Осцилляция частных сумм и коэффициенты ряда Фурье интегрируемой функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ8 ОД

•' ? -'С?Г") РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

¡-¿1Ш СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 517.51

Родин Владимир Александрович ■

ОСЦИЛЛЯЦИЯ ЧАСТНЫХ СУШ/ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДА - ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежского политехнического института

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.Ш.Рубинштейн,

доктор физико-математических наук профеооор В.И.Коляда

доктор физико-математических наук,

. доцент С.В.Конягин

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАЙ-_

Зашита диссертации состоится " ¿¿¿г О у 1993 г. в -'О час. на заседании специализированного совета Д.002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО РАН (630090. Новосибирск, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики 00 РАН

Автореферат разослан

оЗ

1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета 'доктор фю.-иат. наук

№7

В.А.Шарафутдинов

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

.• Актуальность. 1°. Конструкция А.Н.Колмогорова показывает невозможность поточечного представления интегрируемой функции ее тригонометрическим рядом Фурье. С другой стороны, используя сильные средние последовательности частных сумм Харди и Литтлвуд для (г>1), а затем Марцинкевич и Зигмунд для Ле!^, количественно описали ситуацию, установив, что для любой ИЪ^ и почти веек х ряд Фурье почти сходится к £. Известно, что для Г€Ьг(г>1) представление сильными средними возможно в точках Лебега. И наиболее оильный ревультат для случая (г>1) до

пооледнего времени принадленал Карлеману, который уотановил Ф-сильную суммируемость для случая Ф(и)=ехр|и|-1. Развивая замечательный метод Карлесона, Хант показал, что кавдый тригонометрический ряд из Ьг(г>1) сходится почти всюду. Тем самым качественная часть исследований сильной суммируемости для Г€Ьг (г>1) потеряла смысл. .А получение новой информации о природе поведения частных сумм ряда Фурье для £еЪ1 стало более актуальным. Так над установлением справедливости теоремы Карлемада для ГеЬ( упорно работали несколько математических центров в Польше, Венгрии,Чехии, Армении, Грузии. Данная задача получила название гипотезы Тотика. В 1988 году она была решена независимо и принципиально различными методами в работах Л.Д.Го-голадзе и В.А.Родина [Б].

Отметим, что в 1991 году Карагулян Г.А. установил точность роста функции Ф(и)=ехр|и|-1, определяющей Ф-сильнузэ суммируемость интегрируемой функции. Отметим также оригинальную работу К.И.Ос-колкого, в которой была установлена Я-сильная суммируемость п.в. ряда Фурье интегрируемой функции для случая, когда Я(и) = = ехр(|и|/1п1п|и|-1).

2°. В работах Г5]-[7],[9]-С14] было обнаружено принципиально новое свойство последовательности частных сумм одномерного ряда Фурье интегрируемой функции, из которого вытекают как классические теоремы о сильной о показателен р суммируемости ряда, так и положительное решение упомянутой выше гипотезы Тотика. Данное свойство получило название ВМО-свойства ряда Фурье, оно непосредственно связано с введенным в анализ Джоном и Ниренбергом пространством функций ограниченной средней осцилляции.

При переходе к многомерным рядам ситуация осложняется. В работах Сакса, Еикиашвили, Гоголадзе, Гецадзе, Конягина и др. была

установлена необходимость и /точность требования принадлежности функции 1классу Ъ( 1п+Ъ) , заменяющему класс Ьг в одномерном; случае, при исследовании сильной .суммируемости кратных рядов Фурье. В диссертации показано, что при некотором . определении многомерного ВМО-свойства оно имеет место для шогомврных частных, суш ряда Фурье функции из класса Данное определение

связано, с тензорным .произведением -пространств ВМО. С другой стороны, оставаясь в рамках общепринятого определения многомерного пространства ВМОц0 1.показано,что соответствующее свойство не выполняется даже для непрерывной функции двух переменных.

3°. До появления "работ, составляющих основное содеркание диссертации, в теории представления интегрируемой функции сильными средними ее ряда Фурье сложилась следующая ситуация. Исследования Зигмунда и . Гоголадзе. использовалиметоды теории, функций комплексного переменного.: В работах Марцинкевича и Зигмунда в яеном виде не выделялись метрические свойства интегрируемой на_¥ функции, характеризующие .явление сильного' суммирования в точке х, которые можно переносить на нульмерные компактные абелевы группы. Например, на группу П 2), с системой характеров - системой Уолша-Пвли. Существенным продвиыением в етом направлении яеилиоь работы Габисония О.Д. Однако рассуждения этих работ в главном, опирались на специфику тригонометрических рядов. Сложившаяся ситуация соответствовала 'замечанию Р.Эдеардса о том, что "—современные исследования,, сосредоточенные на обобщении классических разделов теории суммирования тригонометрических рядов, нэ позволяют дать аналогов для нульмерных компактных абелеЕых групп...". (Р.Эдварде"Ряды Фурье в современном изложении", т.1, с.19). Фундаментальная' работа Шиппа также в существенном использовала, групповую структуру системы Уолша и не Еыделяла матричные свойст- ■ ъа интегрируемой на П 2Ь(2) функции, ответственные за ее поточечное представление сильными средними ряда Фурье.

В диссертации впервые рассмотрен единый подход к поточечному представлению интегрируемой на груше функции сильными средними ее ряда Фурье по системе характеров.

4°. Подход, позволяющий описывать задачу, в достаточно широком классе функциональных пространств позволил установить ряд принципиально новых явлений, как в поведении специальных рядов, так и в исследовании поведения последовательности коэффициентов Фурье интегрируемой функции [13-[4],[18]-[22]. Приведем один пример

подтверздащий своевременность и актуальность такого подхода. Пусть ЧЛ(Е) замыкание по норме пространства Емнозества лаку-нарных по Адомару тригонометрических полиношв, R( Е) -аналогичное замыкание, связанное с системой Радемахера. Пусть-G - замыкание ограниченных функщй по норме пространства Орлича LM с М-функцией ехри2-1. Пусть G'- пространство с нормой, эквивалентной интегралу

i _;

Jí*( í)vln( l/t)dt.

В диссертации получено следующее утверждение:.для того, чтобы R(E) или Л(Е) было дополняемо в симметричном Е, необходимо и достаточно, чтобы GsE=G'.

Этот результат для R(E) был независимо и одновременно доказан Линденштрауссом и Цафрири и помещен в монографии этих авторов,еы-шед^шей.в'1979 году. В монографии имеется ссылка на работу [22] Е.М.Семенова и В.А.Родина.

Оба отмеченные вше направления исследований работы используют широкий класс функциональных пространств - класс симметричных пространств, а такяе ^ пространство ограниченной средней осцилляции. При' изучении специальных свойств полиномое и интег-рируе?шх функций в главе 1 используются метода теории интерполяции операторов. С • достаточной полнотой и общностью эти методы изложены в монографиях С.Г.Крейна, ' Ю. И.Петунина и Е.М.Семенова и Ю.А.Брудного. Симметричные пространства являются естетственным обобщением пространств Орлича. Эти пространства называют такке перестановочно-инвариантными. Наиболее полное из-лонение теории данных пространств имеется в уяе отмеченной монографии и монографии (Линденштраусс, Цафрири).

Использование в работе мнояества симметриных пространств, включающего в оебя проотранотва Lp, Лоренца, Марцинкевича, Орлича и др. не являетоя оамоцелью. Общий подход позволил уточнить и дополнить ряд известных в рамках Ьр-теории результатов. Кроме того, получено решение еадач, постановка которых осуществлялась в рамках традшщонной Ьр-теории, а решение потребовало не укладывающихся в эту теорию терминов.

Цель работу. В работе исследуются ряды Фурье интегрируемой функции в двух направлениях. Первое направление - изучение поведения коэффициентов Фурье при условии принадлежности функции различным функциональным пространствам. Второе направление - в

задачах представления интегрируемой на группе функции сильными среднмми ее ряда Фурье по системе характеров - впервые предложен и реализован подход через изучение осцилляция последовательности частных сумм.

. Методы исследования. В работе'применяются различные методы -теории интерполяции операторов, теории функциональных, в частности симметричных пространств, гармонического анализа, как на группе ТГ, так и на группе П 2(р>) с ограниченной образующей

ь

последовательностью рА, методы метрической теории функции и точечных множеств, функционального анализа.

Няучняя новизна. Все основные результаты диссертации явля-' ются новыми:

1. Обнаружено новое явление (ВМО-свойство), связанное с ограниченной средней осцилляцией последовательности частных суш ряда Фурье интегрируемой на группе функции. Исследования, связанные с этим принципиально новым направлением гармонического анализа содержатся в главах 2 и 5. . • . -

2. С помошью вложения, связанного с неравенством Джона-Ниренберга, ВМОсЪм, М(и)=ехр|и|-1 в качестве следствия получено усиление теоремы Карлемана о М-сильной суммируемооти ряда Фурье для 1€Ъ1 почти в каждой точке группы (для и ПШрк)). Данное утверждение не было известно и.для системы Уолша.

3. Как показали Харди и Литтлвуд сильная суммируемооть ряда Фурье интегрируемой функции не обязана иметь место в точках Лебега. Габисония, опираясь на результаты работ Марцинкевича, дал явное описание точек .¥, образующих множество полной меры, в которых для интегрируемой функции ^справедлива сильная суммируемость ее ряда Фурье.

В работе показано, что последовательность Бп(х) как функция аргумента п имеет ограниченную среднюю осцилляция в точках х€И, для которых выполнено утверждение леммы Габисония. Тем самым дается ответ на вопрос П.Л.Ульянова. •

Кроме того, для интегрируемых на компактной, коммутативной группе функций установлен аналог утверждения Габисония, что позволило установить перечисленные Еыше новые утверждения для рядов по мультипликативным периодическим системам, в частности для системы Уолща.

4. Для характеризации точек группы, в которых существует сильная суммируемость кратных рядов Фурье, исследуются специаль-

шв мажорантные операторы слабого типа.Обнаружено,что эти операторы в задаче сильной суммируемости рядов Фурье играют роль аналогичную роли максимальной функции Харди, в задаче сильной дифференцируемое™ кратных интегралов.

5. Получены утверждения о средних осцилляциях специального Еида последовательности прямоугольных частных сумм кратного ряда Фурье, рассмотрены различные варианты ВМО-свойства в многомерном случае. Одно из которых можно рассматривать как свойство, порожденное специальной нормой в тензорной степени пространства

Доказано также, что кратные ряды Фурье не обладают ВМО-свой-ством, связанным с традиционной . метрикой многомерного пространства ВМО( ¡-0 ^я^

6. С помощью различных интерполяционных методов получены новые точные в определенном смысле оценки коэффициентов Фурье суммируемых функций. Для установления точности полученных утверждений типа теорем Пэли, неравенств типа Бесселя и др. проведено изучение специальных рядов в широком классе симметричных функциональных пространств. -

Теоретичрская и практическая зннчттаость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретический характер. Они находят применение в научных исследованиях и используются при чтении специальных курсов, подготовке учебных пособий и монографий. Результаты, касающиеся специальных рядов в симметричных пространствах и оценки коэффициентов Фурье,уже вошли как учебный материал в следующие монографии: Линденштраусс и Цафрири; Крейн, Петунии, Семенов; Брудный, Крейн, Семенов. Исследования по изучению различных видов- ВМО-свойства кратных рядов и их прилозения, как новое направление гармонического анализа, несомненно получат дальнейшее развитие.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на различных семинарах МИАН и МГУ (руководители акад. С.М.Никольский, чл.-корр. П.Л.Ульянов, профессора Стечкин С.Б., Кашин B.C., Те-ляковский С.А., Скворцов В.А.), ЛОМИ (рук. профессора Н.К.Никольский, В.П.Хавин, Б.М.Макаров), ВГУ (рук. проф. Е.М.Семенов), ОГУ (рук. профессора Э.А.Стороженко, В.И.Коляда, Е.Г.Гусейнов), ТГУ (рук.- Гоголадзе), в институте математики СО РАН (рук. акад. Ю.Г.Решетняк).

Результаты диссертации докладывались в Школах по теории

функций и теории операторов в функциональных пространствах (Дрогобыч 1974, Иркутск 1980, Кемерово 1983, Махачкала 1988, Новгород 1989, 1991, Грозный;1989, Воронеж 1991, Саратов 1992). Были заслушаны на расширенных заседаниях семинара ИПМ им. И.Н.Векуа (Тбилиси 1985,1990,1992). Кроме того, результаты докладывались на 2-ой и 3-ей интернациональных конференциях в г.Поз- ; нань (Польша 1989, 1992), и опубликованы в тезисах международной конференции по теории аппроксимаций г.Кечкемет (Венгрия 1990).

Пуб.пикятртт. Основные результаты ; диссертации получены самостоятельно и опубликованы в работах С13—С173.Из совместных работ [18]-С21] приведены результаты, полученные автором. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура тгиспяртяции. Диссертация состоит ^из введения и шести глав. Список литературы содержит наименования 95 работ. Работа изложена на 263 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание главы 0 составляют различные ^ вспомогательные утверждения, полученные автором и имеющие самостоятельный интерес. Утверждения касаются геометрии функциональных пространств, теории операторов, а также метрической теории функций. Кроме этого, в втой главе приводятся все • необходимые определения (5 1, п.1°,2°). В 3° § 1'главы 0 получено структурное разложение пространства ВМО (см. С9]) с выделением -пространства типа двоичного ВЮс£, связанного с группой ГШрь) с ограниченной образующей последовательностью {рк>. Для случая рь=2 подобное разложение ВМО имеется в монографии (Гарнетт Дж."Ограниченные аналитические функции"). В этом же пункте устанавливается неулучшаемость неравенства Джона-Ниренберга в классе симметричных пространств.

В } 2 изучается возможность экстремального, расширения одного класса операторов слабого типа, как операторов, действуищих из квазинормированных пространств в Ь(. Результаты этого параграфа являются ответом на один вопрос, заданный автору П.Л.Ульяновым.

В 5 3 продолжается, начатое О.Д.Габисония изучение метричских свойств интегрируемой функции, связанных с поточечным представлением интегрируемой функции сильными средними ее ряда Фурье. Габисония.изучал функцию на группе W2.il..

Пусть {рр - последовательность натруальных. чисел больших единицы. Пусть Z(Pj) - циклическая группа порядка Pj, а

ш

G= П 2(р.) - группа с групповой операцией "по-координатного" i-0 J

сложецшя по mod Pj. Введем обозначения. Пусть ¿¿=[-щ—, ,гдв к

т„=1 и тъ= П p., k=l,Z,___Определим функцию

v я j=o J

6n(t) = min(n, l/|t|). В § 3 главы О установлен следующий аналог леммы Габисония. ■Лемма 0.3.1. Если f интегрируемая на [0,1] функция, имеющая период 1 и С(р)= Hm Pj<<°, то

m

п . у

I Г J |f(ltt)-f<X) |бп (i)dtl = 0(1)

3=1 Л" п

при пхп для у>1, почти во всех точках [0,1].

Данное утверждение позволило в главах 3 и 4 охарактеризовать точки сильной суммируемости кратных рядов по системе Прайса. Отметим, что .все утверждения являются новыми и в одномерном случае, даже для системы Уолша.

Параграф 4 содержит различные утверждения о функциональных нормах тригонометических полиномов, об осцилляциях и К-функциона-лах тригонометриеских полиномов.

Глявя 1. Изучаются ортогональные ряды в симметричных пространствах.Основные утверждения получены различными интерполяционными методами. Сформулируем основное утверждение: для симметричного, интерполяционного по отношению к паре пространства получен аналог теоремы Пвли, связывающей свойства функции со свойствами ее коэффициентов Фурье. В § 3 получено обращение теорем Сидона и Зигмунда для лакунарных тригонометрических рядов. Рассмотрим подробнее последнее утверждение. В общем случае множество ограниченных функций не плотно в Е. Замыкание Lm в Е обознатам через Е°. Просранство где

Жи)=ехр|и|2-1 обозначим через G. Пусть Л - множество лакунарных по Адомару тригонометрических рядов с коэффициентами из 1г- Хорошо известно утверждение AnG=<l составляющие содержание теоремы Зигмунда. Естественным является вопрос о самом узком пространстве Е, для которого ЛлЕ=<1_? В классе симметричных пространств

отвот на этот вопрос дает, '

Теорема 1.3.1..Пусть Е симметричное пространство.

а) Для ¿еЛ норма | | |Е эквивалентна норме | Каь> 11^ тогда

и только тогда, когда

б) для ГеЛ норма.'| |Г| |Е эквивалентна норме ||{аь>||г тогда и

только тогда, когда Е=ЬШ.

Приведем еще несколько примеров из главы 1 решения задач, постановка которых осуществлялась в рамках традиционной Ьр-теории, а решение потребовало существенного расширения класса функциональных пространств, ставшего возможны:,! благодаря современному развитию как теории банаховых пространств, так и теории интерполяции опе-

1. Пусть (^(Л - равномерно ограниченная ортонормированная система функций на [0,1], пусть х - интегрируемая на [0,1] функция и Ск[х) ее коэффициенты Фурье по системе юк. Известная теорема Пэли дает ответ на вопрос о поведении коэффициентов Фурье функций, принадлевапСих пространствам Ьр (1<р<2). С помощью интерполяционных методов в главе 1 получено обобщение этой теоремы для широкого класса функциональных пространств. Пусть

оператор подобного преобразования аргумента, а агв- индикаторная функция измеримого множества ес[0,13.

Теорема 1.1.1. Пусть Е - симметричное интерполяционное по отношению к паре (Ь(,ЬШ) пространство и

раторов.

1 1вт1 >Е*Е = -^УП

'%1 I Е*-Е

Если х€Е, то

Если х(Е, то

11 ? ыг.*(т\-а* гт» -Из < А, | |х| |д.

Если Е=Ьр (1<р<2), то она дает теорему Пэли о сходимости

ряда £(С£)р&р~2. Для специальных классов пространств Ло-

/

ренца и МарцинкеЕича теорема 1.1.1 приводит к утверждениям, ранее установленным Лоренцом (С.С.ЬогегПг). Если а>0, а Ьф пространство Орлича и Ф(и)=и1па(и+1), то получаем известный результат А.Зигмунда

*£о*(*) (1п%+1)й~'аэ|\х\|ь .

Общая формулировка теоремы 1.1.1 позволяет получать и другие конкретные реализации на заданную тему.

2. Имея сведения о скорости стремления к нулю перестановки коэффициентов Фурье функции из широкого класса функциональных пространств (см. пункт 1), можно ставить вопрос об особом положении пространства Ъ1 в этом классе. Пусть равномерно ограниченная ОНО функция на СО,13. Будем говорить, что функциональное пространство Е обладает свойством Банаха (В-свойством) относительно системы ы^, если для любой последовательности чисел существует 1€Е и последовательность натуральных чисел пк такая,

что Г =<£,. О.Банах доказал, что пространство Ь. обладает к й 1 В-свойством относительно тригонометрической системы. С другой

стороны, если £еЬр, р>1, то известна определенная скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье этой функции. Предположение о возможно^ границе (в виде определенного пространства или класса для некоторой системы) для распространения В-свойства . ранее высказал С.Б.Стечкин. Следующее утверждение, полученное в главе 1 § 1 дает полный ответ на указанное предположение: если Е -симметричное пространство, Е^Ь}, то Е не обладает В-свойством относительно любой равномерно ограниченной ОНО.

3. Используя оценки К-функционалов для произвольных пар симметргчных пространств,в главе 1 § 2 получена следующая оценка коэффициентов Фурье суммируемой функции. Пусть 'Г* невозрастающая перестановка функции |1|, а С*(/) перестановка в убывающем порядке коэффициентов Фурье по равномерно ограниченной ОНО ы^. Пусть

t

í**(t) =

а

Для суммируемой функции справедливо неравенство

J [с*(я]2 < С J [f**(3)]2d3,

Jt=» 1/n '

Ценность данного неравенства подробно демонстрируется в главе 1. Отметим, что даже в случае, когда i€Lp оно дает больше информации, чем классическое неравенство Бесселя. Так как указывает порядок роста сумм в левой части неравенства.

Коэффициенты Фурье интегрируемой функции могут убывать как угодно медленно. Неравенство,, полученное выше, показывает, что удается оценить перестановки коэффициентов в среднем. Полученное неравенство для тригонометрической /системы является точным в следующем смысле. Какую бы последовательность Gfe*0 мы не рассмотрели, существует функция y€L1 такая, что

к=1 к=1

где в правой части расположены коэффициенты Фурье функции у по тригонометрической систем, и для функции у имеем

n t

I « J [y**(s)]2ds.

к=1 1 /п

В качестве такой функции рассматривается ряд

о

Vit) ~ У ос.eoskt, k-1 * -

, где аь=0к<2\ср/А.

Последовательность ßbe[1,2] выбрана так,чтобы ak была выпуклой последовательностью. Заметим, что центральным местом при докаазательстве точности является построение специального симметричного пространства P<=LJf связанного с косинус-рядами с монотонными коэффициентами.

4. Известно, что на множестве лакунарных тригонометрических рядов нормы пространств L эквивалентны при всех рё[1,а>). в пункте 3° $ 3 главы 1 описано множество функциональных банаховых пространств О, ■ в некотором смысле близких к Lm, и таких, что из E1,B2€Q и эквивалентности норм ||•I1в , II"I\Е на множестве ла-

кунарных тригонометрических рядов следует совпадение Е} и Е2. Отметим, что до работ С21,22] функциональные пространства о подобными свойствами не были известны.

Глявя 2. $ 1. Дается характеризация точек ^-сильной суммируемости для случая д>2. Случай ц=2 ранее был рассмотрен в работе Габисония О. Д. В § 2 изучаются мажорантные операторы сильного суммирования. Показано, что операторы

(Tf)(х) = вир 1 1 |Sfe+n(/,x)-li S (f,x) |,

т— 1 то—1

(Т/)(х) = sup -i- 1 IVn(/,r) - \ 1 S (/,х)| h=0 J=0

имеют слабый тип (1,1). Здесь f сопряженная с f функция.

Если рассматривать последовательность Sn(f,x) как функцию аргумента n€Z+, то данное утверждение означает, что функции Sn и

Sn почти в каждой точке хетт имеет ограниченную среднюю осцилляцию. Получена и функциональная трактовка втого явления : еоли i€L.{И),

I 1

то оператор

2п-1

(Bf)(х) = вир II ^(f.x)«- Ш I 1Ш0

ь=о Д^ *

имеет слабый тип (1,1). Аналогичное утверждение имеет место для сопряженной функции. Показано, что оператор В не является оператором сильного типа (1,1). В общем случае ситуация такова: для того, чтобы оператор В непрерывно действовал в Е необходимо и достаточно, чтобы верхний индекс Бойда

14 ln||G || ß = lim а Е

* ах» Ina

был меньше единицы.

П.Л. Ульяновым был поставлен вопрос: охарактеризовать точки, в которых последовательность частных сумм ряда Фурье интегрируемой функции обладает установленным ранее ВМО-свойством? Определим оператор

r n Xk/n 2"

(ГГНх) — sub У [-F J|i(x±i)-f(j)|dt] n62+ L fei t(k-l)/n -I

J/2

В работе показано, что этот оператор имеет слабы тип (1,1). Кроме того, справедливо неравенство : .

(TfHx) < С((ГГ)(х)' + |f(z) |).

Нз этого неравенства получаем ответ на указанный выше вопрос: последовательность частных сумм ряда Фурье функции f обладает ВМО-свойством в тех точках ze¥, в которых конечна сама функция f(z) и оператор (ГГНх). Аналогичное описание точек получено для сопряженной функции. Как следствие установлен следующий результат

Теорема 2.3.1. Пусть ГеЬ,(ТГ):

а) если Ф(и) - четная,выпуклая на (-а>,т) функция,для которой

log®(u) = Q(u), то для ц.в. х€ТГ справедливо

п-1

lim -i-J {0{f(ar) - Sfe(f,x)) +Ф(?(г)-Б1г( t,x))} = 0; гг'*"аз k=0

б) пусть Ф(и) непрерывно возрастающая функция, с Ф(0)=0, для которой

Ilm = ш.

и*а1

Тогда существует f€L7 {TT) такая, что

__п

lim 4-1 ISfe(/,x) |) - ш

п. в. на ТТ. '

После доказательства автором пункта а) в работе С6] пункт б) был получен в работе Г.А.Карагуляна. Пункт б) показывает неулучшаемость пункта а). Пункт а) независимо былустановлен в работе Л.Д.Гоголадзе. Доказательство Л.Д.Гоголадзе использует элементы теории функций комплексного переменного и не применимо для получения аналогичного результата, например, для рядов по системе Уолша.

Глава 3- Показано, что исследования главы 2, проведенные методами теории функций вещественного переменного, применимы, с соответствующей модификацией для получения аналогичных утверждений для рядов по системе характеров нульмерной компактной абелевой группы. В § 1 приведена характеризация точек д-оильной суммируемости рядов по системе Прайса. В § 2 изучаются майорантные операторы сильного суммирования данных рядов. Впервые разработан единый подход к задачам поточечного представления интегрируемой на группе функции сильными средними ее ряда Фурье по системе характеров. Результаты этой главы являются новыми даже для системы Уолша. Заметим, что Епервые ВЮ-свойство было установлено для рядов по системе Уолша в работе СЮ] и описаны в § 3 главы 3. Как следствие, доказана д-сильная суммируемость п.в. рядов по системе Уолша. Ранее другиш методами этот результат установлен в работе Ф.Шиппа. Дано описание точек группы, в которых возможна /¿-сильная суммируемость.

Глава к. Изучаются метрические свойства интегрируемой на компактной группе функции нескольких переменных, связанные с задачей сильного суммирования кратных рядов Фурье. Для характергеации точек группы, в которых существует сильная суммируемость кратных рядов Фурье, исследуются специальные мажорантные операторы слабого типа, Показано, что эти операторы в задаче сильной суммируемости рядов Фурье играют роль, аналогичную роли максимальной функции Харди в задаче сильной дифференцируемости кратных интегралов.

Отметим основные пункты рассуждений, позволившие дать вещественное, принципиально новое доказательство поточечного

представления функции из пространства L(ln+L)íf_, сильными средними

ее ряда Фурье. Эти пункты мы проследим для группы Аналогичные

утверждения получены для группы fI_G., где G. - топологическая

i ен 1 1

прямая суша циклических групп Z(pJ) с условием

шах (sup р\) < а> UN J J

Или, другиш словами, для кратных рядов по системе Прайса.

Пункт 1. Группа ТГ*. Пусть m=(m .. n(Zw, a i=(xf,

.'.. .Хд.КТГ* - фиксированная точка, - переменная точка. Определим координатную операцию

для Через ф^х) обозначим суперпозицию всех операций^ для

./€N={1,2,.. .,N1. Пусть а ф4(г) - суперпозищя всех ф^

для ,/еМ. Имеем ф1.(г)=ф<.(з:)-2?гГ(г). Обозначим через

координатный интервал, а произведение таких интервалов,

когда J пробегает N обозначим через

Произведение координат вектора п=(гц ,гСг,.. .п^) обозначим

¡1_п.. Для фиксированного _ ел

определим сублинейные операторы

п|=П_п,. Для фиксированного j€N и ооответотвувщей операции ф. jtx J J

(r(J)f) (х) = sup

n.

|ф/х)-21(х) |di/1 , =i J A . J

i/f.

V J AJ

mj)D(x) = sup nJ

? [ifj l^l-^j]1

L mJ=1 Aj

1/t

Предложении 4.1.1. Операторы T(J) и R(j) при условии у>1 обладают свойствами

а) имеют слабый тип (1,1);

б) имеют сильный тип (Ъ,Ь) для Ь€(1,а>].

ЩШЕ1 2. Связь операторов R(J) с кратным аналогом-оператором вида

СМ) (х) = sup [ I Г4Ш- J |cpt(x)|dtJrV

n€2; L=D*L 11 0 J J

+ m

описывается следующим соотношением. Предложения 4.1.2. Если Г>1» то

(Rf) (г) < (R(N) «R(N-l) .. <>R( J.)i) (х)

/Г

для

Отметим, что полученное в предложении 4.1.2 неравенство играет важную роль в теории поточечного представления, так как по форме в точности повторяет известное соотношение кратной максимальной функции Харди с ее координатными аналогами. Из предложений 4.1.1 и 4.1.2 следует

Теорема 4.1.1. Пуоть Г€Ь( Хп"1"!)*"' и у>1. Операторы И и Г имеют слабый тип (В, 1), где В=Ь(1п+Ь)Л_1.

Пункт 3. Уотановим связь между сильными средними кратных рядов Фурье и оператором Г. Пусть

Гя(Г.амг) =

1=0* ■ 0_

1/Г

и 2п=(2п1,2пг,...,2пя). Нижеследующее утверждение вскрывает следующее соотношение двойственности.

Теорема 4.2.1. Пусть £€1,(1*), тогда для ц>2 ид

справедливо неравенство

т

I \Бт(х)-1{х)

Г/Д

$ C(ЮTPJf,x,rK

константа СШ.не зависит от п и £.

Для /1=2 и Ы=2 аналогичное неравенство было установлено О.Д.Габисония другими методами.

В качестве следствия теорем 4.2.1, получаем следующее

утверждение

Теорема 4.2.2. Пусть ГШт+Ь)*-* и д<®. 1) Оператор

(Т^Ня)

= вир

-Гкг

т= 0 *

имеет слабый тип (В,1), где B=L(ln+L),í 2) Для любого ц<<в справедливо

1

lira —У |S Jx)-f(x)

для п.в. xe¥w.

Утверждение пункта 2) другими методами ранее получено в работе Л.Д.Гоголадзе.

Перечисленные Еыше утверждения установлены и для

Л

интегрируемой на группе П G{ функции.

i ей.

Все утверждения главы 4, полученные для кратных рядов по системе Прайса (в частности, для кратной системы Уолша-Пэли), являются новыми и для одномарного случая.

Принадлежность функции классу L{ln+L)íf~, в задаче сильного суммирования кратных рядов, при различных условиях стремления п к ш, нельзя заменить на более слабое условие. Этот факт хорошо известен. Его установил С.Сакс и С.В.Конягин.

Глава 5. § 1,2. Получены утверждения о средних осцилляциях специального вида последовательности прямоугольных частных сумм кратного ряда Фурье. Сформулируем их для случая N=2.

Пусть прямоугольная частная сумма двойного ряда Фурье

функции feL?(¥2) и

Sfe(i,x) f(v)exp(t<v,x>),

Ivjl«*, -

f(v) = J- f(t)exp(-i<v,t>)dt, V=(v1,v2), dt=(2xr2dt/dt2, Vs

J=1,2.

Для te[0,1и neZ^ рассмотрим ступенчатую функцию 2П' 2П2

gn(i) = en(f.i.t) - I I S (/.Da (t,)* (t2)

kj = 1 Ъг=Г ' *

построенную по последовательности Sfe,c помощью индикаторных функций зе^ и интервалов At=[(fct-1)/2 l,Jet/2 '], 1=1,2. Пусть

R=IxY<=[0,1]2 прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Для h(t) определим интегральные средние

(Ш1=ТП .Jh(Wdt1» (Wy=fVJ'll(t1't5,dt2' (íl)K=flr Jh(í)dt-Г Y Л

-Для параметра ¡i<a> рассмотрим Еыранение

OSCK(h,M) = [T^-J|h(í)-{h)I-(h)y+(h)R|'idt],/M.

н .'■

Если это выражение вычислить для ступенчатой функции Sn(í), то получил оператор

(A2f)(x) = sup : sup OSGк(£п,д). п а2 я cío,)]2

laosaiía 5.2.1. Если f eLIn+L( ТГ2) и ).i<m, то оператор к имеет

слабый тип (Lln+L,l).

Пусть RcCO.lü2 прямоугольник,'полученный объединением прямоугольников связанных с определением функции gn. Делением кандой его стороны - пополам образуем четыре прямоугольника Rt, í=1,2,3,4, составляющих R. Занумеруем их в порядке движения часовой стрелки. Определим для f€Lf(¥2) и функции gn(í,x,t) оператор -

(B2i)(x) = sup sup • |(вп)я -<вп)я +(впХя -(en)R n ez| л с[о,}]2 ' 2 3 .

4

Здесь И=иН1,. с указанной выше процедурой определения . Утваря-даниа'теещаш 5.2.1 справедливо для опа-ряторя в£.

Утверждения, приведенные выше, справедливы с сответствую-щей модификацией для кратных рядов любой размерности. Сформулируем

■утверждение, соответствующее теореме 5.2.1. Пусть Для гМг^,^,...^)- черев Е(п^) будем обозначать операцию взятия

арифметического среднего некоторой последовательности по ее координате V, порядка и,.' Через Е(т, ,т, ) обозначим операцию взятия

арифметического среднего по координатам V, ,V, порядков т. и п,

•ч ■Зг * 1

соответственно. Всегда и т.д. Пусть д<а>. По последователь-

ности прямоугольных частных сумм sv определим оператор

я

(АдГ)(х) = sup ISj^í/.i). - ^(njlS^í.r)

m,rt J = 1

Я

+ lE{mj^W^ -

J,<J2

H

Операция E( ■) действует на соответствующие . координаты вектор-индекса fe.

1шхша 5.1.2. Если f€Ь( ln+L)(¥*) и д<т, то оператор А^

имеет слабый тип (L(ln+L)7í_,,1)^

В одномерном случае теорема Б.1.2 родственна ВМО-свойству, установленному в главе 2 для последовательности частных сумм одномерного ряда Фурье. Естестсвенно поставить вопрос: какое свойство кратного ряда Фурье гарантирует в качестве естественного следа на множество функций одной переменной ВМО-свойство, описанное в главе 2?

Ситуация уже для случая N>2 значительно усложняется.

Возможны различные варианты ВМО-свойства в многомерном случае. В параграфе 1 пятой главы рассматриваются специальные прямоугольные осцилляции.

В параграфе 2 показано, что последовательность1 прямоугольных частных сумм кратного - тригонометрического ряда Фурье обладает некоторым свойством, связанным с определенной нормой. Данная норма может рассматриваться как норма, связанная с тензорной степенью пространства ВМО^ ^Q }^). Поэтому полученное утверждение будем называть тензорным ВМО-свойством (ТВМО) кратных рядов Фурье Сложность и глубину .рассматриваемых вопросов подтверждает следующий факт, установленный в § 3. Традиционная метрика N-мерного пространства ВМОц0 1 ] jíj не подходит для изучения указанных явлений. Приведем точные формулировки полученных утверждений.

Пусть BMOd - диадическое ВМО, a H¿ - диадический аналог

пространства Кей'. Обозначим через ТВМО пополнение множества ог-

+

раниченных на [0,13* функций по норме

ПЬНгио-цИ! 4<1| J ' 1П <pt(tt)dt|.'

1 l4)t 11 н1^1 [0,1 ]* 1-1

Выражение, стоящее под знаком модуля, представляет собой по-

N

лилинейный функционал на декартовой степени к Н^. Заметим, что

(VM0)*=ReH7. Поэтому эту норму можно рассматривать как норму в

к ■

пространстве(х)VMOrf - N-ой тензорной степени пространства

А

Данная норма овязана о е-топологией в (¿> VMO^. Так как в дальнейшем эту норму мы будем вычислять от ступенчатой функции следующего вида

тг. п„

2 '-1 2

.Bnif,x,.t)=l S f (/,х)ае (i7)...ae

fef=0 Ън=0 7 л 7 л

то ее можно считать нормой в © ВМО^. Здесь sek - индикаторная функция двоичного интервала

71. П.»

=[(it-1)/2 ,к{/2 Ч, a S- последовательность прямоугольных частных сумм кратного ряда(Фурье функции f. О помощью теоремы 6.1.2 получим следующее утверждение. Теорема 5.2.2. Оператор

(TfHz) = sup I lgn(/,x,t) | |yBM0 n ezI

имеет слабый тип (l(ln+L)?f~"' ,1). "

Имеет место и равномерный аналог данного утверждения.

Теорема 5.2.3. Пусть' |Г(г)|<1 для хеТГ*, тогда

sup ||gn(i,®,t)||£ < С

п ill

для всех Константа зависит только. от N. Сказанное выше по-

зволяет доказанное в теоремах 5.2.2 и 5.2.3 свойство частных сумм называть тензорным ВМО-свойством последовательности частных сумм кратного ряда Фурье.

Традиционное Ы-мерное пространство ВМОц0 с нормой

М-ЬПвкХЕо.П*) = т ^

» а [0,73

где 0 - кубы с параллельными координатным плоскостям гранями, но ^ сохраняет утверждения.теоремы 5.2.3. Рассмотрим случай Ы=й.

Тяоремз 5.3.4. Существует непрерывная на ТГ2 функция ф, для которой

для всех геЕи[0,з£/4], где Е - счетное плотное в [0,2й] мнокество.

Эта теорема, а такна другие утверждения' § 3 пятой главы показывают неестественность применения пространства ВМОц0 для исследования осцилляционных свойств последовательности частных сумм кратного ряда Фурье.

Таким образом, различные варианты введения метрик, связанных с осцилляциями последовательности вскрывают различные яв-

ления.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ .

1. Родин В.А. О сходимости частных сумм тригонометрического ряда по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами// Матем.

'исследования.- 1973.- Т. 8, & 3.- С. 46-55.

2. Родин В. А. Неравенства Джексона и Никольского для тригонометрических полиномов в симметричном пространства. // Труды 7-й зам. матем. шк. Дрогобыч.- 1974.- !.!.- 1976.- С.. 133139.

3. Родин В. А. Теорема Харди-Литтлвуда для косинус-ряда в симметричном пространстве // Матем. заметки.- 1976.- Т. 20, вып.2. -С. 241-246.

4. Родин В. А. О принадлежности суммы косинус-ряда с монотонными коэффициентами симметричному пространству // Известия Вузов, математика.- 1979.- №8.- С. 60-64.

5. Родин В. А. ВМО-сильные средние рядов Фурье // Функц. анализ и его приложения.- 1989.- Т. 23, вып. 2.- С.73-74.

6. Родин В.А. О мажорантных операторах сильного суммирования рядов Фурье // Украин.матем. журн..- '199Q.- Т. 42, № 5.- с.

7. Rodin V.A. The space ВМО and strong means of Fourier series // Analysis math. 1990.- V.16, № 4,- P. 291-302.

8. Родин В.А. Неравенства для тригонометрических полиномов с лакунами в пространствах Lp.// Иссл. по т.ф.мн.вещ. переменных. Ярославль.- 1990.- 0. 128-133.

9. Rodin V. A. Totik hypothesis for Chre3tenson and Walsh systems '// Functiones of Approximate.- 1991.- V. 21.

10. Родин В.А. Пространство ВМО и сильные средние рядов Фурье-Уолша // Математ. сборник.- 1991.- Т. 182, 15 10.- С. ,1463-1478.

11. Родин В. А. Поточечная сильная суммируемость кратных рядов Фурье // Матем. заметки.- 1991.- Т. 50, вып. 1.- С. 148-150.

12. Родин В.А. ВШ-свойство частных сумм рядов Фурье // Докл. АН СССР.- 1991.- Т. 319, J5 б.- С. 1079-1081.

13. Родин В. А." Мажорантные операторы ВМО-сильных средних рядов Фурье // Тез. докл. 2-ая интернац. конфэр. по функциональным пространствам. г.Познань (Польша) .- 1989.

14. Родин В.А. 0 М-сильной суммируемости рядов Фурье интегрируемой функции, M(u)=exp(u)-1 // Тез. докл. Интернац. конф. по теории аппроксимации. г.Кечкемет (Венгрия).- 1990.

15. Родин В. А. Прямоугольная осцилляция последовательности частных сумм кратных рядов Фурье и отсутствие ВМО-свойства // Матем. замэтки.- 1992.- Т. 52, вып. 2.- С. 152-154.

16. Родин В.A. Tensor BMO-property of the multirle Fourier Series // Докл. 3-ая интернац. конференция по функциональным пространствам г.Познань (Польша).- 1992.

17. Родин В.А. 0 расширении одного оператора слабого типа // Тез. докл. зим. матем. школы. Саратов,- 1992. .

18. Белов A.C., Родин В.А. Лцкунарные полиномы в функциональных пространствах // Матем. замэтки.- 1992.- Т. 51, вып. 6.- С.137-139.

19. Гулисашвили А.Б., Родин В.А., Семенов Е.М. Коэффициенты Фурье суммируемых функций // Матем. сборник.- 1977.- Т. 102, № 3.- С. 362-371.

20. Овчинников В.И., Распопова В.Д., Родин В.А. Точные

оценки коэффициентов Фурье суммируемых функций и К-функционалы // Матам, заметки.- 1982.- Т."32, вып. 3.- С. 295-302.

• 21. Семенов Е.М., Родин В.'А. О дополняемости- системы Радемахера в симметричном пространстве // Функц. анализ и его щшгаж.- 1979.- Т. 13, вып. 2.- С. 92-33. '

22. Семенов Е.М., Родин В.A. Rademacher series In symmetric spaces // Analysis Math.- 1975.- V.1, F.3.- P.207-222.

/¿¡-■V

/

Подписана к печати

Форшлг букатв 60X84" I/TS Объем 1,5 гг.л. Уч.изд.л.Г,2 T^paat 100. Заказ 27.

Отпечатано на ротапринте Института матвштшгв СО РАН 6300Э0. г.Новосибирск.ЭО, 7ниверсвтетстй присгоятИ