Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

ЖУКОВСКАЯ ЗУХРА ТАГИРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АНОРМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ДИНАМИЧЕСКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЁНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

На правах рукописи

Москва 2015

2 9 АПР 2015

005567941

Работа выполнена на кафедре системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Арутюнов Арам Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов (РУДН).

Официальные оппоненты: Карамзин Дмитрий Юрьевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук.

Обуховский Валерий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Федерального бюджетного государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический университет».

Ведущая организация: Центральный экономико-математический институт Российской академии наук.

Защита диссертации состоится 17 июня 2015 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685. Желающие присутствовать на заседании диссертационного совета должны сообщить об этом за два дня но тел. 939-30-10 (для оформления заявки на пропуск).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.43».

Автореферат разослал « [у * 201^ г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43,

доктор физико-математических наук, '¿-л л

профессор / / £ £ Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассматриваются различные классы задач оптимального управления и динамических управляемых систем. Работа посвящена получению достаточных условий локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений, систем дифференциальных включений и разработке соответствующего математического аппарата, а также получению необходимых условий оптимальности второго порядка для задач оптимального управления с дискретным и непрерывным временем.

Актуальность темы. Оптимальное управление является современным и широко исследуемым разделом математики. Важными задачами теории оптимального управления являются получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядка, исследование различных свойств функции минимума в задаче оптимального управления, качественное изучение управляемых систем. Теория оптимального управления имеет широкий спектр приложений к задачам математической экономики, инженерным задачам, задачам математического моделирования проблем медицины и биологии и т.д. При этом важную роль играет исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем. Диссертационная работа посвящена исследованию этих и перечисленных выше задач, а также разработке соответствующего математического аппарата. Многие прикладные задачи приводят к дискретным задачам оптимального управления, исследование которых также проведено в диссертации в рамках обозначенной темы.

Целью диссертационного исследования является получение достаточных условий локальной разрешимости управляемых систем, получение необходимых условий оптимальности второго порядка для задач оптимального управления с дискретным и непрерывным временем, исследование свойств функции минимума в задаче оптимального управления с линейной дифференциальной связью и квадратичными концевыми ограничениями, а также разработка соответствующего математического аппарата.

Предмет и объект исследования. Объектом исследования в диссертации являются задачи оптимального управления с непрерывным и дискретным временем (случай особых управлений), задача оптимального управления с линейной дифференциальной связью и квадратичными концевыми ограничениями, управляемые системы дифференциальных уравнений и системы дифференциальных включений. Предметом исследования являются необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления для особых управлений и при ослабленных условиях на правую часть явной дифференциальной связи; дифференциальные и топологические свойства функции минимума в задаче оптимального управления с линейной дифференциальной связью и квадратичными концевыми ограничениями, достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений и систем дифференциальных включений.

Методы исследования. При выполнении диссертационного исследования использовались средства нелинейного анализа, линейной алгебры, теории накрывающих отображений, теории оптимизации, теоремы о неявной функции в анормальной точке, а также метод конечномерных аппроксимаций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены принципиально новые результаты, касающиеся достаточных условий локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений и систем дифференциальных включений со смешанными ограничениями. Они основаны на полученной автором теореме о неявной функции в окрестности анормальной точки. Также в работе доказаны новые результаты относительно необходимых условий оптимальности второго порядка для дискретной и непрерывной задач оптимального управления. Кроме того, разработан принципиально новый алгоритм вычисления константы на-крывания линейного оператора на конусе. Наконец, получены условия выпуклости, липшицевости и дифференцируемости функции минимума для одного класса задач оптимального управления с линейной дифферен-

циальной связью, квадратичным функционалом и квадратичными концевыми ограничениями.

Достоверность научных положений обусловлена строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны при исследовании задач оптимального управления с дискретным и непрерывным временем, при исследовании корректности задач оптимизации, разрешимости управляемых нелинейных динамических систем.

В диссертации доказана теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки (т.е. точки, в которой нарушается условие регулярности Робинсона) при дополнительном ограничении на значения неявной функции.

Кроме того, в работе получен алгоритм вычисления константы накры-вания линейного оператора на конусе.

Также в диссертации получены достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений и систем дифференциальных включений со смешанными ограничениями.

Кроме этого, получены необходимые условия оптимальности второго порядка для дискретной и непрерывной задач оптимального управления.

Наконец, в диссертационной работе получены условия выпуклости, липшицевости и дифференцируемости функции минимума для задачи оптимального управления с линейной дифференциальной связью, квадратичным функционалом и квадратичными концевыми ограничениями.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации проведено исследование сложных задач оптимального управления, динамических управляемых систем дифференциальных уравнений и систем дифференциальных включений. Это соответствует паспорту специальности 01.01.02.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докла-

дывались автором на следующих семинарах и конференциях:

• научный семинар "Прикладные задачи системного анализа" под руководством академика А. Б. Куржанского на кафедре системного анализа ВМК МГУ,

• научный семинар "Экстремальные задачи и нелинейный анализ" под руководством профессора А. В. Арутюнова на кафедре нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук РУДН,

• конференция "Тихоновские чтения - 2013" (г. Москва, МГУ, 2013),

• всероссийская научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация" (г. Москва, РУДН, 2013 г.),

• международная научная конференция "Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения" (г. Тамбов, ТГУ, 2013).

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Все указанные работы опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Автор диссертации благодарит научного руководителя Арутюнова Арама Владимировича за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные замечания.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка обозначений и списка литературы из 86 источников. Общий объем диссертации 109 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описаны постановки задач, приведено краткое изложение некоторых этапов развития вариационного исчисления и оптимального управления, обоснована актуальность исследования, описана его методика, отражена научная новизна диссертации, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, а также приведена информация об апробации результатов.

В первой главе формулируются и доказываются теоретические результаты, используемые при исследовании управляемых систем и задач оптимального управления во второй и третьей главах работы.

В параграфе 1.1 получена теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки. Рассмотрена следующая задача. Пусть X, Y, S -банаховы пространства, U С X - выпуклое замкнутое множество. Пусть даны отображение F : X х Е Y и точки х, € U, сг* б Е, для которых F(x*,crt) = 0. Рассмотрим уравнение

F(X,ct)=0, х £ U, (1)

в котором х - неизвестное, а а - параметр. Говорят, что для уравнения (1) существует непрерывное решение в окрестности (х„ <т+), если существуют окрестность О точки <т* и непрерывная функция х : О -»■ U, такая, что F(x(a),cr) = 0, х(сг*) = х*.

Известно (см. 1), что решение в задаче (1) существует, если F строго дифференцируема по х равномерно по с в точке множество U яв-

ляется замкнутым выпуклым конусом и выполнено условие регулярности Робинсона

Очевидно, условие (2) существенно. Так, например, если X = U = R , Y = R = S, х, = (0,0), <7, = 0, F(x, а) = х\ + х\ - а, где х = (хь х2), то (2) нарушается, и, как несложно видеть, решение в окрестности (xt, а,)

1 Арутюнов А. В. К теоремам о неявной функции в анормальных точках //Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 1. - С. 30-39.

не существует. Если же в этом примере положить F{x, er) = х\ - х| -<т, то условие (2) также не выполняется, однако решение в этой задаче существует, непрерывно, но не удовлетворяет условию Липшица.

Вопрос о существовании решения в задаче (1) в случае, когда условие Робинсона не выполняется, был изучен A.B. Арутюновым в предположении, что множество U является замкнутым выпуклым конусом (см.2-3' 4). В диссертации этот результат распространен на случай, когда U -замкнутое выпуклое множество. Приведем соответствующий результат.

Введем следующее определение. Пусть G :Х -+Y - заданное отображение, G(xt) = 0. Относительно G будем предполагать, что оно дважды дифференцируемо в некоторой окрестности точки х». Обозначим

U = cone {U — {х,}).

Определение 1 Пусть существует

ftC rßC ЯГ1

h€U: he ker—Ы, h] е ~ыи.

Отображение G называется 2-регулярным в точке х» относительно множества U по направлению h, если имеет место

+Ш{х*)[ь>ып kerS>*)]=к

Будем предполагать, что F удовлетворяет следующим предположениям.

(Fl) F дважды непрерывно дифференцируемо по х в некоторой окрестности точки (xt, а„). При каждом а из некоторой окрестности сг» d2F

отображение а) удовлетворяет условию Липшица с констан-

dF d2F

той, не зависящей от ст. Отображения F(x„ •), —-(х,, •), —— (х», •)

ОХ их

'Арутюнов А. В. Нахрывание нелинейных отображений на конусе в окрестности анормальной точки // Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, № 4. - С. 483-497.

'Арутюнов А. В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2006. - Т. 46, № 2. - С. 205-215.

4Арутюнов А. В. Теорема о неявной функции на конусе в окрестности анормальной точки // Матем. заметки. - 2005. - Т. 78, № 4. - С. 619-621.

непрерывны в точке ст*. Отображение F(-) непрерывно в окрестности точки (х*,<тш).

Положим

V =

(F2) Линейная оболочка span У конуса V замкнута, и это подпространство топологически дополняемо.

Через 7г будем обозначать некоторый линейный непрерывный оператор, проектирующий Y на какое-нибудь подпространство, дополняющее spanV. Через Вх{х,г) будем обозначать шар в пространстве X с центром в точке х радиуса г.

Теорема 1 Пусть относительная внутренность riV непуста, и отображение F(-,cr») 2-регулярно в точке х, относительно U по некоторому направлению h G X. Тогда существуют такие окрестность О точки сг», числа с > 0 и непрерывное отображение х(-) : О —> U, что F(x(a),a) = 0, и

На) - х.\\ < с ( + #Mi) Va € О.

(3)

В параграфе 1.2 исследуется задача вычисления константы накры-вания линейного оператора на выпуклом конусе. А именно, рассмотрена следующая задача. Пусть задан линейный оператор А : К™ —>• Rk и векторы Ь\,..., bs el". Положим

К = {х S Rn : (x,bj) < 0, j = ITs}.

Здесь {•,•)- скалярное произведение. Известно, что отображение Ф : К -»■ АК, Ф(а;) = Ах является a-накрывающим для некоторого а > О, т.е.

Vx0€K, Vy 6 АК 3 хеК: у = Щх) и |д - а?0| <

В параграфе 1.2 предложен алгоритм, позволяющий за конечное число шагов выразить наибольшую константу накрывания а отображения Ф

через собственные значения некоторых линейных операторов, порождаемых оператором А и векторами э = 1, я.

Основные результаты первой главы опубликованы в [5]. Вторая глава посвящена достаточным условиям локальной разрешимости управляемых систем и состоит из двух параграфов. В параграфе 2.1 получены достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений при наличии смешанных ограничений. Рассмотрена управляемая система дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями и геометрическим ограничением на управление

±(«) = /(«,*,«) V«,

— хо, дЦ,х,и) = О УЬ, «(*) е I/ V*.

Здесь 4 € К - время; ¿о € М - заданный начальный момент времени; хо £ Ж" - заданная начальная точка; х е К" - фазовая переменная; и 6 Кт -управляющий параметр; / : 1 х Г х Кт Ё" и (;: I х Г х Кт I4 - заданные функции, причем функция д непрерывна; II С Кт - заданное замкнутое выпуклое множество.

В качестве допустимых управлений в задаче (4) рассматриваются всевозможные функции ы(-) € С([£о, ¿о + т], т > 0, для которых выполняется условие и(£) е I/ для всех

Система (4) называется локально разрешимой в точке (Ьо,Хо), если существуют число г > 0 и допустимое управление и(-) такие, что задача Коши

х = /(Ь,х,и(Ь)), афо)=хо,

на отрезке [¿о, ¿о+т] имеет решение х(-), для которого выполняется условие

д(г, х(Ь), и(г)) = 0 V« € [¿о, к + г]. Приведем основной результат, полученный в параграфе 2.1. Пусть за-

дана точка щ € U, для которой g(to, xq, щ) = 0, и некоторое 7 > 0. Положим D = [fo,ío + 7] х Дй"(хо>7)-

Будем предполагать, что функция f : D х Жт —> Rn удовлетворяет условиям Каратеодори: при п.в. í функция /(í, •,•) непрерывна; при любых (х,и) функция f(-,x,u) измерима; существуют такая суммируемая функция чр : Е->Ки число т > 0, что \f(t,x,u)\ < rp(t) для п.в. t е [Í0, ¿0 + 7"], ДЛЯ любых U е Z?R"'(uO) 7), х е В&п(хо, 7).

Предположим, что для любых (£, х) Е D функция 5 дважды непрерывно дифференцируема по и на B®m(ua,j), причем соответствующие производные непрерывны по совокупности переменных в окрестности точки

д2д

(io, хо, tío), а отображение -^(t, х, ■) удовлетворяет условию Липшица на 5Km(ito, 7) для любых (í, х) € £> с константой Липшица, не зависящей от (t,x).

Теорема 2 Пусть существует такой вектор h е Rm, что функция g{t0,xQ,-) 2-регулярна по переменной и в точке щ относительно U по направлению h. Тогда система (4) локально разрешима в точке (to,xo).

В параграфе 2.2 приведены достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных включений со смешанными ограничениями. Рассмотрена управляемая система дифференциальных включений со смешанными ограничениями, геометрическим ограничением на управление и дифференциальным включением, не разрешенным относительно старшей производной

0 6F(t,x,x,u) Vi<E[í0,íi],

x(t0) = х0, ^

о eG(t,x,u) vte[t0lti],

u(t) £U VíeMi].

Здесь F : [í0,íx] x R" x Rn x {/ =$ Rfc, G : [t0,íi] xRn x U =4 Rs - заданные многозначные отображения, U С Rm - заданное непустое замкнутое множество, х0 € R" - заданный вектор, t0, íi G R - заданные числа. Здесь и

далее под многозначным отображением будем понимать отображение, которое каждой точке области определения ставит в соответствие непустое замкнутое множество.

Для этой системы допустимые управления рассматриваются в классе

¿oedib.ii]. СОУправляемую систему (5) будем называть локально разрешимой, если существуют число т > О, допустимое управление и(-), абсолютно непрерывная функция х(-) такие, что функция х(-) является решением задачи Коши

О е х, X, и(Ь)), х{к) = Х0, на отрезке [¿о, ¿о+т], и для почти всех Ь е [*0, к+т] выполнено включение

О € 6(4, я(*),«(«)).

Пару (х,и) в этом случае принято называть решением системы (5) на отрезке {¿о, ¿о + ?"]•

Приведем основной результат, полученный в параграфе 2.2. Будем предполагать, что отображения Риб удовлетворяют условиям Каратео-дори, то есть:

1) отображения Р(-,х,г,и) и измеримы для всех х,г 6 К",

и 6 и;

2) отображения •) и •) непрерывны для п.в. Ь е [io.ii];

3) для каждого Я > 0 существует число М > О такое, что если |х| + \г\ + |и| < Д, то |у| < М для п.в. * € [¿о, *1]> Для всех у е х, г, и).

Прежде чем сформулировать основной результат параграфа 2.2, напомним необходимые определения. Пусть X, У - метрические пространства с метриками рх, Ру, соответственно, и задано число а > 0.

Определение 2 (см. 5) Многозначное отображение Г : X =4 У назы-

8 Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. - 2007. - Т. 416, № 2 - С. 151-155.

вается а-накрывающим, если

F{BX{»о, г)) 2 BY(F(x0),ar) Vr > 0, Vz0 € X.

Число а > 0 называется константой накрывания отображения F.

Определение 3 (см. 5) Будем говорить, что многозначное отображение F : X Y удовлетворяет условию Липшица в константой L> О, если

h(F(xО, F(x2)) < Lpx(xux2) Vxb s2 € X

В этом определении h - это обобщенное расстояние по Хаусдорфу.

Пусть заданы функции xq £ ЛСоо([40,^],Жп), ж0(г50) = х0,ио 6 Lœ([t0,ti],U), /о <Е Loo([io,ii],lR*), 9о € Looftio.fiLK") такие, что

/o(i) € F(t, x0(t),x0{t), u0(t)), g0{t) e G(t, xQ(t),u0(t)) Vi e [i0, ii].

Теорема 3 Предположим, что

a) отображения F(t, -, v, и), F(t, x, v, •), G(t, -, и) удовлетворяют условию Липшица с константами Li>0,L2>0uL3>Q, соответственно, для п.в. t € [¿о, il], для всех x,v 6 M", и EU-,

b) отображения F(t, x, •, и), G(t, x, •) являются накрывающими с константами ар > 0 иаа > 0, соответственно, для п.в. t б [îq» ¿i]» ® 6 К", и eu.

Тогда управляемая система (5) локально разрешима. Причем для всех

е > 0 и г 6 (0, то), где т0 = араа-^ существует решение (х,и)

L2L3 + Licxg

системы (5) на отрезке [iojio + TJ такое, что выполнены оценки

¿alMlco + egll/oll оо

оо

М*)-«(«)!<

(aF-TL^ilgolU + rLsll/o!!:

оо

(oîf — rLijac — TL2L 3

Основные результаты второй главы опубликованы в [3], [4].

Третья глава посвящена проблемам оптимального управления и состоит из четырех параграфов. В параграфе 3.1 приведены постановки задач оптимального управления в дискретном и непрерывном времени. В параграфе 3.2 получены необходимые условия оптимальности второго порядка для дискретной задачи оптимального управления

ip(x(N + 1)) -> min,

x(t + 1) = f(t, x(t),u(t)), t £ [0, N],

(6)

x(O) = xo,

U{t) e U(t), t e [o,N].

Здесь N - заданное натуральное число или нуль, t 6 [0, iV+l] := {0,1,..., N,N+1} - дискретное время, x(t) еЕ"- фазовая переменная, u{t) 6 Mm - управление, / : [0, N] х Ж" х Rm Rn и ip : Rn Ж - заданные функции, U : [0, N] =3 Rm - заданное многозначное отображение.

Допустимым процессом в задаче (6) будем называть пару (х, и), и — (u(0),...,u(N)), u(i) € Rm, х = (х(0),...,x(N + l)), х(г) бГ, такую, что и удовлетворяет условию u(t) G U(t), t G [0, N], а х является решением разностного уравнения x(t -f 1) = f(t,x(t),u(t)), t £ [0, TV], с начальным условием x(0) = xq.

Допустимый процесс (ж, ü) назовем локально оптимальным процессом в задаче (6), если <p(x(N + 1)) < <p(x(N + 1)) для всех допустимых процессов (х,и) из некоторой окрестности оптимального процесса (х,й).

Приведем основной результат, полученный в параграфе 3.2. Для р £ R™ положим

H{t,x,u,p) := ртf(t,x,u).

Теорема 4 Пусть (х, и) - локально оптимальный процесс в задаче (6). Пусть также функция (р удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки x(N+l), дифференцируема в этой точке и для ecext £ [0, N] выполняются следующие предположения: функция f(t, •, •) непрерывна,

функция /(£, -,й(£)) дифференцируема в точке х — х(Ь), множества 1/(1) замкнуты, множества {/(¿)) выпуклы.

Тогда существует решение р : [О, ЛГ] —>■ К" сопряженной системы

Н(Ь,Щ,Щ,р(г + 1)) = шах Н{1,х{1),щр{Ь +1)), I е [О,Щ. (8)

«РГ/ (¿1 4

Отметим, что приведенная теорема усиливает известные условия оптимальности первого порядка (см. 6), поскольку в ней предполагается, что функция / дифференцируема по х лишь в точке х(Ь), а не в целой окрестности точки х{£), и лишь при и — й(£). Множества допустимых скоростей [/(£)) предполагаются выпуклыми также только при х = х(Ь), а не в окрестности точки х(Ь).

В параграфе 3.3 получены необходимые условия оптимальности второго порядка для особых управлений для задачи оптимального управления с непрерывным временем

Здесь 6 М - заданные числа, 4 € [¿о, ^ 1] - время, х е К" - фазовая переменная, и 6 К"1 - управление, у? : Мп Е, / : [io.ii] хРх Ет ->• Е™ - заданные функции, и : [¿о, Ь] Ет ~ заданное многозначное отображение.

Допустимым управлением в задаче (9) является такая измеримая функция и: [¿о, * г] ~> что и(4) е II (Ь) для почти всех 4 6 [<о, 4г]. Пару (х, и) будем называть допустимым процессом, если и - это допустимое управление, а х - решение задачи Коши х = /(¿,х,и(£)), х^о) = хо-

'Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974.

(7)

<

1р(х(^)) —> 1ШП, Х^о) — Хо,

(9)

и(1)еи(г) уге [io.ii!.

Всюду далее будем полагать, что выполнены следующие условия: (HI) функции <р(•), f(t, -, •) непрерывны вместе со своими частными производными <Рх{-), <Рхх{-)> fx{t,-, •) и fxx(t, -, •) для всех t € [i0, ii]; (Н2) функции f(-,x,u),fx{-,x,u) и fXx{-,x,u) измеримы для всех (х, и)-, (НЗ) U(-) - многозначное отображение с замкнутыми ограниченными значениями, непрерывное в смысле метрики Хаусдорфа.

Определение 4 (см. 7) Допустимый процесс (х,й) называется попт-рягинским локальным минимумом, если для каждого с > 0 существует е — е(с) > 0 такое, что для всех допустимых процессов (х(-),и(-)), удовлетворяющих условиям

Wil) - ï(ii)| + M {t e [to, fill «(<) Ф «(*)} < е, l«WI < с Vi S [to, il],

выполняется неравенство cp(x(ti)) > <p{x(tx)). Здесь fx обозначает меру Лебега.

Допустимое управление и(-) называется особым на отрезке [¿2, h] С [io.ii], если для почти всех t € [t2,Î3] существует точка w 6 Uit) такая, ЧТО u(t) Ф w и

H(t,x(t),u(t),p(t)) = H(t,x(t),w,p(t)).

Здесь х(-) - траектория, соответствующая управлению и(-), H : [io,ii] х R" х Г х Г -4 R, H(t,x,u,p) = pTf(t,x,u) - функция Гамильтона-Понтрягина для задачи (9), р(-) - решение сопряженной системы p(t) --Hx{t,x(t),u(t),p(t)) с концевым условием p(ti) = -<px(x(ti)).

Одной из первых работ, посвященных исследованию особых управлений, является работа 8. Особые управления изучались многими авторами ( см., например, 9' 10). Условия глобального минимума для кусочно-

7 Арутюнов А. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Принцип максимума Понтрягина. - М.

: Факториал Пресс, 2006.

"Ршоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем, Ш // Автоматика и телемеханика. - 1959. - Т. 20, Вып. 12. - С. 1561-1578.

'Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. - М. : Либроком, 2013.

10Gabasov R., Kirillova F. M. High-Order Necesssaiy Conditions for Optimality // SIAM J. Control and Optimization. - 1972. - Vol. 10, no. 1. - P. 127-169.

непрерывных управлений были вначале получены в предположении непрерывности функции / по t и при условий U(t) = const. Затем этот результат был распространен в 11 на случай измеримой по t функции /.

В параграфе 3.3 получены необходимые условия локального (а не глобального) понтрягинского минимума для задачи (9). Соответствующие результаты получены методом конечномерных аппроксимаций. Метод заключается в сведении бесконечномерной задачи (9) к последовательности конечномерных задач и получению условий оптимальности в исходной задаче с помощью предельного перехода. Этот подход применялся ранее для получения условий оптимальности в задачах с концевыми ограничениями (см. 12, 13), в задачах с фазовыми ограничениями при более слабых предположениях дифференцируемое™ (см.14).

Приведем основной результат, полученный в параграфе 3.3. Для симметричной матрицы А и векторов y,yi,y2 соответствующей одинаковой размерности положим

А[у}2 := утАу, А{уиу2) := yjAy2.

Кроме того, положим

Mt) :=/s(f, *(«*)),

■= mmxo)) - mm,m)-

Фундаментальную матрицу решений линейного дифференциального уравнения

f(t) = fx(t,x{t),u{t))r, t e{toM обозначим через Ф(-, •)•

"Мордухович В. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. - М. : Наука, 1988.

11 Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. - М.: Физматлит, 2QQ7.

"Arutyunov А. V., Vinter R. В. A Simple 'Finite Approximations' Proof of the Pontryagin Maximum Principle under Reduced Differentiability Hypotheses // Set-Valued Analysis. - 2004. - Vol. 12. - P. 5-24.

"Shvartsman I. New approximation method in the proof of the maximum principle for nonsmooth optimal control problems with state constraints // J. Math. Analysis and Applications. - 2007. - Vol. 326, no. 2, P. 974-1000.

Положим

pT(t) := -vKxit^ih, t), t € [t0, il]. (10)

В силу свойств фундаментальной матрицы функция р удовлетворяет сопряженной системе:

f(t) = -pT(t)fx(t, x(t),û{t)), p(ti) = -<px(x(ti))- (11)

Положим

H(t, x, u,p) =pTf(t,x,u),

Hx{t) := Hx(x(t),û(t),p(t)), Hxx(t) Hxx(t,x(t),u(t),p{t)), àvHx(t) Hx(t,x(t),v(t),p(t)) - Hx(t,x{t),û(t),p(t)). Определим матричную функцию Ф(^), t Е [¿о, ii], как решение уравнения

m=Hxx{t) - îiitmt) - mm (щ

с концевым условием

Щк) = ip„(î(t 1)). (13)

Теорема 5 Пусть функция f(-,x,u) непрерывна справа для всех (х,и). Предположим, что пара (х(-),й(•)) является понтрягинским локальным минимумом в задаче (9), функция б(-) непрерывна справа, г>(-) -такая непрерывная функция, что vit) € U(t) для почти ecext Е [¿о, h] и существует отрезок [h,^] С [ioi^i] такой, что vit) Ф û(i) для почти всех t Е [hjti] и выполнено

Hit,xit),vit),p{t)) = H{t,x(t),û(t),P(t)) W 6 [ia.ts], (14)

где pi~) - решение сопряженной систшы (И). Тогда

Ф(4)[Д„/(г)]2 - AvHÏit)Avfit) > 0 Vf € [ia, is]. (15)

В параграфе 3.4 третьей главы исследованы свойства функции минимума для линейной задачи оптимального управления. Пусть заданы

до{х) = {С}ох,х}, Я{х) =

(16)

симметричные матрицы <Зо1 <?ь ■■■> Як размерности п х п с действительными элементами, причем эти матрицы попарно коммутируют. Определим квадратичную форму до : Еп —К. и квадратичное отображение <2 : К" -)• К* по формулам

( (Яхх,х) >

• , х = (хи...,хп) еМ". ^ {<ЭкХ, х) у

Иными словами, квадратичное отображение - это вектор-функция, каждая координата которой является квадратичной формой.

Рассмотрим задачу оптимального управления с линейной дифференциальной связью, квадратичным функционалом и квадратичными концевыми ограничениями

?о(а;(1)) пип, х = А{€)х + ВЦ)и, Ь € [0,1], ®(0) = О,

<?К1 ))=»•

Здесь Ь € [0,1] - время, гбК"- фазовая переменная, и € Кт - управляющий параметр, А{Ь) и В(Ь) - непрерывные матрицы-функции соответствующих размерностей, у - заданный вектор из К*.

Допустимым процессом в задаче (16) назовем пару (х(-),и(-)) такую, что абсолютно непрерывная функция х(-) является решением задачи Ко-ши х — А{£)х + В{Ь)и, х(0) = 0, и удовлетворяет условию (5(х(1)) = у, а управление и(•) является измеримым существенно ограниченным. Под решением задачи (16) будем понимать допустимый процесс (х(-),и(•)), на котором достигается условный минимум функционала (х(-),и(-)) ^ ®(®(1)).

Будем предполагать, что квадратичное отображение <2 сюръективно, то есть <Э(К") = К*. Для каждого у € К*, через ш{у) обозначим оптимальное значение в задаче (16), то есть (у) = ы{®(®(1)) : х = А{1)х+В{1)и, I е [0,1],х(0) = 0^(1(1)) = у].

Ш

Таким образом определим в задаче (16) функцию минимума ш : Rfc

Целью параграфа 3.4 является исследование дифференциальных и топологических свойств функции и. Свойства функции минимума в различных задачах оптимизации и оптимального управления изучаются во многих работах. Так, например, Ф. Кларком в 15 исследована функция минимума для задачи минимизации функционала / : Rn R при ограничениях типа равенств и неравенств и геометрических ограничениях х € С С R". В предположении, что значение функции минимума конечно в нуле и множества {х 6 С : f(x) < г} компактны для всех г € R, получена формула для обощенного градиента функции минимума, а также условия строгой дифференцируемости функции минимума. А. Дончевым в 16 используется несколько другой подход к изучению поведения функции минимума - теория чувствительности. Рассматривается задача условной минимизации в функциональных пространствах. Приводятся оценки функции минимума, зависящие от параметра. A.B. Арутюновым в 17 исследованы свойства функции минимума для квадратичной задачи минимизации.

Приведем основной результат, полученный в параграфе 3.4. Рассмотрим систему

где Е ~ единичная матрица. Таким образом, Ф - фундаментальная матрица системы Ф = — у!*(£)Ф. Обозначим через &(£), г — 1,п, столбцы матрицы В*($Ф(г), I € [0,1].

Теорема 6 Предположим, что выполняются следующие условия:

"Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. - М. : Наука, 1988.

1бДончев А. Системы оптимального управлепия. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. - М. : Мир, 1987.

17Арутюнов А. В. Свойства функции минимума в квадратичной задаче // Матем. заметки. - 2013. - Т. 94, №1. - С. 36-45.

(17)

п

а) ^ ф. О для всех Л = (Аь..., Л„) Ф 0; ¿=1

б) д0(х) > 0 для всех х, таких что 0>{х) — 0. Тогда

1) функция и> выпукла;

2) функция и удовлетворяет условию Липшица;

3) функция ш дифференцируема во всех точках пространства К4, кроме, быть может, точек, принадлежащих объединению конечного числа собственных подпространств.

Основные результаты третьей главы опубликованы в [1], [2], [6]- [8]. В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

• Получены достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями.

• Получены достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных включений со смешанными ограничениями.

• Получены необходимые условия оптимальности второго порядка для дискретной задачи оптимального управления.

• Получены необходимые условия оптимальности второго порядка для особых управлений для задачи оптимального управления с непрерывным временем.

• Получены условия выпуклости, липшицевости и дифференцируемо-сти функции минимума для задачи оптимального управления с линейной дифференциальной связью, квадратичным функционалом и квадратичными концевыми ограничениями.

• Доказана теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки, т.е. точки, в которой нарушается условие регулярности Робинсона.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Арутюнов А. В., Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Жуковский С. Е. Дифференциальные свойства функции минимума для диагонализи-руемых квадратичных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2012. - Т. 52, № 10. - С. 1768-1777.

2. Жуковская (Мингалеева) 3. Т. Свойства функции минимума в задаче оптимального управления // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2015. - Т. 20, Вып. 2. -С. 303-307.

3. Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Жуковский С. Е. Достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. -2015. - Т. 20, Вып. 1. - С. 7-15.

4. Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Жуковский С. Е. О разрешимости управляемых систем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2014. - Т. 19, № 2. - С. 380-382.

5. Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Жуковский С. Е. Существование и непрерывность неявной функции в окрестности анормальной точки // Вестник МГУ. - 2012. - Сер. 15, №2. - С. 10-15.

6. Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Шварцман И. А. Необходимые условия второго порядка для дискретной задачи оптимального управления // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 12. - С. 1640-1646.

7. Жуковская (Мингалеева) 3. Т., Шварцман И. А. Условия оптимальности для особых управлений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Т. 18, № 5. - С. 2609-2611.

8. Zhukovskaya (Mingaleeva) Z. Т., Shvartsman I. A. Second Order Optimality Conditions for Singular Controls // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2014. - Vol. 35. - P. 1245-1257.

Напечатано о готового оригинал-макета

Подписано в печать 13.04.2015 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ 072.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.