Траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.1

БОЛСИНОВ Алексей Викторович

ТРАЕКТОРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Мищенко, доктор физико-математических наук, профессор С.В.Матвеев, доктор физико-математических наук, профессор В.В.Жарко.

Ведущая организация:

Институт математики Сибирского отделения РАН.

Защита диссертации состоится ^_ 1995 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Чубариков.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что многие системы дифференциальных уравнений, возникающие в физике, геометрии и механике и описывающие совершенно различные явления, тем не менее тесно связаны между собой (в некотором смысле похожи).

Изучению таких связей (другими словами, изоморфизмов разного характера) между различными системами было посвящено очень много работ, начиная с Мопертюи, Эйлера, Якоби, Минковского. В последние годы этот вопрос (в связи с проблемами интегрируемости) обсуждался в работах Фоменко А.Т.1, Новикова С.П.2, Козлова В.В.3, Мозера4, Кноррера5, Веселова А.П.6 и других.

О каких типах изоморфизмов идет здесь речь? В зависимости от постановки задачи они могут быть весьма разнообразны. В настоящей работе речь идет главным образом о следующих двух хорошо известных отношениях эквивалентности среди динамических систем: сопряженность и траекторная эквивалентность (непрерывная и гладкая).

Вопрос о классифиции динамических систем в смысле этих отношений эквивалентности является классическим (см. работы7,8,9).

В диссертации полностью решена проблема траекторной классификации для одного из важнейших классов динамических систем, а именно для невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

1 Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. - М.: МГУ, 1988.

^Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. - УМН, 1982, Т. 37, 5, с. 3-49.

3Козлов В.В. Две интегрируемые задачи классической динамики. - Вестник МГУ, 1981, 4, с.80-83.

4Moser J. Various aspects of integrable Hamiltonian systems. - Prog. Math., Vol. 8, Boston: Birkhauser.- 1980, p. 233-289.

5Knorrer II. Geodesies on quadrics and a mechanical problem of C.Neumann. - J. Reine Angew. Math., 1982, 334, p. 69-78.

eVeselov A.P. Two remarks about the connection of Jacob! and Neumann integrable systems. - Math. Zeitschrift, 1994, 216, p. 337-345.

7 Андронов A.A., Леонтович Б.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Паука, 1966.

аАносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Грииес В.З. Гладкие динамические системы. II. — Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 151-242.

9Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 7-149.

С другой стороны, построенная в диссертации теория траекторной классификации является естественным развитием теории грубой и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых систем, построенной в работах Л.Т.Фоменко10.

Цель работы. Целью работы является построение теории траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, исследование траекторных инвариантов таких систем, в том числе разработка методов их вычисления для конкретных интегрируемых задач геометрии и механики.

Методы исследования. В основе теории траекторной классификации, построенной в диссертации, лежит новый подход в качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем, предложенный А.Т.Фоменко, и построенная им теория топологической классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Мы используем также методы общей теории динамических систем, гамильтоновой механики, симплектической геометрии и трехмерной топологии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие задачи.

1. Построена теория непрерывной траекторной классификации гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и описан полный набор соответствующих траекторных инвариантов.

2. Построена теория гладкой траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и построен полный "гладкий" траекторный инвариант.

3. Получена классификация гамильтоновых систем с одной степенью свободы на двумерных поверхностях с точностью до непрерывных и гладких сопряжений.

4. Разработаны общие методы вычисления траекторных инвариантов для конкретных примеров интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

5. Вычислены траекторные инварианты двух классических интегрируемых систем: задачи Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и случая Эйлера в динамике твердого тела.

6. Обнаружен новый траекторный топологический изоморфизм между этими знаменитыми системами. С другой стороны показано, что в гладком смысле они траекторно не эквивалентны.

10Fomenko A.T. Topological classification of all integrable Hamilton!an differential equations of general type with two degrees of freedom. - In : The Geometry of Hamiltonain Systems. Springer-Verlag, 1991, p. 131-339.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории динамических систем, гамильтоновой механике, симплектической геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались

на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством акад. А.Т.Фоменко,

на семинаре под руководством акад. Д.В.Аносова и проф. А.М.Степина,

на семинаре под руководством проф. А.С.Мищенко, на семинаре под руководством проф. В.В.Козлова, на семинаре под руководством д.ф.-м.и. Ю.С.Ильяшенко, на семинаре проф. Иоста в Бохумском университете (Германия,

1993),

на Ломоносовских чтениях (МГУ, 1994),

на заседании Московского Математического общества,

на семинаре проф. П.Рихтера в Бременском университете (Германия,

1994) (курс лекций),

на конференции "Топологическое моделирование и визуализация" (Токио, 1993),

на международном научном семинаре, посвященном 140-летию со дня рождения Анри Пуанкаре (Протвино, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 23 параграфа, и списка литературы. Объем диссертации — 298 страниц. Список литературы содержит 58 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержатся постановки основных задач и краткое изложение полученных в диссертации результатов.

Мы будем рассматривать интегрируемые системы v = sgrad# на симплектических четырехмерных многообразиях (М4,и>). Поскольку гамильтониан Н всегда является интегралом, то можно ограничиться изучением систем на трехмерных инвариантных изоэнергетических регулярных 3-поверхностях = {Н = h = const }.

В диссертации рассматривается естественный класс {(и, Q3)} интегрируемых гамильтоновых систем v = sgradff на изоэнергетических 3-поверхностях Q3, удовлетворяющих следующим условиям.

1) Топологическая устойчивость. Q3 является компактным гладким замкнутым 3-многообразием, топологически устойчивым для данной системы, т.е. при малом изменении значения h энергии Н топологический тип системы v не меняется, и система остается топологически эквивалентной исходной.

2) Боттовость. Дополнительный гладкий интеграл /, ограниченный на изоэнергетическую поверхность Q3 , является функцией Ботта, т.е. все его критические многообразия в Q3 являются невырожденными. В диссертации мы будем кроме того предполагать, что все эти критические подмногообразия одномерны, т.е. являются окружностями. Для простоты при окончательной формулировке теорем траекторной классификации мы будем также предполагать, что исследуемые нами системы не имеют критических окружностей с неориентируемыми сепаратрис-ными диаграммами.

3) Гиперболичность особых траекторий Все седловые критические окружности интеграла / являются гиперболическими траекториями гамильтонова потока v.

4) Нерезонансность. Система v является нерезонансной, т.е. иррациональные торы Лиувилля всюду плотны в Q.

5) Условие конечности. Функции вращения р системы v (см. определение ниже) должны иметь лишь конечное число локальных минимумов, максимумов и полюсов.

В начале первой главы мы даем краткий обзор основных понятий и результатов теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем.

Рассмотрим четырехмерное симплектическое многообразие (Л/4, w) и гамильтоново векторное поле на нем

v(x) = sgrad #(х)

однозначно определяемое соотношением u(u,v) = и(Н), где и пробегает множество всех векторных полей на М4 . Эта система называется вполне интегрируемой, если она обладает дополнительным интегралом /, независимым с Н почти всюду. Согласно теореме Лиувилля неособые компактные совместные поверхности уровня функций / и Н являются двумерными инвариантными торами.

Разбиение многообразия МА (или изоэнергетической поверхности Q3 = {Н = const} на лиувиллевские торы и связные компоненты особых совместных поверхностей уровня {# = /»о, / = /о} мы будем называть слоением Лиувилля. Легко показать, что при выполнении условий (2) и

(4) структура слоения Лиувилля определена однозначно, т.е. не зависит от выбора дополнительного интеграла /.

Определение 1. Пусть (ид, (¿х) и (ь2, фз) — две нерезонансные интегрируемые гамильтоновы системы с боттовскими интегралами, рассматриваемые на своих изоэнергетических поверхностях. Мы будем говорить, что системы («х, фх) и (^2, <5г) топологически эквивалентны, если существует диффеоморфизм £ : <Эх —♦ , который сохраняет структуру слоения Лиувилля (т.е. является послойным).

Меченая молекула IV* как полный топологический инвариант гамильтоновой системы.

Рассмотрим теперь все критические значения с\ < Сг < • • • < сп функции / и отвечающие им особые уровни /_1(с,). Без ограничения общности мы будем считать, что каждому значению с 6 {сх,...,с„} отвечает ровно один особый слой лиувиллева слоения Ье ~ /-1(с), который содержит одну или несколько критических окружностей. Обозначим через <5с малую инвариантную окрестность критического слоя Ьс (в качестве такой окрестности мы возьмем связную компоненту множества /-1 [с — е,с + е], содержащую особый слой Ье).

Определение 2. Окрестность со структурой Лиувиллева слоения называется 3-атомом.

С топологической точки зрения структура 3-атома может быть описана следующим образом. Пусть / — некоторая функция Морса на двумерной замкнутой поверхности Р2 , с 6 Л. — ее критическое значение и Pe — f~x\c — E,c + e\ — некоторая регулярная окрестность особого слоя /-1(с). Без ограничения общности мы считаем, что Рс связна. Первый тип 3-атома ("ориентируемый" атом) — это просто прямое произведение <Зе = Рс х Б1 со структурой слоения Лиувилля, порождаемого функцией /, которая продолжена на фе естественным образом.

Второй тип ("неориентируемый" атом) — следующий. Пусть на Ре определена инволюция г, неподвижными точками которой являются некоторые из особых точек функции /, ,и такая, что /(г) = /(т(х)) для всех х 6 Ре. Рассмотрим цилиндр Ре х [0,2ж] и склеим его основания по инволюции т. В силу инвариантности функции / относительно г мы можем построить по ней некоторую гладкую функцию на полученном в результате склейки 3-многообразии которая в свою очередь задает на С}е структуру слоения Зейферта.

Удалив из поверхности С} все 3-атомы мы получаем набор одно-параметрических семейств торов Лиувилля, каждое из которых идет от

одного атома к другому. Следуя разложению изоэнергетической поверхности (¿с на атомы и однопараметрические семейства торов, мы можем построить так называемую молекулу IV системы, соединяя между собой формальные буквенные обозначения атомов ребрами (отвечающими однопараметрическим семействам торов). Отметим, что как граф молекула № является попросту базой слоения Лиувилля (каждый неособый слой (тор Лиувилля) — это точка на ребре графа, а каждый особый слой — это его вершина).

Молекула V/ содержит много существенной информации о структуре слоения Лиувилля на фс■ Однако, эта информация недостаточно полна. Для полного глобального описания структуры слоения Лиувилля мы должны добавить к молекуле некоторую дополнительную информацию о правилах склейки изоэнергетической поверхности С}с из отдельных 3-атомов. Это можно сделать добавив к IV набор числовых меток {г,-,£,-, я*}. В результате мы получим так называемую меченую молекулу \¥*.

Основным результатом теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы является следующая теорема

Теорема. (А.Т.Фоменко, Х.Цишанг). Меченая молекула ]¥* является полным топологическим инвариантом невырожденной интегрируемой гшильюновой системы (у, С?3).

Другими словами, две интегрируемые гамильтоновы системы топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда отвечающие им меченые молекулы совпадают.

После описание структуры слоения изоэнергетической поверхности на торы Лиувилля мы переходим непосредственно к построению тра-екторных инвариантов. При этом основной вопрос, которым мы интересуемся, может быть сформулирован так. Какую дополнительную информацию нужно добавить к меченой молекуле IV* для того, чтобы полностью описать слоение изоэнергетической поверхности на траектории системы (а не только на торы Лиувилля)?

Функция вращения и вектор вращения.

Рассмотрим произвольное ребро е молекулы Ш*. Напомним, что оно изображает однопараметрическое семейство торов, т.е. прямое произведение тора Т2 на некоторый интервал. Без ограничения общности мы можем считать, что параметр этого семейства I пробегает интервал (0,1). Предположим, что на некотором торе Лиувилля из этого семейства выбран и фиксирован произвольный базис в фундаментальной

группе, т.е. пара циклов (A, р). Согласно теореме Лиувилля существует такая система координат (tpimoA2ir,<p2rciod2Tt) на торе, в которой векторное поле выпрямляется и имеет вид

_ д д | ь д dpi д<р2'

причем координатные линии этой системы координат {ipi = const} и {<Р2 — const} гомологичны базисным циклам А и р. соответственно.

Определение 3. Числом вращения гамильтоновой системы на торе относительно базиса (А, ц) называется отношение р = а/Ъ. Если Ь = О, то мы полагаем по определению, что р — оо.

При движении тора вдоль ребра значение числа вращения меняется, и в результате мы получаем некоторую функцию p(t), определенную на интервале (0,1), где p(t) — значение числа вращения в базисе (A, fi) на торе T7(t).

Определение 4. Функция p(t) называется функцией вращения данной интегрируемой системы.

В диссертации мы будем рассматривать класс интегрируемых систем, функции вращения которых удовлетворяют следующим естественным условиям:

1) Все критические точки функции />(t) изолированы и число их конечно.

2) Функция является гладкой за исключением конечного числа точек (полюсов), в которых она обращается в бесконечность.

3) В окрестности каждого полюса функция l/р также является гладкой.

Определение 5. Две функции вращения р\ и р2 мы будем называть непрерывно (гладко) сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (диффеоморфизм) г : (0,1) —+ (0,1) такой, что Pl{t) = Я2(Т(0).

Другими словами, функции сопряжены, если они переходят друг в друга при подходящей замене аргумента (непрерывной или гладкой в зависимости от типа сопряженности).

Рассмотрим функцию вращения p(t), все ее полюса и точки локальных минимумов и максимумов. Построим "вектор", состоящий из вещественных чисел, символов "плюс бесконечность" и "минус бесконечность". Первым элементом этого набора будет предел функции враще-

ния в нуле (конечный или бесконечный). Затем, двигаясь вдоль интервала от 0 до 1, мы будем последовательно выписывать значения функции р во всех ее полюсах, локальных минимумах и максимумах. При этом каждый полюс изображается двумя символами: мы указываем предел функции слева и справа от полюса. Наконец, последним элементом набора будет предел р в точке 1. В результате получим некоторый упорядоченный набор вещественных чисел и символов ±оо, который мы обозначим через К.

Определение 6. Набор К назовем вектором вращения или Л-вектором интегрируемой системы на данном однопараметрическом семействе торов (или же на данном ребре молекулы М7*) относительно данного базиса (А, р).

Легко проверяется, что функции вращения непрерывно сопряжены тогда и только тогда, когда соответствующие им Д-векторы совпадают.

Предложение. Пусть V и ь' —две интегрируемые системы на одлола-раметрических семействах Е и Е' двумерных торов Лиувилля. Тогда эти системы непрерывно (гладко) траекторий эквивалентны в том и только в том случае, когда на каждом из семейств существуют базисы (А, р) и (А', р.') такие, что функции вращения р и р', записанные в этих базисах, непрерывно (гладко) сопряжены.

Следствие. В непрерывном случае при выполнении условий этого предложения системы непрерывно траекторий эквивалентны тогда и только тогда, когда при подходящем выборе базисов Н-векторы Я и Л' этих систем совпадают.

Два последних утверждения показывают, что функция вращения по существу является единственным траекторным инвариантом системы на однопараметрическом семействе торов. Следующий шаг — построение траекторных инвариантов на 3-атоме, т.е. вблизи особого слоя лиувиллева слоения. Центральным результатом здесь является теорема редукции, сводящая траекторную классификацию на 3-атоме к задаче классификации гамильтоновых систем с одной степенью свободы с точностью до сопряжений.

Итак, рассмотрим произвольный 3-атом (¿с • Из сказанного выше следует, что С}е является расслоением над окружностью со слоем Ре, где Ре — двумерная поверхность. В частности, имеется некоторое вложение Рс С (}с • Мы показываем, что для топологически устойчивых

интегрируемых систем 2-поверхность Ре может быть выбрана так, чтобы она была трансверсальна интегральным траекториям системы и. В этом случае Рс мы называем трансверсалыюй площадкой.

Поток Пуанкаре.

На Рс теперь можно определить естественное отображение Пуанкаре. Пусть х — произвольная точка на Рс. Выпустим из нее интегральную траекторию поля V. Через некоторое время она впервые вернется на площадку Рс и проткнет ее в некоторой точке у = Определим те-

перь отображение Пуанкаре а : Рс —* Рс следующим образом: 1) <т = & в случае ориентируемых атомов и 2) а = (<т)2 в случае неориентируемого седлового атома.

Оказывается, отображение а позволяет определить некоторую га-мильтонову систему с одной степенью свободы на трансверсальной площадке Рс. А именно, на Рс существует гамильтоново векторное поле (в смысле индуцированной симплектической структуры из М4) гп = sgгad^г' с гамильтонианом Г : Рс И такое, что а является сдвигом вдоль интегральных траекторий поля хи на время I = 1. При этом в случае седловых атомов поле и; определено однозначно, а в случае атома типа А (т.е. когда Рс является 2-диском) с точностью до добавления к нему поля Чтгкщ , где ф - обычный полярный угол.

Определение 7. Через <т* обозначим поток гамильтонова поля ш на Рс и будем называть его потоком Пуанкаре.

В случае неориентируемых атомов на площадке Рс определена естественная инволюция х = сохраняющая, как нетрудно проверить, поток Пуанкаре <т'.

Теорема 1. (Теорема редукции). Пусть (и, С)с) и (г/, (¿'с) —две интегрируемые гамильтоновы системы, заданные на двух экземплярах одного и того же 3-атома. Эти системы непрерывно (гладко) траектор-но эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют трансвер-сальные площадки Рс с я Р'с С С}'с, для которых потоки Пуанкаре <г* : Ре —> Рс н а'* : Р'е —* Р'с непрерывно (гладко) сопряжены. При этом в случае неориентируемого атома сопрягающий изоморфизм обязан сохранять инволюцию х-

Таким образом, непрерывная (гладкая) траекторная классификация интегрируемых систем на трехмерном атоме сводится к непрерывной (гладкой) классификации гамильтоновых систем с одной степенью свободы относительно сопряжений.

Решению этой задачи посвящена вторая глава диссертации.

Рассмотрим гамильтонову систему ш = 8йгас1Р с одной степенью свободы, определенную на 2-поверхности Р = е, с], где 0 — кри-

тическое значение гамильтониана Р. Наиболее интересен случай седло-вой особенности, когда особый слой К = Р-1(0) является одномерным графом, отличным от точки. Пару (Р, К) обычно называют 2-атомом. Опишем полный набор инвариантов, позволяющий классифицировать гамильтоновы системы на 2-атоме с точностью до непрерывных сопряжений.

А-инвар иант.

Рассмотрим все критические точки ,..., 5„ гамильтониана Р на 2-атоме, т.е. вершины графа К . Для каждой из них определим число Лт, по следующей формуле

а*

где (г,-) — произвольные локальные регулярные координаты и и — симплектическая структура на Р.

Легко проверяется, что Ат не зависит от выбора локальных координат, а Л"1 является на самом деле собственным значением линеаризации векторного поля и> в особой точке £т. Число Лт является лишь гладким (но не непрерывным) инвариантом векторного поля в особой точке. Тем не менее из этих чисел можно изготовить непрерывный инвариант.

Определение 8. Совокупность положительных вещественных чисел (Л1 : Лг : ■ ■ •: Л„), рассматриваемых с точностью до пропорциональности называется Л-инвариантом гамильтоновой системы и> (на данном атоме).

Д—инвариант и ^-инвариант.

Удаляя из поверхности Р особый слой К, мы превращаем Р в несвязное объединение колец С\.....С\ , каждое из которых естественным

образом расслоено на замкнутые траектории поля ш. Введем на каждом из этих колец канонические переменные "действие-угол" в и <р. Сейчас нас будет интересовать переменная "угол" <р, точнее — ее линии уровня. Отметим, что "угол" <р определен неоднозначно, а с точностью до замен вида <р —» р + ф(в). Поэтому, если мы хотим изобразить линии уровня функции <р, нам нужно выбрать и фиксировать "начало отсчета" на каждой траектории поля и), задав гладкий отрезок N0 — {V = 0}> соединяющий пару точек на внешней и внутренней границе кольца и трансверсально пересекающий все траектории.

Рассмотрим все остальные линии уровня "угла" <р. Утверждается, что для каждого ребра К,- графа К, мимо которого проходит рассматриваемое кольцо С], существует ровно одна линия уровня = {<р — втыкающаяся во внутреннюю точку этого ребра. Все остальные линии уровня переменной "угол" втыкаются в вершины графа К.

Поскольку мимо каждого ребра К-, графа К проходят ровно два кольца (положительное и отрицательное в зависимости от знака гамильтониана на них), то на ребре возникают две точки и являющиеся концами двух линий уровня "углов", втыкающихся с двух разных сторон в это ребро. Подчеркнем, что линии уровня N¡' и Л^" так же как их концевые точки xf и определены неоднозначно. Тем не менее, используя их, мы можем корректно определить два дополнительных инварианта системы.

Поскольку каждое ребо графа К является траекторией векторного поля и), то, во-первых, оно имеет естественную ориентацию, и, во-вторых, можно определить "расстояние" и между парными точками раздела хУ и из соотношения х~1 = где а4 — поток вектор-

ного поля го. Рассмотрим теперь формальную линейную комбинацию вида / = ¿1 как одномерную цепь I (в смысле теории вещественных гомологии) на графе К.

Определение 9. Нульмерную цепь Д = 81, являющуюся границей 1-цепи I, назовем Д-инвариантом гамильтоновой системы V) на 2-атоме

сР,К).

Рассмотрим далее замкнутую поверхность Р, которая получается из Р заклейкой всех его граничных окружностей двумерными дисками. Рассмотрим линейное пространство С\(Р) всех вещественных 1-цепей на графе К. Можно считать, что в нем задано невырожденное симметричное евклидово скалярное произведение, по отношению к которому элементарные цепи вида 1 х К,- образуют ортонормированный базис. Рассмотрим в Сх(Р) линейное подпространство циклов (Р).

Цепь / = ¿¡Х,- , построенная выше, может быть однозначно разложена в сумму I = г + I, где цикл г лежит в подпространстве ¿¡Гх(Р), а цепь / ортогональна этому подпространству.

Определение 10. Класс гомологий 2 = [г] в группе Н\(Р, К) называется ^-инвариантом гамильтоновой системы ш на атоме (Р,К).

Теорема 2. Пусть даны две гладкие гамильтоновы системы ги и и/ с морсовскими гамильтонианами Г и Г' на двух гомеоморфных копиях Р и Р' одного и того же 2-атом а. Системы шяи' непрерывно сопряжены

тогда и только тогда, когда тройки инвариантов (Л, Д, 2) и (Л', Д', совпадают.

Комментарий. Более точно это означает, что существует гомеоморфизм (Р, К) на (Р', К'), сохраняющий знаки колец и переводящий тройку (Л, Д, г) в тройку (Л', А', г').

Следующий вопрос, обсуждаемый в диссертации, — какие значения могут принимать описанные выше непрерывные инварианты. Оказалось, что инварианты могут принимать произвольные значения, аГобласть допустимых значений Д-инварианта существенно зависит от топологии атома (Р, К).

Легко видеть, что граф К можно представить как объединение некоторого числа окружностей 7ъ ..., 7} , погруженных в поверхность Р. и называемых атомными окружностями. Каждая атомная окружность реализует некоторый 1-цикл [у,] в группе одномерных вещественных гомологий Н1(Р,Л.). Обозначим через Я7 подгруппу в #х(Р,11), порожденную всеми циклами [71],..., [уя].

Предложение. Пусть Д(Р, К) — лилейное пространство допустимых значений Д-инварианта на атоме (Р,К). Тогда

где п — число вершин графа К, а д — род поверхности Р.

В диссертации содержится также явное описание базиса пространства Д(Р, К). Вместе с теоремой 2 описание множества допустимых инвариантов дают нам полное решение задачи классификации гамиль-тоновых систем с одной степенью свободы на 2-атоме (т.е. в окрестности особого уровня гамильтониана) с точностью до непрерывных сопряжений.

Далее в диссертации решена задача классификации гамильтоновых систем на замкнутой 2-поверхности. Это нетрудно сделать, разложив поверхность на 2-атомы.

Построение гладких инвариантов на 2-атомах.

Рассмотрим теперь вопрос об классификации гамильтоновых векторных полей на 2-поверхностях в гладком случае.

Прежде всего решим этот вопрос локально, т.е. в окрестности седло-вой особой точки 5. Выберем в ее окрестности любую систему координат (и, и), в которой гамильтониан записывается в виде Р = ии и пусть ы = ш(и, ь)с1и А ¿V. Разложим функцию ш(и, и) в ряд Тейлора в точке 5

сНт Д(Р, К) = п - 2д - q + с!ип

т>

оо

И ПОЛОЖИМ

оо

к=о

Определение 11. Ряд Л*(5) называется Л*-инвариантом седловой особой точки 5.

Предложение. Два гамильюновых векторных поля, заданные в окрестностях своих седловых особых точек, гладко сопряжены тогда и только тогда, когда их Л* -инварианты сопряжены формально.

Фактически это утверждение является частным случаем известной теоремы Ченя для случая гамильтоновых систем.

Рассмотрим теперь гамильтоново векторное поле го в целом на атоме, т.е. в некоторой окрестности особого слоя К = -Р-1(0) гамильтониана Р. Выбрасывая из поверхности Р граф X, мы как и выше получаем несвязное объединение

колец Сх,..., С/, каждое из которых является однопараметрическим семейством замкнутых траекторий, параметром которого является сам гамильтониан Р.

Поскольку каждая траектория замкнута, то она имеет некоторый период и мы можем для каждого кольца С; определить естественную функцию периода П,(-Г), указывающую, чему равен период траектории с данным значением функции Г на ней. Ясно, что эти функции, рассматриваемые с точностью до сопряжений, являются инвариантами гамильтоновой системы. Для простоты мы можем предполагать, что у сравниваемых систем гамильтонианы уже выбраны так, что функции периодов совпадают. Если этого сделать нельзя, то гамильтоновы системы заведомо не эквивалентны. Кроме того, мы сразу можем считать, что сравниваемые гамильтоновы системы определены на одном и том же 2-атоме, имеют один и тот же гамильтониан, но отвечают различным симплектическим структурам.

Оказывается, если атом плоский, т.е. поверхность Р является сферой, то описанных инвариантов уже достаточно для классификации.

Предложение. Пусть на плоском 2-атоме Р заданы два гамильтоновых потока <т\ я <т\ (с одним и тем же гамильтонианом, но с разными симплектическими структурами). Пусть соответствующие функции периода и А* -инварианты совпадают. Тогда потоки а\ и <т\ гладко сопряжены, т.е. существует диффеоморфизм £ : Р —* Р такой, что £ о <т\ = 02 о При этом диффеоморфизм £ может быть выбран сохраняющим гамильтониан.

Если же атом не является плоским, то возникает еще один Z* -инвариант, который является гладким аналогом "непрерывного" Z-инварианта и принимает значение в группе когомологий Я1(Р, G), где G — кольцо формальных степенных рядов от одной переменной. Появление степенных рядов в гладком случае совершенно естественно, поскольку приходится сшивать производные всех порядков. Тройка (Л*, Z*, функции периодов) дает полный набор гладких атомных инвариантов гамильтоно-вой системы на 2-атоме.

-Теоремы о траекторной классификации

Закончив с непрерывной и гладкой классификацией гамильтоновых систем на двумерных поверхностях, мы возвращаемся в Главе 3 к решению нашей основной задачи — траекторной классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы на изоэнергетических поверхностях.

На предыдущих шагах мы полностью описали для каждого ребра и для каждого атома по-отделыюсти соответствующие траекторные инварианты. К сожалению, эти инварианты не вполне корректно определены. Например, функция вращения на ребре существенно зависит от выбора базисных циклов на торах Лиувилля.

Аналогичная неоднозначность имеет место и для " атомных инвариантов". Дело в том, что редуцированная система (поток Пуанкаре) существенным образом зависит от выбора трансверсальной площадки (точнее ее гомотопического класса). Поэтому сначала мы считаем трансверсальные площадки и базисные циклы на ребрах фиксированными. Это позволяет все инварианты (и атомные и реберные) вычислить совершенно однозначно. Мы собираем всех их воедино и вместе с матрицами склейки добавляем в качестве так называемого " оснащения" к молекуле W. В результате мы получаем молекулу, снабженную дополнительной информацией о траекториях системы.

Выбрав другую систему трансверсальных площадок, мы, разумеется, получили бы другое оснащение молекулы. Возникает естественный вопрос: как связаны между собой два оснащения, соответствующие одной и той же системе, но вычисленные для двух различных систем трансверсальных площадок? Оказывается, эту связь можно записать явно, и в результате мы получим действие дискретной "группы замен трансверсальных площадок" на множестве различных "оснащений" рассматриваемой молекулы.

Нас интересуют траекторные инварианты системы сами по себе, т.е. никак не связанные с выбором системы трансверсальных площадок. Поэтому на самом деле вместо "оснащенных молекул", которые определе-

ны неоднозначно, мы должны рассмотреть соответствующие им инварианты действия "группы замен трансверсальных площадок". Снабжая полным набором таких инвариантов молекулу IV, мы получаем окончательный траекторный портрет системы, содержащий всю необходимую информацию. Этот портрет был назван нами ¿-молекулой в непрерывном случае и ^¿-молекулой в гладком. Следует отметить, что в общем случае явное описание полного набора инвариантов (т.е. набора различающего две произвольные орбиты) может быть весьма нетривиальной задачей, которая может решаться различными способами, а иногда даже не иметь разумного окончательного решения (например, если пространство орбит нехаусдорфово).

Сформулируем конечный результат. Прежде всего напомним, что на каждом ориентированном ребре с молекулы определены две различные пары базисных циклов (А~,р~) и отвечающие атомам, стоя-

щим на концах данного ребра. Один из базисных циклов является слоем расслоения Зейферта, определенного на 3-атоме, другой — высекается на торе трансверсалыюй площадкой Рс С <?с- Эти два базиса позволяют определить две функции вращения системы /Г" и и матрицу склейки С, связывающую базисы (А-, /л-) и (А+,р+):

Мы будем называть ребро е конечным, если Р = 0, и бесконечным в противном случае. На конечном ребре рассмотрим функцию вида р = рр~ — а, на бесконечном — функцию р — р~. И определим для них соответствующие Я-векторы (см. выше). Причем на бесконечном ребре этот Я-вектор рассмотрим "по модулю 1", т.е. с точностью до прибавления ко всем его компонентам одного и того же целого числа.

Вектор Я на конечном ребре и вектор Ятос11 на бесконечном ребре молекулы мы будем называть Я-инвариантом системы на данном ребре.

Далее бесконечные ребра, векторы вращения которых Я бесконечны (т.е. состоят только из бесконечных компонент), назовем супербесконечными.

Разрежем молекулу IV по всем конечным и бесконечным ребрам, не являющимися супербесконечными. В результате молекула распадется в несвязное объединение некоторых подграфов двух типов: атомы А и куски, не содержащие ни одного атома Л.

Определение 12. Радикалами будем называть связные куски (подграфы) второго типа (т.е. отличные от .А).

В общем случае каждому радикалу молекулы в качестве траекторно-го инварианта следует сопоставить так называемый Д2[0]-инвариант, содержащий информацию о Д- и ^-инвариантах всех атомов радикала, а также некоторую информацию о Д-векторах и матрицах склейки. Определение этого инварианта довольно сложно и мы не будем его здесь приводить для общего случая, указав лишь одну его "часть", достаточную для классификации систем с простыми атомами, которые обычно встречаются в приложениях.

Сопоставим каждому ребру е радикала II целое число

[в];

\ctjjfij], если ребро конечно.и выходит из радикала,

[— //?;], если ребро е/конечно и входит в радикал,

[МЩ], если ребро бесконечно и входит в радикал,

\МЩ], если ребро бесконечно и выходит из радикала,

„ —Jj/o!j, если С] — супербесконечное внутреннее ребро.

Здесь ату, ¡3], , ¿у — коэффициенты марицы склейки, а и МЛ~

— средние арифметические конечных компонент Д-векторов функций вращения р+ и р~. Через [*] обозначена целая часть числа.

Определение 13. Ь-инвариантом гамильтоновой системя V на радикале I/ называется число

3

Определение 14. В качестве Л-инварианта данного атома С}с мы просто возьмем инвариант Л для любой трансверсальной 2-площадки Ре в <Эс

Итак, все необходимые траекторные инварианты интегрируемых систем построены. Снабжая классическую молекулу IV* ./¡/-инвариантами всех ее ребер, Л-инвариантами всех ее седловых атомов и Д^[0]-инвариантами всех радикалов, мы приходим к следующему окончательному определению.

Определение 15. Объект

называется траекторной молекулой (или ¿-молекулой) интегрируемой системы V на изоэнергетическом 3-многообразии С}.

Теперь мы можем сформулировать один из основных результатов диссертации.

Теорема 3. (Непрерывный случай)

а) {-молекула. интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы является ее корректно определенным траекторным инвариантом.

б) Две интегрируемые системы непрерывно траекторпо эквивалентны, если и только если их I-молекулы совпадают.

Сформулируем следствие этой теоремы для важного частного случая.

Интегрируемая гамильтонова система называется простой на данном изоэнергетическом 3-многообразии <2, если на каждом критическом уровне ее дополнительного интеграла / (внутри <5) лежит ровно одна критическая окружность функции /. Для таких систем Ь-молекула сильно упрощается и имеет вид — (IV*, {Л}, {Ь}), где {Я} — совокупность Я-инвариантов всех ее ребер, а {Ь} — совокупность 6-инваринатов всех ее радикалов. Все остальные инварианты существенными не являются.

Теорема 4. (Случай простых систем). Пусть V — простая интегрируемая гамильтонова система. Тогда отвечающая этой системе 1-молекула \¥*' = (IV*, {Я}, {6}) является ее полным траекторным инвариантном.

Сформулируем теперь теорему траекторией классификации в гладком случае.

Сопоставим каждому ребру молекулы функцию вращения р или ртов, 1 в зависимости от типа ребра (конечного или бесконечного). Параметром на ребре молекулы (и, следовательно, аргументом функций вращения) мы будем считать дополнительный интеграл /. Каждой вершине каждого седлового 3-атома сопоставим ее Л*-инва-риант. Напомним, что вершины седловых атомов соответствуют сед-ловым критическим окружностям дополнительного интеграла /, т.е. гиперболическим замкнутым траекториям системы. Кроме того для простоты мы предположим, что все атомы являются плоскими.

Итак, фиксировав интеграл /, мы получаем следующий объект

= (И'*, Ы. (л;л),

называемый ^¿-молекулой. Здесь

IV* — меченая молекула системы (инвариант Фоменко-Цишанга);

Pj — функция вращения на ориентированном ребре молекулы (на бесконечных ребрах функция вращения берется по модулю целых чисел);

Л^ — Л*-инварианты, отвечающие вершинам седловых атомов (индекс т нумерует вершины седловых атомов).

Теорема 5. (Гладкий случай). Пусть (их, фх) и («2, СЬ) — две интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями, ограниченные на изоэнергетические подмногообразия. Пусть все атомы, входящие в соответствующие молекулы — плоские. Системы (г>х, С}{) я (иг, <2г) гладко траекторию эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют боттовские интегралы /х к /2 систем (иь (Э1) и (1)2, Фг) соответсвенпо такие, что отвечающие им вЬ- молекулы IVи И^*'1 совпадают.

_При данном подходе явный вид «¿-молекулы зависит от выбора дополнительного интеграла системы. Поэтому после доказательства теоремы в такой формулировке мы предлагаем способ, позволяющий избавиться от влияния выбора дополнительного интеграла /.

Приложения. Случай Эйлера и Задача Якоби.

После построения общей теории классификации возникает естественный вопрос: насколько эффективно эти новые траекторные инварианты можно вычислять? Оказалось, что это вполне возможно, и Глава 4 посвящена их явному вычислению для двух классических интегрируемых систем: 1) случая Эйлера в динамике твердого тела и 2) задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде.

Волчок Эйлера — это твердое тело в трехмерном пространстве, закрепленное в центре масс и движущееся в поле силы тяжести. "Системы типа Эйлера" образуют непрерывное пятипараметрическое семейство, параметрами которого являются: главные моменты инерции твердого тела /1 , /2 , /3 , (или их обратные величины А = , В = , С = ; пусть А < В < С), значение энергии (гамильтониана) Л, значение постоянной площадей д (которую мы будем считать равной 1).

Фиксируя значения так называемого геометрического интеграла и интеграла площадей, можно считать, что динамическая система "типа Эйлера" является гамильтоновой системой с двумя степенями свободы на четырехмерном симплектическом многообразии М4 (диффеоморф-ном кокасательному расслоению к сфере). Если мы фиксируем значение энергии, то получим в точности ту ситуацию, которая изучается в изложенной выше общей теории. Обозначим ограничение этой системы на трехмерный уровень энергии через Е(А,В,С,К).

Рассмотрим на вещественной оси полупрямую, заполненную значениями гамильтониана Н в случае Эйлера. Разобьем эту область на три зоны I, II, III, отметив следующие три критических значения: Ао = А/2, /12 = В/2, Лз = С/2. Обозначим эти три интервала так: I = (Лх,Л2), II = (Л2, Лз) и III = (Лз, +оо). В соответствии с этим будем говорить о трех типах (зонах) энергий: I, II и III.

Введем следующие обозначения.

г2 h

S(h, А, В,С) = — f UdU

V ; г Ja s/{2h - u)(C - u)(B - u)(u -

N(h,A,B,C) = -~ f n J2,

A)

2h yj{2h - u){C - u){B - u)(u - A)

С

K(A, В, C) = -- , L(A, В, C) =---,— ----- ■- .

Теорема 6. (Случай Эйлера). Рассмотрим две системы типа Эйлера E(A,B,C,h) и E(A',B',C',h'). Тогда

1 ) Если h и h' лежат в различных золах, то соответствующие системы траекторий неэквивалентны.

2) Если h 6 I и h' G I', то системы E(A,B,C,h) и E(A',B',C',h') непрерывно траекторпо эквивалентны тогда и только тогда, когда

К(А, В, С) = К{А', В', С') я S(h, А, В, С) = S(h', А', В', С') .

3) Если hell и h' G II', то системы Е(А, В, С, h) и Е(А', В', С', h') непрерывно траекторпо эквивалентны тогда и только тогда, когда

К(А, В, С) = К{А', В', С') и N(h, А, В, С) = N{h', А', В', С') .

4) Если h G III и h' G III', то системы Е(А, В, С, К) и Е(А', В', С', h') непрерывно траекторпо эквивалентны тогда и только тогда, когда эллипсоиды инерции соответствующих твердых тел подобны.

Рассмотрим теперь двумерный эллипсоид в трехмерном пространстве, заданный уравнением

я2 У2 ** , — + — = 1 . abc

Теорема 7. (Задача Якоби). Геодезические потоки эллипсоидов непрерывно траекторпо эквивалентны в том и только в том случае, когда эллипсоиды подобны (т.е. когда их полуоси пропорциональны).

Наконец , следующая теорема устанавливает изоморфизм между случаем Эйлера (при больших энергиях) и задачей Якоби. Как видно из пункта 4 теоремы 7, траекторный тип системы Е(Л, В, С, h) при больших значениях энергии (т.е. Л G III) не зависит от Л. Поэтому мы будем обозначать такие системы просто через Е(А, В, С). Аналогично, через J(a,b,c) мы обозначим геодезический поток эллипсоида, ограниченный на ненулевой уровень энергии.

Теорема 8. (Траекторный изоморфизм случая Эйлера и задачи Якоби). Две интегрируемые динамические системы Е(А, В, С) и J(a,b,c) случай Эйлера при больших значениях энергии и геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) — топологически траекторий эквивалентны.

Явные формулы, связывающие квадраты полуосей а, 6, с эллипсоида Якоби и главные моменты инерции 1 /А, 1/В, 1 /С соответствующего твердого тела в случае Эйлера имеют следующий вид:

k(a,b,c) = K(A,B,C) , l{a,b,c) = L(A,B,C) ,

где

Г.аФ(и,с)<1и ,, , , /Г>(и, а) ¿и

=-'1"Ф= Т^м^-11

иФ(и I) = (---При этом соответствие меж' ' Чи + о)(и + Ь)(и + с)(и + «); ду тройками (а, 6, с) я (А, В, С) с точностью до пропорциональности взаимно-однозначно.

Доказательство этих трех теорем сводится к явному вычислению и сравнению Ь-молекул для задачи Якоби и случая Эйлера.

В заключительной части работы, сравнивая между собой некоторые гладкие инварианты случая Эйлера и задачи Якоби, мы показываем, что гладко траекторно эквивалентными эти системы не являются.

Я глубоко благодарен Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постоянное внимание, поддержку и многие часы, проведенные в обсуждениях и совместной работе.

Я признателен также В.В.Козлову, Ю.Н.Федорову, Г.Патернайну, Х.Дуллину, О.Е.Орел, В.В.Калашникову (мл.), Б.С.Кругликову за многочисленные и чрезвычайно полезные обсуждения. Я рад, что работа над диссертацией проходила в творческой и доброжелательной атмосфере, созданной на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ, и благодарен всем ее сотрудникам.

Список работ по теме диссертации

1. Bohinov А.V., Methods of calculation of the Fomenlco-Zies chang invariant // In: Advances in Soviet Mathematics, vol.6, AMS, pp.147-183.

2. Болсинов А.В., Гладкая траекторией: классификация интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы // Матем. сборник, 1995, 1.

3. Болсинов A.B., Гладкая траекторпая классификация интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы. Случай систем с плоскими атомами // УМН, 1994, 4, с. 173-174.

4. Болсинов A.B., О классификации гамильтоновых систем на двумерных поверхностях // УМН, 1994, 6, 195-196.

5. Болсинов A.B., Фоменко А.Т., Траекторпая классификация интегрируемых систем типа Эйлера в динамике твердого тела // Успехи матем. наук. 1993, том. 48, вып. 5, с. 163-164.

6. Болсиной A.B., Фоменко А.Т., Траекторпая эквивалентность интегрируемых гамильтоповых систем с двумя степенями свободы. Теорема Классификации. I // Матем. Сборник, 1994, Т. 185, 4, с. 27-80. (И) Матем. сборник, 1994, Т. 185, 5, с. 27-28.

7. Болсинов A.B., Фоменко А.Т., Траекторпая классификация простых интегрируемых систем на трехмерных поверхностях постоянной энергии - Доклады РАН, 1993, т. 332, 5, с. 553-555.

8. Болсинов A.B., Фоменко А. Т., Геодезический поток эллипсоида траекторпо эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Доклады РАН, 1994, т. 339, 3, с. 293-296.