Структура борелевских множеств и их отображения

Островский, Алексей Владимирович

Структура борелевских множеств и их отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Островский, Алексей Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Структура борелевских множеств и их отображения»

Автореферат диссертации на тему "Структура борелевских множеств и их отображения"

Математический институт им. Стеклова РАН

ОСТРОВСКИЙ Алексей Владимирович

На правах рукописи УДК 516.123

СТРУКТУРА ВОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ И ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ

01.01.04—Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—2006

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Чернавский

доктор физико-математических наук, профессор, академик М.М. Чобан

доктор физико-математических наук Е.В. Щепин

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится 7 сентября 2006 г. в 14 часов на заседании Диссертационного Совета Д002.002.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, д. 8, МИРАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН

аР л,У

Автореферат разослан &У. ."........О..:.2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.002.03 Доктор физико-математических наук Н.П. Долбилин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В дальнейшем, если не оговорено противное, все пространства предполагаются лежащими в канторовом множестве С или пространстве иррациональных чисел Р.

В диссертации рассматриваются взаимосвязанные вопросы, относящиеся к трем периодам.

1. Вопросы 1928-45 годов, касающиеся определения канонических бо-релевских множеств и поведения их при гомеоморфизмах и открытых отображениях.

2. Вопросы 70-х годов, об описании отображений, сохраняющих первые борелевские классы множеств и, в первую очередь, класс С^-множеств, совпадающий, как известно, с классом полнометризуемых пространств.

Сюда относятся вопросы о гомеоморфизмах и об индуктивной совершенности отображений (индуктивно совершенные отображения сохраняют борелевские классы).

3. Вопросы 90-х годов о сохранении борелевских классов различными видами стабильных и гармонических отображений и об их индуктивной совершенности.

Вопросы первой группы ставились классиками топологии и дескриптивной теории множеств. Они оставались актуальными до последнего времени.

Об актуальности последней группы вопросов говорит, например, только что объявленное положительное решение Ж. Сен Реймоном и Г. Деб-сом вопроса о сохранении борелевских классов гармоническими (= компактно накрывающими) отображениями. Данное ими доказательство явилось важным событием последнего времени, так как ими же было установлено, что доказательство индуктивной совершенности таких отображений требует привлечения дополнительных аксиом теории множеств.

Вернемся к начальным вопросам и их истории.

Важнейший класс топологических пространств - класс компактных пространств — сохраняется при любых непрерывных отображениях. Изучение непрерывных образов второго по значимости класса пространств - пространств, метризуемых полной метрикой, привело, как известно, к развитию дескриптивной теории множеств (ДТМ), в которой борелевские множества играют ведущую роль. С точки зрения ДТМ метризуе-мые полной метрикой пространства образуют класс (содержащий Р).

Известно, что непрерывные взаимно-однозначные образы С^-множеств суть все борелевские множества и только они.

При каких отображениях пространства иррациональных чисел Р его образы будут всегда борелевскимн множествами того же класса (7,;?

Этот вопрос интенсивно изучался как вопрос об отыскании наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризуемость.

Наряду с такими давно известными классами отображений как открытые и замкнутые, в 70-х годах вышли на сцену новые классы отображений1:

индуктивно совершенные, й-накрывающие, компактно накрывающие, трифакторные2.

В случае, когда отображаемое пространство есть (^¿-множество, обг раз его при всех этих отображениях будет также (^-множеством, и все четыре класса отображений совпадают. Исторически это было установлено в таком порядке: доказательство сохранения класса б г компактно накрывающими отображениями было дано И. Христенсеном: Впоследствии Ж. Сен Реймон, диссертант и Е. Майкл установили, соответственно, что условие компактно пакрываемости эквивалентно в этом случае индуктивной совершенности, я-накрываемости и трнфакторности.

В поисках наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризуемость (такой класс будет указан в диссертации — класс стабильных отображений) обнаружились два феномена, требовавших объяснения.

1 Отображение / : X —♦ У называется индуктивно совершенным, если на некотором замкнутом в X подпространстве Хо ограничение /\Ха есть совершенное отображение на У. Если / индуктивно совершенно только для компактов К С У, оно называется компактно накрывающим, а если рассматриваются только счетные такие компакты К, то отображение называется в-накрывающим.

2Трифакторные отображения появились как свойство к-накрывающих отображений при доказательстве сохранения ими полнометризуемости, однако впоследствии было установлено, что у Б-накрывающих отображений имеется более сильное и интересное свойство: они точечно-гармоничны (см. главу 3), поэтому мы здесь опускаем их определение.

качестве отображаемого пространства взять простейшее не полнометри-зуемое борелевское множество: Р х С^.

/Нетривиальность ситуации видна уже потому, что соответствующие вопросы даже ставились (Е. Майклом) в виде двух отдельных вопросов:

о совпадении классов трифакторных и з-накрывающих отображений;

о совпадении классов индуктивно совершенных и з-накрывающих отображений.

Отрицательный ответ на первый вопрос был дан впервые автором (см. 3.4 Е), а положительный ответ на второй — автором, В. Юстом и Г. Викке (см. теорему 3.2.1, которая для частного случая счетных пространств была получена одновременно В. Юстом и Г. Викке).

Второй феномен состоял в отсутствии дотконца 70-х годов топологических характеристик пространств Р х (¡2 и О", что сделало актуальной старую проблематику о канонических борелевских множествах, которые Н. Лузин представлял себе как не имеющие лишних частей, не приводя точного определения этого понятия. Снова стали актуальными старые вопросы:

П.С. Александрова - П.С. Урысона, об описании неприводимых борелевских множеств и их перечислении;

Н. Лузина и Л.В. Келдыш, об определении канонических элементов и о представлении борелевских множеств с помощью их сумм;

Л.В. Келдыш, об универсальности борелевских множеств;

В. Гуревича, о существовании особых А-множеств;

Л. В. Келдыш, об описании борелевских множеств как образов друг друга при открытых отображениях.

Мы напомним кратко историю этого круга вопросов.

Имеются различные классификации борелевских множеств, и во всех из них первые классы представляют особый интерес. Например, среди подпространств гильбертова куба в первые классы попадают все (се-парабельные) компактные и локально компактные пространства, полно-метризуемые, сг-компактные и многие другие топологические пространства.

Основными представителями своих классов являются:

С — канторово совершенное множество;

С} - пространство рациональных чисел и произведение О х С;

Р - пространство иррациональных чисел;

Началом изучения топологической структуры борелевских множеств следует считать классические топологические характеристики этих пространств, данные Брауэром (для С), В. Серпинским (для Ф. Хау-сдорфом и П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для Р), П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для С х О):

С - единственное нульмерное компактное без изолированных точек пространство;

<3 - единственное нульмерное счетное без изолированных точек пространство;

Р - единственное нульмерное полнометризуемое пространство, не содержащее открытых компактных подмножеств;

С х (3 - единственное нульмерное сг-компактное пространство, не содержащее открытых компактных или счетных подмножеств.

Из этих топологических характеристик легко следуют такие дескриптивные3:

С2 - единственное множество класса всюду счетное и всюду не дополнительного класса £?г;

Р - единственное множество класса всюду не-дополнительного класса

С х - единственное множество класса всюду несчетное и всюду не дополнительного класса

Указанные множества обладают рядом других однородных свойств. Так, очевидно, все эти множества всюду принадлежат борелевскому классу исходного и даже всюду гомеоморфны исходному (пространства с последним свойством называются Л-однородними).

Множества некоторого класса а, но не дополнительного класса, называются множествами строго класса а. Неприводимые множества класса а определяются как множества всюду строго этого класса. В частности: - единственное счетное неприводимое множество класса Т7^;

С х С2 — единственное несчетное неприводимое множество класса Ра\

Р — единственное неприводимое множество класса С?г.

Упомянутые множества имеют еще одно замечательное свойство, благодаря которому их выделили как канонические: любые борелевские множества этих классов получаются объединением счетного числа канони-

3под свойствами "всюду" понимаются свойства, которые наследуются всеми

открыто-замкнутыми подмножествами. Иногда вместо "всюду" говорят "на каждой

своей порции".

ческих.

Например, каждое несчетное компактное множество пред ставимо в виде суммы канторова совершенного множества С и счетного числа точек, которые суть тривиальные канонические множества.

В связи с этим Н. Лузин выдвинул идею о возможности подобного представления для каждого борелевского множества. Однако в случае борелевских множеств высших классов ситуация резко усложнилась и попытки точного определения канонического множества привели к ряду вопросов.

Теперь, когда мы знаем, что характеристики типа ^-однородности связаны с вопросом о детермшшрованости борелевских множеств и что доказательство детерминированности даже в первых классах очень непросто, возникшие в-те годы трудности легко объяснимы.

Н. Лузин склонялся к определению канонических множеств как однородных в смысле свойства неприводимсти, а П.С. Александров и П.С. Урысон сформулировали проблему с полной определенностью:

Сколько существует попарно негамеоморфных неприводимых множеств в данном борелевском классе?. Какова их топологическая характеристика?

Решающий вклад в понимании проблемы определения "каноничности" внесла

Л.В.Келдыш, положив в основу своего определения канонического элемента свойство универсальности: мы скажем, что борелевское множество некоторого класса является универсальным, если любое борелевское множество этого класса гомеоморфно пересечению исходного с некоторым совершенным множеством (что равносильно тому, что исходное множество содержит замкнутую копию любого борелевского множества этого класса).

Из топологических характеристик С, х С и Р следует, что произведение каждого из этих пространств с произвольным борелевским множеством того же класса дает пространство, гомеоморфное исходному пространству.

Так как в произведении любых пространств каждый сомножитель является замкнутым подпространством, из сказанного следует:

С — единственный всюду универсальный представитель класса замкнутых множеств;

Р — единственный всюду универсальный представитель класса Gs;

Q - единственный счетный всюду универсальный представитель класса Fa для счетных множеств;

Q х С - единственный всюду универсальный представитель класса FCT.

Однако в классах F„s и Gsa появились уже по крайней мере по два равноправных претендента.

JI.B. Келдыш, привлекая топологическое понятие категории 4, определила канонические элементы класса а как элементы этого класса, всюду универсальные и первой категории на себе.

В диссертации показано, что канонический элемент класса а, определенный Келдыш, гомеоморфен Q х Ma~i (3 < а < ш) или Q х Ма, где ы < а < cl>i и множества Ма определяются с использованием только операций произведения и перехода к дополнению.

При изучении гомеоморфных отображений канонических элементов JI.B. Келдыш рассматривала естественный частный случай открытых отображений. Она доказала, что теорема В. Сернинского (обобщенная Ф. Хаусдорфом на случай несепарабельных метрических пространств) о сохранении класса Gs при открытых отображениях уже не имеет места для борелевских множеств высших классов первой категории на себе (как показано в диссертации, произведение Р х Q может быть отображено открыто на любое другое борелевское множество).

Так как всякое Gs по теореме Бэра о категориях имеет всюду вторую категорию, JI.B. Келдыш поставила естественный вопрос:

Можно ли всякое борелевское множество всюду не Fa П G s и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?

Исследования J1.B. Келдыш о сохранении классов борелевских множеств при открытых отображениях послужили отправной точкой для поиска наиболее широкого класса непрерывных отображений, сохраняющих борелевские классы. Естественное ограничение к такому классу -содержать в себе все открытые и все замкнутые отображения.

^Напомним, что пространства первой категории суть пространства, представимые в виде объединения счетного числа нигде не плотных в них множеств, а все остальные пространства суть второй категории. Пространства первой категории являются таковыми всюду.

Н. Бурбаки установили, что открытые отображения Сг-множеств обладают следующим свойством к-накрываемости: любой компакт в образе накрывается некоторым компактом из прообраза.

Христепссн усилил теорему В. Серпинского, доказав, что образ множества при к-накрывающем отображении будет также С ¿-множеством

По аналогии с уточненной теоремой Л.В. Келдыш, согласно которой любое борелевское множество есть открытый образ Р X автор поставил такой же вопрос для к-накрывающих отображений сначала для Рх <3, а потом и в общей форме: сохраняют ли отображения со свойством к-накрываемости классы борелевских множеств?

В диссертации доказано, что в случае, когда образ состоит из счетного числа компактов, отображение со свойством к-накрываемости является индуктивно совершенным на некоторое естественном подпространстве с тем же образом. Следствием доказательства стало открытие автором классов компактно гармонических отображений и (одновременно с Юстом и Викке, которые нашли его в эквивалентной форме совершенно другим методом) точечно-гармонических отображений, а затем и более общего класса стабильных отображений5, замечательного тем, что он включает все открытые и_все замкнутые отображения и даже их композиции. К тому же он наследует, в отличие от класса факторных отображений, лучшие общие свойства открытых и замкнутых отображений, а в случае компактных прообразов точек совпадает с точечно-гармоническими.

Параллельно изучается вопрос о сохранении борелевских классов при стабильных отображениях с компактными прообразами точек. Полученные здесь диссертантом результаты говорят об эффективности применения понятий гармонических и стабильных отображений: с их помощью можно получать ответы там, где традиционная техника индуктивно совершенных отображений не работает, что говорит об актуальности этого направления исследований.

Цель диссертации в общей постановке можно сформулировать как

«Отображение называется стабильным, если в прообразе /~г(у) каждой точки у € У найдется такое семейство еу, что каждое открытое множество, содержащее какое либо В 6 еу, содержит также некоторое множество В' е £у для всех точек у' из некоторой окрестности точки у. Если еу состоит из компактов, то отображение называется точечно-гармоническим. Заменяя в определении точечно-гармонического отображения "точка у" на "компакт К получаем определение компактно гармонического отображения.

изучение условий существования между борелевскнми множествами разных классов тех или иных гармонических отображений.

С одной стороны этим достигается решение некоторых задач. Так, в частности, мы получаем:

в случае гомеоморфизмов и неприводимых борелевских множеств -проблемы Н. Лузина и П.С. Александрова - П.С. Урысона; в случае открытых отображений - проблемы Л.В. Келдыш; в случае трнфакторных и стабильных отображений - соответствующие задачи Е. Майкла и диссертанта.

С другой стороны, проясняется глобальный вопрос классификации, впрочем, весьма условной, какие пространства и отображения считать хорошими и плохими по принципу: отображение тем лучше, чем хуже может быть класс пространств,.инвариантный для него.

Наоборот, пространство тем хуже, чем лучше должен быть класс отображений, сохраняющий его свойства.

Мы будем сравнивать пространства по высоте борелевских классов, к которым они принадлежат.

Например, замкнутые отображения сохраняют все борелевские классы и поэтому лучше открытых, которые сохраняют их только до второго, а точное место в этой классификации для ^-накрывающих или стабильных отображений с компактными прообразами пока неизвестно.

Методы исследования.

Традиционные методы ДТМ (например, А-снстемы, проекции) в значительной мере были заменены топологическими (например, использованием тихоновских произведений, бикактных расширений, индуктивно совершенных и других классов отображений)

В диссертации применяются методы топологии (бикактных расширений омпактные расширения, вложения, тихоновские произведения), дескриптивной теории множеств (борелевские множества, аналитические множества).

Из разработанных автором методов отметим главные: продолжения открытых отображений и гомеоморфизмов (метод изоморфных систем остаточных множеств);

методы, основанные на свойствах стабильных отображений.

Научная новизна. Новыми результатами, естественно, являются ответы на ряд вопросов ДТМ и топологии, на которые ранее ответ не был

известен, в числе которых следующие:

полные ответы на вопросы П.С. Александрова - П.С. Урысона об описании и перечислении неприводимых борелевских множеств;

полный ответ на вопрос Л.В. Келдыш об условиях существования открытых отображений между различными борелевскнми множествами;

положительный ответ на вопрос Л.В. Келдыш о представлении элементов данного класса как объединения канонического элемента и множества меньшего класса;

отрицательный ответ на вопрос Б. Майкла о совпадении классов 5-накрывающих и трифакторных отображений и положительный ответ на его вопрос об индуктивной совершенности я-накрывающих отображений, если образ есть сумма счетного числа компактов, с помощью введения более широкого нового класса гармонических отображений, для которого этот вопрос оказывается более естественным. Кроме того:

впервые дана топологическая характеристика канонических элементов Л.В. Келдыш с помощью простейших операций произведения и перехода к дополнению. В частности, показано, что канонический элемент Л.В. Келдыш третьего класса гомеоморфен счетной степени рациональных чисел;

приведено короткое доказательство гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (данное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов;

найден естественный новый класс отображений, названных стабильными, содержащий открытые, замкнутые и многие другие и сохраняющий полнометризуемость. Получены первые результаты пока о небольшом повышении такими отображениями с компактными прообразами точек классов борелевских множеств.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут найти применение в дескриптивной теории множеств и функций, общей топологии, теории вероятностей, функциональном анализе, теоретической информатике.

Из результатов диссертации, относящихся к теории отображений топологических пространств, можно сделать вывод, что роль сепарабельных

метрических пространств много важнее, чем считалось ранее.

Тенденция 60-х годов "изгнать паразита счетности" из топологии привела к общим классам отображений, которые оказываются зачастую недееспособными при решении конкретных задач уже для подпространств из Р.

Наоборот, рассмотрение сепарабельных метрических пространств позволяет найти удачные классы отображений для общих топологических пространств.

С точки зрения практики и теории, из исследований диссертации следует вывод, что существовавшая до последнего времени теория отображений общих топологических пространств оказывается слишком абстрактной и бедной в приложениях к конкретным вопросах для. бореле-вескнх подмножеств действительной прямой.

Поясним сказанное на истории возникновения стабильных и гармонических отображений.

1. Рассмотрим, например, вопрос о классе отображений, включающем открытые и замкнутые, который имел бы такое их общее "хорошее" свойство как сохранение полнометризуемости. Можно было бы начать решать его "в лоб", путем рассмотрения класса всевозможных композиций открытых и замкнутых отображений. Такой подход рассматривался ранее, но приводит к громоздким конструкциям и мало что дает.

Другой путь предложен в диссертации: рассматривается для этих классов отображений общий класс стабильных отображений, инвариантный относительно композиций. Доказывается, что в классе сепарабельных метрических пространств он имеет свойство (трансфакторности), которое влечет сохранение полнометризуемости.

Класс стабильных отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим полнометрнзуемость сепарабельных метрических простанств.

2. Рассмотрим вопрос Б. Майкла об индуктивной совершенности з-накрывающих отображений на счетные пространства.

В классе сепарабельных метрических пространств ^-накрывающие отображения и только они точечно-гармоничны.

Отображения последнего класса на счетные пространства индуктивно совершенны, даже если отображаемое метрическое пространство не сепарабельно.

Подобно этому доказывается, что компактно накрывающие отображения эквивалентны гармоническим отображениям в классе метрических пространств, только если они сепарабельны.

Класс гармонических отображений-оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим классы борелевских подмножеств из С6.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ им. М.В. Ломоносова;

Ленинградской международной топологической конференции (Ленинград, 1983);

V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1985);

семинаре Г. Шоке по анализу (Париж, 1993);

X летней конференции по общей топологии и ее приложениям (Амстердам, 1994);

31 и 33 зимней школе по функциональному анализу в Чехии (2003,2005); семинаре по функциональному анализу и ДТМ Карлова университета (Прага, 2004);

конференции по анализу и ДТМ в институте Филдса (Торонто, 2002); семинарах Ленинградского университета (1976-1994); ежегодных конференциях памяти П.С. Александрова, проходящих в МГУ им. М.В. Ломоносова;

конференции по вычислимости и сложности в анализе (Виттенберг, Германия, 2004);

семинаре по ДТМ и функциональному анализу (Париж, 2006); ряде других конференций и симпозиумов.

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах автора, список которых приведен в конце.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы, которые, в свою очередь, разбиты на пункты. Общий объем работы составляет 119 страниц, библиография содержит 55 наименований.

"При дополнительном предположении, что все пообразы точек компактны, таким классом скорее всего должен быть класс стабильных отоюражений. На это указывет Следствие 3.5.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изучению канонических борелевских множеств и решению связанных с ними вопросов Л.В. Келдыш, П.С. Александрова и П.С. Урысона.

В начале изложения даются основные понятия о борелевских множествах и показывается топологический путь к доказательству Келдыш о единственности канонического элемента в ее определении. Подчеркивается приоритет Л.В. Келдыш в вопросе об универсальности борелевских множеств. Хотя этот вопрос и решается теоремами Уэджа, Д. Мартина н, в конечном счете, Л. Харрингтона, мы указываем простое доказательство в одном важном частном случае с помощью теоремы 0.1.10.

Теорема 0.1.2 демонстрирует топологическую суть теоремы Келдыш о единственности канонического элемента.

Следующие множества Ма использовались ранее для доказательства непустоты борелевских классов.

Обозначим через S сходящуюся к нулю последовательность вместе с предельной точкой {0}. При рассмотрении всех дополнений вида С \ X мы будем считать, что X всюду плотно вложено в С. Множества Ма и Аа определяются индуктивно:

М> = {0}; Л0 = 5\{0}; Аа = \ Ма\

Ма — если а = /3 + 1,

Ма — Пp<aAj3, если а предельный трансфинит.

Легко видеть, что М% гомеоморфно Р и А\ гомеоморфно С х Q (по нашей конструкции, хотя при других способах вложения дополнение к А\ может быть гомеоморфно Q).

Теорема 1.1.1 характеризует борелевские множества в общих нульмерных топологических пространствах X как замкнутые подмножества произведения X и соответствующего множества Ма. В случае, когда X есть счетная степень рациональных чисел, мы получим Q" — канонический элемент Л.В. Келдыш третьего класса.

1.1.1. Теорема. Пусть X - совершенно нормальное пространство, IndX = 0, В С X борелевское множество мультипликативного класса а. Тогда Ва и X \ Ва гомеоморфны замкнутым подмножествам соответственно в X х Ма и X х Аа.

Метрическое пространство X назовем «-однородным относительно пространства У , если У вкладывается замкнуто в любое непустое открыто-замкнутое в X подмножество О.

Следующая теорема является аналогом теоремы Л.В. Келдыш о единственности канонического элемента, однако универсальность здесь используется в смысле существования замкнутых вложений и позволяет совсем коротко передать суть теоремы Л.В. Келдыш о единственности канонических элементов.

1.2.2. Теорема. Пусть Х,Х' - нульмерные метрические пространства первой категории и «-однородные друг относительно друга. Тогда X гомеоморфно Xе.

Рассматривая наряду с множествами Ма и Аа, определенными выше, множества Ма х <3, Аа х С2 и их дополнения при некотором всюду плотном вложении в С, мы получим множества:

^з7 = С \ Пз будет, разумеется, множеством аддитивного класса и второй категории на себе.

Множество — У^// х принадлежит тому же аддитивному классу 3, но уже первой категории на себе, а

Пз7 = С \ ^Зз множество второй категории.

При а > 3 мы можем рассмотреть аналогичные множества, однако стартовое множество будет определяться в предельных случаях иначе:

и'а = если а = /? + 1, П^ = Пв<а если а предельное.

Аналогично определяются:

П" = С \ •

Имеет место следующая теорема:

1.3.1. Теорема. Пусть X С С борелевское множество класса а > 2.

Для того чтобы X было гомеоморфно Еа (соответственно, ), необходимо и достаточно, чтобы X было неприводимым -множеством (соответственно, неприводимым П°-множеством) первой категории.

Аналогичная характеристика получается для множеств всюду второй категории (теорема 1.3.2).

Следующие результаты посвящены проблеме П.С. Александрова - П.С. Урысона [1]: "Возникает проблема перечисления (или, по крайней мере, проблема определения мощности) всех топологических типов неприводимых нульмерных множеств заданного класса. Аналогичная проблема возникает и для так называемых А-множеств".

Вопрос об определении мощности решается следующей теоремой.

-1.4.1. Теорема. В каждом классе (а > 2) Е^, А® борелевских множеств найдется ровно континуум попарно негомеоморфных неприводимых множеств.

Теорема 1.4.3 решает проблему перечисления неприводимых множеств классов Е„, П® с помощью понятия склейки (Па> Па7)' которая определяется так:

множества Л* и лежат в верхней и нижней полуплоскостях, они суть открытые подмножества склейки, а множество В лежит между ними на действительной оси и на границе обоих множеств.

1.4.3. Теорема. Пусть X неприводимое Е° -множество (неприводимое П° - множество).

Тогда, если X не является пространством первой или всюду второй категории, то при некотором В € (соответственно, В € ) мы имеем X « (Х^.-8'!^/) (соответственно, X « (П1> Д П")-

Доказательство опирается- на лемму 5.5.7 о продолжении гомеоморфизмов.

Следствие 1,6.5 отвечает на соответствующий вопрос Келдыш:

элементы строго данного класса а и только они представимы в виде объединения канонического элемента класса а (в смысле Л. В. Келдыш) и непересекающегося с ним одного множества Н класса < а.

Отсюда вытекает внутренняя характеристика элементов строго данного класса (следствие 1.6.4), получить которую желала Келдыш:

Каждый элемент строго класса а может быть представлен в виде суммы канонического элемента класса а и непересекающегося с ним одного множества Н класса < а.

Из этих утверждений легко следует теорема Л.В. Келдыш о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических элементов.

Во второй главе изучаются пространства, обладающие свойством, что в них нет замкнутых подпространств первой категории на себе. Про-

странства с такими свойствами Ф. Хаусдорф назвал ^//-пространствами. Всякое полное метрическое пространство есть ^//-пространство. В главе изучается , в частности, их поведение при произведениях и других операциях. Абсолютные А-множества, являющиеся одновременно Гц-пространствами (т.е. А^//-пространства), но не полнометрнзуемые, будем называть особыми. Проблема существования особых множеств была поставлена Гуревичем. Вопрос о ее решении связан с аксиомами теории множеств.

Мы уже обсуждали выше понятие стабильного отображения (см. определение в сноске раздела "актуальность темы"). Во второй главе доказывается ряд утверждений о них. Одно из них - следствие 2.0.2, которое устанавливает сохранение свойства Р// прн стабильных отображениях. Это используется в дальнейшем для доказательства сохранения свойства полнометризуемости при стабильных отображениях.

Следующая лемма выявляет главное свойство стабильных отображений: из любого открытого покрытия прообраза точки можно выделить конечное подпокрытие, на объединении элементов которого отображение будет стабильно в некоторой окрестности точки. Это свойство близко к предположению о компактности прообразов точек.

2.0.1.3. Лемма. Пусть / : X —* V стабильное отображение сепа-рабельных метрических пространств. Тогда каждая стабильная система (г/у)!/£¥-. удовлетворяет следующему условию:

(с) Если и € Цу и 7 = {иа}аеА семейство открытых в X множеств таких, что ^а Э Г1 (У)ПИ, то найдется конечное число 17а1, •■•, иа„ £ 7 и открытое 0(у), такие что иГ=1 IIах € Г)у> для каждой точки у' £

0(2/)\М-

В главе 3 изучается введенный диссертантом класс компактно гармонических отображений, эквивалентных в случае сепарабельных метрических пространств к-накрывающим отображениям, но оказавшихся более удобным инструментом в решении ряда вопросов. Появление этого класса отображений связано со следующей задачей Е. Майкла: будет ли индуктивно совершенным всякое к-накрывающее отображение сепа-рабельного метрического пространства X на счетное метрическое пространство У ?

Утвердительных! ответ дает следующая теорема.

3.2.1. Теорема. Пусть / : X —► У отображение сепарабельных мет-

рических пространств и X или У ст-компактное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

/ компактно накрывающее отображение;

/ индуктивно совершенное отображение.

Поскольку композиция открытого и совершенного отображения есть трифакторное отображение, следующий пример дает отрицательный ответ на вопрос Е. Майкла:

будет ли всякое трифакторное отображение сепарабелыюго метрического пространства X на счетное метрическое пространство У индуктивно совершенным?

3.4. Пример. Существует открытое отображение X —+ У п совершенное отображение д : У (где все пространства сепарабельные метрические и 2 счетный компакт), такие что композиция д/ : X —* I? не компактно накрывающее отображение.

Наконец, доказывается следующая теорема, позволяющая находить новые условия сохранения борелевских классов там, где другие методы неприменимы.

3.5. Теорема. Пусть / : X —* У я-накрывающее (=точечно-гармоническ отображение и X, У С С.

Тогда существует 2 С А' такое, что для любого открытого в ¿Г подмножества IV его образ /(Ж)-есть ^-множество в У.

Исследования главы 4 связаны с вопросом об индуктивной совершенности некоторых классов отображений при условии, что все прообразы точек полны в одной метрике на X. Этот вопрос в случае, когда пространство X есть полное сепарабельное метрическое, был решен в начале 70-х годов и привел к новому классу трифакторных отображений.

Центральным результатом этого раздела является теорема 4.1.3, которая позволяет усилить хорошо известные специалистам теоремы об индуктивной совершенности открытых отображений. Интересно отметить, что при доказательстве этой теоремы используются методы ( см. лемму 4.1.6.), примененные П.С. Новиковым для доказательства некоторых специальных утверждений дескриптивной теории множеств, но, как мы видим, эффективных и для общетопологических конструкций.

Следствие 4.1.7. примечательно тем, что дало первый случай положительного решения одного вопроса Майкла и в полной мере оно не перекрыто до настоящего времени. Отметим, что трифакторные отобра-

жения в случае метрических пространств и компактных прообразов точек не отличаются от стабильных отображений, которые определяются проще, и поэтому мы не останавливаемся на определении трифакторных отображений.

4.1.3. Теорема. Пусть / : X —* У трифакторное отображение метрического пространства X на метрическое пространство У такое, что:

(А) прообраз каждой точки есть полное метрическое пространство в метрике X и для каждого открытого в X множества его образ есть множество в У.

Тогда / индуктивно совершенное отображение.

Так как индуктивно совершенные отображения сохраняют классы бо-релевских множеств, из этой теоремы вытекает, что трнфакторные отображения со свойством (А) тоже их сохраняют.

В главе 5 исследуется вопрос об открытых отображениях борелев-ских множеств и гомеоморфизмах /г-однородных пространств.

Основным результатом раздела 5.1 является решение следующей проблемы, поставленной Л.В. Келдыш в 1945 г.:

можно ли всякое борелевское множество всюду не П С^ и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?

Напомним, что в 1934 году Ф. Хаусдорф доказал, что если есть открытое отображение полного метрического пространства X на метрическое пространство У, то пространство У будет полнометризуемым.

Таким образом, открытые отображения сохраняют класс борелев-ских множеств. Отвечая на соответствующий вопрос Хаусдорфа, Л.В. Келдыш доказала, что этот результат не переносится на борелевские множества высших борелевских классов, а именно, что существует борелевское множество X первой категории на себе и такое, что для любого аналитического множества У найдется открытое отображение / : X У.

Для ответа на вопрос Л.В.Келдыш введем следующее понятие. Назовем пару пространств Х,У исключительной, если: X пространство всюду второй категории, а У нет или

У пространство первой категории, а X нет.

5.1.1. Теорема. Пусть X с С - борелевское, а У С С - аналитическое множество и X всюду не ^и

Тогда существует открытое отображение / : X —> У, если и только если Х,У не исключительная пара.

Эта теорема полностью отвечает на вопрос об условиях существования открытых отображений борелевских множеств друг на друга и, в частности, утвердительно отвечает на вопрос Келдыш, а именно:

если X борелевское множество всюду не РаиО$, а У есть А-множество и оба пространства всюду второй категории, то существует открытое отображение X на У.

В конце главы обсуждаются вопросы продолжения гомеоморфизмов. На основании леммы 5.5.7 о продолжении гомеоморфизмов /г-однородных пространств доказывается теорема:

5.5.1. Теорема. Пусть метрическое пространство X ~ игде ^ суть замкнутые нульмерные нигде не плотные в X множества, каждое К' гомеоморфно некоторому пространству К и К есть /г-однородное пространство. Тогда X гомеоморфно произведению К х р.

Доказательство теоремы 5.5.1 на английском (с некоторыми изменениями и указанием авторства диссертанта) приведено ван Энгеленом. Эта теорема также использовалась и обобщалась А. Выборновым, С. Медведевым^ в различных направлениях, например, с помощью нее С. Медведевым были получены аналоги пространств Р х С2 для случая (несепа-рабельньгх) метрических пространств.

С помощью теоремы 5.5.1. и одного приема А.Д. Тайманова легко показать, что непрерывные образы ^.-однородного пространства К являются открытыми образами К х С}. Мы получаем, например, в случае, когда К — Р, уже упомянутый выше результат Келдыш и автора о представлении борелевских множеств как открытых образов произведения Р х С^ и видим, что борелевские структуры здесь не столь уж и важны.

6. Утверждения, выносимые на защиту. На защиту выносятся утверждения из раздела "Научная новизна".

- Теорема 1.4.3 решает проблему П.С. Александрова - П.С. Урысона о перечислении неприводимых борелевских множеств.

- Теорема 5.1.1. дает ответ на вопрос Л.В. Келдыш об условиях су-

ществования открытых отображений между борелевскими множествами всюду второй категории. Более того, эта теорема указывает все условия существования открытого отображения одного борелевского множества на другое.

- Теорема 4.3.3 показывает, что стабильные отображения, являющиеся обобщением открытых и замкнутых, представляют на сегодняшний день наиболее широкий класс непрерывных отображений, сохраняющих полнометризуемость.

- В Теореме 3.2.1 доказана индуктивная совершенность компактно накрывающих отображений, если образ У есть сумма счетного числа компактов. Из этого утверждения следует ответ на соответствющий вопрос Е. Майкла, поставленного им для счетного У.

- Следствие 1.5.3 указывает короткий путь доказательства гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (подтвержденное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов.

- В Следствии 3.5 выявлено важное свойство 5-накрывающих отображений: они отображают (на некотором подпространстве) открытые множества в

Используемая литература

1. Александров П.С., Урысон П.С. //О нульмерных множествах.

В кн. : Александров П.С.. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М.: Наука. (1978) 147-166.

2. Александров П.С., Ляпунов А.А. // Людмила Всеволодовна Келдыш, УМН, т. 10, (1955) 217-223.

3. Келдыш Л.В. Структура В-множеств // Тр.МИАН, т. 17, (1945) 1-74.

4. Келдыш Л.В. Об открытых отображениях А-множеств // ДАН СССР, т. 49, (1945) 646-648.

5. Келдыш Л.В. Структура В-множеств // ДАН СССР, т. 31, (1941) 651-653.

6. Лузин Н.Н. Собр. соч.// т. 2. М.: Изд. АН СССР (1958).

7. Медведев С. Нульмерные однородные борелевские множества // ДАН СССР, 283, (1985) 542-545.

8. Щегольков Е.А. Элементы теории В-мпожеств // УМН, 5, (1950) 14-85.

9. van Engelen A.J.M. Homogeneous zero-dimensional absolute Borel Sets // CWI Tracts, Vol. 27, Centrum voor Wiskunde en Informática, Amsterdam (1986).

10. Debs G., Saint Raymond J. Compact Covering and game determinacy // Topology and its Applications, 68, (1996) 153-185.

11. Debs G., Saint Raymond J. Arbres distingues, bi-arbres et theoremes de rele- vement // Comptes Rendus Mathematiques, Paris. 36, (2003) 625628.

12. Just W., Wicke H. Some condition under which tri-quotient or compact-covering maps are inductively perfect // Topology and its Applications, 55, (1994) 289-305.

13. Michael E. Inductively perfect maps and tri-quotient maps // PAMS, 82, (1981) 115-119.

Работы автора по теме диссертации

1. О s-накрывающих отображениях сепарабельных метрических пространств // ДАН СССР, 202, (1972) 1271-1273.

2. Произведение ^//-пространств и Л-множеств // Вестник Московского Университета, Математика, No. 30, (1975) 29-34.

3. О несепарабельных т — Л-множествах и их отображениях // ДАН СССР, 226, (1976) 269-272.

4. Об открытых отображениях нульмерных метрических пространств // ДАН СССР, 228, (1976) 34-36.

5. О к-накрыващих отображениях // ДАН СССР, 227, (1976) 12971300.

6. Непрерывные образы произведения С х Q канторова совершенного множества С и рациональных чисел Q // Семинар по общей топологии. М.: Изд-во МГУ, (1981) 78-85.

7. К вопросу о структуре борелевских множеств // в сб.: Топология и теория множеств, Удм. Гос. Унив., Ижевск, (1982) 75-84.

8. Борелевские продолжения, селекторы и неизоморфные А-множества // Труды Ленинградской международной топологической конференции, Ленинград, Наука, (1983) 84-90.

9. К теореме Лузина-Янкова и общей теории о селекциях // УМН, 40, (1985) 191-192.

10. Бэровские пространства и А-множества //в сб.: Отображения и расширения топологических пространств, Удм. Гос. Унив., Ижевск,

(1985) 33-41.

11. О факторных конечнократных отображениях //в сб.: Непрерывные отображения топологических пространств, Латв. Гос. Унив. Рига,

(1986) 126-133.

12. Triquotient and inductively perfect maps // Topology and its Application, 23, (1986) 25-28.

13. К вопросу Келдыш о структуре борелевских множеств // Мат. сб., 131, (1986) 323-346.

14. Теорема Уэджа решает проблемы Лузина и Гуревича //в сб.: Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств, изд. Удм. Гос. Унив., Ижевск, (1989) 91-94.

15. On compact-covering and open maps of Borel sets // Séminaire Initiation а Г Analyse, Paris, (1992/1993) 1701-1704.

16. О новом классе отображений, связанных с компактно накрывающими // Вестник Моск. Унив., 46, (1994) 24-28.

17. On Open maps of Borel sets // Fundamenta Mathematicae, 146, (1995) 203-213.

18. Set-valued stable maps // Topology and its Applications, 104, (2000) 227-236.

19. s-covermg maps with complete fibers // Topology and its Applications, 102, (2000) 1-11.

20. Stable Maps of Polish spaces // Proceedings of American Mathematical Society, 128, (2000) 3081-3089.

21. Отображения борелевских множеств // Тр. МИАН, 252, (2006) 237260.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Островский, Алексей Владимирович

Введение.

1. Канонические борелевские множества.

2. Особые А-множества и их свойства.

3. Гармонические отображения.

4. О некоторых классах отображений метрических пространств.

5. Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах h-од-нородных пространств и характеристике Р х Q.

Введение диссертация по математике, на тему "Структура борелевских множеств и их отображения"

В диссертации рассматриваются взаимосвязанные вопросы, относящиеся к трем периодам.

1. Вопросы 1928-45 годов, касающиеся определения канонических борелевских множеств и поведения их при гомеоморфизмах и открытых отображениях.

2. Вопросы 70-х годов, об описании отображений, сохраняющих первые борелев-ские классы множеств и, в первую очередь, класс (^-множеств, совпадающий, как известно, с классом полнометризуемых пространств.

Об актуальности последней группы вопросов говорит, например, только что объявленное положительное решение Ж. Сен Реймоном и Г. Дебсом вопроса о сохранении борелевских классов гармоническими (= компактно накрывающими) отображениями. Данное ими доказательство явилось важным событием последнего времени, так как ими же было установлено, что доказательство индуктивной совершенности таких отображений требует привлечения дополнительных аксиом теории множеств.

Вернемся к начальным вопросам и их истории.

Важнейший класс топологических пространств - класс компактных пространств - сохраняется при любых непрерывных отображениях. Изучение непрерывных образов второго по значимости класса пространств - пространств, метризуемых полной метрикой, привело, как известно, к развитию дескриптивной теории множеств

ДТМ), в которой борелевские множества играют ведущую роль. С точки зрения ДТМ метризуемые полной метрикой пространства образуют класс Gs (содержащий Р). Известно, что непрерывные взаимно-однозначные образы Са-множеств суть все борелевские множества и только они.

При каких отображениях пространства иррациональных чисел Р его образы будут всегда борелевскими множествами того же класса Сд?

Наряду с такими давно известными классами отображений как открытые и замкнутые, в 70-х годах вышли на сцену новые классы отображений1-индуктивно совершенные, 5-накрывающие, компактно накрывающие, трифакторные2.

В случае, когда отображаемое пространство есть (^-множество, образ его при всех этих отображениях будет также Са-множеством, и все четыре класса отображений совпадают. Исторически это было установлено в таком порядке: доказатель-Ютображение / : X -> Y называется индуктивно совершенным, если на некотором замкнутом в X подпространстве Хо ограничение f\Xo есть совершенное отображение на Y. Если / индуктивно совершенно только для компактов К С У, оно называется компактно накрывающим, а если рассматриваются только счетные такие компакты К, то отображение называется s-накрывающим. 2Трифакторные отображения появились как свойство s-накрывающих отображений при доказательстве сохранения ими полнометризуемости, однако впоследствии было установлено, что у s-накрывающих отображений имеется более сильное и интересное свойство: они точечно-гармоничны (см. главу 3), поэтому мы здесь опускаем их определение. ство сохранения класса Gs компактно накрывающими отображениями было дано Й. Христенсеном. Впоследствии Ж. Сен Реймон, диссертант и Е. Майкл установили, соответственно, что условие компактно накрываемости эквивалентно в этом случае индуктивной совершенности, s-накрываемости и трифакторности.

В поисках наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризу-емость (такой класс будет указан в диссертации - класс стабильных отображений) обнаружились два феномена, требовавших объяснения.

Первый из них заключался в том, что первоначально не удавалось доказать несовпадение указанных выше четырех классов отображений уже при отображениях на пространство рациональных чисел Q, если даже в качестве отображаемого пространства взять простейшее не полнометризуемое борелевское множество: Р х Q.

Нетривиальность ситуации видна уже потому, что соответствующие вопросы даже ставились (Е. Майклом) в виде двух отдельных вопросов: о совпадении классов трифакторных и s-накрывающих отображений; о совпадении классов индуктивно совершенных и s-накрывающих отображений.

Отрицательный ответ на первый вопрос был дан впервые автором (см. 3.4 Е), а положительный ответ на второй - автором, В. Юстом и Г. Викке (см. теорему 3.2.1, которая для частного случая счетных пространств была получена одновременно В. Юстом и Г. Викке).

Второй феномен состоял в отсутствии до конца 70-х годов топологических характеристик пространств Р х Q и Q", что сделало актуальной старую проблематику о канонических борелевских множествах, которые Н. Лузин представлял себе как не имеющие лишних частей, не приводя точного определения этого понятия. Снова стали актуальными старые вопросы:

П.С. Александрова - П.С. Урысона, об описании неприводимых борелевских множеств и их перечислении;

Н. Лузина и Л.В. Келдыш, об определении канонических элементов и о представлении борелевских множеств с помощью их сумм,

Л.В. Келдыш, об универсальности борелевских множеств; В. Гуревича, о существовании особых А-множеств;

JI. В. Келдыш, об описании борелевских множеств как образов друг друга при открытых отображениях.

Мы напомним кратко историю этого круга вопросов.

Имеются различные классификации борелевских множеств, и во всех из них первые классы представляют особый интерес. Например, среди подпространств гильбертова куба Iй, в первые классы попадают все (сепарабельные) компактные и локально компактные пространства, полнометризуемые, и-компактные и многие другие топологические пространства.

Основными представителями своих классов являются:

С - канторово совершенное множество;

Q - пространство рациональных чисел и произведение Q х С;

Р - пространство иррациональных чисел;

Началом изучения топологической структуры борелевских множеств следует считать классические топологические характеристики этих пространств, данные Брауэ-ром (для С), В. Серпинским (для Q), Ф. Хаусдорфом и П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для Р), П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для С х Q):

С - единственное нульмерное компактное без изолированных точек пространство;

Q - единственное нульмерное счетное без изолированных точек пространство;

Р - единственное нульмерное полнометризуемое пространство, не содержащее открытых компактных подмножеств;

С х Q - единственное нульмерное а-компактное пространство, не содержащее открытых компактных или счетных подмножеств.

Из этих топологических характеристик легко следуют такие дескриптивные3:

Q - единственное множество класса Fa, всюду счетное и всюду не дополнительного класса Gs]

Р - единственное множество класса G&, всюду не дополнительного класса Fc\ 3под свойствами "всюду" понимаются свойства, которые наследуются всеми открыто-замкнутыми подмножествами. Иногда вместо "всюду" говорят "на каждой своей порции".

С x Q - единственное множество класса Fa, всюду несчетное и всюду не дополнительного класса G&.

Q - единственное счетное неприводимое множество класса Fa\

С х Q - единственное несчетное неприводимое множество класса Fa\

Р - единственное неприводимое множество класса Gs

Например, каждое несчетное компактное множество представимо в виде суммы канторова совершенного множества С и счетного числа точек, которые суть тривиальные канонические множества.

Теперь, когда мы знаем, что характеристики типа /г-однородности связаны с вопросом о детерминированости борелевских множеств и что доказательство детерминированности даже в первых классах очень непросто, возникшие в те годы трудности легко объяснимы.

Сколько существует попарно негомеоморфных неприводимых множеств в данном борелевском классе? Какова их топологическая характеристика?

Решающий вклад в понимании проблемы определения "каноничности" внесла JI В Келдыш, положив в основу своего определения канонического элемента свойство универсальности: мы скажем, что борелевское множество некоторого класса является универсальным, если любое борелевское множество этого класса гомеоморфно пересечению исходного с некоторым совершенным множеством (что равносильно тому, что исходное множество содержит замкнутую копию любого борелевского множества этого класса).

Из топологических характеристик С, Q х С и Р следует, что произведение каждого из этих пространств с произвольным борелевским множеством того же класса дает пространство, гомеоморфное исходному пространству.

С - единственный всюду универсальный представитель класса замкнутых множеств;

Р - единственный всюду универсальный представитель класса Gs',

Q - единственный счетный всюду универсальный представитель класса Fa для счетных множеств,

Q х С - единственный всюду универсальный представитель класса Fa.

Однако в классах Faj и Gsj появились уже по крайней мере по два равноправных претендента

J1.B. Келдыш, привлекая топологическое понятие категории 4, определила канонические элементы класса а как элементы этого класса, всюду универсальные и первой категории на себе. 4Напомним, что пространства первой категории суть пространства, представимые в виде объединения счетного числа нигде не плотных в них множеств, а все остальные пространства суть второй категории. Пространства первой категории являются таковыми всюду.

В диссертации показано, что канонический элемент класса а, определенный Келдыш, гомеоморфен Q х MQi (3 < а < ш) или Q х Ма, где и < а < щ и множества Ма определяются с использованием только операций произведения и перехода к дополнению

При изучении гомеоморфных отображений канонических элементов Л.В. Келдыш рассматривала естественный более общий случай открытых отображений. Она доказала, что теорема В. Серпинского (обобщенная Ф. Хаусдорфом на случай несе-парабельных метрических пространств) о сохранении класса Gs при открытых отображениях уже не имеет места для борелевских множеств высших классов первой категории на себе (как показано в диссертации, произведение Р х Q может быть отображено открыто на любое другое борелевское множество).

Так как всякое Gs по теореме Бэра о категориях имеет всюду вторую категорию, Л.В. Келдыш поставила естественный вопрос.

Можно ли всякое борелевское множество всюду не FaC\Gs и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?

Исследования Л.В Келдыш о сохранении классов борелевских множеств при открытых отображениях послужили отправной точкой для поиска наиболее широкого класса непрерывных отображений, сохраняющих борелевские классы. Естественное ограничение к такому классу - содержать в себе все открытые и все замкнутые отображения.

Христенсен усилил теорему В. Серпинского, доказав, что образ Са-множества при к-накрывающем отображении будет также (^-множеством.

По аналогии с уточненной теоремой Л.В. Келдыш, согласно которой любое борелевское множество есть открытый образ Р х Q, автор поставил такой же вопрос для к-накрывающих отображений сначала для Р х Q, а потом и в общей форме: сохраняют ли отображения со свойством к-накрываемости классы борелевских множеств?

В диссертации доказано, что в случае, когда У состоит из счетного числа компактов, всякое fc-накрывающее отображение / : X —> У является индуктивно совершенным на некотором подпространстве Х0 С X с тем же образом.

Следствием доказательства стало открытие автором классов компактно гармонических отображений и (одновременно с Юстом и Викке, которые нашли его в эквивалентной форме совершенно другим методом) точечно-гармонических отображений, а затем и более общего класса стабильных отображений5, замечательного тем, что он включает все открытые и все замкнутые отображения и даже их композиции. К тому же он наследует, в отличие от класса факторных отображений, лучшие общие свойства открытых и замкнутых отображений, а в случае компактных прообразов точек совпадает с точечно-гармоническими.

Цель диссертации в общей постановке можно сформулировать как изучение условий существования между борелевскими множествами разных классов тех или иных гармонических отображений.

Ютображение называется стабильным, если в прообразе /-1(у) каждой точки у Е Y найдется такое семейство еу, что каждое открытое множество, содержащее какое либо В Е еу, содержит также некоторое множество В' Е еу> для всех точек у1 из некоторой окрестности точки у. Если £у состоит из компактов, то отображение называется точечно-гармоническим. Заменяя в определении точечно-гармонического отображения "точка у" на "компакт Кполучаем определение компактно гармонического отображения.

С одной стороны этим достигается решение некоторых задач. Так, в частности, мы получаем: в случае гомеоморфизмов и неприводимых борелевских множеств - проблемы Н. Лузина и П.С. Александрова - П.С. Урысона; в случае открытых отображений - проблемы Л.В. Келдыш; в случае трифакторных и стабильных отображений - соответствующие задачи Е. Майкла и диссертанта.

Наоборот, пространство тем хуже, чем лучше должен быть класс отображений, сохраняющий его свойства.

Мы будем сравнивать пространства по высоте борелевских классов, к которым они принадлежат.

Например, замкнутые отображения сохраняют все борелевские классы и поэтому лучше открытых, которые сохраняют их только до второго, а точное место в этой классификации для s-накрывающих или стабильных отображений с компактными прообразами пока неизвестно.

Методы исследования.

Традиционные методы ДТМ (например, А-системы, проекции) в значительной мере были заменены топологическими (например, использованием тихоновских произведений, бикактных расширений, индуктивно совершенных и других классов отображений)

В диссертации применяются методы топологии (бикомпактные расширения, вложения, тихоновские произведения), дескриптивной теории множеств (борелевские множества, аналитические множества).

Из разработанных автором методов отметим главные: продолжения открытых отображений и гомеоморфизмов (метод изоморфных систем остаточных множеств); методы, основанные на свойствах стабильных отображений

Научная новизна. Новыми результатами, естественно, являются ответы на ряд вопросов ДТМ и топологии, на которые ранее ответ не был известен, в числе которых следующие: полные ответы на вопросы П. С. Александрова - П. С. Урысона об описании и перечислении неприводимых борелевских множеств; полный ответ на вопрос JI.B. Келдыш об условиях существования открытых отображений между различными борелевскими множествами; положительный ответ на вопрос JI.B. Келдыш о представлении элементов данного класса как объединения канонического элемента и множества меньшего класса; отрицательный ответ на вопрос Е. Майкла о совпадении классов s-накрывающих и трифакторных отображений и положительный ответ на его вопрос об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений, если образ есть сумма счетного числа компактов, с помощью введения более широкого нового класса гармонических отображений, для которого этот вопрос оказывается более естественным.

Кроме того: впервые дана топологическая характеристика канонических элементов JI.B. Келдыш с помощью простейших операций произведения и перехода к дополнению. В частности, показано, что канонический элемент JI.B. Келдыш третьего класса го-меоморфен счетной степени рациональных чисел; приведено короткое доказательство гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (данное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов; найден естественный новый класс отображений, названных стабильными, содержащий открытые, замкнутые и многие другие и сохраняющий полнометризуемость. Получены первые результаты пока о небольшом повышении такими отображениями с компактными прообразами точек классов борелевских множеств.

Из результатов диссертации, относящихся к теории отображений топологических пространств, можно сделать вывод, что роль сепарабельных метрических пространств много важнее, чем считалось ранее.

С точки зрения практики и теории, из исследований диссертации следует вывод, что существовавшая до последнего времени теория отображений общих топологических пространств оказывается слишком абстрактной и бедной в приложениях к конкретным вопросах для борелевеских подмножеств действительной прямой.

Поясним сказанное на истории возникновения стабильных и гармонических отображений.

Класс стабильных отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим полнометризуемость сепарабельных метрических простанств.

2. Рассмотрим вопрос Е. Майкла об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений на счетные пространства.

В классе сепарабельных метрических пространств s-накрывающие отображения и только они точечно-гармоничны.

Класс гармонических отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим классы борелевских подмножеств из С6.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ им. М В. Ломоносова;

Ленинградской международной топологической конференции (Ленинград, 1983);

V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1985); семинаре Г. Шоке по анализу (Париж, 1993);

X летней конференции по общей топологии и ее приложениям (Амстердам, 1994);

31 и 33 зимней школе по функциональному анализу в Чехии (2003,2005); семинаре по функциональному анализу и ДТМ Карлова университета (Прага, 2004); конференции по анализу и ДТМ в институте Филдса (Торонто, 2002); семинарах Ленинградского университета (1976-1994); ежегодных конференциях памяти П.С. Александрова, проходящих в МГУ им. М.В. Ломоносова; конференции по вычислимости и сложности в анализе (Виттенберг, Германия, 2004); семинаре по ДТМ и функциональному анализу (Париж, 2006); ряде других конференций и симпозиумов.

6При дополнительном предположении, что все пообразы точек компактны, таким классом скорее всего должен быть класс стабильных ото-юражений. На это указывет теорема 3.5.

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах автора, список которых приведен в конце.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Островский, Алексей Владимирович, Москва

1. П.С. Александров, А.А. Ляпунов. Людмила Всеволодовна Келдыш, УМН. 10 (1955), 217-223.

2. П.С. Александров, П.С. Урысон. О нульмерных множествах, В кн.: П.С. Александров. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М.: Наука. (1978), 147-166.

3. Л.В. Келдыш. Структура В-множеств, Тр. МИАН. 17 (1945), 1-74.

4. Л.В. Келдыш. Структура В-множеств, ДАН СССР , 31 (1941), 651-653.

5. Л.В. Келдыш. Об открытых отображениях А-множеств, ДАН СССР. 49 (1945), 646-648.

6. К. Куратовский. Топология, т.1, Москва, изд. Мир, (1966).

7. Н.Г. Окромешко. Псевдооткрытые отображения разреженных пространств, Вестник Московского Университета, Математика, 2 (1981), 32-35.

8. А. Островский. О s-накрывающих отображениях сепарабельных метрических пространств, ДАН СССР 202 (1972), 1271-1273.

9. А. Островский. Произведение ^/-пространств и А-множеств, Вестник Московского Университета, Математика, 30 (1975), 29-34.

10. А. Островский. О к-накрывающих отображениях, ДАН СССР 227 (1976), 3436.

11. А. Островский. О несепарабельных т-А-множествах и их отображениях, ДАН CCCCP. Math., 226 (1976), 269-272.

12. А. Островский. Об открытых отображениях нульмерных пространств ДАН СССР, ДАН СССР 228 (1976), 34-37.

13. А. Островский. Непрерывные образы произведения С х Q канторова совершенного множества С и рациональных чисел Q, Семинар по общей топологии, изд. Моск. Унив. (1981), 78-84.

14. А. Островский. К вопросу о структуре борелевских множеств, в сб.: Топология и теория множеств, Изд. удм. гос. унив., Ижевск (1982), 75-84.

15. А. Островский. Борелевские продолжения, селекторы и неизоморфные А-множества, Труды Ленинградской международной топологической конференции, Ленинград, Наука, (1983), 84-90.

16. А. Островский. О факторных конечнократных отображениях, в сб.: Непрерывные функции на топологических пространствах изд. ЛГУ, Рига, (1986) 126-133.

17. А. Островский. К вопросу JI.B. Келдыш о структуре борелевских множеств, Mam. сб. 131 (1986), 323-346.

18. А. Островский. Теорема Уэджа решает проблемы Лузина и Гуревича, в сб.: Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств, Изд. удм. гос. унив., Ижевск (1989), 91-94.

19. А. Островский. О новом классе отображений, связанных с компактно накрывающими, Вестник Моск. Унив. 46 (1994), 24-28.

20. А. Островский Отображения борелевских множеств, Труды МИАН, 252 (2006), 225-247.

21. А.Д. Тайманов. Об отрытых образах борелевских множеств, Матем. сб. 37 (1955), 293-300.

22. А.В. Чернавский. О работах J1.B. Келдыш и ее семинара, УМН. 60 (2005), 1136.

23. М. М. Чобан. Непрерывные образы полных пространств, Тр. Моск. Мат. Общ 30 1974, 23-59.

24. М. М. Чобан. О некоторых вопросах дескриптивной теории множеств в топологических пространствах, УМН 60 (2005), 123Ц144.

25. Е. В. Щепин. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров, УМН, 31 (1976), 191-226.

26. Р. Энгелькинг. Общая топология, Мир (1986).

27. G. Debs and J. Saint Raymond. Compact Covering and game determinancy, Topology and Appl. 68 (1996), 153-185.

28. G. Debs and J. Saint Raymond. Arbres distingues, bi-arbres et theoremes de relevement, Comptes Rendus Mathematiques. Paris, 36 (2003), 625-628.

29. A.J.M. Engelen. Homogeneous zero-dimensional absolute Borel Sets, volume 27 of CWI Tracts, Vol. 27, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam (1986).

30. R. Engelking, W. Holstynsky, R. Sikorsski. Some example of Borel sets, Coll. Math. , 15 (1966), 271-274.

31. P. Holicky, J. Spurny. Perfect images of absolute Souslin and absolute Borel Tychonoff spaces, Topology and its Applications 131 (2003), 281-294.

32. W. Hurewicz. Relativ perfekte Teile von Punktmengen und Mengen (A), Fund. Math. 12 (1928), 78-109.

33. W. Just, H. Wicke. Some condition under which tri-quotient or compact-covering maps are inductively perfect, Topology and its Application 55 (1994), 289-305.

34. A. Kechris. Classical Descriptive Set Theory, Springer- Verlag, New York 1995.

35. L. Keldysh. Sur la structure des ensembles mesurables В, Мат. Сб. 15 (57):1 (1944), 71-97.

36. N. Lusin. Lecons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Gauthier-Villars, Paris 1930.

37. N. Lusin. Analogies entre les ensembles insurables В et les ensembles analytiques, Fund. Math., XVI (1930), 48-76.

38. A. Louveau, J. Saint-Raymond. Borel classes and closed games : Wadge-type and Hurewicz-type results, Trans. Amer. Math. Soc. 304 vol. 2, (1987), 431-467.

39. E. Michael. Inductively perfect maps and tri-quotient maps, PAMS 82 (1981), 115-119.

40. E. Michael. Partition-complete spaces and their preservation by tri-quotient and related maps, Top. and Appl. 73, (1996) 121-131.

41. Y. Moschovakis, Descriptive Set Theory. Amsterdam, 1994.

42. J. Mycielski. On the axiom of determinateness, Fund. Math. 53, 1964, 205-224.

43. G. Debs and J. Saint Raymond. Compact Covering properties of finite-to-one mappings, Topology and Appl,81 (1997), 55-84.

44. A. Ostrovsky. On open maps of Borel sets, Fund. Math. 146, 1995, 203-213.

45. A. Ostrovsky Set-valued stable maps, Topology and its Applications, 104(2000), 227-236.

46. A. Ostrovsky s-covering maps with complete fibers, Topology and its Applications, 102 (2000), 1-11.

47. A. Ostrovsky, Stable Maps of Polish spaces, Proceedings of American Mathematical Society, 128, 10(2000), 3081-3089.

48. A. Ostrovsky. Triquotient and inductively perfect maps, Top. and Appl. 23 (1986), 25-28

49. M. Pillot. Tri-quotient maps become inductively perfect with the aid of consonance and continuous selections, Top. and Appl. 104 (2000), 237-253.

50. J. Saint Raymond. La structure borelienne d'Effros est-elle standard? Fund. Math. 100, (1978), 201-210.

51. J. Saint Raymond. Caracterisation d'espaces polonais, Seminair Choquet Initiation а Г Analyse, Univ. Paris Vino 5 (1971-73).

52. J. Steel. Analytic sets and Borel isomorphism, Fund. Math. 198 1980, 83-88.

53. E. A. Stshegolkow, A.A. Ljapunow, W.J. Arsenin. Arbeiten zur Descriptiven Mengenlehre, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1955).

54. A.H. Stone. Metrizability of decomposition spaces, PAMS 7 (1956), 690-700.

55. R. Van Wesep. Wadge degrees and descriptive set theory, Cabal Seminar, Spnnger-Verlag LNM, 689, (1978) 151-170.