proc. Amer. Math. Soc. - 1978. - V. 72. - № 3. - P. 531-534.

29Kaufman W. E. Closed operators and pure contractions in Hilbert space // Proc. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 87. - № 1. - P. 83-87.

(ш) Т квазинормален дц и д21 коммутируют друг с другом;

(IV) Т нормален ди + д22 = 1;

(V) Т эрмитов & 911921 самосопряжен; (\а) Т положителен 521 положителен; (уц) Т аккретивен 911921 аккретивен\ (уш) Т — инволюция О дц + д21 = 922 + 912",

(Ьс) Т — оператор с компактной резольвентой дц 6 С(К).

Теорема 5 (критерий т-измеримости). Пусть М. — алгебра фон Неймана, действующая в К, М2 — алгебра матриц 2-го порядка над комплексным полем и т — точный нормальный полуконечный след на М.. Определим точный нормальный полуконечный след т : (Л4 ® М2)+ —» [0, +оо] равенством

т{А) = т(аи) + т(а22) (А € (М ® М2)+),

где ау — элементы операторной матрицы А. Тогда оператор Т е Т>С(К) с графиком С} т-измерим в том и только том случае, когда существует последовательность графиков ((¿п) С (М ® М2)рт ограниченных операторов такая, что <3П у <2 и т((3 — <3„) —> 0.

В разделе 2.2 вводится новая операция верхней грани "V" двух замкнутых операторов. А именно, верхняя грань А V В определяется как наименьший замкнутый оператор, являющийся расширением замкнутых операторов А и В (если таковой существует). С использованием техники графиков получен ряд интересных свойств этой операции:

Теорема 6. Пусть А,В £ СС{К1,К2) такие, что Рад и РГ(В) коммутируют, и пусть определен оператор С = А V В € СС,{К\, К2). Тогда

(1) АеВ(КиК2), В е С{КЪК2) => С 6 В(КЪК2)-, (И) две С(Ки К2) ЦКиК-гУ,

(ш) А, В 6 К2) ^ Се ТЪ{КъК2)\

(IV) А 6 к2), в е С(КЬ /г2) с е вт{кик2).

Теорема 7. Пусть А, В € СС(К) и пусть определен оператор С — А У В 6 СС(К). Тогда, если M — алгебра фон Неймана с точным нормальным полуконечным следом т, действующая в К, a J — *-идеал в В{К) такой, что J С С (К), то справедливы утверждения

(i) если Рца)Рг(в) = 0;

(ц) А,Вг]М => Сг)М;

(iii) А т-измерим и BrjM =>■ С т-измерим;

(iv) A,BçJ С & J, если Рца) и ^г(в) коммутируют.

Раздел 2.3 посвящен описанию графиков суммы, произведения и отношения замкнутых операторов. Подобного рода исследование было начато Лен-ноном30. Им с помощью техники биграфиков были найдены характеристические матрицы полусуммы + В) и произведения В А двух произвольных замкнутых операторов А и В в виде предельных выражений, составленных из элементов характеристических матриц операторов А и В. Автором получены аналогичные формулы для суммы А + В и отношения В/А замкнутых операторов А к В. Формула для отношения операторов приведена ниже:

Теорема 8. Пусть А, В е СС(К) такие, что кегЛ С кегВ. Тогда

где Sij — элементы бихарактеристической матрицы операторов А и В, I — тождественный оператор в Н.

Во второй части раздела используется алгебраический подход: получены представления графиков произведения AB, отношения В/А и суммы А + В в виде решеточных многочленов от графиков замкнутых операторов А и В. Кроме того, в терминах графиков A vi В даны критерии замыкаемости и плотной определенности произведения, отношения и суммы замкнутых операторов А и В. В теоремах 9 и 10 приведены точные формулировки результатов, полученных для произведения операторов.

3QLennon M. J. J. On sums and products o[ unbounded operators in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. - V. 198. - P. 273-285.

Пусть Ki, г = 1,3, — комплексные гильбертовы пространства, L = Ki ф К2 © К?,, P¡, i = ТУЗ, — ортопроекторы в L на Kit I — тождественный оператор в L.

Теорема 9. Пусть А € С£{КиК2), В 6 СС(К2,К3). Тогда

Рцщ = i((prW © Рз) Л (РГ(В) © Л)) V Р2) Л (Рх © Рз).

Более того

(i) В А замыкаем тогда и только тогда, когда {((РцА) ф Рз) Л (РГ[В) ф Pi)) V Р2) Л Рз = 0;

(ii) ВА плотно определен тогда и только тогда, когда ((((Рцл) Ф Рз) А (Рцв) Ф Pi)) V Р2) А (Pi ф Рз)) V (Р2 ф Рз) = I.

Теорема 10. Пусть А б СС{КЪК^), В £ СС{К2,Кг). Обозначим

Рцв) ° Рг(л) = (Рг(А) V РГ(В)) A (Pi ф Р3).

Тогда

(i) РГ(в)°Рг(А) > Ргрялу;

(ii) А ограничен =>- РТ(В) ° Рг(л) = Рт(-ва)',

(iii) Р-1 ограничен => Рг(в) о Рг(л) = Рц-ва)',

(iv) В € Яз) => Рцв) ° Рг(Л) = Рг^Ш) ;

(v) Л обратим РТ(В) о Рг(л) = РГ{_ВА) ;

(vi) Г(А) + Г(Р) замкнуто Рцв) ° Рцл) = Рц-sa)'.

(vii) если Г (А) + Г([/В) замкнуто, где [/ : 1<з —> Ку — изоморфизм, то Рцв) ° Рца) = Рц-ва) ■ Если к т0МУ же П Г(UВ) = {0}, то

РГ(-ВА) = РГ {-ВА)-

В разделе 2.4 приводится применение техники графиков к теории прямых интегралов замкнутых операторов. Ленноном31 были получены формулы почленного интегрирования суммы и произведения замкнутых разложимых

3,Ler.non M.J.J. On sums and products oj unbounded operators in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. - V. 198. - P. 273-285.

операторов. Автором получены аналогичные результаты для отношения замкнутых операторов В/А и их верхней грани А V В. Точная формулировка результата для верхней грани приведена ниже:

Теорема 11. Пусть Z — а-компактное локально компактное пространство, р, — пополнение борелевой меры на Z, t —> K(t) — р-измеримое поле сепарабелъных гильбертовых пространств, К = K(t)dp(t) и А, В е СС(К) — разложимые операторы. Тогда оператор АУ В определен тогда и только тогда, когда A(t) V B(t) определен почти всюду. В этом случае

(i) Л V Б € VC(K) & A(t) V B(t) е VC{K{t)) п.в,-

f<s

(ii) AV В = A(t) V B(t)dp(t).

В разделе 2.5 приводится явный вид характеристической матрицы тензорного произведения замкнутых операторов в терминах характеристических матриц этих операторов, полученный X. Косаки32. С использованием этого результата, автором получены формулы тригонометрических операторов для тензорного произведения А® В замкнутых операторов в терминах тригонометрических операторов А и В. Кроме того, приводятся аналогичные формулы для графика прямой суммы замкнутых операторов.

Третья глава посвящена исследованию проблемы линейности для неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах и конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана.

В разделе 3.1 даются обозначения и определения, связанные с проблематикой линейности.

В разделе 3.2 изучаются свойства ортоидеалов, имеющие отношение к проблеме линейности, а также выводятся свойства ортоидеалов, представляющие самостоятельный интерес.

В разделе 3.3 изучается вопрос о возможности продолжения до веса неограниченных полуконечных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана. Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым33 с использованием

32Kosaki Н. Characteristic matrix о/ the tensor product o¡ operators Ц Oper. Theor. - 1998. - V. 40. - P. 357372.

33Lugovaya G. D., Sherstnev A. N. On the extension problem ¡or unbounded measures on projections // Math. Slovaca. - 2000. - V 50. - № 4. - P. 473-481.

техники графиков было показано существование неограниченной полуконечной конечно-аддитивной меры на ортопроекторах в подходящей алгебре фон Неймана, не продолжающейся до веса. Автором предложен упрощенный и конструктивный способ доказательства этого факта, причем без привлечения метода графиков. Более того, в работе показано, что при дополнительных ограничениях, налагаемых на структуру меры и тип алгебры фон Неймана, рассматриваемый вопрос имеет положительное решение:

Теорема 12. Пусть М — алгебра фон Неймана, не имеющая слагаемых типа /,„ п ^ 2, и ц : Мрг —> [0, +оо] — конечно-аддитивная мера такая, что Л,, = {р е Мрх : р{р) < 4-со} — идеал. Тогда ц продолжается до веса <р : М+ —> [0, +оо]. При этом вес <р однозначно определен на конусе, порожденном идеалом ■],,, и принимает на нем лишь конечные значения.

Раздел 3.4 посвящен исследованию возможности продолжения до веса полуконечных конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана. Автором получено отрицательное решение рассматриваемой проблемы:

Теорема 13. Для любого кардинального числа п > 2 существует алгебра фон Неймана М типа /„, идеал 7 в М и полуконечная конечно-аддитивная мера р : .} М4, нир р(р) < со, не продолжающаяся до веса.

Кроме того, в работе показывается, что для конечно-аддитивных мер на ортоидеалах имеет место аналог теоремы 12. Также получен следующий любопытный результат:

Теорема 14. Пусть // : 7 —» К+ — конечно-аддитивная мера на ортои-деале .] алгебры В(Н), содержащем трехмерный ортопроектор. Тогда ц продолжается до полуконечной конечно-аддитивной меры.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю Шерстневу Анатолию Николаевичу за предложенную тематику исследований и всестороннюю поддержку в написании данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Тимиршин, М. Р. Представление алгебры фон Неймана, индуцированное плотно заданным замкнутым оператором / М. Р. Тимиршин // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - 2005. - Т. 31. - С. 152-154.

2. Тимиршин, М. Р. О свойствах графиков замкнутых операторов и операциях на них / М.Р. Тимиршин // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - 2007. - Т. 35. - С. 240-243.

3. Тимиршин, М. Р. Конструкции неограниченных мер на ортопроекто-рах / М. Р. Тимиршин // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского.

- 2008. - Т. 37. - С. 177-178.

4. Тимиршин, М. Р. О проблеме продолжения неограниченных мер на ор-топроекторах / М. Р. Тимиршин // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - 2009. - Т. 38. - С. 278-279.

5. Тимиршин, М. Р. О некоторых свойствах графиков замкнутых операторов / М.Р. Тимиршин // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 9.

- С. 53-68.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 16/11

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 23-373-59, 292-65-60

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Тимиршин, Марсель Рустэмович

Введение.

Глава 1. Графики операторов.

1.1. Определения и обозначения.

1.2. Тригонометрические операторы Дт и Vr.

1.3. Представления алгебр фон Неймана, индуцированные графиками.

1.4. Характеристическая матрица.

Введение диссертация по математике, на тему "Метод графиков и проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах"

Актуальность темы. Один из основных методов при изучении неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах заключается в переходе от заданного оператора к ассоциированному с ним семейству ограниченных линейных операторов. В качестве известных примеров такого подхода можно привести характеризацию симметрического оператора его преобразованием Кэли, характеризацию самосопряженного оператора семейством значений его резольвенты или однопараметрическим семейством ортопроекторов, ассоциированным с его спектральным разложением единицы. В один ряд с вышеперечисленными инструментами изучения неограниченных операторов также следует поставить и метод графиков, который, однако, не получил столь широкого освещения в литературе. Частично восполнить этот пробел является главной целью предлагаемой работы.

Впервые графики операторов были введены фон Нейманом [1] при изучении фундаментальных свойств неограниченных линейных операторов. Позднее М. X. Стоуном [2] было введено понятие характеристической матрицы, ассоциированной с графиком замкнутого оператора, что позволило свести изучение неограниченных замкнутых операторов к исследованию ограниченных операторов.

Метод графиков оказался особенно полезным в теории возмущений линейных операторов и в изучении сходимости неограниченных операторов ([3, §IV.2], [4, §VIII.7], [5], [6]). С использованием граф-топологии было дано обобщение метода градиента для обычных линейных уравнений с ограниченным оператором на случай линейных уравнений с произвольным замкнутым неограниченным оператором [7]. Более того, в теории автоматического контроля граф-метрика оказалась наиболее подходящей метрикой для описания критериев устойчивости систем с обратной связью [8].

С применением графиков В.М. Мануйловым [9] был построен К-теорный непрерывный целочисленный инвариант для широкого класса неограниченных симметрических операторов. Также стоит упомянуть, что графики легли в основу теории прямых интегралов для неограниченных операторов ([10], [11]), что позволило свести изучение этой теории к исследованию прямых интегралов от ограниченных операторов.

Кроме того, техника графиков нашла неожиданное применение при исследовании проблем продолжения ортоаддитивных отображений, заданных на ортопроекторах. Так, Г. Дай [12] с помощью метода графиков показал, что проекторный ортоизоморфизм между \¥*-алгебрами определенного типа продолжается до прямой суммы *-изоморфизма и *-антиизоморфизма. С другой стороны, Г. Д. Луговой совместно с А. Н. Шерстневым [13] с использованием конструкций, основанных на графиках компактных операторов, было показано существование неограниченной ортоаддитивной меры на ортопроекторах подходящей алгебры фон Неймана, которая не продолжается до веса.

Впервые проблема линейности была поставлена и решена для факторов и унитарно инвариантных мер в классических трудах фон Неймана и Мюррея [14], [15]. В полном объеме программа продолжения таких мер до интеграла реализована И. Сигал ом [16]. Проблема линейности для ограниченных ортоаддитивных мер, не обязательно унитарно инвариантных, была сформулирована Дж. Макки [17] в виде гипотезы, что каждая ортоаддитив-ная вероятностная мера на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах продолжается до линейного функционала. Несколькими месяцами ранее выхода из печати статьи

Дж. Макки положительное решение этой проблемы было получено А. Гли-зоном [18]. Для ограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана, в том числе и конечно-аддитивных, указанная проблема получила исчерпывающее решение благодаря усилиям ряда математиков четверть века спустя ([19], [20], [21], [22]).

Проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана в контексте их продолжения до весов была сформулирована А. Н. Шерстневым [23]. Несколькими годами позже Г. Д. Луговой в совместной работе с А. Н. Шерстневым [24] было получено положительное решение этой проблемы для неограниченных а-аддитивных мер на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах. Затем этот результат был распространен на случай произвольных полуконечных алгебр фон Неймана М. С. Матвейчуком [25]. В 1992 году А. Н. Шерстневым [26] был поставлен вопрос о возможности продолжения неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана до веса. Несколько лет спустя Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым [13] был дан отрицательный ответ на этот вопрос.

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Разработка инструмента графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.

2. Изучение с помощью графиков свойств замкнутых операторов, действующих в гильбертовых пространствах.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы из следующих областей:

1. Теория неограниченных замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.

2. Спектральная теория и функциональное исчисление для самосопряженных операторов.

3. Некоммутативная теория меры для алгебр фон Неймана.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и снабжены подробными доказательствами. Они дополняют известные факты из теории графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах и теории некоммутативной меры в алгебрах фон Неймана.

Основные результаты диссертации. Основные результаты работы следующие:

5. Установлено, что в произвольной алгебре фон Неймана, не содержащей прямых слагаемых типа 1п, где п — кардинальное число, не меньшее 2, всякая конечно-аддитивная мера на идеале этой алгебры продолжается до веса.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись

1. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2005" (Казань, 2005 г.);

2. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007 г.);

3. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2008" (Казань, 2008 г.);

4. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009 г.);

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [56]-[59] и одной статье [60] из списка ВАК общим объемом 27 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Тимиршин, Марсель Рустэмович, Казань

1. Von Neumann J. Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren 1. Math. Annalen. - 1929. - Bd. 102. - S. 370-427.

2. Stone M. H. On unbounded operators in Hilbert space II J. Ind. Math. Soc.- 1951.-V. 15.-P. 155-192.

3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Пер. с англ. под ред. проф. В. П. Маслова, М.: Мир, 1972. 739 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 360 с.

5. Azizov Т. Y., Behrndt J., Jonas P., Trunk С. Compact and finite rank perturbations of closed linear operators and relations in Hilbert spaces II Integr. Equat. Oper. Theor. 2009. - V. 63. - № 2. - P. 151-163.

6. Kulkarni S.H., Ramesh G. The carrier graph topology. Preprint (shk@iitm.ac.in, rameshg@iitm.ac.in).

7. Lee S.J., Nashed M. Z. Gradient method for nondensely defined closed unbounded linear operators И Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 88.- № 3. P. 429-435.

8. El-Sakkari A. K. The gap metric: robustness of stabilization of feedback systems И IEEE Trans. Automat. Contr. 1985. - V. 30. - № 3. - P. 240-247.

9. Мануйлов B.M. Инвариант пары почти коммутирующих неограниченных операторов II Функц. анализ и его прил. 1998. - Т. 32. - Вып. 4. -С. 88-91.

10. Nussbaum A. E. Reduction theory for unbounded closed operators in Hilbert space II Duke Math. J. 1964. - V. 31. - № 1. - P. 33-44.

11. Lennon M. J. J. On sums and products of unbounded operators in Hilbert space II Trans. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 198. - P. 273-285.

12. Dye H. A. On the geometry of projections in certain operator algebras I I Ann. Math. 1955. - V. 61. - № 1. - P. 73-89.

13. Lugovaya G. D., Sherstnev A.N. On the extension problem for unbounded measures on projections II Math. Slovaca. 2000. - V. 50. - № 4. - P. 473481.

14. Murray F., von Nemann J. On rings of operators II Ann. Math. 1936. -V. 37.-P. 116-129.

15. Murray F., von Nemann J. On rings of operators II Ann. Math. 1936. -V. 41.-P. 208-248.

16. Segal I. A non-commutative extension of abstract integration II Ann. Math.- 1953. -V. 57. P. 401-457.

17. Mackey G. Quantum mechanics and Hilbert space II Amer. Math. Monthly.- 1957. V. 64. - № 8. - P. 45-57.

18. Gleason A. M. Measures on the closed subspaces of Hilbert space II J. Math. Mech. 1957. - V. 6. - P. 885-894.

19. Матвейчук M. С. Описание конечных мер в полуконечных алгебрах II Функц. анализ и его прилож. 1981. - V. 15. - №. 3. - С. 41-53.

20. Christensen Е. Measures on projections and physical states I I Comm. Math. Phys. 1982. -V. 86.-P. 113-115.

21. Yeadon F. Measures on projections in W*-algebras of type If II Bull. London Math. Soc. 1983. - V. 15. - P. 139-145.

22. Yeadon F. Finitely aditive measures on projections in finite W*-algebras II Bull. London Math. Soc. 1984. - V. 16. - P. 145-150.

23. Шерстнев A. H. К общей теории меры и интеграла в алгебрах Неймана II Изв. вузов. Математика. 1982. - № 8. - С. 20-35.

24. Луговая Г. Д., Шерстнев А. Н. О проблеме линейности для неограниченных мер на проекторах II Функц. анализ (Ульяновск). 1984. - № 23. - С. 76-81.

25. Матвейчук М. С. Продолжение неограниченных мер до веса II Изв. вузов. Математика. 1987. - № 4. - С. 47-51.

26. Sherstnev A.N. On certain problems in the theory of unbounded measures on projections II Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1994. - V. 42. - P. 357366.

27. Kaufman W. E. Representing a closed operator as a quotient of continuous operators II Proc. Amer. Math. Soc. 1978. - V. 72. - № 3. - P. 531-534.

28. Kaufman W. E. Closed operators and pure contractions in Hilbert space II Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 87. - № 1. - P. 83-87.

29. Трунов H. В. Спектральная теорема / Казань: Изд-во Казан, ун-та. -1989.-76 с.

30. Рудин У. Функциональный анализ / Пер. с англ. под ред. Е. А. Горина, М.: Мир, 1975.-443 с.

31. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах / Пер. с англ. под ред. проф. Р. А. Минлоса, М.: Мир, 1970. 352 с.

32. Fillmore P. A., Williams J. P. On operator ranges II Advance in Math. 1971. -V. 7.-P. 254-281.

33. Halmos P.R. Two subspaces II Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - V. 144. -P. 381-389.

34. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. V. I. London: Academic Press, 1983. - 398 p.

35. Ota S. Closed linear operators with domain containing their range // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1984. - V. 27. - P. 229-233.

36. Mezroui Y. Projection orthogonale sur le graphe d'une relation lineaire ferme II Trans. Amer. Math. Soc. 1999. - V. 352. - № 6. - P. 2789-2800.

37. Hassi S., Sebestyen Z., De Snoo H. S.V., Szafraniec F. H. A canonical decomposition for linear operators and linear relations II Acta Math. Hungar.- 2007. V. 115. - № 4. - P. 281-307.

38. Chung K. Y. Subspaces and graphs I I Proc. Amer. Math. Soc. 1993. -V. 119.-P. 141-146.A

39. Ota S., Schmtidgen K. On some classes of unbounded operators II Integr. Equat. Oper. Theor. 1989. - V. 12. - № 2. - P. 211-226.

40. Шерстнев A. H. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 264 с.

41. Coddington Е. A. Normal extensions of formally normal operators II Pacific J. Math. 1960. - V. 10. - № 4. - P. 1203-1209.

42. Stochel J., Szafraniec F. H. A characterization of subnormal operators. II. // Acta Sci. Math. (Szeged). 1989. - V. 53. - P. 153-177.

43. Brown A. On a class of operators II Proc. Amer. Math. Soc. 1953. - V. 4.- P. 723-728.

44. Campbell S. L. Linear operators for which T*T and TT* commute I I Proc. Amer. Math. Soc. 1972. - V. 34. - P. 177-180.

45. Moeller J. W. The factorization of a linear conjugate symmetric involution in Hilbert space II Proc. Amer. Math. Soc. 1985. - V. 94. - № 2. - P. 269-272.

46. Calkin J. W. Two-sided ideals and congruences in ring of bounded operators in Hilbert space II Ann. Math. 1941. - V. 42. - № 4. - P. 839-873.

47. Шерстнев A. H. Конспект лекций no математическому анализу. -Казань: Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина, 2005. 374 с.

48. Dixmier J. L'adjoint du produit de deux operateurs fermes II Annales de la faculte des sciences de Toulouse. 1947. - V. 11. - P. 101-106.

49. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamental of the theory of operator algebras. V. II. London: Academic Press, 1986. - 676 p.

50. Kosaki H. Characteristic matrix of the tensor product of operators II Oper. Theor. 1998. - V. 40. - P. 357-372.

51. Foulis D.J., Greechie R. J., Rtittimann G. T. Filters and supports in orthoalgebras II International Journal of Theoretical Physics. 1992. - V. 31.- № 5. P. 789-807.

52. Chevalier G., Dvurecenckij A., Svozil K. Piron's and Bell's Geometrical Lemmas and Gleason's Theorem II Found. Physics. 2000. - V. 30. - № 10. -P. 1737-1755.

53. Navara M. Piron's and Bell's Geometrical Lemmas II Int. J. Theor. Phys.- 2004. V. 43. - № 7-8. - P. 1587-1594.

54. Brunet B. A priori knowledge and the Kochen-Specker theorem II Physics Letters A. 2007. - V. 365. - № 1-2. - P. 39^3.

55. Bunce L. J., Hamhalter J. Traces and subadditive measures on projections in JBW-algebras and von Neumann algebras II Proc. Amer. Math. Soc.- 1995. V. 123. - № 1. - P. 157-160.Работы автора по теме диссертации

56. Тимиршин М. Р. Представление алгебры фон Неймана, индуцированное плотно заданным замкнутым оператором И Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. 2005. - Т. 31. - С. 152-154.

57. Тимиршин М. Р. О свойствах графиков замкнутых операторов и операциях на них // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2007. - Т. 35.- С. 240-243.

58. Тимиршин М. Р. Конструкции неограниченных мер на ортопроекторах II Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2008. - Т. 37. - С. 177-178.

59. Тимиршин М. Р. О проблеме продолжения неограниченных мер на ортопроекторах II Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2009. - Т. 38.- С. 278-279.

60. Тимиршин М. Р. О некоторых свойствах графиков замкнутых операторов II Изв. вузов. Математика. 2009. - № 9. - С. 53-68.