Транзитивные группы автоморфизмов алгебраических систем и конечных геометрий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

О}

На правах рукописи

ИЛЬИНЫХ Анатолий Петрович

ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ И КОНЕЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург — 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Уральского государственного педагогического университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Зенков В.И.

доктор физико-математических наук, профессор Казарин Л.С.

доктор физико-математических наук, профессор Мазуров В.Д.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится 25 ноября 1997 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослал 2. Октября 1997 г.

■ Ученый секретарь диссертационного совета • кандидат физико-математических наук

доцент

В.В.Кабанов

Актуальность темы. В 1981 г. была завершена классификация конечных простых групп [1]. Этот результат оказал значительное воздействие на многие области как внутри теории групп, так и вне ее. В частности, из классификации конечных простых групп следует полное описание конечных 2-транзитивжых групп [2, 3]. В главах 2-4 диссертации рассматриваются области исследований, в которых можно применить методы и результаты теории конечных 2-транзитивных групп. Это — однородные группоиды, 3-сети и группы, порожденные трансляциями аддитивных луп конечных неотел.

Однородные и 2-однородные группоиды. Пусть X — некоторый объект алгебраического или геометрического характера (квазигруппа, лупа, блок-схема и т.д.). Будем называть объект X однородным (2-однородным),' если он имеет транзитивную (2-транзитивную) группу автоморфизмов. Естественно, транзитивность понимается на множестве элементов из X, отличных от выделенных элементов в X.

А.И.Кострикиным в [4] рассматривались однородные алгебры, т.е. ненулевые конечномерные линейные гСлгебры над полем ^ с группой автоморфизмов, транзитивной па множестве ненулевых векторов. При этом доказано, что однородные алгебры существуют лишь над конечным полем Г и, поэтому, особо важен конечный случай. Исследование этой задачи продолжено в [5] - [7], а окончательное решение получено в [8]. Тем самым однородные алгебры классифицированы с точпостью до изоморфизма.

Л.Н.Шевриным в [9, с. 31, проблема 2.77] сформулирована аналогичная проблема для полугрупп, а именно, поставлена задача изуче-

ния однородных полугрупп.

Из результатов, относящихся к 2-одыородности, приведем один из наиболее известных — теорему Т.Острома и А.Уагнера [10]. Конечная проективная плоскость с 2-трапзитивной группой коллинеаций дезаргова, т.е. является плоскостью пад некоторым полем СГ(д).

С использованием классификации конечных 2-транзитивных групп Д.Ки и Е.Шультом [11] описаны системы троек ШтеЙнера с 2-транзитивной группой автоморфизмов. Более общий результат получен в работе У.Кантора [12], где описаны блок-схемы с А = 1 и 2-транзитивной группой автоморфизмов.

Естественным продолжением данных исследований является изучение 2-однородных группоидов. Впервые такие группоиды рассматривалась в 1964 г. в работе Стейна [13]. Из дальнейших результатов о 2-однородных группоидах отметим работу К.Штрамбаха [14]. В.М.Галкиным в [15] изучались конечные симметрические квазигруппы с 2-транзитивной группой автоморфизмов и доказана их медиальность.

Главная задача о 2-однородных группоидах формулируется в диссертации в двух формах.

(А) Описать с точностью до изоморфгхзма конечные группоиды с 2-транзитивной группой автоморфизмов.

(А1) Описать все пары (Х,С), где X — конечный группоид, С? — подгруппа группы Аи^Л'), 2-транзитивная на множестве X.

Требование однородности группоида X является слабым условием, поскольку, в общем случае (включая бесконечный случай) однородные группоиды неизвестны даже при таком сильном ограничении, как ассоциативность операции. Естественным ограничением в такой ситуации является рассмотрение конкретного типа группы С-АпЬ(Х). Таким образом, возникает следующая задача.

(Б) Изучить группоиды X с заданной транзитивной группой автоморфизмов С.

Случай й = 5Х(2,?), Я = 2", |Х| = ± 1)/2 непосредственно связан с задачей (А).

3-сети. Рассмотрим следующее направление исследований — описание конечных 3-сетей типов 1.3,1.4 и 1.5.

Важную роль в теории проективных плоскостей играет классификация, полученная Х.Ленцем [16] и А.Барлотти [17]. Здесь термин «классификация» употребляется в новом смысле: множество всех плоскостей разбивается на ряд классов. Проективные плоскости распределяются по классам в зависимости от строения их группы коллинеаций [18, с. 123-126], [19, с. 22].

А.Барлотти и К.Штрамбахом в [20] предложена классификация 3-сетей, аналогичная классификации Ленца - Барлотти. Инцидент-ностная структура (V, С, 2), где V — множество точек, а С — множество прямых, называется 3-сетью [21], если С разбито на 3 семейства А, £г> £з» так что

1) для каждого семейства £,-, i = 1,2,3 и точки р существует ровно одна прямая L € содержащая точку р;

2) если L £ Ci, М £ Cj и i ф j, то прямые L и М имеют ровно одну общую точку.

Пусть N — 3-сеть и Г — группа коллинеаций сохраняющих направления Д-, где i = 1,2,3. Направление X = Ci называется транзитивной осью [20, с. 96], если Г имеет подгруппу Т(Х), действующую тождественно на X, и транзитивную на точках прямой Le X.

Точка р называется транзитивным центром, если стабилизатор в Г точки р имеет подгруппу S(p), действующую регулярно (т.е. точно 1-транзитивно) на множестве L \ {р}, где L £Е С и р Е L.

По [20, теорема 17.2] каждая 3-сеть А/" принадлежит точно к одному из 7 классов Ленца 1.1 - 1.5, II.1, lf-2. При этом отмечается [20, с. 100], что вопрос о существовании 3-сетей типов 1.3, 1.4 и 1.5 остается открытым. Приведем определение сетей данных типов [20, с. 96]. Пусть Лf - 3-сеть, не имеющая транзитивной оси. Тогда Л/* имеет тип 1.3, если каждая прямая содержит ровно один транзитивный центр; Л' типа 1.4, если транзитивные центры образуют точки единственной прямой; М типа 1.5, если каждая точка является транзитивным центром.

Хотя в целом задача об изучении всех конечных 3-сетей с точностью до изоморфизма, разумеется, нереалистична, но в случае конечных сетей типов 1.3, 1.4, 1.5 ситуация иная. В этом случае можно

применить теорию 2-транзитивных групп, и возникает следующая задача:

(В) Описать с точностью до изоморфизма конечные 3-сети типов 1.3, 1.4 и 1.5.

конечные неотела. Пусть X — произвольная квазигруппа и а € X. Отображение х (-» х + а для всех х £ X называется правой трансляцией квазигруппы X, соответствующей элементу а. Аналогично определяется левая, трансляция. Квазигруппе X можно сопоставить группы И(Х), ЦХ), А(Х), порожденные соответственно правыми, левыми и всеми трансляциями квазигруппы X. Обзор результатов о группах, порожденных трансляциями квазигрупп и луп, и проблематику этого направления можно найти в [22], [23] и [24]. Наиболее актуальны вопросы построения квазигрупп и луп с заданными группами ЩХ), 1<(Х), А(Х), а также вопросы о связи между строением квазигруппы X и строением данных групп трансляций.

Хотя в общем случае вряд ли можно расчитывать на полное описание групп Я(Х), £(Х), А(Х), однако следующий важный случай достижим для полного описания.

Алгебраическая система (АГ,+,-,0,1) называется неотелом, если выполнены следующие аксиомы:

а) (/V, +, 0) — лупа,

б) (ТУ \{0},.,1)- группа,

в) (х + у)г = хг + у г и х(у + г) = ху + хг для всех х, у, г € N.

Впервые данная алгебраическая система рассматривалась в

[25]. Неотелам с циклической мультипликативной группой посвящена монография [26]. Связи между конечными неотелами, тройками Штейнера и другими блок-схемами исследовались в [27, .28, 29]. Отметим также известную проблему: существует ли конечная проективная плоскость типа 1.4 по Ленцу-Барлотти [18, с. 126]?

Связь этой проблемы с неотелами следует из ее переформулировки: существует ли конечное неотело N с плоскостным условием, отличное от поля Галуа? Обзор результатов по этой проблеме можно найти в [30].

Рассмотрим элементы ai, йг,... , at € N и подстановку д 6 R(N, +) неотела N, где х} = (((2 + ai) + аг) 4-... + а^) для всех х £ N. Если N — поле, то х9 — х + а, где а = ai + ai + • ■ • + аь Это один предельный случай, когда число элементов д минимально. Другой, противоположный случай, заключается в том, что любая четная подстановка множества N является подстановкой данного вида.

Хотя число неизоморфных неотел данного порядка га неограниченно увеличивается при возрастании п [29, теорема 4.3], [26, Appendix И], и, конечно, невозможно описание с точностью до изоморфизма всех конечных неотел, но во всех примерах, за исключением нескольких, обнаруживается выполнение одного из указанных двух случаев. Вследствие этого, возникает следующая задача.

(Г) Доказать, что за исключением нескольких случаев, группа, порожденная правыми, трансляциями конечного неотела N, отличного от поля Голу а, есть А к или S\. Описать с точностью до изоморфизма эти исключения.

Можно сформулировать более общую задачу.

(Г1) Пусть (L, +,0) — конечная лупа с регулярной на L\{0} группой автоморфизмов. Пусть G группа, порожденная трансляциями лупы L (всеми трансляциями или только~правыми трансляциями). Доказать, что, за исключением нескольких случаев, группа G совпадает с Afi или Sn- Описать эти исключения.

Как уже отмечалось, наиболее интересные из неотел — это отличные от GF(q) конечные неотела с плоскостным условием, существование которых неизвестно [30]. Такому неотелу соответствовала бы плоскость типа 1.4. Эта плоскость входит в класс Д, где Д — класс проективных плоскостей, удовлетворяющих следующему условию.

Плоскость 7г имеет три неколлинеарные точки р, q, г такие, что группа G, состоящая из коллинеаций плоскости it, оставляющих неподвижными точки р, q, г, действует транзитивно на множестве точек, не лежащих на прямых pq, pr, qr.

Изучение этого класса плоскостей важно в связи с еще двумя нерешенными проблемами: в класс Д входят все проективные плоскости типа 1.3 (совпадение обозначений 1.3, 1.4 в 3-сетях [20] и в классификации Ленцем-Барлотти чисто случайно). Как и в случае 1.4, пзвест-

ны только бесконечные плоскости типа 1.3 [31]. Кроме того, в класс Д входят все плоскости с группой коллинеаций, транзитивной на четырехугольниках. Отмстим нерешенный вонрос: будет ли альтернативной бесконечная проективпые плоскость с группой коллинеаций, транзитивной на четырехугольниках [19, с. 21].

Так как класс Д является достаточно обширным, то не ставится вопрос об описании плоскостей из класса Д с точностью до изоморфизма. Вместо этого рассматривается следующая задача описания класса А в теоретико-групповых понятиях:

(Д) Построить точки, прямые, инцидентности и тернар плоскости 7Г, исходя из смежных классов и некоторых дополнительных множеств группы (?.

В задачах (А) - (Д) изучаются алгебраические системы, сети и плоскости с группой автоморфизмов, обладающей определенными свойствами. Тем самым, задана группа и восстанавливается объект с данной группой автоморфизмов. В заключительной главе 5 рассматривается обращение этой задачи. Пусть задана конечная группа С. Необходимо построить, группу <7, как группу автоморфизмов алгебраической системы, конечной геометрии, решетки и т.п. Разумеется, в качестве С должна выступать группа из наиболее важных классов групп: групп Шевалле, спорадических групп. Естестве-1Ю, эти конструкции дают дополнительную информацию о строении группы (3.

В работе предлагается следующий метод для построения конечных групп.

Пусть С — конечная группа, К — поле комплексных чисел или его подполе, V — эрмитово пространство над К (или евклидово пространство над К). Построить конечное множество 1 в пространстве V такое, что группа изометрий пространства V, сохраняющих множество 3, изоморфна группе <7. Допустимо небольшое изменение в 'постановке задачи: вместо множества 7 рассматриваются два множества 3 и Г). Некоторые идеи такой конструкции можно проследить из построения спорадических простых групп Д. Конвея [32].

Среди классических групп мы выделяем симплектические группы и формулируем следующую задачу.

(Е) Построить приведенным выше методом сгшплектические группы над конечным полем.

Цель работы. Полное решение вопросов (А), (А1), (В), (Г), (Д). Рассмотрение задач (Б), (Г1), (Е) при дополнительных ограничениях.

Общая методика исследований. Применяются методы теории конечных групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейших приложениях теории групп к исследованию квазигрупп, луп, 3-сетей, аффинных и проективных плоскостей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I и II Международных конференциях по алгебре в Новосибирске и Барнауле, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Свердловске, на семинаре по общей алгебре МГУ, основанном О.Ю.Шмидтом, на семинарах «Алгебра и логика» в ИМ СО РАН и «Теория групп» в НГУ, на алгебраическом семинаре по теории групп в ИММ УрО РАН, на семинаре «Алгебраические системы» в УрГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39]-[51].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из пяти глав, списка литературы (93 наименований) и занимает 202 страницы текста. Нумерация теорем одинарная, нумерация предложений (лемм, определений) двойная: номер главы и номер предложения (леммы, определения) в главе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Главными результатами диссертации можно считать теоремы 1 - 15, отвечающие па поставленные вопросы (А), (А1), (Б), (В), (Г),

(И), (Д), (Е).

Перейдем к изложению результатов диссертации по главам.

Глава 1 является введением.

Основными результатами главы 2 являются теоремы 1 и 2, дающие ответы на вопросы (А) и (А1). В них описаны пары (X, (7), где

Л' — конечный несингулярный группоид, С — подгруппа в Аи^ЛГ) и С 2-транзитивиа на X. В теореме 1 рассматривается случай ЩС) = 1, в теореме 2 — случай ф 1. Через Д((?) обозначается наибольший разрешимый нормальный делитель группы <3. Основная теорема содержит в краткой, форме информацию, полученную в теоремах 1 и 2.

Конечный несингулярный группоид с 2-транзитивной группой автоморфизмов является квазигруппой. Пусть (ф, •) — квазигруппа, и элементы а\Ь , Ь/а определяются равенствами а ■ (а\Ь) = Ь и (Ь/а) ■ а = Ь. Обратной квазигруппой для квазигруппы {С}, •) называется квазигруппа (С},*), где операция * является одной из следующих 6 операций

1) х * у = х ■ у, 2) х*у = х\у, 3) х * у = х/у,

4)х*у = у\х, Ъ)х*у = у[х, 6)х*у — у-х. Отметим, что Аи1;(ф, *) = АиЦС?, •).

Основная теорема Пусть X — конечный несингулярный группоид, \Х\ > 3 и группа Аи^Х) 2-транзитивна на множестве X. Тогда выполнено одно из двух утверждений :

1) группоид X равен одному из группоидов Рп, (¿(п,д,ё,,к) или группоид X равен группоиду Ка, где К — одно из 7 иррегулярных почти-полей ;

2) группоид X изоморфен одному из обратных группоидов для группоидов (¡¡га, <3вь Ом,

Приведем необходимые определения.

Группоид Рп. Рп — группоид, состоящий из ненулевых элементов векторного пространства размерности п + 1 над полем (5^(2), где х-х=хжх-у — х + у при х ф у.

Группоид <3{п, д, ё, к). Пусть п — натуральное число, д — степень простого числа, причем выполнены следующие два условия:

а) каждый простой делитель числа п делит д — 1;

б) если 4 делит »г, то 4 делит 5—1.

, Пусть д. — натуральное число, ^ = СР(ды), к £ С Г и к ф

0,1. Элементы группоида <1, к) совпадают с элементами из Р.

Зафиксируем образующий элемент ш мультипликативной группы Г*, от выбора которого зависит произведение х • у в (~)(п,д, <1, к). Любой элемент у £ Г' однозначно записывается в виде у = где 0<г'<пи0<^< (дпЛ-1)[п. Тогда х-х = х и х-у = кч'(х-у)+у

для х - у = .

Группоид К". Пусть К — почти-поле с дистрибутивным закоиом (х + у)г = хг + уг и а € К \{0,1} ( все конечные почти-поля описаны в [33] ). Элементы группоида Ка совпадают с элементами множества К и х ■ у = а(х — у) + у для всех х,у £ К (при этом а(х — у) — произведение в почти-поле К).

Группоиды <228, С^т, <?81> *9т29 имеют соответственно порядки 28, 81, 81, 729 и введены в [39].

Теорема 1 Пусть X — конечный несингулярный группоид, |Х| ^г 2, (? — подгруппа в АхА(Х), действующая 2-транзитивно на X. Если Д(Ст) = 1, то справедливо одно из трех утверждений: 1 )Х = РЯ, п> 1, С? = Аи^) = <7£(п+1,2);

2)Х = Рг,

3) группоид X изоморфен или антиизоморфен группоиду (¿2& и в = Аи1(Х)^РГЬ(2,8).

Для формулировки теоремы 2 группоид <3(п, д, й, к) 1фи п = 1 удобно рассматривать в несколько иной форме записи (¿(У,к). Пусть V — векторное пространство над полем .Г и к 6 Р \ {0,1}. Тогда

V,, к) — группоид (V, •), где х ■ у = кх + (1 — к)у для всех х,у 6 V.

теорема 2 Пусть X — конечный несингулярный группоид, |Х| > 3, С — подгруппа в Аи^ЛГ), действующая 2-транзитивно на X. Если Я(<?) Ф 1, то выполнено одно из следующих утверждений:

1) X = <5(п, <7, (I, к), О содержит группу Т6*о- При этом Т — группа трансляций поля Г = и для некоторого ш 6 F*, где Р* —< ш >, справедливо бо =< а,Ь >, где ха = хш",хь = хяш для всех х е F;

2) X = к), где V — векторное пространство размерности п* ^ 2 надполем Е<=СР(д). При этом С? = Т(7(ь Т — группа трансляций, Со С Г£(У) и выполнено одно из следующих условий:

а) БЦУ) С С0;

б) существует невырожденная кососимметрическая форма на пространстве (V, Ь) и во содержит Зр(У) в качестве нормальной подгруппы;

в) п* = 6, д = 2т, (?о содержит нормальную подгруппу, изоморфную <32(д);

г) Gо — транзитивная ña V \ {0} подгруппа из VL(V), указанная о пунктах IV, El, Е4 из_ [34, с. 444 ] ( при этом буква G в [34] заменяется на Go)',

3) X = К", где К — одно из семи иррегулярных почти-полей, | = р2, а е К\ GF(j>), G = Aut(Á') — группа линейных преобразований х i—> хт + Ь ( ш, Ь S К, т ф 0) почти-поля К;

4) X изоморфен одному из шести группоидов, обратных к группоиду Qgi, G — TGo, Т — группа трансляций, Go имеет инвариантную подгруппу М, [М| = 25, М = М1М2, [Mi, Л/2] = 1, Mi — группа кватернионов порядка 8, Mi — группа диэдра порядка 8. Кроме того, G(¡/М = Z-3 или Go/M = Dio — группа диэдра порядка 10;

5) X изоморфен одному из шести группоидов, обратных к группоиду Qgj, G = TGo, Т — группа трансляций, Go имеет инвариантную подгруппу N В£ SL(2,5), [G0:NCG!>(N)] = 2;

6) X изоморфен одному из шести группоидов, обратных к группоиду <5729, G = TGo — Aut(X), Т — группа трансляций, Go £S¿(2,13).

В теореме 3 описываются системы Штейнера S(X) для всех 2-однородных группоидов X. Системой Штейнера S = S(t,k,v), где 1 < t < k ^ v, называется и-элементное множество Í2 с системой к-элементных подмножеств (блоков) таких, что каждое ¿-элементное подмножество из ÍÍ содержится ровно в одном блоке [35, с. 68]. Мы не исключаем случай к = v. Каждому группоиду X с 2-транзитивной группой автоморфизмов следующим способом сопоставляется система Штейнера S(X). Для любых различных элементов a,b € X рассмотрим подгруппоид Xaj¡, порожденный элементами о и 6, и назовем его блоком. Порядок к = \Ха$\ не зависит от а, Ь и получается система Штейнера S = S{ 2, к, v) с множеством блоков Xaj,, где v = |_Х"|.

TÉOPEMA 3 Справедливы следующие утверждения:

1) S(Pn) — система троек Штейнера 5(2,3,2n+1 — 1);

2) S(Q28) — система Штейнера 5(2,4,28);

3) Пусть X = Q(n, q,d, k), Fo — простое подполе из F — GF(qnd) и Fi = Fo(k). Рассмотрим X как векторное пространство над полем F\. Тогда S(X) — система Штейнера S(2,q¡,q\), где |Fi| = 51,

|Х| = q[. Блоки из S(X) совпадают с прямыми аффинной геометрии пространства X.

4) Пусть X = К" — группоид из пункта 3) теоремы 2 uc,d £ X, c¿d. Тогда Xc,d = X, т.е. S(X) = 5(2, |Х|, |Х|) (случай k — v);

5) S(Qüi) — аффинная плоскость Лд над исключительным почти-полем ДГ(2,3);

6) S(Q'8l) — аффинная плоскость над полем GF{9);

7) S{Qj2í) = T~ii — одна из двух блок-схем Геринга [36], являющихся системами Штейнера 5(2,9,3е).

Рассмотрим задачу (Б).

Пусть F = GF(q), где q = 2Г; Тг(х) — след элемента х из F в GF{2); Fi = {х £ F \ ВД = 1};

V = {(а,6) | а, 6 (Е F} — векторное пространство упорядоченных пар элементов из F с естественными сложением и умножением на элементы А € F;

Vi = {(а,Ь) 6 V | Тг(аЬ) = г'}, при этом г = 0 или г = 1.

Нетрудно проверить, что \V(¡\ = и |Vj| =

Для любых элементов х = (a,b), у = (c,d) из V" рассмотрим элемент f(x, у) 6 F, заданный равенством f(x, у) = ad + be + +У(а + с)(Ъ + d).

Определим группоид Х{т) = (Vi,-), зависящий от произвольного выбора элемента t g F\ и отображения т : .Fi\{f} —► F¡. Зафиксируем такой выбор и обозначим через х образ элемента х при отображении т. Введем операцию • на V\. Считаем х • х = х для всех х € Vj. Пусть х,у £ Vi , х ф у, х = (а, 6), у = (c,d), где a,b,c,d € F. Полагаем х ■ у - х + Л(а; + у), где Л = (t + f{x,y) + t)/f(x, у). Произведение Х(х + у) — это произведение элемента Л G F на вектор х + у £ V, т.е. \(х + у) = (А(а + с), A(6+íZ)). Аналогичным способом в [41] определен группоид Х{а, ki,k2).

Теорема 4 а) Группа Aut(«Y(r)) при q > 2 содержит подгруппу G = SL(2,q), транзитивную на множестве Vi.

б) ЕслиХ — конечный группоид порядка q(q —1)/2, q — 2Г игруппа Aut(X) содержит подгруппу G = SL(2, q), транзитивную на множестве X, то X изоморфен некоторому группоиду Х(т).

Теорема 5 а) Группа At.it(Л'(а, к^ к?)) содержит, подгруппу С = БЬ(2,з), транзитивную на множестве Уц.

б) Если X — конечный группоид порядка 5(?+1)/2, д = 2Г ы группа АхА,{Х) содержит подгруппу С = БЬ{2,д), транзитивную на множестве X, то X изоморфен некоторому группоиду Х(о, к\, к^).

Тем самым рассмотрена задача (Б) в случае С = БЬ{2, д), д = 2п,Х = Ч{я±1)/2.

В главе 3 в теоремах 6—8 дается полное решение задачи (В). Получено описание с точностью до изоморфизма конечных 3-сетей типов 1.3, 1.4, 1.5.

Теорема 6 Не существует конечной 3-сети типа 1.5.

Теорема 7 Существует ровно три конечные 3-сети типа 1.4, а именно, сети Л/в, Л/12, Л28 порядков 6, 12 и 28 соответственно.

теорема 8 Конечная 3-сеть N имеет тип 1.3 тогда и только тогда, когда Л/- совпадает с сетью порядка 28 или сетью Л/"(К, и) порядка р" для некоторого простого числа р.

Определим сети из заключений теорем 7 и 8. Каждой 3-сети А/" соответствует координатная квазигруппа и порядок сети совпадает с порядком этой квазигруппы.

Сети А/12 соответствует «лупа арифметической прогрессии» [37, с. 407], а сети Л/в — лупа (¿ь [40]. Сети Л/^ соответствует группоид <3г8-

Введем сеть Я {К, и). Пусть К — почти-поле. Зафиксируем элемент и € К \ {0,1}, не удовлетворяющий тождеству

— г) — — и(и~1(и(у — 1) + — = х — 1.

Рассмотрим квазигруппу (К,•), где х • у = и(х — у) + у для всех х,у 6 К. Тогда сеть N (К, и) — это сеть, соответствующая квазигруппе (К,*).

Для определения сети А/28 введем бесконечную серию луп Пусть Р1 = д = 2% г = 2т -Ъ1, тп = 1,2,... и У — векторное

пространство упорядоченных пар (а, Ь), где а,Ь Е Р. Рассмотрим множество <? = {(а, 6) е V | Тг%т(аЬ) = 1}. Тогда |ф| = д(? - 1)/2.

Для х — (а, Ь), у = (с, д.) из V, где х ф у, рассмотрим

/(я, у) = аЛ + Ьс + ^(а + с)(Ь +<*), 1 + Ь + с

Ь(х,у) = а + Ь + с + <1 + х/(а + с)(Ь + сг), /(*, 2/)

Определим лупу (ф, *) с единичным элементом е = (1,1) и условием х*х = е для всех х £ <5-Пусть х,у х фу, х = (а,£>), «/ = (с,й). Тогда

х * у - е + р(х + у),

где /л = ц(х,у). Сеть .Л/^ соответствует лупе (С^,*) при тп = 1.

Отметим, что некоторые квазигруппы общие для глав 2,3,4 : квазигруппа £?28 из главы 2 появляется в теореме 8, а «лупа арифметической прогрессии», связанная с теоремой 7, является аддитивной лупой неотела N¡2 из заключения теоремы 9.

В главе 4 рассматриваются задачи (Г) и (Г1). Главным результатом является теорема 9, в которой получено полное решение задачи (Г). Теорема 10 содержит частичный ответ па вопрос (Г1).

Теорема 9 Пусть N — конечное неотело порядка п, и б — группа, порожденная правыми трансляциями х ► х+а аддитивной лупы Тогда справедливо одно из утверждений :

а) N — поле ;

б) группа С? совпадает со знакопеременной группой Ар/ или симметрической группой Бц ;

в) п — 10, неотело N изоморфно неотелу Мщ и б = £в;

г) п — 12, неотело N изоморфно одному из трех неотел Л^, и группа <3 изоморфна группе Матье Ми-

Теорема 10 Пусть — конечная лупа с регулярной группой

автоморфизмов, и С — группа, порожденная правыми трансляциями XIх + а и левыми трансляциями х н-» а + х. Если группа (? имеет неединичную разрешимую нормальную подгруппу, то N — элементарная абелева группа.

Неотела Л^ю и N¡2, Л^, Л^ из заключения теоремы 9 имеют соответственно порядки 10, 12, 12, 12 и введены в [42].

В главе 5 рассматривается построение некоторых классов проективных плоскостей и конечных групп.

В начале главы вводятся проективная плоскость Л/ и ее обобщение. Основпые идеи этой конструкции возникли при построении группоида <3729.

В разделе 5.2 рассматривается решение задачи (Б). Введем плоскость 7г(ГьГ2,Гз,а,1>). Пусть Г — группа, Го, Гх, Гг, Гз — подгруппы в Г, а е Лг2(Го), -О — подмножество в Г, причем

Г.-Г, = Г, Г,ПГ, = Г0 для г,.? £{1,2,3} и г'^;'; (Гоу, еслилг ^ГхиГ2иГз,

если х £ Гх и Г2 и Г3 и х $ Г0;

рпг£) = [уГо, если х ^ Г1 и Г2 и а-1Гза,

(0, если х е Г1 и Г2 и а_1Г3а и х <£ Г0;

вй П Г;г = если х ф Г,-,

0, если х 6 Г,;

„ . уГп, если л: ^ Г,-, [0, если х € Г,-; где ¿ = 1,2,3, причем в = 1 для г = 1,2 и 9 = а для г = 3. Элемент у из данных равенств зависит, конечно, от элемента х.

Пусть Г;а — произвольный смежный класс, где о € Г, г = 0,1,2,3. Введем символы < Г,а > и [Г,-а], которые будем называть соответственно точкой и прямой. Кроме того, введем еще три точки < 1 >, < 2 >, < 3 > и три прямые [1], [2], [3]. Итак, множество точек V и множество прямых £ заданы равенствами:

11 {< Г,а > |а£Г}и{<1 >,< 2 >,< 3 >},

с= и (М |аег}и{[1], [2], [3]}.

Определим инцидентность точек и прямых с помощью следующей таблицы инцидентностей.

В каждой клетке указывается условие инцидентности. Если точка и прямая инцидентны (неинцидентны) вне зависимости от условия, то ставится знак + (-). Тем самым, получается инцидентностная структура 1г= тг(Г1,Г2,Гз,а,1>).

С\Т < 1 > <2 > < 3 > <Г,Ь> <Г2Ь> <Г36> <г0ь>

[11 - + + - - + -

[2] + - + - + - -

И " + + - + - - -

[ГН - - + а € Г:Ь - - а е г^

[1>] - + - - а е г2ь - а 6Г26

[Гза] + - - - - аег3ь а € Г3Ь

[Гоа]" - - - а € Г16 а € Г26 аа 6 Г36 аеОЬ

Теорема 11 Инцидентностная структура 7г = 7г(Г1,Г2,Гз, а, £)) является проективной плоскостью. Группа коллинеаций плоскости 7Г, стабилизирующих точки < 1 >, < 2 >,< 3 >, действует тран-зитивно на множестве точек, не лежащих на прямых < 1 >< 2 >, < 1 >< 3>, < 2 >< 3>.

Теорема 12 Пусть 7г 6 А. Тогда плоскость л изоморфна некоторой плоскости 7г(ГьГа,Гз,а,1)).

Теорема 13 Тернар К, соответствующий выбору в проективной плоскости 7г(Г1,Г2, Гз, а, О) четверки точек (0,1,Х,К) = (< 1 >, < Г0 >,< 3 >,< 2 >), имеет следующий вид. Элементами множества К являются смежные классы Гох, х £ Гз, и пустое множество, обозначаемое знаком 0, т.е.

К = {Г0Х]Х£Г3}Ц{0}.

Тернарная операция на К определяется по правилу

х-тоЪ = Г1(Г2г П 1>_1(Г1б П а_1Г3(Г1Ш П Г2))) П Г3 при х,т,Ъф 0; 0'7поЬ = 1- 0оЬ=6; X ■ т о 0 = Г!(Г2х п Г3(Г¡т П Г2)) Л Г3.

Единицей 1 тернара К является элемент Го, нулем — элемент 0.

В разделе 5.3 главы 5 предлагается следующий способ построения симплектических групп над полем нечетной характеристики. В эрмитовом пространстве V рассматриваются два множества У и / такие, что стабилизатор множеств ./ и ./' в группе 5£/(V) изоморфен

группе Sp*(2n,q) = Sp(2n,q) X < в >, q = pm, p — простое число, p > 2, j 0 I = т. Приведем необходимые определения.

Пусть F = GF(q), q = pm, p — простое нечетное число и Е — векторное пространство над F размерности п > 1. Пусть также ГЬ(Е) — группа невырожденных полулинейных преобразований пространства Е, Р{Е) — совокупность всех подпространств в Е\ Р'(Е) = {А + r\A е Р(Е) и г Е Е) — совокупность всех аффинных подпространств в Е.

Рассмотрим < е >= {ек\к = 0,.. .р — 1} — группу корней степени р из 1, где £ = сая(2т/р) + ism(2ir/p).

Пусть V— эрмитово пространство над полем Q[e] с ортонормиро-ваным базисом {vr|r 6 £};

Для произвольного векторного пространства А над F обозначим через А* и (А) пространство линейных функций и, соответственно, пространство симметрических билинейных форм пространства А.

Пусть Tt(a) — след элемента а из F в простое подполе Fq = {0,... ,р — 1}. Для a G F определим степень £я, равную

Образ элемента а и множества А при отображении д обозначаем через д(а) и д{А).

Пусть С — множество отображений х- Е —►< е > таких, что для некоторого д G L2S{E) отображение х имеет вид:

х(г) = для всех г € Е;

С' — множество отображений Е —>< е > таких, что

Х(г) = для всех геЕ,

где д б L\(E), h 6 Е*,а б F. Если хъХ2 — отображения Е в < е>, то произведение %iX2 — отображение Е в < е >, определяемое по правилу: xixs(r) = XiM• Хг(г).

Пусть q* - (-1 )(«_J>/2g, т.е. q* = q при 5 = 1 mod 4 и q* = -q при 5 = 3 mod 4;

Рассмотрим два подмножества J и J' из V, определенные следующими равенствами:

/ = {г, е V I V = ±(v^rfc Е х(г)М,

Г ел

где А е Р(Е), \А\ = qk {к = 0,1,... , п) и х € А

J' = {v&v\v = ±(V¥rkEx(r)vrh

гел

щеАеРЧЕ), H| = î* (¿ = 0,1,... ,п)иХе£'-

Пусть

G = {g g 5I/(V)b(J) = J и s(J') =

Для векторного пространства W пад F размерности 2п с невырожденной знакопеременной билинейной формой / рассмотрим группу

Sp*(2n,q) = {де TL(W) \ f(g(x),g(y)) = /(*,»)''} для всех х,у G W,

где a g — автоморфизм поля соответствующий преобразованию д.

теорема 14 Группа G изоморфна Sp*(2n,q).

Аналогичным методом в теореме 15 построено расширение экстраспециальной группы порядка 22n+1 типа + с помощью ортогональной группы Oj,(2).

Литература

[1] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию - М.: Мир, 1985.

[2] Камерон П.Дж. Конечные группы подстановок и конечные простые группы // У.М.Н.- 1983.- Т.38, вып.3(231).- С.135-157.

[3] Фейт У. Некоторые следствия классификации простых конечных групп // У.М.Н.- 1983 - Т.38, вып.3(231) - С.127-133.

[4] Кострикин А.И. Об однородных алгебрах // Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1965.- Т.29, № 2 - С.471-484.

[5] Shult Е. On finite automorphic algebras // Illinois J. Math.- 1969-V.13, A> 4 - P.625-653.

[6] Shult E. On the triviality of finite automorphic algebras // Illinois J. Math.- 1969 - V.13, № 4.- P.654-659.

[7] Gross F. Finite automorphic algebras over GF{2) // Proc. Amer. Math. Soc - 1972 - V.31, № 1.- P.10-14.

[8] Иванов Д.Н. Об однородных алгебрах над GF(2) // Вестн. Моск. ун-та, сер.1. Матем., механ- 1982.- № 2. С.69-72.

[9] Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп, 2 изд.- Свердловск: Урал, ун-т, 1979.

[10] Ostrom T.G., Wagner A. On projective and affine planes with transitive collineation groups // Math. Z. 1959 - B.71- S.186-199.

[11] Key J.D., Shult E.E. Steiner triple systems with doubly transitive automorphism groups: A corollary to the classification theorem for finite simple groups // J. Comb. Theory. Ser. A.- 1984.- V.36.-P.105-110.

[12] Kantor W. Homogeneous designs and geometric lattices // J. Comb. Theory. Ser A.- 1985 - V.38.- P.66-74.

[13] Stein S.K. Homogeneous quasigroups // Pacific J. Math.- 1964-V.14, № 3.- P.1091-1102.

[14] Strambach K. Multiplikationen mit großen Automorphismengruppen // Aequat. Math - 1987 - V.32- P.311-326.

[15] Галкин B.M. Дважды транзитивные симметрические квазигруппы // Деп. ВИНИТИ 10.12.82, № 6070-82.

[16] Lenz Н. Kleiner dezarguesscher Satz und Dualität in projektiven Ebenen // Jahres-ber. Deutsche Math. Ver - 1954 - 57 - S.20-31.

[17] Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (А, a) per cui un piano graifico risulta (A, a) transitive // Boll. Un. Mat. Ital- 1957 - V.12 - P.212-226.

[18] Dembowski P. Finite Geometries - Berlin etc.: Springer, 1968.

[19] Аргунов Б.И., Емельченков Е.П. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры // УМН.-1982.-Т.37(224).-С,3-37.

[20] Barlotti А., Strambach К. The Geometry of Binary Systems // Advances in Math - 1983 - V.49 - P.l-105.

[21] Белоусов В.Д. Алгебраические сети и квазигруппы - Кишинев: Штиинца, 1971.

[22] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп.- М.:, Наука, 1967.

Галкин В. М. Квазигруппы. // Итоги пауки и техн. ВИНИТИ Алгебра. Топология. Геометрия. 1988.- Т.26 - С.3-44.

M.Niemenmaa, A.Vesanen From geometries to loops and groups // Groups-Korea 94. Eds. A.Kim et al. de Greuyter- Berlin, 1995.

Paige L.J. Neofields // Duke Math. J.- 1949.- V.I6- P.39-60.

Hsu D.F. Cyclic neofields and combinatorial designs // Lect. Notes in Math., № 824 - Berlin etc.: Springer, 1980.

Johnsen E.C., Storer T. Combinatorial structures in loops, II. Commutative inverse property cyclic neofields of prime-power orders // Pasif. J. of Math - 1974.- V.52, № 1- P.115-127.

Johnsen E.C., Storer T. Combinatorial structures in loops , III. Differense sets in special cyclic neofields //J. Numb. Theory.- 1976.-V.18 - P.109-130.

Johnsen E.C., Storer T. Combinatorial structures in loops, IV. Steiner triple systems in neofields // Math. Z. 1974- B.138, H 1-S.l-14.

Kantor W.M. Projective planes of type 1-4 // Geom. dedic.- 1974-V.3, № 3 - P.335-346.

Bachman O. Über projektive Ebenen des Lenz-Barlotti-Typs 1.3 // Math. Z.- 1973 - В.130,- S.119-141.

Conway J.H. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // Bull. London Math. Soc. 1969 - V.l, № 1,- P.79-88.

Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper // Abb. Math. Sem. Univ. Hamburg- 1936 - B.ll - S.187-220.

Hering С. Transitive linear groups and linear groups which contain irreducible subgroups of prime order // Geom. Dedicata.- 1974-V.2.- P.425-460.

Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки - М.: Связь, 1979.

Hering С. Two new sporadic doubly transitive linear spaces // Lect. Notes in Pure and Appl.Math.-1985.-V.103,- P.l 27-129.

[37] Конвей Дне., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы I.-М.: Мир, 1990.

[38] Hering С. Eine nicht-desarguessche zweifach transitive affine Ebene der Ordnung 27 // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg- 1970.- B.34-S .203-208.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[39] Ильиных А.П. Классификация конечных группоидов с 2-тран-зитивной группой автоморфизмов // Матем. сб.- 1994 - Т.185, № 6.- С.51-78.

[40] Ильиных А.П. Классификация конечных 3-сетей типов 1.3, 1.4, 1.5 // Матем. сб.- 1995 - Т.186, № 10 - С.41-56.

[41] Ильиных А.П. Группоиды порядка q(q ± 1)/2, g = 2Г, имеющие группу автоморфизмов, изоморфную SL{2, g) Ц Сибирский математический журнал - 1995 - Т.36, № 6 - С.1336-1341.

[42] Ильиных А.П. Конечные неотела и 2-транзитивные группы // Алгебра и логика - 1997 - Т.36, № 2 - С.166-193.

[43] Ильиных А.П. О плоскости Геринга и ассоциированных с ней блок-схемах // Матем. заметки.- 1996 - Т.60, вып.6 - С.873-881.

[44] Ильиных А.П. Проективные плоскости с группой коллинеаций, транзитивной на точках, лежащих вне сторон треугольника // Подгрупповая структура групп. Свердловск: УрО АН СССР.-1988 - С.67-73.

[45] Ильиных А.П. Новая конструкция симплектических групп над нолем нечетной характеристики // Исследования по теории групп. Свердловск: УНЦ АН СССР- 1984.- С.68-80.

[46] Ильиных А.П. Построение некоторых конечных групп // Исследования алгебраических систем по свойствам их подсистем. Свердловск: Уральск. Гос. ун-т- 1980.- С.68-75

[47] n'inyh А.Р. Four sporadic groupoids witk doubly transitive auto-inorphism group // Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова, Красноярск, 1993: Тез. докл.-Красноярск, 1993 - С.398-399.

[48] Il'inyh. A.P. Finite groupoids of order q(q ± l)/2, q = 2r admitting SL(2, q) as the transitive automorphism group // Алгебра и анализ. Тезисы докладов международной научной конференции, по-свящепной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева, Казань, 1994: Тез. докл.- Казань, 1994 - 4.1, С.129.

[49] Ильиных А.П. Классификация конечных 3-сетей // Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И. Ширшова, Барнаул, 1991: Тезисы докладов по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре.- Новосибирск, 1991.- С.51.

[50] Ильиных А.П. Новые конструкции симплектических и унитарных групп // XVI Всесоюзная алгебраическая конференция, Ленинград, 1981: Тезисы сообщений - Ленинград, 1981- 4.2, С.169.

[51] Ильиных А.П. Конечные неотела и 2-транзитивные группы // XDC Всесоюзная алгебраическая конференция, Львов, 1987: Тезисы сообщений- Львов, 1987,- 4.2, С.111.

Подписано в печать 15.10.97. Формат 60x84 1/16 объем 1.5 п.л. Печать на ризографе, заказ 2121 Отпечатано в отделе множительной техники УрГПУ.

620219 г.Екатеринбург ГСП135, проспект Космонавтов, 26