Бесконечные факторизуемые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

о ^ 9

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕММА И ОРДИ1А ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопиои

ЧЕИПЖОВ Николай Сергеевич БЕСКОНЕЧНЫЕ ФАКТ0РЙЗУШ1Е ГРУППЫ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени * доктора физико-математических наук

Ленинград - 1991

Работа выполнена в Института математики АН'УССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор БОРЕВИЧ Э.И.,

доктор физико-математических наук, профессор ШХАЛЕВ. A.B.,

член-корреспондент АН БССР, доктор (5изико-мптематич8скихвнаук, професспг ШИШКОВ Л.А.

Ведущая организация - Институт математики СО АН СССР.

¡Защита диссертации состоится " IS " UrCHS 199/г. в В часов иа заседании специализированного совета Д 063.57.29 при Ленинградском государственном университете /198904, Ленинград, ст. Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет-Ш/. Защита будет проходить по адресу: ШОП, Ленинград), tiaö. реки Фонтанки, 27, 3-й этак, зал 311 /помещение ЖШЙ/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького Ленинградского государственного университета, Университетская Had., 7/9,

Автореферат разослан "/У" UtAS 199^ г.

. Ученый секретарь специализированного совета

АНАНЬЕВОТЙ С.М.

-ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¡/.рстг'л

г. Т'.сГручпу. совпадающую о произведением двух ее /собственных/ •подгрупп, называют факторизуемой этики подгруппами, или раз-^лоНййи в их произведение.Аналогично можно говорить о факто-1 "рЙуемости группы несколькими попарно перестановчными под-^/¡рруйпами и даже бесконечным их числом. В отличи а от общеизвестных и играющих в теории групп весьма важную роль "классических" видов произведений, таких, например, как прямое я по-лупрямоэ произведение, в этом определении на делается каких-либо предположений о пересечении подгрупп-множителей и о способе их вложения в группу. От них не требуется, скажем, инвариантности, субнормальности или субинвариантности в группе. Понятно поэтому, что исследования, связанные с факторизу-емостыо группы ее подгруппами, с выяснением свойств группы в зависимости от внутренних свойств подгрупп-множителей в общем случае представляет значительные трудности.

Отметим, что с факторизационными задачами связаны некоторые весьма яркие результаты в теории групп. Например, известно, что группа, факторизуемая двумя конечными разрешимыми подгруппами, может быть простой группой. Однако группа, факторизуемая двумя конечными нильпотентными подгруппами, всегда является разрешимой группой /0.Кегель /1961/, Г.Виландт/1958//. К настоящему времени описаны все известные конечные простыв группы, факторизуемыз двумя разрешимыми подгруппами /Л.С.Каза-рин /1986//. Далее, классическая теорема Ф.Холла /1937/ утверждает, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она допускает факторизацию некоторыми своими попарно перестановочными приыарными силовскими подгруппами.

Исследованиям неабелевых групп, связанным с их факторизацией /в общем смысле/, по-видимому, положила напало знаменитая теорзка У.Бернсайда /1904/ о разрешимости конечных бипримарных групп /бипримарнал группа, как известно, является произведением двух примарних подгрупп/. В 30-50-е годы появляются результаты Ф,Холла /один из них отмечен выше/, С.АЛунихина, которые дают факторизаниониые критерии непростоты и разрешимости конечных групп, устанавливают наличие факторизации у конечных групп различных классов. В 50-х годах появляются такжа после-

дования Й.Сепа, Н.Ито, Г.Вилавдга, Б.:Хупперта и др. Особенно важными достижениями в этот период, по-видимому, следует считать теорему Б.Хупгшрта /1953/ о сверхразрешимости конечной группы, разложимой в произведение некоторых своих попарно перестановочных циклических подгрупп, и теорему О.Кегеля-Г.Ви-ландта /1961,1958/ о разрешимости конечной группы, факториэуе-мой попарно перестановочными нильпотептными подгруппами. В дальнейшем в области факторизации конечных групп были получены многие важные результаты /Л.С.Казарин, Л.А'Шемвтков, В.С.Монахов, Ц.Арад, П.Роули, В.Д,Мазуров, С.А.Сыскин и др./. Все отмеченные результата относятся к конечным группам. Таким образом, в области конечных групп давно и интенсивно ведутся факториэационные исследования, и можно ужа говорить о , сложившемся факторизационном направлении.

Иначе обстояло дело с факторизационными исследованиями в области бесконечных групп. Здесь до середины 60-х годов были получены лишь отдельные изолированные результаты. Отметим основные из Них. Р.Бэр /1940/ доказал, что локально нормальная : группа локально разрешима тогда и только тогда, когда она фак-.торизуется некоторыми своими попарно перестановочными силов-скими р-подгруппами по разным простым р . Л.Редей /1950/ и П.Кон /1956/ получили описание /с помощью образующих элементов и определяющих соотношений/ бесконечных групп, факториз.уе-мых двумя циклическими подгруппами с ранним единице пересечением. Н.Ито /1955/ установил, что произвольная группа, фактори эувмая двумя абелевыми подгруппами, имеет абелев коммутант /или, что то же, не более чем двуступенно разрешима/. К расс-матрййаемой тематике можно отнести некоторые результаты П.А. Гольберга. В.П.Щунков /1964/ получил исчерпывающее описание групп, которые могут быть представлены в виде равномерного произведения некоторых своих примярных подгрупп.

В конце 60-х - 70-а Годы абстрактная теория групп достигла отепейи своей зрелости. Были по.лучены многие фундаментальные ключевые результаты, определились важные и плодотворные понятия, методы исследования. Во многом это произошло благодаря вклада в ее развитие таких известных алгебраистов, как О.'-О.Шмидт, А.Г.Курой, С.Н.Черников, А,И.Мальцев, Р.Бэр, Ф.Холл, П.Г.Конторович,

Б.И.Плоткин, И.Н.Каргаиолов, А.И.Кострштн, П.С.Новиков, С.И. Апян, Б.П.Шунков, 0.Кегель и Н.А.Варфриц.А.П.Ольшгшский и др. Среди наиболее важных объектов исследования выделились следующие классы групп: нильпотеитние и локально нильпотентные группы; разрешимые, и локально разрешише группы; ^ДАгруппы и другие классы групп Курошз-Черникова; линейные группы; локально ступенчатые группы; периодические группы. Определился также как один из типичных и плодотворных подходов к изучению бесконечных групп подход, связанный о наложением на группу различного рода условий конечности. Среди наиболее часто используемых условий коьечности выделялись: условие минимальности для всех подгрупп /или для абелевых, или для неабалевых подгрупп/; условие минимальности для прлмаршх подгрупп; сложная конечность; конечность специального ранга; конечность над центром.

Успехи в абстрактной теории групп создали исходную базу и во многом породелили постановку задач в факторизационних исследованиях в области бесконечных групп, где теряют силу многие фундаментальные фапгы из теории конечных групп. Центральными здесь являются задачи того же рода, что и в общей теории групп в целом. Их э самом общем виде можно сформулировать так,

1. Вели группа, принадлежащая к одному из указанных вшпа классов, факторизуется некоторыми своими попарно перестановочными подгруппами, удовлетворяющими тому или иному условию конечности, то и« будет ли она сама удовлетворять этому условию. Если нет, - то какому-либо более слабому из этих условий.

2. Если группа, принадлежащая к классу Ж факторизуется некоторыми своими попарно перестановочными подгруппами из класса , то не будет ли она входить также и в класс ^ .

Именно в кошт 50-х - 70-е годы происходит оживление в исследовании бесконечных факторизуемнх групп. Г! наиболее интересным результатам здесь о.л»?,уе? отвести результаты Н.Ф.Сеса-кина, О.Квгйля, Б.Ак'йвуга, В.Г.Ввеигевва, Д.И.Зайцева, послуки-вшие стяму.иоп для ^альне^гих активных иооледований.

Су^ястнентш сдвиг в фФгторзпшюпччх исследованиях бесконечных групп произошел о после ите 10-11 тег. Пе касппсь ;»з-зуяьтатоп ангора, которое будут охаргг.-териг-юпанч ниге, отмч-тии здегл рччультати Д.Р.РвЯцет, Л.С.Кааарнип, Б.Анбйргя,

Дж.Леннокса и Дк.Роузблейда, Д.В.Робинсона, Н.М.Сучкова, Р.Хо-улетта, С.В.Иванова, Я.П.Смсака, В,И.Суданского,Дж.Уилоона.

Прежде чем перейти непосредственно к содвржанш« диссертации, напомним, что в наших исследованиях но налага-отся какие-либо ограничения на способ вложения в фпкторизуемуга группу подгрупп--множиталей. В связи с этим заметим, что исследованию свойств групп, Лакториэуемых инвариантными подгруппами, в зависимости от свойств подгрупп-множителей посвящено немало работ. Глубокие результаты здесь получены, прежде всеге^Б.И.Плоткиным и его учениками, а также Р.Бэром, Щ.С.Кемхадзе, К.Грюнбергом, К.Гиршем и др. Доловие инвариантности оказывается существенным: сйятиз его влечет за собой и потерю соответствующих свойств всей группой./

Реферируемая диссертация носит теоретический характер. Она посвящена исследованию бесконечных групп, факториз.уемых подгруппами с теми или иными заданными свойствами. Б ней решается различные задачи, постановка которых в общем виде охарактеризована выше /см. пп. I и 2/. Диссертантом получен ряд результатов принципиального характера, связанных с классами групп и условиями конечности, которые были отмечены виио.

Результаты автора о учетом результатов других исследователей, упомянутых ранее, позволяют говорить об определившемся к настоящему времени и в области бесконечных групп факторизацион-ном направлении исследований.

Автором использовались в основном методы и результаты абстрактной теории Групп. Особенностью его подхода к исследованию является выделение и активное использование широкой системы подгрупп, факторйзуемых относительно рассматриваемого разложения всей группы.

Результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы при'дальнейшем развитии факториаационного направления в общей теории групп, при исследовании обобщенно разрешимых групп, групп с заданными условиями конечности.

Результаты диссертации докладывались ее автором на семинаре по теории групп при Институте математики АН УССР /Киев/, на алгебраическом семинаре при Киевском госунивереитзте, на семинаре по теории групп при Институте математики и механики

УрО АН СССР /Сверцяовск/, на алгебраическом семинаре при Уральском госуниверситета /Свердловск/, на семинаре "Алгебра и логика"/Новосибирск/, на алгебраическом семинаре Московского госуниверситета,на семинарах по теории групп при Гомельском и при Красноярском госуниверситетах, на алгебраическом семинаре при Рижском госуниверситете, на объединенном алгебраическом семинаре при ЖМИ АН СССР и Ленинградском университете. Автор выступал с докладами на УП-IX Всесоюзных симпозиумах по теории групп /Шушенское, 1980 г.; Сумы, 1982 г.; Москва, 1984г./, на ХУШ Всесоюзной алгебраической конференции /Кишинев, 1985 г./, на Международном математическом конгрессе /Варшава, I98S г./, на Международной алгебраической конференции /Новосибирск, 1989 г./.

Результаты диссертации опубликованы в одной монографии, 24 статьях в научных изданиях; часть из них была анонсирована в сборниках тезисов докладов конференций и симпозиумов. Список публикаций приведен в конце реферата.

Диссертация состоит из введения, трех глав /разбитых на параграфы 1-6, 7-10, 11-16/ и списка литературы, включающего 170 наименований. Общий объем диссертации 261 стр.машинописи,

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава I "Бесконечные группы, факторизуемые подгруппами о различным условиями минимальности" состоит из шести параграфов Д§ 1-6/.

Напомним следующее определение. Локально ступенчатой называется группа, в которой каждая отличная от единицы конечно-порожденная подгруппа имеет подгруппу отличного от единицы конечного индекса /С.Н.Черников, 1970/.

Очевидно, класс локально ступенчатых групп замкнут относительно подгрупп, расширений и декартовых произведений, и произвольная группа, обладающая нормальной системой с локально ступенчатыми факторами, является локально ступенчатой. /В диссертации принята в основном терминология из книги: Курош А.Г, Теория групп. - И.: Наука, 1967./ Класс локально ступенчатых групп очень широк. В нем содержатся, в частности, все упомянутые в первой части реферата классы групп, за исключением клас-

са периодических групп.

Охарактеризуем параграф I "Факторнзационньгй критерий локальной разрешимости периодической группы о условием минимальности для примерных подгрупп".

Ряд ярких и глубоких результатов в теории групп связан с бесконечными периодическими группами, удовлетворят»® условию минимальности для примарннх подгрупп /С.Н.Черников /I960/, М.И.Каргаполов /196Г/, Р.Бяр /1909/, В.П.Шунков /1971/, А.Ю. ОльшаНский /1980,1982/, В.В.Беляев /1901/, оП.И.Павлж и В.П. Щунков /I960/ и др./. Немало из них относится к бесконечным пе-риодйЧескйм группам с конечным!! примарннш подгруппами. Так, например, А.5.ОЛыпанскии показано, что среди таких групп есть не локально конечные группы и даже группы, все собственные подгруппы которых имеют простые порядки. В.П.Шумков Показал, что локально конечные группы с конечными пркмарнами подгруппами Почти локально разрешимы. /Говорят, что группа почти обладает некоторым свойством, если она содержит инвариантную подгруппу конечного индекса, обладателю этим свойством./ Р.Бэр установил, что среди таких локально коночных групп есть несчетные. Для, счетных периодических групп с конечными прнмарннми подгруппами извёстен следующий факторизацйонннй критерии локальной раз-решИмости/вНТекатапий из соответствующего критерия Ф.Холла разрешимости конечной группы/: счетная периодическая группа с конечными прамарныма подгруппами локально разрешима в том и только в том случае, когда она представила в вида произведения некоторых своих попарно перестановочных /й-подгрупп по разным простым р .

Возникает вопрос, не переносится ли ятот критерий на счетные ' периодические группы, удовлетворявшие условию минимальности для прикарных подгрупп. В целей ответ на этот вопрос отрицателен ввиду существования бесконечных примарных групп с собственными подгруппами простых порВДков /А.».Ольшанский, 1982/. Однако он положителен в классе локально ступенчатых групп.

Теорема I.I. Счетная локально ступенчатая группа G тогда и только тогда является периодической локально разрешимой группой с условием минимальности для примарннх подгрупп, когда она разложима в произведение попарно перестановочных /»-подгрупп

по разним простим р , удовлетворяющим этому условию.

Теорема I.I - основной результат Параграфа I.

Перейдем к параграфу 2 "Факторизация групп подгруппами с условием минимальности".

Отметим следукядай естественный вопрос, имеющий отношение н теореме I.I. Каждая ли груша, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности /иначе, артиновыми подгруппами/ удовлетворяет этому условию /является артиновой/? Этот вопрос впервые в явном виде бил поставлен В.Амбвргом /JttM.c¿. iS-trrtin, Mat. ÍUuv. cAxd<nra , 1<Л6, Основной результат

параграфа 2 диссертации:

Теорема 2.1. Локально ступенчатая группа & , факторизуе-мая двумя подгруппами Á к & о условием минимальности, удовлетворяет этому условии и локально конечна.

Из теоремы 2.1 и теоремы Н.Ито /1955/ вытекает известная теорема Н.Ф.Сеоекинн: Группа, факторйзуемая двумя абелевыми подгруппами с условием минимальности, Ойма удовлетворяет этому условию /или, что для случая разрешимой группы равйосильйо, является черниковской/.

Напомним, что черниковская группа - ato почти абалева группа о условием минимальности.

Как отмечается в работа Б,Амберга, 0.Кегель установил, что разрешимая группа, факторизуемая двумя артиновьтМй Подгруппами, является ярпшовой /равносильно - ЧерНикойской/. В той же работе В.АМберга содержится ййскслько более сильный результат: группа, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами и факторизуемай двумя артйновыми /равносильно - черииковскими/ подгруппами, артинова /равносильно - черниковская/. Указанные результаты непосредственно следуют из теоремы 2.1. Заметим, кстати, что эти результаты, по существу не доказаны, а лишь анонсированы в работе Амберга.

В целом же ответ на приведенный выше вопрос Б.Амберга отрицателен /С.П.Иванов, 19В9/.

В параграфе 3 "Одна теорема о бесконечных простых локально конечных группах с условием минимальности дня 2-подгрупп" основной результат - слвдуюшая теорема из работы ачтора [т.

ISSMÜ'LSí.L. Я бесконечной локально конечной простой группе

а

С , удовлетворяющей условию минимальности для 2-подгрупп, централизаторы всех инволюций почти локально разрешимы тогда и только тогда, когда С— где - локально конеч-

ное поле нечетной характеристики,

Теорема 3.1 положительно решает следующий вопрос, поставленный О.Кегелем в 1976 г. в Коуровской тетради/вопрос

Пусть С бесконечная локально конечная простая группа с условием мйним^ьности для 2-подгрупп. Будет ли группа С изоморфна для некоторого локаАно конечного поля

Р нечетной характеристики, если централизаторы инволюций С-почти локально разрешимы?

Из теоремы 3.1 вытекает такое следствие. Следствие 3.6. В бесконечной локально конечной простой группе С централизатор кавдой инволюции почти нечетен тогда и только тогда, когда £(Г), где Г бесконечное локально конечное полз нечетной характеристики, не являющееся квадратично замкнутым.

Группу, порядок каждого элемента которой нечетен, называют нечетной.

Следствие 3.6 решает следующий вопрос, поставленный О.Кегелем И Б.А.Варфрицем в 1973 г. в их книге: ЛосаМу -ЛпгИ-г-гоСаг>ь Ж- •' -^оч^А -

Если (г бесконечная локально конечная простая группа с конечной силовской 2-гадгруппой, такая, что для каждой инволюции £ из С индекс ■' 0(Сеи))1 конечен, то каково ее строение?

'/Действительно, в группе. , фигурирующей в след-

ствии 3.6, все 2-подгруппы конечны. Поэтому ответ на вопрос Кегеля-Верфряца таков: С* РЛЬХ\Р) > где Г бесконечное локально Конечное поле нечетной характеристики, не являющееся квадратично замкнутым./

С помощью теоремы 3.1 без особого труда доказывается следу-щая теорема, установленная независимо В.В.Беляевым /1981/ и И.И.Павлчком, В.П.Шунковым /1980/, а также Н. С.Черниковым [И]. Предложение 3,1. Локально конечная группа, удовлетворяющая

условию минимальности для примарных подгрупп, почти локально разрешима.

Предложение 3.1 - важный фант в теории локально конечных групп. Оно, в частности, отрицательно решает известный вопрос о существовании бесконечных простых локально конечных групп с условием минимальности для ^-подгрупп по всем простым р /см. Коуровская тетрадь, 1973, вопрос О.Кегеля 4.35/, Это предложение существенно используется в параграфе 4 "Факторизация групп почти слойно конечными подгруппами". Основной результат этого параграфа - следующая теорема.

Теорема 4.Г. Локально ступенчатая группа , факторизуе-мая двумя почти слойно конечными подгруппами /} и В , локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примерных подгрупп.

Напомним, что слойно конечной называется группа, в которой множество элементов каждого порядка конечно /С.Н.Черников,1948/ Условие слойной конечности - одно из наиболее естественных и часто употребляемых в абстрактной теории групп. Описание слойно конечных групп било дано С.Н.Черниковым /1948/. Из него, в частности, вытекает, что слойно конечные группа составляют подкласс класса локально коночных групп с условием минимальности для примашых подгрупп. Отметим в связи с теоремой 4.1, что периодическая локально разрешимая группа, факторизуамая двумя подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп, может не удовлетворять этому условию /Й.П.Снсак, 19В2/.

Остановимся теперь еи;е на следующем представляющем самостоятельный интерес вспомогательном предложении из § 4. Оно может ' в некоторой степени пройлл'йстрировять Подход автора диссертации к исследованию бесконечных факторизуемых групп, Обязанный с широким привлечением систем подгрупп, факторизуемых относительно заданного разложения группы. /Подгруппа Й группы (т факто-рнзуема относительно разложения С-/1Й , если ДО ~(Я/1А}(Н/7В) ./

•Предложение 4.1. Пусть (т - группа, факторизувмай двумя подгруппами / и Л с локально конечным /п частности, единичным/ пересечением; Ч - локально конечная подгруппа группы & и Р - пересечение всех подгрупп группы <7 , факто-ризусгшх относительно разложений С-ДВ и содержащих подгруппы И и ААВ . Тогда если Н порождается некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп групп , А и & ,

то справедливы следующие утверждения.

1. Подгруппа Г - локально конечна, факторизуема относительно разложения /I& л нормализует подгруппу И . Кроме тогр,

г « АЦОВИ^ (РПА)ПЧгп&)Н.

2. Все конечные подгруппы группы Г , факториз.уемне одновременно относительно разложений Г- (РпА)(Гп&) , Р={РлА)Н и )Н , составляют еа локальную систему.

Перейдем к параграфу 5 "Группы, факторизуемые локально конечными подгруппами конечного специального ранга".

Напомним, что группой конечного специального ранга называется группа, у которой кается конечнопоровденная подгруппа может быть порождена не более чем Г" ее элементами, причем хотя бы одна конечно порожденная подгруппа не может быть порождена менее чем Г элементами /АЛ",Мальцев, 1948/. Понятие специального ранга - одно из фундаментальных понятий абстрактной теории групп, а группы конечного специального ранга - давний объект исследований в теории групп. Многие важные результаты, ставшие уже классическими, связанные с группами конечного ранга, установлены А Л'.. Пальцевым, В.С.Чариным, Д. М. Смирновым, Б.Й.Плоткиным, И.И.Каргаполовым, В.П.Платоновым, Ю.И.Керэ-ляковым, В.П.Шунковым, ''Э.М.Горчаковым, Д.И.Зайцевым и др.

Основной результат параграфа 5 - следующая теорема.

Теорема 5.1. Локально ступенчатая группа , факториэуе-мая двумя локально конечными подгруппами А и В ^конечного специального ранга, локально конечна и имеет конечный специальный ранг.

Заметим, что не локально ступенчатая группа, факгоризуемая двумя периодическими .подгруппами конечного специального ранга, может Не быть группой коночного специального ранга /С.В.Иванов, 19В9/.

Теорема 5,1 может быть сформулирована и в таком виде.

Теорема 5.1*. Локально,ступенчатая группа б , факторизуе-мая двумя периодическими подгруппами А к В конечного специального ранга, имеет конечный специальный ранг и локально конечна.

Это вытекает из содеркиивгося в § 5 предложения.

Предложение 5.1. Пусть X - минимальный класс групп, сода ржа щи (1 класс периодических локально ступенчатых групп, замкнутый относительно образования локальных систем, поддекартовых произведений, возрастающих и убывающих нормальных рядов. Тогда в классе X произвольная группа конечного специального ранга почти гиперабелева, почти локально разрешила п, в случае,когда она периодическая, - локально конечна.

В доказательстве предложения 5.I существенно используется

Предложение 5.4. Пусть & - подгруппа группы автоморфизмов конечнопорожденного унитального модуля над коммутативно-ассоциативным кольпом с единицей. Тогда если & имеет конечный специальный ранг, то она почти гиперабелева.

Предложение 5.4 является естественный расширением известной теоремы В.П.Платонова /1969/ о почта разрейимости линейных групп конечного специачьного ранга.

Теоремы 5.1 и 5.1" связывает с результатами предыдущих параграфов диссертации, в частности, то обстоятельство, что локально конечные группы конечного специального ранга удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп /Н,Н.Мягкова, 1949/.

Перейдем к параграфу 6 "Радикальные группы, факторизуеше периодическими множителями с условием минимальности для примарных подгрупп".

Напомним, что группа называется радикальной /в смысле Б.И. Плоткина/, если она обладает возрастающим нормальным рядом с локально нильпотентними факторами. Радикальные группы - даве ний объект исследования в абстрактной теории групп, и их изучению посвящено большое число работ, устанавливающих важные их свойства /см. Плогтгин Б,И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. - М.: Наука, 196В/.

Приведем основные результаты параграфа 6.

Творена 6.1. Радикальная группа С , факторизуекая двумя периодическими подгруппами А и й с условием минимальности для примарных подгрупп, сама удовлетворяет этому условию и локально конечна. '

Коли в теореме в Л условие радикальности заменить более

сильным условием гиперабалавости, то теорема 6.1 может быть существенно усилена в предположении периодичности группы С- .

Предложение 6,1. Пусть С - периодическая почти локально разрешимая группа, факториауемая двумя подгруппами А я В , хотя бы одна из которых почтитмлерабелеза /в частности,почти разрешима/. В такой группе G все йГ-подгруппы тогда и только тогда обладают одним из свойств: удовлетворяют условию минимальности, конечны, единичны, когда все гг-подгруппы групп A Vi & обладают тем же свойством. ¿

Заметим, что из приведенных выше результатов вытекает, в частности, локальная конечность группы С , факторкз.уемой двумя локально конечными подгруппами А и В , при определенных естественных ограничениях, налагаемых на группу G и Подгруппы-множители А и & , Как показал впервые И.М,Сучков /1984j 1985/, группа, факторязуекая двумя локально конечными Подгруппами, может не быть локально конечной и может даже со-дориать неабелеву свободную подгруппу. Не выручает здесь и требование примарности и финитной аппроксимируемости группы G й локальной конечности подгрупп А и В /В.И.Суяшский,1989/.

Глава П "Факторизация групп подгруппами, конечными над центрами" состоит из параграфов 7-10. Основной результат параграфа 7 - следующая теорема, утверждение 2 которой ёстеотвзн-шйй ббразом распространяет известную теорему Кегаля-Виландта tía бесконечные группы.

Toopetáa 7)1, I.Груша G , факторизуемая п попарно перестановочными локально нормальными подгруппами A¿ у&эвлв^срйвдши условия минимальности, - черниковская. 2.Группа С , факторизуемая я попарно перестановочными нйльпЬтентными подгруппами A¿ , i--1,2,..-, п , о условием минимальности) является разрешимой чэрниковской группой.

v Йтметим, Что в теореме 7.1 на группу С не налагается каких-либо ограничений, кроме еа факторизуемости подгруппами A¿ .

Как вытекает из результата В.Г.Васильева /1978/ о существовании конечной группы сколь угодно высокой ступени разрешимости, факторизуемой 8-мя попарно Перестановочным! циклическими подгруппами, в утверждении 2 теоремы 7.1 условие нильпотентности /илй даже абелевости/ подгрупп A¿ без условия их пртг.но-

вости не влечет за собой разрешимость группы.

Очевидно, полные части подгрупп Ие- .''й»,,/!, из теоремы 7.1 поэлементно перестановочны. Таким образом, из утверждения 3 этой теоремы вытекает положительное решение следующей давней задачи Н.Ф.Сесекина, поставленной им в 1967 г. /4Соуров-ская тетрадь, задача 2.69/.

Пусть группа С есть произведение своих подгрупп А и В , каждая из которых ггальпотентна с условием минимальности. Доказать или опровергнуть, что а/ (г разрешима; б/полные части подгрупп А и В перестановочны поэлементно.

Перейдем к параграфу 8 "Теорема о почти разрешимости группы, факторизуемой двумя подгруппами, конечными над их центрами'.'

В связи с теоремой 7.1 заметим, что локально нормальные и нильпотентныа группы о условием минимальности конечны над своими центрами /С,Н.Черников/. С группами, конечными над центрами, связан ряд значительных результатов /¡Т.Шур, В.Нейман,Р.Бэр, И.И.Еремин/.

Основной результат параграфа 8 - следующая теорема.

Теорема 8.1. Группа , факторпзуемая двумя подгруппами Л и В , конечными над своими центрами, почти разрешима.

Приведем также следующее предложение из § 8.

Предложение 8.1. Группа, факторизуемая двумя нильпотентны-ми подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.

Заметим, что в теореме 8.1 и предложения 8.1 на группу С , как и в теореме 7.1, не налагается никаких дополнительных ограничений.

Теорема 9.1 - основной результат параграфа 9 "Некоторые свойства групп, факторизуемых двумя подгруппами, конечными над их центрами" - показывает, что ряд естественных условий конечности, например, условно периодичности, конечности специального ранга, переносится с конечных над центрами подгрупп-множителей А и В на ззев факторизуемую ими группу С .

Теорема 8.1 и предлотсение 8.1 не переносятся на случай большего чем два числа подгрупп-множителей /даже при условии их абелевости/. Известно, однако, что произвольная группа,факторизуемая л'обым конечным числом попарно перестановочных циклических подгрупп, свэрхразрешгоя. Это предложение в случав конечных групп известно как теорема Хупперта. В общем случае

оно было установлено Г.Хейнекеном и Дж.Ленноксом /1983/ с существенным использованием теоремы Хупперта. Отмеченные результаты Б.Хупперта, Г.Хейнекена и Дж.Леннокса вытекают как прямые следствий из основного результата параграфа 10 диссертации "Группы, факторизуемые перестановочными циклическими подгруппами" - теоремы ЮЛ.

Теорема ЮЛ. Пусть С - группа, факторизуемая п попарно перестановочными циклическими подгруппами ,1=1,2,...,л. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если группа С- конечна и неединична, то хотя бы одна из подгрупп Ас содержит инвариантную в (т подгруппу порядка, равного наибольшему простому делителю числа /(?/ .

2. Если группа (т бесконечна, то хотя бы одна из подгрупп /¡I содержит инвариантную в С бесконечную подгруппу.

ГлаЕа Ш "Некоторые факторизационные теоремы для линейных и обобщенно линейных групп" состоит из параграфов 11-16.

Остановимся на содержании параграфа II "Силовские подгруппы и полные силовские базы факторизуемых периодических разрешимых групп матриц над полем".

Пусть -группа. Систему ее силовских /»-под-

групп по одной для каждого простого р мы называем полной си-ловской базой группы С , если выполняются следующие условия: I/ группа б порождается подгруппами (гр ; 2/ подгруппы 6Р попарно перестановочны; 3/ при произвольном непустом множестве 1С простых чисел подгруппы из системы (Ср} . взятые по всем рбзс, порождают в сг'-подгруппу.

Иногда в определении полной силовской базы опускают условие 2/ или условие 3/. В связи с этим заметим, что условие 2/ вообще говоря не является следствием условий I/ и 3/, а условие 3/ - следствием условий I/ и 2/. Это вытекает из того, что для любых различных простых чисел р и £ существует /локально разрешимая/ -группа, которая порождается некоторой своей

силовской ^-подгруппой и некоторой своей силовской ^-подгруппой, но не является произведением этих силовских подгрупп /Б.Хартли, 1972/, л что существует непериодическая /финитно аппроксимируемая/ группа, факторизуемая /локально конечными/ р-подгруппой и £-подгруппой /В.И.Сушанский, 1990/. Однако для случая линейкой группы ¿7 наборы условий I/, 3/ и I/, 2/

If;

эквивалентны.

Известно, что произвольная периодическая разрешимая группа матриц над полем обладает полными силовскими базами /В.П.Платонов, 19вв/. Пусть периодическая разрешимая матричная группа С- разложима в произведение некоторых своих подгрупп Л и В . Как полные силовские базы группы С связаны с полными силовскими базами подгрупп Л и В ? Как для произвольного непустого множества Ж простых чисел силовские я"-подгруппы группы С связаны с силовскими -подгруппами множителей Л и В ? Ответ на яти вопросы дает•следующая теорема.

Теорема II.I. Пусть (' - линейная периодическая разрешимая группа, факторизуемэя двумя подгруппами Л и S . Тогда группа G облапает такой пояной сяловской базой /('Р/ , что, во-первых, системы [flûCp/ {ВО С?} являются полными силовскими базами соответственно подгрупп /I и В , я, во-вторых, для тобого непустого множества f простых чисел подгруппы Гг% - <иж ,

- силовские л--подгруппы соответственно групп С . А к 6 , причем = Ar Я, .

/Для произвольного непустого множества л элементов группы через {XУ , как обычно, обозначается порожденная ими подгруппа./

Отметим также следующее предложение из § II.

Предложение II.3. Пусть G - линейная периодическая разрешимая группа, факторизуемая некоторыми попарно перестановочными локально нильпотентпыми подгруппами At для произвольного р Аг р - силовская р-подгруппа группы At и (^¿/^грУ • Тогда справедлива следующие утверждения.

1. При каждом р подгруппы р , te 2 , попарно перестановочны.

2. Подгруппы Ср , взятые по всем р , образуют полную силовекую базу группы G ,

В § II приведен также пример, показывавший, что в теореме II.I требование линейности группы G существенно даже в случае, когда она - счетная бипримарная двуступенно разрешимая группа с элементарными абелевыми примарными подгруппами,

Остановимся на результатах параграфа 12 "Два критерия

и

разрешимости и периодичности линейных групп".

Напомним, что согласно классическим критериям Ф.Холла /1937/ конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение некоторых своих попарно перестановочных силовских р -подгрупп по разным простым р , а также тогда и толйсо тогда, когда для каждого р ее силовская р-подгруппа обладает холловым /»'-дополнением в ней.

Следующая теорема, принадлежащая В.П.Платонову /1966/ - необходимость, и автору /1982/-достаточность, дает аналогичные критерии разрешимости и одновременно периодичности группы матриц над полем.

Теорема 12.1. I. Группа & матриц над полем является разрешимой периодической группой тогда и только тогда, когда она разложима в произведение некоторых своих попарно перестановочных силовских р -подгрупп по разным простым р .

2. Группа (х с 0 матриц над полем является раз-

решимой периодической группой тогда и только тогда, когда для каждого реу£(<г) хотя бы одна зе силовская /»-подгруппа обладает холловым /»'-дополнением в ней.

Напомним, что для непустого множества простых чисел холловой Я"-подгруппой группы называется ее Ж -подгруппа, каждая силовская р-подгруппа которой при любом явля-

ется силовской р-подгруппой всей группы.

В параграфе 13 "Распространение теоремы Кегеля-Виландта на периодические линейные группы" содержится следующая теорема.

Теорема 13.1. Пусть С - группа матриц над полем, факто-ризуемая попарно перестановочными периодическими локально нильпотентныии подгруппами Яг , .Тогда группа (7 раз-

решима и локально конечна.

Ввиду теоремы 13.1 теорема Кегеля-Виландта переносится на олуча^ периодической линейной группы. Заметим, что непериодическая группа матриц над полем, разложимая в произведение трех попарно перестановочных абелевых подгрупп, может не быть 'разрешимой /Й.П.Снсшс, 1984/.

Приведем еще два результата из § 13.

Теорема 13.2. Группа <? матриц над полем локально конечна и разрешима тогда и только тогда, когда она молот быть пред-

ставлена в виде произведения конечного числа попарно перестановочных периодических локально нильпотентных подгрупп.

Предложение 13.3. Группа С матриц над полем локально конечна и почти разрешима тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде произведения некоторых двух периодических почти локально нильпотентных подгрупп.

Очевидно, в предложении 13.3 нельзя убрать слово "почти".

Теорема 14.1 из параграфа Т4 "Факторизации подгрупп группы автоморфизмов конечнопоровденного модуля над коммутативным кольцом" распространяет на случай таких подгрупп достаточную часть теоремы 12.1 и теорему 13.1 /понятно, с заменой свойства разрешимости группы на свойство гиперабелевости/ и утверждает, что такая подгруппа, будучи периодической и двуступенно разрешимой, может не разлагаться в произведение попарно перестановочных локально нильпотентных множителей /в отличие от периодических разрешимых линейных групп/. Теорема 14,2 пере-, носит на этот случай теоремы 2.1, 5.1 и 6,1. Наконец, теорема 14.3 распространяет /с заменой разрешимости на гиперабелевость/ на случай таких подгрупп следующую известную теорему О.Кегеля /1065/: Линейная группа, факторизуеиая двумя /почти/ локально нильпотентиыми подгруппами, /почти/ разрешима.

С изучением гомоморфных образов периодических линейных групп связан ряд известных работ Б.Л.Варфрица /см. ■%.Л.!Г UreJwfaiti.ji7ftn.iU Мпеаг Ысир*Ямб* ей.-. ЛрчШ^г,

Основной результат параграфа Г5 "Факторизации гомоморфных образов периодических линейных групп" - следующая теорема.

Теорема 15.1. Теоремы 12.1, 13.1, 13.2 и предложение 13.3 переносятся на случай, когда - гомоморфный образ некоторой периодической линейной группы.

Результаты последнего, 16-го параграфа главы Ш "Факторизу-емые группы, обладавшие нормальной системой с линейно-пред-' ставимыми факторами" в основном связана с факторизуемыми группами, обладающими нормальной системой о линейяо-предстявимыми факторами /иначе - факторами, изоморфными линейным группам/ и, как частный случай, - факторизуемыми ЛМА-груттами.

Пусть группа С - произведение некоторых попарно пере-

становочных разрешимых подгрупп Ас- .Пример знако-

переменной группы на 5 символах показывает, что С не обязательно разрешима. Наложим, однако, на группу <? следующее весьма слабое ограничение разрешимости - потребуем принадлежности к классу Я/У-групп каждой подгруппы ^¿Л^ . Как отмечалось в ? 7, группа & при этом условии может не быть разрешимой даже при абелевости всех подгрупп , если не требовать, чтобы & при ¿V/ . Однако и нали-

чия последнего ограничения недостаточно при непериодических множителях ^ ( . Действительно, из результата В.Г.

Васильева, отмеченного при характаризации § 7, вытекает существование неразрешимой группы без кручения, факторизуемой тремя попарно Перестановочными абелевыми подгруппами. Коли же потребовать еще периодичности подгрупп , п , то

группа (г ужа будет разрешимой ввиду следующей теоремы.

Теорема 16.1, Пусть & - группа, разложимая в произведение попарно йэрестановочных периодических разрешимых подгрупп , 1=1,3,...,п. , Таких, что при ¿¡у. Тогда

если каждая подгруппа вида является ^Д^-группой; то

С - Периодическая разрешимая группа, ъщчт ■£(£/-р^ъ (А;) ■

Отметим, что теорема 16.1, очевидно, теряет силу, если ослабить требование принадлежности каждой подгруппы вида к классу /?/У-г£упп до требования наличия у каждой такой подгруппы нормальной системы с линейно-представимгаи факторами. Справедлива, сднайО( следующая теорема.

Теорема 16,2. Пусть (? - группа, разложимая в произведение периодических ¿/-подгрупп , ¿еЛ/ или С , таких, что Мфщ) при . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Вели С - периодическая и обладает нормальной системой с линейно-Иредсгавимыми факторами, то она является ЯЖ-груп-пой и 'Л (С) ~ О

2. Если г,..., Н) , все подгруппы нильпотантны и каждая подгруппа вида ^¿А/ обладает нормальной системой с лиНейнс-представимымй факторами, то (г - периодическая разрешимая группа и ступень ее разрешимости не превосходит суммы ступеней нильпотентности подгрупп Л, С = 4,2,..., п .

/Запомним, что *Г-группа - это группа, облада«даая по каждому простому р единственной силовской р-подгруппой. Частный случай ¿-групп - локально нильпотептные группы./

Утверждение 2 теоремы 16.2 включает в себя в качестве весьма частного случая теорему Ф.Холла-Хнгмэля-Вяландта, утверждающую, что конечная группа О , факторизуемая л попарно перестановочными пнлыютентнымя подгруппами Я с , • ■■, п. , такими, что тгпри ¿р/ , - разрешима,ступени, не превосходящей суммы ступеней нильпотентности подгрупп ^ • ¿-■>,1,...,п. . Из утверждения I теоремы 16.2 и теоремы 16.1 непосредственно вытекает, что группа С , факторизуемая п. периодическими разрешимыми и локально нильпотентннми подгруппами А,- , , разрешима и периодична, если яри и каждая подгруппа вида обладает нормальной системой с линейно представшими факторами.

Приведем в заключение два предложения из §16, прежде всего, с целью проиллюстрировать подходи автора к исследованию бесконечных факторизуешх групп, связанные с широким использованием системы подгрупп, фпкторязуекнх относительно заданного разложения группы. Первое из них непосредственно вытекает из предложений 16.3, 16,4 и лемм 16.3, 16.4.

Предложение. Пусть группа С разложима в произведение попарно перестановочных периодических подгрупп , причем при каждом с(с/ и подгруппа периодическая. Далее, пусть Л)?* 0 - некоторое множество элементов группы , Р - пересечение всех таких подгрупп группы <г , содержащих И , каждая из которых представима в виде произведения каких-нибудь попарно перестановочных подгрупп из множителей , , .и Н ~ пересечение всех подгрупп конечного индекса Подгруппы Р . Тогда: подгруппа Р - произведение попарно перестановочных подгрупп Р П р - , если (А1) входит, в какую-нибудь нормальную систему группы (г ; индекс Подгруппы И в Р бесконечен в случае, когда (М /<оо . и подгруппа Р бесконечна И обладает нормальной системой о конечными факторами /в частности, -является кы -группой/.

Предложение 16.5. Пусть в группе С , факторизуемой попар-

но перестановочными периодическими подгруппами А*. , ¿е Т , такими, что 0 при 1Ф°С , произведение любого

конечного числа подгрупп А г, является -группой. Тогда & обладает локальной системой конечных подгрупп, для каждой из которых пересечения с подгруппами Аг , 1е1 , попарно перестановочны и факторизуют эту подгруппу.

/Напомним, что -группа - это группа, обладающая возрастающим нормальным рядом с локально нильпотентными и с конечными факторами./

Предложение 16,6 из § 16 проясняет строение /-композиционных факторов группы £ с локально конечной группой операторов А , обладающей локальной ристамой /С-подгрупп /т.е. конечных подгрупп о композиционными факторами , принадлежащими к списку известных конечных простых групп/ и не содержащей среди своих секций всех конечных групп. В частности, такая группа принадлежит к классу групп, обладающих нормальной системой с линейно-представимыми факторами, фигурирующему в теореме 16,2 /что еще раз демонстрирует широту этого класса/.

Работы автора по теме диссертации

1. Черников Н.С. Бесконечные группы, факторизуемые нильпотентными подгруппами // Докл. АН CCCP.-I980.-252, Я I.-С. 57-60.

2. Черников Н.С. Группы, факторизуемые экстремальными подгруппами // Укр. мат. кури.- 1980.-32, № 5-С. 707-711.

3. Черников Н,С. Некоторые факторизационные теоремы для бесконечных групп // Докл. АН СССР.-1980 -255, № 3г С. 537-539.

4. Черников Н.С. О факторизациях локально конечных групп // Сиб.мат.курн. — 1980.-Й1, № 6.-С. 186-195.

5. Черников Н.С. О произведении почти абелевых группу^ Укр. мат.жури.-1981.-33, Л 1.-С. 136-138.

6. Черников Н.С. О произведений групп конечного ранга //''Алгебра и логика,-1981-20, № З'Г-С, 315-329.

7. Черников Н.С. Об одном случае'факторизации локально конечных групп // Исследование групп с заданными свойстваи системы подгрупп .-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981.-

С. -25-34.

8. Черников Н.С. Факторизуемые локально ступенчатые группы //

Докл. Ail СССР,-1981.-260, № 3 -С. 543-546.

9. Черников Н.С. Локально ступенчатые группы, факториэуемые подгруппами конечного ранга // Алгебра и логика .-1982,- 21, № I.-C. 108-120.

10. Черников Н.С. К проблеме Ш.С.Кемхадзе // Сообщ. АН ГССР,-. 1982.-105, .W3.-C. 481-464.

TI. Черников Н.С. О бесконечных простых локально конечных группах. - Киев, 1982. - 20 о. - (4lpenp:. У АН УССР. Ин-1 математики; . 82.37}'.

12. Черников Н.С. Силовские подгруппы факторизуемых периодических линейных групп. /J • Подгрупповая характериза-ция групп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982,- С. 35-52.

13. Черников Н.С. О факторизуемых локально конечных группах, удовлетворяющих условию минимальности для примарных подгрупп // Там жег С. 52-73.

14. Черников Н.С. Факторизационные теоремы для локально ступенчатых групп /'Укр.мат.курн.-I982.-34, № в.- С.732-737.

15. Черников Н.С. бесконечные группы, разложимые в произведение попарно перестановочных подгрупп // Докл. АН УССР. Сер. "1983,-И II,-С. 24-27.

16. Черни ,з Н.С. Произведения групп конечного свободного ранга // Группы и системы их подгрупп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983 -С. 42-56.

17. Черников Н.С. Факторизация бесконечных групп при условиях конечности // Докл. АН УССР, Сер. A.-I985 5 г С. 26-29.

18. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. - Киев: Наук«, душа, 1987. - 206 с.

19. Черников Н.С. Факторизации групп автоморфизмов конечнопо-рожденпого модуля над коммутативным кольцом // Укр. мат.

, журн. -1987.-39, Ji 5,-С. 670-671.

20. Черников Н.С. Факторизация линейных групп и групп, обладающих нормальной системой с линейными факторами // . Тш ' ■ же . ^ 1988.-40, № З.-С. 362-369.

21. Черников Н.С. Группы, факториэуемые перестановочными периодическими подгруппами без элементов одинаковых простых порядков // Исследования групп с ограничениями для подгрупп.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988-С. 98-117.

22. Чэрников Н.С, Разрешимость и локальная разрешимость фак-торизуемых Я А/-групп // • Методы исследования алгебраических и топологических структур.-Киев: Киев. гос. пед. ия-т, 1989г" С, Г22-Г29.

23. Черников Н.С. Одна теорема о группах конечного специального ранга. О Укр.кат.курн.-1990.-42, №7,-С. 962-970.

24. Черников Н.С. Факторизация групп автоморфизмов конечнопо-ровденного модуля над коммутативным кольцом. П // .

\ Тш Жв . - ■■ № 9.-Г. 1244-1251.

25. Черников Н.С. Локально конечные группы, обладающие нормальной системой с линеаризуемыми факторами. ~/У. Комплексный анализ, алгебра и топология-Киев: Ин-т математи-

. ки АН УССР, 1990.100-110.

26. Черников Н.С. Факторизация бесконечных групп.// УП Всесоюз. симпоз'. по теории групп, Шушенское, 9-12 сент. 1930 г. : Тез. докл -Красноярск: Краснояр, . ун-т , 1Р80.-С. 133.

27. Чэрников Н.С. О произведении слойно конечных групп // .

Т&1 Бсесоюй. алгебраич. конф., Ленинград, 22-25 сент. 1981г.,: Тез. докл.-Ч.1.-Ленинград;Л0Ш, 1981;С. 172-173.

28. Черников Н.С. О бесконечных локально конечных группах //

УШ Всесоиз. симпоз. по теории групп, Сумы, 25-27 мая 1982 г.. : Тез. докл.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982 .-С. 135-136.

29. Черников Н.С. Бесконечные бактеризуемые группы // -

(тдъ. Мл (Л,-. с&пт . (писали)

М^е^гШсии.га.шо, : 'Р г^Лгг 19»i~C.ro.

30. Черников Н.С. Некоторые условия разрешимости бесконечных факторизуамых групп( // IX Всесоюз. сикпоз. по теории групп, Йосква, 18-20 сент. 1984 г. : Тоз, докл.-Москва Моск. гос. пед. ин-т, 1984. - С. 75-75.

31. Черников Н.С. Об условиях разрешимости и почти разрешимости бесконечных факторизуемих групп /У ■ ХУШ Всесоюз. алгебраич. конф.^-- Кишинев, 16-18 сент. 1985 г., '.Тез. сообщ,-4.2,-Кишинев: Ин-т математики с ВЦ АН 1,Г:ССР, 1985,— С'. 268.

32. Черников Н.С. Факторизация групп периодическими разреши-

мыми подгруппами // XIX Всесоюз. алгебраич. конф,,-

••..'.. Львов, 9-И сент. 1987 г.,: Тез. докл.-Львов: Ин-т прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1987.-С. 307.

33. Черников Н.С. Композиционные'факторы локально конечных групп о операторами // • XI Всееоюз. симпоз. по теории групп, Кунгурка, 31 янв. - 2 февр. 1989 г. ': Тез. сообщ-Свердловск: Ин-т математики и механики УрО АН СССР, 1989-С. 127-123.

34. Черников Н.С. О периодических группах конечного специального ранга.// Междунар, Конф .. по алгебре, 'Новосибирск, 21-26 авг. 1989 г. '.Тез докл. по теории групп.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989,-С. 135. 1