Прямые пределы полупростых алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

р 1^е^санико-математический факультет

; г, {у; На правах рукописи

'' УДК 512.554

ЖДАНОВИЧ ДМИТРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

ПРЯМЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры

механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бахтурнн 10. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор О нищи к А. J1.

— кандидат физико-математических наук, Золотых A.A.

Ведущая организация:

— Ульяновский Государственный Университет

Защита диссертации состоится Cj^Cj'twCi' 199^-г. в 16 час.

05 мин. на заседании диссертационного "совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ГГлавное здание, 14 этаж). Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ д.ф.-м.н., профессор

В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы Актуальность темы.

В настоящее время теория конечномерных полупростых алгебр Ли является развитым разделом алгебры. Методы этой теории довольно успешно применяются к некоторым классам бесконечномерных алгебр Ли таких, как алгебры Каца-Муди, алгебры токов, алгебра Вирасоро. К таким классам относится и класс локально полупростых алгебр Ли, то есть алгебр Ли, которые могут быть получены в результате взятия прямого предела тех или иных индуктивных систем полупростых алгебр Ли. Однако до недавнего времени такие алгебр Ли оставались в тени, за исключением, быть может, единственной алгебры Ли sloo(C)[lj.1

Всё более и более возрастающий интерес к локально полупростым алгебрам Ли возник после работы [2]2, в которой было показано, что запас локально простых алгебр Ли довольно большой, с точностью до изоморфизма их не меньше, чем континуум. В работе [З]3 было показано, что эти алгебры Ли не менее интересны, чем 5100(C), с точки зрения теории представлений. В работе [4]'1 среди всех локально полупростых алгебр Ли был выделен важный класс алгебр Ли, названных диагональными, и приведены достаточно убедительные доводы в пользу его содержательности.

В настоящей диссертации в качестве конкретных примеров тех или иных возникающих конструкции используются именно диагональные алгебры Ли. В некотором смысле, верно и обратное, а именно то, что построение содержательной теории для недиагональных алгебр Jin потребует гораздо больших усилий. Имеющиеся примеры не диагональных алгебр Ли носят характер скорее контрпримеров. В любом случае,

'[1] V.G. Кас and A.K. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, Adv. Series in Math. Phys. 2 World Scientific Publishing Co., Singapore (1987).

2[2] Бахтурин Ю. А., Штраде Г. Локально конечномерные простые алгебры Ли , Мат. Сборник 81(1995), No.l

З[3] Yuri Bahturin and Georgia Benkart, Highest weight modules for locally finite Lie algebras, Proc. Conf. 60-tli birthday R.Block, to be published.

4[4] A.A. Baranov, Diagonal locally finite Lie algebras., Preprint/ Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics.-No 3(515).- Minsk, 1996. -42p..

можно смело сказать, что теория локально полупростых алгебр Ли находится на пороге своего бурного развития.

Цель работы.

1. Описать конкретные множества прямых пределов простых конечномерных алгебр Ли типа А.

2. Описать группы автоморфизмов локально простых алгебр Ли.

3. Описать алгебры дифференцирований локально полупростых алгебр Ли.

4. Описать центральные расширения локально полупростых алгебр

Ли.

Методы исследования. Используются комбинаторные методы, методы теории топологических линейных пространств, теории конечномерных простых алгебр Ли.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области алгебр Ли и их представлений.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на десять параграфов, и списка литературы из 16 названий. Общий объём диссертации 87 страниц.

Содержание диссертации. Во введении кратко формулируются ' основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрены диагональные алгебры Ли типа А. В параграфе 1.1 определен основной объект изучения. Не более чем счет-номерная алгебра Ли § называется локально полупростой, если она изоморфна прямому пределу индуктивной системы следующего вида

где — это конечномерные полупростые алгебры Ли, а — это гомоморфные вложения.

Локально полунростая алгебра Ли § называется алгеброй Ли типа Л. если она изоморфна прямому пределу индуктивной системы следующего вида

я1Я1(С) 51„а(С) А- в1Пз(С) —*----► в1П1(С) ^ (С) —> ■ ■ •.

Локально полупростал алгебра Ли § называется диагональной, если для любой конечномерной полупрост.ой подалгебры Ли § алгебры Ли алгебра Ли § как представление алгебры Ли § относительно присоединенного действия есть прямая сумма лишь конечного числа неизоморф-пых неприводимых представлений, взятых с некоторой кратностью.

Если диагональная алгебра Ли g является алгеброй Ли типа Л, то она изоморфна прямому пределу индуктивной системы

в1П1(С) ^ 81П2(С) А- з1Пз(С) —*----V зЦ(С) в1Я!+1 (С) —+ • • •,

где вложения у?,- : 51П;(С) —> з1„1+1(С) таковы, что тавтологическое представление алгебры Ли з1„.+1(С), рассматриваемое как представление алгебры Ли з1п,(С), есть прямая сумма тавтологических, антитавтологических и тривиальных представлений алгебры Ли з1п;(С), взятых с некоторыми кратностями. Такие вложения названы диагональными. Получен следующий результат.

Теорема 1.1.1 Пусть коммутативная диаграмма зЦ(С) -£-► зЦС)

в1га (С)

такая, что вложение <р является диагональным. Тогда вложение ф также является диагональным.

В параграфе 1.2 определена полугруппа Ю. Элементами полугруппы О являются тройки (а, 6, с) неотрицательных целых чисел, где хотя бы

одно из чисел а или Ь не равно нулю. Закон умножения в полугруппе Ю задается по формуле

(а, Ь, с) * (х, у, г) = (ах + Ьу,ау + Ьх, (х + у)с + г)

Определена также полугруппа £> которая является фактором полугруппы Б по отношению эквивалентности, отождествляющее тройки (а,Ь, с) и (Ь, а, с). Определено действие полугруппы Б на множестве N>3 натуральных чисел больших либо равных трем:

(а, Ь, с) * л = (а + Ь)п + с

Происхождение полугруппы Ю таково. Если уз : з1*(С) —> з1„(С) — это диагональное вложение и к > 3, то с точностью до автоморфизма алгебры Ли з1п(С) это вложение задается элементом (а,Ь, с) полугруппы й, где а, 6, с — это кратности тавтологического, антитавтологического и тривиального представления алгебры Ли Б^С) в тавтологическом представлении алгебры Ли з1„(С). Композиция двух диагональных вложений также диагональна и, если вложению ф : Э^С) —V э1т(С) соответствуют тройка (а,Ь, с), а вложению х '■ 51т(С) —> з1п(С) соответствуют тройка (а:, у, г), то вложению х 0 Ф ^(С) ~* ^(С) соответствуют тройка

(а, 6, с) * (х,у,г)

Действие полугруппы О на множестве N>3 происходит из следующего соображения: если у : Б^С) —V з1„(С) — это диагональное вложение, которому соответствует тройка (а,Ь,с), то тогда п = (а, 6, с) * к. Доказано, что если заданы две индуктивные системы

з1П1(С) А- з1П2(С) ^ з1пз(С) —►----► з1п,(С) з1п,+1(С) —>•••,

з1п,(С) ^ з1П2(С) й1пз(С) —*----► бЦДС) з1„1+| (С) —* • • ■

« I

такие, что троики, соответствующие вложениям и совпадают при любом г > 1, то соответствующие прямые пределы изоморфны. Доказана

Теорема 1.2.1 Пусть число П) 6 N>3 и последовательность задают алгебру Ли а число пх € N>3 и последовательность

задают алгебру Ли g . Тогда алгебры Ли g и g изоморфны тогда и только тогда, когда существуют две последовательности {í'iJiSi элементов из полугруппы D и две возрастающие последовательности натуральных чисел {feí}^, так, что:

1) Если обозначить через п,- число с/,-_i * ■ ■ ■ * d? * di * пь а через ni число di_l * • ■ ■ * d2 * dv * п{, то р; * щ = пк. и p¡ * тг; = nmi для любого i > 1.

2)Длл любого i > 1, Pi * dk¡ * ■ ■ ■ * dk г = d¡ * p¡+1 и p¡ * dm¡ * ■ ■ ■ *

¿m(l+1)-i = d'¡ * p^!

3) Для любого i > 1, p¡ *dk. * ■ ■ ■ *d¡_ t *p¡ — d¡ * ■ ■ ■ * dm¡ _ i для любого j > ki, и p; * dm< * • • • * dj-i * pj — d\ * ■ ■ ■ * dk¡_j для любого j > m¿.

Смысл этой теоремы состоит в том, что задача описания множества неизоморфных диагональных алгебр Ли типа А приобретает чисто комбинаторный характер.

В полугруппе D выделена подполугруппа G таких троек (а, 6, с), что с = 0. В полугруппе G выделена подполугруппа GTO таких троек (а, Ь, с), что а ф Ь и с = 0. Выделены также подполугруппы Р и Gi¡ подполугруппа Р состоит из таких троек, что аЬ = 0 и с = 0, а подполугруппа

состоит из таких троек, что |а — b| = 1 и с = 0.

Для каждой из этих подполугрупп определено соответствующее множество диагональных алгебр Ли типа А. А именно, алгебра Ли g соответствует той или иной указанной полугруппе, если она изоморфна прямому пределу индуктивной системы

sl„,(C) sl„2(C) A sl„,(С) —>----> slnj(C) sl„1+1 (С) —> ■ ■■,

где вложениям </>,■ соответствуют элементы той или иной указанной полугруппы.

В параграфе 1.3 рассматриваются алгебры Ли соответствующие полугруппам Р и G\.

Теорема 1.3.3 Множество неизоморфных алгебр Ли, соответствующих полугруппе Р, находится в естественном взаимпо-одпозначпом соответствии с множеством разбиений множества натуральных простых чисел на непересекающиеся подмножества

Для алгебр Ли соответствующих полугруппе G\ получен аналогичный результат.

В параграфе 1.4 рассмотрены алгебры Ли, соответствующие подполугруппе G„о. Обозначим через Goo множество последовательностей {<7;|<7; € таких, что для любого i > 1, <7, делит г. Обозначим

через G фактор-множество множества Goo по отношению эквивалентности, отождествляющему последовательности {д,}^ и {<7,}^) такие, что для любого i > 1 существует тг, такое, что д, делит дп> и gt делит Полугруппа Geo действует на множестве G следующим образом:

9*l{9i№y} = [{9*9i}Zl], где [{fli}^!] — это класс эквивалентности задаваемый последовательностью 6Goo- Следовательно, определено сплетенное произведение

N>3 х G —

Теорема 1.4.3 Множество диагональных алгебр Ли, соответствующих полугруппе Gж, находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством N>3 х„ G.

Во второй главе изучаются группы автоморфизмов локально простых алгебр Ли. В параграфе 2.1 определена конструкция, которая произвольной категории £ ставит в соответствие категорию <£. Категория С обладает тем свойством, что она содержит категорию <£ в качестве полной подкатегории, и любая индуктивная система вида

Х\ —Xi —^ Хз Xi —^ +1 —>•••,

где Х{ 6 Ob <£ и Xi 6 Homz(Xi, ), имеет предел, лежащий в категории <£, причем любой объект из категории С изоморфен прямому пределу индуктивной системы вышеуказанного вида.

Объектами категории <£ являются индуктивные системы

Х\ —Х-2 —^ Xj —^ • • • —Xi —Ц Xi+1 —>•■•, где Xi € Ob<Z. Морфизмами в категории £ между объектами

Х\ —^ Х2 —^ Хз —¥ • • ■ —> Xi —^ X1+i —> • • •

у, У2 А Гз . • • Ъ А- ■ ■ •

является множество последовательностей {/;|/; £ Нотпс(Х{, К„,)}™, таких, что

О • • • О О /; = /¡ + 1 О

профакторизованное по отношению эквивалентности, которое отождествляет последовательности

{/,1/, е Яотг(Х„к,)}^, и {/№ е нот,(х„гп,)}?=1

такие, что для любого г > 1 существует га,- такое, что

ут,~ 1 ° • ■ • Ут ° Л = г/т,-1 о • • • г/„; 0 Л-

Соответствие": £ —> (С является функтором из категории категорий в категорию категорий.

В параграфе 2.2 показано следующее: если £1 - это категория конечномерных простых алгебр Ли, то категория £ эквивалентна категории локально простых алгебр Ли.

Если локально простая алгебра Ли является прямым пределом следующей индуктивной системы

& g2 ^ ёз ^ &+1

где 6 0Ь(£ 1, то определена индуктивная система

—С?2 —Сз —>■•■—> С?,- С1+1 —>••■,

где Gi - это связная односвязная группа такая, что ¿ге(С,) = и = Iр{. Следовательно, определен прямой предел

С = Пш С,-.

На группе С определена топология, задаваемая централизаторами подгрупп, являющихся образами групп С,- в группе Следовательно,

можно определить пополнение С группы С относительно этой топологии.

Определено естественное отображение

Ас1:д АиЩ

такое, что образ /Ы((7) является нормальной подгруппой в группе Следовательно, естественно определить фактор-группу

АиЩ/Аё(д),

которая названа группой внешних автоморфизмов алгебры Ли

Для ее вычисления определяется категория £2, являющаяся фактором категории С] по отношению эквивалентности, отождествляющему морфнзмы, сопряженные при помощи внутренних автоморфизмов, определен также и функтор Р : <£1 —>

Теорема 2.2.1 Группа внешних автоморфизмов алгебры Ли g £ 06(£1 изоморфна группе где - это группа обра-

тимых элементов о полугруппе Нот~^ (Р^), Р^)).

В параграфе 2.3 доказаны две теоремы.

Теорема 2.3.1 Пусть локально простая алгебра Ли g является прямым пределом следующей индуктивной системы

б1П1 (С) А. з1П2(С) А з1п,(С) —>----> з1п,(С) А- ^.(С) —»•••,

где все отображения являются диагональными вложениями , и при этом каждое представление является прямой суммой тавтологических и антитавтологических представлений алгебры Ли з1,(С) с кратностями, отличающимися друг от друга ровно на единицу. Тогда группа внешних автоморфизмов алгебры Ли g есть Ъ2.

Теорема 2.3.2 Пусть локально простая алгебра Ли g является прямым пределом следующей индуктивной системы

ЭЦДС) А бЦ(С) А 81„,(С) —>----У 81„..(С) А 81„.+1(С)

где все отображения являются диагональными вложениями, и при этом каждое представление является прямой суммой тавтологических и антитавтологических представлений алгебры Ли з1,(С) с равными кратностями. Тогда группа внешних автоморфизмов алгебры Ли 2 есть единичная группа.

Также приведен пример, показывающий, что группа внешних автоморфизмов не обязана быть конечной.

Утверждение 2.3.1 Пусть локально простая алгебра Ли § является прямым пределом следующей индуктивной системы

51,„(С) -^ис) Аз1Пз(С) —>----^1„.(С) ^з1„,+1(С) —>■••,

где все отображения уз,- являются диагональными вложениями, и при этом представление Кч-1 является прямой суммой трех тавтологических и шести антитавтологических представлений алгебры Ли э1,(С) для любого г > 1. Тогда группа внешних автоморфизмов алгебры Ли ^ содержит элемент бесконечного порядка.

В третьей главе изучается алгебра дифференцирований и центральные расширения локально простых алгебр Ли.

В параграфе 3.1 на локально простой алгебре Ли § определена линейная топология, которая задается централизаторами конечномерных подалгебр Ли. Доказано, что алгебра Ли 2 является топологической алгеброй Ли относительно этой топологии. Следовательно, определено пополнение § алгебры Ли § по этой топологии.

Теорема 3.1.3 Пусть алгебра Ли £ является прямым пределом следующей индуктивной системы

61 62 ёз ''" 61 ' &1+1 ~^ ''' >

где каждая алгебра Ли - конечномерная полупростая. Тогда алгебра дифференцирований изоморфна пополнению

В параграфе 2.2 доказано следующее: если рассматривать непрерывные относительно выше определенной топологии когомологии Я,,епр(Е)

алгебры Ли g со значениями в тривиальном модуле, то справедлив следующий результат.

Теорема 3.2.1

■^непр(ё) — ёснепр/ёнепр

Здесь g* — это пространство таких линейных функционалов на алгебре Ли g, которые аннулируют какой-нибудь централизатор конечномерной подалгебры Ли, a gcHenp — это такие линейные функционалы на алгебре Ли g, которые аннулируют коммутант какого-нибудь централизатора конечномерной подалгебры Ли.

В параграфе 3.3 рассмотрены алгебры Ли, которые являются прямыми пределами индуктивных систем следующего вида:

sIni(C) -%sl„,(C) ^slnj(C) —>----► sln,(C) sln,+1(C)

где вложения сpi диагональны и им соответствуют тройки (а,-, 6,-, с,).

Теорема 3.3.1 Если g - это алгебра Ли, являющаяся прямым пределом следующей индуктивной системы

sl„, (С) slnj(C) A sln,(C) —>----► slni(C) A sln,+1 (С) —>• • • •,

где каждое вложение </з,- является диагональным, то dim//|2,e[Ip(g) < 2 Показано, что в случаях

1) для любого i > 1, ai ф О, Ь,- = с, = 0 , то dim//nenp(g) = О

2) для любого г > 1, a,-, 6,- ф 0, а,- ф b¡, c¡ = 0 , то dimH,2ie[1p(g) = 1

3) для любого i > 1, a¿, &,-, с,- ф 0, а,- ф b¡ , то dim #непр(ё) = 2

В заключении мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора Бахтурина Ю.А. за огромное внимание, помощь и поддержку при работе над диссертацией, а также кандидата физ.-мат. наук Янсона И.А. за плодотворные обсуждения материалов диссертации.