Условные ожидания на йордановых банаховых алгебрах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

йвдения ПАНК решблш ззбекнстан

Институт катекдлт-хк икепь Б. й. Романовского'

БМШОВМК пЯГЕБРАХ "

01.01.01 - Математический анализ

ï

■ авторе«* З:Р.АТ

диссертации ira сонскапкэ ученой степени кандидата оязи •;о-мат енатиче ских

надя

рго од

lia прс&ах руюписи

зслобнне оющтз kâ п0рдан0в£х

■г г

Работа —¿полнена в Енсгитутэ математики имени В.И.Рсманоз-ского Академии наук Рэспуйтаки Узбекистан.

НАУЧНЫЙ РШВОДИЕЕЬ - члэк-коррвсдсидеат АН Узбекистана,

доктор ¿азико-мзтематическзх наук, профессор Е.А.АДГОБ

ОППОНЕНТЫ

ЗЩЛцАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

члея-корреспондзнт АН Узбекистана, доктор ¿язико-жтег.гэтических заук, профессор ая.~.х1е2ез

кандидат ^язакс—иатематичасяах наук, депонт 1л^.ЗАКИ?С5

- Самаркандская государствен:^:} университет.

Защата диссертации состоятся в ^"часав ка .засэда;;;:п сдсд;;а.:лсдрсзаянсго осветз Д 3IS.I7.2I а ¡Гнсетт/гэ ^ассаатл:^: З.Л.Рсмспобскогс

Акэдсжн ааух Рэспуйлл^и Узсекпзтэ:; йс адресу: 7СС143,

С ддссзртс:д2ел ыотио сзьаксиззься в оис-лдстеке йстдтута иатеыатгка лус-ьи £.И.Рсюязвского АН Рослус^д::;! Узсвкасгап.

Авзор^аузг разссдо:; " /9 " гэ-:4 г.

ДСКТОС

СЕДАЯ ХАРАКГЕЖГЛКА РАБОТЫ

Актуальность темь;. Условные оказания игрею? важную роль ■при ргшении многих зага« квентобсГ стятистиыеекой меха-еккк. 5 слереторнкх алгебра;., особенно, з контексте алгебр фон Неймана, многие емвж начали изучать некоторые специальные свойства уц-логкьх ожил.ак5':п. Нак амуре, Тур^.'.гру, Умегаки ввели ексксметичес-кое определение г.онятг.я услсзнсго ожнаания на кексг/мутатиЕНКх операторных алгебрах ( С'*- алгебры, Хл^"*- алгебон). То-показал, что услс.чкке ожкгекия «окне охарактеризовать

г"*»

как проективное ото&режение с едкнично? носко;" не О - алгебрах. Проек'ионкь'е отобрзжгккл с единичной норксЯ являются а настоящее время очень веаньг.' инс-труг'ентс;,' ггрк изучении структура операторных глгебр. Они являются сообщением классического условного ожидания.

Б классическом слл^чае, когда алгебра коммутативная и ассоциативная существует 'единственное условное ожидание относительно данно," подалгебры, сохраняющее фиксированное состояние но алгебре. Б общем случае, когда операторная алгебра ;;еко1;;.;у?атив-на ;:ли неассопиатиьна, такое утверждение не верно.

Поэтому возникает слсдуклсл проблема в теории операт ерних алгебр: при каких условиях существует условное о-лмдапие на пол-алгебру, сохраняошес дан.-зьчЧ фуккниочал (вес, соссэякис, след).

Умегаки реьил эту проблему кв \л/" " - ьлгеорзх, когда заданны;- дунхпконел след, к более о5::;я , с;-кепле фгнкшонгля щ подг-нгсбгу твлтзгея с лег ок. ( .4. С(ыНИопа,1 ехос&аИс.1

■;.п аг, сг-^ао". '/'. косЫ $сп. Кор. 19Т9 , ^'И

Наиболее оби;;*;5 и снон-ттглнни, т'-сулгтат в зтем направлен;;;; на

V/ *- алгебрах подучил Такесаки:

Пусть J4 - W * - алгебра, у? - точный, нормальный лулуксь'ечный sec на М и д/ . W* - подалгебра М. • Длл того, чтобы суцестзэвадо условное ожидание Е. : JVT—* /у/* , сохра.пстдзв вас ^ , необходимо и достаточно, чтобы сужение на было лолуконечка

и лсдалгзсра j\f была инеариант.чо'Л относятэльно действия гружш :лсдуляр«к< аиоиср$дааов ¡¿'f , асссцированнсй с if , т.е. df(tf) Су/.

v сань'/.гийл Tsopvw й,;сдлнозых олератсряых ыгэОр ( JW jdw - аггейры), яэлявдахся неасг^тативнььз: аналогам \д/ * алгебры, начали. аассмаТрИзагь прсолстлу существо еаллл условных to /Ivp^a.-.'.sbii алгебрчх. йг.-.-.йкз угязшше ожидания на 7bw - алгебрах раес.лст-¿¿чы ■^.Л.моааш, Дм дидозод, час, чслл J£fyV - алг-эбса Д сбд^ив-г имнччнш зледик, тс ^тлсслгельно лрзлзвольноЯ

J&VV - подолгу р.: ¿«Сйг.яа , сохраьяицбв

дгиллм слчД. Swf ;ч-г;/К5Та,г сс-с^ой длл лолулллечпкх J&W - алгсс-V »'••^^¿-ДД^уло&ь.:.,. а з&длл csy«&i ддя лра/п ссль^лл Е«-ил л ^даноелл алгебрах ллсСле:.^ о суд^отл--

"а:-:'.. /сл. *л:г;-; л-мдд.л;,; ¿сь j.-ri/ic-l.

j с^лл; : л^лгел ■ ..с ysw-л? прл}Д^!..л с г/~

-Г * С^г <'- t — . , .',1 : . V. Г" Г-ЛТ - СЛС Л 1-.Г:-:-.

;:с::1:счные у-.л:г,лл длл .удрстг-ОБалл-; , . ^¡ллл; ,: 1й::с::атл.л?сс л-гдалеллг лолатl

- исследовать В> - следовке состояния на ЗЬ'\Л/Г - алгебрах и найти их связь с условными «екддккяьш;

- изуыть стобранеккя услэвнЕх сэодоний на !_ Р - пространствах ЭБ\л/" - алгеСр со сльдои и их связь с уоловкк.:к ожиданиями.

О'дая исследования. Б работе применяется метод

ксг^льазввнкя обёртизает&Г. алгебры фон Неймана для - ал-

гебр, что позволяет перенести результаты алгебр фон Неймана на обратимые йордановы алгебры, Используются также метод неассоцка-тквпого интегр;:роваш1я, а тать об'зие методы (функционального анализа и теории йордаяоЕЬХ алгебр.

РЬ^рна.?. новизна. 3 работе наД^еиы необходимые достаточнее условия существования условно: оки-дакиГ;. сохраняющих вес, на

IV/

- алгебрах. Тачж.е найдено необходимое к достаточное условие существования условных ожиданий, сохраняющих произвольное состояние, .на спин-факторах и указан обд;;й вид условных ожиданий на этих алгебрах.

На общих 7В\л/ - алгебрах изучены £> - следовое состояния, т.е. состояния связанные с _,!Ь\/\/ - подалгеброй £>. Резена проблеш о существовании условных скид*.««?. относ.:тельк.-

одного ¡:з классов - следовг:х состоя«::.! на УЬ\Л/ - алгеб-

" о.' ,г

рах. Доказал- неравенство иеногпа для узловггтх на Ju 1Л'

- алгебра};. Лк/чено отображение уг;>рдн?.а'л' на JB\л/ - ¡-.л гч-б-рах и наедена их евчзь с условны.« ожиданиями.

Тегг.'етнчгокя^ практическая зкачнгость. Результаты и методы Д1 соертании !'окно попользовать для развития теории йорда-нсвых операторных алгебр, а таже для решения различных задач

- О -

квантовой статистической механики.

Апзобапия работу. Основные результаты диссертации до-ялздквались на всесоюзной шкоде-еелинара "леасссциативные алгебры и их приложения4 (ISSC, Ташкент, Суича). на городском семинаре до функциональному анализу в ТавГУ (1590, 1993), на се-iiu-v^i. "-лсдаторные алгебры и их прхтоженкя" в ¿^статуте математики ил:. З.Й.Ремансзскогс АН FУ (ISso-1990, ISS2-I993), на конференц;;ях мслсдвэс ученых йчотятута »¡¡атеаатака и«. 3.И.Романовского Ай ?У (1930, 1992).

Публягаг'и. Основное результаты ,диссертации опуйлнкова-ны з работах fl-4] . л работах [2] , [3] постановка задач принадлежит ву. Результату работы [2] полутень. сс заветно с И. А.Бер^пг/дозю!. 3 работе [3] часть доказательства илядика-ции (Ш) —у(Li) основной xeopsvbi яршаллезояг ^-^-Усианозу, остальные результаты получены диссертантом. фея доказательств теорем 2 ;; 3 в [I] принадлежи ХА.Берддкулсву. осконаке результаты подучены дассбртаятоа.

Структура сбъ-.v. -нТг-тч. ^сс-зртациошая работа svepo-ит из введения к пягк параграфов. оС/век работу ¿о -гграниц

текста. зкло-?ает 42 над^енов«*:;.;;":.

es. ае-денп:: т.; иа^п, рзрлг/ллр/ютзя

.•...г«: зддгтд ¿2-е -гД-сД cif .jy к .-."кзе^гсея ейзоо ее «с—

тарггргс-j he"Cxo;:i::.r,;o св^енлч тес;;:;,;

:он V/ ' - адгес'т.;, -•лгес :

( ЗВ> к JB'W - алгебр) и из теории условных ожиданий на йордановых алгебрах.

Пусть А - DBW - алгебра с «точным нормальны:/, состоянием (весом, следом) JD , В> ~ J&Vf - подалгебра Д с единицей f

О п .р. е^ ед л е.к.к е 1.1?.. Линейное отображение

г . А г,

С ■ /л —* о назовем условным ожиданием относительно В , если:

1) £fí)=f ;

2) E(0Lé) = E(a)é для всех QéA, ^ С Ь

3) а > о E(cl) > о

Если выполняется условие

4) р(Е(а§-р (а.) для всех абА ;

то отображение назовем сохраняющим состояние (вес, след)

' •

Как известно, б!тёрмером доказано, что произвольная JW - алгебра Д разлагается в прямую сумлу .4 = A¡ ® Аг ® А3 где Aj - эрмитова часть обёртывающей \\Г * - алгебр;;

(Aj) ? Á. - чисто вещественная JW - алгебра, т.е. R (А) Л L К (Áj) = ] О j , где- # fAJ - вещественная обо;.-гывзщая А, . А3 - нгшграт.и'ля JW - ¿.лгеС-ра.

Лоэтоиу рассмотр:-.:., п>>сблс.ц;. "уцестзованмя углоав« ож:"да;::1,' нм J'W - алгебуах для >:&кд.)го случая рводслько. ¿ у 2 г.з/ча-ютс.ч условные ожидания на ибратпжх JW - алгебрах.

ii случае, когда А= ^(А),.. и £> - обратимая Э \л/* - подалгебра А > существование условного сжидани.;

из А на В равносильно существованию условного ожидания из обёртывающей V/- алгебры %(.(А) на V/* -- подалгебру %((£,) . Для Лл/* - алгебр проблема существования условных ожиданий, сохраняющих вес, полностью реаена з теорамзТакесали. Поэтому решенле этой проблемы для А & содержится з теореме Такесаки.

Пусть А - чисто вещественная - алгебра и

ВС А - обратимая У\г/ - подалгебра А • ^((А) и (ёз) соответственно сбёртыЕашне \д/ - алгебры для А и & . Тогда существует канонический инвалЕтизный & -антиавтоморфизм с< на ^(А) . такой,'что

, аёеЯ(А)и А* :

Ы (х) = сс. | . в этом случае условия существования условных ожиданий из А на £> находим, используя результаты для обертывающих алгебр фен пейиана ЯНА)

Пусть [р -точный нормальный пелуконечный вес на чисто вещественной ^ - алгебре А , 1р каноническое продолжение веса ^ до ¿¿¿(А) , т.э. =

= + дяя ^ -грул-

па модулярных азтсмосфккаов на {'А) , построенная по весу V •

2.1. Сл?1у;с1дл2 условия эквивалент:-.л: Ц) супезтзует ссчке г неральноз угловкое оллллние ~ А —' В. талое, ото ) ~ <-Р {лля асетс X 4 <1\ '

{£ •.; оу^егтзувт точнее нермэльноэ уолотзнсз .ляллдлие £ л *

и.

О? </ (Е (*)) для всех эс €*?Х(А)+ С.2-))

(¿¿£) точный нормальный нес ^ ^ + является полуконечным и для любого ^

Условие (I) (соответственно (2)) однозначно определяет точное нормальное условное ожидание Е ' А —* & (соответственно Еа- Ч((А)—* ).

£сли А - произвольная обратимая - алгебра

и подалгебра Й С А - является спин-фактором, тогда по теореме Зфрроса-!цтёрмера существует положительное ндемпо-тэнтное отображение Р : *2/.(А) . сохраняющее едини-

цу, такое, что '£Ь . Зто отображение удовлетворяет

условия I) - 3) з определении условных ожиданий. Однако такое отображение не сохраняет заданное состояние, так как состояние на спин-ч^ахторах, вообще говоря, не единственным образом продолжается на обёртывашуа алгебру фон Неймана.

3 § 3 вводится на 17£>\л/ - алгебре А понятия следовых состояний относительно "Зё"\л/ - подалгебры а , т.е. состояния, сузекяе гссторкс на подалгебру £) , является следе-. Рассмотрены асззоомакные классы 0> - следовых состояний и разобрана для каадогс класса В> - следовых состояний проблема существования условных свиданий. В этом параграфе выделен один из хласоов В> - следсзкх состояний, хэторый назван Вз - слэдовыл пространстзо.-л. Устаг-пзлено ззаимно-сгно-значпоа соответствие мэглу В> - слелсзьл.га ¿ве?сдншвю и

3 - :жаакияик, т.е. несмальккми усяознкми "жиланилми ст-чооительнс - "Оаалгебри . Го:с;:е ^-¿явлена гзлез

л

..роизнсльклли - оявшная:!» -1 ;:анзни':еси:'п усяоз—

• •ч! ^ои^ием (VI { • I л-. лост-оозкннгд ло гас—

ду.-Найдены необходимые и досгатзиные условия для единственности б - ожиданий.

Пусть А - Л£Ь\л/ - алгеора с точным, нормальным конечным следом Т , & - - подалгебра А и пусто 1 € в .

0 н ?.е д е л е н у е 3.1. Состояние с^ • на А назовём В> - следовым, если выполнено одно из следующих условий:

('с/ (а(6с))*б((аё)с) для всех 11, с ^ £>} а € А ,

(") ё¿((а&)с) для всех а, с £ £, £ € А ;

("') <5(о.(£с)) = ¿((аё)с) для всех а,с£А,

('с к; с? (а^с;) ^((аб)с) для всех С £ А , С* £ & /

В настоящем параграфе изучается • - следовые состоя-

ния с условием ( I) . ¡божество таких состояний обозначим через У- назовём & - следовым пространством, ¿ведём множество

Уточнением теовемы Радонь-Никодима для состояний из

Ь

является следующий результат, в котором выясняется свойства Ра-дона-Никодкма

1 е и к а 3.3. Для. любо о с/ с существует элемент О^е. 4 ^^такой, что = для всех а£ А Ооратно, для любого ■£ £ ¿4 Гу'^ с ¡¡±¡¡/=1 ;

о^а) = ие.

ТЕ0?С»1А 3.4. _ Каждому состоянию €. соответству-

ет В) ~ ожидание : Ь - такое, что для любых CL<¿ А

к £ £ А

Отображение единственным образом определяется состоя-

нием и равенством (I).

При этом Ц <=0 (а.) 1( й 1/аЦ .

Обратно, для любого ■ - ожидания существу-

ет состояние такое, 'что <~Р =

Следующий результат является аналогом теоремы Радона-Нико-дш.'л для условных ожиданий и устанавливает езязь меаду произвольными - ожиданиями и каноническим условным ожиданием М.('/&) > построенным по следу Т*

ТЕОг^дА 3.5. Для любого 3 - ожидания ^р' , существует единственный элемент ¿^ (ё>С/ т) ^ такой, что Ф&^М. (¿„Д/6) дая всех а ё Д

Обратно, для любого £ € 1_1 С" Г « М (¿/Ъ)* $ отображение ^Р , определенное равенством Яр (а) = /Ч^^/В) является А; - ожиданием. Соответствие ' —** зза>шно-однозкачно жиду жожестзсм всех /5 - ожиданий ч гможестзсм ( £ £ ¿, : М('г/в)=# / .

v. ! ^

О " р е д е л а :-: и а 3.7. . Пусть С К. , где

- множество зезх нормальных состояний на Д • Будем г с зорить, что ¿3 достаточно для , если ^ с- Ь^

:1 для хаадого сс € Д существует а' ~ £> такей,

/ _ _

о.

^ С(2.у =■ -.с .для всех с^"

¿игчиА о.о. ензизэлентны условия:

с.-; ^ достаточно для ;

ассоциативная подалгебра JBW- алгебры Л с конечные следок. Тогда Е> - ожидание единственно.

В § 4 изучаются условные ожидания на необратимых .7W-алгебрах, т.е. на спин-факторах. Найдено необходимее и достаточное условия ДЛЯ £) ~ ОлеДОЕОСТИ состояния, по условию (¿¿) определения 3.1., на спин—факторах v. полностью релена проблема существования, условны; ожиданий на спин-факторах. Исследована Р) - следовооть состояния по условия;.: Ci-^j к (¿v) в определении. 3.1.

Пусть A-j- спин-фактор, В> ~ J&W - подалгебра А , содержащая единицу. т.е. Б ~ Ki ® М0 гДе т40 С- Ы ~ гильбертово подпространство ]-[ . Пусть J5 - состояние на /4 ' *

ТЗСРЕУл. 4.1. Всякое £> - следовое состояние на спик-фактсре А , т -.е. состояние удовлетворяющее условие

J)(а.(ёс))- р((аё)с) для всех (i)

где (2)

Обратно, для любого 4 ^ Нл Р , определенное■как Lc с J

ъ С2) является О - следовал: состояние:,: удовлетворяющее (I).

Пусть теперь Л - произвольное состояние на 'А*1КИ®Н Состояние р имеет вид J>{ <f >) - + ( f J

г J

для того, чтобы существовало сохраняющее

р условное ожидание Р : А —* В> . необходимо и дэстаточ-

7 г

ко, чтобы h М.

С л е д, с т в и е 4.3- Для того, чтобы на спин-факторе А~ ШИ ® Н существовало условное ожидание на подалгебру & ®Н0 » сохраняющее состояние р> , необходимо и достаточно, что ^ было $ - следовш состоянием, где

5'=

Золи состояние у на спин-факторе А удовлетворяет условию или (с У) определение 3.1., тогда эти условия равносильны следозости Р на А , для которых проблема о существовании условных ожиданий решена.

3§5 доказано неравенство ¿аенсена для условных ожиданий на JQrW - алгебрах.

ТВОРЕНА 5.1. (Неравенство йенсена). Пусть А - .76 \л/" -алгебра, & - 38\л/ - подалгебра А • Если ¿1 - условное одида-чие относителсно Р) и / - некоторая выпуклая фикция, то • __

глля всех до ,

О помощь» этой теоремы показана- I— р ~ елсп.маемостъ

/

условных о;х;;дан:й для р (теорема 3.2.1.

Расс:.!';тренн отображение типа условных ояидани-Л, которые названы усреднение;.!, и найдена их сзязь о условными ожиданиям на Лссдано зьзс "1ЛГВ'', оах.

Пусть А _ .1Ь\\Г - алгебра с точном нормальным :-:с-чечньп следом Т~, & ~ ¿ВГ\Л/Г - пслалгобса А

5 е л к .5.3. ЛянгЯноз отображение ¿¡р

Г/называется усреднением, если оно удовлетворяет ; л ¿аудита уело вида:

(с) Н СрГх)Ир 4 (Ат)) ;

(¿С) ЯР(уЧ>(*))= ЯРфФЮ (^А^^/А^У).

Заметим, что отображение ЯР не всегда является едем-котентным кп сохраняет единицу, позтому такие отображений существенно различаются от условных ожиданий

С л е г г т э и к 5.8. Пусть <?%Ктогда Ь является ЗЬЪР подалгеброй и ^ кьляетс.я у слоеным оседанием из ¿р(Ат) ¿. .

ТЕОГгЖ 5.10. Пусть 9° ¡> (А,Т) —^ [_р (,АТ) -- усреднение. Тогда = Р (их) • для .некоторой

3&\л] подалгебры алгебры Д , где Е

условное ожидание относительно ¿В к И = ^^ (Я) ( ^ - ¿1 сопряженное к ' 'ЯР ).

Автор выражает глубокую ио^ренчак признательность свозму научному руководителю Лавкату Абдуллаевичу Агапову за постановку задачи, постоянное внимание и большую помощь при работе над диссертацией. Диссертант также вкраивает искреннюю благодарность старшему научному сотруднику Института математики АН РУ лусул-моккуд Абдулдаевпчу Бердикулсву за поко;дь при додготовке работ диссертации к зь полезные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы ь работах:

1. Бердшг.улрг, ¡¿.А. у Азпзов 5.Р. Условные ожидания на УВ\//-алгебрах. Изв. АН УзССР, Сер. физ.-мат.наук, 1987, !' 2. с. 1Х-16. '

2. ¿.опав '■'../•.. • ? Азизо^ Е.В. Условные доедания ни спил-^ид-срок. Узб.кат.зпурн. 1531, Р 3,

3. Аюпоз -2. А., Усманоз , Аоизоз Э.Ю. О суцестзованин условных ожиданий на йордановых операторных алгебрах. Узб.:дат. журн. 1591, б, с. 11-14.

•^зллод Э.НЗ. /среднение на алгебрах и их связь с

условными ожиданиями. Ред. я. "Узб.матем. куриала". Деп. Б^ШТЛ, 159^, 12 с. У^зо^-йдз

ЙОРДАН БАКАХ АЛЕБРАЛШ'ЩА ШАРТЛР1 КУШШШ

Оператсрлар алгебраяарнда , аинщса фон Нейман аягебраларидз аартли кутилмаларнЕ урганкш Ыакамура, "Турукзру, Умегаки ма^ола-ларида бсшданган. By ииларда нокоммутатвв операторлар алгебрала-рида (С*"- алгебраларида, W*- алгебраларкдг ) шгртлзг ку-тилмалар аксиоматик гаъркфлаЕиб , укинт классик шартлн кутилма-лар учу к Зф^кле булга н бзъзн хусусиятларгз зга экэелептеи курсе-ТЕлган.

Бу йувзлихдаги асосий касгла операторлар алтебраси учун яан-nai: шартлзрда бврклгаЕ кксг,: алгебргга ниебатгн, маълум фунгдио-калиг (* салконнг, голгтнг, esez ) саьртовчи шзртли кутялма игВлтуд-лпге дакпдагЕ масгдадар. Умегакг оу-масаланк Л// алгебраларя учун та^Енлакгак функционал es булгандэ ёкв б? фушдиснал берзл-ган цгси алгебрадг из б^либ ксладгган шзртлзрда ^ал 1рзгди. Энг укумв:: лолда , иарглн кутал,;алариЕНг мавгудлиги ^а^вдаги' масала W*"- елгебраларв учуп ТакссахЕ тохонидан гула еталгая.

\а/ * - елгебрзларинЕЕГ нозссояиатив ужсаткзлзри султан иордан оператор алтебрзларг ва -jIBW- алгебралзрв ) да

■лартли гутилмаларкгнг кавгузлпге ^а^гдагЕ масала дастлаб ffi.A. Аюпоз томонЕдан ургаяЕЛгак: агар .7£>W - алгебрада чекли из оерплггн булса , у холла пхтиёг':й >;кс:.; JfiiW- алтебраларз учун дар soek оерглгап пзнг с5.>лобче пзртлв кугвжз ;.:свкуд.

Диссертация да гесксргланувчЕ ss теекарглатгавчс 'jW - алге-ораларкда берилган салглскЕЕ ( ^олатнг ) саьртозчи шартли кутилма-летэ мавжудлегине.ег зарури*: бэ етарли партлари топ:;лган. Ихотерий

- алгебралари учун берклган ipse г.; элгебраепда из б^лкб ладиган зрлзт фулкционзллзрЕ ёрдаыэда шартлв кутвлма мзбзддлип; ва ягокалют ксботланган. JBW - алгебраларинлнг L р - фазо-ларпда езртлк кттижалар гвпвдагв акслаетирвзлар ургашлгап ва улар бвлан сартге еутигдздср оргевдегк озглеепс тошлгзе.

CCHBITIOlIAIi EXPECTATIONS OH J CRDA;i \ BAN/.CH ALGEKU3

M.jiakamurs, T.Turtirsru and H.Ur.egaJcl intr odu jM an axio-Lo definition of the concept of conditional expectation In Ileuiaann ("or C*~) algebras and eatabliaheil zany proper-3 of"these objects especially in .the context of Von lieu-i algebran, similar to classical conditional expectation. The following problem arises in the operator algebraa jryi ?or whet oubalgebraa there exists a conditional eipac-.on preserving the given functional (weight, state, trace), feegaki solved thia problem ill V/% algebras, when given

.tional is a trace, and'more generally, when restriction

. i

ho functional on aubalgefcra is a, trace. ;

Ths aoat general and cooslete result is thia direction \a/*- algebras was obtained by Takeaaii. j

In the theory of Jordan operator algebras { 3W- and r- algebras), which are non-associative analogues of

glgebrss the problem of an existence ci aunditior.r<I station waa solved first bj Ayupov for 'finite traca. Ca thts dissertation the problea of exlataiice of conditic-jxpectation in reversible jV/ - algebras and non-revar-

factors (spin factors) preserviac »edght ar.ci is is solved. ?oar arbitrary J5U/~ algstT&a eaiater.es uiiqueness conditions of conditional e:<.pe:vjtion prea=r-trscelet states, connected *ith given sun-algebra are d.

In non-associativa I_^ - apacsa ccndi - i expec sa •.lor.a craps ara investigated ar.d theia ccnaac*_-r. -,rt th c.;nditi-3xpeoia:i.cr.a in *;ur,d.

/