Алгеброидные функции и инвариантные метрики в изучении голоморфных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Содержание Введение

Глава 0. Предварительные сведения

§0.1. Псевдовыпуклость и алгеброидные функции a) Псевдовыпуклость b) Алгеброидные функции

§ 0.2. Голоморфные отображения a) Голоморфные отображения b) Биголоморфные отображения c) Собственные голоморфные отображения d) Голоморфные соответствия

§0.3. Метрики Каратеодори и Кобаяси a) Метрики Каратеодори и Кобаяси b) Невозростание и инвариантность метрик Каратеодори и Кобаяси, невырожденность для ограниченных областей c) Метрика Каратеодори при голоморфных соответствиях содержание d) Граничное поведение метрик Каратеодори и Кобаяси e) Метрика Сибони

Глава 1. Алгеброидные функции и Лемма Жю-лиа

§1.1. Оценки алгеброидных функций

§1.2. Глобальные оценки

§ 1.3. Лемма Жюлиа для алгеброидных функций

Глава 2. Граничное поведение метрики Кобаяси в неограниченных областях

§2.1. Выбор локальной определяющей и ее продолжение

§ 2.2. Модельная ситуация

§2.3. Поведение метрики Кобаяси вблизи точек строгой псевдовыпуклости

Глава 3. Обобщение теоремы Вонга — Розея для неограниченных областей

§3.1. Локальная определяющая и глобальные биголоморфные преобразования

§3.2. Теоремы о биголоморфной эквивалентности области единичному шару в Сп

В настоящей диссертации изучаются некоторые аспекты теории голомофных отображений в пространстве Cn, (n > 1). Основным ее отличием от своего одномерного аналога является феномен жесткости. В Сп при п > 1 нет аналогов классической теоремы Римана о конформном (биголоморфном) отображении односвязной области, граница которой содержит более одной точки, на единичный круг. Еще в 1907 году А.Пуанкаре показал, что такие простейшие области в С2, как шар и бикруг, голоморфно не эквивалентны. Обобщениями этого факта являются следующие результаты о том, что ограниченную область в Сп с гладкой границей нельзя биголоморфно отобразить на

1) аналитический полиэдр с кусочно-гладкой границей (Хенкин,

И);

2) ограниченную псевдовыпуклую область с кусочно-гладкой границей (Пинчук, [РЗ]);

3) голоморфное расслоение, у которого база и слой имеют положительную размерность (Хакльберри и Ормсби, [НО]).

Эти результаты показывают, что голоморфным отображениям многомерных областей присуща большая жесткость (ввиду переопределенности системы уравнений Коши-Римана), и что голоморфная эк

6 введение вивалентность двух случайным образом выбранных областей из Ста является скорее исключением, чем правилом. Такой вывод подтверждается и результатом Бернса, Шнайдера и Уэллса [BSW] о том, что в пространстве функций, определяющих строго псевдовыпуклые области в Сп, областям, биголоморфно неэквивалентным произвольной фиксированной области соответствует всюду плотное множество второй категории.

К результатам положительного характера можно отнести, во-первых, хорошо известную теорему Вонга-Розея о биголоморф-ной эквивалентности строго псевдовыпуклой области с некомпактной группой автоморфизмов и единичного шара в Сп (см. [R, W, N]).

Во-вторых, результат Грина и Крантца, которые показали, что если граница 3D выпуклой области D G Cn+1 конечного типа с некомпактной группой автоморфизмов совпадает с дЕ на открытом множестве, где

Е = {(«», Z!,., zn) е сп+1: м2 + N2wi + • • • + Ы2т" < 1}, то D биголоморфно эквивалентна Е (см. [GK]). Этот результат был затем уточнен Кимом и Кодамой (см. [Ki, Ко]).

В-третьих, серия работ Бедфорда и Пинчука (см. [ВР1, ВР2, ВРЗ]), в которых доказывается, что

1) ограниченная псевдовыпуклая область D 6 С2 с вещественно-аналитической границей и некомпактной группой автоморфизмов биголоморфно эквивалентна области

Е = {(w,z) € С2 : Н2 + \А2т < 1}; введение 7

2) ограниченная псевдовыпуклая область D € Cn+1 конечного типа с гладкой границей (класса С°°), формой Леви сШ, имеющей не более одного нулевого собственного значения, и некомпактной группой автоморфизмов биголоморфно эквивалентна области

E = {(w,z1,.,zn)eCn+1 :

Н2 + Ы2ш + Ы2 + --- + Ы2 < 1};

3) ограниченная выпуклая область D € Cn+1 конечного типа с гладкой границей (класса С°°) и некомпактной группой автоморфизмов биголоморфно эквивалентна выпуклой области

Е = {(w, zu., zn) € Cn+1 : \w\2 + p(z, z) < 1}, где p(z, z) — вещественнозначный полином вида1 p(z,z)= Y, a^zJ-zK. wtJ=wtK=1/2

Цель работы. Изучение поведения инвариантных метрик при отображениях, осуществляемых алгеброидными функциями, а также при голоморфных отображениях неограниченных областей в Сп. Применение этих результатов для изучения голоморфных отображений областей с некомпактными группами автоморфизмов в Сп.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в вопросах алгебраической и беременным z\,.,zn приписаны веса 8\,., 6п, где Si = (2шг-)-1, для мультииндексов J = (ji,., jn) и К — (ki,., кп) вес wtj = jiSi Н-----1- jn8n и вес wt(zJzK) = wtJ + wtK.

8 введение дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, математической физики и других разделов математики ([Р5]).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 4 глав. В конце работы приведен список литературы из 34 наименований. Общий объем работы 85 страниц машинописного текста.