Инвариантные меры гиперболических динамических систем с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОССИИСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОГДЕНА ЛЕНИНА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ВА. СТЕКЛОВА

на правах рукопися

Сатаев Евгений Анатольевич

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.02 • дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1992

' 'работа выполнена в Обнинском институте атомной энергетики.

Академик Синай Я.Г.

Доктор физико-математических наук, профессор Стёпин А.к. Доктор йизико-математичесхих наук, iipocfeccop Белых В.Н.

Ведущее предприятие - Санкт-Петербургский государственны университет.

Защита состоится 19 H{?S*£t> _1992г. в

"{ДС. на заседании специализированного совета Д.СС2.38.01 при Орд на Ленина математическом институте им. В.А.Стеклова по адресу 1Г7966 ГСП-1, МОСКВА, ул. Вавилова, 42.

Официальные оппоненты:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета Д.002.3В.01

доктор.,ф.-м. наук

А.К.Гущин

Диссертация посвящена построению естественных инвариантных мер и изучению их свойств для динамических систем с особенностями, обладающих свойствами гиперболичности.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основы теории гиперболических динами-• ■ ческих систем были заложены в работах Д.В.Аносова, В.И.Арнольда, Я.Г.Синая, Р.Боуэна, С.Смейла и др. Позднее появились обобщения гиперболических динамческих систем такие, как частично гиперболические системы, системы с ненулевыми характеристическими показателями и т.д. Существенным свойством гиперболических динамических систем является наличие естественной инвариантной меры, относительно которой система проявляет стохастическое свойства ( К -свойство, бернуллиевость и др.). Естественной мерой является гиббсовская мера, которая построена в трудах Я.Г.Синая, Р.Боуэна, Д.Рюэлля.

В последнее время область применения теории гиперболических динамических систем существенно расширилась благодаря тому, что такие системы были обнаружены в различных задачах физики, механики, теории колебаний, химии, биологии. Многие системы, появляющиеся в приложениях, оказались гиперболическими, но имеющими особенности. В частности, такой системой является широко известная система Лоренца. Геометрические свойства системы Лоренца хорошо изучены благодаря трудам Р.Ф.Виль-ямса; Дж, Гукенхеймера; В.С.Афраймовича, В.В.Быкова, Л.П.Шиль-никова и др. Наличие особенностей приводит к тому, что построение инвариантной гиббсовской меры, изложенное б работах Я.Г. Синая, Р.Боуэна, Д.Рюэлля, не проходит. С другой стороны, появляющиеся в приложениях гиперболические динамические систеш с особенностями проявляют явные свойства стохастичности, которые объясняются с помощью наличия инвариантной меры, имеющей сильные стохастические свойства. Поэтому актуальна задача построения инвариантной меры для гиперболических динамических систем с особенностями.

В отличие от гиперболических динамических систем без особенностей, систеш с-особенностями не являются грубыми. Поэтому важны величины, которые зависят от системы непрерывно, так как только такие величины и можно реально вычислять, например,

/

на компьютере. К таким характеристикам, как следует из результатов настоящей работы, относятся средние значения непрерывных функций по инвариантной мере, которые можно вычислить как средние значения этих функций по времени вдоль траектории.По этой причине является актуальной задача определения условий, г.ри которых инвариантная мера зависит от динамической системы непрерывно.

Цель работы состоит в доказательстве существования инвариантной гиббсовской меры для гиперболических отображений с особенностями , а также в доказательстве непрерывной зависимости этой меры от отображения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы эргодической теории, методы теории вероятностей и методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации доказано существование инвариантных гиббсовских мер для динамических систем с особенностями, изучены их свойства и доказана непрерывная зависимость инвариантной меры от отображения. При этом существенно расширены рш.:ки применения методов символической динамики за счёт рассмотрения асимптотически марковских процессов и исследования их финальных распределений.

Автором решены следующие задачи, определяющие научную новизну работы:

1. Еыделены общие условия, которым должны удовлетворять гиперболические отображения с особенностями для существования инвариантной меры; Еыделены условия, при которых число эргоди-ческих комлонент конечно.

2. Дано определение асимптотически марковского процесса и исследовано пространство финальных распределений для таких процессов. Доказана непрерывная зависимость финальных распределений от переходных вероятностей.

3. Расширены рамки применения методов символической динамики для построения инвариантных мер, не используя марковского разбиения, за счёт использования асимптотически марковских процессов.

4. Доказана непрерывная зависимость инвариантной меры от отображения для гиперболических отображений с особенностями.

5. Доказано выполнение условий, из которых следует существование инвариантной гиббсовской меры, для отображений, имеющих одномерные аттракторы. Для таких отображений доказана непрерывная зависимость инвариантной меры от' отображения. К таким отображениям относятся хорошо известные отображения Лоренца, Лози, Белых .

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит ■ теоретический характер. Разработанные в диссертации методы могут найти применение в теории динамических систем и её приложениях, например, при исследовании конкретных динамических систем, имеющих странные аттракторы.

Апрбация работы. Результаты диссертации докладывались на международном симпозиуме "Динамические системы и их приложения" (Киев, 1991 г.); на научном семинаре в МГУ под руководством чл.-корр. АН Аносова Д.В.{декабрь 1990, декабрь 1991 г.); на научном семинаре в МУ под руководством акад. Я.Г.Синая (ноябрь 1990 г.; ноябрь 1991 г.); на научном семинаре отдела дифференциальных уравнения Ы4АН им. В.А.Стеклова (декабрь 1991 г.).

Публикации. Все основные результаты работы, опубликованы в работе [I]. Часть результатов содержится в обзоре [2].

Структура,объём работы.Работа состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Полный объём - 261 стр., включая 8 рисунков и 96 наименований литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБ01Ы

Во введении приведены основные обозначения, обсуждается актуальность темы, сформулировала цель работы, изложена крат, кал история вопроса, приводятся основные определения.

Приведём основные определения.

Пусть И - компактное риманово многообразие размерности с1 (возможно, М - многообразие с краем и углами). Динамическая система с особенностями (или отображение с особенностями) - это отображение некоторого открытого множества

Р С /Ч в открытое множество С/с ; предполагает-

ся, что Ос и,сЩд)^и. Множество Г- С/ \ О называется мн^жеств_ом_о£обенностей. Через р обозначается риманова метрика на М , через I - дифференциал отображения

I в точке X ,, через у - мера Лебега на I/ (т.е. мера, которая нормирована и порождена римановым объёмом). Предполагается, что v с г) = о . Норма вектора 7Г£ТХМ обозначается через / 1Г/ ; второй дифференциал отображения / в точке X обозначается через / .

Сформулируем условия, которым удовлетворяют рассматриваемые отображения.

Условие ( Н1 ). Существуют константы А > О , сС> 0 такие, что для любой точки эс £ И справедливы оценки

Са) \ых$1ы а *1иа(гсх,г))~*;

(б) существует константа 10> О такая, что если

«Щ-^ЫАг-'-рсх.у);

А*'*?<*,*>.

Перед формулировкой следующего условия дадим некоторые определения. ^

Конусом в евклидовом пространстве ¡Я. с осевым пространством Рс. К ( Р это линейное подпространство) называется множество ,

где (ТУ, Р~> - угол между ТУ6 и пространством

Р .

На множестве

и

задана гиперболическая предструк-тура, если для каждой точки х £ О определены конусы

с осевши пространствами Р М , Р^ так, что выполняются условия:

Ы у

(а) I непрерывно зависят от ОС на V ;

(б) для любой точки Хй и , ТХМ разлагается в прямую сумму и с

(в) если X е И , то

(через с1о$(Ь ) обозначается замыкание множества А );

(г) существует такая константа $ > о > что для любых

у: £ и гГё , 15 £ справедливо неравенство

> п

(ту, 1б)> В;

(д) существует константа А > й такая, что

если ивХх .то /я^/ГтО/> А/07;

если 1Г& , то / \ПЯ.

Условие На множестве V определена гипербо-

лическая предструктура, задаваемая конусами УС^ , ЗС^, с

осевыми пространствами Р , Рх и константой X > 1 . Предполагается, что размерности пространств Р^ , Р^

постоянны: обозначаются они через а , а

¡и /5

Далее а -мерный и и. -мерный риманов объём множества будет обозначаться через

Условие £ Существуют константы В> О , > О,

£0> О такие, что для любого натурального п и любого числа £ €(0}£0) справедливо неравенство

уЦ~ПГ£ ) ^

(здесь и далее Г1 - эго € -окрестность множества/^ ).

Перед формулировкой следующего условия дадим определение хорошего многообразия.

Многообразие Ус. и называется хорошим многообразием размера (где Ъ> О ) в неустойчивом направлении, если

(а) с1 I т V = с1 ;

(б) касательное пространство Т^ У в каждой точке £ £ У лежит в конусе ;

(в) многообразие V является шаром радиуса ^ во внутренней метрике многообразия V .

Аналогично, многообразие а X/ называется хорошим многообразием размера ^ в устойчивом направлении, если

(а) с1(т V- с1 ;

(б) касательное пространство 1/ для каждой точки

^ £ У лежит в конусе ;

(в) многообразие V является шаром радиуса во внутренней метрике многообразия У .

Условие Существуют константы £а > О , В>0,

р ■>■ О со следующими свойствами.

Для любого хорошего многообразия V в неустойчивом направлении существует константа В1 = ВЛ(У)> О и натуральное число п1 - Яу С Ю такие, что

(а) для любых п> ПЛ ,£€( 0, £0) справедливо неравенство , ли

Уо! (УШ Гв)<Ъе*Уо?и(УУ,

(б) для любого натурального числа п и любого££(0%ёо справедливо неравенство

У<>1\У п!~пг£хв^Руо?и(У>. ;

Во введении сформулированы основные результаты работы. Основные результаты связаны с вопросами сходимости средних и непрерывной зависимости средних от отображения. Сформулируем основные теоремы.

Теорема А. Пусть отображение $ удовлетворяет условиям ( Hi ) - (Htj ). Тогда существуют множества Лх/1 , ... ,

V/§ , А i , ... , As и меры ju± , ... , jhs , сосредоточенные на множествах J\, , ... , _Д такие, что

X ^

(а) V С W1 u . . . u ) = 1 ;

(б) для любой равномерно непрерывной функции tf(oc) и любой точки X £ Wy справедливо равенство

Um + .+ <?($"'! <p(xjctji*(x).

П-900 П А'

Из теоремы А следует утверждение:

Теорема АЬ. Пусть отображение j удовлетворяет условиям ( Hi ) - ( /У4 ). Тогда последоваиельность мер

у , д л-*

= V)

сжодится в к-слабой топологии к некоторой мере v ук , инвариантной относительно / и представимой в виде

F +Ps fs,

где , ... , ум^ - меры из теоремы А, , ... ,

- вещественные неотрицательные числа, + .. . + =

Замечание. Я.Б.Песин рассматривал модификацию условия ( Н4 ). Он доказал аналог теорем А, А1 для отображений, удовлетворяющих условиям {Н1 ) - ( ИЗ) и модификации условия ( однако в его модификации количество множеств ^ , ... , и, соответственно, мер уИ^ , ... у5^ оказалось

счётным.

Непрерывная зависимость меры от отображения доказывалась при более жёстких, чем теорема А, предположениях.

Предполагается, что множество .0 разбито на конечное число непересекающихся множеств , ... , 1; эти под-

множества называются компонентами. Не исключается случай, когда некоторые компоненты - пустые множества.

~ Блоком называется последовательность

ш= =0'*,... , ]„); у}.

Для блока Ш = (Ш)* = (г. . . , ^ ) определим множество

V •

I

Через СЭГ^ обозначим множество 1)£(си) , где = - такой блок, что Т)^ (и)") ; если же такого бло-

ка не существует, то полагаем А^ .

Условие Для любого Е > О существует такое на-

туральное число г{ — п (£)у что для любого блока

диа&етр множества (СО) меньше, чем £

Условие Существует такое > О , что

(а) для любых точек X , ^ , лежащих на одном хорошем многообразии в неустойчивом направлении размера Ъ 0 ив одной компоненте справедливо неравенство

(б) для любых точек X ,^ , лежащих на одном хорошем многообразия в устойчивом направлении размера Ъа ив одном множестве Dj , справедливо неравенство

Услодие Сужение / на каждую компоненту

]}• продолжается по непрерывности на границу множества О-, Определим топологию в пространстве отображений с особенностями, удовлетворяющих условиям (/^ ) - (//?).

Будем говорить, что последовательность отображений с

особенностями '. I) —* V , удовлетворяющих условиям

(Н1 ) - (//?), сходится к отображению / , если выпол- ) нены условия.

( Р1 ). I) разбивается на компоненты ^ ...

Оп ; И к) 'разбивается на то же самое число компонент

1% ••• ' Ч

( гИ). Для любого £ > О найдётся такое К(£)3 что если К> к(£) , то любое множество лежит е

£ -окрестности множества !>• ; аналогично, любое множество ])j летит в £ -окрестности множества

(РЗ ). Константы А , оС , 8 , р , Л , фигурирующие в условиях ( Н1 ) - (Н^ ), одинаковы для / и всех

( /"4 ). На каждом множестве В \ Г^ последовательность отображений сходится к £ в С* -топологии.

( ). Сужение на > сходится к сужению /

на D: в С -топологии. Это означает, что для любой после-

«/ С АС )

доваиельности точек Хк 6 D^ , сходящейся к точке X (которая, как нетрудно видеть, принадлежит множеству сё03 С )

последовательность сходится к £. а: (где через ^

обозначено продолжение по непрерывности сужения / на 2)у ). Теорема Б. Пусть выполнены условия:

(а) / , , к - 4 % 2. , ... , удовлетворяют условиям ( /у4 ) - ( ич );

(б) последовательность отображений Iк сходится к отображению £ в смысле выполнения условий {Р1 ) - ( );

(в) / - инвариантная мера из теоремы А единственна. Тогда для любой равномерно непрерывной функции

последовательность величин

(ос)

сходится к величине

¡у(ос)с(у (т) .

Аналогично переформулировке теоремы А, переформулируем теорему Б в терминах инвариантных мер.

Теорема Пусть , К" = / ,2 ,...- последовательность отображений с особенностями, сходящаяся к отображению

$ , к инвариантные относительно £ меры из теоремы А , - предельная точка последовательности мер ^к в

»-•слабой топологии. Тогда ^ ' - инвариантная относительно ^ мера.

В главе I (§§ I - 4) приводятся предварительные сведения уточняется терминология и т.д. Так, в § I приводится сводка результатов о гиперболических отображениях. В § 2 обсуждаются различные определения аттракторов. Так же приведён пример гиперболического предельного множества, не являющегося аттрактором в традиционном понимании термина "гиперболический аттрактор"; это гиперболическое предельное множество содержит несколько аттракторов. Этот пример является новым. § 3 посвящён известным сведениям из теории меры. Приводится определение измеримого разбиения, даются сведения о измеримых разбиениях, даётся определение вариации между мерами, формулируются некоторые свойства »-слабой топологии мер на компактном метрическом пространстве. В § 4 приведено определение и основные свойства гиббсовской меры на гиперболическом локально-максимальном множестве, которые доказаны в трудах Я.Г.Синая, Р.Боуэна, Д.рюэлля.

Глава II посвящена инвариантным семействам локальных многообразий для гиперболических систем с особенностями, удовлет воряющих условиям ( Н1 ) - (Н4 ).

Локальные устойчивые и неустойчивые многообразия существ; ют не для всех точек. В дальнейшем изложении важную роль игра множества

М (г;зе) = (х: для любого «;

М+С1;м) = {х: для любого пх,Г)^гд€п};

М°(ч; а* ) = М~(г;ае) П М*<1 ;эе),

Лейла 5Л- Пусть / - отображение с особенностями, удовлетворяющее условию (Я3), уи - предельная точка последовательности мер V в х-слабой топологии. Тогда

А с 1- В _

Для точек М (ч^э*.) (соотв., ХбМ )) опреде-

лено устойчивое (соотв, неустойчивое) пространство

- I1 -

Свош-тга распределений { Е^ } , {Ех } сформулированы в утверждении

Леша 6Л. Пусть / - гиперболическое отображение с особенностями, удовлетворяющее условиям ( Н1 ), {Н2 ). Тогда распределения { Ех } , ■{ Ех У обладают свойствами:

6.1.1. { У » инвариантны, т.е. (а) для любой

им

точки X 6 М~а,эе)у(с1хр(Ех )= ; (б) для любой точ-

ки Х- е М+а;эе),(с1х?)( Ех )= е/х .

6.1.2. Если 1Г6 Ех , то < л~*/гг/;

если 1Ге Ех , то /с!х£~'г1Г)1 ■< А^/гг/.

г и

6.1.3. с х зависит от X непрерывно на каждом множестве М~С 1; ) ; Ех зависит от X непрерывно на каждом множестве М +С.

§ 7 посвящён построению локальных устойчивых и неустойчивых многообразий. Зафиксируем эе £ (0,1) так, что выполняется неравенство

• \дет<1 ( т = *»ах(1,с1.(с1+1),р(с1-Н)),

где А фигурирует в определении гиперболичеости, оС.^ р - в условиях (ЬИ ), (ИЗ ). Пусть $ -такое число, что

х1 + § < нт ; 1 таково, что в.

При таком выборе чисел , $ и функции

для каждой точки X й Н (^¡Эв) определено гладкое (класса

С ) локальное многообразие Vй (х;&("()), которое является шаром радиуса д (Ъ) во внутренней метрике. Соответственно, для точек ОС йН (*(',&€) определено локальное многообразие V (Х',*Ь(ч)) > которое является шаром радиуса во внутренней метрике; многообразие V"'sf<з:,• Ъ (г)) называется локальный устойчивым многообразием.

Свойства локальных неустойчивых и устойчивых многообразий сформулированы в утверждениях

Теорема 7.2. Пусть г - отображение с особенностями, удовлетворяющее условиям ( Н1 ) - ( ИЗ ). Тогда справедливы

следующие утверждения _

7.2.1. Если ^о(ч) , хеМ(?;*е) , то

V" С У"(х; .

7.2.2. Для каждой точки £ 6 V" (т;Ь) касательное

пространство к многообразию V (Х'} в точке и- совпа-

си

дает с пространством г^

7.2.3. Существует константа С > О такая, что для

любых точек у, 2 С V (х;*В) и при любом натуральном п. справедливо неравенство

где А - константа из условия (Н2 ).

7.2.4. У"'(Х'$ ) является шаром радиуса <Г с центром в точке х в многообразии

-/7 -/7

V (X) = { у б V: для любого п е Ж+, рС/ хг / у; *

с внутренней метрикой.

7.2.5. Для любого 1> О многообразия V"

зависят от X непрерывно (в С -топологии) на каждом множестве N ~ ( 7 ; ) .

7.2.6. Для любого г 6 С 0} ча ) , любого х еН~(г;ае),

% И) Кр0ые того,

7.2.7. Существует функция , определенная на интервале ( С, 7 а У , такая, что если ДГ6,

то .

* Л (№64

| Для функции и (7) справедлива оценка !

где оС > О - константа из условия (Н1 ), ¿±о - некоторая константа, не зависящая от ОС

Теорема 7.3. Пусть / - отображение с особенностями, удовлетворяющее условиям (///)-(НЗ ). Тогда для каждой

точки X е определено устойчивое многообразие

; для семейства устойчивых многообразий справедливы утверждения:

7.3.1. Если Ъл < Ъ2 ¿Ъсг) , х & М*(г;эе) , то

У5(х;Ъ1) с. У^гг;^) .

7.3.2. Для каждой точки О-6 V С:г;§\> касательное

5 с

пространство к многообразию

Ь ) в точке ^

совпадает с пространством ¿у .

7.3.3. Существует константа С > С такая, что для любых точек % 9 I £ У Сг; 5" ^ и любого натурального п справедливо неравенство

7.3.4. Многообразие У^СЛ"; сГ ) является шаром радиуса 5 с центром в точке X в многообразии

У(х)~ { у £ V: для любого пе2+

с внутренней метрикой.

7.3.5. Для любого 7 £ (0} Т0) многообразия V (эе^Ъсх)) зависят от X непрерывно (в £ -топологии) на каждом множестве М* (7;ае> .

7.3.6. Для любого Г ¿(ОуЧе) , любого х € (Г ; эе),

н> кроме того,

7.3.7. Существует функция , определённая на интервале (О, 70), такая, что если хб М

& У5Гг; Ъсг)) , то

, Для функции и <*) справедлива оценка

/ , + „-<=<-+ иог }

+

где оС _ константа из условия {Н1 ), - некотора

константа, не зависящая от X

В § б доказывается свойство абсолютной непрерывности семейства устойчивых многообразий. Сформулируем это свойство Пусть , Уд - два близких (в С -топологии

многообразия размерности с! (напомним, что с1 -разке ность неустойчивого пространства). Предполагается, что каждс многообразие (Х'}эа), пересекается с каждым

многообразием У1 9 в единственной точке и трансве

сально(если это пересечение непусто). Определим отображение У некоторого множества ^ С У^ на множество С V Множество А[ состоит из таких точек 2. € У-

для которых существует многообразие У (В, пересею

ющие оба многообразия и У г ; тогда точка перес!

чения многообразий

У5Г2; $"<г» и ул лежит в А1 ,

точка пересечений многообразий у 5'(г ^(Г)) Ц леж

в А ^ ,и У (¿¿У= • Определённое так отображение У называется отображением последования, или голономии. Пусть ^ - сужение меры Лебега на мной

ство А• . Семейство

У5(а- Ъ(гу)

называется абсолюта

непрерывным, если для любых У^ , 1/, , описанных выше

мера ^ абсолютно непрерывна относительно

Для нашего случая справедливо несколько более сильное утверждение, а именно

Теорема 6Л. Пусть ^ - отображение с особенностял для которого выполнены условия {Н1 ) - (//4 ). Тогда для J бых Е> О ^ 1> О существует такое 0= 6(1,£)3 что для любых точек М~(.1',9е) таких, что

справедливы утверждения и ^

(а) отображение голономии Т/Г:У

определено на замкнутом множестве А1 с Уи(х1 ; $(%))

причём ( А± ) > 4 -В ( Уу - мера Лвбега на Ул ) ■ 1л *

(б) мера ^ (где )) - нормированное су

ние меры у на А^ ) абсолютно непрерывна относител

но v^ ;

(в) плотность p(Z) меры if ))i относительно меры

V., на множестве А2 непрерывна и удовлетворяет не-v2

равенству jр (2)- 1 I В .

Глава III С § § 9 - 13) посвящена построению и -гиббсов-,ских мер для отображений, удовлетворяющих условиям ( //i ) -(#4 ). Дадим определение и -гиббсовской меры.

Пусть £ (?) - функция, определённая для 26 Н и равная якобиану отображения / , суженного на ¿гги . Положим для точек X € М ( Ч; эе), fy, 2€ Уи(зс;^(г))

°° iu / fl-f , П L±Ll>

* /г-i э"<(-*#> '

Через JUy. , V= У (X) В) f обозначим меру, сосредоточенную на многообразии V" и такую, что она имеет плотность относительно лебеговой меры Vy , определяемую соотношением / \-1

У I V

V

Пусть V - хорошее многообразие в устойчивом направлении, ß - множество, определяемое как

"г

В = и _ v и(х; S7*)).

Разбиение множества ^ на многообразия V(x)=V (х;S~tt))t

■' X6~V ПМ являемся измеримым относительно любой боре-

левской меры рл , и потому для всякой борелевской меры определена система условных мер > ^М (1',dS)

(если ).

Мера yvf »инвариантная относительно £ , называется U -гиббсовской, если для любого множества В у г для которого JU ( B\rfr)>0 , условная мера '

для почти всех ~V (х) совпадает с мерой Уу- » 0ПРеД®~ лённой выше.

- 16 -

Основной результат главы III - следующее утверждение: Теорема Пусть £ - гиперболическое отображение

с особенностями, удовлетворяющее условиям (Н1 ) - ( НЗ ) и некоторому ослаблению условия ( Н4 ), состоящему в том, что

£ 0 зависит от многообразия. Тогда существуют множе-

ства At , ... , и меры jut , ... , сосре-

доточенные на множествах , Az , ... » такие, что

12.2.1. Пересечение каждого множества Л^ , £=4,2,..., с любым множеством М замкнуто.

12.2.2. рл^ - инвариантные и -гиббсовские меры.

12.2.3. Любая инвариантная и -гиббсовская мера Р*

о /

представляется в виде ju = Pif<+ ♦ гДе Pi »

рг , ... - неотрицательные числа, pi + р^ +... = i ,

12.2.4. Для любой точки X в А • ■ ( i= 1,2,.. . ) и любой её окрестности ^ (ж) справедливо ß<{ (С£ (х))>-0.

12.2.5. Для любой точки X 6 А[ ( £ = й, .. , ) и любой её окрестности Ö^ (х) найдётся периодическая точка

# € Ов (х) .

• 12.2.6. На каждом множестве , / топологичесю

транзитивно .

12.2.7. На каждом множестве А i , ± с мерой является эргодичным.

12.2.8. Для каждого множества А. ^ ' существует множество V/. такое, что

(а) для каждой точки X € VtA и любой равномерно непрерывной функции справедливо равенство

К

Ilm х 2 (f(f X) = J <f(&>clfL(#.> ;

Al

(6) v ( ^ и w& v...) = l, ;

12.2.9. Для энтропии / на множестве Л^ с мерой ju • справедлива формула

к(!/Л{)= \ Ju<i>Jj»:(i).

А-

12.2.10. Каждое множество /1 . разбивается на 1(С) непересекающихся подмножеств , ... , так, что

о Л1 ¿+1 . ' . п 1 лх <<> л *

(а )/Л.=Л. о = 1,..., ?(0-1);/Л. =л. ; 01а') ЛJ ;

(б) сужение £ на у I . с мерой (кото-

рая рвляется нормированным сужением меры ^ • на множество 'Л; ) изоморфно сдвигу Бернулли.

Теорема 12^3^ Пусть / удовлетворяет условиям (Н1 )

- ( НЬ ). Тогда количество множеств /[• , фигурирующих в те», ореме 12.2, конечно.

Для отображений, удовлетворяющих условиям (Н1 ) - ( НЗ ) и некоторому ослаблению условия (//4 ), теорема 12.2 была доказана Я.Б.Лесиным. Единственное отличие: вместо утверждения 12.2.8 (б) у Я.Б.Песина имеет место лишь УСЧ^

В главе 1У (§§ 14-21) даётся определение и доказываются свойства асимптотически марковских процессов.

Пусть С] в - некоторое фиксированное число. Через

У." обозначается пространство последовательностей ^ =

-{..., У_„ » • • - , ¿0 ), , бесконечных

влево; через - пространство последовательностей £ + -

= и± ,4 , 9), бесконечных вправо; через

- пространство последовательностей С - • » > Л? у^ху'Х

бесконечных в обе стороны.

Если б" € 51 ~ , 7 <£ { 1, - . ., 9} , то 6 ] - это последовательность, которая получается приписыванием символа у к последовательности с последующей перенумерацией сим-

волов, Блоком длины т называется конечная последователь-' ность Ш =. ,.,}т ) символов множества {.. с/}. Для заданного блока IV ^ > • • • » ¿т) цилиндр порядка ^

- ото множество

Аналогично, цилиндр С"^ (си) С- - это множество

С* <Ь>) = ( , ) • ]й , }■

- 1Ь -

Система цилиндров С^ (ш) (соотв., С^ (и/), С^ (и>) ) определяет топологию, которая, очевидно, совпадает с тихоновской топологией бесконечного . числа экземпляров множества { 1, . . . , с/ } , наделённого дискретной топологией.

т -окрестностью элемента ё £ £ ~ (соотв., ё + 6 6 21 ) называется цилиндр порядка т , содержащий ё (соотв., ё+ , б" ° ).

Система цилиндров порождает <о -алгебру в каждом из пространств £ ~ , 2 * » 21 ° » эта ё -алгебра называется борелевской. Множества, принадлежащие борелевской 6" -алгебре, называются борелевскими.

Далее предполагается, что все меры - вероятностные и боре-левские.

Набор переходных вероятностей - это вещественнозначная неотрицательная функция Р( У/<э ) ' , определённая на множестве {1, ..., сц} х Е , где С - некоторое боре-левское подмножество, такая, что выполнены условия:

(а) для любого ё€Е , 2Г Рс]!ё) = 1

3=1

(б) множество £Г инвариантно, т.е. если ё £ Е , Р (Лб)>0 , ТО Е ;

(в) при фиксированном j , функция В С 3 ) измерима относительно борелевской ё -алгебры.

Для заданных переходных вероятностей Р С 3/ё) определим вероятность перехода из ё £ Е в ё € Е :

Реле),

О, 8" ф £ } ни при каких } €{!,...,<?},

Для произвольного множества В с 2 определим вероятность перехода Р( В !<а) из б1 в В ?

Р(В1б) = £ Рс^/с) '

Сумма определена корректно, ибо только конечное число слагаемы в ней отлично от нуля.

Под вероятностью перехода из ё € Е ъ £ £ £ за К шагов понимаем величину

- 1.9 -

Г В (Ъ Ш) Ри2 /¿/д.. р(]к

((9, ¡к ни при каких ji ,... , ]к .

По переходным вероятностям Р О" ) определены семейство мер ум^ на 2Г+ » £ € . Пусть блок длины гп . Положим

г; С с ¿ч . • ¿^

Определив таким образом меру ук^, на цилиндрах, продолжим её стандартным образом на борелевскую б' -алгебру, получив в результате меру на 2

Для заданных переходных вероятностей Р С У / <э ) определим оператор перехода Р в пространстве вероятностных борелевских мер на . Для множества В Е положим .

(Рр)(В)= ! Р(В/ё)с1г(£). Е-

Предполагается, что выполнены следующие условия: ). Множество е представляется в виде = = Е± иЕг и. . . , где Е± С1 Е^аЕ^с--- - компактные подмножества множества 27 ~

(Р2). Существует последовательность чисел £ >¿7

л г>7>п

такая, что (а) для любого п £ Ж * 2.1т £ = О '

■+ т-гоо '

(б), если ¿у ь 6 Е п и лежат в одном цилиндре порядка то

1.РЗ).

Существует последовательность чисел оС п > о и последовательность натуральных чисел т0 (п ) такие, что

(а)оСг + оС_+о£,_+... < оо ;

А Л» р.

(б) если т > т0 Сп) , 6 е Еп+1 . то/-1 ( Еп1^)>1-оСп

Через

Л/

обозначим семейство мер на 2 таких, что для некоторого п 6

Через

Ж обозначим семейство мер уи таких,

что существует мера уи £ № и последовательность натуральных чисел такие, что Р * /й сходится к мере уи

в х-слабой топологии.

Определение.Последовательность случайных величин . . . }

? -тс -- определённых на одном

-1 > * о р

пространстве элементарных событий, образует асимптотически марковский процесс с переходными вероятностями Р ( / /<£ ) ,

если (а) переходные вероятности Р( 3 ) удовлетворяют условиям (Р1 ) - (РЗ ); Сб) мера ум0 , порождённая на

пространстве величинами ... , » ••• » о '

принадлежит классу ■М ; )(в) для любых j € {i } .. с[}) К € 2?+ и почти любой последовательности 6 € £• ,

т-9

В главе 1У доказаны утверждения:

Теорема 15Л.;. Справедливы утверждения: (а) - ком-

пакт в метрике Vat ; (б) с. jif ; (в) JP - изомет-рия пространства X в метрике Var

Теорема_15.2л Для любой меры уи в М существует предел (в смысле х-слабой сходимости)

¿(p+Pfi+.-.+P*'*,,).

Мера ji\ называется стационарной, если Pj4 - уи Теорема Существует такая стационарная мера уч^,

что всякая мера уиб ОС абсолютно непрерывна относительно

Теорема 15.4. В Ж имеется конечное число попарно' сингулярных стационарных мер уи^ , ... , у^ . Каждая мера ju. представляется в ввде

где ju* , ... , уиУ- попарно сингулярные меры, при-

надлежащие X _ , причём Р ум У ^ уи^ у= ^ .. г Г/; ^Л^'V/

Каждая мера /иУ сосредоточена на некотором множестве у _ _ У (> 1

£ 2, . Множества О/ не пересекаются, и для любого

J

П-6 , множество замкнуто.

Определим поднятие меры р/. на на мно-

жество ° с помощью системы условных мер уи^" . Пусть й*- ; , й"^.' -естественные

проекции. Поднятие меры уи , определённой-на 21 ~ » с помощью условных мер у^ , - это такая мера у«0 на что (а) й*^. ум ; (б)условная мера на почти каждом эле-

менте ) при его естественном отождествлении с

совпадает с уи^* .

Если уИ - стационарная мера, то поднятие её на пространство является инвариантной относительно сдвига

Ь мерой.

В § 19 доказывается следующее утверждение:

Теорема 19л2_. Пусть переходные вероятности ]р ( j I(?) определяют такой асимптотически марковский процесс, что семейство УС состоит из единственной меры. Тогда сдвиг в пространстве ¿7 ° с мерой, которая является поднятием единственного меры из УС » изоморфен сдвигу Бернулли.

В § 20 доказывается непрерывная зависимость финальных распределений от переходных вероятностей асимптотически марковского процесса.

Пусть Рк (У/е1; - последовательность наборов переходных вероятностей. Множества, аналогичные множествам Ец, но связанные с переходными вероятностями Рк ( J/dJ , будем обозначать через Е) ; семейства, аналогичные семействам

, # , обозначил через Жу. , Ж^ ; оператор перехода обозначим через ; меры, аналогичные мерам уи^" | обозначим через •

Ьи будем говорить, что последовательность Рк ( 316) сходится к ./~>(У/<э ) , если выполнены условия:

). Существует последовательность чисел £ „>0 такая, что (а) для любого П £ , 6¿т £ - о •

_ + т-хуз ™>п~ '

(б) если Еп и лежат в одном цилиндре порядка М ,

то

У*Ч Су"/ ;

(в) если <о} & € ( « = 1,2,...') и лежат в одном ци-

линдре порядка т , то

(С). Существует последовательность чисел &п>0 и

для любых И , К 6 ¿¡?+ определены натуральные числа ГУ10 (П.) / т0 ( И, К) так, что

(а) оС^ + оС-2 + . . . -г оО •

(б) если С п ) , чъ Р СЕп№)>1-

(в) если т>Ъ0(П,к) ,

(С3 ). Для любых натуральных П, т найдётся такое К0(П,т) , что если К > К0(П7 /П)7 то множества лежит в «г -окрестности множества Е п

( С4 ). Для любого натурального /гг, /г и любой последовательности бк б {К = 1,2, ... ) , сходящейся к ё й Еп

¿¿к (ш)Шк) = Р*1 (С2 ио) ¡ё).

К

Теорема 20L.lt. Пусть последовательность наборов переходных вероятностей Рк (3 /е> ) сходится к набору Р(] ¡ё) Тогда для любой последовательности мер УСн все щ

дельные точки принадлежат семейству У£

В § 21 доказывается свойство единственности меры Глава У (§§ 22 - 27) посвящена доказательству теоремы Б. Доказательство проводится методами символической динамики пут« сведения к теореме 20.1.

В главе У предполагается, что ^ , удовлетво!

ют условиям (Н1 ) - (//?).

Полулокальным многообразием точки •ЗС называется мне

жество

{ £ е Х>: точки Гпх,

лежат в одной компоненте } .

Лемма 22.5. Для любого 1>0 существует натуральное такое, что если Х6 И>Пл(х)// зсбМ~(г;;

то fnW(x) ^ VU(fnx; Stx».

Зафиксируем достаточно малое число хд>0 . Положим Хд =

= t0d€n~. Через Cr п обозначим множество, являющихся объединением таких полулокальных многообразий W(X) , что

(а) для некоторой точки у. £ W(X)ff

...(б) для любого К > п справедливо неравенство

juw ч (M~<i*;ie)n Wcx>)>l-&CX

J VV(X)

где JJ определено в условии ( И3 ), О - некоторая• константа, JU. ~ меРа на WiX), имеющая плотность отно-

сительно лебеговой меры V* определяемую так, что для любых точек (¿,£6 Wcx)

о ' ^ U п-К

р<*> . ff j>

Оказывается, что если Х€ , то

• Сп*(7п)ъг<х)* Уи<ГПх;£(гп)).

Каждому многообразию V Г х ) соответствует элемент ё = так, 4Т0 & = С. . • , ¡-п >'• - ,30) , -к

где у_к - это номер компоненты, в которой лежит точка^ х.

Через Еп обозначается множество

Еп = {6 = ё~сх):

Для <э € ЕЦ определим переходные вероятности, полагая

' Теорема 25.4^,ля переходных вероятностей х (] справедливы условия ) - (РЗ).

Эта теорема используется для построения инвариантной и -гиббсовской меры. Для доказательства непрерывной зависимости инвариантной и -гиббсовской меры от отображения используется теорема 20.1. Теорема В следует из утверждения

Теорема 26.6. Пусть, последовательность гиперболических отображений с особенностями 2 , удовлетворяющая условиям

( Н1 ) - (// ? )» сходится к отображению ^ , причём выполнены условия (/"7 ) - ( Р5). Тогда для последовательности соответствующих переходных вероятностей Р (I ¡¿) выполнены условия < ¿7) * <¿4 ). *

В главе У1 (§§ 2Ь - 30) доказывается выполнение условий (Н1 ) - (Н ? ) для отображений, имеющих одномерное неустойчивое подпространство.

Пусть и= [а, §1* С1 . где [а,1?зс1я - отрезок, #£Г а - ограниченная область. Каждая точка 2 ё I/ опре-

деляется числом X € С О., £ 1 и точкой О. :

г = (х, дте ус О,.

В V определена стандартная евклидова метрика р , Через V обозначается нормированная лебегова мера на V .

Касательное пространство Т^ I/ к многообразию 17 в точке 2 естественным образом отождествляетмя с простран-

ством В^фВ^, Соответсввенно, вектор ТГё V

имеет координаты \ГХ , , где , € ¡Я .

Далее считаются фиксированными константы £ > О , О> О такие, что б* i

Регулярная кривая I в

и - это график дифференцируемой функции к(х) , определённой в некотором интервале

НО-) со значениями в , причём для любого

X 6 хл),1к'(х)1 < е>

Регулярная поверхность

Р в и - это график функции I определённой в некоторой области (¡.¿С О. со значениями в отрезке [а, , причём функция р Г^г^ удовлетворяет условию Липшица с константой б :

Дляна проекции кривой I на ось X обозначается | через С С I) . Соответственно, для любого множества ^С I , ь(А) ~ это одномерный объём проекции множества А на отрезок £а, $2

Предполагается, что на области ¿2 определены непрерывные функции р. : ((*, £)} .. у} ,

- 2Ь -

удовлетворяющие условию Липшица с константой в такие,

что для любой точки у £ О. справедливы неравенства

ас р^у)* . .. /> С^

Графики функций р^ (у) (которые, очевидно, лежат в {/ ),

обозначим через /у . Очевидно, /у - регулярные поверхности в и . Через Г0 , Г^ обозначаются поверхности

/~о= (* = <*,#)£ = Г^ = { 2 = эс= В }.

Через Г обозначается множество П - С0 и.. . и Гу .

Поверхности /у , очевидно, попарно не перескааются и разбивают и на открытые множества, которые мы обозначим

, ... , Р ^ .

Через > (где Н, ... , <?} , £>О

- достаточно малое число) обозначим множества

4,1=(^ • <?>*х"Рн; Г;*е = С Ц ' Ъ <*)-£ <#> } .

Через /Г обозначается £ -окрестность множества Г", с <]

На множестве & = I/ Pj определён диффеоморфизм

^X) и класса С . Отображение ^ определяется функциями £ ' [ <2, £ 3 , Н ' I) & так, что

Сужение £ , £ , И на обозначается через

/; .

Сформулируем условия гиперболичности для рассматриваемых отображений.

(В^У ). (а) для любой кривой 1С ¿) , не пересекающейся с множеством Г и являющейся регулярной, £ (I) .- тоже регулярная кривая;

(б) для любой регулярной^поверхности Р и любого множества £>. , множество / (р р ^ (£).)) - регулярная поверхность. **

( BLZ )• Существует константа \ > f такая, что

(а) если точки £{ , лежат на одной регулярной кривой Iс Dj (. (1, ...,<}]) , то

(б) если точки » 2g лежат на одной регулярной поверхности Р ив одном множестве Dj ~ , то

Опишем два типа поведения / внутри множества

Множество Г. Ш принадлежит классу ( ß ), если Р.

J,£ J

продолжается на некоторую окрестность множества Qj так, что

продолжение принадлежит классу С^ и для продолжения остаются справедливыми условия {В Li ), (5Л2).

{..ножество Г. принадлежит классу ( L ), если суще-

J) с

ствуют константы оCj(jf(u) » такие, что

(а) 1 > о62 (j} Qj)> tt-z <j,ou)>0; £ oLi (]гсо)- Ы.г <j,Cu) < t ;

_ /— Ш

(б) для любой регулярной кривой IС / ^ , определён-

Д"г С

______ , (X) на интервале (Х^ } Х^) , справедливы

неравенства

где 2 г (X,h (х)).

Сформулируем ещё два дополнительных условия. (3L3 ). Существует константа такая, что множес-

тва Г\ , /~J ^ попарно не пересекаются, и каждое из

них принадлежит либо классу (3 ), либо классу (А ).