Объемы, регулярные борелевские меры и обратные спектры измеримых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

• П ¿'-'^Ш^ТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЬ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И.ГЕРЦЕНА

Ьа правах рукописи

СЕМЕНОВА Татьяна Алексеевна

ОБЪЕМЫ. РЕГУЛЯРНЫЕ БОРЕЛЕВСКИЕ МЕРЫ И ОБРАТНЫЕ СПЕКТРЫ ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.01 - Математический'анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического университета имени А.И.Герцена.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Арешкин Р. Я.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Широков H.A., кандидат физико-математических наук, доцент Порошкин А.Г.

Ведущая организация - Мурманский государственный

педагогический институт.

Защита состоится " /¿¿Лб-У^Л^- 1994г.

в часов на заседании специализированного сове-

та К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена ( 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1; ауд. т.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб.р. Мойки, 43, Фундаментальная библиотека.

Автореферат разослан Ж*. /.¿¿¿ЬЛ.. 1994г.

Ученый секретарь

специализированного совета

¿¿Z^* и. Б. Готская

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Проведенные в диссертации исслдования посвящены изучению объемов и ре1улярних борелевеких мер на локально компактных 1], -пространствах, исследованию сходимости таких объемов и мер в случае,когда локально компактные ^-пространства образуют обратный спектр, а также изучению сходимости мер,измеримых функции и интегралов, определенных на абстрактных измерит« пространствах, образующих обратный спектр.

Объемы и регулярные мери на локально компактных хаус-дорфових пространствах - важная и необходимая составная час.ть гаассической теории мери. К настоящему времени зта часть теории меры достаточно хорошо разработана. Однако есть ряд проблем, которые еще не получили своего полного решения, в частности, проблемы, связанные с существованием невырожденной регулярной борелевской меры на любом локально компактном хаусдорфовом пространстве!

Теория обратных спектров измеримых пространств - активно развивающаяся ветвь теории меры. Интерес к ней связан, в частности, с тем, что обратные спектры позволяют от простых математических структур данного класса переходить к более сложным. Это дает возможность применять их как для построения математических объектов с заданными свойствами, так и для исследования сложных объектов путем использования более простых объектов. Изучению мер на обратных спектрах измеримых пространств посвящено большое количество исследований. Однако в них, во-первых, не учитывается связь мер с

объемами, во-вторых, предполагается, что меры пространств спектра согласованы.

В данной диссертационной работе разработан способ построения широкого класса невыровденных объемов на локально компактных хаусдорфсвых пространствах со второй аксиомой счетно-сти, откуда, в частности, следует существование целого класса невырожденных регулярных в смысле Халмоша борелевских мер на любом таком пространстве. Изучается сходимость объемов и регулярных борелевских мер, определенных на локально компактных хаусдорфовых пространствах, образующих обратный спектр, без предположения согласованности этих объемов и мер, дается комплексное исследование направлений объемов и порождаемых ими борелевских мер. Исследуются также вопросы сходимости мер, измеримых функций и интегралов, определенных на абстрактных измеримых пространствах, образующих обратный спектр.

Таким образом, настоящая работа представляет теоретический интерес. Цель работы

Работа имеет следующие основные цели: '1. Ввести понятие объема на структуре компактных множеств замкнутого базиса локально компактного -пространства и доказать, что такой объем, тем не менее, допускает продолжение до "полного" объема (на структуре всех компактных множеств этого пространства) и, тем самым, определяет борелевскую меру на X, ■

2. На основе такого сужения области определения объема разработать конструктивно-индуктивный процесс построения целого класса невырожденных объемов на локально компактных 77 -пространствах со счетным базисом.

3.Изучить сходящиеся направления объемов и порожденных ими борелевских мер, определенных на локально компактных пространствах, образующих обратный спектр, без предположения согласованности мер и объемов, изучить пределы таких направлений.

4. Изучить сходимость направлений мер и измеримых функций, заданных на абстрактных измеримых пространствах, образующих обратный спектр, без предположения согласованности мер. Найти достаточные условия, гарантирующие возможность перехода к пределу по направлению под знау.ом интеграла.

Методика исследования.

Использованные в работе методы относятся к общш методам абстрактной теории меры и интеграла и функционального анализа. Наряду с ними широко используется алгебраический подход к изучению обратных спектров локально компактных пространств,направлений объемов и борелевских мер путем использования прямых спектров структур (решеток) локально компактных пространств. Прямые с-г.ектры структур являются более простыми образованиями,чем обратные спектры пространств, поскольку оставляют во внимании только алгебраические свойства последних. Их использование в особенности оправдано в случае спектров локально компактных пространств, поскольку известно полученное Г.Я.Арешкиным аксиоматическое описание структур локально компактных и '^Г-пространств.

Научная новизну,

1. Показано, что область первоначального определения объемов на локально компактных ^-пространствах может быть существенно сужена/

2.На этой основе разработан конструктивно-индуктивный процесс построения широкого класса невырожденных объемов на любом локально компактном пространстве со счетным базисом. Постольку такие объемы индуцируют невырожденные регулярные борелевские меры, то тем самым показано существование целого класса невырожденных регулярных борелевских мер на таких пространствах.

Установлено, что регулярная борелевская мера (в смысле Хапмоша) на локально компактном хаусдорфовом пространстве однозначно определяется своими значениями на компактных множествах какого-нибудь замкнутого базиса этого пространства.

3.Изучены сходящиеся направления объемов и регулярных борелевских мер, определенных на локально компактных ^-пространствах, образующих обратный спектр, и их пределы без предположения согласованности объемов и мер.

4. Изучены вопросы сходимости направлений мер и измеримых функций, заданных на абстрактных измеримых пространствах, образующих обратный спектр, без предположения согласованности мер. Доказана теорема о переходе к пределу по направлению под знаком интеграла.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность состоит в дальнейшем развитии и углублении Бнаний в важной и хорош разработанной области - в теории объемов и борелевских мер на локально компактных 'V -пространствах, в понимании механизма об-

Я*

разования широкого класса невырожденных регулярных борелевских мер на локально компактных хаусдорфовых пространствах со второй аксиомой счетноети.

Разработан структурный метод изучения направлений

объемов и борелевеких мер на обратных спектрах локально компактных ^-пространств. Сделан некоторый вклад в систематическое построение теории меры и интеграла на обратных спектрах абстрактных измеримых пространств.

Практическая ценность состоит в возможности использования полученных результатов при разработке специальных курсов по теории меры и интеграла на математических факультетах университетов и пединститутов.

Апробация работы.

Результаты работы неоднократно обсуждались на кафедре математического анализа РГПУ им. А.И.Герцена. По материалам диссертации сделаны доклады на конференциях "Гер-ценовские чтения" в Российском государственном педагогическом университете (1935г., 1987г., 1989г., 1990Г-)

Публикации.

Основные результаты диссертации отражены в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

» Объем и структура работы.

Диссертация состоит из четырех глав, из которых первая глава вводная. Полученные результаты изложены в трех последующих главах. В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту,' и указано их расположение в тексте диссертации. В конце диссертации приведен список литературы, имеющей непосредственное отношение к диссертации. Изложению диссертации предпослано оглавление, содержащее перечень глав и параграфов.

- 8 -

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первой главе приведено обоснование актуальности работы, формулируются цели и методы исследования, указаны научная новизна, теоретическая и практическая значимость, приводится краткая аннотация работы.

Главная цель второй главы - конструктивно-индуктивное построение объемов на локально компактных хаусдорфовых пространствах со второй аксиомой счетности. Ключ к решению этой задачи заключен в первом параграфе данной главы. Содержание этого параграфа составляют понятия объема и регулярного объема на структуре ¿г? компактных множеств замкнутого базиса локально компактного - пространства X и их продолжение на структуру всех компактных множеств пространства X . Пусть X - локально компактное '^-пространство,

структура X , определяемая всеми замкнутыми и компактными множествами этого пространства, (¡¿. 1 ЪбО - ее подструктура, определяемая каким-нибудь замкнутым базисом пространства X ; 3 и ТГ соответственно наименьший и наибольший элементы структур ¿г?* и .

Определение 1. Объемом на называем функцию^ обладающую свойствами: 1) О

для любого

при

ДЛЯ любых СЬ >

■ при .

Объемом на X называется объем на

Определение 2. Объем {к. , заданный на ¿г?/ , называется регулярным на , если для любого

Объем навивается регулярным на X , если он регулярен, на к! •

Леша 1. Пусть - объем на . Тогда функция /с определенней на X равенством

£ tiif^ca )lcL&&,ia.90L*}J

является объемом на , совпадающим с ^с на & . ^ -наибольший на объем, совпадающий с на .

Лемма 2. Если объем fk регулярен на , то его продолжение /и , определенное соотношением (1), регулярно на<^ .

Всякий регулярный на ¿С объем единственным образом продолжается в регулярный на & объем..

Всякая регулярная борелевская мера однозначно определяется своими значениями на izf/ .

Как следствие, получен результат:

Следствие 1. Всякий регулярный на ^ объем {к. индуцирует на X единственную регулярную борелевскую меру, совпадающую с ^ на ^ .

Результаты, полученные в первом параграфе, применены в параграфе 2 к изучению объемов и регулярных борелевских мер на локально компактных хаусдорфовых пространствах со второй ''аксиомой счетнос.ти. Используя понятия канонических открытых и замкнутых множеств, строится теория расширения конечных канонических покрытий таких пространств, получен счетный канонический замкнутый базис и доказывается

Теорема 2. На семействе всех компактных множеств локально компактного -пространства X со счетным базисом существует невырожденный объем.

В качестве следствия из зтой теоремы вытекает теорема ^Нумерация лемм, теорем, следствий соответствует их нумерации в диссертации.

существования невырожденной регулярной борелевской меры:

Следствие 3. На всяком локально компактном хаусдорфо-вом пространстве X со счетным базисом существует конечная невырожденная регулярная борелевская мера.

В третьей главе рассматриваются объемы и регулярные бо-релевские меры на локально компактных -пространствах, образующих обратный спектр .

Используются следующие обозначения: Г - направление индексов ( неограниченное направленное частично упорядоченное множество);

Х^г, Тс Г, - локально компактное хаусдорфово пространство; У- ¿(/п. ^¿р }г - предел обратного спектра пространств Ху СУу, аСу ) - структура пространства Ху , определяемая каким-нибудь его замкнутым базисом;

- структура Ху, определяемая всеми замкнутыми и компактными множествами этого пространства; ¿У^О - ^уз 1р - предел прямого спектра

структур ;

предел прямого спектра

структур У'О ;

г*. г '

о у - структура кольца множеств, порожденного семейством всех компактных множеств пространства Ху ;

5 = /-у 1 1р - предельная структура прямого спектра структур £>у .

В первом параграфе излагается краткий обзор литературы, связанной с. обратными спектрами измеримых пространств.

Во втором параграфе приводятся используемые в дальнейшем результаты о связи обратных спектров локально компактных пространств и их пределов с индуцируемыми ими прямыми спект-

рами структур и их пределами. Поскольку структуры ло-

кально компактных '/д-пространств,с одной стороны,однозначно определяют эти пространства, с другой, являются чисто алгебраическими, гораздо более простыми образованиями, чем сами эти пространства, в дальнейшем систематически используются прямые спектры структур вместо обратных

спектров [X/, г/^з }г пространств Ху.

Третий параграф посвящен изучен!® сходящихся направлений объемов, определенных соответственно на структурах ^ компактных множеств замкнутых базисов локально компактных 12 -пространств Х^г , образующих обратный спектр. Доказано, что предел сходящегося направления объемов ^^г является объемом на предельной структуре (лемма 5). По-

казано, что если направление объемов //^Г-'р сходится к функции ^ на , а направление ¿^ их максимальных продолжений с на структуры ¿^Г' всех компактных множеств пространств Ху сходится к функции ^ на , то на ^ совпадает с (лемма 6).

В четвертом параграфе рассмотрен случай равномерно сходящихся объемов.

Теорема 3. Если направление объемов равномерно сходится к р. на ^ , то направление {¡Чу их максимальных продолжений сходится на оС к максимальному продолжению объема ¡и. с на <£*' .

Теорема 4. Предел равномерно сходящегося на направления регулярных на ^ объемов есть регулярный на №1 объем.

Из этих теорем вытекает

Следствие Б. Пусть

регулярные н? объемы; направление равно-

мерно сходится на ¿^ к функции . Тогда

1) А - регулярный объем на ;

¿1/1 1е>

2) продолжения {Ч^ и [и соответственно объемов ^ с

на и {к- с.% на^'"'- регулярны соответственно на Ху и X ;

3) направление ¿/Vсходится на к ^и .

В параграфе 5 исследуется связь сходящихся направлений регулярных объемов со сходимостью направлений порождаемых ими регулярных борелевских мер. Основной результат этого параграфа заключен в теореме 5.

Теорема 5. Пусть ^^

регулярные объемы, определенные на ^ , ^ - регулярные борелевские меры пространств Ху > порождаете объемами . Пусть, далее, направление

//^¿равномерно сходится к функции А на . Тогда нап-

1 ' г л 2 се/ л л

равление I сходится на к , где - регуляр-

ная борелевская мера пространства X , порождаемая регулярным объемом ^ .

Следует отметить, что случай согласованных мер является частным случаем результатов параграфа 5.

В главе П' рассматриваются обратные спектры измеримых пространств В^ направления мерГ^/^и измеримых функций ■ Не требуется, чтобы измеримые пространства были топологическими, меры в общем случае могут не быть согласованными, измеримые функции заданы на Ху .

В параграфе 1 для спектра {¿Ху, дС^? ^ рассматри-

вается предельное измеримое пространство СХ> №>) и изучаются свойства сходящихся направлений / мер, заданных соот-

ветственно на . К числу основных результатов этого параграфа относятся теорема 7 и теорема 8.

Теорема 7. Пусть для любого ТеР мера на ,

на ю . Для того, чтобы ^ была мерой на необходимо и достаточно, чтобы семейство I'являлось обобщенно равностепенно непрерывным сверху в нуле относительно /Ь .

В теореме 8 получены необходимое и достаточное условия, при которых переход к пределу по направлению сохраняет абсолютную непрерывность мер.

Теорема 8. Пусть для любого^/7 меРы на

соответственно, ¿рп = ^ , ¿1{п- = , абсо-

лютно непрерывны относительно , ^е - мера на /3 . Для того, чтобы 1) была мерой на $ , абсолютно непрерывной относительно ^ , необходимо и достаточно, чтобы семейство / 1/у }р являлось равностепенно абсолютно непрерывным относительно семейства /Дг-

Во втором параграфе изучаются вопросы, связанные со сходимостью направлений измеримых на (Хг, Йу) функций • Уу -Установлены соотношения между разными видами сходимости направлений • В теоремах 11 и 12 выясняется связь между сходимостью направления/^^, по мере^/ и фундаментальностью I Уу относительно .

Третий параграф посвящен доказательству теоремы о переходе к пределу по направлению Г под знаком интеграла.

Теорема 13. Пусть {¿Ху, /¿^ 1р - обратный спектр измеримых пространств и СХ}Р>) - /(Х^ $г • Пусть, далее,^с ; /3 —?Я- - некоторая неотрицательная функция множества, ({Ч^- направление мер , определенных соответственно на (Лу- , обобщенно равностепенно непрерывных свер-

;<у б нуде относительно и сходящихся по вариации к ^с- . Пусть, наконец, У^- ■ Ху —-измеримы, равномерно ограничены и - почти везде относительно /3 равномерно фундаментальны.

Тогда, {¡к^]^ равномерно сходится к ' (X ~ ые|^а на ^ ' ' (X "почтн везде относительно /3 равномерно сходится к некоторой -измеримой функции У'- X & , ^ -суммируемой,

причем, для любого множества &

/7 (2-Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Арешкину Георгию Яковлевичу за неизменное внимание к проводимым исследованиям и постоянную помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Арешкин Г.Я., Сидорина Т.А. Объемы и регулярные меры на предельных локально бикомпактных 7г -пространствах. // Функциональный анализ. Линейные пространства.Вып.25,

■ Ульяновск,1985.С.14-24.

2.Семенова Т.А. Построение конечных невырожденных регулярных борелевских мер на локально компактных хаусдорфо-вых пространствах счетного веса. //Деп. в ВИНИТИ. N 229-В87, от 13.01.87.

3.Семенова Т.А. Некоторые теоремы о сходимости направлений мер, функций и интегралов. //Деп. в ВИНИТИ. N 4151-887,

от 09.06.87.

4.Семенова Т.А. К теории объемов и регулярных борелевских мер на локально компактных хаусдорфовых пространствах. // Деп. В ВИНИТИ. N 170 - В94, от E1.01.S4.