Топологическая классификация сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Цели и задачи диссертации.

2. Актуальность темы и краткий библиографический обзор.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна и результаты выносимые на защиту.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация работы.

7. Структура и объем диссертации.

8. Краткое содержание и основные результаты.

9. Публикации по теме диссертации.

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СВЕРХТРАНЗИТИВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

1.1. Предварительные сведения о накрытиях.

1.2. Рациональные и иррациональные точки абсолюта. Свойства автоморфизмов группы накрытия.

1.3. Асимптотические свойства полутраекторий сверхтранзи тивных потоков. Гомотопический класс вращения. Орбита гомотопического класса вращения

1.4. Необходимые условия топологической эквивалентности.

ГЛАВА 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СВЕРХТРАНЗИТВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

2.1. Проблема существование замкнутой трансверсали и гомотопной замкнутой трансверсали.

2.2. Достаточные условия топологической эквивалентности.

Г Л А В А 3. ДОПУСТИМОСТЬ И РЕАЛИЗАЦИЯ СВЕРХТРАНЗИТИВНЫХ ПОТОКОВ НА ЗАМКНУТЫХ НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

3.1. Допустимость.

3.2. Реализация.

1. Цели и задачи диссертации

Диссертация посвящена изучению нелокального поведения важного класса динамических систем со сложными предельными множествами на замкнутых неориентируемых поверхностях-сверхтранзитиеных потоков.

Поток (динамическая система с непрерывным временем) на замкнутой неориентируемой поверхности М называется сверхтранзитивным, если он содержит ненулевое конечное множество состояний равновесия, каждое состояние равновесия является топологическим седлом отрицательного индекса, имеет на М всюду плотную полутраекторию и не имеет сепаратрис, идущих из седла в то же самое или другое седло.

Исследование сверхтранзитивных потоков представляет не только самостоятельный интерес, поскольку их топология наиболее тесно связана с топологией несущего многообразия, но также интерес для исследования слоений с особенностями и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями (аносовских, псевдоаносовских и обобщенных псевдоаносовских и других типов гомеоморфизмов). Сверхтранзитивные потоки являются естественным обобщением иррациональной обмотки тора, изученной А. Пуанкаре и А. Данжуа, и топологическая структура которых описывается с помощью числа вращения Пуанкаре.

Цель работы состоит в топологической классификации сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях.

Под топологической классификацией потоков на многообразиях в настоящее время принято считать решение следующих трех проблем: 1) нахождение полного топологического инварианта, знание которого позволяет ответить на вопрос о необходимых и достаточных условиях топологической эквивалентности потоков; 2) проблемы допустимости, то есть выделения такого максимально возможного множества топологических инвариантов, что для каждого инварианта из этого множества существует поток из рассматриваемого класса; 3) проблемы реализации, то есть построения в силу некоторой конструкции по каждому допустимому инварианту стандартного (канонического) представителя - конкретного потока из данного класса.

После этого становится возможным сделать разбиение всех потоков систем из рассматриваемого класса на данном многообразии на непересекающиеся между собой топологические классы и полностью описать топологическую структуру в каждом таком классе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Объединяя результаты данной диссертации с результатами, полученными С.Х. Арансоном и В.З. Гринесом [11], получаем полную топологическую классификацию сверхтранзитивных потоков на замкнутых ориентируемых и неориентируемых поверхностях поверхностях

РИСУНКИ.

Рис.1

81

Рис.3

Рис.6

Рис.9

1. Аносов Д.В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях // Изв.АН.СССР. Сер.мат. 1987. Т.51. №1. С.16-43.

2. Аносов Д.В. Обесконечных кривых на торе и замкнутых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики//Тр.МИАН СССР. 1988.Т. 185.С.30-53.

3. Аносов Д.В. Как могут уходить на бесконечность кривые на универсальной накрывающей плоскости, накрывающие несамопере-секающие кривые на замкнутой поверхности//Тр.МИАН СССР. 1989.Т. 191.С.34-54.

4. Аносов Д.В О бесконечных кривых на бутылке Клейна// Ма-тем.сб. 1989.Т.180.Ш.С.39-56.

5. Аносов Д.В Потоки на поверхностях//Тр.МИАН им. Стекло-ва1992.Т.193.С.10-14.

6. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Гринес В.З. Гладкие динамические системы //Итоги науки и техн. Соврем.проб.мат. Фундам. направления. Динамические системы//ВИНИТИ. 1985. Т.1. С.151-242.

7. Арансон С.Х. Траектории на неориентируемых двумерных многообразиях // Матем. Сб. 1969. Т.80. №3.C.314-333.

8. Markey N. The Poincare -Bendixson theorem for the Klein bottle // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 135.P.159-165.

9. Блохин A.A. Гладкие эгродические потоки на поверхностях // Труды ММО. 1972.Т.27.С.113-128

10. Nogueira A. Nonorientable Recurrence of Flows and Interval Exchange Transfomations // Jounal of Differential Equations. 1987.V.70. P.153-166.

11. Арансон C.X., Гринес В.З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем)//Матем.сб. 1973. Т.90. №3. С.372-402.

12. Арансон С.Х., Гринес В.З.Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных многообразиях //УМН.1986. Т.41.№1.С.149-169.

13. Aranson S.Kh., Belitsky G.R., Zhuzhoma E.V. Introduction to the Qualittative Theory of Dynamical Systems on Surfaces// Translations of Mathematical Monographs/AMS. 1996.V. 153.P. 1-325.

14. Арансон C.X. Глобальные задачи качественной теории динамических систем на замкгутых поверхностях// Дис. докт. физ.- матем. наук. Тбилиси : ТМИ АН ГССР, 1990.

15. Арансон С.Х. Топологическая классификация слоений с особенностями и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями на замкнутых поверхностях. Часть 1.Слоения// Деп.ВИНИТИ №6887 В-88. Горький: ГГУ им. Н.И. Лобачевского,1988.С.1-194.

16. Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский H.A. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах. Новосибирск: Наука, 1981.

17. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Римановы поверхности // Итоги науки и техники. Алгебра, топология, геомет-рия.М. -.ВИНИТИ. 1978.Т. 16.С. 199-245.

18. Mangier W. Die Klassen von topologischen Abbildungen einer geschlossenen Flache auf sich // Math.Z. 1939.Bd. 44.S.541-553.

19. NielsenJ. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen // Acta math.l927.V.50.P.189-358.

20. NielsenJ. Uber topologische Abbidungen geschlossener Flachen// Ab-handl.math. Seminar Hamburg. Univ. 1924.Band 111.Heft 1/P.246-260

21. Арансон C.X. Жужома E.B. О структуре квазиминимальных множеств слоений на поверхностях //Матем.сб. 1994.Т. 185. №8. С.31-62.

22. Gutierrez С. Floiations on surfaces having exceptional leaves// Lect. Notes Math. V.1331. P.73-85.

23. Майер А.Г. О траекториях на ориентируемых поверхностях //Матем. Сб. 1943.Т. 12(54).№1 .С.71-84.

24. Rosenberg H. Labyrints in the discs and surfaces// Ann. Math. 1983. V.ll№l.P.l-33.

25. Dathony C. Reseaux ferroviaires et feuilletages orienties de surfaces// Orsay Université de Paris- sud Centre D'Orsay. 1986.№89.P. 1-90.

26. Андронов A.A., Леонтович E.A., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М,: Наука, 1967.

27. Epstein D.B. Curves on 2- manifolds and isotopies// Acta Math. 1966.V.115.№1-2.P.83-107.

28. Cherry T.M. Topological properties of the solutions of ordinary differential equations // Amer. J.Math.-1937.-V.59.-P.957-982.

29. Koeble P. Riemannische Manigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen// Funfte Mittellung Sitzugsberichte der Pseussischen Acad.Wiss.-1930.-P.304-364.

30. Макаров И.П. Теория функций действительного переменного.-М.:Учпедгиз, 1958.-175с.

31. С.Х.Арансон, Е.В.Жужома, И.А.Тельных Транзитивные и сверхтранзитивные потоки на замкнутых неориентируемых поверхностях // Математические заметки 1998.Т.63, вып.4.-С.625-628.

32. С.Х.Арансон, И.А.Тельных Топологическая динамика сверхтранзитивных потокв на замкнутых неориентируемых поверхностях // Нижегородский государственный технический университет 1998. Деп. ВИНИТИ №1751-В98 С.1-81.

33. И.А.Тельных Топологическая классификация сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях. 1.( Необходимые условия топологической эквивалентности ) // Математические заметки 2000 Т.68.вып.З.-С.461-470.

34. Е.В.Жужома И.А.Тельных On the classification of attractors without mixing on the closed manifolds/ZDynamic Days (France, Lyon) 1996 г. (тезисы)С. 10-11.

35. С.Х.Арансон, Е.В.Жужома, И.А.Тельных Транзитивные и сверхтранзитивные потоки на замкнутых неориентируемых поверхностях // Тезисы V Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» Н.Новгород, 1999г., (тезисы) С.10-11

36. С.Х.Арансон, И.А.Тельных Топологическая классификация сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях //Международная конференция по дифференциальным уравнениям. г.Суздаль 2000г. С.110-111.

37. С.Х.Арансон, И.А.Тельных Сверхтранзитивные потоки на замкнутых поверхностях // Материалы докладов VIII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиями «КОГРАФ-98» 1998г. Н.Новгород (тези-сы)С.74-76.

38. А.Ю.Жиров Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей //Дис. докт. физ.- ма-тем. наук. Москва: РАН МИАН им.В.А.Стеклова, 1997.

39. Arnoux P., Yoccoz С. Construction de diffeomorfism pseudo-Anosov

40. С.r.Acad, sci. Paris.I-292, №l.C.75-78.