Тождества изотопов алгебр типа (-1,1) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

2 5 КОЯ

На правах рукописи

ДЕДЛОВСКАЯ Марина Евгеньевна

ТОЖДЕСТВА ИЗОТОПОВ АЛГЕБР ТИПА (-1,1)

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре алгебры Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ С.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗАЙЦЕВ М.В.,

кандидат физико-математических наук, доцент ШАШКОВ О.В.

Ведущая организация - Институт математики СО РАН.

заседании специализированного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Лепила по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Защита состоится «./.•?...»

1997 г. в

/6

часов на

Автореферат разослан

Учены анного Совета

КАРАСЕВ Г.А-

Актуальность темы. Идея получения новых объектов из имеющихся с помощью производных операций давно существует в алгебре. В наиболее общем виде она была реализована А.И. Мальцевым [3]. Он использовал новую операцию для изучения связи между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами.

Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умножение "о" посредством формулы

х ° У = £ о,хЪ,ус, + £ fjУg]xh]■, ' ]

гдсх.уеЛ, аь £>,-, Ср (г, у- 1,...,/•) - фиксированные элементы ал-

гебры А, то совокупность элементов А относительно старой операции сложения и новой операции умножения " ° " является алгеброй над тем же полем, как правило неассоциативной.

Пусть В - неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и А - ассоциативная алгебра матриц порядка п-сИтВ над полем Ф. определим на элементах алгебры А новое умножение формулой

ХоУ^А^ХВ^УС^ ,

где Аа^ С- фиксированные матрицы; обозначим полученную алгебру А(°К

А. И. Мальцев доказал, что всякая неассоциативная конечномерная алгебра В над полем Ф изоморфна подалгебре алгебры причем для каждой алгебры В подбирается определенным образом система элементов Аа'\ Ва'3, Сар.

Был рассмотрен и частный случай операции "о", и доказано, что каждое неассоциативное кольцо С изоморфно подкольцу неассоциативного кольца, которое получено из ассоциативного кольца заменой старого умножения на новое, определяемое формулой

х о у = аху или х о у = хуа.

Операция же хау в ассоциативном кольце сама является ассоциативной и для образования нессоциативных колец не применима.

Что касается алгебр, то существуют алгебры конечного ранга, которые с помощью операции х°у - cay у-хуа) нельзя вложить в конечномерную ассоциативную алгебру. Например алгебра с базисом ej,e2 и таблицей умножений

ef — el,ele2 = 0,е2е1 = е2.

Производные операции на линейном пространстве неассоциативных алгебр изучал А.Алберт [7]. Он же ввел понятие изотопа неассоциативной алгебры.

Пусть неассоциативные алгебры А и А о имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и Tj0)

(соответственно для А и А?< ). Алгебры Ас и А называются изотопными, если существуют линейные отображения P.Q.C, такие, что

T™=PTxQC.

Алгебра А о называется изотопом алгебры А.

Новые объекты, оказываются интересными ддя изучения и в частном случае, когда отображения Р, Q и С являются операторами умножения на фиксированные элементы данной алгебры.

В дальнейшем рассматривались не только изотопы неассоциативных алгебр, но и гомотопы ( фиксированные элементы необратимы ).

Возможность указанным способом достаточно просто строить новые алгебры стала одной из причин использования гомотопов и изотопов для решения различных задач.

Так К. Маккриммон применил гомотоп некоммутативной йордановой алгебры к описанию квазирегулярного радикала данной алгебры [11]. Определяя гомотоп йордановой алгебры / над кольцом Я, как Л-модуль с умножением

х-ау=(ха)у-(х,у,а),

где аеА, он доказал, что для любой йордановой алгебры ] квазирегулярный радикал 3(1) - есть множество

Р01(3)={г\ (УЛ)=/г7)}. Здесь № - гомотоп, образованный элементом

И.П. Шестаков использовал понятие изотопа правоальтерна-тивной алгебры для решения задачи о неотщеплении радикала в конечномерной правоальтернативной алгебре.

С помощью изотопа альтернативной алгебры С. В. Пчелинце-вым были построены примеры некоммутативных исключительных ниль-алгебр индекса три [6]. Ими являются идеал алгебры . где с-1+а, а- ненулевой а.дл. второго порядка, и идеал алгебры где с-На, а выбран так, что ((х,а,у),а,:Б* - это алгебра, полученная из коммутативной исключительной ниль-алгеоры индекса три ^ , в которой умножение определяется формулой

Таким образом, гомотопы и изотопы алгебр

имеют важное прикладное значение и поэтому интересны, как самостоятельные объекты исследования.

Заметим, что широкое применение получили также мутации, понятия близкие к гомотопам и изотопам, которые получаются из алгебры, изменением в ней умножения с помощью фиксированных элементов поля (кольца), над которым рассматривается алгебра [4,13].

Понятие изотопии играет также большую роль в теории луп и квазигрупп, являясь обобщением понятия изоморфизма.

Остановимся на свойствах гомотопов и изотопов некоторых классов неассоциативных колец.

Гомотопы (изотопы) йордановых алгебр исследовал К. Мак-криммон [11]. Он доказал, что если J - есть некоммутативная йордано-ва алгебра и иеЗ, то

(/("))+=(/+)(")

Кроме этого было показано, что изотоп ЩО,,)^ йордановой алгебры #(!>„) - алгебры матриц порядка п с элементами из алгебры Д определенный с помощью диагональной матрицы Ае Я(Д), изоморфен алгебре - йордановой алгебре матриц, симметричных относительно отображения БА;Х^>Л~' X 'А.

В случае гомотопов и изотопов альтернативных алгебр наблюдается довольно неожиданная картина. С одной стороны, гомотоп альтернативной алгебры вновь является альтернативной алгеброй [10]. Более того М. Бабиков доказал [9], что если многочлен /- есть тождество альтернативной алгебры А, то многочлен/ является тождеством изотопа А& (у - произвольный обратимый элемент из А) данной алгебры. С другой стороны, построен пример альтернативной алгебры, имеющей изотоп, который не изоморфен самой алгебре [8].

Цель работы. Настоящее исследование посвящено изучению тождеств гомотопов и изотопов алгебр типа (-1,!).

Методы исследования. В диссертации используются методы теории неассоциативных колец.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Доказано, что многообразие, порожденное свободной (-1,1)-алгеброй с двумя образующими является замкнутым относительно взятия гомотопа.

2. Изотоп свободной алгебры типа (-1,1) ранга три лежит в многообразии, порожденном этой алгеброй, как и любой изотоп относительно свободной алгебры данного многообразия.

Практическая ценность. Работа имеет практическую ценность. Результаты исследования могут быть использованы при изучении Го-мотопов и изотопов некоторых классов правоальтернативных алгебр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на II и IV Международных конференциях женщин-математиков, на семинаре по теории колец кафедры алгебры МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих семь параграфов, и списка литературы, включающего 31 наименование. Полный объем работы занимает 58 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор литературы по теме исследования, обоснование актуальности решаемых задач, а также краткое содержание диссертации.

В первой главе вводится определение гомотопа алгебры А над полем Ф, как линейного пространства с умножением

х-ау=(ха)у,

где а - фиксированный элемент алгебры А. Гомотоп алгебры А называется изотопом, если элемент а - обратим.

Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер и содержит известные результаты об алгебрах типа (-1,1).

Во втором параграфе рассматриваются гомотопы алгебр из многообразия ЗЗЬ , порожденного свободной (-1,1)-алгеброй с двумя образующими. Доказана

Теорема 2.1. Многообразие, порожденное свободной (-1,1)-алгеброй с двумя образующими, замкнуто относительно взятия гомо-топа, то есть вместе с каждой своей алгеброй оно содержит и всякий ее гомотоп.

Третий параграф содержит пример строгой алгебры многообразия 3)Ь , в гомотопе которой не выполняется тождество строгости.

Во второй главе речь идет о гомотопах и изотопах алгебр типа (-1Л) с тремя образующими.

В параграфе 4 доказано, что изотоп свободной (-1.1)-алгебры с тремя образующими является алгеброй типа (-1,1) и, более того, доказана

Теорема 4.2. Изотоп свободной (-1,1)-алгебры с тремя образующими лежит в многообразии ШЬ, порожденном свободной (-1,1)-алгеброй с тремя образующими.

Пятый параграф содержит доказательство теоремы 5.1.

Теорема 5.1. Всякий изотоп отностиельио свободной алгебры многообразия ШЬ лежит в данном многообразии.

В шестом параграфе построен пример алгебры от трех порождающих, изотоп которой не является алгеброй типа (-1,1).

Параграф 7 содержит пример (-1,1)-алгебры конечного ранга , для которой существует изотоп, не сохраняющий определяющего тождества алгебр типа (-1,1).

Рассмотрим Аа - алгебру типа (-1,1) с множеством свободных порождающих X = {у,х1 ,х2,...,х„}.

Определяющими соотношениями алгебры будем считать следующие равенства:

(/) и ■ ч> = 0, если и, уу - слова, содержащие в записи элемент у;

(//) и- / = г ■ и - 0. если и - слово, содержащее в записи элемент V, а / - слово в алфавите и длина слова / >2;

(/70 слова в алфавите ^{т} кососимметричны по всем переменным.

Присоединим к А0 внешним образом единицу, обозначив полученную алгебру через А, и построим изотоп алгебры А с помощью элемента а = 1 + р, где р - элемент из ассоциаторного идеала алгебры А.

Доказано, что в алгебре А]+р не выполняется равенство

5(1+»(х,у,г) = 0.

Это означает, что А1+;, не является (-1,1)-алгеброй.

Кроме этого в параграфе 7 показано, что гомотоп свободной строго (-1,1)-алгебры может не быть алгеброй типа (-1,1) (Пример 2.7).

Автор приносит глубокую благодарность профессору C.B. Пче-линцеву за постановку задач, внимание и поддержку, оказанные в ходе

работы.

ЛИТЕРАТУРА

КЖевяаков К.А., Слинько A.M. и др. Кольца близкие к ассоциативным - М.: Наука, 1978.

2. Мальцев А.И. Алгебраические системы - М.: Наука, 1970.

3. Мальцев А.И. Об одном представлении неассоциативных колец // Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, № 1. С. 181-185.

4. Никитин А.А. Почти альтернативные алгебры // Дисс. на соискание степени к. ф.-м. н. Новосибирск, 1977.

5. Пчелинцев С. В. Тождества свободной (-1,1)-адгебры ранга 3 // Труды института математики. 1989. Т. 16, С. 110-131.

6. Пчелинцев С.В. Первичные альтернативные алгебры // Прикладная и фундаментальная математика. В печати.

7. Albert A.A. Non-associative algebras // Ann. Math. 1942. V. 43. P. 161177.

8. Babikov M. Isotopes of alternative algebras // ° 1991 Mathematics Subjecy Classification. Primary 16D05.

9. Babikov M. Isotopy and identities in alternative algebras // °1991 Mathematics Subjecy Classification. Primary 17D05.

10.McCrimmon K. Homotop of Alternative Algebra // Math. Ann. 1971. V. 19!, №4. P. 253-262.

1 l.McCrimmon K. Homotop of Noncommutativ Jordan Algebra // Math. Ann. 1971. V. 191, №4. P. 263-270.

12.Thedy A. On right alternativ rings II Aarhus. Univ. Mathem. Inst. Preprint. 1971. №49. P. 1-43.

13.Thedy A. Mutation und polarisierte Fundamentalformel II Math. Ann. 1968. V. 177, №3. P. 235-246.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Дедловская М.Е. Об изотопах (-1,1)-алгебр// II Международный Конгресс " Женщины-математики": Тезисы докладов - Москва. 1994. С.35.

2. Дедловская М.Е. Свойства гомотопов алгебр типа (-1,1)// Топология. Алгебра. Информатика. - Москва. МПГУ им. Ленина . 1994. С. 17-21.

3. Дедловская М.Е. Гомотопы (-1,1 )-алгебр от двух порождающих // Матем. Заметки. 1996.Т.59, №4. С. 551-557.

Дедловская М. Е. Локально нильпотентный радикал изотопа свободной (-1,1)-алгебры // IV Международная конференция женщин-математиков: Тезисы докладов,- Волгоград. 1996. С. 53-54.

Подп. к печ. 13.11.96 Объем 0,75 п.л. Зак. 316 Тир. 100

Типография МПГУ