Квазинормированные пространства в комплексном анализе (внутренние функции, операторы сдвига, суммы Фурье) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. %

Глава 0. Вспомогательные результаты.

§ 0. Список обозначений . ^

§ 1. Симметричные пространства. Основные определения.

§ 2. Симметричные пространства и аналитические функции

§ 3. Одно неравенство для гармонических в круге функций

Класс квазинормированных пространств содержит в себе все нормированные пространства. Однако, в заглавии диссертации имеются в виду прежде всего ненормируемые пространства этого класса, т.е. те квазинормированные пространства, которые не являются локально выпуклыми.

Нелокально выпуклые методы во многих вопросах анализа используются уже давно (едва ли не так же давно, как и локально выпуклые). Приведем несколько результатов, давно уже ставших классическими,

1. Теорема В.И.Смирнова. Интеграл Коши конечной борелевской меры, сосредоточенной на единичной окружности, принадле-™ Р жит классу Харди Н при всех р < 1 •

Я. Теорема А.Н.Колмогорова«) Оператор гармонического сопряжения есть оператор слабого типа (1,1).

3. Теорема Харди - Литлвуда, Максимальный оператор является, оператором слабого типа (1,1).

4. Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор имеет сла-быйтип (1,1) и слабый тип (р,р) при некотором Р>{ , то этот оператор является оператором сильного типа (ъ, ъ) при всех г € (1> Р) .

Отметим, что все эти теоремы носят нелокально выпуклый характер. Однако,это обстоятельство бросается в глаза лишь в первом случае, где встречается нелокально выпуклое пространство нр (0<р< {).

В формулировках трех остальных результатов неявно участ-,1 вует слабое Ц- пространство, которое мы будем обозначать через . Пространство - это множество всех измета римых сщнкщи ц.{¡таи. таких, что

IIД 1;оо = пир > <+

I 1,°°

В пространстве I— естественным образом вводится топология квазибанахова (т.е. полного квазинормированного^ Пространства , л

Однако пространство Iс этой топологией не является локально выпуклые.

Последний четвертый пример особенно интересен тем, что в нем ( в отличие от первых трех ) "нелокально выпуклым" является одно из условий теоремы (слабый тип О) , а заключение теоремы является "локально выпуклым", т.е. этот пример показывает, что "нелокально выпуклый" результат может быть полезен для получения "локально выпуклого". С другой стороны, можно привести большое число "локально выпуклых" результатов, доказательства которых опираются на одну из первых трех "нелокально выпуклых" теорем. Мы ограничимся здесь только одним примером. Следующая теорема может быть выведена при помощи стандартных приемов функционального анализа из теоремы В.И. Смирнова.

Теорема (см. 188 1/. Пусть { ЭСп./; - последовательность

12 Ь-Ъ-0 чисел, причем ^ (ОСк! <+°° . Тогда найдется функция, голоморфная в единичном круге комплексной плоскости, непрерывная вплоть до границы этого круга и такая, что с *Ъ> хК-п

2П)! при всех > 0 .

Можно привести примеры и совсем недавних "чисто локально выпуклых" результатов, полученных с использованием "нелокально выпуклых" методов. С.В.Кисляков [44] доказал от--- г* сутсшвие локальной безусловной структуры в пространстве - гладких (*>£) функций на многомерном торе, используя при этом некоторые свойства подпространств пространства (о<Р<1) (а именно, С.В.Кисляков доказал, что угол между пространством Нр и подпространством пространства НР , состоящим из функций с лакунарным в смысле Адамара спектром, - ненулевой). Дк.Шапиро С?8] , используя технику (О < Р < ±\ получил новые доказательства теоремы братьев Рисс и теоремы Бохнера об "аналитических" мерах.

Целый ряд примеров приложений "нелокально выпуклых" результатов к "локально выпуклым" дает теорема С.А.Виноградова [ЭО] , опирающаяся на теорему Л.Карлесона ['21] о сходимости почти всюду РОДОВ Фурье и являющаяся далеко идущим обобщением теорем В.Й.Смирнова и А.Н.Колмогорова. Особенно полезен результат С.А.Виноградова при изучении пространства всех степенных рядов, равномерно сходящихся в единичном круге.

Интерес к изучению нелокально выпуклых пространств (помимо их возможного использования в локально выпуклом анализе) диктуется еще одним обстоятельством. Довольно часто конкретные пространства, естественным образом встречающиеся в анализе, не оказываются локально выпуклыми. Здесь в первую очередь следует отметить алгебру всех измеримых функций (то*1.0) на пространстве с мерой и класс В.И.Смирнова А/а , т.е. алгебру всех голоморфных в единичном круге функций, порожденную (в алгебраическом смысле) внешними функциями.

I ° /\/

Однако пространства I— и ' 44 (со своими естественными топологиями ) не являются квазинормируемыми. Первое из них совершенно не исследуется в диссертации, а второму уделено очень шло внимания. В основном все "нелокально выпуклые" результаты диссертации нацелены на "локально выпуклые".

В диссертации показано, что "нелокально выпуклая идеология" очень часто бывает полезной при решении "чисто локально выпуклых" задач. Это, конечно, не означает, что для доказательства большинства результатов диссертации необходимо использование "нелокально выпуклых" методов. Однако в большинстве случаев использование "нелокально выпуклых" методов оказывается все-таки естественным и порой позволяет получать дополнительную информацию. В этой связи стоит отметить результаты пятой главы. Основной результат этой главы нетрудно было бы получить, совсем не привлекая ненормируемое пространство

11 ' I но картина была бы неполной, если бы мы совсем проигнорировали ту связь, которая существует между коэффициентами степенного разложения функции клаеса п и частичными сушами рядов Оурье ограниченных функций.

В диссертации имеются также и "чисто нелокально выпуклые" результаты. Здесь в первую очередь следует отметить нелокально выпуклый аналог теоремы Бойда,о котором речь еще впереди.

Переходим теперь к описанию результатов диссертации. Ядром диссертации являются первые три главы. В первой главе развит единый абстрактный подход к целому раду вопросов, которые на первый взгляд довольно далеки друг от друга. Сначала, не вдаваясь в детали, перечислим эти вопросы.

Н1'00 (ГдеН

1. Построение голоморфной функции с заданным модулем граничных значений.

Теорема Шура об аппроксимации внутренними функциями.

3. Интерполяция Пика-Неванлинны.

4. Теоремы об исправлении типа теоремы Меньшова.

5. Поправочные множества Рудина.

6. Нелокально шпуклий аналог Теореш Бойд^негтрерьшности преобразования Гильберта в симметричных пространствах.

Во второй главе описаны многочисленные примеры применений абстрактных результатов первой главы в конкретных ситуациях. Среди них отметим в первую очередь построение непостоянной внутренней функции в единичном шаре пространства С Ы Задача о существовании нетривиальных внутренних функций в шаре связана со многими вопросами теории функций в шаре и привлекала довольно большое внимание специалистов по теории функций нескольких комплексных переменных, см. ^ Существовала даже гипотеза, что любая внутренняя функция в шаре пространства С с«/ >г) постоянна. Доказательство существования непостоянной внутренней функции было получено автором [б] с использованием 1-тех-ники

Затем независимо и почти одновременно появился один результат М.Хакима - Н.Сибони [34] , решающий задачу о внутренних функциях в шаре ис точностью до £" . Конструкция Хакима и Сибони была очень быстро модифицирована Э.Ловом [54^ , который нашел еще один способ построения непостоянной внутренней функции в шаре. История этого вопроса изложена также в статье У.Рудина [?з] .

В диссертации получен еще один третий способ построения

- ?

I 2 нетривиальной внутренней функции в шаре, использующим технику и основанный на красивом результате М.Рыля - П.Вой-тащика [74] .

Наряду с задачей о внутренних функциях долгое время оставался открытым также следующий вопрос,см. [?я] . Существует ли непостоянную голоморфная функция £ вшареВ., непрерывная вплоть до границы 5* = ЭВ и такая, что

Здесь Ия обозначает нормированную меру Лебега на сфере & Положительный ответ на этот вопрос был получен автором [?] . Методы первой главы дают, в частности, единый подход к этим двум задачам.

В третьей главе, где получены векторные варианты некоторых результатов первой главы, показано, как метод Хакима-Сибо-ни-Лова (построения внутренней функции в шаре) может работать в значительно более общей ситуации.

Остановимся теперь более подробно на каждом из шести вышеупомянутых вопросов. Всюду во введении £2- будет обозначать (декартово) произведение конечного числа классических областей. Пусть ^52. обозначает остов области

52. , т.е. границу Шилова алгебры всех голоморфных в функций, непрерывных вплоть до границы. На ^а существует единственная вероятностная борелевская^ мера иа , инвариантная относительно всех линейных преобразований пространства сохраняющих область 52. х/ В данном случае такая мера автоматически регулярна. В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные борелев-ские меры.

1. В случае функций, голоморфных в единичном круге,внеш-не-внутренняя факторизация функций класса /Ч1д дает окончательный ответ на первый вопрос (во всяком случае в классе В.И.Смирнова /\/д )• Пусть (р - измеримая неотрицательная функция на единичной окружности Т, ф ф. О (г^суЖ.О) Тогда существование функции { £ ДД такой, что Ц \ — почти всюду на 1Г равносильно условию Если &>йСр 6 ьчт) , то можно даже описать все функции £ € [\/д такие, что 14-1 — Ф почти всюду наТТ Для этого нужно рассмотреть внешнюю функцию такую, что = Ф почти всюду на Т . Тогда

141 п.в= где Л обозначает множество всех внутренних функций.

В многомерной ситуации (даже в наиболее изученных случаях шара и полидиска) задача об описании всех функций с заданным модулем граничных значений очень далека от своего решения. По-видимому, как и в одномерном случае, эту задачу естественно ставить для класса В.И.Смирнова который можно определить как пополнение пространства Д (52.) с метрикой

52.

В случае, когда - единичный круг Ю комплексной плоскости С, Ыь(52\-=- N д .В многомерном случае неизвестно необходимое и достаточное условие для разрешимости уравнения = почти всюду на в классе Д/¿(52). Во всяком случае необходимое условие Ф £ L очень далеко от того, чтобы быть достаточным. Отметим, что даже условие

I ОО

6L не является достаточным в многомерном случае. У.Рудин [70] доказал, что в случае полидиска от функции Ц> (для которой ^ /— ) достаточно потребовать полунепрерывное ть снизу и положительность. В диссертации аналогичный результат3^ получен для области -52. .

Теорема 1. Пусть - положительная полунепрерывная снизу ограниченная функция на замыкании области 52, Тогда найдется голоморфная в 52 функция % такая, что

Iii Ф почти всюду на с^52 и 141 ^ ^ всюду в Из этой теоремы моментально вытекает существование непостоянных внутренних функций в шаре пространства С

Отметим также, что в теореме 1 можно еще потребовать дополнительно, чтобы функция 4 имела редкий (в некотором смысле) спектр. Возможно, это представляет интерес даже в одномерном случае. Здесь мы ограничимся формулировкой соответствующего одномерного результата.

Теорема 2. Пусть Т <= IN . Предположим, что для любого натурального числа YI найдется число kelN такое, - „ Л пм пг m ,ограниченной, что lk, к+nj П IIV ^ II . Тогда для любой положительнойУполунепрерывной снизу функции , заданной uaUotD , найдется функция и И" такая, что = ^а»^(г€ D) 1<П — Ф почти всюду на 1Г и Щ ^ (ftliT всюду в D .

Голоморфную функцию одной переменной локально можно расх^ Чтобы не осложнять формулировок, мы здесь не приводим все результаты в максимальной общности. сматривать как градиент ( вещественной ) гармонической функции. Поэтому иногда функции <£ •' & —* К ( С- ^ И^ ) } локально представимые как градиент гармонической функции, рассматривают как одно из возможных многомерных обобщений голоморфных функций одной комплексной переменной. Для таких "голоморфных" функций также имеет место аналог теоремы I.

Теорема 3. Пусть ф - положительная полунепрерывная снизу ограниченная функция на замыкании С&н в открытого единичного шара & пространства ^ . Тогда найдется вещественная гармоническая в В функция И такая, что всюду в 6 и почти . с; всаду на единичнои сфере

Приведем еще несколько результатов диссертации о модуле граничных значений голоморфных функций. 2

Теорема 4. В условиях теоремы I найдется функция ^ ^Н такая, что ^ Ч всаду в и I ^¡—У* почти всвду на

С каждой функцией 4 ^Н свяжем множество оО(-{) всех ее точек разрыва на Точнее, Ш) есть множество всех точек таких, что функция <£ не имеет непрерывного продолжения до функции, заданной на V I £} .

Теорема 5. Пусть Ч* - положительная непрерывная функция на Яд 52. , £ - положительное число. Тогда найдется Функция такая, что почти всвду на Зд 52 И Пъ(с£о4 $К4)) = 0 .

Эта теорема для случая шара была доказана М.Хакимом и Н.Си-бош([з4] ) . Те орет 5 имеет естественный аналог и для градиентов гармонических функций.

2. Теорема Шура. Пусть

Я е Н ,(•£/< I всюду в кру

-lire £D . Тогда найдется последовательность коыеч i ных произведений Бляшке такая, что йтВ^ — всюду в D

VI —» СЮ другими словами, замыкание множества всех конечных произведений Бляшке в слабой топологии 6(1?,и) пространства совпадает с множеством ^ ^^^ ^ в г > о еэ

В диссертации получен следующий многомерный вариант этой теоремы.

Теорема 6. Пусть ср - положительная полунепрерывная снизу ограниченная функция на . Тогда замыкание множества ^ИТЛ) : 1-£1 = <р п. в. на в топологии б совпадает с множеством €Н ^ ср п.в. на 3^52.}.

Для пслидиска (по крайней мере для = {) этот результат хорошо известен. Теорема 6 для { показывает, что внутренних функций в области -5*2. достаточно много.

Отметим, что в одномерной ситуации случай произвольной функции сводится к случаю ^ ~ { "умножением" теоремы Шура на внешнюю функцию Р такую, что — почти всюду на Т . В многомерной же ситуации случай произвольной (хотя бы даже и непрерывной) функции <р не сводится ( во всяком случае так просто ) к случаю ^ — £ .

3. Теорема Пика-Неванлинны. Пусть <Р € , всюду в £ - множество неединственности для Н (т.е. —< °о . Предположим еще, что найдется функция ^ , » такая, что I<£1+1 1 всюду в Р.

Тогда существует внутренняя функция I такая, что Не =

Здесь мы привели не самый сильный вариант теоремы Иика-Не-ванлинны. Например, условие существования функции ^ можно существенно ослабить. Отметим, что равенство //¿= = <Р//г равносильно условию (1-4) в . где о - произведение Бляшке, — i—i a - z . -2L

5(Н)-П 1-cLZ I oí-I

В теореме. Пика-Невашшнны можно вместо равенства -Г/е = &/е написать где О - наперед заданная внутренняя функция (не обязательно произведение Бляшке). Обозначим через

A (si) множество всех функции непрерывных почти всюду на ЭЛ52 . т.е. таких, чтоШ ты Теорема 7. Пусть Ср - положительная полунепрерывная снизу функция на что найдётся функция ^ £ А(52-), fy ф 0 такая, что всюду в Тогда существует функция

F€ (-1 такая, что

IF/ = с€ почти всюду на Э^ ж функция F - 4 делится на функцию

Отметим, что теорема 7 при S2. = DJ i существенно слабее теоремы Пика-Неванлинны. Дело в том, что дословный многомерный аналог приведённого выше варианта теоремы Пика-Неванлинны не имеет места.

Здесь, как и выше, в многомерном случае( в отличии от одномерного ) , случай произвольной функции (f не сводится ( очевидным обрааом ) к случаю ф = { .

4. Теорема Д.В.Меньшова. Для любой измеримой функции ^ на единичной окружности Т и для любого положительного числа найдётся функция 4 с равномерно сходящимся рядом Фурье такая, что гиЛ ** Т: <{£*)

Шз результатов С.В.Кислякова £45] вытекает, что аналогичный результат остаётся в силе, если вместо равномерной сходамости ряда Фурье функции 4- потребовать, чтобы € Сд где Сд - диск-алгебра. В диссертации получены многомерные варианты этого результата С.В.Кислякова.

Теорема 8. Пусть <( - положительная полунепрерывная снизу функция на £ - положительное число. Тогда найдется функция ь Л (Л) такая, что ^ ^ всюду в

Следствие. Для любого числа £ > О найдется непостоянная функция такая, что всюду в и 14(Ю1 <£.

Это следствие (когда -5~2. - шар) решает известную задачу о функциях класса А (52-) .

Теорема 9. В условиях теоремы 8 найдется функция ит) такая, что Ч> всюду в

Теорема 10. В условиях теоремы 8 найдется функция такая, что ср ВСЮду и *(*)} <

5. Пусть С - компактная абелева группа, Г~ - двойственная к & группа. Подмножество т группы Г называется поправочным, если для любой функции найдется сингулярная мера у** такая, что всюду на Р ч ~Р * где У обозначает преобразование Шурьё. Аналогично понятие поправочного множества можно ввести и для локально компактных абелевых групп. Это понятие было вввдено У.Рудиным в [68] и £69] . Он же показал, что поправочное множество может быть очень редким.

Обозначим через ЯМ (дАУ1) замыкание в пространстве со слабой топологией М (ЭДЛ) , С (ЭлС&)) множества

КеА .

Теорема II. Пусть ^ - положительная полунепрерывная снизу суммируемая функций на . Тогда найдётся положительная сингулярная борелевская мера ^/х ш такая, что ср. пг —ух

Следствие. Для любой функции в I— С найдётся сингулярная борелевская мера на Э^ такая, что

Отметим., что для полидиска теорема II была доказана У.рудщ-ным. В этом случае следствие теоремы II можно трактовать следующим образом. Множество Т= { * С- Zoí: ^ >0 ^ } является поправочным. Здесь 2 мы рассматриваем как группу, двойственную к группе Т .

Баш подход позволяет также получить все результаты У. Т^-ддна , [бэ] о поправочных множествах для компактных абелевых групп.

Теорема 12. Пусть (р - положительная непрерывная функция на А 52. » £ - положительное: число. Тогда найдутся компакт

К ^ .непрерывная на Эл 52 ^ К функция V7 и положительная мера \) из М (^4Л) такие, что ^ (К) = О 9 \) с. К , ^ - £ Н7 ф всюду на

3452 N К , у. /и - \) 6 ЯМ(^А^) И =

Обозначим через замыкание множества

ЯеЛ в пространстве

Теорема 13. Для любого положительногочисла £ найдётся компактное множество

Кг ^ Э такое, что /н и для любо! вещественной функции ^ £ [^(Кд) найдётся функция К I— такая, что = £ почти всюду на Кг .

6. Классическая теорема М.Рисса утверждает, что оператор гармонического сопряжения действует непрерывно в пространстве L,>('r~fl~,) + . Этот результат можно еще сформулировать и так:

ЯеНР = /Р (Т) (к? <+*>) или н1, а <р <+<*>)

Известная теорема Д.Бойда [15] описывает все симметричные пространства1 X измеримых на ПГ функций, в которых непрерывно действует оператор гармонического сопряжения. Обозначим через Хд множество всех функций X , представимых в виде = почти всюду, где ^ € Сд и ё X . Ясно, что = НР • Теорема

Бойда утверждает, что где о^х, о[?>х " низкний и верхний индексы Бойда симметричного пространства X . Пусть

- пространство измеримых функций на окружности ПГ ♦ Будем говорить, что X - квазинормированное у ^выполнены,, симметричное пространство, если для Х^все аксиомы симметричного пространства кроме, возможно, неравенства треугольника, а вместо него выполняется более слабая аксиома: Их+^Н ^ +

- 16

Например, пространство при Р < 1 является квазинормированным симметричным пространством, но не является (нормированным) симметричным пространством. Доказательство теоремы Бойда показывает, что она остается в силе для всех квазинормированных симметричных пространств X ,

Теорема 14. Пусть

Г Оа ¿2) причем

ГГ, С 6 1~(Эа52) • Тогда для всех Р е ( 0 5 4) •

Отметим, что в многомерном случае равенство при невозможно, поскольку функция 2i 22 ортогональна как пространству Нр№-) , так и пространству .

С областью и с квазинормированным симметричным пространством X — X (^А 52) можно связать пространство Х/\(л) голоморфных в 52 функций так же, как это было сделано в слу: чае - В .

Теорема 15. Пусть X = квазинормированное симметричное пространство, X Ф 11 . Тогда равенство равносильно условию оС^ > { . Теорема 16. Пусть

- квазинормированное симметричное пространство, оСх > . Тогда

X ( ^д 52) =1!' Хд№) + ' Хд№) , где и обозначают то же, что и в теореме 14. Легко проверить, что квазинормированное симметричное пространство X-= Х (^А^) содержит все функции вида ^гАе I ~ внутренняя функция, Г=£ 1), если только о¿у > . Ясно, что в этом случае > е ^

Теорема 1?.Пусть Х= Х^дЯ)- сепарабельное квазинормиро-ванное симметричное пространство, > I . Тогда замыкание (в X ) линейной оболочки семейства функций > гДе

I - внутренняя в 52. функция, I ^ ( , совпадает с ХдэдП п

Кроме того, с каждым квазибанаховым пространством 9? можно связать ^-значные аналоги пространств Х(ЭаЯ)9)(а(Я)9 —Хасл).

В диссертации имеется также значный аналог теоремы *7 и доказано, что

X (Ъ 52, =ХЛСЛ) (Ю + Хдда если только > £ . Отметим, что почти все из вышеупомянутых результатов имеют естественные аналоги для областей Зиге-ля (I и Л рода) и для строго псевдовыпуклых областей с границей класса С • Кроме того, некоторые из этих результатов имеют место и для градиентов гармонических функций, см.теорему 3 в качестве примера.

Переходим теперь к описанию абстрактного подхода, развитого в первой главе. Пусть А - замкнутое подпространство (не обязательно подалгебра) алгебры С (К), где К - компактное хаусдорфово топологическое пространство. Пусть ^и - положительная борелевская мера на К • Тогда можно'определить пространство Нд 0й-) как множество всех функций ¿/(О^) таких, что Я — -4к /л. -почти: всюду для некоторой последовательп -> ОО <У I С/ \ ности функций ^ из /л такой, что ^^

Аналогично с каждым квазинормированным симметричным пространством )( можно связать пространство Х/\(УА-) • Кроме того, в этой абстрактной ситуации можно естественным образом, определить пространства ям*о; ж Сформулируем несколько сокращённый вариант теоре,мы 1.1.1.

Предложение. Пусть А - подпространство алгебры С(К) ;^ -положительная борелевская мера на К . Тогда следующие, утверждения равносильны:

I.) существует положительное число 6 > О такое, что для любой положительной функции ^ 6 С( К) с

2) существует положительное число Т > О такое, что для любой положительной функции 6 С (К)

4*А/141<ч>} >т!к<е^}

3) для любой положительной функции С(К) найдется последовательность функций {-^к.} из А такая, что 14*1 < У всвду (п>1) И Счп I 4 к I ~ У А-почти всюду.

К оо

Троицу мы называем правильной, если для нее выполнены равносильные утверждения этого предложения. Все сформулированные вше результаты о (функциях, голоморфных в области » основаны (главным образом } на том, что тройка (А(51)} с1сл J г*-) является правильной. Зтот факт мы устанавливаем во второй главе. Белее того, во второй главе доказано, что тройка (/А(51), сЛ*52)7и.) - правильна для любой положительной борелевской меры ух. , сосредоточенной на . Аналогичное утверждение имеет место и для областей Зигеля X и Я рода. Кроме того, во второй главе изложены некоторые результаты для круговых областей, полученные при помощи "интегрирования" соответствующих одномерных результатов. Сначала мы получаем таким образом описание пространства всех, голоморфных в 52 функций 4 , для которых р | 1Яг4(1$)1с1ггъ(Ю < + оо о <*<1 ЪаЯ

Теорема 18. Пусть - голоморфная в 52. функция. Тогда том и только в том случае, когда + ОО и 11(эА&), при этом

Следствие. Пусть г - голоморфная в функция. Предположим, что £ п , 4 о п.в. нэ'ЭаЛи (1-р)Ш1нр^0 . Тогда Ссж^.

Р^ 1

В качестве приложения теоремы 18 мы получаем теорему о делении на внутренние функции для пространства Случай Ю соответствует теореме С.А.Виноградова

89] о делении интегралов Коши мер на внутренние функции.

Положим = нЧ-^Л/ЛТг^), где [о - пространство всех измеримых функций на Л таких, что , , ±\ , \ дЛ: >Ь} = )

Интегрируя" соответствующий одномерный результат, мы получаем, что любая функция из пространства Но (^восстанавливается по своим граничным значениям интегралом Коши и инвариантным интегралом Пуассона, если соответствующие интегралы понимать как ¿/1" -интегралы.

Даже в случае -52. = Ю мы получаем усиление некоторых результатов П.Л.Ульянова об ^-интеграле.

В третьей главе речь идет о векторном варианте первой главы. В этой главе метод Хакима-Сибони-Лова ( построения внутренней функции в шаре ) получил дальнейшее развитие. Во-первых, мы показываем, что он работает для так называемых пространств однородного типа, а во-вторых, - для вектор-функций. Кроме того, в этой главе используются векторные обобщения некоторых результатов первой главы. Основное приложение результатов третьей главы относится к пространствам градиентов гармонических функции. Например, теорема 3 основана на результатах этой главы. Отметим, что подход, развитый в третьей главе, дает также и новые скалярные результаты. А именно, опираясь на результаты этой главы, мы доказываем, что для любой ограниченной строго псевдовыпуклой области С- с границей класса С * тройка (Ж&), с^оЛ является правильной, какой бы ни была положительная борелевская мера ^ , сосредоточенная на ^ £ .В случае, когда уд. есть "поверхностная" мера на 3 С- , правильность тройки (А СО.сМСг,/) вытекает также из результатов Э.Лова£5бД .

Переходим к описанию результатов четвертой главы. Классическая теорема Бзрлинга описывает инвариантные подпространства операторов сдвига 2 (($4)(г) = в пространстве Н*

По двойственности отсюда получается описание инвариантных подпространств оператора обратного сдвига *4) — ^ в пространстве Н"2, . Мы описываем аксиоматически класс пространств X (соотв. У ) аналитических в круге функ ций,в которых инвариантные подпространства оператора Ь (соотв. £> ) устроены так же, как и в И . Аксиоматический подход этой главы, придуманный для "чисто локально выпуклых нужд", заставляет нас рассматривать пространства И с Р<1. В частности, в этой главе доказана и используется одна теорема о стирании граничных особенностей голоморфных функций, которую можно рассматривать как локальный вариант следствия теоремы 18 для случая 52 = О .

Методы этой главы позволили получить новые результаты, например, описать инвариантные подпространства операторов

5*: НН1 , в/: Сд - СА , Б Ч Щ , б : - 1/„ , где 1/А - пространство всех степенных родов, равномерно сходящихся вединичном круге. Оказалось, что инвариантные подпространства первых трех операторов устроены так же, как у оператора - И2 , а инвариантные подпространства оператора £ : 1?А аналогичны инвариантным подпространствам оператора 3 : Сд —* С/\ . Напомним, что инвариантные подпространства оператора 5 Сд —* С Л (другими словами, идеалы алгебры Сд) были описаны У.Рудиным, см. [37], Наши методы позволяют получить также новое доказательство теоремы У.Рудина. Отметим, что все результаты о пространстве 1/д существенно опираются на один результат С.А.Виноградова [90] , о котором речь уже шла выше.

Во многих конкретных случаях методы, развитые в четвертой главе, позволяю® дать исчерпывающий ответ на вопрос о том, являются ли инвариантные подпространства оператора

Б -Х-Х ( соотв. 5; У ~* У) правильными (т.е. устроенными так же, как и для пространства Н ) или нет. Пусть, например , 0 . . 9 и , а-Г»)12 2 п*< + оо} с

Тогда, инвариантные подпространства оператора ^ ; " ~~^ оС правильны в том и только, в том случае, когда с/ ^ 2 . Наряду с локально выпуклыми результатами в этой главе есть и нелокально выпуклые, например, полное описание, инвариантных подпространств оператора Б *: Н'о'"-* И 'о ~ , где Н<'°°П ^(Т) и или, другими словами, п 0 - замыкание множества всех полиномов в пространстве Н

В пятой главе изучается поведение частичных сумм ряда. Фурье непрерывных функций. С каждой функцией и(т) свяжем! частичную сумму &п(4) её ряда Фурье в точке I, т.е. т

Мы описываем последовательности { £> , где ^ 6 Н соотв. 4 € Сд) . Тёорема 19.

К - О

Можно доказать, что не существует линейного непрерывного оператора, восстанавливающего по последовательности функцию

Следствие I. , . п , оо/пт-Л)

В этом же сверхлакунарном случае можно построить линейный непрерывный оператор, восстанавливающий функцию по последовательности { \ •

Как уже отмечалось, мы, как правило, не приводим самых общих формулировок. В частности, теоремы 19 и 20 имеют естественные аналоги и в том случае, если в их формулировках множество 11 ' > 0 } заменить произвольным лакунарным по Адамару множеством.

Переходим теперь к главе 0, которая носжт вспомогательный характер и предназначена в основном для замкнутости изложения .

- 24

Глава 0. ВСПОШГАТЕЛЪНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. § 0. Список обозначений. Символы (Я С, 2 . 1Я. С имеют стандартный смысл; у ) у ' ^

IV = { и. е ^ -• * >о>; ; ) - скалярное произведение в К ^

К. , У - скалярное произведение в С ;

В = 6"'= <2<2>

3 = {геС*-' <г,з>=1}

И(^) - группа всех унитарных операторов в пространстве (С , СЕ'Х-ь'^1; — ' ^и] кольцо всех мно!'очленов от переменных 'Х-1, х^ над полем (С

Б а.

Т= V; О =6';

Сд - диск-алгебра; И Р - класс Харди; Ыа ~ -класс В.И.Смирнова,'

- характеристическая пункция множества Ь ; пространство всех ^ -измеримых пункций (п^оЛ.О); о «Г < + <*>);

I—пространство всех уи-измеримых ограниченных функций ( ки>с1. О) •

С0 - пространство всех стремящихся к нулю последовательностей; й V A У Г

- пространство всех ограниченных последовательностей;

Хк)а? - прямая сумма (по типу t ) банаховых про-к»0 v странств Лк , т.е. рт

4 К¿о 't L ? 7 fZ>XK)c ={«ПХк:

Хи{<*>}- одноточечная компактификация локально компактного пространства X ; С (Ю - пространство всех непрерывных функций на компакте К ; МГК)- пространство всех регулярных борелевских мер на компакте К ; А - замыкание множества A i ùiÎA внутренность множества А) §<x.ê обозначает § & главы а ;

Теорема я. с обозначает теорему с главы л , причем здесь в тоже обозначает номер параграфа.

Последние два обозначения используются только при ссылке на другую главу. Символ • обозначает конец доказательства.

§ 1. Симметричные пространства. Основные определения.

Пусть X " векторное пространство над полем «К . Мы всегда предполагаем, что либо К = С я либо IR

Функционал II Ц • X —> называется квазинормой, если он обладает следующими свойствами: I) ¡¡ос(/ = 0=)х -О,

IL) //огос//=/об1«(Ы( (oie К, хеХ),

- 26

1И) существует положительное число С такое, что || ОС 4- Р ^ С (11*4+11$").

Пространство X » наделенное квазинормой II II , называется квазинормированным пространством. Набор окрестностей нуля •(ос£ X ' /|ос1К£^>Ч)Ьпределяет хаусдорфову локально ограниченную топологию на X • Обратно, в любом локально ограниченном хаус-дорфовом топологическом векторном пространстве (X , т) можно ввести квазинорму, порождающую топологию Т . Локально ограниченное хаусдорфово топологическое векторное пространство будем называть квазинормируемым.

Квазинорма и II называется р -нормой (О если . Пространство Л с такой квазинормой II II называется Р -нормированным. Квазинормируе-мое пространство X называется р -выпуклым, если в нем можно ввести р -норму, порождающую исходную топологию. Известная теорема Аоки-Ролевича (см. Цб7] ) утверждает, что любое квазинормируемое пространство является р -выпуклым при некотором

Р € С О, 1] .

Полное квазинормированное С соотв. р-нормированное,) пространство называется квазибанаховым (соотв. р-банаховым).

Если А - линейный оператор в квазибанаховом пространстве X с квазинормой II Их , то символом /М Их мы обозначаем квазинорму оператора А , т.е.

Эти обозначения не должны приводить к недоразумению, поскольку в каждом конкретном случае ясно, что именно имеется в виду квазинорма вектора пространства X или квазинорма оператора, действующего в пространстве X Ясно, что условие |1А|1х<+0° равносильно непрерывности оператора А

Пусть X - ненулевое полное топологическое векторное пространство, содержащееся в пространстве всех измеримых функций о) На вероятностном пространстве

Предположим, что топология в X определяется инвариантной метрикой . Пространство X (точнее, (Х,р) ) будем называть метрическим симметричным пространством, если 1) сходимость в X влечет сходимость по мере, т.е. непрерывное вложение ; ■2)если ^^Х, * причем функции и ^ равноизмеримы, то з^Х И 4) ;

Иногда, желая указать, какое именно вероятностное пространство имеется в виду, мы будем писать X £П,^и) вместо

X . Мы всегда будем предполагать, что мера не имеет атомов. Если ("Т/Л',^^ - другое вероятностное пространство, то мы можем рассмотреть метрическое симметричное пространство ХСТ^К-;^') ^ состоящее из всех функций 4- £ 1— для которых найдется функция £ X , равноизмеримая с функцией Л ( '(о■£) . Имея это в виду, мы часто будем отождествлять метрические симметричные пространства на разных вероятностных пространствах.

Ненулевое квазибанахово пространство X будем называть квазинормированным симметричным пространством, если свойства 1), £), 3) выполняются для квазинормы II Ну (вместо метрики $(0)-) ). Если квазинорма II Ц^ является р- нормой, то пространство X будем называть р- нормированным симметричным пространством. В любом квазинормированном симметричном пространстве можно ввести инвариантную метрику ( определяющую ту же самую топологию ) , превратив его в метрическое симметричное пространство. В самом деле, в силу цитированной вше теоремы Аоки-Ролевича можно с самого начала считать, что наше пространство является р-банаховым при некотором рбС<э, 4] , а тогда можно ПОЛОЖИТЬ — .

Ясно, что любое метрическое симметричное пространство X со

I 00 держит и. . Легко доказать, что любое р-нормированное симметрич

I ? ное пространство содержится в слабом [ -пространстве 1— ./.При этот Г>°° , X результат точный, поскольку пространство I— ^-выпукло приРЩу (см, [42] и [20]) . В случае р-нормированное симметричное пространство называется симметричным пространством. Етот случай изучен значительно подробнее (см. £50]). Любое симметричное пространство содержится в пространстве [} (см.»например, С б0$

С каждым квазинормированным симметричным пространством X и числом Ь 6СО, + Оо) свяжем пространство •'

Яг * II Ясно, что X - квазинормированное симметричное пространство. С каждым квазинормированным пространством X можно связать два числами верхний и нижний индексы Еовда Для этого рассмотрим оператор

0 ^ ^Го^ЗпСО, 1]

Легко видеть, что бЛШи) <=)([о,д для всех > V и всех метрических симметричных пространств X . Положим

- 29 е^ = ^ир

Т-.0+ т о < т< 1 ^ г м ц е-^я

А г-^+оо ^ г с > 1

Легко видеть, что 0¿х > ^ (соотв. ^х ) в том и только в том случае, когда Нб-ьИ = о (¿) при "¿->0+ (соотв.

16*11=: О и) при ± + Ясно, что О^оСх для любого р- нормированного симметричного пространства X . Индексы Бойда не изменятся, если в пространстве X квазинорму заменить на эквивалентную. Нетрудно проверить, что при всех 2 > 0 справедливы включения:

Пусть - измеримая функция на вероятностном пространстве. Символом мы будем обозначать непрерывную слева убывающую функцию, заданную на промежутке (О? ¿] и такую, что функции и |<£ I - равноизмеримы.

Мы рассматриваем симметричные пространства только для вероятностных мер, хотя их можно рассматривать и на пространствах с произвольной мерой. Все результаты и определения этой главы с естественными изменениями могут относиться и к случаю пространств с бесконечной мерой.

§ 2. Симметричные пространства и аналитические функции.

Пусть М Г [о5 11 —^ 1& ? 1] - максимальный оператор

Харди-Литлвуда: ь+к мы считаем, что функция^ продолжена на вещественную прямую/К до периодической функции, т.е. почти всюду на 1Я ).

Рассмотрим оператор перехода к сопряженной функции

Н: 1ЧТ) ,

V т

Пусть Д - квазинормированное симметричное пространство,

Х-и.

Теорема 2.1. Оператор Л1 действует в пространстве X в том и только в том случае, когда <■ 1 .

Теорема 2.2. Оператор Н действует в пространстве X в том и только в том случае, когда

Для симметричных пространств X эти теоремы хорошо известны (см., например, [50^ ). Теорема 2.2. для симметричных пространств X была доказана Бондом . Доказательства теорем 2.1 и 2.2 для этого локально выпуклого случая (изложенное в £50] ) с незначительными изменениями проходит и для кваэинормированных симметричных пространств X * ®ш доказательства неоднократно используют лемму 2.4.7, [50] , которая, вообще говоря, не имеет места в нелокально выпуклом случае. Чтобы получить теоремы 2.1 и 2.2 в полном объеме, вместо леммы 2.4.? СбОГ] мы используем следующее утверждение.

Лемма 2.3. Пусть X - квазинормированное симметричное пространство ; О < оС < с<^х ^ 3* < 3 • Тогда для всех ОС в X .

Доказательство. Можно считать, что X - р- банахово пространство при некотором Р Со, 11 . ¡/Шеей: 0

О ^ 4 Л (<5г ъ*) • Г*"1 л 1

Теперь ясно, что р .р р р н ^ ^ -XV к;«г•г

II

С каждой суммируемой функцией можно связать функцию

С- О

Рассмотрим еще два максимальных оператора

М+ и , М-: № 1°[Ь31], о -ь

Здесь, как и в определении оператора 7 мы считаем, что функция продолжена на всю вещественную прямую до переодической функции ( <£(Ъс {) ~ ^-С'Х)).

- зя

Чтобы получить доказательство теоремы 2.1, нам понадобится следующая

Лемма 2.4. Пусть 4 £ I— 1] . Тогда

МЧ>А} для всех положительных чисел л .

Доказательство легко получается с помощью хорошо известной леммы Ф.Рисса о восходящем солнце (см., например, [65] , стр.16).•

Аналогичное утверждение имеет место и для оператора М

Набросок доказательства теоремы 2.1.

Шаг 1. Из леммы 2.4 и очевидного неравенства вытекает, что (М4-) ^ 4 .

Шаг 2.

Таким образом, включение равносильно включению € X для любого метрического симметричного пространства X. Шаг з.

Отсюда и из леммы 2.3 вытекает достаточность.

Шаг 4. 4 ^ '¿оу'г ^ ПРИ БСех Т > * •

Теперь видно, что если М X X , то \\<отИх откуда йх < 1 . •

Для доказательства теоремы 2.2 нам понадобится следующая.

Лемма 2.5. Пусть I < Р0 < Р4 < -+• с>о . Предположим, что А - непрерывный оператор в пространстве , причем

Тогда для любого квазинормированно-го симметричного пространства X такого, что-4-< ^х^й*^ р. •

- 33

Набросок доказательства. Стандартные оценки показывают: о -Ь сгр.^.М-Г®'*^"* - (^¿ъ-ЬХ

1 0

Осталось заметить, что правая часть входит в пространство X в силу леммы 2.3. •

Набросок доказательства теоремы 2.2. Достаточность вытекает из леммы 2.5 и из классической теоремы М.Рисса (см.¿например, ). Переходим к доказательству необходимости. Шаг 1. Если ИХ с. X , то Н0Х ^ X , где

Шаг 2.- 1 Г2(ЩУ Но ОС , о < т < 1 ^ I 2 -¿^ н.х* , t>i

Теперь ясно, что 0 < с/у ^ < 1 ,как только

С каждым квазинормированным симметричным пространством X свяжем пространство Х/рХд(Ъ) всех функций 4- £ Ыд таких, что 4 € Х(Т) • В работе Й.Б.Брыскина и А.А.Седаева []1б]] с каждым симметричным пространством X связано пространство аналитических функций Н ( X) . Отметим, что только если X - максимальное симметричное пространство см Кроме того, равенство (^Жх^ ^(Хг)^ влечет

XI — Х^ » тогда как равенство Н (Х1) = ¡-{(Х^возможно и при

Обозначим через Г$- внутренность выпуклой оболочки точки ^ ^ и круга радиуса -|г с центром в О , с каждой пункцией Н , заданной в круге ¡0 , свяжем функцию дс н ■• т — К,

Теорема 2.6. Пусть X - квазинормированное симметричное пространство. Тогда

Хдс X и

Али«х * Сх Шх для всех

Доказательство. Ясно, что = всех Р^Ф*

Выберем число р так, чтобы < ^ . Тогда X с в силу теоремы 2.1. Легко видеть, что

С- МО

С(е,х)1 ММхр = с(г,Х) И//х. •

Из этой теоремы сразу вытекает следующая Теорема 2.7. Пусть Тогда е Хд в том и только в том случае, когда найдется последовательность ( аналитических) полиномов такая, что

-п а) Ш е X (Т) б) 4 почти всюду на Т . П

Доказательство. Проверим сначала достаточность. Возьч/ Р мем такое положительное число Р , что X . ТогдЯиз а) и б) вытекает, что

• Осталось заметить, что ^ «^ар | > откуда £ X 0^) . Переходим к дос •> каэательству необходимости. Пусть ■{ ~ строго возрастающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к 1. В качестве возьмем такой полином, что при всех . Ясно, что 4 ь — т- по чти всюду на т . Осталось заметить, что 14.1^ У Ст) в силу теоремы 2.6. •

Определим оператор Я » [ о ~~* I— ^ ;

-*,$ = нг ■

Рассмотрим еще нелинейный оператор

Ос

В дальнейшем нам понадобится следующая.

Лемма 2.8. Пусть X ~ метрическое симметричное пространство , им . Тогда

Ы еХ в том и только в том случае, когда £ X .

Эта лемма является очевидным следствием следующего утверждения.

Лемма 2.9. Для любой функции 4eL. llо, и справедливы неравенства:

- 36

V-f )* ^ <¿4 V4.

Доказательство. Проверим сначала первое неравенство. Пусть Нам нужно доказать, что

О . Ясно, что mi{lR4\>A}= -i- [14\ + ^{\4\>А} (i)

UIS-A

Рассмотрим два случая. i) 4С*»)

Тогда i. lR4]>A} A Ï. ККЛ a в силу (д) . 2) 4(Ъо) >А

Тогда

Х0

X л

R<f) . Пусть oc.e(o,il

Докажем теперь, что Положим 1

Нам нужно доказать, что /тгг^ { I f^'i I > А} ^ ЭС0 ¡4ieeM: откуда ша{\4\ >А} (2)

- 37 -Рассмотрим два случая, и > л ■

Тогда

X [4%Ш >-?- >Т 1 . <3>

2 А ^ А Л ос,щ ч-1-п

Сложив неравенства (2) и (3), получим нужное нам неравенство. а) А.

Тогда X Ч [ > Т 5 141

Л к/ц откуда и доказательство заканчивается так же, как и в первом случае. 9

§ 3. Одно неравенство для гармонических в круге функций с приложениями.

Пусть (X - (комплексная) гармоническая функция в единичном круге /£> . Рассмотрим множество определение функции ¿/(Х и. см.в § 2), обозначим через Е0 множество всех 5 бТтаких, что существует конечный предел определение множества см.в § 2). Ясно, что Ес <=■ Е. Хорошо известно (см., например, Г8^ )> т= мЕ. Естественное продолжение функции бС иа множество Ю У Е0 будем обозначать той же буквой И . С каждым числом А > О свяжем замкнутое множество Рд ТГ: и открытое множество

52л = иг, Обозначим через 66д гармоническое продолжение в круг [0 (интеграл Пуассона) функции ^ • Пусть ^С2} ') - гармоническая мера в точке 2 £ £) относительно круга О

Теорема 3.1. Дня всех /4 > О и всех гармонических в круге Ю функций [Л справедливо неравенство

I т(ъ) — 6-А - Т^) С* ¿^Д)

Прежде чем доказывать эту теорему, докажем две леммы.

Лемма 3.2. Пусть ¡~ - замкнутое подмножество окружности ТГ = 17 Гв . Тогда А 3 при всех £ с

Доказательство. Рассмотрим всевозможные криволинейные равнобедренные треугольники в , основания которых - дуги окружности Т , боковые стороны - отрезки, а углы при основании равны . Для каждой точки ^ ^ О ч( ¿"Р) найдется единственный такой треугольник с вершиной в точке ос. Обозначим через А ^ основание этого треугольника.

Легко видеть, что для всех а 6 Dn S2. •

Леша 3.3. Пусть - гармоническая в D функция всюду в S2. , IX ($) = 0 при почти всех X G F (множестваГ и S2. обозначают то же самое, что и в лемме 3.2). Тогда

3 TnF) при всех с

Доказательство. Рассмотрим функцию teirar),

Г |u.ítS)| , F = 1 з }*€Т»Р

Пусть - интеграл Пуассона функции . Из принципа максимума и леммы 3.2 вытекает, что |ЯГС*Н)| ^17* fe) при всех 2 £ 9 Устремив Í , получим lvcz)l ^ 3 со (z, TN F) для всех с eS¿ .0

Доказательство теоремы 3.1. Достаточно применить лемму 3.3 к функции (^ — ^а) и множеством , S2./\ • •

Теорема 3.4. Пусть - гармоническая функция в единичном круге Ю . Тогда а) функция Ы есть интеграл Пуассона меры в том и только в том случае, когда &mtn/£ Д -fn-fjX-U. >А} <-f и и. é L I и ; ; б) функция U. есть интеграл Пуассона суммируемой функции в том и только в том случае , когда

HunitU Ат{ми>л} = 0 „ ие 1'(Т); в) функция а есть интеграл Пуассона сингулярной меры в том и только в том случае, когда и и— О почти всюду на Т.

А + 00

Доказательство. В каждом из трех случаев в доказательстве нуждается только достаточность. Проверим сначала в). Имеем:

J | а olm М ^ £ Л ¡ш (* S>Т- Fa) М = 6/1 (I - * fö)) >

Т Т если Я-Т сг 52д я т.е. если число А - достаточно вежко

А > /4 Следовательно, j

U(*Ö|oUf*)$ С -tLm^Cnl A-m-ltMu>A}

4) т при всех *С€(о71) . Теперь ясно, что 66 - интеграл Пуассона меры, причем мера эта сингулярна, поскольку Ы—О почти всюду на ТГ . Утверждения а) и б) легко сводятся к случаю И — 0 почти всюду на ТГ • После этого достаточно воспользоваться неравенством (4). •

Следствие 3.5. Если ¿¿шсЛ^А-Уп {л и. >А}=0 и ос=0 пости всюду на II , то (Л— О всюду в Ю .

Доказательство. Следствие непосредственно вытекает из утвервдения б) теоремы, хотя неявно оно уже было получено в доказательстве теоремы 3.4. # Теорема 3.6. Пусть

ПИ" . Предположим, что п ?<•i о

Г^-Р) Ж33 ФУНКЧИЯ \ " вещественна почти всюду

- 4'i на T . Тогда <(- - постоянная функция. р

Доказательство. Из теоремы 2.6 вытекает, что р<±

Доказательство этой теоремы показывает, что IIM4II¿J при всех i) для некоторой константы С . Следовательно, (¿-P) HUi4 H/J ~ & , откуда

Р-» 1где . Теперь осталось заметить, что О (проще всего убедиться в этом, рассуждая от противного), и воспользоваться следствием 3.5. •

Другое доказательство этом теоремы можно найти b£i] , см.Предложение 1.5.1.

Предложение 3.7. Пусть U. - гармоническая в £) функция; А - положительное число, причем Тогда и.(о) - JVoUt| ^ 6Ауп{Л^>А} , л^А}

Доказательство. Если то доказывать нечего.

В противном случае нераввенство вытекает из теоремы 3.1, поскольку 0€S¿.A. •

Другие приложения теоремы 3.1 можно найти в статье , см. также вторую главу.

ГШ-яаЩ fei^íü*.'«/

1. Александров А.Б. Об А-интегрируемости граничных значений гармонических функций.- Матем.з аметки, 1961, т.30, № 1, 59-72.

2. Александров А.Б. Инвариантные подпространства операторов сдвига. Аксиоматический подход. Зап.научн.семин.ЛШй, 1981, т. ИЗ, 7-26.

3. Александров А.Б. Классы Харди ^ при и полувнутренние функции в шаре. Докл.АН СССР, 1982, т.262, 11; 5, 1033-1036.

4. Александров А.Б. Существование внутренних функций в шаре.- Матем.сборник, 1982, т.118, Ь 2, 147-163.

5. Александров А.Б. Внутренние функции на пространствах однородного типа. Зап.научн.семин.ЛШИ, 1983, т. 126, 7-14.

6. Александров А.Б. О граничных значениях голоморфных в шаре функций. Докл.АН СССР, 1983 т.271, 1Н, 777-779.

8. Александров А.Б. Свойство мажорщии для многомерных „-Стейкклассов ХардючВейса. Вестник ЛГУ, 1982, К 13 , 97-98.

9. Аренеон Е.Л. Доли Глисона и граница Шоке алгебры функций на выпуклом компакте.- Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.113, 202-207. .

10. Арутюнян Ф.Г. Представление функций кратными рядами. -Дркл'.АН Арм.ССР, 1977, т.64, № 2 , 72-76.- 254

11. Балашов I.A., Теляковский С.А. Некоторые свойства ла-кунарных рядов и интегрирование тригонометрических рядов. -Труды Мат. ин-та им. В.А.Стеклова, 1977, Т.43, 32 41.

14. ЬУхвалов A.B. Пространства Харди векторно-значныхФункций. Еап. научн. семин. ЛОМИ, 1976, т.65, 5 - 16.

17. Co^W L. ip JtJtljJLoJk., 1966,V 116 3 tíi-fL, i*5' 0 , /22. ^ Ы-П, ' 1-1, uz-l*1- 255

20. Фелпс Р. Леквди о теоремах Шоке "Мир", М., 1968.

21. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. Физматгиз. МЛ963.

22. Гамелин Т. Равномерные алгебры. "Мир", МЛ973.

23. Гиндикин С.Г. Анализ в однородных областях. Успехи матем. наук, 1964, т.19, № 4, 3 - 92. 0

24. НаЛи* Л^Вопу N. ГопЛСог, коЫ^с^Л воигЫи шгиИ ¿е с? In.v-e.nt.V. 61, 2,13-222.- 256

25. Хенкин Г.M., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфныхфункций нескольких комплексных переменных. В кн.: Современные проблемы математики, т.4, М.: ВИНИТИ, 1975, 13 - 142.

26. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. "Мир", M.I968.

28. Хуа Ло-Кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных. Физматгиз, M. 1961.

29. Иванов В.И., Юдин В.А. О тригонометрической системе вР1., 0<р< 1. Матем. заметки, i960, т.28, Ç59 - 868.4Х Каксск J.-P. , Kaimeiion У. Séniei <U Foa.'Ue.l tonctlo». PiéjuM^d-^ ■ Ai PcmH-Sud,TW XL. jU. Soc., Ж v.25

30. KcudoKoviidi L., Vu-kck B. S««. UdUi омпм^^опл &.œ,ai>u>i. Со/пДл). ¿93?, v. 5;U, ¡65.

31. Кисляков C.B. коэффициенты граничных значений функций, аналитических в круге и в бидиске. Труды Матем. ин - та им.- 257 В.А.Стеклова, 1981, т.155, 77 94.

32. Kibiicdtov- S.V. lih. ihj¿o>Leme de. cjbbsuLction ele. type. Jie^cUv.- C.R.Acad. Sex Рака, ¿983, i. ¿36, SS-42.

33. Kok¿.H4¿ Л. The. Pod-ion ud^a.? fût c¡ene.nattdKo/fíi&tne-i cLnd. ¿cunAeJ. ■iynwd*^ Лотсилц. Jn„, Jlatk., Í965, v. ¿2, 332 - 350.49 J. H ifixuv,

34. Меньшов Д.Е, 0 равномерной сходимости рядов Фурье.- 258 Матем. сборник, 1942, т.II, № 1-2, 67 96.

35. Наймарк М.А. Теория, представлений групп. "Наука", М.1976.

36. Никольский Н.К. Тауберова теорема о спектральном раддаусе. Сиб. матем. ж., 1977, т.18, 1& 6, 1367 - 1372.

37. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. "Наука",М.1980.

38. Оскслков К.Ж. Оценка приближения непрерьюной функции подпоследовательностью сумм Фурье. Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1975, т.134, 240 - 253.

39. Осколков К.И. Последовательности норм сумм фурье ограниченных функций. Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1977, т.143, 129 - 142.

40. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Гостехиздат, М.- Л. 1950.

41. Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. Физматгиз, М., 1961.

42. Рисс Ф. , Секесуальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. "Мир", М. 1979.

43. Робертеон А.,Робертеон В. Топологические векторные пространства. "Мир", М. 1967.67. Ъ.МЛ^с ^ахьгъ\га., 49 72.

44. КиЖп № ЛсиЦеоо^ж с4 Роауие.*.Р^ Ли«. ЛА

46. Ри^и^ №. Т/1С 1шгя -Ям-ск&п. ¡ииМцъ ¡.иЗап. научн. сешн. ЛОМИ, 1978, т. 81, 278 280.

47. RhoCLK U/. Funciion ^ ch. uni'd ш cn19 80.t ш. <4V. 2?6; Ni, Î07 HG.

48. Садуллаев A. О внутренних функциях в С.- Матем.заметки, 1976, т. 19, 1.1, 63-66.

49. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч.П, "Наука", М., 1976.

51. Яи^ J.H. SxJUfu^A с4 LÏ(G-) y^td Ц cJuxо < р < 1, -Ьа. I Matb., mS,v 29,24Z-2G4,Math., 1977 , V.572, 300-313.

52. Note, on Ни. ¿^¿лпу ъссАщ> U1.^kС 'Wxom. JW ^tott., ¿96 5,*82,35*-353.

53. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. "Мир", М., 1973.

54. Стейн И, Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, "Мир", М., 1974.

55. Ульянов П.Л. Применение А-интегрирования к одному классу тригонометрических рядов.- Матем.сборник, 1954, т.35,469.490.

56. Ульянов П.JI. Об А-интеграле Коши. 1. Успехи матем.наук, 1956, т.11, tè 5, 223-229.

57. Ульянов П.Л. А-интеграл и сопряженные функции. Уч.зап. МГУ, Математика, 1956, вып. 181, fc 8, 139-157.86. \Jiji S. И1 оЛStt«La Jlcitk. } Î97S, t.GÏ, ii-26.

58. Винберг Э.Б., Гиндикин С.Г., Пятецкий-Шапиро И.И. О классификации и канонической реализации комплексных однородных ограниченных областей. Труды Моск.матем.общ-ва, 1963, т. 12, 359-388.

59. Виноградов С.А. Интерполяционные теоремы Еанахово-Ру-дина-Карлесона и нормы операторов вложения для некоторых классов аналитических функций. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1970, т.19, 6-54.

60. Виноградов С.А. Свойство мультипликаторов интегралов типа Коши-Стилтысса и некоторые задачи факторизации аналитических функций. В кн.Матем.программирование и смежные вопросы (Труды Седьмой зимней школы, Дрогобыч, 1974), М., 1976, 5-39.

61. Виноградов С.А. Усиление теоремы Колмогорова о сопряженной функции и интерполяционные свойства равномерно сходящихся степенных рядов.- Труды Матем.ин-та им.В.А.Стеклова,1981, т. 155, 7-40.

62. Виноградов С.А. Свободная интерполяция в пространствах аналитических функций. Докторская диссертация. Ленинград,1982.

63. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задаче теории приближений. Успехи матем.наук, 1967, т.22, le 6, 141-199.-

64. WaUi "Г Tu/o cJLc^Jbvcu c4 ßowicUcL94. ^OHdt'JOL Лил. Jb*.V. ISO,

65. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1,2, "Мир", М.fi* W^, Л/.У.,